𝐼𝑁𝑇𝐸𝐺𝑅𝐴𝑁𝑇𝐸𝑆

INTEGRALES DOBLES MEDIANTE COORDENAD POLARES

Cabanillas Tacanga, GuianellaColchado Vásquez, RonaldoInfantes Montero, MiltonMorillo Culquichicom, BrayanPeche Paredes, Diana MaribySalinas Marcos, AnyeloSalinas Marcos, Anyelo

Si deseamos integrar f función definida dentro de una región R, generalmente lo haríamos evaluando la integral doble sobre la región de integración que definiríamos utilizando los métodos de coordenadas rectangulares. Que pasaría si las regiones son figuras circulares, paraboloides, elipsoides, etc. la definición de su región de integración se vuelve algo complicada.

INTEGRALES DOBLES MEDIANTE COORDENADAS POLARES

∬𝐷

𝐷

𝑓 (𝑥 , 𝑦 )𝑑𝐴

Una forma en la que nos facilitamos el trabajo cambiar de coordenadas rectangulares a coordenadas polares.las ecuaciones que relacionan coordenadas polares con rectangulares son:

Entonces, haciendo esta transformación, tendríamos que ahora la región R esta definida como.

El diferencial de área dA se definiría como:

𝑟2=𝑥2+ 𝑦2

𝑥=𝑟𝑐𝑜𝑠θ𝑦=𝑟𝑠𝑒𝑛θ

𝑅={ (𝑟 , θ )∈𝑅2𝑎≤𝑟 ≤𝑏 , α ≤θ≤β }

ⅆ 𝐴=𝑟 ⅆ𝑟 ⅆ𝜃

Recordando : la relación entre el radio y la longitud de arco en un sector circular está dada por: tenemos entonces que el diferencial de área en coordenadas polares está dado por dA = (dr)(rdθ ) como se muestra en la figura. Se acostumbra escribir como

s  =  rθ

DIFERENCIAL DE AREA

θ

r

S

𝒔=𝒓 𝜽

𝑑𝑟

𝑟𝑑𝜃r

𝑑𝐴=(𝑑𝑟 )(𝑟𝑑𝜃)𝑑𝐴=𝑟𝑑𝑟𝑑 𝜃

∬𝐷

𝐷

𝑓 (𝑟 ,𝜃 ) 𝑑𝐴=∬𝐷

𝐷

𝑓 (𝑟 ,𝜃 ) 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃

∬𝐷

𝐷

𝑓 (𝑥 , 𝑦 )ⅆ 𝑥ⅆ 𝑦=∬𝐷

𝐷

𝑓 (𝒓 𝑐𝑜𝑠𝜃 ,𝐫 sen𝜃 ) 𝑟 𝑑𝑟𝑑 𝜃

FÒRMULA

INTEGRALES ITERADAS EN COORDENADAS POLARES• 1er caso Consideremos la región polar D dada por D={(r,θ)/ α≤θ ≤β ᴧ Ф(θ) ≤r ≤ Ѱ(θ)} y sea f: Duna función continua sobre D.

∬𝐷

𝐷

𝑓 (𝑟 ,𝜃 ) 𝑑𝐴=∫𝛼

𝛽

∫¿¿

¿ ¿¿

2do caso Consideremos la región polar D dada por D={(r,θ)/ a≤ r ≤b ᴧ Ф(r) ≤θ ≤ Ѱ(r)} y sea f: Duna función continua sobre D.

∬𝐷

𝐷

𝑓 (𝑟 ,𝜃 ) 𝑑𝐴=∫𝑎

𝑏

∫¿¿

¿ ¿¿

EJEMPLITOS

1: calcular la integral doble , donde D es la cuarta parte del circulo que se halla en el primer cuadrante.

𝑥2+ 𝑦2=1

solución𝑆𝑒𝑎 𝑥=𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 , 𝑦=𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑥2+ 𝑦2=1→𝑟2=1→𝑟=1

∬𝐷

𝐷

√1− 𝑥2− 𝑦2ⅆ 𝑥ⅆ 𝑦=∬𝐷

𝐷

√1− 𝑟2𝑟 𝑑𝑟𝑑 𝜃

∬𝐷

𝐷

√1− 𝑥2− 𝑦2ⅆ 𝑥ⅆ 𝑦=∫0

𝜋 /2

∫0

1

√1−𝑟 2𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜃

∬𝐷

𝐷

√1− 𝑥2− 𝑦2ⅆ 𝑥ⅆ 𝑦=∫0

𝜋 /2

− 13

(1−𝑟 )32 ¿10¿

∬𝐷

𝐷

√1− 𝑥2− 𝑦2ⅆ 𝑥ⅆ 𝑦=− 13 ∫

0

𝜋 /2

(0−1)𝑑𝜃

∬𝐷

𝐷

√1− 𝑥2− 𝑦2ⅆ 𝑥ⅆ 𝑦=13 ∫0

𝜋 /2

𝑑𝜃=𝜋6

∬𝑅

𝑅

𝑥𝑦𝑑𝐴=∫0

𝜋2

∫2

5

(𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜃 ) (𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 ) 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃=∫0

