NOTAS DE MATEMÁTICAS ADMINISTRATIVASMATERIAL DE APOYO PARA EL TRABAJO INDIVIDUAL

UNIDAD I ELEMENTOS BÁSICOS DE ÁLGEBRA

1. Fracciones.

1.1. Definición.

Una fracción es la división indicada de dos expresiones.

72

x+1x−1

2x2−3 x+53x2+5 x−6

Como podemos ver las fracciones pueden ser sólo con números o con números y letras, las que nos interesan en este momento son las segundas.

1.2. Simplificación.

Las fracciones tienen una propiedad que indica que el valor de una fracción no cambia, si su numerador y denominador, se multiplican por, o se dividen entre, una misma cantidad, diferente de cero.

25=2×2

5×2= 4

10 1421

=14÷721÷7

=23

Una fracción está en su forma más simple si entre el numerador y el denominador de ella no existen factores excepto ±1.

Para simplificar una fracción se deben eliminar los factores comunes que tengan el numerador y el denominador.

1215

=4×35×3

=45

28a5b4 c7

7a2b3c3 =4 a3bc4

7 x4 y6 z5

21x3 y4 z2 =x y2 z3

3

Cuando las fracciones son un poco más complejas, primero se factorizan, el numerador y el denominador, y después se eliminan los factores comunes.

x2−x−6x2−2 x−8

=( x−3 ) ( x+2 )( x−4 ) ( x+2 )

= x−3x−4

4. Ecuaciones de Primer Grado.

4.1. Definición.

Una ecuación es la igualdad de dos expresiones, cada expresión se denomina lado o miembro de la ecuación.

Ejemplos:

x+2=3; x2+3x+2=0; y

y−4=6; w=7−w

Resolver una ecuación es encontrar todos los valores de sus variables para los que la ecuación es verdadera. A este conjunto de valores se les llama solución.

Ejemplos:

x+2=3 : x es la variableo incógnita de laecuaciónx=1es la raíz o soluciónde laecuaciónal sustituir este valor en la ecuaciónésta es verdadera1+2=3

x2+3x+2=0 ; xes la variable o ingógnitade la ecuaciónx=−1 y x=−2esel conjuntoode valoresde lasolución de laecuaciónal sustituir este valor en la ecuaciónésta es verdadera(−1)2+3 (−1 )+2=0al sustituir este valor en la ecuaciónésta es verdadera(−2)2+3 (−2 )+2=0

Ecuación condicional es una igualdad que sólo es verdadera para ciertos valores de su variable.

Ejemplo:

x+3=4esta ecuación sólo es verdadera si x=1 yaque1+3=4

encambio la ecuaciónno esverdadera para x=0 yaque 0+3≠4

Ecuación idéntica o identidad es una igualdad que es verdadera para un número infinito de valores de su variable.

Ejemplo:

x+12

= x2+ 1

2

Si x=0 la ecuaciónes verdadera 0+12

=02+ 1

2

Si x=2 laecuación es verdadera 2+12

=22+ 1

2

Si x=5 laecuación es verdadera 5+12

=52+1

2

Una ecuación lineal o de primer grado en la variable x, es una ecuación que puede ser escrita en la forma:

ax+b=0donde a yb sonconstantes y a≠0Ejemplos:

5 x−6=3 x; 2( p+4)=7 p+2; 7 x+3

2−9 x−8

4=6; I¿Prt

4.2. Propiedades.

Para resolver una ecuación lineal se realizan operaciones con ella para transformarla en una ecuación más simple que permita ver la solución de manera evidente.

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas raíces o solución.

Ejemplo:

2 x+3=7 y 2x=4 tienen lamisma raíz o solución x=2 , sonequivalentes

Operaciones que siempre conducen a ecuaciones equivalentes:

Sumar o restar la misma cantidad en los dos lados de la ecuación.Ejemplos:

x+2=3 x−3=5x+2−2=3−2 x−3+3=5+3

x=1 x=8

Multiplicar o dividir los dos lados de la ecuación por o entre una misma cantidad diferente de cero.Ejemplos:

3 x=6 x5=2

3x3

= 63 5 x5

=5×2

x=2 x=10

Operaciones que no siempre conducen a ecuaciones equivalentes:

Multiplicar los dos lados de la ecuación por una expresión de la incógnita.Ejemplo:

Laecuación x−1=0 tienecomo únicaraíz x=1simultiplicamos los dos lados por x , tenemos x (x−1 )=x×0

lanueva ecuación x2−x=0 tiene dosraíces x=0 y x=1laraíz x=1es una raíz extraña pues noesraíz de la primeraecuación

las ecuaciones x−1=0 y x2−x=0no sonequivalentes

Dividir los dos lados de la ecuación entre una expresión de la variable.

Ejemplo:

Laecuación ( x−4 ) ( x−3 )=0 tienedos raíces x=4 y x=3

sidividimos los dos lados entre x−4 tenemos ( x−4 ) ( x−3 )x−4

= 0x−4

la ecuaciónresultante x−3=0 tine sólouna raíz x=3las ecuaciones ( x−4 ) (x−3 )=0 y x−3=0noson equivalentes

En resumen para resolver una ecuación lineal debemos aplicar, tomando en consideración las restricciones correspondientes, de manera sucesiva las operaciones vistas en esta parte para ir simplificando paulatinamente la ecuación hasta convertirla en una que sea tan simple que nos permita ver la solución.

4.3. Solución.

5 x−6=3 x 2 (p+4 )=7 p+25 x−6−3 x=3 x−3 x 2 p+8=7 p+2

2 x−6=0 2 p+8−7 p=7 p+2−7 p2 x−6+6=0+6 −5 p+8=2

2 x=6 −5 p+8−8=2−82x2

=62 −5 p=−6

x=3 −5 p−5

=−6−5

p=65=1.2

7 x+32

−9 x−84

=6 I=Prt ;r

4× 7 x+32

−4× 9 x−84

=4×6 IPt

=PrtPt

2(7 x+3)−(9 x−8)=24 IPt

=r

14 x+6−9 x+8=24 r= IPt

5 x+14=24 5 x+14−14=24−14 5 x=10

5x5

=105

x=2

S=P+Prt :P (a+c ) x+x2=(x+a)2 ; xS=P (1+rt) ax+cx+x2=x2+2ax+a2

S1+rt

=P(1+rt )

1+rt ax+cx+x2−x2=x2+2ax+a2−x2

S1+rt

=P ax+cx=2ax+a2

P= S1+rt ax+cx−2ax=2ax+a2−2ax

x (a+c−2a)=a2

x (c−a)=a2

x(c−a)c−a

= a2

c−a

x= a2

c−a

5. Sistemas de Ecuaciones Lineales.

5.1. Definición.

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas está formado por dos ecuaciones de primer grado que se resuelven en forma simultánea.

Ejemplos:

5 x+10 y=20 3 x−2 y=6 6 x−12 y=243 x+4 y=10 −15 x+10 y=−30 −1.5 x+3 y=9

5.2. Solución por el Método de Suma o Resta.

Uno de los métodos de solución de este tipo de sistemas es el llamado Método de Eliminación o de Suma y Resta. Este método consiste en, mediante operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación y/o división) en los dos lados de cada ecuación, igualar los coeficientes de una de las incógnitas en las dos ecuaciones y posteriormente, sumando o restando las dos ecuaciones, eliminar una de las incógnitas, dando por resultado una ecuación lineal con una variable, que al resolverse nos da el valor de una de las incógnitas y sustituyendo este valor en cualquiera de las dos ecuaciones originales determinar el valor de la otra incógnita quedando así resuelto el sistema.

Ejemplos:

1¿2x+4 y=20 1¿5x+10 y=20

2¿3x+ y=10 2¿3x+4 y=10 Multiplicando 2) por -4 tenemos Multiplicando 1) por -2 tenemos

3¿−12x−4 y=−40 3¿−10x−20 y=−40Sumando 1) y 3) tenemos Multiplicando 2) por 5 tenemos

1¿2x+4 y=20 4 ¿15x+20 y=50 3¿−12x−4 y=−40 Sumando 3) y 4) tenemos −10 x=−20 3¿−10x−20 y=−40 x=2 4 ¿15x+20 y=50 Sustituyendo x=2 en 2) tenemos 5 x=10 3 (2 )+ y=10 x=2 6+ y=10 Sustituyendo x=2 en 1) tenemos y=10−6 3(2)+4 y=10 y=4 4 y=10−6 Solución: x=2; y=4 y=1 Solución: x=2; y=1

5.3. Interpretación Gráfica de la Solución.

y y y l1 l1 l1 ,l2 l2 y ______ | | l2 | x x x x Solución Única Número infinito de soluciones Sin solución

La solución de un sistema de dos ecuaciones lineales se puede interpretar en forma gráfica. Tal como se indica en la figura anterior, en el primer caso las líneas que representan a cada una de las ecuaciones se cortan en un solo punto de coordenadas (x , y ) donde los valores de x y y representan la solución del sistema, en este caso se dice que el sistema tiene solución única, en el segundo caso las dos líneas que representan a cada una de las ecuaciones coinciden en todos sus puntos, en realidad se trata de la misma línea que representa a las dos ecuaciones, el sistema está formado por dos ecuaciones equivalentes y por lo tanto el número de soluciones es infinito, por último tenemos dos ecuaciones cuya representación son dos líneas paralelas que por definición no tienen punto de coincidencia, por lo tanto no existen valores que satisfagan ambas ecuaciones, en este caso se dice que el sistema no tiene solución.

1¿3x−2 y=6 1¿6 x−12 y=24 2¿−15 x+10 y=−30 2¿−1.5 x+3 y=9 Multiplicando 1) por 5 tenemos Multiplicando 2) por 4 tenemos

3¿15 x−10 y=30 3¿−6 x+12 y=36Sumando 2) y 3) tenemos Sumando 1) y 3) tenemos

2¿−15 x+10 y=−30 1¿6 x−12 y=24 3¿15 x−10 y=30 3¿−6 x+12 y=36 0≡0 0≠60

Se trata de una identidad, el número La afirmación es falsa, el sistema de soluciones es infinito de ecuaciones no tiene solución

1¿5x+5 y=0 1¿4 x−2 y=8 2¿ x=− y 2¿ x+2 y=12 Multiplicando 2) por -5 tenemos Sumando 1) y 2) tenemos

3¿−5 x−5 y=0 1¿4 x−2 y=8 Sumando 1) y 3) tenemos 2¿ x+2 y=12

1¿5x+5 y=0 5 x=20 3¿−5 x−5 y=0 x=4 0≡0 Sustituyendo x=4 en 2) tenemos Se trata de una identidad, el número 4+2 y=12 de soluciones es infinito 2 y=12−4 y=4 Solución: x=4; y=4

1¿ x−3 y=8 1¿−3 x= y+2 2¿−4 x+12 y=−24 2¿9 x+3 y=−6 Multiplicando 1) por 4 tenemos Multiplicando 1) por 3 tenemos

3¿4 x−12 y=32 3¿−9 x−3 y=6Sumando 2) y 3) tenemos Sumando 2) y 3) tenemos

2¿−4 x+12 y=−24 2¿9 x+3 y=−6 3¿4 x−12 y=32 3¿−9 x−3 y=6 0≠8 0≡0 La afirmación es falsa, el sistema Se trata de una identidad, el número de ecuaciones no tiene solución de soluciones es infinito

1¿−x=− y 1¿2x−9 y=108 2¿3x+3 y=0 2¿8 x+6 y=48 Multiplicando 1) por 3 tenemos Multiplicando 1) por -4 tenemos

3¿−3 x+3 y=0 3¿−8 x+36 y=−432 Sumando 2) y 3) tenemos Sumando 2) y 3) tenemos 2¿3x+3 y=0 2¿8 x+6 y=48 3¿−3 x+3 y=0 3¿−8 x+36 y=−432 6 y=0 42 y=−384

y=0 y=−38442

=−647

Sustituyendo y=0 en 1) tenemos Sustituyendo y=−647 en 1) tenemos

−x=−0 2 x−9(−647 )=108

x=0 2 x=108−5767

Solución: x=0; y=0 x=18014

=907

Solución: x=907 ; y=−64

7

1¿3x−9 y=24 1¿4 x−2 y=36 2¿−x+3 y=0 2¿−2 x+ y=20 Multiplicando 2) por3 tenemos Multiplicando 2) por 2 tenemos

3¿−3 x+9 y=0 3¿−4 x+2 y=40Sumando 1) y 3) tenemos Sumando 1) y 3) tenemos

1¿3x−9 y=24 1¿4 x−2 y=36 3¿−3 x+9 y=0 3¿−4 x+2 y=40 0≠24 0≠76 La afirmación es falsa, el sistema La afirmación es falsa el sistema de ecuaciones no tiene solución de ecuaciones no tiene solución

1¿ x+ y=20 1¿4 x− y=10 2¿2x− y=12 2¿2x+3 y=18 Sumando 1) y 2) tenemos Multiplicando 1) por 3 tenemos

