01.integrales dobles

8/16/2019 01.Integrales Dobles

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Mgtr. Rony Rafael García Apéstegui

ESCUELA PROFESIONAL DEINGENIERÍA MECÁNICA ELÉCTRICA

Comprometidos con la calidad educativa

LA INTEGRAL DOBLE

1. Introducción

En el estudio de integrales ordinarias b

a f x dx, la función f x es definida en un

intervalo cerrado ,a b . Ahora estudiaremos las integrales dobles de la función , f x y

definida sobre una región R, el cual denotaremos , . R

f x y dxdy

2. Definición:Sea R una región cerrada y acotada del plano 2 .

Sea 2: f una función definida sobre la región R.

Los pasos que conducen a la definición de integral doble son:

1. Consideramos una cuadrícula que contenga a R siendo i A donde 1, ,i n

rectángulos de la cuadricula, de áreas respectivas i A , totalmente contenidos en

R.

2. Escogemos ,i i x y punto arbitrario de i A para 1, , .i n

3. Calculamos la suma 1

,n

i i ii

f x y A

4. Consideramos cuadrículas cada vez más finas que contengan a R, de modo que

las dimensiones de cada rectángulo tiendan a 0, y el número de rectángulos

contenidos en R sea cada vez mayor. Entonces definimos:

1

, : lim ,n

i i i xi R

f x y dA f x y A


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P á g i n a

2



, , D

f x y dA f x y dA

3. Interpretación geométrica de la integral doble:

Sí 2: D f , es una función integrable en la región D y

, 0, , , f x y x y D entonces , D

V s f x y dA es el volumen de solido S, bajo

la superficie , Z f x y y que tiene como base la región cerrada D.

4. Propiedades fundamentales de la integral doble:

1.- Si la función 2: D f es continua en la región cerrada D, entonces f es

integrable en D.

2.- Si la función 2: D f es integrable en la región cerrada D y K

entonces Kf es integrable en D y:

, , D D

K f x y dA K f x y dA .

3.- Si las funciones 2, : , f g D son la integrable en la región cerrada D,

entonces f g es integrable en D, y

, , , , D D D

f x y g x y dA f x y dA g x y dA

4.- Las funciones 2, : , f g D son la integrable en la región cerrada D y

, , , , , f x y g x y x y D entonces:

, , D D

f x y dA g x y dA

5.- Si , 0, , f x y x y y D entonces:



P á g i n a

3



6.- Si la función 2: D f es continua en la región cerrada D, entonces:

, , D

f x y dA f x y dA

7.- Si 1 2 D D D donde 1 2 D D es lo sumo una curva, entonces:

1 2

, , , D D D

f x y dA f x y dA f x y dA

5. La integral doble sobre un rectángulo:

Consideremos una función f definida en el rectángulo:

, / R x y a x b c y d , es decir: , , R a b c d entonces:

, , ,b d b d

a c a c R

f x y dA f x y dx dy f x y dy dx

6. Integrables dobles sobre regiones acotadas:

6.1) Regiones de tipo I

2 2 1, / ; D x y a x b g x y g x , siendo 1 1, g x g x funciones

continuas en ,a b . En este caso:



P á g i n a

4



6.2) Regiones de tipo II

2 1 2, / ; D x y c y d h y x h y , siendo 1 1,h y h y funcionescontinuas en c, d . En este caso:

7. Cálculo de integrales dobles por medio de Integrales Iteradas:

12, ,b g x

a g x D

f x y dx dy f x y dy dx

2

1, ,

d h y

c h y D

f x y dx dy f x y dx dy



P á g i n a

5



Ejercicios propuestos:

I. Calcular las siguientes integrales dobles iteradas:

1) 2 1 2

0 02

143

dy x y dx 5)

4 2

23 1

2524

dydx

x y Ln

2) 21 1

20 0 11 2 x dy

dx y

6)22 2

211

3112 x

x dydx

y

3) 22

0 2

a

asend rdr

a

7) 23 53 4 50.42 ydy x y dx

4) 3cos 2 22

02

2.4d r sen dr

8)21 1 2 2

0 0 61

xdx x y dy

9)

