¬¼ «» ªº 10 10 4 5 65 1 3 6 soluciones de la semana del 20...
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SOLUCIONES DE LA SEMANA DEL 20 AL 26 DE ABRIL
CURSO: 2º E.S.O. GRUPO: D
1.- Calcula respetando la jerarquía de operaciones:
a) ( ) ( )
( )
( )
( )
3 4 64 5 2
3 4 8 10
3 4 18
3 72
3 + 72
− − − − − =
= − − − + =
= − − − =
= − − − =
= − = 69
b) 3 1 1 3 6 5
2 5 10 4 5
15 2 1 3 65
10 10 10 4 5
13 1 3 6 5
10 10 4 5
65 1 3 6 =
10 10 4 5
64 3 6 =
10 4 5
192 =
40
− − − =
= − − − =
= − − =
− − =
− =
−6
5
192 48 144 =
40 40 40
=
− = =18
5
c) ( ) 9,025 2,46 : 1,3 0,01
9,025 2,46 : 1,31
9,025 1,877
− + =
= − =
= − = 7,148
d) 4,905 :100 762,3 0,01
0,04905 7,623
− =
= − = -7,57395
2.- Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de 990, 12 y 1050.
990 2 5
99 3
33 3
11 11
1
12 2
6 2
3 3
1
1050 2 5
105 3
35 5
7 7
1
2990 2 3 5 11= 212 2 3= 21050 2 3 5 7=
Tenemos que: ( ). . . 990,12,1050 2 3 6mc d = =
( ) 2 2 2. . . 990,12,1050 2 3 5 7 11 69300m c m = =
3.- Hoy he recorrido 900 metros, que suponen los 3
7 Del recorrido. ¿Cuál es la longitud total?
Como los 3
7 del recorrido son 900 metros, tenemos que
1
7 son 300 metros y el recorrido total son los
7
7, es
decir: 300 7 = 2100 metros.
3 2
2
3 2
4 3 2
5 4 3
5 4 3 2
2 3
2 5
10 15 5
2 3
4 6 2
4 8 15 16 5
x x x
x x
x x x
x x x
x x x
x x x x x
− +
− + −
− + −
− +
− + −
− + − + −
( )2 3 2 5 7
2 6 15 7
13 13
1
x x
x x
x
x
− − − − = −
− + + = −
= −
= −
( ) ( ), 1,3x y = −
4.- Dados los polinomios ( ) 3 22 3P x x x x= − + , ( ) 3 7 4Q x x x= − − y ( ) 22 5R x x x= − + − , calcula:
a) ( ) ( ) ( )P x Q x R x+ − b) ( ) ( )P x R x
3 2
3
2
3 2
2 3
7 4
2 5
3 7 1
x x x
x x
x x
x x x
− +
− −
− +
− − +
c) ( ) ( )Q x R x− d) ( )( ) ( )6 : 2P x x
3
2
3 2
7 4
2 5
2 8 1
x x
x x
x x x
− −
− +
+ − +
5.- Desarrolla la identidad notable: ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 22 2 2 4 2 23 5 3 2 3 5 5 9 30 25x y x x y y x x y y− = − + = − +
6.- Resuelve las siguientes ecuaciones de primer y segundo grado:
a) 13 2 5 2 1
16 4 12
x x x− − ++ = −
b) 22 3 5 0x x− − =
( ) ( ) ( )2
2 1
2
3 7 10 523 3 4 2 54 3 9 40 3 49 3 7 4 4 2
33 7 42 2 2 4 4 4
154 4
a xb b ac
b xa
xc
+= = = =− − − − −− − + = − = = = = =
− − = = = −= −
7.- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de sustitución:
2 3 7
5 2
x y
x y
− − = −
+ = −
2 3 7
2 5
x y
y x
− − = −
= − − Solución:
Calculamos el valor de la otra incógnita: ( )2 5 1 2 5 3y = − − − = − + =
( ) ( )3 2 22 18 6 : 2 9 3x x x x x x− + = − +
( ) ( )
( ) ( ) ( )
13 2 5 2 11
6 4 12
2 13 2 3 5 2 12 1
12 12 12 12
2 13 2 3 5 2 12 1
26 4 5 6 12 1
4 15 26 6 12 1
12 9
9 3
12 4
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x
x
− − ++ = −
− − ++ = −
− + − = − +
− + − = − −
− + + = − + + −
= −
− −= =
8.- La dueña de una pensión dispone de comida para alimentar a 18 huéspedes durante 12 días. Si vienen 6
huéspedes nuevos, ¿para cuántos días tendrá comida?
