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Solucionario ACTIVIDADES INICIALES 1.I. Realiza las siguientes operaciones. a) 2 3 ( 4) 5 (2 3 5) 1 b) 3 5(2 3 3) 25 82 2 4 10 a) 2 3 (4) 5 (2 3 5) 1 2 12 5 (6 5) 1 2 12 5 1 18 b) 3 5 (2 3 3) 25 8 2 2 4 10 3 5 1 8 3 (5 8) (4 2) 10 3 5 2 8 3 6 10 3 11 8 5 6 10 1 8 1 1.II. Simplifica las expresiones siguientes. a) b) a) 3 6 6 3 5 1 3 1 7 21 1 8 1 7 b) 2 2 2 3 2 1 3 2 2 4 3 EJERCICIOS PROPUESTOS 1.1. Resuelve estas operaciones. a) b) a) 4 3 1,333... 1,3 v b) 1 7 2 1,714285 w 1.2. Halla la fracción irreducible que corresponde a los siguientes números racionales. a) 25,25 b) 25,25 v c) 25,25 v a) 25,25 2 1 5 0 2 0 5 10 4 1 b) N 25,25 w 25,252525... 99N 2500 N 25 9 0 9 0 c) N 25,25 v 25,2555... 90N 2273 N 22 9 7 0 3 1.3. Calcula la fracción irreducible que representa el resultado de: 25,25 25,25 v 25,25 v. 25,25 25,25 v 25,25 v 10 4 1 25 9 0 9 0 22 9 7 0 3 15 1 0 98 0 0 01 100N 2525,555... 10N 252,555... 100N 2525,252525... N 25,2525225... 2 7 6 2 1 1 6 2 3 2 2 1 1 2 2 1 1 6 2 1 1 2 1 2 2 (3 4 2 ) 1 6 2 2 3 2 2 (4 3 4 2 ) 1 6 2 3 3 9 2 2 5 2 (3) 5 2 3 2 2 (4 3 4 2 ) 1 ——— 6 2 3 3 9 2 2 5 —— 2 (3) 5 1 Números reales

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  • Solucionario

    ACTIVIDADES INICIALES

    1.I. Realiza las siguientes operaciones.

    a) 2 � 3 � (� 4) � 5 � (2 � 3 � 5) � 1

    b) �3 � �5(2�3 � 3) � ��25� � 8��22 � �4��� � 10

    a) 2 � 3 � (�4) � 5 � (2 � 3 � 5) � 1 � 2 � 12 � 5 � (6 � 5) � 1 � 2 � 12 � 5 � 1 � 18

    b) �3 � �5 � (2�3 � 3) � ��25� � 8� � �22 � �4� �� � 10 � �3 � �5 � ��18� � 3� � (5 � 8) � (4 � 2)� � 10 �� �3 � �5 � ���283�� � 6� � 10 � �3 � �1185� � 6 � 10 � ��181�

    1.II. Simplifica las expresiones siguientes.

    a) b)

    a) � ��36

    6 ��

    35

    � � ��131

    7

    � � ��211817

    b) � � �22

    2�

    32

    1

    3�

    22

    �4

    � � 3

    EJERCICIOS PROPUESTOS

    1.1. Resuelve estas operaciones.

    a) b)

    a) � � �43

    � � 1,333... � 1,3v

    b) � � �172� � 1,714285w

    1.2. Halla la fracción irreducible que corresponde a los siguientes números racionales.

    a) 25,25 b) 25,25v c) 25,25v

    a) 25,25 � �2150205

    � � �1041

    b) N � 25,25w � 25,252525... ⇒ � ⇒ 99N � 2500 ⇒ N � �259090�c) N � 25,25v � 25,2555... ⇒ � ⇒ 90N � 2273 ⇒ N � �229703�

    1.3. Calcula la fracción irreducible que representa el resultado de: 25,25 � 25,25v � 25,25v.

    25,25 � 25,25v � 25,25v � �1041

    � � �259090

    � � �229703

    � � �15

    1098

    0001

    100N � 2525,555...10N � 252,555...

    100N � 2525,252525...N � 25,2525225...

    2��76

    2�1 � �

    16

    2��32

    2�1 � �

    12

    2—1 � —

    16

    2—1 � —

    12

    ��12���2

    � (3 � 42)�1

    ��6�2

    �2 � �32���2

    � (43 � 42)�1

    ���6�2

    33 � �9� � �22 ��5���

    2 � (�3) � 5

    �2 � —32—��2

    � (43 � 42)�1

    ———6�2

    33 � �9� � �22 ��5�——

    2 � (�3) � 5

    1 Números reales

  • 1.4. Realiza las siguientes operaciones y simplifica el resultado.

    1.5. ¿Cuál de estas expresiones no equivale a a � b � c?

    a) (a � b) � c b) a � (b � c) c) a � (c � b)

    La expresión del apartado b, que equivale a a � b – c.

    1.6. Razona con ejemplos si son ciertas las siguientes afirmaciones.

    a) La suma de dos irracionales es siempre irracional.

    b) El producto de dos irracionales es siempre un número irracional.

    Es falso. Por ejemplo, �2� y ��2� son dos números irracionales, y su suma es 0, número racional.Es falso. Por ejemplo, �2� y ��2� son dos números irracionales, y su producto es �2, número racional.

    1.7. Se quiere vallar un campo rectangular. Se sabe que uno de sus lados mide tres quintas partes de la medidadel otro. Además, la diagonal mide 30 m. Calcula el precio que se deberá pagar por hacer el vallado si cadametro de valla cuesta 25 euros y se desperdicia un 10% del material empleado.

    Los lados miden a y �35a�. Entonces: D � a 2 ���35a��

    2

    � a 2 ��92a52

    � � �3245a2

    � � 30 ⇒ a � 25,725 mEl perímetro mide 2 � �a � �35a�� � 82,32 m.La valla costaría 82,32 � 25 � 2058 euros; pero como se desperdicia el 10% del material, esta cantidad repre-senta el 90% del precio total. Habría que comprar por un valor de 2058 � 0,90 � 2286,67 euros.

    1.8. Ordena de menor a mayor en cada caso.

    a) —141—, —

    6285—, —

    154— y —

    2170— c) �

    44�, �

    33� y �2�

    b) 1,23, 1,23v y 1,23v d) 2,9v, 3 y 3,01v

    a) �141� � �

    217050

    �; �6285� � �

    217020

    �; �154� � —

    218000

    — y �2170� � �

    217000

    � ⇒ �2170� � �

    6285� � �

    141� � �

    154�

    b) 1,23 � 1,232323… � 1,2333… ⇒ 1,23 < 1,23v < 1,23v

    c) �4

    4� � �4

    22� � �2� � 1,4142..., �3

    3� � 1,4422... ⇒ �4

    4� � �2� � �3

    3�

    d) 2,99... � 3 � 3,011... ⇒ 2,9v � 3 � 3,01v

    1.9. Sean a y b dos números reales negativos. Si a � b, demuestra que el inverso de a es mayor o igual que elinverso de b.

    a � b ⇒ a � �1a

    � � b � �1a

    � ⇒ 1 � �ba

    � ⇒ 1 � �1b

    � � �ba

    � � �1b

    � ⇒ �1b

    � � �1a

    a) b)

    a) � � � � �3 �

    515� � 9

    b) � � � � �4 �

    714� � 8

    14�

    �74

    14�1 � �

    34

    15�

    �53

    15�1 � �

    23

    —1 �

    115

    � 2—

    1 �1

    —1 � —

    12

    �1 �

    115

    � 2�

    1 � 1�1 � �

    12

    �1

    1�5

    3�

    1 � 1��32

    �1

    1�4

    3�

    1 � 1��43

    �1 �

    114

    � 2�

    1 � 1�1 � �

    13

    —1 �

    114

    � 2—

    1 � 1—1 � —

    13

  • Solucionario

    1.10. A partir del desarrollo de (x � y)2, siendo x e y no nulos, demuestra que —yx

    — � —yx

    — 2.

    (x � y)2 � x 2 � y 2 � 2xy 0 ⇒ x 2 � y 2 2xy ⇒ �x 2

    x�

    yy 2

    � � �xxy

    2

    � � �yxy

    2

    � � �yx

    � � �yx

    � 2

    1.11. Representa en la recta real los siguientes números.

    a) 5 b) —47

    — c) �2 d) �—152—

    1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados y representa �17� y �29� en la recta real.

    17 � 42 � 12 29 � 52 � 22

    1.13. Representa en la recta real: �11�.

    �11� � �2 � 9� � ���2� �2�� 32� � ���12 ���12��2 �� 32�

    1.14. Desarrolla el valor de la expresión 2x � 3 � |2x � 3| y calcúlala para los casos x � �1, x � 0 y x � 2.

    2x � 3 � |2x � 3| � � � �Para x � �1, el valor de la expresión es 0.

    Para x � 0, el valor de la expresión es 0.

    Para x � 2, el valor de la expresión es 4 � 2 � 6 � 2.

    1.15. Desarrolla el valor de las siguientes expresiones.

    a) |x � 2| � |x � 3| b) x � |x � 2| � |x � 3|

    a) |x � 2| � |x � 3|. Los valores absolutos que intervienen se anulan para x � �2 y x � �3.

    |x � 2| � |x � 3| � � � �b) x � |x � 2| � |x � 3|. Los valores absolutos que intervienen se anulan para x � �2 y x � �3.

    x � |x � 2| � |x � 3| � � � �si x � �3si �3 � x � �2si x �2

    �x � 5x � 13x � 5

    si x � �3si �3 � x � �2si x �2

    x � (x � 2) � (x � 3)x � (x � 2) � x � 3x � x � 2 � x � 3

    si x � �3si �3 � x � �2si x �2

    �2x � 51

    2x � 5

    si x � �3si �3 � x � �2si x �2

    �(x � 2) � (x � 3)�(x � 2) � x � 3

    x � 2 � x � 3

    4x � 6 si x �32

    0 si x � �32

    si 2x � 3 0si 2x � 3 � 0

    2x � 3 � 2x � 32x � 3 � (2x � 3)

    0

    229

    290

    117

    17

    –2 50– 12547

    0

    311

    2

    2 11

  • 1.16. Dados A � (2, 4), B � (�2, 6] y C � [�3, ��), calcula:

    a) A � B � C b) A � B � C c) A � B � C

    a) A � B � C � C � [�3, �) b) A � B � C � (2, 4) c) A � B � C � C � [�3, �)

    1.17. Expresa mediante intervalos y gráficamente los siguientes conjuntos de números reales.

    a) |x � 2| � 2 b) |x � 3| 1 c) |x � 1| � 2

    1.18. Halla los errores absoluto y relativo que se cometen al utilizar 1,7 como aproximación de —172—.

    Error absoluto: Ea � ��172� � 1,7 � � �710� Error relativo: Er � � �1120�

    1.19. Calcula las mejores aproximaciones por defecto y por exceso y el redondeo de �2� a la unidad, la centési-ma y la diezmilésima.

    1.20. (TIC) Calcula las siguientes operaciones y da el resultado en notación científica.

    a) 0,00048 � 0,000059 d) 0,0000015 � 0,000003 g)

    b) 35000000 � 720000000 e)

    c) 250000 � 5,5 � 105 f)

    a) 5,39 � 10�4 d) 5 � 10�1 g) 1,425 � 10�11

    b) �6,85 � 108 e) 1,158 � 10�2

    c) 1,375 � 1011 f) 1,728 � 103

    0,00016 � (25 � 103 � 2000)————

    0,0025

    2,2 � 109 � 7,8 � 10�14———

    1,9 � 1011

    1023 � 5,6 � 10�12———3,5 � 1022 � 4,3 � 1021

    �710�

    �172�

    Unidad Centésima Diezmilésima

    Defecto 1 1,41 1,4142

    Exceso 2 1,42 1,4143

    Redondeo 1 1,41 1,4142

    a) (0, 4)

    b) (��, �4] � [�2, ��)

    c) [�3, 1]

    0 4

    0–2–4

    0 1–3

  • Solucionario

    1.21. Un átomo de hidrógeno (H) pesa 1,66 � 10�24 gramos.

    a) ¿Cuántos átomos de H se necesitan para obtener 20 kg de ese gas?

    b) ¿Cuál es la masa de 2,524 � 1026 átomos de H?

    c) Si 2 gramos de hidrógeno molecular ocupan un volumen de 22,4 L a 0 C y a la presión atmosférica nor-mal, ¿cuántas moléculas de hidrógeno contendría un recipiente de 5 L en estas condiciones?

    a) �1,6

    260

    00100�24

    � � 1,205 � 1028 átomos serán necesarios para juntar una masa de 20 kg.

    b) 2,524 � 1026 � 1,66 � 10�24 � 419 g � 0,419 kg

    c) El recipiente de 5 litros contiene �222

    �,45

    � gramos de hidrógeno, es decir, �222

    �,45

    � � (1,66 � 10�24) � 2,689 � 1023 áto-

    mos de hidrógeno. Cada molécula está compuesta por dos átomos, por lo que habrá 1,345 � 1023 moléculasen total.

