WITTGENSTEIN, UN OUTSIDER EN LOGICA1

Luis Vega

En 1956, cuando aparece la primera edicin pstuma de las Ob-servaciones sobre los fundamentos de Ia matemtica de Wittgens-tein, Colin Wilson publica The Outsidef, un ensayo sobre alfunasfiguras prominentes de la segunda mitad del s. XIX y la primeramitad del s. XX, desgarradas por una dolencia ntima de autodes-plazamiento, extraamiento o destierro en este mundo miserable:hay filsofos como Niet4sche, escritores como Herman Hesse, auto-res polifacticos como William Blake, bailarines como Nijinski, pin-tores como Van Gogh, aventureros como Lawrence de Arabia, Sonseres acuciados por problemas existenciales como el sentido de lapropia vida, la autenticidad y la pureza personal, el filo de la na-vaja entre la lucidez y la locura; ni que decir tiene que estos ma-les del espritu no son exactamente los de la mayoria de la genteque hoy en da consideramos marginada. Wittgenstein no figura porcierto entre los personajes de C. Wilson. Su ausencia se debe segu-ramente a error u omisin. Segn es bien sabido, Wittgensteincomparte varios sntomas de este sndrome de almas bellas y sensi-bles: tambin l es un espritu herido por el deseo de purificacin(escriba a Russell desde Noruega: t'Quiz pienses que es una pr-dida de tiempo para mi pensar acerca de m mismo, pero cmopuedo ser un lgico sin ser un hombre. Antes que nada tengo queser purorr), por el sentimiento de destierro y la necesidad de salirde la miseria del mundo a travs del conocimiento (segn apunta

1 Este artculo es la versin ampliada de una conferencia en las WttgensteinIhardunalkiak celebradas en Zorroaga a primeros de Marzo de 1989 con mo-tivo del X aniversario de la Facultad de Filosofa del Pas Vasco.2 Hay versin castellana: El desplazado, Madrid: Taurus, 1975. Las referen-cias a Wittgenstein corresponden a las obras y ediciones siguientes: Dario f-losfco (1914-1916), Barcelona: Ariel, 1982; Tractatus Logico-Phlosophcus,Madrid: Alianza, 1987s: Phlosophcal Remarks (R. Rees, ed.), xford:Blackwell, \964; Philosophcal Grammar (R. Rhees, ed.), Oxford: Blackwell,1974: (1978): Observacones sobre los fundamentos de la matemtea, Madrid:Alianza, 1987; Investigacones filosfcas, Mxico/Barcelona: UNAM/Grijal-bo,1988.

Contextos VII/13, 1989 (pp. 79-103)

80 Luis Vega

en el Diario el 13-8-1916), por el cerco de la locura ("Si en lavida estamos rodeados por la muerte, tambin en la salud del en-tendimiento por la locura" decla un prrafo de las Observaciones...,V S 53, retirado despus de la primera edicin de 1956).

La condicin de outsider de Wittgenstein se echa de ver igual-mente en su actividad filosfica, al menos en sus consideracionesacerca de la lgica y de la matemtica y sobre todo a partir delos aos 30. No voy a sugerir -por ms que Wittgenstein hicierade la filosoffa una pasin personal- ninguna especie de explicacinpsicobiogrfica de sus rfextravaganciasrt (en el sentido ms cercanoal timo fextravagarir) con respecto a la lgica matemtica de suentorno. Slo quiero recordar la existencia de una automarginacinpareja de la filosofa wittgensteiniana en ese respecto, y sus pro-blemticas secuelas.

La marginacin o el aislamiento de la actividad filosfica deWittgenstein son naturalmente relativos, pero no por ello dejan deser deliberados. El mismo afirma: 'fEl filsofo no es un ciudadanode ninguna comunidad de ideas. Esto es lo que hace de l un fil-soforr. Esto, cuando menos, hace porque el pensamiento deWittgenstein se muestre irreducible a un ttismott filosfico pese alos esfuerzos de muchos por llevarlo a algn huerto al atomismo,al verificacionismo, al convencionalismo, al intuicionismo, alantirrealismo, etc. Cabe entender as la automarginacin de laactividad filsfica de Wittgenstein en un sentido -digamos- dbil:como la negativa a dejarse encasillar entre las doctrinas o losproductos de escuela. Pero habr que tomar ese autodesplazamientoen un sentido ms fuerte cuando su filosofa pretende ser ademsun ejercicio al margen de los cuerpos normales de conocimiento,con la decidida intencin de merodear por el exterior sin entrar enellos ni verse afectada por su desarrollo. Por ejemplo: "Mi tarea noes atacar desde dentro la lgica de Russell, sino desde fuera. Osea no es atacarla matemticamente -entonces hara matemtica-sino su posicin, su oficio. Mi tarea no es hablar sobre el teoremade Gdel sino evitar hacerlott (Observacioues..., VII S l9); nLafilosofa no puede en modo alguno interferir con el uso efectivodel lenguaje... Deja todo como est. Deja tambin la matemticacomo est y ningn descubrimiento matemtico puede hacerlaavanzartr. (Investigaciones filosficas, IS l24l; ttSe poa llamartambin fFilosofaf a lo que es posible antes de todos los nuevosdescubrimientos e invencionesu (Ibd., S 126). Esta autocontencin delas descripciones y elucidaciones filosficas responde, entre otrosmotivos, a la temprana conviccin Wittgensteiniana de que tanto lalgica como la matemtica se hacen cargo de si mismas y debencuidar de s mismas (vase, e.g., la anotacin de 13-10-1914 en elDiario).

Wittgeustein, ua outsider ea lgca 8l

As, pues, bien podramos hablar del "no-lugar" de Wittgensteinen la historia de la lgica coetnea. No slo se avendrla a sus de-seos expresos (sobre todo despus del Tractatusl de no contribuir aldesarrollo de la propia lgica o de la matemtica, sino que stesera un corolario prctico coherente de su actitud frente a la"nociva irnrpcinrf de la lgica matemtica (Observaciones..., V S24). Pero la situacin que l mismo provoca al reservarse el papela primera vista inocuo de observador o de crtico externo del librejuego de la lgica o de la matemtica, no es tan simple. Natural-mente, por seguir con esta imagen tan familiar en cualquier hogarwittgensteiniano, el observador de un juego no es un jugador ni elmirar por encima del hombro de los jugadores es una jugada. Locierto es, sin embargo, que esta aititud suele poner bastante ner-viosos a los que estn empeados en la partida (y en ocasiones losnervios de Bernays, Kreisel, Gdel o Hao Wang, por ejemplo, antealgunas observaciones de Wittgenstein, se notan a floi de pielr).Para colmo, Wittgenstein es un observador temible por su ingenui-dad: ftTiene el don admirable de ver siempre las cosas como si lascontemplara por primera vezt' -deca alguien tan prximo a lcomo F. Waismann. Ahora bien, un observador que se dedica acuestionar el sentido mismo de las jugadas como si no entendiera ono quisiera entender ciertas reglas bsicas del juego -y algo deesto hay en la descalificacin wittgensteiniana de lo que piensanlos lgicos matemticos acerca de sus programas (e.g. Hilbert) oacerca de sus resultados (e.g. Skolem, Gdela)-, no es precisamenteun mero espectador que se abstiene de intervenir en el desarrollode la partida. Asf pues, la automarginacin y la inhibicin profesa-das por la actividad filosfica de Wittgenstein no son tan cabalescomo pudiera parecer. Ni su anlisis de la lgica nace por Senera-cin espontnea y al margen de toda tradicin de pensamiento -elTractatus mantene, segn es bien sabido, un cordn umbilical con

3 Vid. P. Bernays (1959): "Comments on L. Wittgenstein's Remarks on theFoundations of Mathematcs", en P. Benacerraf y H. Putnam, eds.: Philosophyof Mathematics; &lected Readngs. Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1964,pp. 510-29; G. Kreisel; '\ilittgenstein's Rema&s on the Foundatons of Mat-hematcs", Britsh Journal for the Philosophy of *ence, 9 (1959), pp. 135-58.H. Wang: "Gdel and Wittgenstein" en Proc. ll Intern. Wttgensten Symp-sium. Wien: Hlder-Pichler-Tempsky, 1987, pp. 83-90.4 Por ejemplo, vd. a propsito del programa de Hilbert, F. Waismann (1967):Ludwig Wittgensten y el Circulo de Vena. Mxico: F.C.E., 1973, pp. 105 ss.,121 ss., 154 y sig.; a propsito de una prueba inductiva de asociatividad deSkolem, Phlosophcal Remarks, $ 163; a propsito del primer teorema de li-mitacin de Gdel, Apndice III (1938) de la P.I de Observacones..., pp.9l-97.

a2 Luis Vega

el logicismo-; ni su actitud frente al problema de la fundamenta-cin de la matemtica o frente al rumbo de la investigacin me-tamatemtica desde principios de los aos 30, es la de un observa-dor impertrrito. De hecho, a veces, el outsider adquiere las trazasde un francotirador. Aunque Wittgenstein asegura que la filosofano puede cambiar las prcticas lgicas y matemticas dadas, -msan; ni siquiera pretende examinar esas prcticas sino solamente loque los practicantes dicen acerca de ellas (Philosophical Grammar,396)-, la verdad es que sus reparos constituyen una amenaza almenos virtual para el desarrollo de la lgica matemtica coetneaen la medida en que declaran que una empresa de este jaez carecede sentido. El amago no pas de ah: de hecho, las observacionesde Wittgenstein sobre la desgracia que supone la irmpcin de lalgica en la filosofa de la matemtica se han quedado en un pu-ado marginal de sugerencias sin influjo apreciable en el curso dela lgica contempornea. Y este sera otro motivo, independientede los deseos del propio Wittgenstein, para hablar de su no-lugaren la historia de la lgica desde la dcada de los 30.