𝜋2

∫2

5

𝑟 3𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝑟𝑑 𝜃

∬𝑅

𝑅

𝑥𝑦𝑑𝐴=∫0

𝜋2

𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 [ 𝑟 44 ]52𝑑𝜃=∫0

𝜋2

𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 [ 544 − 24

4 ]52𝑑𝜃∬𝑅

𝑅

𝑥𝑦𝑑𝐴=6094 ∫

0

𝜋2

𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃=6094 [ 𝑠𝑒𝑛2𝜃2 ] 𝜋2

0

∬𝑅

𝑅

𝑥𝑦𝑑𝐴=6094 [ 𝑠𝑒𝑛2 𝜋22 − 𝑠𝑒𝑛

202 ]

∬𝑅

𝑅

𝑥𝑦𝑑𝐴=6094 [ 12 − 02 ]=6098 𝑢

2

2

5

5

0

R

Limites de integración

2: Evaluar la integral donde R es la región del primer cuadrante comprendida entre los círculos =4 y =25

solución

r

3: calcular la integral doble donde D es la región encerrada por la cardiode sobre el eje X.

𝑟=1+cos𝜃

rD

𝜃x

y

solución𝑆𝑒𝑎 :𝑥=𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜃 , 𝑦=𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃

𝐷 { 0≤ 𝜃≤𝜋0≤𝑟 ≤1+𝑐𝑜𝑠𝜃

∬𝐷

𝐷

𝑦 ⅆ 𝑥ⅆ 𝑦=∬𝐷

𝐷

𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑟 𝑑𝑟𝑑 𝜃=∬𝐷

𝐷

𝑠𝑒𝑛𝜃𝑟2𝑑𝑟𝑑 𝜃

∬𝐷

𝐷

𝑦 ⅆ 𝑥ⅆ 𝑦=∫0

𝜋

∫0

1+cos𝜃

𝑟2𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝑟𝑑 𝜃

∬𝐷

𝐷

𝑦 ⅆ 𝑥ⅆ 𝑦=∫0

𝜋 𝑟33𝑠𝑒𝑛𝜃 ¿1+cos𝜃

0𝑑𝜃 ¿

∬𝐷

𝐷

𝑦 ⅆ 𝑥ⅆ 𝑦=13∫0

𝜋

(1+cos𝜃)3 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃=− (1+cos𝜃)4

12¿𝜋0

¿

∬𝐷

𝐷

𝑦 ⅆ 𝑥ⅆ 𝑦=− 112

[0−16 ]=1612

=43𝑢

4: Hallar el área de la región plana D ubicada en el interior del círculo y en el exterior de la cardioide

𝑟=1+cos𝜃

x

y

𝑟=3𝑐𝑜𝑠𝜃

𝜃=− 𝜋3

𝜃=𝜋3

{𝑟=3𝑐𝑜𝑠𝜃𝑟=1+cos𝜃→

3𝑐𝑜𝑠𝜃=1+cos𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃=1

2→𝜃=𝜋

3,− 𝜋3

solución

𝐴𝐷=∬𝐷

𝐷

𝑑𝑥𝑑𝑦= ∫−𝜋 /3

𝜋3

∫1+cos𝜃

3𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃

𝐴𝐷= ∫−𝜋 /3

𝜋3 𝑟22

¿ 3𝑐𝑜𝑠 𝜃1+cos𝜃

𝑑𝜃=12 ∫−𝜋 /3

𝜋 /3

¿¿

𝐴𝐷=12 ∫−𝜋 /3

𝜋/3

[8𝑐𝑜𝑠2−2𝑐𝑜𝑠 𝜃−1 ]𝑑𝜃=12 ∫−𝜋/3

𝜋 /3

¿¿

𝐴𝐷=12 ∫−𝜋 /3

𝜋/3

(4𝑐𝑜𝑠2𝜃−2𝑐𝑜𝑠 𝜃+3 ) 𝑑𝜃=12(2𝑠𝑒𝑛2𝜃−2𝑠𝑒𝑛𝜃+3 𝜃)¿ 𝜋 /3

−𝜋 /3¿

𝐴𝐷=𝜋 𝑢2

Calculamos las intersecciones para calcular los limites para