    1.22. La masa de la Tierra es de 5,97 � 1024 kg, y la de Plutón, de 1,29 � 1022.

    a) ¿Cuántas veces es más masiva la Tierra que Plutón?

    b) Suponiendo que ambos planetas fueran esferas perfectas con radios de 6371 y 1160 km, respectivamente,calcula la densidad aproximada de cada uno de ellos.

    a) �51,,9279

    1100

    2

    2

    4

    2� � 463 veces mayor es la masa de la Tierra respecto de la de Plutón.

    b) Densidad de la Tierra � �Vo

    Mluamsa

    en� � � 5,5 � 1012 kg/km3 � �

    5,5 � 1100

    12

    15

    � 1000� � 5,5 g/cm3

    Densidad de Plutón � �Vo

    Mluamsa

    en� � � 1,97 � 1012 kg/km3 � 1,97 g/cm3

    1.23. Simplifica las siguientes expresiones.

    a) —32— � �6� b) �2� � —32— �8� � —14— �18� c) d) —��22�0��� ��8�5�—

    a) �32� � �6� � ���

    3�2�� � �6� � ��

    �3�2�

    ��

    2�2�

    � � �6� � ��26�� � �6� � �32� �6�

    b) �2� � �32� �8� � �14

    � �18� � �2� � �3 2� 2��2� � �34� �2� � �2� � 3�2� � �

    34

    � �2� � �143� �2�

    c) � � � 25 � �6 22� � 25 � �3 2�

    d) ���22�0��� ��8�5��

    � ��2�2�5���2��2�5��

    � �33��2�5��

    � 4 �25�

    � 8 �25� � ���8

    8

    2�5�

    ��

    8

    8

    5

    5

    7�7�

    � � ��8 2

    5� 57��

    1.24. Opera y simplifica las siguientes expresiones.

    a) 128 —12— � 162 —

    32— b) �2�2��2���

    a) 128 �12� � 162 �

    32� � �128� � �1623� � �27� � �23 � 3�12� � 23�2� � 2 � 36�2� � 8�2� � 1458�2� � 1466�2�

    b) �2�2��2��� � ��23��2��� � ���27��� � �8 27�

    25 � �6 24� � �6 23���

    �6 25�24 � �3 22� � 2�2���

    �6 25�16 � �

    34� � ��2� �

    3

    ��

    ��3 32��

    16 � �3

    4� � ��2��3

    ——��3 32��

    1,29 � 1022 kg���43

    � � � 11603 km3

    5,97 � 1024 kg���43

    � � � 63713 km3

  • 1.25. Racionaliza los siguientes denominadores.

    a) —2�

    5

    5�— b) —

    2�54

    5�— c) —

    2�5�5

    � 1—

    a) �2�

    5

    5�� � �

    2�5�

    5��5�

    5�� � �

    51�05�

    � � ��25��

    b) �2�

    54

    5�� � �

    2�54

    5��

    �4

    �54

    3�53�

    � � �5

    2�

    �4553�

    � � ��4

    253��

    c) �2�5�

    5

    � 1� � � � �

    140�

    � 55�

    ��

    15

    � � �10�

    15�9

    � 5�

    1.26. Simplifica la expresión .

    � � � � 1044

    1.27. (TIC) Desarrolla las siguientes potencias.

    a) �3 � 2�3��5

    b) �2x � —34x—�

    4

    a) �3 � 2�3� �5

    � � � � 35 � � � � 34 � �2�3� � � � � � 33 � �2�3� �2 � � � � 32 � �2�3� �3 � � � � 3 � �2�3� �4 � � � � �2�3� �5 �� 243 � 5 � 81 � 2�3� � 10 � 27 � 12 � 10 � 9 � 24�3� � 5 � 3 � 144 � 32 � 9�3� � 5643 � 3258�3�

    b) �2x � �34x��4

    � � � � (2x)4 � � � � (2x)3 � �34x� � � � � (2x)2 � ��34x��2

    � � � � 2x � ��34x��3

    � � � � ��34x��4

    � 16x 4 � 4 � 8x 3 � �34x� � 6 � 4x 2 � �

    91x6

    2� � 4 � 2x � �

    2674x 3� � �

    8215x6

    4� � 16x 4 � �

    1238

    �x 2 � �1238

    � � �2571x2

    2� � �

    8215x6

    4�

    1.28. Halla el sexto término de los desarrollos de:

    a) ��2� � 2�8��9

    b) (3a2 � 2ab)8

    a) T6 � � � � ��2� �4 � �2�8� �5 � 126 � 4 � 4096�2� � 2064384�2�

    b) T6 � � � � (3a 2)3 � (2ab)5 � 56 � 27a 6 � 32a 5b 5 � 48384a 11b 5

    1.29. Calcula el término independiente del desarrollo de la potencia �—x3

    2— � 5x�

    12

    .

    Tk � � � � ��x3

    2��

    13 � k

    � (5x)k � 1 � � � � � � �313 � k � 5k � 1 � x 3k � 27

    3k � 27 � 0 ⇒ k � 9 ⇒ T9 � � �313 � 9 � 59 � 1 � 495 � 34 � 58128

    12k � 1

    313 � k � 5k � 1 � x k � 1���

    x 26 � 2k12

    k � 112

    k � 1

    85

    95

    44

    43

    42

    41

    40

    55

    54

    53

    52

    51

    50

    30 � 29 � 28 � 27���

    630

    ��340�� � 4!��

    630

    ���239�� � ��249��� � 4!���

    630

    ���239�� � ��2295��� � 4!���

    630

    ��—239—� � �—22

    95—�� � 4!

    ———630

    10�5� � 5���2�5� �

    2� 12

    5�2�5� � 1�����2�5� � 1��2�5� � 1�

  • Solucionario

    1.30. Calcula: log216, log3 �27� y log5 �3

    25�.

    log216 � log224 � 4

    log3 �27� � log3 �33� � log33�32� � �

    32

    log5 �3

    25� � log5 �3

    52� � log55�23� � �

    23

    1.31. Sabiendo que log2 � 0,301 y que log3 � 0,477, halla:

    a) log38 b) log�0,012�

    a) log38 � �lloogg

    83

    � � �lloogg23

    3

    � � �3lologg32

    � � 1,893

    b) log�0,012� � log�110200� � log��110200�� �12�

    � �12

    � log�110200� � �

    12

    � (log12 � log1000) � �12

    � (log(22 � 3) � 3) �

    � �12

    � (2log2 � log3 � 3) � �0,9605

    1.32. Toma logaritmos en la expresión A � (x x) x.

    logA � log �(x x)x� � x log(x x) � x � x logx � x 2logx

    1.33. Pasa a forma algebraica la siguiente expresión logarítmica.

    logA � 2 � 2logx � logy

    logA � log100 � logx 2 � logy ⇒ logA � log�10y0x 2� ⇒ A � �10

    y0x 2�

    1.34. (TIC) Halla el valor de los siguientes logaritmos con la calculadora.

    a) log321 b) log0,0112 c) log�3� 19

    a)log321 � �lnln231

    � � 2,771 b) log0,0112 � �lnln01,021

    � � �0,540 c) log�3� 19 � �l

    l

    n

    n

    �19

    3�� � 5,360

    1.35. En un cultivo de bacterias, el número se duplica cada dos días. Un día se contabilizan 3000 bacterias.

    a) Calcula el número de bacterias que habrá 15 días después.

    b) ¿Cuántos días han de pasar para que haya el triple de bacterias?

    c) Si el número inicial fuera de 6000, ¿cuántos días tendrían que transcurrir para que hubiera el triple?

    d) Se supone que la población se estabiliza al alcanzar las 20000 bacterias. ¿Cuánto tiempo ha de pasarpara ello?

    El número de bacterias cuando han pasado t días es N � 3000 � 2 �2t�.

    a) Para t � 15 ⇒ N � 3000 � 27,5 � 543058

    b) 3N � N � 2 �2t� ⇒ 2 �2

    t�

    � 3 ⇒ log2 �2t�

    � log3 ⇒ �2t� log2 � log3 ⇒ t � 2 � �

    lloogg

    32

    � � 3,17 días

    c) El resultado anterior es independiente del número inicial de bacterias.

    d) 20000 � 3000 � 2 �2t� ⇒ 2 �2

    t�

    � �230000000

    � ⇒ log2 �2t�

    � log�230� ⇒ �

    2t� log2 � log�

    230� ⇒ t � 2 � � 5,47 días

    log�230�

    �log2

  • 1.36. Cierta sustancia radiactiva tiene un período de semidesintegración de 1600 años. Calcula la cantidad demasa a la que se habrá reducido 1 kilogramo de esta sustancia al cabo de 10000 años.

    La masa al cabo de 10000 años será: 1 � 0,5�110600000

    �� 0,01314 kg � 13,14 g

    1.37. Se depositan en un banco 5000 euros durante 2 años. El banco informa de que el interés es del 3,5% anual.

    a) Calcula el capital acumulado suponiendo que la capitalización es anual.

    b) ¿A cuánto asciende si es mensual?

    c) ¿Y si es diaria?

    d) Interpreta los resultados obtenidos.

    a) C � 5000 � 1,0352 � 5356 €

    b) C � 5000 � �1 � �132,050��2 � 12

    � 5362 €

    c) C � 5000 � �1 � �3635,500��2 � 365

    � 5362,5 €

    d) No se aprecian grandes diferencias al cambiar la acumulación anual por la mensual, y son casi insignificantesal cambiarla por acumulación diaria.

    EJERCICIOS

    Números reales

    1.38. Escribe dos números comprendidos entre:

    a) —1293— y —

    2203— b) —

    272— y

    a) �1293� � �

    5679� y �

    2203� � �

    6609�. Entre estos dos números están �

    5689� y �

    5699�.

    b) �272� � 3,1428..., � � 3,1415... Entre ambos están 3,1416 y 3,1417.

    1.39. Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales. En el caso de los racionales, indica su expre-sión mediante una fracción irreducible.

    a) 12,12131415… d) 1,010010001…

    b) 12,121212… e) 1,123123123…

    c) 12,0121212… f) 0,001002003004…

    a) 12,12131415… Irracional

    b) 12,121212… � 12,12v Racional � ⇒ 99N � 1200 ⇒ N � �129090� � �43030�

    c) 12,0121212… � 12,012v Racional � ⇒ 990N � 11892 ⇒ N � �11998092� � �1196852�d) 1,010010001 Irracional

    e) 1,123123123… � 1,123v Racional � ⇒ 999N � 1122 ⇒ N � �1919292� � �337343�f) 0,001002003004 Irracional

    1000N � 1123,123123...N � 1,123123...

    1000N � 12012,1212...10N � 120,121212...

    100N � 1212,1212...N � 12,121212...

  • Solucionario

    1.40. Clasifica estos números indicando a qué conjuntos numéricos pertenecen.

    a) 25,0123456… c) �4 e) 2 g) ��0,0625�

    b) 25,4252525… d) —37

    — f) �2,3� h) �—6153—

    a) 25,0123456… es irracional y real.

    b) 25,4252525… es racional y real.

    c) �4 es entero, racional y real.

    d) �37

    � es racional y real.

    e) 2 es natural, entero, racional y real.

    f) �2,3� es irracional y real.

    g) ��0,0625� � �0,25 es racional y real.

    h) ��6153� � �5 es entero, racional y real.

    1.41. Ordena de menor a mayor estos números.

    25,0111… —1256

    — 25,01 —2296

    �1256

    � � 25,2; �2296

    � � 25,1111...