Con esto no quiero adelantar un juicio de valor sobre el pensa-miento de Wittgenstein en materia de lgica o de filosofa de lamatemtica. Slo quiero apuntar su extemporaneidad. Algunas desus observaciones, en particular a raz de su toma de posicin so-bre el programa de Hilbert y sobre ciertas lneas de investigacinlgica y metamatemtica subsiguientes, eran intempestivas. Dichoen trminos contrafcticos: si la incipiente tradicin lgico-mate-mtica las hubiera seguido al pie de la letra, se habra visto en latesitura de estar de vuelta antes de haber llegado a algn sitio.

Por ejemplo, en el congreso de Stanford (1960), A. Heyting pasarevista al curso de los acontecimientos desde la primera confronta-cin oficial entre el logicismo, el formalismo y el intuicionismo enel congreso de Knigsberg (1930)5. El informe de Heyting coincideen algunos puntos significativos con el madrugador diagnstico dela situacin que Wittgenstein haba confiado a M. Schlick (e.g. en

5 A. Heyting: "After thirty years", en E. Nagel, P. Suppes, A. Tarski, eds.:Logic, Methodology and Philosophy of kence (Proc. 1960 Intern. Congress).Stanford: Stanford University Press, l92; pp. 194-7. Cabe hacerse una ideade la confrontacin de Knigsberg a travs de las ponencias recogidas en P.Benacerraf y H. Putnam, eds.; Philosophy of Mathematics. klectel Readings.Cambridge/London/New York: Cambridge University Press, 1983', pp. 4l ss.No deja de ser sintomtico que la reaccin wittgensteiniana, recogida en laprimera edicin (1964) antes citada de esta eompilacin, haya desaparecidopor completo de la segunda edicin (1983) y de su reimpresin (1985) -lle-vndose consigo, incluso los sabrosos comentarios de Bernays referidos en lanota 3, supra.

Wittgeastein, na outsider ea lgica 83

la conversaciq de junio de 1930 en torno a lo que debera decirseen Knigsberg6). Heyting reconoce que las posturas irreconciliablesdel logicismo, el intuicionismo y el formalismo, pueden convenir enun difiso construccionismo; que la lgica ideal de la matemticaha cedido el paso a una lgica ms natural de las pruebas y losprocedimientos matemticos; y euer en general, la cuestin episte-molgica y crucial de la fundamentacin se ha visto desplazada porlas cuestiones tcnicas de caractetizacin, por el anlisis del al-cance y las limitaciones de los lenguajes lgicos y de los mtodosmatemticos disponibles con independencia de su filiacin (logicista,intuicionista, formalista). Por lo dems, a estas alturas de lostiempos, ya est claro que l prueba de consistencia no aumenta la'fiabilidad de una teora ni el rendimiento matemtico de un sis:tema. En suma, el desenlace de la crisis parece dar la razn a losprevisores reparos de Wittgenstein.

Pues bien, ino habr sido todo ese proceso el fruto de un malen-tendido que convendrd haberse ahorrado desde un principio? Talconclusin sera simplista y precipitada. De haberse neutralizado ensus inicios los programas de fundamentos y de hacer abortar enton-ces las neuras derivadas, e.g. la prueba de consistencia, por care-cer en absoluto de sentido, como pretenda Wittgenstein, tambinse habra desactivado el desarrollo metaterico que a partir de ladcada de los 30 abre el horizonte de las actuales teoras de lademostracin y teoras de modelos. En otras palabras: se habrlaarrojado al nio con la placenta por el sumidero. Un punto parad-jico de las prevenciones filosficas que sobrevuelan el desarrollo dela investigacin especializada reside a veces en el hecho de que lahistoria venga a darles la raz6n aunque no la haya tenido: perocuando se trata de un azar o de un desenlace interno del cursomismo de la investigacin, no cabe apropirselo retrospectivamenteiomo una consecuencia, y menos an como una garanta, delacierto o de la profunda sabidura que encerraban tales premonicio-nes: "Ya decla el filsofo...rl

De ah que la impresin general que produce el discurso de Witt-genstein sobre la lgica y la matemtica de su entorno sea hartoproblemtica. Por un lado, su discurso mantiene la pretensin origi-nal de observar y dictaminar desde fuera, desde sus propios supues-tos conceptuales y analticos, algo tan inmaterial como el buensentido de la lgica y de la matemtica, en vez de intentar algunasuerte de contribucin efectiva a su desarrollo. En esta lnea .laextemporaneidad puede beneficiarse de una presuncin de inocenciay cabe defender la automarginacin de Wittgenstein mediante una

6 Vid. el ya citado F. Waismann:,. Ludwig Wittgensten y el crculo de Viena,pp. 90-3 en especial.

84 Luis Vega

estlategia similar a la adoptada recientemente por Stuart G. Shan-ker/; la lgica y las matemticas estn bien como estn; lo nicoque hay que hacer como filsofos es desembarazarlas de malas fi-losofas (a saber: de ontologlas y de epistemologas hasta el puntode librar a los propios lgicos y matemticos de la tentacin defilosofar mientras prueban o calculan. Pero, por otro lado, no hayseguridad de que esta medida preventiva un tanto radical se avengacon la heurstica real del desarrollo de esas pruebas y clculos8. Ypor aadidura el dictamen crltico, obedeciendo a una concepcinfilosfica autctona de la lgica y de la matemtica antes que asus circunstancias reales de desarrollo, cobra un sesgo peculiar enel que ciertos mtodos y resultados aparecen distorsionados, lo cualno facilita la interpretacin de lo que Wittgenstein entiende oquiere dar a entender cuando alude a algunos puntos tcnicos, a losteoremas de limitacin de Gdel por ejemplo. En todo caso, elprecio a pagar por las relaciones deliberadamente ambiguas de unoutsider con su medio es el de una indeterminacin aadida a losproblemas habituales de interpretacin y de valoracin en filosofa.

Sin embargo, consciente de los riesgos, me aventurar a ilustrarla problemtica e incierta posicin de Wittgenstein en la lgica dels. XX mediante algn caso concreto. Uno podria ser el caso delas tablas veritativas: guarda relacin con la evolucin primera desu pensamiento hasta el Tractatus y puede mostrar la diferenciaentre una contribucin sustancialmente filosfica como la de Witt-genstein y otras contribuciones tcnicas, en particular la de E.Post, al desarrollo de la lgica. Otro caso podra ser el de la ideade demostracin: est relacionado con el cambio de rumbo del pen-samiento wittgensteiniano a partir de 1929 -en especial, con las

7 S.G. Shanker: Wittgenstein and the Turnng-Point n the Philosophy of Mat'hematics. Albany: State University of New York Press, 1987; 'Wittgenstein'sremarks on the significance of Gdel's theorem", en S. Shanker (ed.) Gdel'sTheorem n Focus, London, Croom Helm, 1988; pp. 155-256.8 Por ejemplo, en opinin de Gdel -manifestada a Hao Wang en dos cartasdel 7lllU1968-, la falta de "la actitud epistemolgica requerida hacia la me-tamatemtica y hacia el razonamiento no-finitista" fue la causa de que Sko-lem (1922) no llegara a probar la complecin del clculo de predicados deprimer orden; por eontra, su propia "concepcin objetivista de la metamate-mtica en general y del razonamiento transfinito en particular" fue la que lepermiti establecer este teorema (1930) y sus otros grandes resultados de 1931y 1938-40. Al margen del crdito que nos rnerezea el diagnstico de Gdelsobre el caso de Skolem, conviene recordar esta motivacin heurstica perso-nal asumida mucho tiempo antes de ser confesada. Vid. S. Feferman: "KurtGdel: conviction and caution", en S.G. Shanker, ed.; Gdel's Theorem,.., pp.96-114.