Son MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES:
18 12
924
x
= = Habrá comida para 9 días.
9.- Las notas que un grupo de estudiantes ha obtenido en un examen de Lengua han sido:
Notas ( ix ) 3 4 5 6 7 8 10
Frecuencia ( if ) 2 3 9 5 3 2 1
Frecuencia acumulada ( iF ) 2 5 14 19 22 24 25
Calcula el valor de la media, la moda y la media de las notas de estos estudiantes.
• Media 3 2 4 3 5 9 6 5 7 3 8 2 10 1 140
5,625 25
x + + + + + +
= = =
• Moda: 5
• Mediana: 5 (La nota que ocuparía la posición número 13 si están ordenadas de menor a mayor)
10.- Para pensar: ¿Cuál es la longitud del camino que va desde F hasta G ?
Si metemos las verticales de la derecha en la izquierda, completando los huecos, tenemos que en total en
líneas verticales suman 101 centímetros. Por otra parte, hay un total de 102 segmentos horizontales de
100 centímetros de longitud cada uno, es decir: 102 100 10200 = centímetros.
Por tanto, el total es de: 101 10200 10301 L cm= + =
HUÉSPEDES COMIDA
18 12 24 x
SOLUCIONES DE LA SEMANA DEL 20 AL 26 DE ABRIL
CURSO: 3º E.S.O. GRUPO: E
1.- Calcula respetando la jerarquía de operaciones:
a) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 3 5 10 : 2
2 2 15 10 : 2
2 2 15 10 : 2
2 13 10 : 2
26 5 31
− − − + − − =
= − − − + − − =
= − + + − − =
= + − − =
= + =
b) 9 2 2 3 5 5 1 : 1 1
2 3 5 10 2 2
9 4 3 5 2 2 5: 1
2 15 10 2 2 2 2
9 4 3 3 3 : 1
2 15 10 2 2
9 4 3 6 1
2 15 10 6
9 4 3 6 1
2 15 10 6
270 16 18 60 60 268 67
60 60 60 60 60 60
+ − − − − − =
= + − − − − − =
= + − − − − =
= + − − − − =
= + − + − =
= + − + − = =15
c) 61, 44 2,56 5,018 2,6
157, 2864 1,93 155,3564
− =
= − =
d) 52 5 13 1 47 12 470 12 458 2295,2 0,13
9 90 9 90 90 90 90 45
− −− = − = − = − = =
2.- Expresa como una sola potencia: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )12 7 5 2 5 3 8
3 : 3 3 : 3 3 3 3 − − − − = − − = −
3.- Un jardinero poda el lunes 27
de sus rosales; el martes, 35
del resto, y el miércoles finaliza el trabajo
podando los 20 que faltaban. ¿Cuántos rosales tiene en total el jardín?
Como el miércoles el quedan 20 rosales que suponen
2
7 de total, entonces
1
7 son 10 resoles y por lo
tanto, el total en el jardín son los 7
7 es decir:
10 7 70 = rosales había en total en el jardín.
