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INSTITUTO DE ENSEÑANZA SECUNDARIA “LÓPEZ NEYRA” DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

(CÓRDOBA) Profesor: Fco. Javier del Rey Pulido

Funciones MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (1º Bachillerato) HOJA-1

FUNCIONES.-

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN.- Una función es una relación entre dos magnitudes x e y (variables), de

forma que a cada valor de x le corresponde un único valor de y.

Ejemplo:

255y5

42y2

xyx

2

2

2

. Doy valores a x y obtengo valores de y.

Normalmente se simboliza y=f(x), donde x es la variable independiente e y es la variable

dependiente.

Los valores que puede tomar x forman un conjunto denominado DOMINIO (D) de la función,

mientras que los valores que puede tomar y forman el conjunto llamado RECORRIDO (R).

FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.- Son aquellas funciones en las que tanto su dominio D

como su recorrido R están incluidos dentro del conjunto de los números reales.

CONCEPTOS BÁSICOS.-

Sistema de referencia.- Las parejas de valores (x,y) que se obtienen al dar valores a la función se

pueden representar gráficamente. Para poder representar necesitamos un sistema de referencia,

el más utilizado es el sistema de referencia cartesiano ortogonal. Dicho sistema está formado por

dos ejes de coordenadas perpendiculares entre si y graduados. Uno de los ejes lo tomaremos

horizontal, se llama el eje de abscisas (x), y el otro vertical, llamado eje de ordenadas (y).

Puntos de corte con los ejes.- Son los puntos donde la función corta a los ejes de coordenadas.

Ejemplo: En la función 3x3y , los puntos de corte son (0,-3) y (1,0).

FUNCIONES POLINÓMICAS.- Son aquellas que vienen definidas por un polinomio.

Dominio.- Su dominio es el conjunto de los números reales.

Tipos.- Atendiendo al grado del polinomio las funciones polinómicas pueden ser: de primer grado o

AFINES, de segundo grado o CUADRÁTICAS, de tercer grado, etc.

Funciones Afines.- Son las funciones polinómicas cuya forma es y=mx+n.

Si se representan se obtiene una línea recta.

m se denomina pendiente de la recta y n ordenada en el origen. La pendiente mide la

inclinación que presenta la recta respecto de la horizontal, mientras que la ordenada en el

origen mide el valor de la función cuando la coordenada x=0.

Las funciones afines en las que n=0, se denominan funciones lineales. Si se representan son

rectas que pasan por el origen.




Repaso.- FORMAS DE EXPRESAR LA ECUACIÓN DE UNA RECTA EN EL PLANO.-

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos.- Algunas veces necesitamos calcular la ecuación de una recta conocidos dos puntos de esta. La expresión viene dada

por:

Sean P1 (x1,y1) y P2 (x2,y2), la ecuación de la recta que pasa por ellos es

12

1

12

1

yy

yy

xx

xx

Ecuación implícita o general.- 0CByAx

Ecuación explícita o punto pendiente.- nmxy , donde “m” es la pendiente y “n” la ordenada en el origen.

Ecuación punto-pendiente.- )xx(myy 00

Donde m es la pendiente y P(xo,yo) un punto de la recta.

DOS RECTAS IMPORTANTES: La bisectriz del 1er

y 3er

cuadrante xy . Y la bisectriz del 2º y 4º cuadrante xy

EJERCICIOS: pág. 113 el 1, 2, 3 y 4 / pág. 129 el 8 y 9.

Funciones cuadráticas.- Son las funciones polinómicas cuya forma es y=ax2+bx+c.

Al representarla se obtiene una parábola.

En este caso destacan varios datos importantes:

1) Vértice. Es un punto muy característico de la parábola, su máximo o mínimo. Se puede

calcular aplicando la expresión: a2

bxv .

2) Eje de simetría. Es la recta que divide a la parábola por la mitad. Su ecuación es:

a2

bx

3) Puntos de corte con los ejes. La función puede cortar a los ejes de coordenadas, los

puntos de corte son:

Con el eje X, debe ser y=0.