    El orden es: 25,01 � 25,0111… � �2296

    � � �1256

    1.42. Representa los siguientes números reales.

    a) —152— b) �—

    37

    — c) �5� d) �6� e) �7� f) �8�

    1.43. Indica qué números reales representan los puntos A y B de la figura.

    A � �12 ��22� � �5�B � �22 ����5� �2� � �4 � 5� � 3

    210_3___7

    ___125

    R

    A0 1 B R

    2

    2105

    67

    8

  • Valor absoluto e intervalos

    1.44. Desarrolla las siguientes expresiones.

    a) |2x � 4| � x b) |x | � |2x | c) |x � 1|� |x � 1| d) x � |x | � |x � 2|

    a) |2x � 4| � x � � ⇒ �b) |x | � |2x | � � ⇒ �

    Se podía haber hecho |x | � |2x | � |x | � 2|x | � 3|x |

    c) |x � 1| � |x � 1| � � � �d) x � |x | � |x � 2| � � � �

    1.45. Dados los conjuntos A � (�2, ��), B � (�2, 0] y C � [0, 4), calcula A � B � C y A � B � C.

    A � B � C � A � (�2, �) A � B � C � {0}

    1.46. Expresa mediante un intervalo los siguientes conjuntos de números reales y represéntalos en la recta real.

    a) �x � —12—� � —14

    — b) |2x � 6| � 1 c) |x | � —13

    a) ��14�, �34�� c) ���31�, �13��

    b) |x � 3| � �12

    � ⇒ ���27�, ��25��

    Aproximaciones y errores

    1.47. Da la expresión aproximada que se pide en cada caso.

    a) —273— por exceso con tres cifras decimales

    b) �5� � �125� por defecto con dos cifras decimalesc) 2 � 1 redondeado a tres cifras decimales

    a) �273� � 3,286 b) �5� � �125� � 13,41 c) 2� � 1 � 5,283

    1.48. Acota el error relativo que se comete al tomar como aproximación del número áureo � � —1 �

    2�5�— el nú-

    mero racional 1,618.

    Error relativo: Er � � �0,10,0601084

    � � 0,000022��1 �2�5�� � 1,618����

    1,618

    si x � 0si 0 � x � 2si x 2

    �x � 2x � 23x � 2

    si x � 0si 0 � x � 2si x 2

    x � x � x � 2x � x � x � 2x � x � x � 2

    si x � �1si �1 � x � 1si x 1

    �2x22x

    si x � �1si �1 � x � 1si x 1

    �(x � 1) � (x � 1)�(x � 1) � x � 1x � 1 � x � 1

    si x � 0si x 0

    �3x3x

    si x � 0si x 0

    �x � 2xx � 2x

    si x � 2si x 2

    4 � x3x � 4

    si x � 2si x 2

    �2x � 4 � x2x � 4 � x

    0( )

    _3 _2 _1_4

    0 1( )

    0( )

    _1 1

  • Solucionario

    Notación científica

    1.49. Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en notación científica.a) 108 � 4 � 106 d) 150000000 � 450000b) 0,00025 � 0,0015 e) 0,00006 � 45000000c) 235000 � 0,00025 f) 0,0025 � 10�13 � 10�23

    a) 108 � 4 � 106 � 9,6 � 107 d) 150000000 � 450000 � 3,333… � 102

    b) 0,00025 � 0,0015 � 3,75 � 10�7 e) 0,00006 � 45000000 � 1,333… � 10�12

    c) 235000 � 0,00025 � 5,875 � 10 f) 0,0025 � 10�13 � 10�23 � 2,5 � 107

    Radicales

    1.50. Simplifica el valor de cada expresión.

    a) d) �4

    39062�5 � a 5�b 16� g) �—12— � 2 � —12—�2

    j) �3

    81a 3� � 2a�3

    24�

    b) —2

    4

    7

    5

    3

    1

    5

    5

    (

    (

    1

    7

    5

    5

    )

    )6

    4

    0

    0

    — e) �x� � �3

    x� � �4

    x 3� h) k) �3 �2� ���3 4��

    c) �3� � 2�27� � �12� f) �3�3��3��� i) 16 —12— � 9 —32— l) —23— � —32—

    a) � � �22 � 3

    3

    3

    2

    22

    4

    6

    � 33� � 34 � 81

    b) �2

    4

    7

    5

    35

    15

    (�

    (�

    1

    7

    5

    5

    )�)4

    6

    0

    0� � �

    (3

    (2

    33

    )�

    5

    1

    )

    5

    3

    (5

    3

    (3

    5

    5

    2)

    )

    4

    0

    60� � � 3�15 � 5105

    c) �3� � 2�27� � �12� � �3� � 2 � 3�3� � 2�3� � 5�3�

    d) �4

    39062�5 � a 5�b 16� � �4

    58a 5b 1�6� � 52ab4�4

    a� � 25a 2b4�4

    a�

    e) �x� � �3

    x� � �4

    x 3� � �12

    x 6x 4x 9� � �12

    x 19� � x�12

    x 7�

    f) �3�3��3��� � �8 34323� � �8 37�

    g) ��12� � 2 � �12��2

    � �14

    � � 2 � �12

    � � 2 � �12

    ��32� � �74� � ���3�2�� � �

    74

    � � ��26��

    h) � ���

    4

    3

    x

    x�

    3�� � 12 �(xx

    3

    4

    )3� � �12 x 5�

    i) 16 �12� � 9 �

    32� � �16� � �36� � 4 � 27 � 31

    j) �3

    81a 3� � 2a�3

    24� � 3a�3

    3� � 4a�3

    3� � 7a�3

    3�

    k) �3 �2� ���3 4�� � �3 �6 2342�� � �18 27�

    l) �23� � �32� � ���2�3�� � �

    ��

    3�2�� � � �

    2

    ��

    6�3

    � � ��5

    6�� � �

    5�6

    6��

    1.51. Opera y simplifica.

    a) (�2)0 � (�2)1 � (�2)2 � ... � (�2)8 b) —13

    — �4

    80� � —12— �4

    405�� �4

    5� c) 2 � �2�3�2��2� �2�3�2�� � �2�3�2��

    a) (�2)0 � (�2)1 � (�2)2 � ... � (�2)8 � 1 � 2 � 4 � 8 � 16 � 32 � 64 � 128 � 256 � 171

    b) �13

    � �4

    80� � �12� �4

    405� � �4

    5� � �13� � 2�4

    5� � �12� � 3�4

    5� � �4

    5� � ��161� �

    45�

    c) 2 � �2 � 3�2� �2

    � �2 � 3�2� � � �2 � 3�2� � � 2�4 � 8 � 12�2� � � 4 � 18 � 30 � 24�2�

    �2� � �2� � �3� � �3����

    �6�

    �x�x����3

    x�

    3�45 � 340 � 580���370 � 535 � 3�60 � 5�60

    �23

    2

    2� � �

    32

    3

    6�

    �24

    1� 33�

    ��32���2

    � ��43���3

    ��2�4 � 3�3

    �x�x����3

    x�

    �—32—��2

    � �—43—��3

    ——2�4 � 3�3

  • 1.52. Racionaliza los denominadores.

    a) —a�

    6

    a

    a 8�— b) —

    2�35

    y

    y 2�— c) —

    2�x

    x

    2

    2�— d) —

    1 �

    �2��2�— e) —

    �3�2�

    6��2�

    — f) —2�3�

    6��

    6�3�2�—

    a) �a�

    6

    a

    a 8�� � �

    a�6

    1

    a 2�� � �

    a�13

    a�� � �

    a�3

    �3

    a�a

    �3

    2�a 2�

    � � ��3aa2

    2��

    b) �2�

    35

    y

    y 2�� � �

    2�5

    3

    y

    y2��5

    y

    3�5

    y 3�� � �

    3y2�5yy 3�

    � � �3�5

    2y 3��

    c) �2�

    x

    x

    2

    2�� � � � �

    �x2� 2��

    d) �1 �

    �2��2�� � � �

    �12�

    ��

    22

    � � 2 � �2�

    e) ��3�

    2��

    6��2�

    � � � �2�18�

    3��

    22

    �12�� � 6�2� � 4�3�

    f) �2�3�

    6��

    6�3�2�

    � � � � 3�12� � 2�18� � 6�3� � 6�2�

    Números combinatorios. Binomio de Newton

    1.53. Calcula las siguientes operaciones.

    a) � � b) � � � � � c) � � � � � � � � � � � d) � � � � �a) � �� � �� 31626b) � �� � �� � �� 14950c) � �� � �� � �� � �� 1 � 4 � 6 � 4 � 15d) � �� � �� � �� � �� � �� �

    1.54. Simplifica las siguientes expresiones.

    a) —65!!

    — � —86!!

    — b) —(n �

    n!1)!

    — � —(n �

    n!2)!

    — c) d)

    a) �65!!

    � � �86!!

    � � 6 � 8 � 7 � 6 � 56 � 62

    b) �(n �

    n!1)!

    � � �(n �

    n!2)!

    � � n � (n � 2)(n � 1) � n � n 2 � 3n � 2 � n 2 � 4n � 2

    c) � � �

    � � � (n � 1)(n � 2) � n 2 � 3n � 2

    d) � � 2�2 � 2 � n! � �n2!

    n 3 � 9n 2 � 20n � 12���

    n � 6n 3 � 6n 2 � 11n � 6 � 3n 2 � 9n � 6�����

    n � 6

    ��n �3 3�� � ��n �2 2�����

    �n �

    66

    ��n �n 3�� � ��n �n 2�����

    �n �

    66

    2 n � 3 � (n � 2)!——

    2 n � 1 � �—n �22

    —��—n �n

    3—� � �—n �n

    2—�

    ————n �

    66

    n 3 � 6n 2 � 11n � 6���

    6(n � 3)(n � 2)(n � 1)���

    6n � 3

    3n � 2

    3n � 2

    2n�2n � 1

    n�22

    43

    42

    41

    40

    264

    254

    253

    2522

    252250

    n � 2n � 1

    n � 22

    43

    42

    41

    40

    254

    253

    252250

    12�18� � 18�12����

    12 � 186�6� � �2�3� � 3�2� �

    �����2�3� � 3�2 � � �2�3� � 3�2� �

    2�6� ��3� � �2� ������3� � �2� � � ��3� � �2� �

    �2� � �1 � �2� �����1 � �2� � � �1 � �2� �

    (x � 2) � �x � 2����

    2(x � 2)(x � 2) � �x � 2����2�x � 2��x � 2�

    � �n 2 � 3

    2n � 2�

    n 3 � 6n 2 � 11n � 6���

    6

    �n �

    66

    2n � 3 � (n � 2)!

    2n � 1 � ��n �2 2��2n � 3 � n � 1(n � 2)!

    �(n2!

    � n2!)!

  • Solucionario

    1.55. (TIC) Realiza los desarrollos de los siguientes binomios.