Wittgenstein, n outsider en lgica

Observaciones sobre los fundamentos de Ia matemtica- y puedeilustrar la automarginacin de la actividad filosfica de Wittgens-tein con respecto a la lgica matemtica que empieza a maduraren la fecunda dcada de los 30. En el primer caso tambin habrque considerar el marco originario en que se gesta la filosofa dela lgica primordial de Wittgenstein, asi como en el segundo casohabr que contextualizar su idea de la demostracin dentro de laevolucin relativamente autnoma de su pensamiento. Pero, antesque nada, vayan por delante unas observaciones. En primer lugar,no hay por qu extrapolar a otras reas de su pensamiento el jui-cio que merezca el acierto o desacierto y la influencia real de lasposturas de Wittgenstein en materia de lgica o de filosofa de lamatemtica; claro est que tampoco es razonable la extrapolacinconversa: la idea de que la importancia filosfica atribuida a suautor ya les asegura por principio un papel efectivo en la historiade la lgica. Por otra parte, la inoportunidad de algunos desplanteswittgensteinianos a la lgica matemtica no implica una descalifi-cacin global de todo cuanto Wittgenstein haya dicho sobre la na-turaleza de la lgica o de la matemtica. No cabe negar que losanlisis de Wittgenstein, siempre centelleantes, resultan en ocasio-nes agudos y certeros; lo son, sin ir ms lejos, sus crticas de laconcepcin platnica de los objetos lgicos, de la creencia ingenuaen cuerpos de significado, de la pretensin fundamentalista en ma-temtica, como lo es su vindicacin de los aspectos pragmticos yparadigmticos de la prctica real de la demostracin o de laprueba matemtica. En suma; creo que si bien no cabe apreciarcontribuciones sustanciales y efectivas de Wittgenstein al desarrollotcnico de nuestra lgica contempornea -e incluso algunas de sussugerencias, de no haber sido en su momento desodas en mayor omenor medida, habran resultado en esa misma medida contraprodu-centes desde el punto de vista de la historia del desarrollo de estalgica-, con todo no se pronunci absolutamente en vano y algnrastro hay de su pensamiento crtico en nuestra concepcin de lalgica y de las matemticas. Esto puede consolar a los fans deWittgenstein y los partidarios de contemplar las virtudes de la filo-sofa sub specie aeternitatis, pero no hasta el punto de considerarque Wittgenstein ha desempeado un papel decisivo en la confor-macin actual del anlisis lgico o ha marcado algn "turning-pointrr en la filosofia de las matemticas. Por curioso que parezca,debemos mucho ms en ambos sentidos al tterrneort programa deHilbert sobre la teora de la demostracin, pongamos por caso, quea las certeras observaciones de Wittgenstein sobre los usos de laprueba matemtica; ms an, por irnico que resulte, hoy podemoscerciorarnos del acierto de algunas de exas observaciones no a laluz de las razqnes wittgensteinianas -que en ocasiones son especu-

85

86 Luis Vega

lativas y otras veces brillan por su ausencia-, sino en la perspec-tiva abierta por los que se reclaman herederos, en algn sentido,de la teora de la demostracin de Hilbert (e.9.; desde Gentzenhasta Dag Prawitz).

1. El marco originario del pensamiento lgiel de Wittgenstein

El legado del s. XIX en materia de lgica estaba formado, comoya es de sobra conocido, por dos lneas principales de investiga-cine. Una parta de Boole; trabajaba con un lgebra abstracta desmbolos electivos y de operaciones susceptibles de interpretacinlgica al poder versar sobre clases o sobre proposiciones o sobreprbabitidades. El anlisis de los llamados I'relativosrf habla propi-ciado, a travs de Peirce, la identificacin de unos cuantificadoreslgicos y el estudio de su aplicacin a dominios finitos o infinitosdeterminados; tambin permita, gracias a Schroeder, la cuantifica-cin de los subdominios de un dominio dado, e.g. de modo que unafrmula como 'rx(a)'poda leerse frla proposicin

td vale para cadadominio x en una multiplicidad dada ..1o (i.e. en un universo de in-dividuos)?? No voy a sugerir que este anlisis distinguiera ya las di-mensiones que ms tarde se llamaran sintctica y semntica; perosi barruntaba la idea de interpretacin de un clculo y abra la po-sibilidad de operar sobre dominios. La otra lnea de investigacin,inaugurada por Frege, consideraba la lgica como el lenguaje sim-blico de los contenidos del pensamiento puro: expresamente comouna conceptografa; tambin, tcitamente' como una objetografa.Pues la lgica vena a ser la ciencia ms general sobre lo que hay,y lo que hay son objetos y conceptos. La lgica haba de servir ados objetivos, un.o analtico, para cuya consecucin haba de contarcon la notacin adecuada, con una escritura transparente de loscontenidos puros del pensamiento, y el otro metdico, dirigido a lafundamentacin de la matemtica, cuyo logro pareca exigir la uni-ficacin axiomtica de las leyes lgicas del pensamiento, las leyes

9 Vid. acerca de estas tradiciones, booleana y fregeana, el artculo ya clsicode J. van Heijenoort: "Logic as calculus and logic as language", Synthse' 17(1967), pp. 324-30, quizs un tanto sesgado en su estimacin del programa deBoole por la propia ptica fregeana. Pueden verse asimismo W.D. Goldfarb:"Logic in the twenties: the nature of quantifier", The Journal of SymbolicLogic, 44/3 (19791, pp,pp.35l-8; I Grattan-Guinnes: "Notes on the fate ofLogicism from Principia Mathematica to Gdel's Incompletability Theorem"'History and Philosophy of Logic, 5 (1984), pp.67-78; G'H; Moore: "Theemergence of first-order logic", en W. Aspray y Ph. Kitcher, eds.; Historyand Philosophy in Modern Mathematics (Minnesota Stud. in Phil. of Science,XI).Minneapolis; University of Minnesota Press, 1988, pp. 95-135.

Wittgenstein, m outsider en lgica

ms generales del ser verdadero. El lenguaje lgico hablaba de todocuanto hay, de los objetos en trminos nominales y de los concep-tos en trminos funcionales: los predicados atribuidos a un sujeto'un argumento, son funciones cuyos valores son valores veritativos;el enunciado simple expresa un sentido y designa l mismo un valorde verdad, los enunciados compuestos son a su vez funciones veri-tativas compuestas gobernadas por el principio de composicionalidaddel significado. Los cuantificadores, en fin, denotan funciones desegundo nivel: la generalizacin de conceptos o funciones de primernivel para todo argumento o para alguno al menos; por ejemplo, elcuantificador universal puede leerse frpara todo ente x vale que ...t?.Es obvio entonces que una asercin como "Si para todo )cF(x), F(yl constituye una ley lgica -frlo que vale de todo, vale decualquierarr- absolutamgnte palmaria. En esta perspectiva, la lgicaes un lenguaje universal; su universo de discurso es el universo ytoda asercin lgica es una verdad absolutamente general (si acasocabe discernir un universo peligrosamente homogneo como el deFrege y un universo precavidamente estratificado como el de lateora de los tipos de Russell; en este ltimo caso, algunas expre-siones lgicas -e.g.; la de identidad- pueden resultar ambiguas, peroninguna asercin lgica deja de estar interpretada pues de suyo en-traa y trasluce un contenido absolutamente cierto y verdadero).En realidad, ni siquiera llega a plantearse la idea de interpretacino la idea de dominio de interpretacin. La lgica es adems unlenguaje sistemtico y autosuficiente: nada cabe decir lgicamentefuera del sistema. En fin, tampoco hay lugar para una lgica-de opara una lgica subyacente en un cuerpo de teora, de modo pare-cido a como la articulacin de los niveles del lenguaje lgicovuelve cualquier acotacin parcial (una lgica de enunciados, unalgica de piedicados mondi,cos, una lgica de primer orden, etc.)en una restriccin arbitraria. La lgica es una nica gran lgica ytodo lo que quepa decir de ella, o de sus partes articuladas' seruna concesin informal a los efectos de presentacin o de entendi-miento de la escritura simblica, es -como dir a veces Wittgens-tein- mera ttprosatt aadida. Esta conviccin y la pretensin detransparencia del lenguaje lgico en su calidad de lingua characte-ristica bloquean por principio la viabilidad de una metalgica; ydado que las teoras matemticas han de asentarse sobre la propialgica, tambin parece truncada la oportunidad de una metamate-mtica. en suma, no tiene sentido una metateora formal de lasciencias deductivas puras. El descubrimiento de las propiedades yde las relaciones internas de los subsistemas deductivos ser msbien una cuestin fctica o frexperimentalrr, algo que irn mostrandoel uso y el desarrollo de estos sistemas en la prctica.