4.- Dados los polinomios ( ) 4 23 2 5P x x x x= − + − + , ( ) 3 23 7Q x x x x= − + y ( ) 2 1R x x= − , calcula:
a) ( ) ( ) ( )P x Q x R x− + b) ( ) ( ) ( )P x Q x R x+ c) ( ) ( ):Q x R x
( ) ( ) ( )P x Q x R x− + ( ) ( ) ( )P x Q x R x+ ( ) ( ):Q x R x
5.- Desarrolla la identidad notable: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 223 3 3 2 2 3 64 2 4 4 8 16xy z xy xy z z x y xyz z+ = + + = + +
6.- Resuelve las siguientes ecuaciones y sistema por el método de igualación:
a) ( )2 2 3
2 15 5
xx x
++ + = −
b) 23 4 2x x x− = − → 23 4 2x x x− = − → 23 5 2 0x x− + =
( ) ( )2
2 1
2
5 1 63 15 5 4 3 24 5 25 24 5 1 5 1 6 6
55 1 4 22 2 3 6 6 6
26 6 3
a xb b ac
b xa
xc
+= = = =− − − − − − − = − = = = = =
− = = ==
c) 7 5 10
2 3 5
x y
x y
− =
− = −
10 5
7
5 3
2
yx
yx
+ =
− + =
4 2
3 2
2
4 3 2
3 2 5
3 7
1
3 6 8 4
x x x
x x x
x
x x x x
− + − +
− + −
−
− − + − +
4 2
3 2
4 3 2
2
4 3 2
6
3 2 5
3 7
3 6 5
1
3 6 5
3
x x x
x x x
x x x x
x
x x x x
x x
− + − +
− +
− + − + +
−
− + − −
− + 5 4 3 2
6 5 4 3 2
6 5
3 2 5 6 6 5
x x x
x x x x x x
− + +
− + + + + − −
3 2 2
3
2
2
3 7 1
3
3 8
3 3
8 3
x x x x
x x x
x x
x
x
− + −
− + −
− +
−
−
( )
( )
( )
( ) ( )
2 2 3 2 1
5 5
2 12 2 3
1 5 1 5
2 110 5 2 3
5 5 5 5
10 2 1 5 2 3
10 2 2 5 2 3
2 5 2 10 2 3
15
15
xx x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x
x
++ + = −
+ ++ = −
+ ++ = −
+ + = − +
+ + = − −
− + = − − −
− = −
=
( ) ( )
( ) ( )
10 5 5 3
7 2
2 10 5 7 5 3
14 14
2 10 5 7 5 3
20 10 35 21
10 21 20 35
11 55
5
y y
y y
y y
y y
y y
y
y
+ − +=
+ − +=
+ = − +
+ = − +
− = − −
− = −
=
Calculamos el valor de la otra incógnita: 10 5 5 10 25 35
57 7 7
x+ +
= = = =
Solución: ( ) ( ), 5,5x y =
7.- Calcula el perímetro y el área de la siguiente figura:
Perímetro: 16 6 8 10 96 80 176 P cm= + = + =
Área: ( ) ( ) 2176 11,315 5 5 16 8 1635,28
2 2PENTÁGONO RECTÁNGULO
P aA A A b h cm
= + = + = + =
8.- Los lados de un triángulo miden 18, 24 y 32 centímetros. Halla los lados de otro triángulo semejante,
sabiendo que el lado menor mide 30 centímetros.
La razón de semejanza es: lado menor 18 3
lado menor 30 5r = = =
.
Usamos dicha razón para calcular el resto de lados:
• lado mayor 32 3
lado mayor 5x= =
Por lo que:
32 5 16053,33
3 3x cm
= = =
• lado mediano 24 3
lado mediano 5y= =
Por lo que:
24 5 12040
3 3y cm
= = =
9.- Tras 25 días de proceso de envasado, el control de calidad ha detectado diariamente el siguiente número
de botes defectuosos: 1, 3, 2, 4, 3, 2, 3, 0, 3, 2, 3, 2, 4, 1, 3, 2, 5, 3, 3, 2, 3, 2, 3, 2 1.
Botes
defectuosos ( ix )
Frecuencia
( if )
Frecuencia
acumulada ( iF )
Frecuencia
relativa ( ih )
Frecuencia relativa
acumulada ( iH )
0 1 1 0,04 0,04
1 3 4 0,12 0,16
2 8 12 0,32 0,48
3 10 22 0,4 0,88
4 2 24 0,08 0,96
5 1 25 0,04 1
TOTAL 25 1
Haz una tabla de frecuencias y calcula el valor de la media, la moda y la mediana de botes defectuosos.
