Clculo de integrales doblesRecordar que por lo comn es difcil evaluar integrales simples directamente de la definicin de una integral, pero el teorema fundamental del clculo provee un mtodo mucho mas fcil. La evaluacin de integrales dobles a partir de primeros principios es incluso ms difcil. Normalmente, el primer paso en la evaluacin de una integral doble consiste en reescribirla como una integral iterada para comprender el proceso. En resumen, la integral doble normalmente se utiliza para encontrar el volumen de un solido encontrando ciertos puntos de interseccin para as poder integrarla despus.

Dominios RectangularesSi queremos computar la doble integral de sobre el dominio donde es un rectngulo con y . Usando la definicin de la integral doble, podramos estimar la integral:

con sumas de Riemann. Cortamos el dominio de en pequeos rectngulos. Si elegimos el mismo para cada rectngulo en la fila y el mismo para cada rectngulo en la columna , la suma de Riemann para la integral es:

Para cada fila en podemos sumar todas las columnas en momento, la suma de todas las columnas en sera:

. Si ignoramos

por un

Si reducimos para que sea cero (y el nmero de columnas aumentan correspondientemente a infinito), entonces sta es exactamente la suma de Riemann para la integral de una dimensin, donde integramos desde hasta

Tenemos un valor distinto de la integral para cada correspondiente a la suma de la fila . Si lo multiplicamos por un y sumamos todas las filas de (como es necesario

para tener toda la sumatoria de ecuaciones de Riemann), obtenemos otra sumatoria de Riemann de una dimensin:

Si reducimos para que sea cero (y el nmero de filas aumentan correspondientemente a infinito), entonces la suma de Riemann se convierte en otra integral de una dimensin, donde integramos desde hasta

Este proceso fue equivalente a sumar todos los rectngulos, luego reducir cero. De esta manera obtuvimos otra expresin para la integral doble:

y

a

Llamamos a sta una Integral Iterada, porque simplemente iteramos la integracin de una variable, dos veces.

Teorema de FubiniSi es continua en el rectngulo , entonces:

En trminos generales, esto es cierto si se supone que est acotada en , es discontinua slo en un numero finito de curvas uniformes y existen integrales iteradas.

Ejemplo # 1

Suponer que es una funcin continua no negativa en la regin R del plano cuyo contorno est formado por los arcos de 2 curvas e

que se cortan en los puntos K y L indicados en la figura. Se trata de hallar el volumen "V" limitado por sta superficie.

Sea

siendo , un plano que corta al contorno de "R" en los puntos y , y a la superficie z = f(x,y) segn el arco UV a lo largo del cual z = f(x,y). El rea de la seccin STUV es:

As, pues, el rea de las secciones determinantes en el volumen por los planos paralelos al y ^ z son funciones conocidas

de x, distancia del plano de seccin al origen. Segn lo dicho el volumen pedido sera,

1. 2.

Ejemplo #2

Evaluar la integral doble .

, donde

Segn el teorema de Fubini

Ejemplo #3Evaluar donde

Para una funcion que toma valores positivos y negativos, es una diferencia de volumenes: V1-V2 donde V1 es el volumen de arriba de la funcin y el V2 es

el de abajo. El echo de que la integral del ejemplo 3 sea 0 significa que estos dos volumenes son iguales.

Ejemplo #4Evale las integrales iteradas:

Lee mas en : Integrales Iteradas, por WikiMatematica.org www.wikimatematica.orgIntegrales dobles coordenadas polares

Cambio a coordenadas polares en una integral dobleSi deseamos integrar funcion definida dentro de una region , generalmente lo

hariamos evaluando la integral doble sobre la region de integracion que definiriamos utilizando los metodos que hemos visto antes en coordenadas rectangulares. Un problema que puede presentarse seria si se deseara trabajar con ciertas figuras circulares (p.ej. circulos, paraboloides, elipsoides, etc.), la definicion de su region de integracion se vuelve algo complicada. Una forma en la que nos facilitamos el trabajo es el trabajar para coordenadas polares, dado que estas se adecuan de mejor manera a las formas circulares. Recordemos las ecuaciones que relacionan coordenadas polares con rectangulares