87

88 Luis Vega

La ereccin de los Principia Mathematica de Russell y Whitehead(1910-13) en paradigma de la lgica matemtica -asumido por co-lectivos como la escuela polaca de entreguefras o el Crculo deViena, y por personas independientes tan dispares como C.I. Lewis,E.L. Post o H. Scholz- instaura la hegemona de la lnea fregeanade investigacin y la marginacin relativa del lgebra booleana dela lgica. La conversin de los Principia a lo largo de la dcadade los 20 en una especie de matriz disciplinaria ocurre a pesar deque la ventaja inicial correspondiera a la alternativa algebraica:sta haba entrado a principios del siglo en una va de normaliza-cin con las contribuciones de un Schroeder o de un Couturat, yms tarde sigui estudiando a su aire las condiciones de aplicacinde las ecuaciones lgicas en diversos dominios prefijados. Por estecamino, los resultados de Lwenheim (1915) preludian algunos temashoy familiares: la decidibilidad del clculo elemental de predicadosmondicos, la distincin entre la validez de una frmula elementalen cada dominio finito y su validez lgica propiamente dicha (i.e.su validez en cualquier dominio numerable); ms adelante, Skolem(1920) generalizar este resultado a conjuntos de frmulas y abrirunas perspectivas de caracterizacin, como la de la lgica de pri-mera orden o la de ciertos conjuntos de frmulas elementales deci-dibles. Todo esto no significa, por cierto, la instauracin de unametalgica ni la fundacin de la semntica. Para alcanzar el nivelsistemtico de la metateora a Ia tradicin logicista le faltaba elrfmetarr, a la tradicin algebraica le faltaba la t'teoratt. Y en rela-cin con la semntica, tambin convendrla distinguir diversas eta-pas de constitucin; por ejemplo: la fase ms bien filosfica frege-ana, las primicias de universos de discurso o dominios de aplicacinque adelanta la tradicin algebraica, la semntica cientifica queinaugura Tarski en los aos 30 con la consideracin expresa de lainterpretacin de un lenguaje y de sus posibles dominios de refe-rencia, y en fin la semntica hoy estndar -la teora de modelos-que considera la variabilidad tanto de interpretaciones como dedominios de interpretacin. Un claro sntoma de la ausencia de se-mntica propiamente dicha en la tradicin logicista es, por ejem-plo, el denominar rrproposiciones con sentidorr a las expresionesenunciativas bien formadas como hace Wittgenstein (denominacintodava corriente a principios de los aos 30 incluso en medios nologicistas); otro sntoma podra ser la distincin de Ramsey (1925:rrThe foundations of mathematicsrr; 1926: rrMathematical logic") en-tre paradojas formales, lgicas o matemticas, y paradojas empri-cas, epistemolgicas o aun psicolgicas -en suma: pragmticas (e.g.;la del mentiroso)-, pero no por cierto ttsemnticastf como mal suele

Wittgenstein, u outsider en lgica 89

decirse desde el punto de vista de la realidad histrica (no tienennl ot" califiiacin ni esta calidad en los textos de Ramsey)lo.

Sobre el teln de fondo de la tradicin Frege-Russell, y en buenaparte contra ella, empieza a desarrollarse el pensamiento de Witt-genstein. Cabra pensar incluso que sus intereses y su conocimientotcnicos e internos, en materia de lgica estrictamente dicha, ape-nas llegan a sobrepasar ese primer horizonte noiza de los Princi-pia Mathematica, aunque sus sugerencias crticas y filosficas va-yan adquiriendo desde el principio mayores vuelos. Por lo menos'segn todos los visos y en ltimo trmino, no son demandas de de-sairollo de la propia lgica sino ms bien motivos de orden filos-fico -a veces una especie de ajuste personal de cuentas- los quedeterminan el accidentado curso de este pensamiento. Veamos unpoco por--encima la evolucin de esta filosofa wittgensteiniana dela lgicar I

2. La evolucin de Wittgenstein en filosofa de la lgica

En trminos sumamente esquemticos y sin el menor deseo deentrar en la vieja guerra de subndices (Wittgensteinl , Wittgens-teino, ...), voy a mencionar algunas fases evolutivas y ciertas con-vicclones que se mantienen constantes.

Una primera fase cubrira hasta las Notas sobre lgica de 1913.Wittgenstein inicia la crtica de dos puntos del simbolismo frege-ano: el tratamiento de las proposiciones como nombres de lo Ver-dadero o de lo Falso, y de las expresiones lgicas como denomina-ciones de funciones; asimismo, apunta el tema de la forma generalde la proposicin que luego ser central en el Tractatus. Aparte deesbozar sus preocupaciones trascendentales en torno a la lgica' ellenguaje y el mundo, Wittgenstein busca una filosofa correcta dela simbolizacin de las proposiciones lgicas mismas: una condicinnecesaria de esta correccin ser declarar su estatuto singular y

l0 F.P. Ramsey: Foundatons. Essays in Phlosophy, Logic, Mathematics andEconomics (D.H. Mellor, ed.). London; Routledge & Kegan Paul, 1978; pp.l7l-2 y 227-8 en particular.I 1 Una visin general de la filosofa de la lgica del Ttactatus puede verseen mis Lecturas de Lgica I. Madrid; UNED, 1986 reim.;3, pp' 89-107. So-bre su cambio de concepcin de los aos 30-40, vid. G'P. Baker y P.M.S.Hacker: Wttgenstein, Rules, Grammar and Necessity. Blackwell, 1985' pp. 307ss. en especial. Hay observaciones de inters en B. Stroud (195):'\Mittgenstein and logical necessity", incluido en G. Pitcher, ed.: Wittgensten.The Philosophcfl Investgatons (A Collecton of Critcal Essayd. New York'Macmillan 1968; pp.477-97. Una revisin de conjunto es la que ofrece G.Baker: Wttgensten, Frege & The Vienna Circle. Oxford, Blackwell, 1988.

90 Luis Vega

una condicin suficiente ser mostrar ese estatuto sobre la base dela constitucin bipolar de su sentido. En esta perspectiva, todaproposicin indica una direccin hacia la verdad o la falsedad re-presentada por la notacin .ra-b>r. Con arreglo a esta notacin, tprse traduce por ta-p-b|, la negacin '-p' portb-a-p-b-at, la doble ne-gacin '--pt por 'a-b-a-p-b-a-'; pues bien, todas estas proposicio-nes tienen el mismo significado; es decir: la presencia de constan-tes lgicas no marca una diferencia de contenido porque los sm-bolos lgicos no denotan cosa ni objeto alguno y, en realidad, comono hay objetos lgicos tampoco hay constantes lgicas.

La segunda fase discurre desde las Nofas dictadas a Moore enl9l4 hasta el Tractatus. Wittgenstein enriquece su posicin inicialcon nuevas ideas y precisiones. Toda proposicin significativa es unhecho y una pintura (o figura) lgica de un hecho. Toda proposicinse deja analizar como una funcin veritativa de proposiciones ele-mentales mutuamente independientes. Una proposicin elemental esfuncin veritativa de s misma; una proposicin no elemental re-sulta funcin veritativa de proposiciones elementales; toda funcinde verdad es resultado de la aplicacin sucesiva de un nmero fi-nito de operaciones de verdad a las proposiciones elementales(5.32); todas estas operaciones, a cargo de los operadores lgicoshabituales, pueden reducirse a una sola, a la operacin ME) delTractatus que cabra leer como un conector de negacin conjuntarfni..., ni...rt; viene a ser equivalente a la frampheckrf de Peirce o laoperacin dual de la llamada I'barra'f de Sheffer (5.5 -5.52). Esteplanteamiento puede sugerir algo as como un proceso recursivo degeneracin de todas las funciones de verdad posibles -de toda posi-ble proposicin- a partir de las proposiciones elementales. ParaWittgenstein representa algo de mayor trascendencia an; muestrala forma general de la proposicin (5.471. Segn esto, los srnboloslgicos slo marcan diferencias notacionales reducibles dentro deesa formacin lgica general. Un avance significativo de esta fasees la idea de que las proposiciones lgicas son tautologas. En latradicin Frege-Russell, la generalidad absoluta de las verdades l-gicas se poda expresar mediante variable libres, mediantefffunciones proposicionalesrf como decan los Princp.a. Wittgensteinhaba observado que esta formulacin no depara proposiciones, porlo que hay que desterrar las variables libres o reales; adems obje-taba que este modo de expresin no permite distinguir entre unageneralidad accidentalmente verdadera y la validez esencial quedistingue a las proposiciones de la lgica; as pues, las proposicio-nes lgicas se han de formular ms bien como generalizaciones detautologas. Este punto a primera vista notacional supone una nuevaconcepcin de las proposiciones lgicas: su peculiaridad ya no re-side tanto en su generalidad omnmoda como en su forma esquem-

9lWittgenstein, ua outsider en Igica

tica. Desde la conferencia II de Nuesro conocimiento del mundoexterior (1914) hasta el c. XVIII de la Introduccin a la filosofa deIa matemrrca (1919), vemos a Russell vacilar entre una y otraconcepcin, entre la suma generalidad y la validez formal, esque-mtica, de las verdades lgicas, seguramente bajo el influjo deWittgenstein. El Tractatus sienta definitivamente la condicin es-quemtica de las proposiciones lgicas: 'd es una- proposicin lgicasii cualquier proposicin de la misma forma que tat es una tautolo-ga, es asimismo lgicamente vlida. Por otra parte' las tautologfasno dicen nada, no son temticamente neutrales por mor de su ge-neralidad sino sustantivamente vacuas; se limitan a mostrar su va-lidez en un simbolismo perfectamente unvoco como el del Tracta-us. Al margen de las repercusiones filosficas generales de estademarcacin crucial entre decir y mostrar, creo que la distincinrepresenta una culminacin de los ideales de transparencia y auto-suficiencia del simbolismo lgico acariciados por el logicismo, y porello pretende efectuar un rasurado radical de su primitiva barbaplatnica. En fin, Wittgenstein mantiene la universalidad y unicidadde la gran lgica, pero a su manera; como una manifestacin de landole trascendental de la lgica, cuyos lmites son irrebasables ycoinciden con los del lenguaje, pues no cabe un lenguaje ilgico' ycon los del universo mundo, pues la lgica presenta a travs dellenguaje el orden a priori del mundo, el orden de posibilidades quedeb ser comn a pensamiento y mundo (Investigaciones filosficas,r s 97).