2 , 0 1;0 11

43 D

dxdy x x y

L y n



P á g i n a

6



10)

3

2 2 2

2, 0 1;0 1

1

21 3 D

ydxdy x y

x Ln

y

11) , 0 ;0 2 2 D xsen x y dxdy x y

12) 2

2 , 0 1; 1

0 24

xy

D

x e dxdy x y e

13) 2 2cos , 0 ;0 22 4 D

x y xy dxdy x y

14) 1 2 2

0 1

116

x y dydx

15) 22 1

0 0

2cos 2 cos 1 coscos cos1 x x e ee y e dydx

16) 1 1

0 0

27161

dxdy x y

Ln

II. Calcular las siguientes integrales:

1. D

dxdy siendo 2 1( , ) / 0 1 02

D x y x x y y Rpta: 38

2. 3 D

x y dxdy siendo 2 1

( , ) / 0 1 02

D x y x x y y

Rpta: 113840

3. D

xdxdy

y siendo 2( , ) / 16 6 0 1 D x y xy x y x y x y

Rpta: 15 18ln(2)

4. 2 y

D xye dxdy siendo

2 2

( , ) /1 2 0 D x y x y y x Rpta: 23 2 3

2 4e

e

5. 2

(2 1) x y D

x e dxdy siendo 2 21

( , ) /1 12

D x y x y x y x

Rpta:343

4e

e

6. D

ydxdy siendo 2 2 2 2 2( , ) / 0 , ( 1) 1 ( 2) 1 D x y y x y x y



P á g i n a

7



INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES

Algunas integrales dobles son mucho más fáciles de evaluar en forma polar que en

forma rectangular. Esto es así especialmente cuando se trata de regiones circulares,

cardioides y pétalos de una curva rosa, y de integrandos que contienen 2 2 x y . Las

coordenadas polares ,r de un punto están relacionadas con las coordenadas

rectangulares ( x , y ) del punto, de la manera siguiente:

2 2 2

cos( ) ( )

( )

x r y rsen y

r x y tag x

( )( )( , ) ( , ) R

f x y dA f r rdr d

…Integramos primero con respecto a r y luego con

respecto a

( )

( )( , ) ( , )b r

a r R

f x y dA f r rd dr

…Integramos primero con respecto a y luego conrespecto a r.

Ejemplo 01: calcular la integral doble 2 21 , D

x y dxdy donde D es la cuarta parte

del círculo 2 2 1, x y que se halla en el primer cuadrante. Rpta :6

Ejemplo 02: calcular la integral doble 2 , D

x y dA donde D es la región anular

comprendida entre los círculos 2 2 1 x y y 2 2 5 x y . Rpta : 6



P á g i n a

8



Ejercicios:

01. Calcular la integral doble , D

xy dA donde D es la región comprendida en el primer

cuadrante entre los círculos 2 2 4 x y y 2 2 25 x y . Rpta: 609/8

02. Evaluar la integral , D

x dA donde D es la región comprendida 2 2 9 x y y 0. x

Rpta: 18.

03. Evaluar la integral doble2 2

, x y

D

e dA donde D es la región del plano limitada por

eje de la abscisas y la curva 21 y x Rpta: ( 1)2

e

04. Calculemos la integral 24 , D

x dA donde2

0 2( , )

0 4

x D x y

y x

Rpta: 16/3

05. Calculemos la integral 2 2 , D

x y dA donde D es la región comprendida del ejemplo

(4). Rpta: 2


x y dA donde D es el círculo de radio 1

centrado en el origen. Rpta: 162 33


x y dA donde D es el círculo de radio 1

centrado en el origen. Rpta: 16

2 3 3

08. Evaluar la integral doble 2 2

, x y

D

e dA

donde D es la región limitada por el

semicírculo 24 x y y el eje y. Rpta: 41

2

e

09. Encuentre el volumen del sólido limitado por el plano z = 0, y el paraboloide

2 21 . z x y Rpta:2



P á g i n a

9



10. Evaluar la integral doble 2 2 , D

x y dA donde D es la región limitada por las

espirales r y 2r para 0 2 Rpta: 524

11. Evaluar la siguiente integral 2 2 21 1

0 0.