1¿ x+ y=20 3¿12x−3 y=30 2¿2x− y=12 Sumando 2) y 3) tenemos 3 x=32 2¿2x+3 y=18

x=323 3¿12 x−3 y=30

Sustituyendo x=323 en 1) tenemos 14 x=48

323

+ y=20 x=4814

=247

y=20−323

=283 Sustituyendo x=24

7 en 1) tenemos

Solución: x=323 ; y=28

3 4 ( 247 )− y=10

967

− y=10

y=967

−10=267

Solución: x=247 ; y=26

76. Ecuaciones de Segundo Grado.

6.1. Definición.

Una ecuación de segundo grado o cuadrática, en una variable, es una ecuación que puede ser escrita en la forma:

a x2+bx+c=0 , donde a ,b y c sonconstantes y a≠0

Ejemplos:

x2+ x−12=0 ;6w2=5w; (3 x−1 ) ( x+1 )=−2

6.2. Solución por Fórmula.

Para resolver una ecuación de segundo grado se puede aplicar la siguiente fórmula:

x1,2=−b±√b2−4ac

2a

Ejemplo:

Antes de aplicar la fórmula, la ecuación debe estar escrita en la forma general, después se deben identificar los valores de a ,b y c y finalmente sustituir estos valores en la fórmula general y hacer las operaciones indicadas hasta llegar a determinar los valores de las dos raíces de la ecuación, tal como se muestra en seguida.

x2+ x−12=0a=1 ;b=1 ;c=−12

x1,2=−1±√12−4(1)(−12)

2(1)=−1±√1+48

2=−1±√49

2=−1±7

2

x1=−1+7

2=6

2=3 x2=

−1−72

=−82

=−4

Raíces racionales:

6w2=5w6w2−5w=0

a=6 ;b=−5 ;c=0

w1,2=−(−5)±√(−5)2−4 (6)(0)

2(6)=−1±√25−0

12=5±√25

12=5±5

12

w1=5+512

=1012

=0.83 w2=5−512

= 012

=0

(3 x−4 ) ( x+1 )=−23 x2−x−4=−23 x2−x−4+2=0

3 x2−x−2=0a=3 ;b=−1; c=−2

x1,2=−(−1)±√(−1)2−4 (3)(−2)

2(3)=1±√1+24

6=1±√25

6=1±5

6

x1=1+5

6=6

6=1 x2=

1−56

=−46

=−23

=−0.67

4 x2−17 x+15=0a=4 ;b=−17 ;c=15

x1,2=−(−17)±√(−17)2−4(4)(15)

2 (4)=17±√289−240

8=17±√49

8=17±7

8

x1=17+7

8=24

8=3 x2=

17−78

=108

=54=1.25

Raíces irracionales

x2=3x2−3=0

a=1 ;b=0; c=−3

x1,2=0±√02−4 (1)(−3)

2(1)=0±√0+12

2=±√12

2=±√4×3

2=±2√3

2

x1=2√3

2=√3=1.73 x2=

−2√32

=−√3=−1.73

2+6√2 y+9 y2=09 y2+6√2 y+2=0a=9 ;b=6√2; c=2

x1,2=−6√2±√(6√2)

2−4 (9)(2)

2(9)=

−6√2±√(36×2 )−7218

=−6√2±√018

=−6√218

x1=−6√2

18=−√2

3=−0.47 x2=

−6√218

=−√23

=−0.47

Raíces complejas

z2+ z+1=0a=1 ;b=1 ;c=1

z1,2=−1±√12−4(1)(1)

2(1)=−1±√−3

2=−1±√3 i2

2=−1±√3 i

2

z1=−1+√3 i

2=−1+1.73i

2=−0.5+0.87 i

z2=−1−√3 i

2=−1−1.73i

2=−0.5−0.87 i

NOTA: EN LOS NÚMEROS COMPLEJOS i2=−1

UNIDAD II MATEMÁTICAS FINANCIERAS

1. El Dinero1.

1.1. Origen y Clasificación.

1 Resumen tomado de Cepeda Gonzáles, Isabel, Mª Cruz La Calle Calderón, Jesús R. Simón Del Potro y Domi Romero Fúnez. Economía para Ingenieros. Teoría y Práctica. Ediciones Paraninfo, S. A. España, 2011.

El dinero es un medio para facilitar el intercambio de mercancías. Este medio no ha existido siempre, para hacer el intercambio de los bienes que las comunidades necesitaban se utilizaba el “trueque” que es el intercambio de una mercancía por otra, este método de intercambio era muy ineficiente, algunos de los inconvenientes que presentaba eran:

Se requería que cada persona poseyera una cosa que otra persona necesitara para que se pudiera dar el intercambio.

El costo, en tiempo, para localizar a dos personas interesadas en llevar a cabo un intercambio.En virtud de lo anterior fue necesario diseñar un medio de intercambio más eficiente, fue entonces cuando apareció el dinero, los primeros medios de intercambio no fueron las monedas y billetes que hoy conocemos, se utilizaron diferentes tipos de objetos tales como el café u otro tipo de semillas, en la India se usaron conchas, en China el arroz, en otros lugares se han encontrado discos de piedra caliza, como en la isla de Yap, en el Pacífico.

Para facilitar el comercio se empezó a utilizar monedas de metal, en el principio se buscaba que las monedas tuvieran una cantidad de metal con un valor igual a la denominación que tenían, es decir, que la moneda valiera tanto como el metal que contenía, a este tipo de dinero se denominó dinero mercancía.

Posteriormente, el banco de Inglaterra en 1694 emitió los primeros billetes oficiales. A diferencia de las monedas, con valor intrínseco, los billetes sólo tienen un valor representativo, este valor dependió, en el principio, de los depósitos en oro que cada país tenía, para garantizar el valor de los billetes, a este tipo de dinero se le denominó dinero fiduciario. En este sentido, los billetes representan un valor monetario decretado por cada autoridad monetaria. Este tipo de dinero tiene dos componentes:

El dinero legal integrado por los billetes y monedas fabricados y puestos en circulación. El dinero bancario formado por los saldos de los depósitos que existen en los bancos.

En conclusión, el dinero mercancía, con contenido en metales preciosos, tiene valor intrínseco y el dinero fiduciario que tiene valor facial, representativo o nominal.

1.2. La Liquidez

En economía, cualquier forma de mantener la riqueza se denomina activo, el dinero es un activo.

Un activo es líquido cuando puede transformarse fácilmente en efectivo sin incurrir en costos.

Los activos pueden ser reales y financieros, los primeros son los materiales y tangibles, tales como los edificios, terrenos, maquinaria, etc. Los activos financieros son intangibles, como las acciones, las cuentas bancarias o el dinero. En la medida en que estos activos puedan convertirse en efectivo sin incurrir en costos, se considerará que son más o menos líquidos.

El dinero es la parte de la riqueza de una sociedad mantiene en forma líquida.

1.3. Funciones.

El dinero tal como ha sido definido, cumple varias funciones en las sociedades modernas:

Es unidad de cuenta. Es la unidad de medida que se utiliza para representar el precio y valor, en términos monetarios, de cualquier bien o servicio.

Es un medio de cambio. El dinero es la mercancía que se acepta de forma generalizada en una sociedad a cambio de bienes o servicios. El valor del dinero expresa su capacidad de cambio por otras mercancías.

Patrón de pagos diferidos. Sirve para establecer contratos en los que se fijan ingresos y pagos en el futuro.

Depósito de valor. Aunque el valor del dinero cambia a través del tiempo, principalmente debido a la pérdida de poder adquisitivo por el aumento de los precios (inflación), el dinero también se utiliza como un depósito de valor, para mantener una parte de la riqueza, de un agente económico, en forma líquida. En este sentido el dinero permite atesorar riqueza para comprar en el futuro, esto le da capacidad de pago en el futuro, aunque no es un depósito de valor perfecto se usa como tal, al guardar dinero no se pierde riqueza en términos nominales, pero sí en términos reales.

La complejidad de un bien como el dinero, que se utiliza como unidad de cuenta y medio de cambio, que desarrolla ambas funciones en el presente y en el futuro, además de ser un depósito de valor, hacen de esta una mercancía difícil de manejar y de comprender.

2. Interés Simple.

2.1. Definición.

Interés es la cantidad que se paga por el uso del dinero ajeno.

Interés es la cantidad que se obtiene al invertir el dinero.

Interés es el precio del dinero.

El interés simple es el que se calcula sobre el capital inicial, no hay acumulación de interés, es decir, el interés no genera interés.

¿Por qué se cobra interés?

Riesgo.- Existe un riesgo de que el dinero prestado o invertido no sea devuelto a quien lo prestó o lo invirtió. Por eso cuando se presta o se invierte el dinero debe haber una compensación por el riesgo que se corre en este tipo de operaciones.

Pérdida de Poder Adquisitivo.- El dinero pierde su capacidad de compra debido a que los bienes y servicios aumentan de precio al pasar el tiempo, este fenómeno económico es conocido como inflación. Cuando el dinero esta prestado o invertido está perdiendo valor y cuando es devuelto su capacidad de compra ya es menor que en el momento en que se prestó o invirtió.

Costo de Oportunidad.- Cuando se tiene prestado o invertido el dinero se pierden oportunidades de obtener un ingreso por opciones alternativas de inversión, es decir se pierde la oportunidad de obtener un ingreso.

Estos son tres argumentos que justifican el cobro o pago del interés, sin embargo, este cobro o pago del interés debe estar regulado por la autoridad para evitar abusos por alguna de las partes involucradas.

Para representar el interés se utiliza la letra I.

El interés representado como una parte o fracción del capital se llama tasa de interés y se representa por la letra i.

i= IC

La cantidad que se presta o se invierte se llama Capital o Valor Presente y se representa por la letra C.

De este modo podemos formular el modelo para calcular el interés tomando en cuenta el dinero que se presta o se invierte llamado capital (C), la cantidad que se paga por cada peso invertido o prestado llamado tasa de interés (i) y el tiempo transcurrido para la inversión o préstamo llamado plazo (n), quedando de la siguiente manera:

I=Cin

La suma del Capital y del Interés se llama Monto y se representa por la letra M.

M=C+ I

Sustituyendo en la ecuación anterior la ecuación del interés, obtenemos otra fórmula para el monto:

M=C+ I=C+Cin=C (1+¿ )

M=C (1+¿ )Tasas de Referencia

Para fijar la tasa de una operación financiera se utilizan algunas tasas como punto de referencia por ello reciben ese nombre. Entre estas tasas podemos mencionar:

TIIE.- Tasa de Interés Interbancaria de Equilibrio, es la tasa de interés del punto de equilibrio entre la tasa pasiva y activa de los bancos y la determina el Banco de México (Banxico) en base a la información de los bancos.La tasa activa es la tasa que las instituciones bancarias cobran por los diferentes tipos de créditos que ofrecen a sus usuarios.La tasa pasiva es la tasa que las instituciones bancarias pagan a sus ahorradores o inversionistas.Esta tasa tiene diferentes plazos el de 28 días es el más utilizado.Se calcula diariamente con las cotizaciones que, por lo menos, seis bancos proporcionan a las 12:00 p.m.

CPP.- Costo Porcentual Promedio de captación es una tasa que mide el costo al que se fondean los bancos para cubrir sus pasivos. Es el promedio ponderado del costo de captación del sistema

bancario, por lo tanto, no incluye el costo de los fondos captados en las mesas de dinero u otros instrumentos bursátiles. Se utilizó hasta 2005.

CCP.- Costo de Captación a Plazo es una tasa creada para reflejar la existencia de nuevos instrumentos en el mercado financiero mexicano. Es la tasa de interés de los pasivos a plazo, en moneda nacional de las instituciones de banca múltiple. Esta tasa se puede usar como referencia de la tasa de interés de créditos denominados en pesos, la publica el Banco de México en el Diario oficial de la Federación entre los días 21 y 25 de cada mes, esta tasa sustituye al CPP.

Tasa de interés de los CETES (Certificados de la Tesorería de la federación) a un plazo de 28 días también es una tasa de referencia. Los CETES son títulos de crédito al portador que tienen la finalidad de influir en la regulación de la masa monetaria, financiar la inversión productiva y propiciar un sano desarrollo del mercado de valores.

Mexibor.- Es una tasa de interés interbancaria de referencia en México determinada diariamente en base a las cotizaciones de doce bancos, la calcula y la publica Reuters de México, S. A. de C. V. es una tasa privada y por lo tanto no participa en su obtención el gobierno.

2.2. Interés Simple.

El interés simple se puede calcular de dos formas.

2.2.1. Exacto.

Se presenta cuando para su cálculo se utilizan los días reales que tiene el año en que se realiza la operación financiera, es decir, 365 días en un año normal o 366 cuando el año es bisiesto.