Cuando Wittgenstein vuelve a ocuparse de lgica y de matemti-cas a partir de 1929, renuncia a algunas creencias bsicas anterio-res, por ejemplo a la suposicin de unos elementos del anlisis l-timos, atmicos e independientes, y a la equiparacin de los cuan-tificadores con sumas o con productos lgicos finitos. Pero sobretodo reacciona crticamente contra la motivacin filosfica generaldel Tractatus, en especial contra la idea de que la lgica estdada en la naturaleza esencial del lenguaje y representa la estruc-tura lgica del mundo. Su punto de partida es ahora la existenciade sistemas proposicionales, Satzsysteme, nocin que abre la pers-pectiva ulterior de los juegos de lenguaje. Este punto de vista noslo reniega de la independencia mutua entre las proposicioneselementales (ante todo, para resolver problemas de anlisis comolos suscitados por el sistema de las proposiciones sobre colores,donde ttesto es rojott implica tresto no es azulfr o es incompatiblecon rresto eb verdett). Tambin descarta obviamente la universalidady la unicidad de la gran lgica contemplada en el Tractatus. Witt-genstein madura su nueva concepcin durante los ltimos aos 30 yLa primera mitad de los 40, cuando aborda las Investigaciones filo-sficas y escribe las Observaciones sobre los fundamentos de la

92 Luis Vega

matemtica. Ahora las reglas lgicas de inferencia se encuentranentre las reglas gramaticales de un sistema o un juego de lenguajey las tautologas olvidan su anterior constitucin veritativo-funcio-nal: td es una tautologa de S ssi es una proposicin lgica de Sen el sentido de ser el correlato de una regla de inferencia de Scuya suspensin o violacin trae consigo el cambio de sistema o dejuego de lenguaje. Por ende, la comprensin del funcionamiento deun operador lgico es inseparable del reconocimiento de una regla.Es curioso que este cambio de concepcin discurra en paralelo aciertos desplazamientos que tienen lugar en la propia lgica, e.g. ala disolucin de las grandes lgicas unitarias y la consideracin dediversos lenguajes lgicos habilitados para distintos niveles y mbi-tos de anlisis, -incluidas las lgicas fralternativastt que parecen to-marse en serio a partir de los aos 30-: e incluso parece coincidircon el nuevo trato de los operadores lgicos en los sistemas de de-duccin natural que tambin aparecen en esa dcada. Ahora bien,la evolucin del pensamiento de Wittgenstein tiene todos los visosde ser una autocrtica autctona, un ajuste personal de cuentas conla filosofa de la lgica del Tractatus, al margen de lo que ha idoaconteciendo en lgica. Esta impresin no slo obedece a su ritmopeculiar: cuando Hao Wang comunica a Gdel que Wittgenstein harenunciado en las Noas de 1932 al atomismo y al finitismo delTractatus, Gdel se limita a preguntar: "iY qu ha estado haciendoWittgenstein todos estos aos?rr. Tambin se debe a la peculiar at-msfera que rodea este cambio y a la recurrencia de antiguas cla-ves de su pensamiento. Por esa atmsfera entiendo la ambigedadsustancial que impregna los usos wittgensteinianos del trminoI'lgica", una ambigedad creciente con los aos hasta alcanzar lapolisemia informal de Zettel (1950) (sta si es una contribucin po-pular del "ltimott Wittgenstein: la proliferacin de usos del sustan-tivo y del calificativo rlgica', cuya clasificacin hoy en da podraasemejarse a la clasificacin de los animales segn una venerableenciclopedia china que han exhumado el doctor Kans Kuhn y JorgeL. Borges). Es obvio el contraste entre esa ambigedad e informa-lidad wittgensteiniana y la progresiva tendencia a la caracteriza-cin tcnica de lenguaje y mtodos entre los lgicos y los metama-temticos desde los aos 30. Por lo que se refiere, en fin a losmotivos recurrentes y las convicciones constantes a lo largo de laevolucin de su pensamiento, baste mencionar dos. El primero es laconviccin de que las pautas lgicas muestran o regulan un usopero no lo justifican y, en general, tanto la lgica como las mate-mticas eluden cualquier justificacin pues saben cuidarse de smismas: si el secreto poda residir al principio en una estructurasimblica transparente, como pretenda ser la notacin del Tracta-us, luego ser la prctica misma de las reglas inferenciales lgicas

Wittgenstein, n outsider en lgica

y de las ecuaciones matemticas la que venga a garantizar su au-tonomla y su transparencia. El segundo motivo recurrente es laconviccin de que las proposiciones lgicas tienen un estatuto pe-culiar, son radicalmente distintas de otras proposiciones cuales-quiera; por ejemplo, no hay detrs de ellas nada que descubrir: niobjetos de referencia, ni significados previos a su uso, ni en gene-ral puede haber algo as como una verdad lgica o matemticadada antes, o al margen, de una prueba. Por eso estas proposicio-nes no slo son decidibles: estn decididas.

3. El caso de las tablas veritativas

Con estos antecedentes sobre el marco originario y la evolucindel pensamiento de Wittgenstein, podemos pasar a considerar loscasos concretos que antes haba anunciado. En primer lugar, elcaso de las tablas veritativas del Tractatus.

El hallazgo de este procedimiento de decisin para determinar elvalor de verdad de un enunciado fue un descubrimiento mltiple afinales de la segunda dcada del presente siglo. Peirce ya habasentado un precedente en 1885 al sugerir algo parecido para diluci-dar la validez lgica de una frmula construida con la negacin yel condicional, en la lnea de lo que Quine ha venido a llamar mu-cho despus tanlisis veritativo-funcional"l2. Bernays, en su Habili-tationschrift de 1918, utiliza matrices de asignacin de valores ve-ritativos para estudiar la consistencia y la independencia de losaxiomas del clculo de enunciados; Lukasiewicz tambin conocaantes de 1920 un mtodo de asignacin de valores veritativos entrminos de cero y uno, que luego desarrolla en la presentacin deun sistema de lgica trivalente. Con todo, el uso ms notable deeste procedimiento es el que tiene lugar en la trlntroduccin a unateora-^ general de las proposiciones elementalest' de E.L. Post(1921)'r. Merece la pena detenerse en l no slo por sus mritospropios sino por su valor como marca de contraste para apreciar laposible diferencia entre una contribucin interna al desarrollo de lalgica y una contribucin ms bien filosfica a la discusin entorno a su naturaleza (como la del Tractatusl, Post establece, paraempezar, que las funciones de negacin y disyuncin son adecuadaspara el conjunto de las funciones veritativas del subsistema propo-sicional de Principia Mathematica porque son capaces de expresar

12 Ch.S. Peirce (1885): "Sobre el lgebra de la lgica. Una contribucin a lafilosofa de una notacin", en sus Escrtos lgicos, Madrid: Alianza, 1988,pg. 181 en particular.13 E.L. Post (1921): "Introduccin a una teora general de las proposicioneselementales", en mis Lecturas de Lgca I ya eitadas, 10, pp. 317-51.