• Media: 0 1 1 3 2 8 3 10 4 2 5 1 53
2,1225 25
x + + + + +
= = = botes defectuosos
2 2 2
2
2
13,85 8
191,8225 64
127,8225
127,8225 11,31
a
a
a
a cm
= +
= +
=
= =
• Moda: 3
• Mediana: 3 (el dato que ocuparía la posición central en caso de estar ordenados)
10.- Para pensar: El vaso cilíndrico del dibujo contiene agua. Si la altura del vaso es 14
centímetros, ¿Cuál será, en centímetros, la altura alcanzada por el agua cuando el vaso
esté vertical?
En realidad, el agua está ocupando exactamente la mitad del volumen del
cilindro (el vaso). Y eso se va a mantener sea cual sea la posición del vaso
puesto que ni el volumen del vaso, ni el volumen del agua van a cambiar.
Por lo tanto, si el vaso está en vertical, y el agua ocupa la mitad de su
volumen, la altura que alcanzará será de 7 centímetros, la mitad de la
altura del vaso.
SOLUCIONES DE LA SEMANA DEL 20 AL 26 DE ABRIL
CURSO: 4º E.S.O. GRUPO: A+B+E
1.- Realiza las siguientes operaciones reducido lo máximo posible:
a)
( )
( ) ( )
( )( )
412 21 4 2 1 1 8 4 9 316
3 3 2 24 2 2522
2 4
2 3 2 5 2 512 10 20 2 3 2 5 2 5 2 3 52 3 5
2 5 2 5 250 16 2 5 2
−− − −
−
− −−−
= = = =
b) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
3 324 4 24 2122 94
1212122 4 83 32 2 4 23 212
3 33 3 3 3 3 33 3 33
33 3 33 3
= = = = = =
c) 2 2 4 22 20 3 45 80 2 2 5 3 3 5 2 5 2 2 5 3 3 5 2 5 4 5 9 5 4 5 9 5+ − = + − = + − = + − =
d)
3
3 22
3 3
1 2 1
3 3
2
3log 8 2 8 2 2 2
2
1 3 17log 27 27 3 3 3 3 log 8 log 27 5log100 3 5 2
3 2 2
log100 10 100 10 2
x x
y
y
z
x x
y y
z z
−
= = = = =
= = = = = → − + = − + =
= = = =
2.- a) Halla el valor de k en el polinomio ( ) 4 2 2 1P x x kx x= + + + teniendo en cuenta que si lo divides
entre 1x − , el resto de la división es 4− .
Por el teorema del resto, sabemos que ( )1 4P = − . Por lo tanto:
( ) 4 21 1 1 2 1 1 1 2 1 4 4P k k k= + + + = + + + = + = − y así 4 4 8k = − − = −
b) Simplifica la siguiente fracción algebraica: ( )( )
( )
23 2
3 2 2
1 2 13 3 1 1
2 2 1
x x xx x x x
xx x x x x x
− − +− + − −= =
− + − +
Descomponemos por Ruffini el numerador
3.- Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) ( )( ) ( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )( )2
2 3 2 23 3 33 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 24
x x x xx x x x x
x x x x x x x x x xx
+ − +− − −+ = + = + =
− − + − − + − + − +−
Si 2x entonces se pueden quitar los denominadores:
( ) ( )( )3 2 3 2 2x x x x x− + + = − + 2 23 2 3 12x x x x− + + = − 22 3 9 0x x− − =
1 3 3 1
1 1 2 1
1 2 1 0
− −
−
−
( ) ( ) ( )2
2 1
2
3 93
3 3 4 2 94 3 9 72 3 81 3 9 4
3 9 32 2 2 4 4 4
4 2
xb b ac
xa
x
+= =− − − − −− − +
= = = = = − = = −
Como las dos soluciones son distintas de 2 y de 2− , las dos soluciones son válidas.
b)
( ) ( ) ( )2
2 1
2
3 54
3 3 4 1 44 3 9 16 3 25 3 5 2
3 52 2 1 2 2 21
2
xb b ac
xa
x
+= =− − − − −− − +
= = = = = − = = −
Comprobamos las soluciones:
• ¿? ¿? ¿? ¿?