2.2.2. Ordinario o Comercial.

Se presenta cuando para su cálculo se utiliza un año con 360 días sin importar los días reales del año en que se realice la operación financiera.

2.3. Plazo.

Para el cálculo del tiempo se utilizan dos procedimientos.

2.3.1. Tiempo Real.

Son los días calendario que hay entre la fecha inicial y la fecha final del plazo.

2.3.2. Tiempo Aproximado.Son los días que hay entre la fecha inicial y la fecha final del plazo pero considerando todos los meses de treinta días.

Ejemplo:

Fecha inicial: 12 de abrilFecha final: 23 de septiembre

Tiempo real:

Del 12 al 30 de Abril

18 días

Mayo 31Junio 30Julio 31Al 23 de Agosto 23Total: 133

Tiempo aproximado:

Del 12 al 30 de Abril

18 días

Mayo, Junio y Julio 90Al 23 de Agosto 23Total: 131

Cuando por omisión no se especifica el tipo de interés que se debe utilizar o como se debe calcular el plazo, se deberá calcular interés simple ordinario con tiempo real.

En las fórmulas que se aplican de interés simple se debe tener cuidado de que la tasa y el plazo siempre estén en la misma dimensión de tiempo, es decir, ambos en meses, en días, en años, etc.

Cuando al enunciar una tasa no se especifica el tiempo en que se aplica se supone que es en un año y se le llama tasa nominal, en caso contrario deberá indicarse el tiempo de que se trate, por ejemplo el 2% mensual, el 5% semestral, etc.

Ejercicios2:

1.- Obtener la tasa de interés simple mensual, si con 620 mil pesos al cabo de un semestre se cancela una deuda de quinientos mil pesos.

C=$500 ,000 M=C (1+¿)M=$620 ,000 620 ,000=500 ,000(1+6i)

n=6meses i=

(620 ,000500 ,000

−1)6

=0.04=4 %

2 La numeración de los ejemplos corresponde a los ejercicios de cada tema, según el material de estudio.

2.- El contador Morales consigue un préstamo por 30 mil pesos a dos años de plazo, con una tasa de interés simple bimestral del 3% ¿cuánto pagará al final de los dos años por el préstamo recibido?

C=$30 ,000 M=C (1+¿)n=2años=12bimestres M=30 ,000 (1+12∗0.03 )=$ 40 ,800i=3 % bimestral

3.- ¿Cuánto debe invertirse ahora con un tipo de interés del 13% simple semestral para disponer de dos millones y medio de pesos dentro de tres años?

M=$2 ,500 ,000 M=C (1+¿)i=13 % semestral 2 ,500 ,000=C (1+6∗0.13 )

n=3años=6 semestres C=2,500 ,0001+6∗0.13

=$1 ,404 ,494.38

5.- ¿En cuánto tiempo se triplica una inversión con un tipo de interés del 23%?

C=x M=C (1+¿)M=3 x 3 x=x (1+0.23n)

i=23 % n= 20.23

=8.695652años=8años ;8meses ;10días

6.- ¿Cuál es el valor actual de un televisor que se paga con un enganche o anticipo del 30% y un documento a tres meses con un valor nominal de $ 12 000 e intereses del 22%?

En algunos casos, cuando las operaciones financieras son complicadas, se recurre a figuras que muestran los flujos de efectivo en forma gráfica, ayudando en el análisis de los problemas que se pretende resolver, estas gráficas se llaman DIAGRAMAS DE TIEMPO y son como el que se muestra en la parte de abajo.

Precio0 1 2 3 4 meses

0.3 Precio $ 12, 000

M=$12 ,000 M=C (1+¿ )

n=3meses= 312

años 12 ,000=C (1+ 312

∗0.22)i=22 %=0.22

C= 12 ,000

1+ 312

∗0.22=11 ,374.41

0.70 Precio=C=11 ,374.41

Precio=11 ,374.410.70

=$ 16 ,249.15

8.- Una deuda por 500 mil pesos se liquida con tres pagos iguales a 30, 60 y 90 días respectivamente, ¿de cuánto es cada uno de los abonos si se tienen intereses del 18%?

$ 500, 0000 30 60 90 días

X X X

La deuda debe ser igual al valor equivalente de los tres pagos, el valor equivalente de los pagos es el capital que se pagaría en el momento de pedir el préstamo.

M=x M=C (1+¿ )

i=18 %=0.18 C= M1+¿

n=30 ,60 y 90días 500 ,000= x

1+ 30360

∗0.18+ x

1+ 60360

∗0.18+ x

1+ 90360

∗0.18

500 ,000=x ( 1

1+ 30360

∗0.18+ 1

1+ 60360

∗0.18+ 1

1+ 90360

∗0.18 ) 500 ,000=x (0.985222+0.970874+0.956938 )

500 ,000=2.913033 x

x= 500 ,0002.913033

=$ 171,642.39

9.- Hace dos meses se consiguió un préstamo suscribiendo un documento por cuatro mil doscientos pesos, con vencimiento a cinco meses. Considerando recargos o intereses del 33% simple anual, determinar:

a) La cantidad de dinero con la que se liquida la deuda el día de hoy.b) ¿Con cuánto se liquida en 15 días a partir de hoy?c) ¿Qué cantidad se recibió en préstamo?

M=$4 ,200 M=C (1+¿ )

a¿ . n=3meses= 312a ños 4 ,200=C (1+ 3

12∗0.33)

i=33 %=0.33 C= 4 ,200

1+ 312

∗0.33=$3 ,874.91

b¿ . n=2.5meses=2.512

años C= 4 ,200

1+ 2.512

∗0.33=$3,929.82

c ¿ . n=5meses= 512

años C= 4 ,200

1+ 512

∗0.33=$3,692.31

22.- El 20 de marzo la Sra. Pérez invierte $ 1 600, con un tipo de interés simple de 19.44%, ¿qué día retira su inversión si obtiene $ 260 de intereses?

C=$1 ,600 I=Cin I=$260 260=1,600∗0.1944n

i=19.44 %=0.1944 n= 2601 ,600∗0.1944

=0.835905 años∗360=301dìas

Fecha inicial=20de marzo

Fecha final=20de marzo+301d ì as=15deenerodel siguiente añ o

23.- El 8 de abril con un tipo de interés del 30.6% el Sr. Gómez invierte $ 1 500, el 3 de septiembre siguiente retira su inversión y la concede en préstamo el mismo día. El 24 de diciembre siguiente le liquidan el empréstito con $ 1 840. Despreciando el efecto inflacionario, ¿qué operación le fue más productiva?

Primera operación:

M=?8 de abril mayo junio … 3 de sep.$ 1, 500 148 días

i=30.6 % M=C (1+¿ )

C=$1 ,500 M=1 ,500(1+ 148360

∗0.306)=$1 ,688.70

n=148días

Segunda operación:

$ 1, 840.003 de sep. octubre noviembre 24 de dic.

$ 1, 688.70 112 días

1 ,840=1 ,688.70(1+ 112360

i)i=360

112 ( 1 ,8401 ,688.70

−1)=28.80 %

La primera operación fue más productiva, pues da una tasa mayor de rendimiento.

30.- Silvia posee un capital que invertido a 11% le produce un interés mensual de $ 797.50. Si se aumentó a 12% la tasa de interés, ¿qué cantidad debe retirar del capital para seguir cobrando el mismo interés mensual?

I=$797.50 I=Cin

n=1mes= 112años 797.50=

C1∗0.11∗112

i1=11% C1=

797.500.1112

=$87 ,000

i2=12 % 797.50=C2∗0.12∗1

12

C2=797.50

0.1212

=$79 ,750

La cantidad que podrá retirar es la diferencia entre los dos capitales invertidos, antes y después del incremento de la tasa.

Cantidad aretirar=C1−C2=87 ,000−79 ,750=$7 ,250.00

31.- Una persona invierte un total de 100 000 dólares en bonos, papel comercial y en depósito a plazo fijo que le producen intereses de 10%, 13% y 7.5% respectivamente. La cantidad invertida en papel comercial es el doble de la invertida en bonos. ¿Cuánto tiene en cada tipo de inversión si el interés total semestral es de 5 572.50 dólares?

InversiónTotal=$100 ,000

I=$5 ,572.50 por semestre

x=cantidad invertidaenbonos

y=cantidad invertida en papel comercial

z=cantidad invertidaa plazo fijo

Relaciones:

Inversión Total x+ y+z=100 ,000

Restricción de Inversión: y=2x

x+2x+z=100 ,000

3 x+ z=100 ,000

z=100 ,000−3x

Interés Total por Semestre I=I 1+ I 2+ I3

I 1=x∗0.10∗1

2=0.05 x

I 2=y∗0.13∗1

2=2x∗0.13 1

2=0.13 x

I 3=z∗0.75∗1

2= (100 ,000−3 x )∗0.75∗1

2=3 ,750−0.1125 x

I=0.05 x+0.13 x+3 ,750−0.1125 x=5 ,572.50

0.0675 x=1 ,822.50

x=1 ,822.500.0675

=$27 ,000

y=2x=$54 ,000

z=100 ,000−3x=$19 ,000

35.- Saúl compró un automóvil usado en una agencia automotriz, y el vendedor le dio a elegir entre dos formas de pago:

a) $ 130 000 de contado, ob) Dar un pago inicial de 20% sobre el precio de contado y firmar un pagaré a 90 días por $

108 498.Saúl dispone del dinero para pagar de contado, pero piensa que es mejor pagar de acuerdo a la segunda opción y, mientras se cumple el plazo, invertir el dinero que sobra después de hacer el pago inicial, en una Sociedad de Inversión a 90 días de plazo que le da 9.65% anual de interés simple. ¿Qué forma de pago resulta más ventajosa para Saúl?

a). $ 130, 000 de contado

b). i=9.65 %

0 30 60 90 Días$ 26, 000 $ 108, 498

Al pagar en la segunda forma le quedan $ 104, 000 disponibles

Si invierte el dinero disponible a la tasa indicada tenemos

M=104 ,000 (1+ 90360

∗0.0965)=$ 106 ,509.00

Lo que obtiene en la inversión no le alcanza para pagar el documento que firmó, tendría una pérdida de:

Pé rdida=108 ,498−106 ,509=$1 ,989.00

Por lo que le resulta mejor pagar de contado.

2.7. Descuento Simple.

En algunas operaciones bancarias de crédito se acostumbra cobrar el interés en el momento en que se realiza la operación. Cobrar el interés por adelantado, se llama descuento bancario, comercial o simplemente descuento. El descuento es un interés que se cobra por recibir de manera anticipada, una cantidad en efectivo en una fecha anterior a la fecha de vencimiento del documento que se firmó para formalizar la operación financiera. Este interés se cobra por dos razones:

El que recibe el dinero en efectivo puede disponer de él de inmediato esto aumenta su liquidez

El riesgo de cobro lo traslada a quien le vende el documento.

Al interés cobrado anticipadamente se le llama descuento y se simboliza por la letra D, a la cantidad que se recibe después de hacer el descuento se le llama valor efectivo y se simboliza por la letra C.

D=Mnd

donde:

D=descuentobancarioo comercial

n=tiempoque falta parael vencimiento deldocumento

d=tasade descuento

1.- Una empresa descontó en un banco un pagaré. Recibió $ 166 666.67. Si el tipo de descuento es de 60% y el vencimiento del pagaré era cuatro meses después de su descuento, ¿cuál era el valor nominal del documento en la fecha de su vencimiento?

C=$166 ,666.67 C=M (1−nd )

d=60 % 166 ,666.67=M (1− 412

∗0.60)n=4meses M=$208 ,333.34

2.- Una empresa descuenta un documento por el cual recibe $ 879 121. Si el tipo de descuento es de 55% y el valor nominal del documento era de $ 1 000 000, ¿cuánto tiempo faltaba para el vencimiento de su obligación?

C=$879 ,121 C=M (1−nd )

d=55 % 879 ,121=1 ,000 ,000 (1−0.55n )

M=$1 ,000 ,000 n=0.21978años=2meses ;19d í asó 79d í as

3.- ¿Cuál es el descuento comercial de un documento que vence dentro de cinco meses, y que tiene un valor nominal de $ 3 850 si se le descuenta al 38% tres meses antes de su vencimiento?

n=3meses D=Mnd

M=$3 ,850 D=3 , 850∗312

∗0.38=$365.75

d=38% 4.- Obtener la tasa de descuento si tres meses antes de su vencimiento, un pagaré con valor nominal de $ 1 750 se negocia y se vende en $ 1 540.

n=3meses C=M (1−nd )

M=$1 ,750 1 ,540=1 ,750 (1− 312d )

C=$1 ,540 d=48 %

5.- ¿Cuánto recibe el Sr. López por un documento de dos millones de pesos, cuatro meses antes del vencimiento y con un descuento del 39% simple anual?