    a) (2 � x)4 e) �1 � 2�2��2

    b) �2 � —3x

    —�3

    f) �2 � 3�3��3

    c) �—2x— � —

    x2

    2—�

    5

    g) �—�2

    2�— � �2��

    4

    d) �2x 2 � —3x—�6

    h) �5�2� � 2�3��3

    a) (2 � x)4 � � � � 24 � � � � 23 � x � � � � 22 � x 2 � � � � 2 � x 3 � � � � x 4 � 16 � 32x � 24x 2 � 8x 3 � x 4

    b) �2 � �3x��3

    � � � � 23 � � � � 22 � �3x� � � � � 2 � ��3x��2

    � � � � ��3x��3

    � 8 � 4x � �23

    � x 2 � �217�x 3

    c) ��2x� � �x2

    2��5

    � � � � ��2x��5

    � � � � ��2x��4

    � �x2

    2� � � � � ��2x��3

    � ��x2

    2��2

    � � � � ��2x��2

    � ��x2

    2��3

    � � � � �2x� � ��x2

    2��4

    � � � � ��x2

    2��5

    � �3x2

    5

    � � 5 � �1x6

    4

    � � �x2

    2� � 10 � �x8

    3

    � � �x4

    4� � 10 � �x4

    2

    � � �x8

    6� � 5 � �2x

    � � �1x68� � �x

    31

    20� � �3

    x2

    5

    � � �58x 2� � �

    5x

    � � �2x04� � �

    4x07� � �x

    31

    20�

    d) �2x2��3x��6

    �� ��(2x2)6�� ��(2x2)5��3x��� ��(2x2)4���3x��2

    �� ��(2x2)3���3x��3

    �� ��(2x2)2���3x��4

    �� ��2x2���3x��5

    �� ����3x��6

    � 64x12 � 576x9 � 2160x6 � 4320x3 � 4860 � �29

    x13

    6� � �

    7x2

    6

    9�

    e) �1 � 2�2� �2

    � 1 � 8 � 4�2� � 9 � 4�2�

    f) �2 � 3�3� �3

    � 8 � 3 � 4 � 3�3� � 3 � 2 � 27 � 81�3� � 170 � 117�3�

    g) ���22�� � �2��4

    � ��2 � ��2�2� � �2���4

    � ���42���4

    � �2546

    � � 64

    h) �5�2� � 2�3� �3

    � 125 � 2�2� � 3 � 50 � 2�3� � 3 � 5�2� � 12 � 24�3� � 430�2� � 324�3�

    1.56. Calcula el término que se indica en cada uno de los siguientes desarrollos.

    a) El quinto término de (2 � x)8

    b) El tercer término de �—23— � —3x

    —�6

    c) El último término de (2a 2b � 3a 3)7

    a) T5 � � � 24 � x4 � 70 � 16 � x 4 � 1120x 4

    b) T3 � � � � ��23��4

    � ��3x��2

    � 15 � �1861� � �

    x9

    2� � �

    38x0

    2�

    c) T8 � �� � � (3a 3)7 � �2187a 2177

    62

    84

    66

    65

    64

    63

    62

    61

    60

    55

    54

    53

    52

    51

    50

    33

    32

    31

    30

    44

    43

    42

    41

    40

  • 1

    �2�——

    1——

    Logaritmos

    1.57. Aplicando la definición, calcula el valor de los siguientes logaritmos.

    a) log2 —18

    — c) log —10

    100— e) log�8� �2�2�� g) log�2� �2�2��

    3

    b) log —19— —13

    — d) log —13— �27� f) log �3� �—19—� h) log —12— �3

    64�

    a) log2 �18

    � � x ⇒ 2x � �18

    � � 2�3 ⇒ x � �3

    b) log�19�

    �13

    � � x ⇒ ��19��x

    � �13

    � ⇒ 9�x � 3�1 ⇒ 3�2x � 3�1 ⇒ 2x � 1 ⇒ x � �12

    c) log �10

    100� � x ⇒ 10x � 10�3 ⇒ x � �3

    d) log�13�

    �27� � x ⇒ ��13��x

    � 27 �12� ⇒ 3�x � 3 �

    32� ⇒ x � ��3

    2�

    e) log �8� �2�2� � � x ⇒ ��8��x

    � 2�2� ⇒ 2 �32x�

    � 2 �32� ⇒ �3

    2x� � �

    32

    � ⇒ x � 1

    f) log �3� ��19�� � x ⇒ ��3��x

    � 3�2 ⇒ 3 �2x

    �� 3�2 ⇒ x � �4

    g) log �2� �2�2� �3

    � x ⇒ ��2��x

    � �2�2� �3

    ⇒ 2 �2x

    �� 2 �

    92� ⇒ x � 9

    h) log�12�

    �3

    64� � x ⇒ ��12��x

    � 2 �63� ⇒ 2�x � 22 ⇒ x � �2

    1.58. Calcula, si es posible, el valor de x en cada una de las siguientes expresiones.

    a) logx 8 � �3 c) log3 (�81) � x e) logx �2� � 0 g) log3 x � �1b) log� 3 x � 9 d) log x � �2 f) log1 2 � x h) log —1a— a

    2 � x

    a) log x 8 � �3 ⇒ x�3 � ��12���3

    ⇒ x � �12

    � e) log x �2� � 0. No existe x.

    b) log�3 x � 9. No está definido. f) log1 2 � x. No está definido.

    c) log3 (�81) � x. No está definido. g) log3 x � �1 ⇒ x � �13

    d) log x � �2 ⇒ x � ���1

    2���

    �2

    � 2 h) log�1a�a 2 � x ⇒ ��1a��

    x

    � a 2 ⇒ a�x � a 2 ⇒ x � �2

    1.59. Sabiendo que log2 � 0,301 y que log3 � 0,477, calcula los logaritmos decimales de los siguientes números.

    a) 250 b) 0,72 c) 5,4 d) �18� e) �4

    6� f) 2,4

    a) log250 � log�10

    400� � log1000 � log4 � 3 � log22 � 3 � 2log2 � 2,398

    b) log0,72 � log�17020

    � � log(23 � 32) � log100 � 3log2 � 2log3 � 2 � �0,143

    c) log5,4 � log�5140� � log54 � log10 � log(33 � 2) � 1 � 3log3 � log2 � 1 � 0,7302

    d) log�18� � �log

    218� � �

    log(22

    � 32)� � �

    log2 �2

    2log3� � 0,628

    e) log�4

    6� � �14� log6 � �14

    � (log2 � log3) � 0,1945

    f) log2,4 � log�2140� � log23 � log3 � log10 � 3log2 � log3 � 1 � 0,38

    �2�

  • Solucionario

    1.60. Sabiendo que log3 2 � 0,631 y que log3 5 � 1,465, calcula el valor del logaritmo en base 3 de 150.

    log3 150 � log3 (2 � 3 � 52) � log3 2 � log3 3 � 2log3 5 � 0,631 � 1 � 2 � 1,465 � 4,561

    1.61. Toma logaritmos decimales en las siguientes igualdades y desarrolla las expresiones.

    a) P � 10x 3yz 3 c) R � 3—2x32

    z

    �3y

    5

    — e) y � —a�3

    x 2�x

    b) Q � —x10

    0xy

    2

    — d) x � a 4 � b 3 � c —32— f) x � y � —

    (mm�

    2n2)n� n 2

    a) P � 10x 3yz 3 ⇒ logP � 1 � 3logx � logy � 3logz

    b) Q � �x10

    �0x

    y

    2

    � ⇒ logQ � 2 � 2logx � log(x � y)

    c) R � 3 �2x32

    z

    �3y

    5

    � ⇒ logR �d) logx � 4loga � 3logb � �

    32

    � logc

    e) logy � �23

    � logx � loga � logx � �loga � �13

    � logx

    f) logx � logy � log(m � 2n) � 2logn � log(m � 2n)

    1.62. Expresa el valor de E en cada caso sin que aparezcan logaritmos.

    a) logE � 2 � 3logx � logy � 5logz c) logE � log(x � 2y) � log(x � 2y)

    b) logE � 3log2 � 4logx � 3logy � 2logz d) logE � 3log(x � 10) � log—(2x �

    320)

    — � log —32

    a) logE � log100 � logx 3 � logy � logz 5 � log�x

    13

    0

    0

    z

    y5

    � ⇒ E � �x

    13

    0

    0

    z

    y5

    b) logE � 3log2 � 4logx � 3logy � 2logz ⇒ E � �x

    84

    y

    z

    3

    2�

    c) logE � log(x � 2y) � log(x � 2y) ⇒ E � (x � 2y) � (x � 2y) � x 2 � 4y 2

    d) logE � 3log(x � 10) � log�(2x �

    320)

    � � log �32

    � ⇒ E � �2

    9

    (

    (

    2

    x

    x

    1

    2

    0

    0

    )3

    )� � �

    94

    � (x � 10)2

    1.63. (TIC) Con la ayuda de la calculadora, obtén aproximaciones decimales hasta las milésimas de los siguienteslogaritmos.

    a) log3 20 c) log0,5 60 e) log �2� �3�

    b) log —14— —75

    — d) log �2� 3 f) log —25— �3

    2�

    a) log320 � �lologg230

    � � 2,727 d) log �2� 3 � �lo

    lo

    g

    g

    �3

    2�� � 3,17

    b) log�14�

    �75

    � � � �0,243 e) log �2� �3� � �l

    l

    o

    o

    g

    g

    ��

    3�2�

    � � 1,585

    c) log0,560 � �lloogg06,05

    � � �5,907 f) log�25�

    �3

    2� � � �0,252log�3

    2��log �

    25

    log2 � 2logx � 5logy � log3 � 3logz�����

    3

    log �75

    log �14

  • 1.64. Calcula el valor de x en cada caso.

    a) 2500 � 2000 � 1,05 x d) 0,025 � 0,5 � e x

    b) 20 � log x 5 � 15 e) 3 � 10�5 � 2�50x

    c) 2 � 106 � x12 f) log x 5 � 1 � log x 2

    a) 1,05x � �22500000

    � � �54

    � ⇒ log1,05 x � log1,25 ⇒ x log1,05 � log1,25 ⇒ x � �l

    l

    o

    o

    g

    g

    1

    1

    ,

    ,

    2

    0

    5

    5� � 4,574

    b) 5 � log x 5 ⇒ x 5 � 5 ⇒ x � �5

    5� � 1,38

    c) x � �12

    2 � 10�6� � 3,35

    d) e x � �0,00,255

    � � 0,05 ⇒ x � ln0,05 � �2,996

    e) log(3 � 10�5) � �50x � log2 ⇒ x � �log

    (530�

    lo1g02

    �5)� � 0,3

    f) logx 5 � logx x � logx 2 ⇒ logx 5x � logx 2 ⇒ 5x � 2 ⇒ x � �25

    PROBLEMAS

    1.65. Al realizar una encuesta sobre el interés de los habitantes de una localidad en relación con los equipos in-formáticos, se observó que exactamente el número de encuestados que contestaron que en su casa habíamás de un ordenador era el 40,454545…% del total.

    ¿Cuántas personas formaban parte de la muestra si se sabe que eran menos de 300?

    N � �40,

    1405045...� � 0,40454545... ⇒ � ⇒ N � �49090050� � �28290�

    Para calcular el número de encuestados que contestaron que tenían más de un ordenador, se debe multiplicar el

    total por la fracción irreducible �28290

    �. Por tanto, el número total de encuestados debe ser múltiplo de 220 y, al ser

    menor que 300, es exactamente 220.

    1.66. En una clase se realiza una encuesta sobre las aficiones deportivas. El 92,592592592...% del total de la cla-se contesta que practica algún deporte, y la mitad, que le gusta el fútbol.

    Si la clase tiene como máximo 35 alumnos, razona si son posibles los datos anteriores.

    N � �92,5

    19020592...� � 0,92592592... ⇒ � ⇒ N � �992959� � �28290� � �2257�

    Para calcular el número de alumnos que contestaron que practican un deporte, se debe multiplicar el total por la

    fracción irreducible �2257�. Por tanto, el número total de encuestados debe ser múltiplo de 27.

    Pero también debe ser par, ya que la mitad afirma que le gusta el fútbol.

    En consecuencia, el mínimo número de alumnos en la clase es de 54. Por tanto, los datos no son correctos.

    1000N � 925,925925...N � 0,925925...

    10000N � 4045,454545...100N � 40,454545...

  • Solucionario

    1.67. Calcula de forma exacta el número irracional que representa la relación entre la diagonal de un pentágonoregular y su lado. Comprueba que se trata del número áureo.

    Para ello, sigue los siguientes pasos:

    • Demuestra que los triángulos DFC y DBC son semejantes calculandosus ángulos.

    • Demuestra que el triángulo BFC es isósceles.

    • Aplicando el teorema de Tales, calcula la relación entre los lados quecorresponden a la diagonal y el lado del pentágono.

    El ángulo interior de un pentágono regular es � 108�.

    El triángulo DBC es isósceles, y sus ángulos miden 108�, 36� y 36�.

    El triángulo DFC es también isósceles, y sus ángulos miden 36�, 36� y 108�. Por tanto, DFC y DBC son seme-jantes.

    El ángulo BCF mide 108� � 36� � 72�. El ángulo BFC mide 180� � 108� � 72�. Por tanto, BFC es isósceles.

    Suponiendo un pentágono regular de lado 1:

    Aplicando el teorema de Tales a los triángulos semejantes:

    �DD

    CB� � �

    DD

    CF� ⇒ �

    1x

    � � �x �

    11

    � ⇒ x 2 � x � 1 ⇒ x 2 � x � 1 � 0 ⇒

    ⇒ x � �1 � �21 � 4�� � �

    1 �2

    �5��

    (En la ecuación de segundo grado, la otra solución es negativa y no tiene sentido.)

    x � �DD

    CB� � �

    1 �2

    �5�� �

    1.68. Demuestra que el número áureo verifica las siguientes propiedades.

    a) �2 � � � 1 b) � � 1 � —�

    1— c) �3 � —

    11

    a) �2 � ��1 �2�5���2

    � �1 � 5

    4� 2�5�� � �

    6 �42�5�� � �

    3 �2

    �5�� � 1 � �

    1 �2

    �5�� � 1 � �

    b) �2 � 1 � � ⇒ ���

    2

    � � �1 �

    ��

    � ⇒ � � ��1

    � � 1 ⇒ � � 1 � ��1

    c) �3 � �2 � � � (1 � �) � � � � ���

    ��

    11

    1.69. El área de un cuadrado es de 10,5 cm2. Calcula las áreas de sus círculos inscrito y circunscrito, redonde-ando los resultados con dos cifras decimales.