4 2 8 4 4 2 4 4 2 2 4 0= − − = − = − = NO, por lo que 1 4x = no es solución
• ( )¿? ¿? ¿? ¿?
1 2 8 1 1 2 9 1 2 3 1 1− = − − − − = − − = − − =− SÍ, por lo que 2 1x = − sí es solución
4.- La edad de mi nieto será, dentro de tres años, un cuadrado perfecto, mientras que hace tres años era
exactamente la raíz cuadrada de ese cuadrado perfecto. ¿Cuántos años tiene ahora?
x : edad actual del nieto
2 2
2
3 3
33
x y x y
x yx y
+ = + =
− =− =
( )2
3 3x x+ = − 23 6 9x x x+ = − + 2 7 6 0x x− + =
( ) ( )2
2 1
2
7 56
7 7 4 1 64 7 49 24 7 25 7 5 2
7 52 2 1 2 2 21
2
xb b ac
xa
x
+= =− − − − − − −
= = = = = − = =
• Si 1 6x = , entonces 1 3y =
• Si 1 1x = , entonces 1 2y = − !! No es posible
Por lo tanto, la edad de su nieto actualmente es de 6 años.
5.- Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones:
( ) 4 3 21 2 5 5 3
1 5(2)
3 2 6
x x x x
x xx
+ + ++
− −
( ) ( )2 2
2
2
2 8
8 2
8 2
8 4 4
3 4 0
x x
x x
x x
x x x
x x
= − −
− = −
− = −
− = − +
− − =
2 2 0 2x x+ = = −
( ) ( )4 3 2 212 5 5 3 0 2 3 2 0
2POSITIVO
x x x x x x x
+ − + − + − +
En el estudio de signos tenemos que la solución
de la inecuación (1) es 1 1
3, ,2 2
x
−
La solución del sistema es la intersección de las soluciones: 8 1 1 8
, 3, , ,5 2 2 5
x
− =
6.- Se ha colocado un proyector sobre un trípode de 1,2 metros y a una distancia de 5 metros de la pantalla
medida en la horizontal. La imagen proyectada está a 3 metros del suelo. ¿Qué inclinación sobre la horizontal
tiene el foco del proyector?
cateto opuesto 3 1,2 1,8tan 0,36
cateto contiguo 5 5
−= = = =
Despejamos el valor del ángulo de inclinación:
arctan 0,36 19,8º = =
7.- Si los lados de un triángulo vienen dados por las rectas: 3 6 0x y− − = , 3 18 0x y+ − = e 0y = :
a) Halla las coordenadas de sus vértices
− + + ( )3x +
− − − 1
2x
−
3− 1
2
+ − − ( ) ( )213 2
2POSITIVO
x x x
+ − +
( ) 4 3 2
4 3 2
1 2 5 5 3
2 5 5 3 0
x x x x
x x x x
+ + +
+ − + −
2 5 1 5 3
3 6 3 6 3
2 1 2 1 0
1 1 0 1 32
2 0 2 0
− −
− − −
− −
−
( )
( )
1 5(2)
3 2 6
3 12 5 6
6 6 6 6
2 3 1 5 6
2 3 3 5 6
2 3 6 3 5
5 8
8
5
x xx
xx x
x x x
x x x
x x x
x
x
+− −
+− −
− + −
− − −
− + +
8,
5x
• A r s= ( )
3 63 6 0 3 6
3 3 9 543 18 0 3 18
x yx y x y
x yx y x y
− =− − = − =
− − − = −+ − = + =
48 24
10 4810 5
y y− = − = =
24
5 24 72 1818 3 18 3 18
5 5 5
y
x y
=
= − = − = − =
Punto 18 24
,5 5
A
=
• B r t= 03 6 0 6 6 0 6
20 3 3 3
yx y yx
y
=− − = + += = = =
= Punto ( )2,0B =
• C s t= 03 18 0
18 3 18 3 0 180
yx yx y
y
=+ − = = − = − =
= Punto ( )18,0C =
b) Clasifica el triángulo según sus lados y según sus ángulos
• Según sus lados:
18 24 8 242 ,0 ,
5 5 5 5AB
= − − = − −
→
2 2
28 24 64 576 640 810
5 5 25 25 25 5AB u
= − + − = + = =
18 24 72 2418 ,0 ,
5 5 5 5AC
= − − = −
→
2 2
272 24 5184 576 5760 2410
5 5 25 25 25 5AC u
= + − = + = =
( ) ( )18 2,0 0 16,0BC = − − = → 2 2 216 0 16 BC u= + =
Como los tres lados miden diferente el triángulo es escaleno.