93

94 Luk Vega

la funcin correspondiente a cualquier tabla de verdad compuestapor dos valores, positivo y negativo. En segundo lugar, prueba laconsistencia y la complecin o suficiencia de este subsistema: unacondicin necesaria y suficiente para la asercin de una funcin deeste gnero como consecuencia de sus postulados en PM es la con-dicin de que todos sus valores veritativos sean positivos. Hay tresaspectos de esta contribucin de Post dignos de especial mencin:a) Si el marco de referencia son las funciones veritativas que su-giere PM, la raz operativa de su procedimiento de tabulacin re-side en el mtodo de expansin de Boole, i.e. en ecuaciones deltipo de "F(x) = f(l)x + f(0)(1-xl'. b) Post aprecia perfectamente ladistincin entre la rrteora", las pruebas dentro del sistema, y larfmetateorarr, Ias pruebas acerca de las propiedades del sistema, altiempo que sabe acotar el subsistema proposicional de PM como unsistema deductivo cerrado, para cualquier proposicin a del lenguajedel sistema, o bien a es derivable en el sistema y constituye unafuncin positiva o bien la adicin de a como otra asercin mstorna el sistema inconsistente. Por otro lado, si la prueba de con-sistencia de Post sigue la pauta marcada por Hilbert (1904) de ate-nerse a una caracterstica hereditaria dentro del sistema -caracte-rstica de las aserciones primitivas que, travs de las reglas de de-duccin, se trasmite a todas las aserciones derivables y slo aellas-, el mismo Post alude expresamente al abordar la prueba aunas primicias adelantadas por Schroeder (1981). c) La tabulacinde los valores positivo y negativo no depara en realidad una se-mntica; representa ms bien una asignacin operacional de valorescon miras a la obtencin de una caracterstica efectiva de lasaserciones del sistema. Por lo dems, un proceder anlogo puedeextenderse a la consideracin de sistemas m-valorados siendo m unnmero natural cualquiera mayor que 2. En suma, una contribucincomo la de Fost se integra en las lneas de investigacin abiertaspor la evolucin interna de la lgica y, por otra parte, contribuyea la apertura de nuevas perspectivas de desarrollo, e.g.; al recono-cimiento de subsistemas lgicos y de anlisis metalgicos, a la ex-perimentacin formal con sistemas de evaluacin no bivalentes.

Las tablas veritativas de Wittgenstein tienen a su vez una moti-vacin original: son un avance decisivo en la lnea abierta por lanotacin ..a-br', i.e. en el logro de una determinacin precisa de laforma general de la proposicin y en la autoexposicin efectiva delestatuto tautolgico de las proposiciones lgicas. Por eso alcanzana tener un doble sentido, tcnico en parte pero sobre todo filos-fico. En su sentido tcnico, Wittgenstein las considera un procedi-miento efectivo no slo de decisin y de construccin de toda fun-cin veritativa del Tractatus, sino de demarcacin de las tautolo-gas o esquemas tautolgicos (siempre ser posible calcular si una

Wittgenstein, ua outsider en lgica

proposicin pertenece a la lgica calculando las propiedades lgicasdel simbolo (6.122, 6.126). Adems, tanto en la versin tabular de4.31-4.45, 5.101, como en la versin diagramtica de 6.1203, reve-lan la extensionalidad del punto de vista veritativo-funcional; todoslos resultados de operaciones veritativas con funciones veritativasque sean una y la misma funcin veritativa de proposiciones ele-mentales, son idnticos (4.46). Estas dos virtudes del Tractatus, laidentificacin justa de las proposiciones lgicas y la extensionalidaddel anlisis lgico fueron sumamente encarecidas por Ramsey. Peroen estos puntos mismos que podramos calificar en principio decontribuciones a la lgica ya late la trascendencia peculiar de todauna filosofa simblica. Por ejemplo, el sentido primordial de la ex-tensionalidad estriba en dar lugar a un programa notacional y ana-ltico reductivo; a la exclusin del rgimen intensional (5.541), a lareduccin finitista de la cuantificacin (5.52)' a la eliminacin dela identidad (5.53-5.5303). Y el significado bsico de la decidibili-dad formal de la validez de los esquemas tautolgicos (el que a lasola luz del smbolo pueda reconocerse su validez, hecho que encie-rra en s toda la filosofa de la lgica (6.113), o el que en lgicaproceso y resultado sean lo mismo de modo que no caben las sor-presas (6.1251, 6.1261)), descansa en las pretensiones especulativasde transparencia y de autosuficiencia de la lgica. En realidad' lalgica no slo sabe cuidarse de s misma, sino que no le queda msremedio que mostrarse a s misma. Entonces iqu podemos haceren lgica una vez alcanzado este estado de manifestacin beat-fica? No cabe plantearse las relaciones entre los cuantificadores ylos operadores veritativos funcionales en diversos dominios finitos oinfinitos, como harn los brotes tardos de la rama algebraica.Tambin es desafortunada la constitucin terica, axiomtica, delcuerpo de las proposiciones lgicas, que propone el logicismo(6.127) y est de ms la prosa de las reglas y de los supuestos de-ductivos informales explayada en PM, Pero igualmente sobra cual-quier tratamiento metaterico de la lgica (6.113), pues toda tau-tologa muestra por s misma que lo es (6.127), la demostracinaqu no es sino un medio mecnico auxiliar para facilitar su reco-nocimiento cuando se trata de una tautologa complicada (6.1262')y, para colmo, es obvio que las leyes lgicas no pueden estar so-metidas a su vez a unas leyes lgicas (6.123). En general, nada sepuede decir sobre la forma lgica de cualquier proposicin dada, nitiene sentido hablar sobre las propiedades lgicas de las proposicio-nes: son algo que toca mostrar a la notacin adecuada. Lo que spodemos es aclarar la relacin entre las proposiciones lgicas y elmundo cuyo armazn representan, o la relacin entre lgica y ma-temticas (la matemtica es, por cierto, un mtodo de la lgicaque trabaja con ecuaciones y a travs de ellas tambin resulta ca-

95

96 Luis Vega

paz de cuidarse y entenderse por sl misma (6.23n, 6.23411. Pode-mos, en suma, hacer filosofla de la necesidad, pues la investigacinen lgica es la investigacin de toda legaliformidad (6.3). Pero siseguimos insistiendo: qu podemos hacer dentro de la lgica y' enparticular, dentro de ese anlisis de sistemas o subsistemas -como'sin ir ms lejos el de Post- que est dando unos primeros pasosdecisivos en este primer tercio de s. XX?, la respuesta del Tracta-us seria -creo-: ffl-o que cabe hacer es dedicarse a otra cosarf.

4. De las tablas veritativas a la idea de demostracin: la cuestinde la determinacin del significado de los operadores lgicls.

Despus de 1929 -y tras haberse dedicado en efecto durante va-rios aos a otras cosas- Wittgenstein empez a entender las tablasveritativas como una especie de explicacin del significado de losconectores proposicionales, explicacin que adems contribufa a pu-rificar la autonomfa de las proposiciones lgicas -descargadas de latarea transcedental anterior de reflejar las propiedades lgicas dellenguaje y del mundo. Esto no implica, desde luego, la adopcin deunos puntos de vista hoy corrientes en semntica estndar: porejemplo, la idea de que las proposiciones lgicas pueden derivarsecomo consecuencias de los significados de sus operadores lgicos(e.g.; de modo que el carcter tautolgico del esquema de equiva-lencia de la doble negacin t--p = pr se funda en el significado dela negacin veritativo-funcional), o la idea de que la validez se-mntica de unas proposiciones de S puede servir como marca ogua independiente de contraste para las reglas pertinentes de suderivacin formal en S (e.g.; de modo que la regla R slo es acep-table en S si preserva el valor designado de las premisas y lotransmite a la conclusin). Tales consideraciones carecen de sen-tido: evidencian una mitologa del significado, la creencia en unpresunto Bedeutungskrper. Segn Wittgenstein, lo que ocurre esms bien que las tablas veritativas, al igual que otras explicacionesdel significado, son reglas gramaticales. Cuando reconocemos'--p = pt como una proposicin lgica necesaria, nuestro reconoci-miento no dimana del significado de f-r sino que lo constituye: staes precisamente una de las reglas del uso pertinente de t-t en elsistema considerado. Por ejemplo, el movimiento diagonal del alfilno se funda en un atributo previo de esta pieza, sino que, por elcontrario, es la regla del ajedrez que establece ese movimiento unade las que confieren a esta pieza el papel de alfil en el juego. Di-cho en los trminos de las Observaciones... (VII S 30); las reglas deinferencia dan significado a los signos lgicos porque son reglas deuso de esos signos, forman parte de determinacin de su significadoy, etr este sentido, las reglas de inferencia no pueden ser falsas

97Wittgenstein, un outsider en lgica

como tampoco pueden ser correctas. Son ms bien instancias para-digmticas de pensamiento y discurso aprendidas con el aprendizajey el uso del lenguaje.