Entonces, haciendo esta transformacion, tendriamos que ahora la region como

esta definida

el diferencial de area

se definiria como

y la integral quedaria como

Teorema

Si

es continua en un rectangulo entonces,

dado por

, donde

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Algunas Integrales dobles son mucho ms fciles de calcular en forma polar que en forma Rectangular. Esto es especialmente cierto para regiones circulares, en forma de cardioide o de ptalo de curva Rosa, e integrando donde aparezca

Ejemplo # 1recordatorio Evaluar:

donde R es la regin del semi-plano superior limitado por los crculos

y

.

Ejemplo # 2

Determinar el volumen del slido acotado por el plano

y el paraboloide

Resolviendo:

Despus de Integrar:

Ejemplo # 3Calcular el volmen de un slido que est debajo del paraboloide plano y dentro del cilindro . , encima del

complementando al cuadrado:

Ahora procedemos a integrar:

Ejemplo # 4Encuentre la masa y el centro de masa de un triangulo con vrtices en Densidad .

Ejemplo # 5La densidad en cualquier punto en una lamina semicircular es proporcional a la distancia al centro. Encuentre el centro de masa.

Ejemplo # 6inside the sphere outside the cylinder

ahora despejo para " z " ya que es la funcin que me da la altura de la siguiente forma:

factorizo un signo menos:

y como sabemos que:

entonces

ahora aplicamos la integral doble:

ahora multiplicar x 2 ya q esto solo es la mitad de la esfera. --Hersonjmc 21:35 31 oct 2010 (CST)hersonjmc

Ejemplo # 7

crculos:

entonces aplicamos los completacin al cuadrado a la siguiente ecuacin para llegar a la forma del circulo:

entonces obtenemos los limites de integracin:

aplicamos la integral doble :

--Hersonjmc 21:49 31 oct 2010 (CST)hersonjmc

Ejemplo # 8Utilice coordenadas polares para encontrar la integral de la regin dentro del paraboloide y dentro del cilindro

Para este problema nuestra regin la limita el cilindro

La altura la limita la funcin del paraboloide

entonces tenemos la integral

Resolovemos la integral y la respuesta es :

Ejemplo # 9Utilizar una integral doble para encontrar el rea encerrada por un petalo de la rosa de 4 hojas

--Juliocm 23:10 31 oct 2010 (CST)

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En geometra plana, el sistema de coordenadas polares se usa para dar una descripcin cmoda de ciertas curvas y regiones. La figura siguiente hace posible que recordemos la conexin entre coordenadas polares y cartesianas. Si el punto P tiene coordenadas cartesianas y coordenadas polares , entonces , de la figura,

,

En tres dimensiones hay un sistema de coordenadas, llamadas coordenadas cilndricas, que es semejante a las coordenadas polares y da descripciones cmodas de algunas superficies y slidos que por lo general se presentan. Como veremos algunas integrales triples son mucho ms faciles de evaluar en coordenadas cilndricas. En el sistema de coordenadas cilndricas, un punto P en espacio tridimensional est representado por el triple ordenado , donde r y q son coordenadas polares de la

proyeccin de P sobre el plano xy y z es la distancia dirigida desde el plano xy a P.

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Ejemplo# 01

Evale

podemos ver que la proyeccin de E sobre el plano

es el disco

. La

superficie inferior de E es el cono y su superficie superior es el plano . Esta regin tiene una descripcin mucho ms simple en coordenadas cilndricas:

por lo tanto la integral se puede escribir de la siguiente manera:

Ejemplo# 02

Evale

donde

es la bola unitaria:

puesto que el lmite de B es una esfera, se usan coordenadas esfricas:

Ademas las coordenadas esfricas apropiadas porque:

, entonces:

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