Con el eje Y, debe ser x=0.

EJERCICIOS: pág. 114 el 1-a-b-e y 2-a-c.

FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA.- Son las funciones cuya forma es )0k(x

ky .

K>0 K<0

Como vemos, en ambos casos, la función no está definida en x=0, su dominio es D=R - {0}.

Es creciente si k<0 y decreciente si k>0.

Son simétricas respecto al origen.

La función que se comportan de esta forma se denomina hipérbola equilátera.

EJERCICIOS: pág. 117 el 1-a-b-c.

Esta parábola tiene tres puntos de corte




FUNCIONES DEFINIDAS EN INTERVALOS.- Son funciones que se componen de varios “trozos”,

dependiendo del intervalo en el que estemos. Ejemplo:

1xsix

1xsi1x)x(f .

EJERCICIOS: pág. 120 el 1, 2 y 3 / pág. 130 el 20-a-c.

DOS EJEMPLOS DE FUNCIONES A TROZOS

1) Función parte entera de x.- Se designa E=E(x). Esta función al aplicarse sobre un número, se queda con su parte entera.

Si representamos sale:

2) Función valor absoluto de x.- Se designa y=│f(x)│. De forma simple, esta función coge un número y se queda con su valor, pero siempre positivo.

La más simple sería y=│x│, que se define:

0xsix

0xsixxy .

Su gráfica es:

EJERCICIOS: Representa las funciones: 4x5xy;2xy2

EJERCICIOS: pág. 124 el 4-a-b-c.

FUNCIONES RACIONALES.- Son funciones de la forma )x(Q

)x(P)x(f , donde )x(Qy)x(P son

polinomios.

Su dominio está formado por todos los números reales excepto los que anulan el denominador.

Asíntotas. Son rectas a las que la función se acerca cada vez más pero sin llegar a tocarlas nunca.

Ejemplo: 1x

1)x(f

. Esta función tiene por dominio todos los números reales salvo x=1. En dicho punto tiene una asíntota

vertical de ecuación x=1. Desde el punto de vista de la continuidad, la función es continua en todo su dominio salvo en x=1.

(Ver gráfica en hoja siguiente)




COMPOSICIÓN DE FUNCIONES.- Si a la variable independiente x se le aplican sucesivamente dos

funciones f y g, se obtiene una nueva función que llamamos función f compuesta con g, y que escribimos

fg . Es decir: )x(fg)x)(fg( .

Ejemplo.- Sean

2x)x(g

1x)x(f , calculo 2

)1x(1xg)x(fg)x)(fg( .

EJERCICIOS: pág. 136 el 1 y 2.

FUNCIÓN INVERSA O RECÍPROCA.- Dada una función f(x), se llama función inversa de f(x), y se

representa f-1(x), a la función que “deshace” lo hecho por f(x). Dicho de otra forma: Iffff11 .

(I se denomina función identidad).

Ejemplo: Calcular la inversa de 2

1x5)x(f

. Dos pasos: 1) Despejo x. 2) Cambiamos. Resulta

5

1x2)x(f

1

.

EJERCICIOS: pág. 137 el 4.

EJERCICIOS: Representa en la misma gráfica la función 3xy y su recíproca.

EJERCICIOS: pág. 137 el 2 / pág. 150 el 9, 10-c y 12-b.

La composición de

funciones, en general, no

cumple la propiedad

conmutativa.

EJERCICIO.- Hallar el dominio de las siguientes funciones:

a) 1x

1xy

2

b)

1x2x

7xy

2

c)

4x

5xy

2

.

Propiedad importante.- La gráficas de las funciones f(x) y su recíproca g(x)=f-1(x), son simétricas respecto a la bisectriz del 1er y 3er cuadrante (y=x).




FUNCIÓN EXPONENCIAL.- Dado un número real a, mayor que cero (a>0), se llama función exponencial en

base a, a la aplicación que asocia a cada número real x un número real xa , es decir:

xax

RR

Se expresa como x

ay .