    El lado del cuadrado mide x � �10,5� � 3,24 cm.

    La diagonal del cuadrado mide �2 � 10�,5� � 4,58 cm.

    Área del círculo inscrito: S � � � r 2 � � � ��3,2

    24��

    2

    � 8,2 cm2

    Área del círculo circunscrito: S � � � r 2 � � � ��4,2

    58��

    2

    � 16,5 cm2

    (2 � 5 � 4) � 90����

    5

    E B

    A

    D C

    Fx _ 1

    x

    F

    D C

    E B

    A

    1 � ��

    ��1

  • 1.70. Calcula la medida de la diagonal de un paralelepípedo cuyos lados miden �10�, �8� y �5� cm, respectiva-mente. ¿Qué tipo de número es el resultado?

    Aproxima el resultado redondeando a dos decimales y calcula los errores absoluto y relativo cometidos.

    d � ���10���2 � ���8� �2 ����5� �2� � �23� cm. La medida de la diagonal es un número irracional.Redondeando, �23� � 4,80 cm.

    Error absoluto: Ea � |�23� � 4,80| � 0,004

    Error relativo: Er � �0

    4

    ,0

    ,8

    0

    0

    4� � 0,0008

    1.71. La diagonal de un cubo mide exactamente 1,252 cm. Halla la superficie del cubo aproximando su diagonalpor 1,25 cm. Calcula el error relativo cometido.

    Usando el valor aproximado: d � �a 2 ��a 2 ��a 2� ⇒ 1,25 � �3a 2� � a�3� ⇒ a � �1�,2

    3�5

    � ⇒

    ⇒ S � 6a 2 � �6 �31,252� � 3,125 cm2

    Usando el valor real: a � �1

    �,25

    3�2

    � ⇒ S � 6a 2 � �6 � 13,2522� � 3,135008 cm2

    Error relativo: Er � � 0,003

    1.72. En la tabla siguiente aparecen las medidas de una niña y de una torre.

    Indica cuál de las dos medidas ha sido más precisa y justifica tu respuesta.

    En el primer caso, el error relativo es �922� � �

    416�. En el segundo, el error relativo es �

    318�.

    La medida de la niña es más precisa, ya que el error relativo es menor.

    1.73. Javier pretende colocar césped artificial en un jardín cuadrado del que sabe que su lado está comprendidoentre 15 y 16 metros.

    El coste de cada metro cuadrado de dicho césped asciende a 30 euros y 10 céntimos, y el presupuestocon el que cuenta es de 7000 euros.

    Calcula los costes máximo y mínimo, y decide si la obra podrá ser emprendida.

    15 � lado � 16 ⇒ 225 � área � 256 ⇒ 6772,5 � coste � 7705,6Por tanto, el presupuesto podría ser insuficiente.

    1.74. El radio de la rueda de una bicicleta tiene una longitud comprendida entre 19 y 20 cm.

    Calcula los números máximo y mínimo de vueltas completas que dará al recorrer una distancia de 20 km.

    19 � r � 20 ⇒ 119,38 � longitud rueda � 125,67 ⇒ �2102050,60700

    � � n.º de vueltas � �2101090,30800

    � ⇒ ⇒ 15914 � vueltas � 16754

    3,135008 � 3,125���

    3,135008

    Altura

    Real Obtenida con instrumento de medida

    92 cm 90 cm

    38 m 37 m

  • Solucionario

    1.75. Si un automóvil que costó 14425 euros se deprecia un 15% anual, ¿cuánto valdrá a los 6 años?

    ¿Cuántos años deben pasar para que su valor sea inferior a 3600 euros?

    A los 6 años, el coche valdrá V6 � 14425 � 0,856 � 5440,38 euros.

    Para calcular dentro de cuántos años su valor será inferior a 3600 euros, se resuelve la siguiente inecuación:

    14425 � 0,85 t � 3600 ⇒ 0,85 t � �134640205

    � ⇒ t � log0,85 � log�134640205

    � ⇒ t � 8,54

    Deberán pasar, al menos, 9 años.

    1.76. Se llama unidad astronómica (UA) a la distancia media que separa la Tierra del Sol y que equivale a1,49598 � 108 km.

    a) Sabiendo que el 1 de enero la distancia entre la Tierra y el Sol es de 1,471 � 108 km, exprésala en uni-dades astronómicas.

    b) Sabiendo que la distancia media entre Júpiter y el Sol es de 5,2 UA, exprésala en kilómetros.

    a) �11,4,4975198

    101

    8

    08� � 0,9833 UA b) 5,2 � 1,49598 � 108 � 7,779 � 108 km

    1.77. Una población de conejos aumenta anualmente en un 50%. Si en el momento inicial había 100 conejos:

    a) ¿Cuántos habrá al cabo de 10 años?

    b) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que su número sea de 30000?

    c) Si debido a una enfermedad, la tasa de crecimiento cayera al 10%, ¿cuánto tiempo tardaría la poblacióninicial en triplicarse?

    a) t � 10 ⇒ P (10) � 100 � 1,510 � 5766,5 ⇒ Habrá 5766 conejos

    b) 100 � 1,5 t � 30000 ⇒ 1,5 t � 300 ⇒ t � �lloogg310,50

    � � 14,06 años

    c) 100 � 1,1 t � 300 ⇒ 1,1 t � 3 ⇒ t � �lologg13,1

    � � 11,53 años

    1.78. El valor de una vivienda, cuando han pasado t años desde su adquisición, es V � k � e� � t.

    La vivienda se compró por 250000 euros, y a los 10 años valía 450000.

    a) Calcula el valor de k y �.

    b) Calcula el valor de la vivienda a los 20 años.

    c) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir desde la compra, para que el valor de la vivienda se triplique?

    d) Un trabajador que gana el salario medio puede comprar una vivienda de 90 metros cuadrados. Si el sa-lario medio aumenta un 3% cada año, al cabo de 10 años, ¿cuál será la superficie de la vivienda que po-dría comprar el mismo trabajador? (supón que el resto de sus condiciones de vida no han variado.)

    a) � ⇒ k � 250000 ⇒ e 10� � �425500000000� � 1,8 ⇒ � � �110� ln1,8 � 0,0588 ⇒⇒ V � 250000 � e 0,0588t

    b) V � 250000 � e 0,0588 � 20 � 810000

    c) 3V � V � e0,0588t ⇒ t � �0,0

    ln5388� � 18,68 años

    d) Si el salario medio inicial es S0 , dentro de 10 años dispondrá de un salario S � S0 � 1,0310 � 1,34 � S0.

    Inicialmente podía pagar con su salario 90 m2, por lo que el precio del m2 salía por V0 � �9S00�.

    Después de 10 años, el m2 sale por V � �9S00� � e 0,0588 � 10 � 0,02 S0 .

    Con su salario podrá comprar un piso de �10,,3042

    SS

    0

    0� � 67 m2.

    t � 0 ⇒ k � e � � 0 � k � 250000t � 10 ⇒ k � e 10� � 450000

  • 1.79. Según la escala de Richter, las magnitudes de los terremotos se obtienen mediante la fórmula:

    M � —l1o,g44

    E— � 3,64

    siendo E la energía liberada por el seísmo en julios.

    La energía liberada por un terremoto de magnitud 6,4 fue 200 veces la energía liberada por una de sus ré-plicas. Calcula la magnitud de esta réplica.

    Energía del terremoto: 6,4 � �l1o,g44

    E� � 3,64 ⇒ logE � 14,4577 ⇒ E � 2,87 � 1014 julios

    Energía de la réplica: Er � �2,87

    20�01014

    � � 1,43 � 1012 julios

    Magnitud de la réplica: Mr � �log(1,

    14,344

    � 1012)� � 3,64 � 4,8

    PROFUNDIZACIÓN

    1.80. Sea a un número positivo y diferente de la unidad. Demuestra que la suma de a y su inverso es siempre su-perior a 2.

    a � 0 y a � 1

    ��a� � ��1

    a���

    2

    � 0 ⇒ a � �1a

    � � 2���

    a�a�� � a � �

    1a

    � � 2 � 0 ⇒ a � �1a

    � � 2

    1.81. Demuestra que si a, b y c son números positivos y diferentes, entonces se verifica la siguiente desigualdad.

    (a � b � c) � �—1a— � —b1

    — � —1c

    —� � 9

    Utilizando el ejercicio anterior:

    (a � b � c) � ��1a� � �1b� � �1c�� � �aa� � �ba� � �ca� � �ba� � �bb� � �bc� � �ca� � �bc� � �cc� �� 1 � 1 � 1 � �

    ba

    � � �ba

    � � �ca

    � � �ca

    � � �bc

    � � �ca

    � � 3 � 2 � 2 � 2 � 9

    1.82. Demuestra que �3� es un número irracional.

    Supongamos que es racional y que, por tanto, lo podemos escribir mediante una fracción irreducible:

    �3� � �ba

    � ⇒ a � b�3� ⇒ a 2 � 3b 2 ⇒ a 2 es múltiplo de 3 ⇒ a es múltiplo de 3

    a � 3� ⇒ a 2 � 9�2 ⇒ 3b 2 � 9�2 ⇒ b 2 � 3�2 ⇒ b 2 es múltiplo de 3 ⇒ b es múltiplo de 3.

    Como a y b son ambos múltiplos de 3, la fracción �ba

    � no es irreducible.

    Se ha llegado a una contradicción con lo supuesto, lo cual quiere decir que es falso; por tanto, �3� no se puedeescribir como una fracción; es decir, es irracional.

    1.83. Representa en la recta real el número irracional —35

    — � �5�.

    Se dibujan �35

    � y �5� y se suman con ayuda del compás.10 2__3

    55

    1

    __35

    5+

  • Solucionario

    1.84. Desarrolla la expresión |1 � |x || omitiendo los valores absolutos.

    Como 1 � |x | � 0 ⇒ |1 � |x || � 1 � |x | � �

    1.85. Representa en la recta real el conjunto de valores reales x tales que �2x � —13— � � 1 y determínala median-te un intervalo.

    �2x � �13� � � 1 ⇒ � � � �12� ⇒ �x � �16� � � �12� ⇒ ���31�, �23��

    1.86. En la siguiente tabla se representan de distinta forma varios conjuntos de números reales. Completa la ta-bla, representando, cuando sea posible, los diferentes conjuntos de cuatro formas diferentes.

    1.87. Sabiendo que log2 3 es un número real comprendido entre 1,58 y 1,59, calcula dos números reales, lo máspróximos posible, entre los que se encuentre el valor de log2 27.

    1,58 � log2 3 � 1,59 ⇒ 3 � 1,58 � 3log2 3 � 3 � 1,59 ⇒ 4,74 � log2 27 � 4,77

    1.88. Racionaliza el denominador de estas expresiones.

    a) —2 � �2�

    1

    � �3�— b)

    a) �2 � �2�

    1

    � �3�� � � � �

    2 �

    3��

    2�4�

    2��3�

    � �

    � � �

    b) �2 �

    1

    �3

    2�� � � �

    � �4 � 2

    8�3�

    2�2� �3 4�

    � � ��4 � 2�3

    62� � �3 4��

    [Aplicando que a 3 – b 3 = (a – b) � (a 2 + ab + b 2).]

    4 � 2�3

    2� � �3

    4������8 � 4�

    32� � 2�

    34� � 4�

    32� � 2�

    34� � �

    38�

    4 � 2�3

    2� � �3

    4������2 � �

    32� � � �4 � 2�

    32� � �

    34� �

    �2 �5�2� � 3�3� � 4�6�����

    �236 � 8�2� � 3�2� � 8 � 3�3� � 4�6������

    9 � 32�2 � �2� � �3� ��3 � 4�2� �����

    �3 � 4�2� ��3 � 4�2� �

    2 � �2� � �3����4 � 2 � 4�2� � 3

    2 � �2� � �3������2 � �2� � �3� ��2 � �2� � �3� �

    1—2 � �

    32�

    2x � �13

    ��

    2

    1 � x si x 01 � x si x � 0

    Intervalos Desigualdad Valor absoluto Gráficamente

    {�3 � x � 1}

    (��, 1) � (2, ��)

    |x | � 3

    0( )

    _1 __23

    1_1___3

    50

    Intervalos Desigualdad Valor absoluto Gráficamente

    [�3, 1] �3 � x � 1 |x � 1| � 2

    (��, 1) � (2, ��) {x � 1} � {x � 2} | x � 1,5| � 0,5

    (�, �3) � (3, �) {x � �3} � {x � 3} |x | � 3

    [0, 5] 0 � x � 5 |x � 2,5| � 2,550

    Falta 354336

    Falta 354337

    Falta 354338

  • 1.89. Calcula dos números enteros y positivos m y n tales que �8 � ��60�� � �m� � �n�.