M=$2 ,000 ,000 C=M (1−nd )

n=4meses C=2 ,000 ,000 (1− 412

∗0.39) d=39% C=$1 ,740 ,000

7.- El Banco Central descuenta al Sr. Gutiérrez, al 60% un pagaré con valor nominal de tres millones de pesos que vence a 45 días. El mismo día, dicho banco descuenta el documento en el Banco Nacional al 54%, ¿cuál fue la utilidad del Banco Central en esta operación?

M=$3 ,000 ,000 D=Mnd

n=45días

Banco Central le cobra al Sr. Gutiérrez Banco Central le paga al Banco Nacional

d=60 % d=54%

D=3 ,000 , 000∗45360

∗0.60=$ 225 ,000 D=3 ,000 , 000∗45360

∗0.54=$202 ,500

La utilidad para el Banco Central es:

Utilidad=225 ,000−202 ,500=$ 22,500

8.- El nueve de mayo se consiguió un préstamo y se firmó un pagaré por dos y medio millones de pesos, con vencimiento al 6 de abril del año siguiente que es bisiesto y con recargos del 45% simple anual. Encontrar el capital que se prestó y la tasa de descuento simple, si el acreedor negocia el documento el día 30 de noviembre anterior en dos millones de pesos.

M=$2 ,500 ,000 M=C (1+¿ )

i=45% El capital prestado es: 2 ,500 ,000=C(1+ 333360

∗0.45)n=333días C=$1 ,765 ,225.07

Por el documento de $ 2, 500, 000 se recibió:

C=$2 ,000 ,000 la tasa de descuento es: C=M (1−nd )

n=128días 2 ,000 ,000=2 ,500 ,000(1−128630

d ) d=56.25%

15.- En $ 3 207.80 el día 5 de octubre se descuenta un documento con valor nominal de $ 3 730, el cual había sido firmado el 10 de agosto anterior por un préstamo de tres mil pesos. ¿Cuál es la fecha de vencimiento si los intereses que se cargan son de 30% simple anual?, y ¿cuál es la tasa de descuento simple?

C=$3 ,000 M=C (1+¿ )

M=$3,730 3 ,730=3 ,000 (1+0.30n )

i=30 %=0.30 n=0.811111años∗360=292días

Fecha de vencimiento del documento: 29 de mayo del siguiente año.

Por el documento de $ 3, 000 se recibió:

C=$3 ,207.80 C=M (1−nd )

n=236días 3 ,207.80=3 ,730(1−236360

d ) La tasa de descuento fue de: d=21.36%

3. Interés Compuesto.

3.1. Definiciones.

En el interés simple el capital que genera el interés permanece constante durante todo el tiempo de la operación. En el interés compuesto, el interés generado en el primer período se suma al capital, y a partir del segundo período, el nuevo interés se calcula la suma de interés y capital del período anterior continuando este proceso hasta terminar el plazo. La cantidad obtenida al final de todo el proceso se llama monto compuesto o valor futuro. La diferencia entre el monto compuesto y el capital original se llama interés compuesto.

I=M−C

donde:

I=interés compuesto

M=monto ovalor futuro

C=capital ovalor presente

El tiempo en el que el interés se suma al capital se llama período de capitalización, entendiéndose así la conversión del interés en capital. De esta manera, en el interés compuesto siempre se debe indicar el tiempo en el que el interés se suma al capital, cuando esto no se indica el cálculo del interés se hace con interés simple.

Ejemplos:

12% con capitalización mensual, período de capitalización un mes

10% con capitalización semestral, período de capitalización un semestre

24% con capitalización trimestral, período de capitalización un trimestre

El número de veces que el interés se capitaliza en un año se llama frecuencia de capitalización y se representa por p.

Ejemplos:

12% con capitalización mensual, frecuencia de capitalización doce

10% con capitalización semestral, frecuencia de capitalización dos

24% con capitalización trimestral, de frecuencia capitalización cuatro

La tasa por período de capitalización es la que realmente actúa sobre el capital, se calcula con:

i= jp

donde:

i=tasa de interés por períodode capitalización

j=tasa de interésnominal

p=frecuencia decapitalización

Para mostrar el comportamiento del interés compuesto y su diferencia con el interés simple, realizamos un ejemplo:

C=$100 i=0.1212

=0.01

j=12%capitalizaciónmensual I=Cin

n=4meses M=C+ I

p=12

Si hacemos el cálculo al final de cada mes para el plazo de cuatro meses tenemos:

Período Capital Interés Monto1 $ 100.00 $ 1.00 $ 101.002 $ 101.00 $ 1.01 $ 102.013 $ 102.01 $ 1.02 $ 103.034 $ 103.03 $ 1.03 $ 104.06

Podemos observar en la tabla anterior:

A diferencia del interés simple que es constante, el interés compuesto es creciente, el primero crece de forma lineal el segundo de manera exponencial.

En el interés simple el capital invertido es siempre el mismo, en el interés compuesto el capital aumenta en cada período.

Por ser diferente en cada período, el interés compuesto no tiene una fórmula general para su cálculo.

En el primer período el interés simple y el interés compuesto son iguales, pues no existe acumulación de interés en este período.

Para el cálculo del monto con interés compuesto utilizaremos la siguiente fórmula, que se puede obtener siguiendo un proceso similar al del ejemplo anterior, utilizando sólo letras y algunas simplificaciones de álgebra.

M=C (1+i )n

donde:

M=monto ovalor futuro

C=capital ovalor presnte

i=tasa de interés por períodode capitalización

n=plazo expresadoen númerode períodosdecapuitalización

Aplicando la fórmula al ejemplo anterior, tenemos:

M=100 (1+0.01 )4=$ 104.06 I=104.06−100=$4.06

Ejemplos:

2.- Una inversión a largo plazo por $ 250 000 ha sido efectuada por una compañía de tamaño mediano. La tasa de interés es 12% anual y los intereses se capitalizan trimestralmente. Si el interés se reinvierte íntegramente a la misma tasa, ¿cuál será el valor de la inversión después de 8 años?

C=$250 ,000 M=C (1+i )n

p=4 M=250 ,000 (1+0.03 )32=$643 ,770.69

j=12%

n=8años=8∗4=32 trimestres

i=0.124

=0.03

3.- Un joven recibió hace poco una herencia de $ 2 000 000. Quiere invertir una parte de ella para su vejez. Su meta es acumular $ 3 000 000 en 15 años. ¿Qué parte de la herencia deberá invertir si el dinero producirá 12% anual capitalizable semestralmente? ¿Cuánto recibirá por concepto de intereses en 15 años?

M=$3 ,000 ,000 M=C (1+i )n

p=2 3 ,000 ,000=C (1+0.06 )30

j=12% C=$522 ,330.39

i=0.122

=0.06 M=C+ I

n=15años=30 semestres I=3 ,000 ,000−522 ,330.39=$2 ,477 ,669.61

4.- Una persona desea invertir $ 1 000 000 y que su inversión llegue a $ 2 000 000 durante los próximos 10 años. ¿A qué tasa de interés debería de invertir para lograr el crecimiento deseado, suponiendo una capitalización anual?

C=$1 ,000 ,000 M=C (1+i )n

M=$2 ,000 ,000 2 ,000 ,000=1 ,000 ,000 (1+i )10

p=1 i=√2−1=7.18 %

n=10años j=pi=7.18 %

7.- Una suma de $ 80 000 produce intereses a una tasa de 9% anual capitalizables semestralmente. ¿Cuánto tardará la inversión en llegar a $ 150 000?

C=$80 ,000 M=C (1+i )n

M=$150 ,000 150 ,000=80 ,000 (1+0.045 )n

p=2 15=8 (1.045 )n

j=9% 158

=(1.045 )n

i=0.092

=0.045 log 158

=log (1.045 )n

n=log 15

8log1.045

= log 1.875log 1.045

=0.2730010.019116

=14.28=14 ó15 semestres

15.- El 25% del costo de un mueble de sala se paga mediante un documento con valor nominal de $ 2 000 y vencimiento a treinta días. El 30% se liquida con un segundo pagaré con vencimiento a

60 días, otro 30% del costo, se paga con un tercer instrumento de crédito que vence a los 90 días de la compra y el 15% restante, se deja como enganche, obténgase el anticipo, el valor nominal de los dos últimos documentos, el costo del mueble y los intereses, si el tipo de interés que se devenga es del 30% compuesto mensualmente.

Costo0 30 60 90 Días

0.15 Costo $ 2, 000 M 1 M 2

0.25 Costo 0.30 Costo 0.30 Costo

Para quitar los intereses del documento de $ 2, 000 obtenemos el capital

M=$2 ,000 M=C (1+i )n

j=30% 2 ,000=C (1+0.025 )1

p=12 C=$1 ,951.22

n=1 Este capital representa el 15% del costo del mueble, por lo tanto el costo es de:

0.25Costo=1 ,951.22

Costo=1,951.220.25

=$7 ,804.88

Para determinar el valor del primer documento tenemos:

C=0.30Costo=0.30∗7 ,804.88=$2 ,341.46

M 1=2 ,341.46 (1+0.025 )2=$ 2, 460.00

El valor del segundo documento, también paga el 30% del costo del mueble y se obtiene:

M 2=2 ,341.46 (1+0.025 )3=$2 ,521.50

El enganche es el 15% del costo del mueble:

Enganche=0.15∗Costo=0.15∗7 ,804.88=$1 ,170.73

Los intereses son la diferencia entre lo pagado y el costo del mueble:

I=1 ,170.73+2,000+2 ,460+2 ,521.50−7 ,804.88=$ 347.35

16.- El 1 de abril del año 2005 se efectuó un depósito de $ 8 000 en un banco que pagaba 25% de interés capitalizable cada mes. El 1 de octubre de 2006 se depositaron $ 21 000 en la cuenta, y ese mismo día la tasa de interés cambió a 18% capitalizable cada quincena. ¿Cuál fue el saldo el 1 de noviembre de 2008, si la tasa de interés volvió a cambiar el 1 de enero de 2008 a 9% capitalizable cada mes?

n1=18meses n2=30quincenas n3=10meses1° Abril 2005 1° Oct. 2006 1° Enero 2008 1° Nov. 2008

$ 8, 000 M 1 M 2 M 3

j=25 % $ 21, 000 j=9%p=12 j=18 % p=12

p=24

El primer paso es calcular el monto del capital inicial invertido del 1° de abril de 2005 al 1° de octubre de 2006:

C1=$ 8 ,000 M=C (1+i )n

i=0.2512 M 1=8 ,000(1+ 0.25

12 )18

=$11 ,595.17

Ahora debemos calcular el monto que se genera del 1° de octubre de 2006 al 1° de enero de 2008, considerando que el capital invertido es el monto anterior más el depósito de $ 21, 000 y que la tasa es diferente y la capitalización también:

C2=$ 11 ,595.17+21,000=$ 32,595.17 M=C (1+i )n

i=0.1824

=0.0075 M 2=32 ,595.17 (1+0.0075 )30=$ 40 ,785.42

Finalmente se debe calcular el monto que se acumula desde el 1° de enero de 2008 al 1° de noviembre del mismo año, tomando como capital el monto del período anterior y la nueva tasa:

C3=$40 ,785.42 M=C (1+i )n

i=0.0912

=0.0075 el monto total es: M 3=40 ,785.42 (1+0.0075 )10=$43 ,949.66

21.- ¿Qué oferta es más conveniente si deseamos vender una pequeña fábrica de cromado de plástico, si el rendimiento del dinero es de 21% con capitalización mensual:

a) $ 16 250 000 de contado.$ 5 000 000 de enganche, $ 7 000 000 a un año y $ 9 000 000 a un año y medio.

Para hacer una evaluación de alternativas se debe elegir un punto en el tiempo, que se toma como referencia, y se busca el valor equivalente que representan cada uno de los flujos de efectivo de las diferentes alternativas, como si todo el dinero se recibiera junto en la fecha elegida.

j=21% M=C (1+i )n

p=12 C= M(1+ i)n

i=0.2112

=0.0175

Si elegimos al momento actual como nuestra fecha de referencia, la primera alternativa tiene un valor de $ 16, 250, 000 pues se paga de contado.

Para la segunda alternativa debemos calcular el valor equivalente que se recibiría si todos los pagos se hicieran en el momento actual.

0 1 … 12 … 18 Meses$ 5 $ 7 $ 9 Millones

El valor de los tres pagos si se hicieran de contado sería:

C=5 ,000 ,000+ 7 ,000 ,000(1+0.0175 )12+

9 ,000 ,000(1+0.0175 )18 =$17 ,270 ,424.28

En base a lo anterior se puede ver que la segunda oferta tiene un valor equivalente mayor que la primera, por lo tanto se considera mejor.

3.2. Tasa de Interés

La tasa de interés convenida en una operación financiera, que generalmente se expresa en forma anual, se denomina tasa nominal o tasa contractual.