Ejemplos:

EJERCICIOS: pág. 147 el 5 (Resuelto) –comentar-.

x -3 -2 -1 0 1 2 3

x -3 -2 -1 0 1 2 3

2x 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 (1/2)x 8 4 2 1 0.5 0.25 0.125

x -3 -2 -1 0 1 2 3

x -3 -2 -1 0 1 2 3

2x 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 (1/2)x 8 4 2 1 0.5 0.25 0.125

Prop

iedades

Su dominio es el conjunto de los números reales R=(-∞,+∞).

Su recorrido es el conjunto de los números reales positivos R+=(0,+∞).

Es continua en todo el dominio.

Su punto de corte es (0,1).

Si: a>1 es creciente en todo su dominio.

a<1 es decreciente en todo su dominio.

Tiene por asíntota al eje X (recta y=0).

x -3 -2 -1 0 1 2 3

x -3 -2 -1 0 1 2 3

2x 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 (1/2)x 8 4 2 1 0.5 0.25 0.125

x -3 -2 -1 0 1 2 3

x -3 -2 -1 0 1 2 3

2x 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 (1/2)x 8 4 2 1 0.5 0.25 0.125

x -3 -2 -1 0 1 2 3

x -3 -2 -1 0 1 2 3

2x 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 (1/2)x 8 4 2 1 0.5 0.25 0.125

x -3 -2 -1 0 1 2 3

x -3 -2 -1 0 1 2 3

2x 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 (1/2)x 8 4 2 1 0.5 0.25 0.125

x -3 -2 -1 0 1 2 3

x -3 -2 -1 0 1 2 3

2x 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 (1/2)x 8 4 2 1 0.5 0.25 0.125

x -3 -2 -1 0 1 2 3

x -3 -2 -1 0 1 2 3

2x 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 (1/2)x 8 4 2 1 0.5 0.25 0.125




FUNCIÓN LOGARÍTMICA.- Dado un número real a, mayor que cero (a>0) y distinto de uno, se llama

función logarítmica en base a, a la aplicación que asocia a cada número real positivo x un número real que coincide con el exponente al que deberá elevarse la base a para obtener dicho número x, es decir:

Xlogx

RR

a

Se expresa como xlog)x(fy a .

Según la definición anterior se puede establecer la siguiente equivalencia: xaNxlogN

a .

Ejemplos:

x 1/16 ¼ ½ 1 2 4 16

x 1/16 ¼ ½ 1 2 4 16

Log2 x -4 -2 -1 0 1 2 4 Log1/2 x 4 2 1 0 -1 -2 -4

Prop

iedades

Su dominio es el conjunto de los números reales positivos R+=(0,+∞).

Su recorrido es el conjunto de los números reales R=(-∞,+∞).

Es continua en todo el dominio.

Su punto de corte es (1,0).

Si: a>1 es creciente en todo su dominio.

a<1 es decreciente en todo su dominio.

Tiene por asíntota al eje Y (recta x=0).

Si nos fijamos en las gráficas de las funciones exponencial y logarítmica, en una misma

base, son funciones simétricas respecto a la bisectriz del 1er y 3er cuadrante (recta

y=x). Se puede demostrar que cuando esto le ocurre a dos funciones, es una la recíproca de

la otra. Por tanto la funciones exponencial y logarítmica son recíprocas una de la otra

(para una misma base).




LOGARITMOS DECIMALES Y LOGARITMOS NEPERIANOS.- Dentro de los logaritmos que se generan

en la función logarítmica hay dos que destacan, los de base 10 denominados logarítmos decimales y los de

base e llamados logaritmos neperianos. Se expresan respectivamente:

lnlog;loglog e10 .

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS.-

1.- 01log . El logaritmo de 1 es cero.

2.- 110log . El logaritmo de la base es la unidad.

3.- BlogAlog)BA(log . El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

4.- BlogAlogB

Alog

. El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los logaritmos del numerador y el

logaritmo del denominador.