    ��8 � ��60���2

    � ��m� � �n� �2

    ⇒ 8 � 2�15� � m � n � 2�m � n� ⇒ � ⇒ m � 3, n � 5

    1.90. a) Calcula los desarrollos de (1 � x)n y (x � 1)n.

    b) Escribe el coeficiente de xn en el producto de los polinomios (1 � x)n � (x � 1)n.

    c) Con ayuda de la igualdad:

    (1 � x)n � (x � 1)n � (1 � x)2n

    y del coeficiente hallado en el apartado anterior, demuestra que:

    � �2

    � � �2

    � � �2

    � ... � � �2

    � � �2

    � � �

    a) (1 � x)n � � � � � �x � � �x 2 � ... � � �x n

    (x � 1)n � � �x n � � �x n � 1 � � �x n � 2 � ... � � �b) El coeficiente de x n en (1 � x)n (x � 1)n es � � � � � � � � � � � � ... � � � � � � � � �

    2

    � � �2

    � ... � � �2

    .

    c) El término de x n en el desarrollo (1 � x)2n es Tk � � �x k � 1 ⇒ k � 1 � n ⇒ k � n � 1

    El coeficiente de x n en el desarrollo (1 � x)2n es � � � � �.

    De los apartados b y c se deduce que � �2

    � � �2

    � ... � � �2

    � � �.2nnnnn1n0

    2nn

    2nn � 1 � 1

    2nk � 1

    nn

    n1

    n0

    nn

    nn

    n1

    n1

    n0

    n0

    nn

    n2

    n1

    n0

    nn

    n2

    n1

    n0

    2nn

    nn

    nn � 1

    n2

    n1

    n0

    m � n � 8m � n � 15

  • Solucionario

    ACTIVIDADES INICIALES

    I. Determina si los siguientes números reales son raíces del polinomio P(x) � x 3 � 6x 2 � 3x � 10.

    x � 1 x � �1 x � 2 x � �2 x � 5

    Los números dados se sustituyen directamente en el polinomio:

    P (1) � 13 � 6 � 12 � 3 � 1 � 10 � 8 � 0 ⇒ 1 no es raíz de P (x);P (�1) � (�1)3 � 6 � (�1)2 � 3 � (�1) � 10 � 0 ⇒ �1 es raíz de P (x)P (2) � 23 � 6 � 22 � 3 � 2 � 10 � 0 ⇒ 2 es raíz de P (x);P (�2) � (�2)3 � 6 � (�2)2 � 3 � (�2) � 10 � �28 � 0 ⇒ �2 no es raíz de P (x)P (5) � 53 � 6 � 52 � 3 � 5 � 10 � 0 ⇒ 5 es raíz de P (x).

    II. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones.

    a) � b) �a) � ⇒ � ⇒ � b) � ⇒ (�1) �

    EJERCICIOS PROPUESTOS

    2.1. Realiza las siguientes operaciones con polinomios.

    a) (3x 2 � 2x � 5) � (2x 2 � x � 3)

    b) (2x � 3) � (�2x 2 � 2) � x(�2x 2 � x � 1)

    c) 4(x 3 � x � 3) � 2(x 2 � 3x) � (�2x � 5)

    a) (3x 2 � 2x � 5) � (2x 2 � x � 3) � 6x 4 � 3x 3 � 9x 2 � 4x 3 � 2x 2 � 6x � 10x 2 � 5x � 15 � 6x 4 � 7x 3 � 17x 2 � 11x � 15

    b) (2x � 3) � (�2x2 � 2) � x(�2x2 � x � 1) � �4x3 � 4x � 6x2 � 6 � 2x3 � x2 � x � �6x3 � 7x2 � 5x � 6

    c) 4(x 3 � x � 3) � 2(x 2 � 3x) � (�2x � 5) � 4x 3 � 4x � 12 � 4x 3 � 10x 2 � 12x 2 � 30x � 8x 3 � 2x 2 � 34x � 12

    2.2. Efectúa las siguientes divisiones.

    a) (3x 3 � 2x 2 � x � 5) � (3x 2 � 2) b) (3x 4 � 2x 2 � x � 4) � (x � 2) c) (x 3 � 3x 2 � x � 6) � (2x � 3)

    a) b)

    c) Como el divisor no es de la forma x � a, antes de aplicar Ruffini se dividen el dividendo y el divisor por 2.

    � � �12

    � x 2 � �94

    � x � �283� �

    Para obtener el resto se multiplica por 2 el último término

    R � 2 � ���2116�� � ��281�

    �281�

    x � �32

    �12

    � x 3 � �32

    � x 2 � �12

    � x � 3���

    x � �32

    x 3 � 3x 2 � x � 6���

    2x � 3

    2x�y�24��x�y��15

    x�9 ⇒ y��6

    2x�y�24x�y�15

    y��1x�3

    5(12�9y)�4y�19x�12�9y

    5x�4y�19x�9y�12

    2(x � 1) � (y � 2) � 24

    3�—3x— � y� � 2y � 15

    3x � 2(x � 2y) � 19

    —3x— � 3y � 4

    2 Ecuaciones, sistemas e inecuaciones

    �3x 3 � 2x 2 � x � 5 3x 2 � 2

    �3x 3 � 2x 2 �2x 3x � �23

    � (cociente)

    �3x 3 � 2x 2 � x � 5

    �3x 3 �2x 2 � �43

    �3x 3 � 2x 2 x�2x 2 � x � �139� (resto)

    Como el divisor es de la forma x � a, se aplica la re-gla de Ruffini.

    �2 3 �0 �2 �10 24

    �2 3 �6 12 �20 42

    �2 3 �6 10 �21 46

    Cociente: 3x 3 � 6x 2 � 10x � 21. Resto: 46

    ��32

    � �12

    � ��32

    � ��12

    � 3

    ��32

    � �12

    � ��34

    � �287� ��

    6196�

    ��32

    � �12

    � ��94

    � �283� ��

    2116�

  • 2.3. Halla, sin hacer la división, el valor de m para que el polinomio 2x 4 � 9x 3 � 2x 2 � 6x � 3m tenga por resto12 al dividirlo por x � 2.

    Por el teorema del resto se tiene:

    12 � 2 � (�2)4 � 9 � (�2)3 � 2 � (�2)2 � 6 � (�2) � 3m ⇒ 12 � � 20 � 3m ⇒ m � �332�

    2.4. Calcula el valor de k para que el polinomio:

    a) P(x) � x 3 � x 2 � 2x � k sea divisible por x � 2.

    b) P(x) � x 3 � 2x 2 � kx � 4 sea divisible por x � 2.

    a) Por el teorema del factor se tiene: 23 � 22 � 2 � 2 � k � 0 ⇒ 8 � 4 � 4 � k � 0 ⇒ k � �8b) Por el teorema del factor se tiene: (�2)3 � 2 � (�2)2 � k � (�2) � 4 � 0 ⇒ �8 � 8 � 2k � 4 � 0 ⇒ k � �6

    2.5. En cada caso, factoriza el polinomio dado y halla sus raíces enteras.

    a) *x 4 � 4x 3 � 2x 2 � 4x � 3 e) 6x 3 � 11x 2 � 6x � 1

    b) 9x 2 � 12x � 4 f) x 4 � 4x 3 � 3x 2 � 11x � 6

    c) x 4 � 16 g) x 4 � 3x 3 � 3x 2 � 3x � 2

    d) 2x 3 � 5x 2 � x � 6 h) x 6 � 9x 4

    a) Aplicando la regla de Ruffini dos veces:

    1 1 �4 �2 �4 �31 1 �1 �3 �1 �31 1 �3 �1 �3 �01 1 �1 �2 �31 1 �2 �3 �0

    Así: x 4 � 4x 3 � 2x 2 � 4x � 3 � (x � 1)2(x 2 � 2x � 3)

    Se calculan las dos últimas raíces:

    x � �2 � �

    2

    4 � 1�2�� � �2 �

    24

    � ⇒ � ⇒⇒ x 4 � 4x 3 � 2x 2 � 4x � 3 � (x � 1)2(x � 1)(x � 3)Raíces enteras: �1, 1 (doble) y 3.

    b) x � � ��12

    18� 0� � ��

    23

    Así, 9x 2 � 12x � 4 � 9�x � �23��2

    � (3x � 2)2

    No tiene raíces enteras.

    c) Se utilizan las igualdades notables:

    x 4 � 16 � (x 2)2 � 42 � (x 2 � 4) � (x 2 � 4) �� (x 2 � 22)(x 2 � 4) � (x � 2)(x � 2)(x 2 � 4)

    Raíces enteras �2 y 2.

    d) Aplicando la regla de Ruffini se tiene:

    1 2 5 �1 �61 2 2 �7 �61 2 7 �6 �0

    Por lo tanto:

    2x 3 � 5x 2 � x � 6 � (x � 1)(2x 2 � 7x � 6)

    Se calculan las raíces del cociente obtenido:

    x � � ��7

    4� 1� ⇒ �

    ⇒ 2x 3 � 5x 2 � x � 6 � 2(x �1)(x � 2)�x � �32��Las raíces enteras son �2 y 1.

    e) Aplicando la regla de Ruffini se tiene:

    �1 6 11 �6 �1�1 6 �6 �5 �1�1 6 �5 �1 �0

    De esta forma:

    6x 3 � 11x 2 � 6x � 1 � (x � 1)(6x 2 � 5x � 1)

    Ahora se calculan las otras dos raíces:

    x � � ��5

    1�2

    1� ⇒ �

    ⇒ 6x3 � 11x2 � 6x � 1 � 6(x � 1)�x � �12���x � �12��Luego la única raíz entera es �1

    f) Es un ejemplo de polinomio sin raíces enteras y queno se puede factorizar de forma sencilla.

    g) Aplicando la regla de Ruffini se tiene:

    1 1 �3 �3 �3 �21 1 �1 �2 �1 �21 1 �2 �1 �2 �0

    Así se llega a:

    x 4 �3x 3 � 3x 2 � 3x � 2 � (x � 1)(x 3 � 2x 2 � x � 2)

    Usando de nuevo la regla de Ruffini:

    2 1 �2 1 �22 1 �2 0 �22 1 �0 1 �0

    Con lo que:

    x 4 � 3x 3 � 3x 2 � 3x � 2 � (x � 1)(x � 2)(x 2 � 1)

    que ya no puede factorizarse más en R.