Una tradicin del anlisis lgico que se remonta a las investiga-ciones de Gentzen (1935) y hoy tiene diversas ramificaciones, havenido trabajando en una lnea en parte parecida: en el intento dedeterminar constructivamente el sentido de los operadores lgicosmediante sus reglas de introduccin y de eliminacin en un sistemade deducibilidad definido o, si se quiere, en una teora de la de-duccin, Gentzen haba apuntado (1935): "Untersuchungen ber daslogische Schliessenrr, ii S 5.13): "Las introducciones representan -poras decir- las tdefinicionesr de los smbolos correspondientes, y laseliminaciones no son en ltimo anlisis sino las consecuencias deestas definiciones. Cabe expresar este hecho como sigue: al elimi-nar un smbolo, podemos emplear la frmula, de cuyo smbolo prin-cipal nos ocupamos, solamente en el rsentido conferido por la in-troduccin de tal smbolot". As pues, la regla de introduccin deun operador lgico determina el "significadot' o el cometido de esteoperador en el marco deductivo considerado (un sistema intuicio-nista, NJ, o un sistema clsico, NK) y la regla de eliminacin co-rrespondiente no hace sino confirmar este sentido: se supone enton-ces que las reglas de introduccin se justifican por s mismas alconstituir el frsignificado" de los operadores admisibles en ese con-texto deductivo y las reglas de eliminacin se justifican a su vezpor su congruencia con las reglas de introduccin. Los teoremas deinversin y de normalizacin de Prawitz (1965, 1971) son resultadostcnicos de este programa concernientes, primordialmente, a losoperadores estndar de la lgica de primer orden'". Un tratamientosimilar del rfsignificadorr de los operadores lgicos tambin ha ca-racterizado a la tradicin intuicionista y, por lo dems, en unaperspectiva anloga se mueven asimismo diversos enfoques antirre-alistas como el de Dummett o el de Tennantr5. Estos planteamien-tos que abogan por una codeterminacin semntica y deductiva delsentido de los operadores lgicos -con arreglo a su uso cannico enla construccin de pruebas- han alcanzado la madurez suficientepara evitar ciertos tropiezos ingenuos y para afrontar diversas cri-ticas procedentes del bando de quienes propugnan la prioridad ab-

14 D. Prawitz: Natural Deducton. Stockholm, Almqvist & Wiksell, 1965;"Ideas and results in Proof Theory", en J.E. Fenstad, ed,.; Proc. of. 2nd.*andnavian Logic Symposr'um (Oslo, 1970). Amsterdam: North Holland,t971, pp.135-307.l5 M.A.E. Dummett: Elements of Intution'sm, Oxford: Clarendon Press,1977: N Tennant: Ant-Realsm and Logic, Oxford: Clarendon Press, 1987.

Luis Vega98

soluta de la asignacin puramente semntica de significadol6, Perono han culminado uno de sus propsitos, el de lograr una determi-nacin cabal y constructiva del concepto de operador lgico en ge-neral (i.e. ms all de los conectadores y cuantificadores habitualesde la lgica de primer orden). La cuestin general de precisar larflogicidadrr que distingue a cualquier operador susceptible de la ca-lificacin de "lgicofr en algn contexto determinado, es una cues-tin que -segn es bien sabido- se mantiene abierta. No obstante,su consideracin reviste suma importancia (por ejemplo, guarda es-trech relacin con la explicacin de la nocin misma de conse-cuencia lgica) y, de hecho, ha tenido que ver con el nuevo rumboque han tomado algunas teorfas de la demostracin en los aos 60y 70. Casi no es preciso puntualizar que la postura de Wittgens-tein, pese a algn punto notable de coincidencia, responde a otrosmotivos puramente filosficos y contempla otros aspectos de laidentificacin de las proposiciones lgicas. Ms an: da la impresinde que tras aclarar su estatuto de reglas gramaticales, el sinsen-tido de buscarles justificacin en algo ms all de lndole ontolgicao epistemolgica, y la necesidad de contar con ellas en el ejerciciode la inferencia y del pensamiento -pues a su empleo es a lo quejustamente llamamos ilinferir" y "pensar"-, ya est dicho todo. Asi,pus, tampoco debe extraar que Wittgenstein sea en principioajeno a estas tradiciones y programas de investigacin que se hanido centrando en un tratamiento lgico sistemtico de la relacinde deducibilidad y de la idea de demostracin aunque luego, enocasiones, no falte quien invoque algn texto wittegensteinianocomo bendicin o como pretexto (en particular, el inevitable S 43de las Investigaciones filosficas: "Para una gran clase de casos deutilizacin de la palabra rsignificado'... puede explicarse esta pala-bra as: el significado de una palabra es su uso en el lenguaje").

5. El caso de la idea de demostracin

Sin embargo, la idea de demostracin es un tema central de lafilosofa wittgensteiniana de la matemtica. Veamos su automargi-nacin en este caso-

l6 Como ilustracin de esos tropiezos, vid. K.R. Popper: "Logic without as-sumptions" (Proc. Aristotelan hcety, 47 (1947), pp. 251-92; "New Founda-tions for Logic", Mind,56 (1947), pp. 193-255; "On the theory of deduction",Indagationes mathematicae,l0 (19a8), pp. 44-54, lll-120. Por otra parte, unaviva muestra de irona crtica es la maquinada por A.N. Prior (1960): "Elbono de trnsito inferencial", en las ya citadas Lecturas de Lgica l, 7, pp.237-9; cfr. una ftplica en la nota siguiente a esta lectura, 1.c., pp.239-46.

Wittgenstein, rn outsider en lgica

Segn Wittgenstein; lo que necesitan las proposiciones matemti-cas es una clarificacin de su gramtica, no una fundamentacin(Observaciones..., VII S16). Esto quiere decir que, por un lado, he-mos de apreciar la abigarrad,a mezcla de tcnicas demostrativas enque consiste la matemtica (III 546), y por otro lado hemos deelucidar los rasgos distintivos de todo eso que los matemticos pre-sentan y aceptan como pruebas. Un punto de partida es reconocerque se trata de una prctica comn de seguir una regla (ttDecirque resta proposicin se sigue de aqulla' es aceptar una regla. Laaceptacin se produce sobre la base de una demostracin. Es decir,considero aceptable esta cadena (esta figura) como demostracintr, IS33). Dicha prctica es a su vez un hecho de nuestra historia na-tural (I 5563, 142). Nosotros y nuestra matemtica podramos habersido distintos, pero, salvada esa contingencia, el caso es que somoscomo somos y el mgdo de probar y calcular que comportan nues-tros usos matemticos constituye el modo de inferir y el modo depensar acerca del mundo natural. Esta constatacin no slo obviael convencionalismo, sino que torna carente de sentido cualquierduda escptica sobre las proposiciones matemticas. Precisamentesu empleo como reglas gramaticales las sustrae de toda posible in-certidumbre. As pues, tampoco tendrn sentido los programas quebuscan dar respuesta a las dudas del escptico sobre las proposicio-nes matemticas. Precisamente su empleo como reglas gramaticaleslas sustrae de toda posible incertidumbre. As pues, tampoco ten-drn sentido los programas que buscan dar respuesta a las dudasdel escptico plantendose la cuestin de qu tipo de demostracinnos asegura la verdad y la necesidad matemticas, e.g. el programade Hilbert. Todas las demostraciones matemticas acreditan la ne-cesidad de las proposiciones matemticas. He ah el primer rasgocaracterstico de este tipo de prueba; la normatividad de la demos-tracin y la necesidad de su conclusin ("Recorro la demostracin ydigo: fS, as tiene que ser; asl he de establecer el uso de mi len-guajerrr, III S30). Esto requiere, desde luego, que la demostracinsea perfectamente abarcable y estemos dispuestos a tomarla comouna pauta paradigmtica ("'La demostracin ha de ser abarcable deuna ojeadat significa: hemos de estar dispuestos a usarla comopauta de juicio... La demostracin ha de ser modlica", III S22). Heahl un segundo rasgo. Ambos se acompaan de una peculiaridadms sustancial; la existencia de una conexin interna entre laprueba y la proposicin probada. La prueba forma parte de la gra-maticalidad misma de la proposicin probada (III S3l). De ah que,por un lado, cuando una demostracin introduce un nuevo conceptoo construye una proposicin aade un nuevo paradigma a los para-digmas del lenguaje (lII $30) y, por otro lado, una proposicin ma-temtica completamente analizada es su propia prueba (Philosophi-

99

100 Luis Vega

cal Remarks, 5162). Pues en la matemtica, como en lgica, se dauna equivalencia entre proceso y resultado que evita cualquierindecisin y cualquier sorpresa (I S82).