• Según sus ángulos: 8 72 24 24 576 576
05 5 5 5 5 5
AB AC
= − + − − = − + =
Es decir que
el ángulo formado por los lados que contienen el vector AB (la r ) y el vector AC (la s ) es
recto, por lo que el triángulo es rectángulo.
8.- Los resultados para medir el coeficiente intelectual (C.I.) de 80 estudiantes en un test de inteligencia
han sido:
C.I. Marca de
clase ( ix )
ESTUDIANTES
( if )
Frecuencia acumulada
( iF ) i ix f 2
i ix f
[70,90) 80 15 15 1200 96000
[90,110) 100 38 53 3800 380000
[110,130) 120 24 77 2880 345600
[130,150) 140 3 80 420 58800
TOTAL N = 80 8300 880400
a) Halla la media de C.I. y los cuartiles. ¿Cuál es el significado del segundo cuartil?
• Media: 8300
103,7580
i ix fx
N
= = =
puntos
• Primer cuartil: el valor que ocuparía la posición 21 ( 25% de 80 20= ) es decir 1 100Q =
• Segundo cuartil: el valor que ocuparía la posición 41 ( 50% de 80 40= ) es decir 2 100Q =
• Tercer cuartil: el valor que ocuparía la posición 61 ( 75% de 80 60= ) es decir 3 120Q =
El segundo cuartil es el valor de la mediana, que deja a izquierda y derecha el mismo número de datos. ES
decir, es el que ocuparía la posición central si la muestra estuviera ordenada de menor a mayor.
b) Calcula la varianza y desviación típica
• Varianza: ( )2
22 2880400
103,75 240,937580
i ix fx
N
= − = − =
• Desviación Típica: 2 240,9375 15,5222 = = = puntos
9.- Se lanza un dado de 8 caras y se consideran los sucesos:
A = “Sacar más de 5” B = “Sacar un número par” C = “Sacar un múltiplo de 3”
Describe los sucesos A , B , C , C , A B , B C , B C− , A B , B C , A C , B C
6,7,8A = 2,4,6,8B = 3,6C = 1,2,4,5,7,8C =
6,8A B = 2,3,4,6,8B C = 2,4,8B C− =
1,2,3,4,5,6,8A B = 3B C =
3,6,7,8 1,2,4,5A C = = 6 1,2,3,4,5,7,8B C = =
10.- Para pensar: La figura que se muestra está compuesta
por 5 triángulos rectángulos isósceles idénticos. ¿Cuál es, en 2cm , la suma de sus áreas?
5 TriánguloA A=
Los triángulos son rectángulos e isósceles, sus dos catetos son iguales. Además, podemos saber que la
hipotenusa mide 30 : 5 6= centímetros. Aplicando el Teorema de Pitágoras:
2 2 2 2 26 36 2 18 18 3 2x x x x x= + = = = = centímetros.
Por tanto:
22 18218
5 5 5 5 5 45 2 2 2 2
x
Triángulo
b h x x xA A cm
= = = = = = =
(Otra alternativa: Cada triángulo es la mitad de un cuadrado que tiene por diagonal la
longitud de la base del triángulo ( 6 cm ). Por lo tanto, la altura de los triángulos coincide
con media diagonal del cuadrado y mide 3 cm .
Por tanto, el área de cada triángulo es: 26 3 189
2 2 2Triángulo
b hA cm
= = = = y el de
toda la figura sombreada: 25 5 9 45 TriánguloA A cm= = = )