    Las raíces enteras son �1 y 2.

    h) Se extrae factor común y se utilizan las identidades no-tables: x 6 � 9x 4 � x 4(x 2 � 9) � x 4 (x � 3)(x � 3)

    Las raíces enteras son �3, 0 (doble) y 3.

    x � ��12

    x � ��13

    �5 � �25 ��24����

    12

    x � �2

    x � ��32

    �7 � �49 ��48����

    4

    �12 � �144 �� 144����

    18

    x � 3x � �1

  • Solucionario

    2.6. Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes polinomios.

    a) P(x) � x 3 � 3x 2 � 4 y Q(x) � x 2 � 2x � 1

    b) P(x) � x 5 � 3x 4 � 2x 3 � 6x 2 � x � 3 y Q(x) � x 3 � 3x 2 � x � 3

    c) P(x) � x, Q(x) � x 2 � x y R(x) � x 3 � 2x2 � x

    d) P(x) � 12x 3 � 4x 2 � 3x � 1 y Q(x) � 12x 3 � 16x 2 � 7x � 1

    e) P(x) � x 2 � 6x � 8, Q(x) � x 2 � 4 y R(x) � 2x 2 � 4x

    a) P (x) � (x � 1)(x � 2)2 ⇒ Q (x) � (x � 1)2

    m.c.d. {P (x), Q (x)} � x � 1 m.c.m.{P (x), Q (x)} � (x � 1)2(x � 2)2 � x 4 � 2x 3 � 3x 2 � 4x � 4

    b) P (x) � (x � 1)2(x � 1)2(x � 3) Q (x) � (x � 1)(x � 1)(x � 3)

    m.c.d. {P (x), Q (x)} � (x � 1)(x � 1)(x � 3) � Q (x) m.c.m.{P (x), Q (x)} � (x � 1)2(x � 1)2(x � 3) � P (x)

    c) P (x) � x Q (x) � x (x � 1) R (x) � x (x � 1)2

    m.c.d. {P (x), Q (x), R (x)} � x � P (x) m.c.m.{P (x), Q (x), R (x)} � x (x � 1)2 � R (x)

    d) P (x) � (2x � 1)(2x � 1)(3x � 1) Q (x) � (2x � 1)2(3x � 1)

    m.c.d. {P (x), Q (x)} � (2x � 1)(3x � 1) � 6x 2 � 5x � 1

    m.c.m.{P (x), Q (x)} � (2x � 1)(2x � 1)2(3x � 1) � 24x 4 � 20x 3 � 2x 2 � 5x � 1

    e) P (x) � (x � 4)(x � 2) Q (x) � (x � 2)(x � 2) R (x) � 2x (x � 2)

    m.c.d. {P (x), Q (x), R (x)} � 1 m.c.m.{P (x), Q (x), R (x)} � (x � 2)(x � 2)2x (x � 4) � 2x 4 � 8x 3 � 8x 2 � 32x

    2.7. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas.

    a) b)

    a) � x � 1 b) � �xx

    ��

    32

    2.8. Resuelve las siguientes operaciones con fracciones algebraicas y simplifica el resultado.

    a) —a

    a�

    2

    b— � —

    ab�

    4

    b2— � a d) —

    xa2 �

    ax

    2— � —

    xx

    aa

    b) —2 �

    6x

    — � —2 �

    4x

    — � —x 2

    1�

    64

    — e)

    c) (x 2 � y 2) � �—1x— � —1y—�

    a) �a

    a�

    2

    b� � �

    ab�

    4

    b2� � a � � � �

    ab �ba

    2

    � ab2�

    b) �2 �

    6x

    � � �2 �

    4x

    � � �x 2

    1�

    64

    � � � �10

    xx2 �

    412

    c) (x 2 � y 2) � ��1x� � �1y�� � � �xy (x �

    x �y)(

    yx � y)� � x 2y � xy 2

    d) �xa2 �

    ax

    2� � �

    xx

    ��

    aa

    � � � �x �

    1a

    e) � � 1 � � 1 � � 1 � �2xx

    ��

    11

    � � �32xx

    ��

    21

    �1

    �2xx

    ��

    11

    1��1 � �

    x �x

    1�

    (a � x)(x � a)��(x � a)(x � a)2

    (x � y)(x � y)��

    �x

    x�

    yy

    6x � 12 � 4x � 8 � 16���

    (x � 2)(x � 2)

    a 2b 2(b � 1 � b 2)���

    ab 4a 2b 3 � a 2b 2 � a 2b 4���

    ab 4

    (x � 2)(x � 3)(x � 3)���

    (x � 3)(x � 2)2(x � 3)(x � 1)2(2x � 1)���(x � 1)(x � 3)(2x � 1)

    x 3 � 2x 2 � 9x � 18———x 3 � 7x 2 � 16x � 12

    2x 4 � x 3 � 11x 2 � 11x � 3————

    2x 3 � 3x 2 � 8x � 3

    1 � —1 �

    11

    —1 �

    1—1 � —

    1x

    ————–

    1 � �1 �

    1

    1�

    1 �1

    �1 � �

    1x

    1 � �1

    1

    1�

    1 �1

    ��x �

    x1

  • 2.9. Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas.

    a) —2x

    4� 3— � —

    2x

    — � —3x

    5� 1— � 2x � 1 d) —

    x 2

    2� 1— � —

    2x4� 3— � —

    x6

    2

    — � —5192—

    b) 2(3x � 2) � x (x � 1) � �4 e) 6x 4 � 13x 3 � 8x 2 � 17x � 6 � 0

    c) (x � 1)3 � (x � 1)3 � 7 f) 2x 4 � x 3 � 3x � 18 � 0

    a) �2x

    4� 3� � �

    2x

    � � �3x

    5� 1� � 2x � 1 ⇒ 10x � 15 � 10x � 12x � 4 � 40x � 20 ⇒ �32x � �9 ⇒ x � �

    392�

    b) 2(3x � 2) � x (x � 1) � �4 ⇒ 6x � 4 � x 2 � x � 4 � 0 ⇒ x 2 � 5x � 0 ⇒ x (x � 5) � 0 ⇒ x � 0; x � �5

    c) (x � 1)3 � (x � 1)3 � 7 ⇒ x 3 � 3x 2 � 3x � 1 � (x 3 � 3x 2 � 3x � 1) � 7 ⇒ 6x 2 � 5 ⇒ x � ��56��; x � ���56��d) �

    x 2

    2� 1� � �

    2x4� 3� � �

    x6

    2

    � � �5192� ⇒ 6x 2 � 6 � 6x � 9 � 2x 2 � 59 ⇒ 8x 2 � 6x � 44 � 0 ⇒

    ⇒ 4x 2 � 3x � 22 � 0 ⇒ x � �3 � �9

    8� 3�52�� � �

    3 �8

    19� ⇒ x � �1

    41�; x � �2

    e) 6x 4 � 13x 3 � 8x 2 � 17x � 6 � 0 ⇒ (x � 1)(x � 2)(2x � 3)(3x � 1) � 0 ⇒ x � 1; x � �2; x � ��32

    �; x � �13

    f) 2x 4 � x 3 � 3x � 18 � 0 ⇒ (x � 2)(x 2 � 3)(2x � 3) � 0 ⇒ x � 2; x � ��32

    2.10. Escribe una ecuación polinómica de tercer grado tal que una solución sea 2 y la suma y el producto de lasotras dos valgan �4 y 5, respectivamente.

    (x � 2)(x 2 � 4x � 5) � 0 ⇒ x 3 � 2x 2 � 3x � 10 � 0 Aunque no todas las soluciones son reales.

    2.11. Resuelve las siguientes ecuaciones.

    a) x 4 � 17x 2 � 16 � 0 c) x 3 � 2x 2 � 15x � 0

    b) 2(x � 1)4 � 8x 3 � 8(x � 3) � 8 � 0 d) —2x42— � 3x 2 � 6

    a) x 4 � 17x 2 � 16 � 0

    z 2 � 17z � 16 � 0 ⇒⇒ z � � �17

    2� 5� �

    � �

    b) 2(x � 1)4 � 8x 3 � 8(x � 3) � 8 � 0 ⇒⇒ 2x 4 �8x 3 �12x 2 �8x�2�8x 3 �8x�24�8�0 ⇒⇒ 2x 4 � 12x 2 � 14 � 0 ⇒ x 4 � 6x 2 � 7 � 0

    ⇒ z 2 � 6z � 7 � 0 ⇒

    ⇒ z � � ��62� 8� �

    � �

    c) x 3 � 2x 2 � 15x � 0 ⇒ x (x 2 � 2x � 15) � 0 ⇒

    ⇒ � �

    d) �2x42� � 3x 2 � 6 ⇒ 24 � 3x 4 � 6x 2 ⇒

    3x 4 � 6x 2 � 24 � 0 ⇒ x 4 � 2x 2 � 8 � 0

    z 2 � 2z � 8 � 0 ⇒

    ⇒ z � �2 � �

    24 � 3�2�� � �

    2 �2

    6� �

    � �z � 4 � x2 ⇒ x � 2; x � �2

    z � �2 � x 2 ⇒ ��2� no es real

    z � x 2

    z 2 � x 4

    x � �3x � 5

    x � 0

    x � �2 �

    2�64�� � 1 � 4 ⇒

    z � 1 � x 2 ⇒ x � 1; x � �1z � �7 � x 2 ⇒ �7 no es real

    �6 � �36 ��28����

    2

    z � x 2

    z 2 � x 4

    z � 16 � x 2 ⇒ x � 4; x � �4z � 1 � x 2 ⇒ x � 1; x � �1

    17 � �289 �� 64����

    2

    z � x 2

    z 2 � x 4

  • Solucionario

    2.12. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales.

    a) x � 2 � —2x

    — � �1 b) 2x � —2

    1�

    2x

    — � 7 � —11x

    9� 11— c) —

    4x

    — � —x �

    42

    — � 3

    a) x�2� �2x

    � ��1 ⇒ x 2 �2x�2��x ⇒ x 2 �3x�2�0 ⇒ x� ⇒ x���32� 1� ⇒ �

    b) 2x � �2

    1�2

    x� � 7 � �

    11x9� 11� ⇒ 9(2 � x)2x � 9 � 12 � 9 � 7(2 � x) � (2 � x)(11x � 11) ⇒

    ⇒ 36x � 18x 2 � 108 � 126 � 63x � 22x � 22 � 11x 2 � 11x ⇒ 7x 2 � 88x � 256 � 0 ⇒

    ⇒ x � � �88 �

    14�576�� ⇒ x � �88

    1�4

    24� � �

    c) �4x

    � � �x �

    42

    � � 3 ⇒ 4(x � 2) � 4x � 3x (x � 2) ⇒ 4x � 8 � 4x � 3x 2 � 6x ⇒ 3x 2 � 2x � 8 � 0 ⇒

    ⇒ x � � �2 �

    6�100�� � �

    2 �6

    10� � �

    2.13. Encuentra la solución de estas ecuaciones racionales.

    a) —1x

    — � —x1

    2— � —

    x1

    3— � —

    78

    — b) —23x— � —

    2xx

    13

    — � —3x

    1�

    13

    — c) —x

    2�

    x2

    — � —x

    3�

    x2

    — � —x 2

    6�

    x 2

    4—

    a) �1x

    � � �x1

    2� � �x1

    3� � �78

    � ⇒ 8x 2 � 8x � 8 � 7x 3 ⇒ 7x 3 � 8x 2 � 8x � 8 � 0 ⇒ (x � 2)(7x 2 � 6x � 4) � 0 ⇒

    ⇒ �b) �

    23x� � �

    2xx

    ��

    13

    � � �3x

    1�1

    3� ⇒ 2x (x � 1) � 3(2x � 3) � 11 ⇒ x 2 � 2x � 1 � 0 ⇒

    ⇒ x � ��2 � �

    24 � 4�� � �1 � �2� ⇒ �

    c) �x

    2�x

    2� � �

    x3�x

    2� � �

    x 26�

    x 2

    4� ⇒ 2x (x � 2) � 3x (x � 2) � 6x 2 ⇒ �x 2 � 2x � 0 ⇒

    ⇒ x (�x � 2) � 0 ⇒ �

    2.14. Resuelve las siguientes ecuaciones con radicales.

    a) —x

    ��

    x�1

    — � x � —52

    — b) �x � 4� � �x � 1� � 5 c) �x � 7� � �2x� � �x � 1�

    a) �x

    ��

    x�1

    � � x � �52

    � ⇒ �x

    ��

    x�1

    � � �2x

    2� 5� ⇒ 2x � 2 � (2x � 5)�x� ⇒ (2x � 2)2 � �(2x � 5)�x� �

    2⇒

    ⇒ 4x 2 � 4 � 8x � (4x 2 � 25 � 20x)x ⇒ 4x 3 � 24x 2 � 33x � 4 � 0 ⇒ (x � 4)(4x 2 � 8x � 1) � 0 ⇒

    ⇒ � �b) �x � 4� � �x � 1� � 5 ⇒ �x � 4� � 5 � �x � 1� ⇒ ��x � 4��

    2� �5 � �x � 1��

    2⇒

    ⇒ x � 4 � 25 � x � 1 � 10�x � 1� ⇒ 10�x � 1� � 20 ⇒ �x � 1� � 2 ⇒ x � 1 � 4 ⇒ x � 5

    c) �x � 7� � �2x� � �x � 1� ⇒ ��x � 7� � �2x��2

    � ��x � 1��2

    ⇒ x � 7 � 2x � 2�2x 2 �� 14x� � x � 1 ⇒⇒ 2�2x 2 �� 14x� � 8 � 2x ⇒ �2x 2 �� 14x� � 4 � x ⇒ ��2x 2 �� 14x��

    2� (4 � x)2 ⇒

    ⇒ 2x 2 � 14x � 16 � x 2 � 8x ⇒ x 2 � 6x � 16 � 0 ⇒ x � �6 � �3

    26 ��64�� � �

    6 �2

    10� ⇒

    ⇒ � La ecuación no tiene solución.x � 8 solución falsax � �2 solución falsa

    x � 1 � ��23�� , solución falsa

    x � 1 � ��23��

    x � 4

    x � �8 �

    8�48�� �

    x � 0x � �2 solución falsa

    x � �1 � �2�x � �1 � �2�

    x � 27x 2 � 6x � 4 � 0No tiene soluciones reales

    x � 2

    x � ��86

    � � ��43

    2 � �22 ��4 � 3�� 8����

    6

    x � 8

    x � �6144� � �

    372�

    88 � �882 �� 4 � 7� � 256�����

    14

    x��2x��1

    �3 � �32 ��4 � 2����

    2

  • 2.15. Resuelve la ecuación �3

    x 2 ��1� � 1 � x.