5.- AlogmAlogm . El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.

6.- Por último vamos a indicar como podemos pasar de un logaritmo en cualquier base otro en la base decimal: alog

xlogxloga

EJERCICIO: pág. 147 el 6 (Resuelto) –comentar-.

EJERCICIOS: pág. 150 el 5-a-c / pág.151 el 19.

e se llama el número e. Su valor

es: e=2,718281...

Nota.- Los logaritmos anteriores son los que suelen traer las

calculadoras, a partir de ahora nos ocuparemos de los decimales

que son los más utilizados.




DOMINIO DE ALGUNAS FUNCIONES.- Podemos resumir los dominios de las funciones más habituales

con la siguiente tabla:

TIPO DE FUNCIÓN FORMA DOMINIO

Funciones polinómicas

Polinomio)x(P)x(f R),(D

Funciones racionales )x(Q

)x(P)x(f 0)x(Q/xR0)x(Q/xD ∀-∀

Funciones con

radicales

n )x(g)x(f

n par 0)x(g/xR0)x(g/xD ∀-∀

n impar R),(D

Funciones exponenciales

)x(g)x(ga)x(fóe)x(f

)x(gD)x(fD

Funciones logarítmicas

)x(glog)x(f a 0)x(g/xR0)x(g/xD ≤∀-∀

EJERCICIOS: pág. 111 el 2-a, b, e, f, i, j, k, l, m, n, ñ y o / pág. 129 el 2-c y 3-b.

OTRO EJERCICIO:

Hallar el dominio de las siguientes funciones:

a)

)9x(logy2

3

b)

3xey

c)

3x

1x2

5y

d) 5x

)1x(logy

SOLUCIONES.- a) ),3()3,(D

b) ),(RD

c) 3RD

d)

),5()5,1(D




CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD.-

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.- Una función f(x) tiene límite L en un punto x=a, si el valor de la función se

aproxima al valor L cuando el valor de la variable se aproxima a x=a. Se expresa:

ax

L)x(flim

Ejemplos:

La función 2x

)2x(x)x(f

2

tiene por dominio todos los números reales salvo el x=2. (Gráfica A).

Estudiemos lo que ocurre cuando nos acercamos a x=2:

x<2 1´5 1´9 1´99 1´999 1´9999 x=2

x>2 2´5 2´1 2´01 2´001 2´0001

f(x) 2´25 3´61 3´96 3´996 3´9996 f(x) 6´25 4´41 4´04 4´004 4´0004

Como vemos, cuando x se aproxima a 2 por la derecha (x2+) los valores de la función tienden a 4. Por

otro lado, cuando x se aproxima a 2 por la izquierda (x2-), los valores de la función tienden también a 4. Se

expresa:

42x

)2x(xlim

2

2x

42x

)2x(xlim

2

2x

A estos nuevos límites se les llaman límites laterales de la función.

Para que exista el límite total deben existir los límites laterales y coincidir, por tanto en nuestro

ejemplo, existe el límite en x=2, y su valor es 4:

42x

)2x(xlim

2

2x

(A) (B)

Veamos un segundo ejemplo con la función f(x)=E(X). Recordemos que a esta función se le llama función

parte entera de x ya que al actuar sobre un número se queda con su parte entera. (Gráfica B).

Calculemos los límites laterales cuando nos acercamos a x=3: 3)x(Elim3x

2)x(Elim3x

.

En este caso no existe el límite total, ya que aunque existen los límites laterales, éstos no coinciden.

EJERCICIO: pág. 161 el 1 ®.




LÍMITES INFINITOS Y EN EL INFINITO.- Veamos algunos ejemplos:

2x

1)x(f . En x=0:

20x

20x

x

1lim

x

1lim

. Por tanto:

20x x

1lim

x

1)x(f . En x=0:

x

1lim

x

1lim

0x

0x

. Por tanto no existe el limite en x=0.

Además: 0x

1limx

y 0x

1limx

.