Francamente no creo que sean motivos tcnicos los que sustentanesta caracterizacin, aunque Wittgenstein suele tener la precaucinde remitirse a ejemplos combinatorios de la aritmtica elemental -efectivamente decidibles-, y aunque la idea de una especie de Be-weissysteme, sistemas de demostraciones, que late en su caracteri-zacin guarda, como ya he dicho, notables analogas con ciertosdesarrollos actuales de la demostracin en el campo de la deduc-cin natural. Son ms bien presunciones filosficas las que obran enesa elucidacin de la idea de demostracin. Por ejemplo, la presun-cin de que una proposicin lgica o matemtica es una regla gra-matical de un sistema o de un juego de proposiciones y, por ende,no slo es incuestionable sino que tampoco puede consistir en unaespecie de hiptesis susceptible o no de verificacin: esto la redu-cira a la condicin de una proposicin emprica o de un mero es-tmulo intelectual, sera a lo sumo una conjetura en busca de unsistema de prueba y decisin. O, por ejemplo, la presuncin de queuna proposicin matemtica, al margen de su demostracin -almargen de su efectiva constitucin gramatical dentro de un sis-tema-, carece de contenido y atributos significativos. A esta luz,parece plausible la influencia de ciertas ideas de Wittgenstein en elcreciente auge de la pragmtica de la demostracin dentro delcampo que hoy suele conocerse como teora de la argumentacin,en especial la idea de que una condicin para que un argumentoconstituya una prueba es la de ser reconocido como tal en un de-terminado contexto, la de ser visto y empleado as en este con-texto. Pero, por otro lado, no habremos de extraarnos de queWittgenstein, llevado por su propia dinmica conceptual, discurra untanto a contrapelo de las teoras de la demostracin lgico-mate-mticas y, ms an, fuerce el sentido de algunos resultados bsicosen este terreno. El caso ms popular es, sin duda, la suerte quecorre el primer teorema de limitacin de Gdel (especialmente enel Apndice III (1938) de la parte I de las Observaciones sobre losfundamentos de Ia matemtica). este resultado, al establecer laexistencia de una proposicin verdadera pero indemostrable encualquier sistema de la capacidad expresiva de PM, desmiente lasexpectativas del programa amplio de Hilbert (la posibilidad de unaformalizacin consistente y completa de la aritmtica, la suficien-cia de su aparato formal para decidir cualquier cuestin formulableen los trminos del sistema), y tiene asimismo una repercusin ne-gativa sobre el programa restringido a la prueba de la consistenciadel propio sistema. No est de ms recordar que estos resultadosfueron mejor asumidos en principio por los crculos que abrigaban

Wittgenstein, ua outsider en lgica l0t

ideales formalistas que por otros crculos lgicos y matemticosl7;una razn es, a mi juicio, la incipiente familiaridad de esos medioscon el punto de vista metamatemtico. Por contraposicin, las re-servas y la incomprensin -al menos aparente- de Wittgenstein obe-decen en parte a su negativa a aceptar este punto de vista. SegnWittgenstein, "proposicin verdadera en el sistema de Russelltr nopuede significar otra cosa que "proposicin demostrada en el sis-tema de Russellrr, por consiguiente no puede darse algo asi comouna proposicin verdadera e indemostrable dentro del sistema. Msan: no puede haber ninguna especie de metasistema; slo cabensistemas distintos de modo que una proposicin demostrada en unoresulte falsa en el otro: ttl-o que en el aiedrez significa tperder',puede ser en otro juego ganar" (Observaciones..., Apndice III S8).El punto de vista de los Satzsysteme y de los juegos de lenguaje,cada uno de ellos autnomo e irreducible a una articulacin meta-lingstica o una jerarqua sistemtica (slo media entre ellos unaire de familia), choca frontalmente con el punto de vista metate-rico. Parejamente, la gramtica (y, uno aadirfa, la pragmtica)autosuficiente de los sistemas lgicos y matemticos priva de sen-tido a cuestiones tales como su consistencia, su complecin o sudecidibilidad y, en general, a cualquier consideracin de la pruebay de la verdad como dos dimensiones que abren vas de anlisis in-dependiente. Plantearse cuestiones de ese tipo, como hizo Hilbert,o desarrollarlas tcnicamente en la lnea de Gdel no es sino jugarel insensato juego del escptico -hacerse cargo de preguntas como:rri,cabe asegurarse de la verdad de una proposicin o de un conjuntode proposiciones matemticas?rr-, y abordar empresas que filosfi-camente no llevan a ninguna parte salvo a recadas en viejas crisisepistemolgicas o en renovadas ilusiones ontolgicas. Para un Witt-genstein anclado en la filosofa del significado y en la filosofla dela matemtica de las ltimas dcadas del s. XI{ y las primerasdcadas del XX, Tarski no llegar a existir nunca'o. Lo que repre-sentaran entonces los resultados de Gdel, si algo de inters filo-sfico representan, sera la reduccin al absurdo del programa deHilbert. Tal vez sea una ironla de la historia el que hoy, lejos de

l7 Vid. J.W. Dawson (1984): "The reception of Gdel's incompleteness theo-rems", en S. Shanker, ed.; Gdel's Theorem..., pp. 74-95.18 En la medida en que nace con Tarski la metodologa formal de la cienciadeductiva (e.g.; el tratamiento sistemtico de la metateora -con el concursode un aparato conjuntista-, la elaboracin efectiva de la sintaxis de los len-guajes lgicos por medio de gramticas recursivas -"generativas"-, el desarro-llo de su semntica y de la teora de modelos), vid. la introduccin de J.Corcoran a la segunda edicin de Tarski: Logic, semantics, metamathematcs.Philadelphia: Hackett, 1983; pp. xv-xvii en particular.

t02 Luis Vega

reconocer absurdos filosficos de este tipo, asistamos a un renaci-miento de las teoras lgico-matemticas de la demostracin en elque fructifica la siembra iniciada por gente como Hilbert, Gdel,Tarski o Gentzen, todos ellos culpables de tratar con mtodos l-gico-matemticos el anlisis lgico y las teoras matemticas.Tambin parece ser otra ironla de la historia el hecho de que lassugerencias lgicas y matemticas del Wittgenstein de los aos 30y 40 no slo no encuentren un lugar en la lgica y en la matem-tica de su entorno sino que tampoco lleguen a ser cabalmente con-gruentes con su tiempo: las hay extemporneas por anticipacin(segn he indicado al principio) y las hay extemporneas por re-traso (es curioso, por ejemplo, que el punto de vista crtico de losSatzsysteme o de los Beweissysteme cobre su mayor inters alaplicarlo a situaciones pretritas como la de las geometras eucli-dianas y no euclidianas hasta los Grundlagen der Geometrie de Hil-bert (1899), segn muestran -involuntariamente quizs- las vindica-ciones wittgensteinianas del estilo de la ya citada de S. Shanker(1e87).

En conclusin, la contribucin de Wittgenstein a la lgica con-tempornea ha tomado deliberadamente el rumbo de una elucida-cin filosfica ms pendiente de su propia evolucin conceptual quedel desarrollo mismo de la lgica. De ah que esta contribucinhaya resultado ms virtual que efectiva, ms notable si acaso comoobjeto de mencin -alusin o cita- que como objeto de uso. Laidea de tautologa del Tractatus todava alcanz a tener cierto in-flujo sobre la concepcin esquemtica y extensionalista del anlisisIgico, aunque no tanto como el que lleg a ejercer en el mbitoms general de la filosofa del lenguaje. (Pero no deja de ser sin-tomtico que alguien tan celoso de confesar sus deudas con Witt-genstein como Carnap, las haya adquirido en realidad reinterpre-tando el Tractatus a la luz de otros, de Hilbert y de Gdel porejemplo). Las ideas posteriores sobre los Satzsysteme y sobre lapragmtica de la demostracin se mueve en la lnea de la demoli-cin de la gran lgica nica y universal del logicismo, en una di-reccin anloga a la tomada por ciertas investigaciones de sistemaslgicos alternativos y de sistemas de deduccin natural; asl comola renuncia de Wittgenstein a reconocer las neurticas secuelas deuna crisis de frfundamentacinrr de la matemtica parece coincidirhasta cierto punto con el curso posterior de los acontecimientos.Pero, a mi juicio, en ninguno de estos casos hay comunicacin,comprensin y menos an una influencia mutua entre Wittgensteiny los responsables reales de ese curso de la investigacin lgico-matemtica. Segn todos los visos, Wittgenstein no slo se muevepor razones filosficas propias, sino que adems no entiende o noquiere entender algunos supuestos bsicos del rumbo decidido en la

Wittgenstein, ua outsider en l6gca r03

prodigiosa dcada de .los aos 30. Recprocamente, en los trabajosque alumbran y empiezan a explorar los nuevos horizontes tampococabe esperar algn eco real de las sugerencias wittgensteinianas.Por lo dems, ni siquiera ms tarde -cuando casi parece obligadasu mencin protocolaria- e incluso en el mbito o primera vistams afn del anlisis lgico de la demostracin y cuestiones co-nexas, han dejado huellaly.

UNED (Madrid)

19 Ninguna de las actuales variantes de la teora de la demostracin (la re-ductiva, la general, la estructural; el anlisis modal o el confiado a la deduc-cin automtica) toma en consideracin las observaciones de Wittgenstein.Ms an: Wittgenstein ni siquiera es mencionado en los informes panormicosde Prawitz o de otros (e.g. G. Sundholm) sobre el desarrollo de esta temtica.