    �3

    x 2 � 1�� 1 � x ⇒ �3

    x 2 � 1�� x � 1 ⇒ x 2 � 1 � (x � 1)3 ⇒ (x � 1)3 � 1 � x 2 � 0 ⇒ (x � 1)3 � (1 � x)(x � 1) � 0 ⇒

    ⇒ (x � 1) � [(x � 1)2 � (1 � x)] � 0 ⇒ (x � 1) � (x 2 � 3x) � 0 ⇒ x � (x � 1) � (x � 3) � 0 ⇒ �2.16. Calcula el valor de un número tal que si se le suma una unidad y después se extrae la raíz cuadrada se ob-

    tiene el doble que al restarle 11 unidades y extraer la raíz cuadrada.

    Número desconocido: x

    �x � 1� � 2�x � 1�1� ⇒ ��x � 1��2

    � �2�x � 1�1� �2

    ⇒ x � 1 � 4(x � 11) ⇒ 3x � 45 ⇒ x � 15

    2.17. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas.

    a) log3x � log6 � 2 logx c) log—2x

    x� 2— � 2 log(x � 1) � logx

    b) log(2x � 3) � log(x � 2) � 2 log2 � 2 log3 d) log(4 � 5x) � log(2x � 2) � log(2x � x 2) � 1

    a) log3x � log6 � 2logx ⇒ log3x � log(6 � x 2) ⇒ 3x � 6x 2 ⇒ 3x (1 � 2x) � 0 ⇒ �b) log(2x � 3) � log(x � 2) � 2 log2 � 2 log3 ⇒ log�2

    xx

    ��

    23

    � � log(22 � 32) ⇒ �2xx

    ��

    23

    � � 36 ⇒

    ⇒ 2x � 3 � 36x � 72 ⇒ x � �7354�

    c) log�2x

    x� 2� � 2 log(x � 1) � log x ⇒ log[2(x � 1)] � logx � 2 log(x � 1) � logx ⇒

    log2 � log(x � 1) � 2 log(x � 1) ⇒ log(x � 1) � log2 ⇒ x � 1 � 2 ⇒ x � 3 Solución verdadera

    d) log(4 � 5x) � log(2x � 2) � log(2x � x 2) � 1 ⇒ log[(4 � 5x) � (2x � 2)] � log[10 � (2x � x 2)] ⇒⇒ 8x � 8 � 10x 2 � 10x � 20x � 10x 2 ⇒ �2x � 8 ⇒ x � �4 Solución falsa. La ecuación no tiene solución.

    2.18. Calcula el valor de un número sabiendo que si se añade a su logaritmo decimal el valor del logaritmo deci-mal de 2, el resultado es la unidad.

    Sea x el número desconocido. logx � log2 � 1 ⇒ log2x � log10 ⇒ 2x � 10 ⇒ x � 5

    2.19. Calcula el valor de un número sabiendo que el doble de su logaritmo decimal es igual a la suma de los lo-garitmos decimales de 4 y de 9.

    Sea x el número desconocido. 2 logx � log4 � log9 ⇒ logx2 � log36 ⇒ x2 � 36 ⇒ �

    2.20. Resuelve las ecuaciones exponenciales:

    a) —21

    x— � 16—

    x (x2� 1)— c) 13x

    2 � 2x � —113— � 0

    b) 3 � 2x � 2 � 3x d) 22x2 � 3x � 5 � 16

    a) �21

    x� � 16�

    x (x2� 1)� ⇒ 2�x � 2 4 � �

    x (x2� 1)� ⇒ �x � 2x (x � 1) ⇒ 2x 2 � x � 0 ⇒ x (2x � 1) � 0 ⇒ �

    b) 3 � 2x � 2 � 3x ⇒ ��23��x

    � �23

    � ⇒ x � 1

    c) 13x2 � 2x � �

    113� � 0 ⇒ 13x 2 � 2x � 13�1 ⇒ x 2 � 2x � �1 ⇒ x 2 � 2x � 1 � 0 ⇒ (x � 1)2 � 0 ⇒ x � �1

    d) 22x2 � 3x � 5 �16 ⇒ 22x 2 � 3x � 5 �24 ⇒ 2x 2 �3x�5�4 ⇒ 2x 2 �3x�9�0 ⇒ 2(x�3)�x� �32���0 ⇒ �x�3x���3

    2�

    x � 0

    x � �12

    x � 6 Solución verdaderax � �6 Solución falsa

    x � 0 solución falsa

    x � �12

    � solución verdadera

    x � 0x � 1x � 3

  • Solucionario

    2.21. Resuelve las siguientes ecuaciones.

    a) 2x � 1 � 2x � 2x � 1 � 7 d) 5x � 3 � 5x � 1 � 3120 � 0

    b) 2x � 4 � 8x � 0 e) 52x � 30 � 5x � 1 � 125 � 0

    c) 32x � 3x � 1 � 3x � 1 � 1 f) 2 � 102x � 4 � 3 � 10x � 2 � 5 � 0

    a) 2x � 1 � 2x � 2x � 1 � 7 ⇒ 2x��12� � 1 � 2� � 7 ⇒ 2x � �72� � 7 ⇒ 2x � 2 ⇒ x � 1

    b) 2x � 4 � 8x � 0 ⇒ 2x � 4 � (23)x � 23x ⇒ x � 4 � 3x ⇒ 2x � 4 ⇒ x � 2

    c) 32x � 3x � 1 � 3x � 1 � 1 ⇒ (3x)2 � �13

    � 3x � 3 � 3x � 1 � 0, tomando z � 3x ⇒ 3z 2 � 10z � 3 � 0 ⇒

    ⇒ z � � �106� 8� � � ⇒ (deshaciendo el cambio) �

    d) 5x � 3 �5x � 1 �3120�0 ⇒ 5x �53 � �55

    x

    � �3120�0 ⇒ �53 � �15��5x �3120 ⇒ 5x ��351

    4

    20�

    15

    ��25 ⇒ x�2

    e) 52x � 30 � 5x � 125 � 0 ⇒ (5x)2 � 30 � 5x � 125 � 0 ⇒ z 2 � 30z � 125 � 0 ⇒

    ⇒ z � � �30 �2

    20� � � ⇒ (deshaciendo el cambio) �

    f) 2 � 102x � 4 � 3 � 10x � 2 � 5 � 0 ⇒ 20000 � (10x)2 � 300 � 10x � 5 � 0 ⇒ 20000z 2 � 300z � 5 � 0 ⇒

    ⇒ 4000z2�60z�1�0 ⇒ z���6800�00

    140� ⇒ � ⇒ (deshaciendo el cambio) �

    2.22. Resuelve los siguientes sistemas lineales.

    a) � c) �b) � d) �

    a) � ⇒ � 9E3 �11E2 ⇒ �Solución única (x � �2, y � 3, z � 1)

    b) � ⇒ �Solución única �x � �2356�, y � �316�, z � �32��

    c) � ⇒ �Solución única (x � 4, y � 1, z � �2)

    d) � ⇒ � 3E3 �E2 ⇒ �Solución única (x � 2, y � �3, z � 0)

    4x�y�5z�5�9y�21z�27 ⇒ z�0, y��3, x�2�15z�0

    4x�y�5z�5�9y�21z�27�3y�2z�9

    4E2 �5E1E3 �E1

    4x�y�5z�55x�y�z�134x�2y�3z�14

    2x � y � z � 11�3y � �3 ⇒ y � 1, z � �2, x � 4y � z � 3

    E2 � E12E3 � E1

    2x � y � z � 112x � 2y � z � 8x � y � z � 7

    2x � 4y � z � 0�18y � z � �2 ⇒ z � �3

    2�, y � �

    316�, x � �

    2356�

    4z � 6

    2E2 � 3E1E3 � E2

    2x � 4y � z � 03x � 3y � 2z � �13x � 3y � 2z � 5

    x�2y�2z�2�9y�7z��20 ⇒ z�1, y�3, x��2�5z��5

    x�2y�2z�2�9y�7z��20�11y�8z��25

    E2 �3E1E3 �5E1

    x�2y�2z�23x�3y�z��145x�y�2z��15

    4x � y � 5z � 55x � y � z � 134x � 2y � 3z � 14

    2x � 4y � z � 03x � 3y � 2z � �13x � 3y � 2z � 5

    2x � y � z � 112x � 2y � z � 8x � y � z � 7

    x � 2y � 2z � 23x � 3y � z � �145x � y � 2z � �15

    x��210x��0,025, sin solución real

    z�10�2

    z��0,025

    x � 2x � 1

    z � 25z � 5

    30 � �900 �� 500����

    2

    x � 1x � �1

    z � 3

    z � �13

    10 � �100 �� 36����

    6

  • 2.23. Estudia el número de soluciones de los siguientes sistemas lineales, y en caso de que existan, hállalas.

    a) � b) � c) � d) �

    a) � ⇒ � �E23� � E2 ⇒ � ⇒ �

    Infinitas soluciones: � ⇒ �b) � ⇒ � ⇒ � E3 � E2 ⇒ �

    El sistema es incompatible. No tiene solución.

    c) � ⇒ � ⇒ �

    Infinitas soluciones: � ⇒ �d) � ⇒ � E2 � 5E1 ⇒ � 2E3 � E2 ⇒ �

    Sistema compatible determinado. Solución: �2.24. Resuelve los siguientes sistemas.

    a) � b) � c) � d) �

    a) � ⇒ 2x � 192 � 12x 2 � 96x � 22 ⇒ 6x 2 � 47x � 85 � 0 ⇒ x ��471�213� ⇒ �

    b) � ⇒�8x�2x 2�15x��25⇒2x 2�23x�25�0⇒x���234�27�⇒�c) � ⇒ � ⇒ y 2 � �1 ⇒ No tiene soluciones reales.

    d) � ⇒ 3x 2 � 12x � 12 � 0 ⇒ x 2 � 4x � 4 � 0 ⇒ x � ⇒ �x � 2y � 14 � �(�4)2�� 16����

    2y � 2x � 3x 2 � (2x � 3)2 � 3

    x � �y�y 2 � 1

    x � y � 0xy � 1

    x�1, y��2

    x���225�, y��

    157�

    y���8

    5�2x�

    x ���85�2x���3x��5

    x � 5, y � �2

    x � �167�, y � �

    73

    y � 8 � 2x2x � 3(8 � 2x)2 � 22

    2x � y � 3x 2 � y 2 � 3

    x � y � 0xy � 1

    2x � 5y � �8xy � 3x � �5

    2x � y � 82x � 3y 2 � 22

    x � �2 � �2252� � �

    2181� � ��

    1232�

    y � 3 � �14842

    � � ��2252�

    z � ��1141�

    x � y � 2z � �24y � 13z � 1211z � �14

    x � y � 2z � �24y � 13z � 122y � z � �1

    x � y � 2z � �25x � y � 3z � 22y � z � �1

    2y � z � �15x � y � 3z � 2x � y � 2z � �2

    x � ��75t

    y � t

    z � �45t

    y � t5z � 4y � 4t ⇒ z � �4

    5t

    x � �3y � 2z � �3t � �85t

    � � ��75t

    x � 3y � 2z � 0�4y � 5z � 0

    x � 3y � 2z � 0�4y � 5z � 0�4y � 5z � 0

    E2 � E1E3 � 2E1

    x � 3y � 2z � 0x � y � 3z � 02x � 2y � z � 0

    y � z � 8x � �14z � 11y � �10 � 1

    y � z � 8x �