La tasa efectiva es la tasa de interés que capitaliza anualmente y representa el rendimiento anual producido por la capitalización de los intereses, a esta tasa también se le llama rendimiento anual afectivo.

e=(1+ jp )

p

−1

donde:

e=tasa efectiva

j=tasanominal

p=frecuencia decapitalizaci ón

3.- Encontrar la tasa efectiva que corresponde a la tasa nominal del 68% compuesto trimestralmente.

j=68% e=(1+ 0.684 )

4

−1=87.39 %

p=4 4.- Resolver el ejemplo 2, encontrando la tasa efectiva en cada una de las tres opciones que para invertir tiene el señor Gómez.

a). e=(1+ jp )

p

−1

j=21% e=(1+ 0.2112 )

12

−1=23.14 %

p=12

b).

j=24% e=(1+ 0.242 )

2

−1=25.44 %

p=2

c).

j=22% e=(1+ 0.224 )

4

−1=23.88 %

p=4

Por lo tanto, la mejor alternativa de inversión es la de los Certificados de la Tesorería.

5.- ¿Cuál es la tasa nominal bimestral que corresponde a un 25% de tipo de interés efectivo?

e=25% e=(1+ jp )

p

−1

p=6 0.25=(1+ j6 )

6

−1

j=6 ( 6√1.25−1 )=22.73 % 11.- ¿A qué tasa nominal convertible trimestralmente, un capital de $ 30 000 crecerá hasta $ 100 000 en tres años? Determine la tasa efectiva.

C=$30 ,000 M=C (1+i )n

M=$100 ,000 100 ,000=30 ,000 (1+i )12

p=4 i=12√ 100 ,00030 ,000

−1=0.105573

n=3años×4=12 i= jp

e=(1+ jp )

p

−1 e=(1+0.105573 )4−1=49.38 %

14.- ¿Cuál será el monto de $ 200 000 en 4 años si se invierten a una tasa efectiva de 8% anual? Los intereses se capitalizan cada mes.

C=$200 ,000 e=(1+ jp )

p

−1

p=12 0.08=(1+ j12 )

12

−1

n=4 años∗12=48 j=12 ( 12√1.08−1 )=0.077208

e=8% M=C (1+i )n

i= jp=0.077208

12=0.006434 M=200 ,000 (1+0.006434 )48=$ 272 ,097.79

19.- Juan Pablo tiene dinero invertido en una Sociedad de Inversión que paga intereses diariamente. Durante un período de 2 años, en que no realizó depósitos ni retiros, su cuenta pasó de $ 90 000 a $ 108 900. Calcule:

a) La tasa nominal anual.b) La tasa efectiva anual.c) La tasa efectiva del período (de dos Años).

C=$90 ,000 a). M=C (1+i )n

M=$108 ,900 108 ,900=90 ,000 (1+i )730

p=365 i=730√ 108 ,90090 ,000

−1=0.000261

n=2años∗365=730 i= jp j=ip=0.000261∗365=0.095323=9.53 %

b). e=(1+ jp )

p

−1 e=(1+ 0.095323365 )

365

−1=10 %

c). e=(1+ 0.095323365 )

730

−1=21 %

3.3. Ecuaciones de Valor.

Una ecuación de valor es una igualdad entre dos flujos de efectivo que representan dos formas diferentes de cumplir con ciertas obligaciones financieras. Para la comparación se establece un punto en el tiempo llamado fecha focal (FF).

Ejemplos:

1.- Se ha conseguido un préstamo para ser liquidado con dos pagos de $ 50 000 cada uno incluyendo intereses o recargos del 27% capitalizable mensualmente, con un plazo de 30 y 120

días respectivamente. Un mes después, poco antes de hacer el primer abono, se conviene en reemplazarlos con tres que son iguales entre sí y que se efectuarán: el primero ese mismo día y los otros dos a 30 y 60 días contados a partir de esa fecha, ¿qué cantidad o valor tiene cada uno de estos pagos?

X X X0 30 FF 60 90 120 Días

$ 50, 000 $ 50, 000

Existen dos formas de pago para liquidar el préstamo, estas dos formas deben ser, en términos financieros iguales, de otra forma el acreedor o el deudor saldrían perjudicados.

FP1=FP2

Para hacer esta igualdad, se debe elegir un punto en el tiempo, al cual se moverá todo el efectivo que interviene en la operación financiera, en nuestro caso ese punto es el día treinta.

Una vez definida la fecha focal, se deben llevar todas las cantidades a ese punto, las cantidades que estén antes de la fecha focal incrementarán su valor aplicando la fórmula de monto con interés compuesto:

M=C (1+i )n

y las cantidades que estén después de la fecha focal reducirán su valor mismo que se obtendrá con la misma fórmula del monto con interés compuesto pero calculando el capital correspondiente:

C= M(1+ i)n

La fecha focal se puede ubicar en cualquier parte del diagrama de tiempo, pero se recomienda que se ubique donde haya, por lo menos una cantidad del flujo de efectivo.

De acuerdo a lo anterior tenemos:

j=27% x+x

1+0.0225+ x

(1+0.0225 )2=50 ,000+ 50 ,000

(1+0.0225 )3

p=12 x [1+ 11.0225 +

1(1.0225 )2 ]=50 ,000+46 ,771.366026

i=0.2712

=0.0225 x [1+0.977995+0.956474 ]=96 ,771.366026

x=96 ,771.3660262.934470

=$32,977.46

La deuda se puede saldar haciendo tres pagos de $ 32, 9977.46 al final de cada uno de los tres primeros meses.

2.- Al comprar un automóvil cuyo costo es de 350 mil pesos, se acuerda en pagarlo con un enganche y tres abonos adicionales iguales al enganche, a uno, dos y tres meses, con recargos del 48% nominal mensual. Poco tiempo después de la compra, se hace un nuevo convenio para cancelar el compromiso mediante dos pagos : el primero a dos meses de la operación de compraventa por una cantidad X, y el segundo a cinco meses de la misma fecha, por otra cantidad que es el doble que la primera, de cuánto será cada pago sí :

a) Se mantiene la misma tasa de interés.b) En el nuevo convenio se incrementa un 3% la tasa con respecto a la anterior.

En este caso hay dos operaciones, la primera es la compra del auto en las condiciones iniciales:

$ 350, 0000 FF 1 2 3 Meses

X X X X

Primero se busca saber cuánto se quedó a deber después de haber dado el enganche.

j=48% x+x

1+0.04+ x

(1+0.04 )2+ x

(1+0.04 )3=350 ,000

p=12 x [1+ 11.04 +

1(1.04 )2

+x

(1+0.04 )3 ]=350 ,000

i=0.4812

=0.04 x [1+0.961538+0.924556+0.888996 ]=350 ,000

x= 350 ,0003.775091

=$ 92,713.00

Lo que se quedó a deber después del enganche fue:

350 ,000−92,713=$257 ,287

Sobre esta cantidad es que se hace el nuevo convenio, quedando el flujo de efectivo:

$ 257, 2870 FF 1 2 … 5 Meses

X 2X

a). Con estas nuevas condiciones, se plantea otra ecuación de valor para determinar el valor de los dos pagos que saldarían la deuda:

x(1+0.04 )2

+ 2 x(1+0.04 )5

=257 ,287

x [ 1(1.04 )2

+2x

(1+0.04 )5 ]=257 ,287

x [0.924556+1.643854 ]=257,287

x= 257,2872.568410

=$ 100,173.63

2 x=$ 200 ,347.26

b). Al aumentar la tasa de interés el valor de los pagos sería:

i=1.03(0.4812 )=0.0412

x(1+0.0412 )2

+ 2 x(1+0.0412 )5

=257 ,287

x [ 1(1.04 )2

+2x

(1+0.04 )5 ]=257 ,287

x [0.922426+1.634403 ]=257,287

x= 257,2872.556829

=$ 100 ,627.36

2 x=$ 201,254.72

6.- Se adquiere una impresora y se paga con un enganche del 25% y tres abonos bimestrales de 2 500 pesos cada uno al final del primero, segundo y tercer bimestres. Suponiendo recargos del 27% capitalizable mensualmente, obténgase:

a) La magnitud de tres pagos iguales que se efectúan al final de los meses, tercero, quinto y séptimo respectivamente, los cuales sustituyen a los tres originales, excluyendo el anticipo porque no varía.

b) El costo de contado del equipo.

La operación se puede plantear en un diagrama de tiempo como el que se muestra en seguida:

Costo0 FF 2 4 6 Meses

0.25 Costo $ 2, 500 $ 2, 500 $ 2, 500

b). Con este diagrama podemos plantear una ecuación de valor para determinar el costo de la impresora.

j=0.27% Costo=0.25Costo+ 2 ,500(1+0.0225 )2

+ 2 ,500(1+0.0225 ) 4 +

2 ,500(1+0.0225 )6

p=12 Costo−0.25Costo=2 ,391.186088+2 ,287.108363+2 ,187.560680

i=0.2712

=0.0225 0.75Costo=6 ,865.855131

Costo=6 ,865.8551310.75

=$9,154.47

a). La deuda después de dar el enganche es:

Deuda=0.75∗9 ,154.47=$6865.86

Con este valor se plantea una nueva ecuación de valor cuyo diagrama de tiempo se muestra en seguida:

$ 6, 865.860 FF 3 5 7 Meses

X X X

x(1+0.0225 )3

+ x(1+0.0225 )5

+ x(1+0.0225 )7

=6 ,865.86

x [ 1(1.0225 )3

+1

(1.0225 )5+

1(1.0225 )7 ]=6 ,865.86

x (0.935427+0.894712+0.855769 )=6 ,865.86

2.685909 x=6 ,865.86

x=6 ,865.862.685909

=$2 ,556.25

17.- La tienda departamental La Francesa ofrece una sala por $ 8 700, precio de contado. Puede comprarse a crédito mediante tres pagos iguales de $ 3 014.45 cada uno. El primer pago sería el día de la compra y los otros dos a 1 y 2 meses. ¿Cuál es la tasa de interés anual, si los intereses se capitalizan mensualmente?

La operación de compra, se puede plantear en un diagrama de tiempo como el que se muestra en seguida:

$ 8, 7000 FF 1 2 3 Meses

$ 3, 014.45 $ 3, 014.45 $ 3, 014.45

El problema radica en el desconocimiento de la tasa de interés, por período de capitalización, para resolver esto se puede plantear una ecuación de valor, de la siguiente forma:

p=12 8 ,700=3 ,014.45+ 3 ,014.451+i

+ 3 ,014.45(1+ i)2

8 ,700−3 ,014.45=3 ,014.451+i

+3 ,014.45(1+i )2

5 ,685.55=3 ,014.451+i

+ 3 ,014.45(1+i )2

Multiplicando la ecuación anterior por (1+i )2

5 ,685.55 (1+i )2=3 ,014.45 (1+i )2

1+i+ 3 ,014.45 (1+i )2

(1+i )2

5 ,685.55 (1+i )2=3 ,014.45 (1+i )+3 ,014.45

5 ,685.55 (1+i )2−3 ,014.45 (1+i )−3 ,014.45=0

Sustituyendo 1+i por x obtenemos una ecuación de segundo grado:

5 ,685.55 x2−3 ,014.45 x−3 ,014.45=0

En esta ecuación:

a=5 ,685.55

b=−3 ,014.45

c=−3 ,014.45

Aplicando la fórmula para resolver una ecuación de segundo grado, tenemos:

x1 ,2=−b±√b2−4ac

2a

x1 ,2=−(−3 ,014.45 )±√(−3 ,014.45 )2−4 (5 ,685.55 ) (−3 ,014.45 )

2 (5 ,685.55 )

x1 ,2=3 ,014.45±√77 ,642,133.5925

11 ,370.90=3 ,014.45±8 ,811.477378

11 ,370.90

Tomando sólo la raíz positiva, la negativa no tiene sentido financiero, tenemos:

x1=3 ,014.45+8 ,811.477378

11 ,370.90=1.040017

Aproximando a cuatro cifras decimales y regresando a la variable original, tnemos:

1+i=1.04

i=1.04−1=0.04

Por lo tanto la tasa nominal es:

i= jp y j=ip=0.04∗12=0.48=48%

4. Anualidades.

4.1. Definiciones.

4.1.1. Anualidad.

Es un conjunto de pagos iguales que se hacen en períodos iguales.

4.1.2. Renta.

Es el valor que tiene cada pago de la anualidad.

4.1.3. Plazo.

Es el tiempo que hay entre la fecha inicial del primer pago y la fecha final del último pago.

4.1.4. Intervalo de Pago.

Es el tiempo que hay entre dos pagos sucesivos.

4.2. Clasificación.

La clasificación de las anualidades se hace de acuerdo con varios criterios.De acuerdo con la fecha inicial y final del plazo:

4.2.1. Cierta.

Cuando se conocen las fechas inicial y final del plazo.

4.2.2. Eventual o Contingente.

Cuando no se conoce la fecha inicial o final del plazo o ambas.

Según las fechas de los pagos:

4.2.3. Anticipada.

Cuando todos los pagos se realizan al inicio de cada período.