x x ye dydx Rpta: 1

4e

12. Evaluar la siguiente integral2

2

2 4 2 2

0 4.

y

y x y dxdy

Rpta:43


0 0.

a ax x x y dydx Rpta:

434a

14. Evaluar la siguiente integral 2 20 0

.a x x y dydx Rpta:3

2 1 2ln 13 2 2 2a


0.

x

x x y dydx Rpta: 2 1

16. Evaluar la siguiente integral 2 2

2 2

0 0.

a a y x y dxdy Rpta:

4

8a

17. Evaluar la siguiente integral21 1

1 0

xdydx .


2

1 1

1 1

x

xdydx

.


0 0

y x y dxdy .


0 0

y x y dydx .


0 0

2 21 1

2

1 xdydx

x y .

22. Evaluar la siguiente integral2 2

2 2

a a x

a a xdydx

.

23. Evaluar la siguiente integral

2

2

1 1

21 1 2 2

2

1

x

xdydx

x y .



P á g i n a

1 0



8. Cálculo de áreas por medio de integrales dobles

Considere la función 2: , f D continua en la región cerrada D, talque

( , ) 1, f x y

( , ) x y D , entonces el área de la región plana D está dada por:

( ) D

A D dA

9. Cálculo del volumen por medio de integrales dobles

Considere la función 2: , f D continua en la región cerrada D, el volumen

del sólido S bajo la superficie ( , ) Z f x y , que tiene como base la región D, está

dado por:

( , ) x y D , entonces el volumen de la región plana D está dada por:

( ) ( , ) D

V S f x y dA

( ) ( , ) ( , ) D

V S f x y g x y dA

Ejercicios:

1. Hallar el área de la región limitada por : 2 , y x 2 , y x

2. Hallar el área de la región limitada por las parábolas , y x 2 , y x y la recta

x = 4.

3. Hallar el área de la región limitada por las curvas 2 , y x x ( ), y sen x

4. Hallar el área de la región encerrada por2 2

2 2 1, , 0 x y

a ba b

.

5. Hallar el área de la región limitada por las gráficas de las siguientes curvas.

2 1( , ) / , , 2, 0 D x y y x y x y x


11/11

i n a

1 1



6. Hallar el área de la región que se encuentra bajo la parábola 24 y x x , sobre

el eje X y sobre la recta 3 6 y x .

7. Dibuje la región D y calcule su área. 2 2 2( , ) / 2 , 4 D x y x y y x y 8. Hallar el área comprendida entre dos círculos concéntricos de radio 2 y 4.

9. Dada la siguiente región calcular su área empleando integrales dobles:

10.Calcular el volumen del sólido Limitado superiormente por el paraboloide2 24 2 z x y e inferiormente por el plano XY.

11.Hallar el volumen del cuerpo limitado por los planos coordenados, los planos X =

4 e Y = 4 y el paraboloide de revolución 2 2 1 z x y .

12.Calcular el volumen del sólido Limitado el paraboloide 2 2 z x y los planos

coordenados y el plano x + y = 1.

13.Calcular el volumen del sólido Limitado por los planos coordenados los planos

X = a, Y = b y el paraboloide elíptico2 2

2 2 x y

z p q

.

14.Calcular el volumen del cuerpo limitado por las superficies 2 2 2 x y a y2 2 2 x z a .

15.Calcular el volumen del sólido limitado por la superficie 2 2 z x y y los planos

Z = 0, x = 1 y X = 3.

16.Calcular el volumen del cuerpo limitado por las superficies 2 2 25 x y y2 2 25 x z .

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