EJERCICIO: Observando la gráfica de la función y=f(x) calcula el valor de los siguientes límites:

a) )x(flim1x

b) )x(flim1x

c) )x(flim0x

d) )x(flim0x

e) )x(flim1x

f) )x(flim1x

g) )x(flimx

h) )x(flimx

EJERCICIO: pág. 177 el 5.

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES.-

1) )x(glim)x(flim)x(g)x(flimaxaxax

2) )x(glim)x(flim)x(g)x(flimaxaxax

3)

0)x(glimsiendo

)x(glim

)x(flim

)x(g

)x(flim

ax

ax

ax

ax

4) )x(flimk)x(fklim

axax 5) kklim

ax

EJERCICIO: pág. 160 el 1 ®.




INDETERMINACIONES.- En el cálculo de límites hay casos en los que no se pueden aplicar directamente

las propiedades anteriores, son las llamadas indeterminaciones, veamos los casos principales:

Indeterminación 0

ºN.- En este caso hay que calcular los límites laterales de la función, que:

1) Pueden coincidir, L)x(flim)x(flimaxax

. En este caso el límite total existe y su valor es L.

Ej.-1: 0

1

)1x(

xlim

2

3

1x

. Calculo los laterales:

0

1

)1x(

xlim

0

1

)1x(

xlim

2

3

1x

2

3

1x

2

3

1x )1x(

xlim

2) Pueden ser distintos, )x(flim)x(flimaxax

. En este caso no existiría el límite total.

Ej.-2: 0

8

2x

2x3lim

2x

. Calculo los laterales:

0

8

2x

2x3lim

0

8

2x

2x3lim

2x

2x

2x

2x3lim

2x

Indeterminación 0

0.- Nos podemos encontrar dos casos:

1) Cuando son polinomios: en este caso se factorizan los polinomios del numerador y del denominador,

para simplificar la expresión.

Ej.-3: 2)1x(lim1x

)1x()1x(lim

0

0

1x

1xlim

1x1x

2

1x

2) Cuando llevan raíces: ahora no se puede factorizar, lo que se hace es multiplicamos y dividimos por

el conjugado.

Ej.-4:

)x11(x

)x1(1lim

)x11(x

)x11()x11(lim

0

0

x

x11lim

2

222

0x2

22

0x

2

0x

02

0

11

0

x11

xlim

)x11(x

xlim

)x11(x

)x1(1lim

20x2

2

0x2

2

0x

EJERCICIO: pág. 163 el 1 ®, 2 ® y 3 ® -los alumnos deben hacer los “Hazlos tú” de estos tres ejercicios.

EJERCICIO: pág. 178 el 13-f.

EJERCICIO: Calcular el límite siguiente: 3x

21xlim

3x

(Solución ¼)




Indeterminación

.- Se resuelve dividiendo numerador y denominador por x elevada a la máxima

potencia que aparece en la función.

En la práctica, cuando tenemos un límite del tipo )x(Q

)x(Plimx

, donde P(x) y Q(x) son polinomios, resulta:

1) Si grado de P(x) > grado de Q(x)

)x(Q

)x(Plimx

2) Si grado de P(x) < grado de Q(x) 0

3) Si grado de P(x) = grado de Q(x) b

a

donde a y b son los coeficientes de los

monomios de mayor grado

Ejemplos: 3) 3

1

03

001

x

13

x

1

x

11

lim

x

1

x

x3

x

1

x

x

x

x

lim1x3

1xxlim

2

2

x

22

2

222

2

x2

2

x

1)

..........

x3x

1x2xlim

2

3

x

2) 0..........9x

1x3xlim

3

2

x


EJERCICIO: pág. 165 el 1 / pág. 166 el 1 ®, 4 –algunos- y 5 –algunos-.

Límites cuando x .- Se pueden hacer de forma directa, pero quizá sea más fácil haciendo un

cambio de variable:

1 Paso de calcular el límite cuando x a x .

2 Cambio todas la x que aparecen por –x.

3 Resuelvo el límite resultante.

EJERCICIO: pág. 167 el 1 ®, 1 –algunos- y 2 –algunos-.




CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.-

Idea intuitiva.- Las funciones continuas se pueden dibujar sin levantar el lápiz del papel.

Definición.- Una función y=f(x) es continua en un punto xo si cumple las siguientes condiciones:

1) Existe f(xo)

2) Existe )x(flimoxx

3) Ambos coinciden )x(f)x(flim oxx o

Diremos que una función es discontinua en un punto, cuando en dicho punto no es continua.

Una función que no existe en un punto no se puede decir que sea continua ni discontinua en dicho punto.

Una función se dice que es continua, cuando lo es en todos los puntos de su dominio.

Ej.: Estudiemos la continuidad de la función,

1xsi2x

1xsi1x2)x(f , en el punto xo=1: (Dibujar gráfica)

1)2x(lim)x(flim3)1x2(lim)x(flim1x1x1x1x

.

Por tanto no existe )x(flim1x

. No es continua en x=1.

TIPOS DE DISCONTINUIDADES

TIPOS CONDICIÓN EJEMPLO

Dis

co

nti

nu

ida

d

ev

ita

ble

Ocurre uno de estos dos casos:

)(lim xfax

)(af ó

)(lim)( xfafax

En x=2 no existe función,

es como si hubiese un

hueco.

Luego no existe f(2)

Dis

co

nti

nu

ida

d n

o e

vit

ab

le o

es

en

cia

l

Pri

me

ra e

sp

ec

ie ó

de

sa

lto

)(lim xfax

ya que, aunque )(lim)(lim xfyxfaxax

,

su valor no coincide )(lim)(lim xfxfaxax

En este caso se define: Salto= )(lim)(lim xfxfaxax

En x=0 el límite por la derecha vale 0 y por la izquierda 1.

Por tanto

existen pero no coinciden.

El salto es 1.

Se

gu

nd

a e

sp

ec

ie

)(lim xfax

Ya que al menos uno de los límites laterales no existe.

En x=0 existe límite por la

derecha de 0, pero no existe límite por la izquierda de

cero.

Uno de los límites laterales

no existe.

EJERCICIO: Hacer el ejemplo anterior para xo=0 / pág. 177 el 6, 8 y 9 –algunos- / pág. 178 el 10-a (libro).




DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.-

Definición.- Dada una función y=f(x) y un punto x=a, se define la derivada de la función f(x) en el punto

x=a, y se designa f´(a), como el valor del siguiente límite: h

)a(f)ha(flim)a´(f

oh

, siendo

h=x-a (representa lo que varia la variable x).

Ej.- Calculemos la derivada de la función, 2x)x(f , en x=3:

h

9h6h9lim

h

3)h3(lim

h

)3(f)h3(flim)3´(f

2

0h

22

0h0h

6)6h(limh

)6h(hlim

h

h6hlim

0h0h

2

0h

Otros ejemplos: Con la función anterior, calcular )5(f . Para 3x2)x(f2 , calcular )2(fy)1(f .


FUNCIÓN DERIVADA.-

Definición.- Cuando una función es derivable en su dominio D, podemos definir una nueva función f´(x),

que llamamos función derivada, y que asocia a cada valor x del dominio la derivada en dicho punto.

Ej.: Calculemos la función derivada de 1x)x(f2 :

h

1x1xh2hxlim

h

)1x(1)hx(lim

h

)x(f)hx(flim)x´(f

222

0h

22

0h0h

x2)x2h(limh

)x2h(hlim

h

xh2hlim

0h0h

2

0h

De la misma forma se pueden calcular la función 2ª derivada, f´´(x), 3ª derivada, f´´´(x), etc...

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA.- La derivada de una función f(x) en un punto x=a,

coincide con la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto.

)x´(fm o




RECTA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO.- Dada la función y=f(x), la ecuación de la recta

tangente a la curva en el punto x=a, es: )ax()x´(f)a(fy

Ej.: Calculemos la recta tangente a la curva 10x8x)x(f2 , en x=-2:

Calculo 301016410)2(8)2()2(f2

12848)2(2)2´(f8x2)x´(f .