4.2.4. Ordinaria o Vencida.

Si todos los pagos se realizan al final de cada período.

De acuerdo con la fecha del primer pago:

4.2.5. Inmediata.

Cuando el primer pago se hace en el primer período.

4.2.6. Diferida.

Si el primer pago se hace después del primer período.

Según la coincidencia del intervalo de pago y el período de capitalización:

4.2.7. Simple.

Los pagos se realizan en la misma fecha que capitalizan los intereses y el intervalo de pago es igual al período de capitalización.

4.2.8. General.

El intervalo de pago y el período de capitalización son diferentes.

4.2.9. Perpetua o Perpetuidad.

Existe otro tipo de anualidad llamada Anualidad Perpetua o Perpetuidad en la cual el número de pagos es por tiempo indefinido.

4.3. Anualidad Anticipada.

Este tipo de anualidad se caracteriza porque sus pagos se hacen al inicio de cada período, también se conoce la fecha de inicio y terminación de la anualidad y los períodos de pago y de capitalización son iguales.

De esta anualidad nos interesa conocer, en general, su monto o valor futuro, su renta y el plazo de la misma. En la figura de abajo se muestra una anualidad de este tipo así como las fórmulas que se utilizan para los cálculos correspondientes.

0 1 2 … n-1 nR R R R

M=R (1+i ) (1+i )n−1i

I=M−nR i= jp

donde:

M=monto ovalor futuro I=inter é s total R=rentan=plazo expresadoen número de par í odosdecapitalizaci ó nj=tasanominal p=frecuencia decapitalización

i=tasa por período decapitalización

Con estos elementos podemos iniciar la resolución de ejercicios de anualidades.

Ejemplos:

1.- Obtener el monto que se acumula en cuatro años si se invierten $ 2 500 cada mes, con tipo nominal mensual del 24%.

M0 1 2 … 48 Meses

$ 2, 500 $ 2, 500 $ 2, 500

Cuando en una anualidad no se indica explícitamente si el período de pago y el de capitalización son iguales o diferentes, se suponen iguales. Del mismo modo, si de manera expresa no se indica si la anualidad es anticipada, el hecho de relacionarla con el monto o valor futuro de la misma, es suficiente para considerarla como anticipada.

n=4 años∗12=48meses M=R (1+i ) (1+i )n−1i

R=$2 ,500 M=2 ,500 (1+0.02 ) (1+0.02 )48−10.02

=$202 ,351.47

j=24%p=12

i=0.2412

=0.02

3.- ¿En cuánto tiempo se acumula un monto de 200 mil pesos si se invierten mil pesos cada mes con un tipo de interés del 36% nominal?

M=$200 ,000 M=R (1+i ) (1+i )n−1i

R=$1 ,000 200 ,000=1 ,000 (1+0.03 ) (1+0.03 )n−10.03

j=36% 200∗0.03

1.03+1= (1.03 )n

p=12 6.825243=(1.03 )n

i=0.3612

=0.03 log 1.03n=log 6.825243

n log 1.03=log 6.825243

n= log6.825243log1.03

=64.98meses

Cuando el número de pagos no es entero, que es en la mayoría de los casos, se redondea al valor más cercano ya sea hacia abajo o hacia arriba y se determina el nuevo valor de la renta, el procedimiento se muestra en seguida.

Sin=65 200 ,000=R (1+0.03 ) (1+0.03 )65−10.03

R=$ 999.19

Sin=64 200 ,000=R (1+0.03 ) (1+0.03 )64−10.03

R=$1 ,034.49

4.- ¿Cuánto debe ahorrar desde ahora cada semana y hasta el vencimiento, la administración de una tienda de ropa, para rescatar un pagaré que suscribió hace tres meses por un préstamo de $ 7 500 a 10 meses de plazo y recargos del 27% simple anual? Suponga que la inversión reditúa con el 24.7% nominal semanal.

En primer lugar se debe calcular el valor del pagaré para saber la meta de ahorro que se quiere alcanzar con la anualidad.

C=$7 ,500 M=C (1+¿)

n=10meses M=7 ,500(1+ 1012

∗0.27)=$ 9 ,187.50

Ahora sabemos el monto que debemos acumular con la anualidad y debemos determinar la renta necesaria para, con la nueva tasa, alcanzar el objetivo.

M=$9 ,187.50 M=R (1+i ) (1+i )n−1i

n=7meses= 712

∗52≅ 30 semanas 9 ,187.50=R (1+0.00475 ) (1+0.00475 )30−10.00475

j=24.7 % R=$284.32p=52

i=0.24752

=0.00475

7.- Una persona planea depositar, al final del año en curso, $ 100 000 en un plan de ahorros exento de impuestos y una suma igual al final de cada año siguiente. Si se espera que se generen intereses a una tasa de 6% anual capitalizables anualmente, ¿a qué cantidad llegará la inversión al momento de efectuar el cuarto depósito?

En algunos casos, cuando se expresamente se indica, como en este ejemplo, una anualidad ordinaria puede estar asociada con un monto o valor futuro, cuando esto sucede, la fórmula del monto debe ser ajustada tal como se indica en este ejemplo.

M0 1 2 3 4 Años

$ 100, 000 $ 100, 000 $ 100, 000 $ 100, 000

Como puede verse en el diagrama de tiempo, los pagos se hacen al final de cada período y no al principio, como en una anualidad anticipada, por esta razón cada uno de los tres primeros pagos genera interés, pero el cuarto pago no, por lo que la fórmula se aplica para calcular el monto de los tres primeros pagos y el último pago se suma al monto anterior, sin intereses, tal como se indica en seguida.

j=6% M=R (1+i ) (1+i )n−1i

p=1 M=100 ,000 (1+0.06 ) (1+0.06 )3−10.06

+100 ,000

i=6 % M=$437 ,461.60R=$100 ,000 n=3

9.- Una empresa desea establecer un fondo de amortización a fines del presente año. Se harán depósitos anuales al final de este año y durante los próximos 9 años. Si los depósitos reditúan intereses a una tasa de 8% anual capitalizable anualmente, ¿cuánto dinero habrá que depositar cada año con el fin de acumular $ 12 millones en el momento de efectuar el décimo depósito? ¿Cuánto se percibirá por concepto de intereses?

Se trata, nuevamente, de una anualidad ordinaria que se asocia con un monto, por lo cual hay que hacer una modificación a la fórmula original.

Se quiere reunir un total de $ 12, 000, 000 con diez depósitos que se harán al final de cada uno de los diez años, para saber el valor de cada depósito se sustituye en la fórmula de monto, tomando nueve depósitos que generan interés y sumando al final un décimo depósito que no genera interés.

j=8% M=R (1+i ) (1+i )n−1i

p=1 12 ,000 ,000=R (1+0.08 ) (1+0.08 )9−10.08

+R

i=8 % 12 ,000 ,000=13.486562R+R

M=$12 ,000 ,000 R=12 ,000 ,00014.486562

=$ 828 ,353.86

n=9 I=12 ,000 ,000−10 (828 ,853.86 )=$3 ,716 ,461.36

11.- El día de su nacimiento una niña recibió, por parte de sus abuelos maternos, $ 50 000 para que sean utilizados para su educación universitaria. El mismo día en que nació la niña su padre le abrió una cuenta de inversión a su nombre, donde depositó el regalo de los abuelos junto con $ 1 000 que piensa depositar, a partir de ese momento, cada bimestre, durante 15 años. Después de transcurrido ese tiempo, los depósitos serán suspendidos, pero el dinero se mantendrá en la cuenta hasta que la niña cumpla 18 años, edad en que estará por ingresar a la universidad. ¿Qué cantidad de dinero habrá en la cuenta dentro de 18 años? Suponga que la tasa de interés es de 10% capitalizable cada bimestre.

M 1

0 1 2 … 108 Bimestres$ 50, 000

El depósito de $ 50, 000 estará invertido durante 18 años, es decir, 108 bimestres.

j=10 % M=C (1+i )n

p=6 M 1=50 ,000(1+ 0.106 )

108

=$298 ,028.05

i=0.106

C=$50 ,000 n=18∗6=108

Los depósitos de $ 1, 000 se harán durante 15 años y generarán un monto de:

M 2

0 1 2 … 90 Bimestres$ 1, 000 $ 1, 000 $ 1, 000

j=10 % M=R (1+i ) (1+i )n−1i

p=6 M 2=1 ,000(1+0.10

6 ) (1+ 0.10

6 )90

−1

0.106

=$209 ,024.05

i=0.106

R=$1 ,000 n=15∗6=90

Aunque los depósitos serán suspendidos, esta cantidad permanecerá invertida tres años más y generará un monto de:

M 3

0 1 2 … 18 Bimestres$ 209, 024.05

j=10 % M=C (1+i )n

p=6 M 3=209 ,024.05(1+ 0.106 )

18

=$281 ,456.18

i=0.106

C=$209 ,024.05

n=3∗6=18

Finalmente, la cantidad total de dinero que habrá en la cuenta después de 18 años, será la suma de los montos uno y tres.

M T=M1+M 3=298 ,028.05+281 ,456.18=$579 ,484.22

4.4. Anualidad Ordinaria.

Este tipo de anualidad se caracteriza porque sus pagos se hacen al final de cada período, se conoce la fecha de inicio y terminación de la anualidad y los períodos de pago y de capitalización son iguales.

De esta anualidad nos interesa conocer, en general, su capital o valor presente, su renta y el plazo de la misma. En la figura de abajo se muestra una anualidad de este tipo así como las fórmulas que se utilizan para los cálculos correspondientes.

C0 1 2 … n-1 n

R R R R

C=R 1−(1+ i )−n

i I=nR−C i= j

p

donde:

C=capital ovalor presente I=inter é s total R=rentan=plazo expresadoen número de par í odosdecapitalizaci ó nj=tasanominal p=frecuencia decapitalizacióni=tasa por período decapitalización

Con estos elementos podemos iniciar la resolución de ejercicios de anualidades ordinarias.

Ejemplos:

1.- Un automóvil usado se vende en $ 72 000 de contado, o bien mediante un enganche de $ 20 000 y 6 pagos de $ 8 000 al mes, así como un séptimo pago final. Si la tasa de interés es de 22% capitalizable cada mes, ¿cuál será el valor del pago final?

$ 72, 0000 1 … 6 7 Meses

$ 20, 000 $ 8, 000 $ 8, 000 X

Para resolver este problema se tiene que plantear una ecuación de valor, entre el precio de contado y la forma de pago a crédito.

j=22% C=R 1−(1+ i )−n

i

p=12 72 ,000=20 ,000+8 ,0001−(1+ 0.22

12 )−6

0.2212

+x

(1+ 0.2212 )

7

i=0.2212 72 ,000−20 ,000−45 ,064.586764= x

1.135611C=$209 ,024.05 6 ,935.413236∗1.135611=xn=3∗6=18 x=$7 ,875.93

4.- Se ofrecen en venta departamentos de interés social con un anticipo que la compañía promotora acepta recibir en 15 mensualidades ordinarias de $ 1 700 a partir de la entrega de la vivienda. ¿Cuál es el valor presente del enganche al momento de la compra y con qué costo se están vendiendo los departamentos, si dicho enganche corresponde al 30% del costo y el tipo de interés es del 34.2% nominal?

C0 1 2 … 15 Meses

$ 1, 700 $ 1, 700 $ 1, 700

Lo que se quiere saber es el valor presente del enganche, para ello se debe calcular el capital de la anualidad.

j=0.342% C=R 1−(1+ i )−n

i

p=12 C=1 ,700 1−(1+0.0285 )−15

0.0285=$20 ,516.44

i=0.34212

=0.0285 Enganche=$20 ,516.44

R=$1 ,700 n=15

Como el enganche representa el 30% del costo de los departamentos:

0.30Costo=$ 20 ,516.44

Costo=20 ,516.440.30

=$68 ,388.13

5.- En el problema anterior, ¿en cuánto tiempo se amortiza el enganche, si el comprador lo paga con mensualidades ordinarias de $ 2 000?

$ 20, 516.440 1 2 … n Meses

$ 2, 000 $ 2, 000 $ 2, 000

Si el enganche es el valor calculado en el problema anterior y las mensualidades aumentan a $ 2, 000 vamos a determinar cuántos meses se requieren para pagar el enganche, para ello debemos determinar el valor de n.

j=0.342% C=R 1−(1+ i )−n

i

p=12 20 ,516.44=2,000 1−(1+0.0285 )−n

0.0285

i=0.34212

=0.0285 20 ,516.44∗0.0285

2 ,000=1−(1+0.0285 )n

R=$1 ,700 (1.0285 )−n=1−20 ,516.44∗0.02852 ,000

n=15 log (1.0285 )−n=log 1−20 ,516.44∗0.02852 ,000

−n log 1.0285=log 0.70764073

n= log 0.70764073−log1.0285

=−0.1501872−0.012204

=12.31=12ó13meses

En la práctica no se puede manejar un número de períodos fraccionario, para resolver este inconveniente, se aproxima al entero que se desee, calculando la renta correspondiente a las nuevas condiciones.

Sin=12 20 ,516.44=R 1−(1+0.0285 )−12

0.0285 R=$2 ,042.71

Sin=13 20 ,516.44=R 1−(1+0.0285 )−13

0.0285 R=$1 ,910.69

Como puede observarse, al disminuir el número de pagos a 12 se tiene que aumentar el valor de la mensualidad y cuando se aumenta el número de pagos a 13 el valor de la mensualidad disminuye.

6.- Obtener el abono bimestral que se hace durante cinco años, para liquidar el costo de un terreno suponiendo un enganche del 30%, con los recargos que son del 39% nominal y el costo es de 240 mil pesos.

$ 168, 0000 1 2 … 30 Bimestres

R R R

Después de deducir el enganche del terreno, queda pendiente una deuda que hay que saldar en parcialidades bimestrales.

Costo=$ 240, 000

Enganche=0.30Costo=$ 72, 000 Deuda=$ 168, 000

j=0.39 % C=R 1−(1+ i )−n

i

p=6 168 ,000=R 1−(1+0.065 )−30

0.065

i=0.396

=0.065 R=$12 ,865.01

n=5años∗6=30 9.- Hace poco una persona ganó la lotería. Según las condiciones, el ganador recibirá pagos anuales por $ 200 000 al final del año en curso y cada uno de los próximos tres años. Si pudiera invertir hoy esa suma a una tasa de 8% anual capitalizable anualmente, ¿cuál es el valor presente de los cuatro pagos?

C0 1 2 3 4 Años

$ 200, 000 $ 200, 000 $ 200, 000 $ 200, 000

Lo que se requiere, es encontrar el valor actual o capital, que es equivalente a los cuatro pagos anuales de $ 200, 000.

j=8% C=R 1−(1+ i )−n

i

p=1 C=200 ,000 1− (1+0.08 )−4

0.08

i=0.081

=0.08 C=$662 ,425.37

n=4 años R=$200 ,000

10.- Los padres de una adolescente desean depositar una suma de dinero que reditúe intereses a una tasa de 9% anual capitalizable semestralmente. El depósito servirá para generar una serie de ocho pagos semestrales de $ 25 000 a partir del sexto mes de efectuado el depósito. Con los pagos se financiará la educación universitaria de la adolescente. ¿Qué cantidad deberá depositarse para alcanzar esa meta? ¿Cuánto se recibirá por concepto de intereses sobre el depósito?

$ 25, 000 $ 25, 000 $ 25, 000 $ 25, 0000 1 2 … 8 SemestresC

Se desea saber, qué cantidad invertida ahora, podrá generar ocho retiros anuales de $ 25, 000 cada uno.

j=9% C=R 1−(1+ i )−n

i

p=2 C=25 ,000 1−(1+0.045 )−8

0.045

i=0.092

=0.045 C=$164 ,897.15

n=4 años∗2=8 semestres R=$25 ,000

Para calcular el interés, utilizamos la fórmula del interés de una anualidad ordinaria.

I=nR−CI=8∗25 ,000−164 ,897.15=$35 ,102.85

13.- Una persona paga $ 1 000 000 por una casa nueva. Un anticipo de $ 300 000 deja una hipoteca de $ 700 000, con intereses calculados al 13.5% anual capitalizables mensualmente. Determine el pago de la hipoteca mensual, si el préstamo se va a liquidar durante: a) 20 años, b) 25 años y c) 30 años. d) Calcule el interés total en los tres periodos de préstamo.

C=$700 ,000 C=R 1−(1+ i )−n

i

j=13.5% p=12

i=0.13512

=0.01125

a). n=20años∗12=240 700 ,000=R 1−(1+0.01125 )−240

0.01125

R=$8 ,451.62

b). n=25años∗12=300 700 ,000=R 1−(1+0.01125 )−300

0.01125

R=$8 ,159.51

c). n=30años∗12=360 700 ,000=R 1−(1+0.01125 )−360

0.01125

R=$8 ,017.88

d). I=nR−CI=240∗8 ,451.62−700 ,000=$1 ,328 ,388.80

I=300∗8 ,159.51−700 ,000 ,000=$ 1,747 ,853.00I=360∗8 ,017.88−700 ,000=$2 ,186 ,436.80

14.- En el problema anterior, determine los efectos de una disminución de la tasa de interés a 13% a) en pagos mensuales de una hipoteca de 25 años y b) en los intereses totales de una hipoteca de 25 años.

C=$700 ,000 C=R 1−(1+ i )−n

i

j=13 % p=12

i=0.1312

a). n=25años∗12=300 700 ,000=R1−(1+ 0.13

12 )−300

0.1312

R=$7 ,894.85

d). I=nR−CI=300∗7 ,894.85−700 ,000=$1 ,668 ,455.00

5. Amortización.

5.1. Definición.

Amortizar una deuda significa, el pago de la deuda y de sus intereses mediante pagos periódicos.

El capital pendiente de pago en el momento de hacer uno de los pagos, se llama capital vivo de la deuda o saldo insoluto.

Los derechos adquiridos por el deudor son la diferencia entre la deuda original y el saldo insoluto, esta cantidad es la parte o fracción del bien que se ha amortizado y que por lo tanto es ya propiedad del deudor.

Cada abono que se paga para amortizar la deuda se compone, de una parte del capital que se adeuda y de los intereses correspondientes al período en cuestión.

Abono=Amortización+ Intereses

5.2. Clasificación.

Existen muchos tipos de amortización, algunos de ellos son:

5.2.1. Gradual.

En este tipo de amortización los pagos son iguales y cada uno reduce el valor de la deuda, esto hace que los intereses se reduzcan y la amortización aumente en cada pago, este es un caso de

anualidades ordinarias. La condición para esta forma de pago es que el abono debe ser mayor que los intereses, en caso contrario la deuda no puede pagarse.

5.2.2. Constante.

Aquí la amortización de cada período es la misma y esto hace que cada pago sea menor que el anterior pues la deuda va disminuyendo y los intereses también. Este tipo de amortización puede ser atractiva para el deudor.

5.2.3. Con Pagos Crecientes.

En este caso los pagos y la amortización son crecientes, incluso los primeros pagos pueden ser tan pequeños que no cubran los intereses y la deuda crezca. Este tipo de amortización genera un interés más alto que las otras. Los pagos pueden variar uno a uno o en grupos ya sea en forma aritmética o geométrica.

5.3. Tabla de Amortización Constante.

1.- Obtenga los primeros cuatro renglones del cuadro correspondiente a la amortización de una deuda de 5 millones de pesos con abonos mensuales de $ 250 000 e intereses del 48% capitalizable por meses.

j=48% p=12

i=0.4812

=0.04

C= $5,000,000R= $250,000i= 0.04

FECHA RENTA INTERÉS AMORTIZACIÓN SALDOINICIO 1 $5,000,000FINAL 1 $250,000 $200,000 $50,000 $4,950,000FINAL 2 $250,000 $198,000 $52,000 $4,898,000FINAL 3 $250,000 $195,920 $54,080 $4,843,920

Para el cálculo de la tabla, en el primer renglón se considera el inicio del primer período, en el que la deuda es de $ 5, 000, 000 pues no ha habido ningún pago, en el segundo renglón, al final del primer período, se genera un interés por el total de la deuda y se calcula multiplicando los $ 5, 000, 000 por la tasa de 0.04 dando un total de $ 200, 000 esta cantidad se resta del pago que se hace y este valor es la cantidad que se amortiza, esto es, $ 5, 000, 000-$ 200, 000=$ 50, 000, ahora esta cantidad es lo que se paga de la deuda y por lo tanto se puede deducir del total de la deuda quedando un saldo por $ 4, 950, 000 (5, 000, 000-50, 000). El proceso continua hasta que la deuda sea saldada, es decir, el último renglón en la última columna debe ser cero.

2.- Obtener la renta mensual y el cuadro de amortización, si un adeuda de 50 mil pesos se cancela con seis pagos mensuales y con intereses del 30 % capitalizable mensualmente.

j=30% C=R 1−(1+ i )−n

i

p=12 50 ,000=R 1−(1+0.025 )−6

0.025

i=0.3012

=0.025 R=$ 9 ,077.50

C= $50,000R= -$9,077.50i= 0.025

n= 6

FECHA RENTA INTERÉS AMORTIZACIÓN SALDOINICIO 1 $50,000.00FINAL 1 $9,077.50 $1,250.00 $7,827.50 $42,172.50FINAL 2 $9,077.50 $1,054.31 $8,023.19 $34,149.31FINAL 3 $9,077.50 $853.73 $8,223.77 $25,925.55FINAL 4 $9,077.50 $648.14 $8,429.36 $17,496.18FINAL 5 $9,077.50 $437.40 $8,640.10 $8,856.09FINAL 6 $9,077.49 $221.40 $8,856.09 $0.00

TOTALES: $54,464.99 $4,464.99 $50,000.00

El cálculo de la tabla es igual a lo que se hizo en el ejercicio anterior con excepción del último renglón, en el que se hace un ajuste para que la tabla cierre correctamente, este ajuste inicia poniendo el último valor del saldo, en el sexto renglón de la columna de la amortización, en seguida se obtiene el interés, del sexto período, en la misma forma que antes, y el pago final será la suma del interés y la amortización, este pago, como puede verse, puede ser diferente a los anteriores por el ajuste que se hizo. Para finalizar, se obtiene el renglón de los totales, sumando todos los valores de las tres primeras columnas, verificando que la suma del interés y de la amortización sea igual al total de los pagos, en caso necesario deberá hacerse la corrección correspondientes para que las sumas coincidan, en forma vertical y horizontal.

3.- Se amortiza una hipoteca de 1.2 millones de pesos con abonos mensuales durante 10 años y con recargos del 15 % capitalizable mensualmente. Elaborar el cuadro de amortización en sus seis primeros renglones.

j=15 % C=R 1−(1+ i )−n

i

p=12 1 ,200 ,000=R 1− (1+0.0125 )−120

0.0125

i=0.1512

=0.0125 R=$19 ,360.19

C= $1,200,000R= -$19,360.19i= 0.0125

n=10*12= 120FECHA RENTA INTERÉS AMORTIZACIÓN SALDO

INICIO 1 $1,200,000.00FINAL 1 $19,360.19 $15,000.00 $4,360.19 $1,195,639.81FINAL 2 $19,360.19 $14,945.50 $4,414.69 $1,191,225.12FINAL 3 $19,360.19 $14,890.31 $4,469.88 $1,186,755.24FINAL 4 $19,360.19 $14,834.44 $4,525.75 $1,182,229.49FINAL 5 $19,360.19 $14,777.87 $4,582.32 $1,177,647.17

4.- ¿Con cuántos pagos bimestrales de $ 300 se amortiza un empréstito por dos mil pesos, si se tienen intereses del 42% con capitalización bimestral? Construya la tabla de amortización en sus cuatro primeros renglones.

j=42 % C=R 1−(1+ i )−n

i

p=6 2 ,000=300 1−(1+0.07 )−n

0.07

i=0.426

=0.07 n=9.29≅ 9

Como el número de períodos no es exacto, se debe volver a determinar la renta con las nuevas condiciones.

2 ,000=R 1−(1+0.07 )−9

0.07

R=$306.97 Con este nuevo valor de la renta, se construye la tabla de amortización.

C= $2,000 nuevo valor n= 9R= $300.00 R= $306.97i= 0.07

n= 9.2908840718FECHA RENTA INTERÉS AMORTIZACIÓN SALDO

INICIO 1 $2,000.00FINAL 1 $306.97 $140.00 $166.97 $1,833.03FINAL 2 $306.97 $128.31 $178.66 $1,654.37FINAL 3 $306.97 $115.81 $191.16 $1,463.21

5.- Una pareja desea comprar una vivienda que cuesta $ 300 000, puede pagar una renta mensual de $ 2 500. En qué tiempo podrá saldar su deuda si el convenio establece un pago de intereses del 6%, con capitalización mensual (aproxime su respuesta al siguiente entero). Determine el saldo de la deuda después de haber realizado el pago número 50.

j=6% C=R 1−(1+ i )−n

i

p=12 300 ,000=2 ,500 1− (1+0.005 )−n

0.005

i=0.0612

=0.005 n=183.72≅ 184

Como el número de períodos no es exacto, se debe volver a determinar la renta con las nuevas condiciones.

300 ,000=R 1−(1+0.005 )−184

0.005R=$2 ,497.64

Al hacer el pago número 50, el saldo pendiente de pago, es el valor actual o capital de los 134 (184-50) pagos restantes, que se obtiene de la siguiente manera.