Por tanto, la recta tangente 24x1230y)2x()12(30y 6x12y

EJERCICIOS: pág. 195 el 1 / pág. 206 el 15-a y 16 (recta normal, no).

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. MÁXIMOS Y MÍNIMOS.- Teniendo en cuenta que la derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente en ese punto, podemos ver de forma intuitiva varias cosas:

Si )x(f,0)x´(f o es creciente en dicho punto xo.

Si )x(f,0)x´(f es decreciente en dicho punto xo.

Si )x(f,0)x´(f o es constante, la función tiene un máximo o un mínimo en dicho punto xo.

EJERCICIOS: pág. 202 el 7-a ® / pág. 206 el 18-d y 21 / pág. 208 el 47-a-b.

ASÍNTOTAS.- Son rectas a las que se acerca la función sin llegar nunca a tocarla. Tres tipos:

Asíntotas horizontales.- La función y=f(x) tiene por asíntota horizontal la recta y=b cuando

existe al menos uno de los límites laterales de la función cuando x tiende a o , siendo el valor

del límite b. b)x(flimx

b)x(flimx

Asíntotas verticales.- La función y=f(x) tiene por asíntota vertical recta x=a cuando existe al

menos uno de los límites laterales de la función en dicho punto, siendo el valor del límite o .

o)x(flimax

o)x(flimax

Asíntotas oblicuas.- La recta nmxy es una asíntota oblicua de la función y=f(x), cuando se

pueden calcular y son finitos los límites siguientes: )0m(x

)x(flimm

x

mx)x(flimn

x

EJERCICIOS: pág. 179 el 26-a-c, 27-f y 29-c-d.

0)x´(f o

0)x´(f o

0)x´(f o

0)x´(f o

0)x´(f o

NOTA.- Si tiene asíntotas horizontales por un lado, izquierda o derecha, no puede tener asíntotas oblicuas por ese lado. oblicuas.-




REGLAS DE DERIVACIÓN.- Se obtienen aplicando la definición anterior a la función correspondiente.

NOTA.-En esta tabla faltan algunas derivadas básicas como las trigonométricas y funciones arco, no se han incluido ya que no se han

estudiado dichas funciones.

EJERCICIO: Pág. 192 el 2, 3, 6, 7, 8 y 11 / Pág. 193 el 13, 15, 17 y 18 / Pág. 196 el 1 ® / Pág. 197 el 2 ® y 3 ®.

EJERCICIO: Pág. 205 algunos del 9 al 11.

EJERCICIO: Pág. 207 el 33 y 35.

IMPORTENTE.- LOS ALUMNOS DEBEN TRABAJAR LOS DEMÁS EJERCICIOS DEL LIBRO

FUNCIÓN SIMPLE DERIVADA FUNCIÓN

COMPUESTA DERIVADA

.cteky 0y

xy 1y

)x(v)x(uy )x(v)x(uy

)x(uky )x(uky

)x(v)x(uy )x(v)x(u)x(v)x(uy

)x(v

)x(uy

)x(v

)x(v)x(u)x(v)x(uy

2

Derivada de una función compuesta (Regla de la cadena) )x(g)x(gf)x(gf)x()fg(

nxy

1nxny

)x(uyn )x(u)x(uny

1n

xy x2

1y

)x(uy )x(u

)x(u2

1y

xey

xey )x(u

ey )x(uey)x(u

xay alnay

x )x(u

ay )x(ualnay)x(u

xlny x

1y )x(ulny

)x(u

)x(u)x(u

)x(u

1y

xlogy a elogx

1y a )x(ulogy a )x(uelog

)x(u

1y a

NOTA.- No hacer los ejercicios que contienen funciones trigonométricas.

tema 1: nÚmeros reales...5 y 5 25 2 y 2 4 x y x 2 2 2 o o o . doy valores a x y obtengo valores de...

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