C=2 ,497.64 1−(1+0.005 )−134

0.005=$243 ,488.38

8.- Un laboratorio de análisis químicos compra una centrífuga en 3 100 dólares, que se va apagar de la siguiente manera: Sin enganche, 4 pagos quincenales iguales y 1 000 dólares que se entregarán junto con el último pago.Si la tasa de interés es de 10% anual capitalizable cada quincena:

a) Calcule el valor del pago quincenal.b) Elabore la tabla de amortización.c) ¿Cuál es el porcentaje de los derechos adquiridos por el deudor al realizar el pago número

tres?

a). El primer paso es, calcular el valor de los cuatro pagos quincenales que se harán, para ello se tiene que hacer un diagrama de flujo de efectivo y en base a él plantear una ecuación de valor tal como se muestra en seguida.

$ 3, 1000 1 2 3 4 Quincenas

F.F. X X X X$ 1, 000

j=10 % C=R 1−(1+ i )−n

i M=C (1+i )n

p=24 3 ,100=x1−(1+ 0.10

24 )−4

0.1024

+1 ,000

(1+ 0.1024 )

4

i=0.1024 3 ,100=3.958678 x+983.505508

x=3 ,100−983.5055083.958678

=534.646786

x=$534.65

b). La tabla de amortización se muestra en seguida.

C= $3,100R= $534.65i= 0.0041667

FECHA RENTA INTERÉS AMORTIZACIÓN SALDOINICIO 1 $3,100.00FINAL 1 $534.65 $12.92 $521.73 $2,578.27FINAL 2 $534.65 $10.74 $523.91 $2,054.36FINAL 3 $534.65 $8.56 $526.09 $1,528.27FINAL 4 $1,534.64 $6.37 $1,528.27 $0.00

TOTALES: $3,138.59 $38.59 $3,100.00

c). Sabemos que los derechos del deudor se obtienen restando a la deuda original el saldo insoluto, en este caso al realizar el tercer pago los derechos del deudor son:

%Derechosdel deudor=3 ,100−1 ,528.273 ,100

=0.5070=50.70%

6. Fondo de Amortización.

6.1. Definición.

Es un procedimiento en el que se muestra el monto que se acumula con depósitos periódicos, iguales o diferentes, que generan intereses y que tienen la finalidad de cumplir con un propósito preestablecido.

6.2. Fondo de Renta Fija.

En este fondo, como su nombre lo indica, los depósitos son iguales, es un ejemplo de una anualidad anticipada y los cálculos son los mismos que se explicaron en el apartado correspondiente a dichas anualidades.

6.3. Tabla del Fondo de Amortización.

Ejemplos:

1.- Para ir de vacaciones dentro de 7 meses, un padre de familia crea un fondo de ahorro con depósitos mensuales de $ 4 600 cada uno. Hallar el monto acumulado y elaborar un cuadro, la inversión gana con un tipo de interés del 15% capitalizable por meses.

n= 7R= $4,600.00

i=0.15/12= 0.0125M= $33,850.89 APLICANDO LA FÓRMULA

FECHA DEPÓSITO CAPITAL INTERÉS MONTOFINAL 1 $4,600.00 $4,600.00 $57.50 $4,657.50FINAL 2 $4,600.00 $9,257.50 $115.72 $9,373.22FINAL 3 $4,600.00 $13,973.22 $174.67 $14,147.88FINAL 4 $4,600.00 $18,747.88 $234.35 $18,982.23FINAL 5 $4,600.00 $23,582.23 $294.78 $23,877.01FINAL 6 $4,600.00 $28,477.01 $355.96 $28,832.97FINAL 7 $4,600.00 $33,432.97 $417.91 $33,850.89

TOTALES: $32,200.00 $1,650.89 $33,850.89

Para la elaboración de la tabla del fondo, el primer renglón inicia con un depósito de $ 4, 600, al final del primer mes, el capital inicial de $ 4, 600 que fue invertido al 1.25% mensual genera un interés de $ 57.50 (4, 600*0.0125), la última columna de la tabla, que se refiere al monto, se obtiene, tal como lo indica la definición de monto, sumando el capital y el interés de ese período, en este caso 4, 600+57.50=$ 4, 657.50. En el segundo renglón el capital inicial no es sólo el depósito de este mes, sino la suma del monto del período anterior y el nuevo depósito que se hace, esto es, 4, 657.50+4, 600=$ 9, 257.50, este valor se multiplica por la tasa de interés y el interés de este período es 9, 257.50*0.0125=$ 115.72, nuevamente, el monto se obtiene sumando capital más interés quedando 9, 257.50+115.72=$ 9, 373.22. El resto de la tabla se elabora de la misma forma, al final en el renglón de los totales se debe hacer la suma de los depósitos y de los intereses, esta suma debe ser igual al monto del último renglón, esta es una forma de comprobar que el procedimiento es correcto, en caso de no ser así la tabla se debe revisar y corregir o ajustar según sea el caso. En la tabla que se muestra en la parte de arriba, la celda de la parte inferior derecha es la prueba de esto, en realidad esta celda debe estar en blanco, aquí se calculó con fines de comprobar el resultado del ejercicio.

2.- Un empresario pretende reponer una parte de su maquinaria para construcción pesada y por eso constituye un fondo con depósitos trimestrales que inicia ahora con US $ 18 000 cada uno, ¿en cuánto tiempo acumulará los US$ 600 000 que supone costará la maquinaria, si se sabe además que su inversión reditúa con el 12.72% nominal trimestral? Calcular los intereses y hacer un cuadro del fondo en sus tres primeros renglones y el último.

n= 22.575418614 Aprox. n= 22R= $18,000.00 La nueva R= $18,657.28

i=0.1272/4= 0.0318M= $600,000.00

FECHA DEPÓSITO CAPITAL INTERÉS MONTOFINAL 1 $18,657.28 $18,657.28 $593.30 $19,250.58FINAL 2 $18,657.28 $37,907.86 $1,205.47 $39,113.33FINAL 3 $18,657.28 $57,770.61 $1,837.11 $59,607.72

FINAL 21 $562,850.76FINAL 22 $18,657.28 $581,508.04 $18,491.96 $600,000.00

I=600, 000-22(18, 657.28)= $189,539.77El monto al final del depósito número 21 es:

n= 21M21= $562,850.76

3.- Un fabricante de muebles pretende comprar una máquina que dentro de tres años le costará 3 millones de pesos, mismos que obtendrá con un fondo de reservas bimestrales. Encontrar la magnitud de los depósitos y un cuadro del fondo sabiendo que se ganan intereses del 39% nominal bimestral.

n=3*6= 18R= $86,914.40

i=0.39/6= 0.065M= $3,000,000

FECHA DEPÓSITO CAPITAL INTERÉS MONTOFINAL 1 $86,914.40 $86,914.40 $5,649.44 $92,563.83FINAL 2 $86,914.40 $179,478.23 $11,666.08 $191,144.31FINAL 3 $86,914.40 $278,058.71 $18,073.82 $296,132.52FINAL 4 $86,914.40 $383,046.92 $24,898.05 $407,944.97FINAL 5 $86,914.40 $494,859.36 $32,165.86 $527,025.22FINAL 6 $86,914.40 $613,939.62 $39,906.08 $653,845.69FINAL 7 $86,914.40 $740,760.09 $48,149.41 $788,909.49FINAL 8 $86,914.40 $875,823.89 $56,928.55 $932,752.44FINAL 9 $86,914.40 $1,019,666.84 $66,278.34 $1,085,945.18

FINAL 10 $86,914.40 $1,172,859.58 $76,235.87 $1,249,095.45FINAL 11 $86,914.40 $1,336,009.84 $86,840.64 $1,422,850.48FINAL 12 $86,914.40 $1,509,764.88 $98,134.72 $1,607,899.60FINAL 13 $86,914.40 $1,694,813.99 $110,162.91 $1,804,976.90FINAL 14 $86,914.40 $1,891,891.30 $122,972.93 $2,014,864.23FINAL 15 $86,914.40 $2,101,778.63 $136,615.61 $2,238,394.24FINAL 16 $86,914.40 $2,325,308.63 $151,145.06 $2,476,453.69FINAL 17 $86,914.40 $2,563,368.09 $166,618.93 $2,729,987.01FINAL 18 $86,914.40 $2,816,901.41 $183,098.59 $3,000,000.00

4.- Para jubilar a cinco de sus empleados la administración de la empresa Zapatera de León, S. A., crea un fondo que le reditúa con el 16% efectivo, con depósitos bimestrales. Hallar su magnitud si pretende acumular 4 500 000 pesos en dos años plazo y elaborar el cuadro correspondiente.

Si la tasa efectiva es del 16% entoces la tasa nominal bimestral es:i/6=(1+e)^(1/6)-1= 0.0250451573

n=2*6= 12R= $318,140.93

M= $4,500,000

FECHA DEPÓSITO CAPITAL INTERÉS MONTOFINAL 1 $318,140.93 $318,140.93 $7,967.89 $326,108.82FINAL 2 $318,140.93 $644,249.75 $16,135.34 $660,385.08FINAL 3 $318,140.93 $978,526.01 $24,507.34 $1,003,033.35FINAL 4 $318,140.93 $1,321,174.28 $33,089.02 $1,354,263.30FINAL 5 $318,140.93 $1,672,404.23 $41,885.63 $1,714,289.86FINAL 6 $318,140.93 $2,032,430.78 $50,902.55 $2,083,333.33FINAL 7 $318,140.93 $2,401,474.26 $60,145.30 $2,461,619.56FINAL 8 $318,140.93 $2,779,760.49 $69,619.54 $2,849,380.03FINAL 9 $318,140.93 $3,167,520.96 $79,331.06 $3,246,852.02FINAL 10 $318,140.93 $3,564,992.95 $89,285.81 $3,654,278.76FINAL 11 $318,140.93 $3,972,419.69 $99,489.88 $4,071,909.57FINAL 12 $318,140.93 $4,390,050.49 $109,949.51 $4,500,000.00TOTALES: $3,817,691.15 $682,308.85 $4,500,000.00

5.- Para ampliar su vivienda, la familia Uriarte crea un fondo con rentas mensuales anticipadas de $ 1 780, ¿cuánto logra acumular en cinco años? Elabore las primeras cuatro filas del cuadro correspondiente y suponga intereses del 21% nominal mensual.

n=5*12= 60R= $1,780

i=0.21/12= 0.0175M= $189,582.52

FECHA DEPÓSITO CAPITAL INTERÉS MONTOFINAL 1 $1,780.00 $1,780.00 $31.15 $1,811.15FINAL 2 $1,780.00 $3,591.15 $62.85 $3,654.00FINAL 3 $1,780.00 $5,434.00 $95.09 $5,529.09

7.- Una empresa desea formar un fondo de amortización para reponer algunos activos, su interés es acumular $ 250 000, ¿en qué tiempo podrá lograr su objetivo?, si hace depósitos mensuales de $ 5 000 y obtiene intereses del 12% capitalizable mensualmente (aproxime su respuesta al siguiente entero). Determine el monto del fondo al final del noveno depósito.

n= 40.41667819 Aprox. n= 41R= $5,000 La nueva R= $4,913.62

i=0.12/12= 0.01M= $250,000

Al final del noveno depósito el monto acumulado es:n= 9

M= $46,493.71

8.- La vida útil de un equipo industrial que acaba de adquirir una compañía es de 5 años. Con el fin de reemplazarlo al final de este tiempo, la compañía establece un fondo de amortización efectuando depósitos anuales vencidos en una cuenta bancaria que paga 9.6% anual. Si se estima que el equipo costará 1 442 740 dólares, halle el valor del depósito y construya la tabla del fondo.

n= 5R= $238,206.86 M= $1,442,740 Valor de R aplicando Solveri= 0.096

M= $1,442,740.00

0 1 2 3 4 5R R R R R

FECHA DEPÓSITO CAPITAL INTERÉS MONTOFINAL 2 $238,206.86 $238,206.86 $22,867.86 $261,074.72FINAL 3 $238,206.86 $499,281.57 $47,931.03 $547,212.61FINAL 4 $238,206.86 $785,419.46 $75,400.27 $860,819.73FINAL 5 $238,206.86 $1,099,026.59 $105,506.55 $1,204,533.14FINAL 5 $238,206.86 $1,442,740.00 $1,442,740.00

TOTALES: $1,191,034.29 $251,705.71 $1,442,740.00

1, 442, 740=R(1+0.096)(〖 (1+0.096)〗^4−1)/0.096+𝑅 1, 442, 740=5.056669R+R

R=(1, 442, 740)/6.056669=$ 238, 206.86

Debe tenerse en cuenta que los depósitos son vencidos, por ello el primer depósito no genera interés en el primer período, sino al final del segundo, así como el último depósito, del quinto año, que no genera interés, es por ello que la casilla del interés de este renglón está en blanco y el monto es la suma del monto del año anterior y el depósito del quinto año, que es la misma cantidad que se obtiene al sumar el capital y el interés en el quinto año pues este último es cero.