vibraciones_mecanicas

FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES CUAUTITLÁN

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA

LABORATORIO DE TECNOLOGÍA DE MATERIALES

LECTURAS DE INGENIERÍA 17

VIBRACIONES MECÁNICASVIBRACIONES MECÁNICASVIBRACIONES MECÁNICASVIBRACIONES MECÁNICAS

M. en I. Felipe Díaz del Castillo Rodríguez.

CUAUTITLÁN IZCALLI 2011

ÍNDICE

Pag.

INTRODUCCIÓN ………………………….……… ……………………………………..1

CAPITULO 1

CONCEPTOS GENERALES

1.1. CONCEPTO DE VIBRACIÓN …………………………………………………..……..1

1.2 EL ORIGEN DE LAS VIBRACIONES ……………...……….……………..…3

1.3 IMPORTANCIA DE LAS VIBRACIONES MECÁNICAS ……………...……7

1.3.1 ¿Porque estudiar las vibraciones mecánicas? por el impacto y los efectos 12

1.4 LAS VIBRACIONES MECÁNICAS COMO CIENCIA APLICADA…… …….…..13

1.5. DEFINICIÓN DE VIBRACIÓN MECÁNICA …………………………… ….…..16

1.6. UNIDADES DEL MOVIMIENTO DE LAS VIBRACIONES ………… ….…….18

1.7. CLASIFICACIÓN DE LAS VIBRACIONES MECÁNICAS …………… ….…….21

1.8. OTROS CONCEPTOS ………………………………………………..……………..26

1.9. MODELADO MATEMÁTICO …………………………………………..…………..27

1.10 GRADOS DE LIBERTAD, ECUACIÓN DE KUTZBACH MODIFICADA ….29

CAPÍTULO 2

ELEMENTOS DE SISTEMAS VIBRATORIOS

2.1 ELEMENTOS ELÁSTICOS ………………………...………………..………………35

2.1.1. Resortes helicoidales y a torsión…………………… ... ………………..35

2.1.2. Elementos estructurales…………………………… …..…………………….39

2.1.3. Elementos elásticos equivalentes. ……………...…… …………………….41

2.1.3.1 Arreglos serie y paralelo ………………… …… ……..………….41

2.1.3.2 Algunas equivalencias elásticas torsional …………………..… …45

2.2 ELEMENTOS AMORTIGUADORES ……………………………………………….50

2.2.1. Elementos amortiguadores equivalentes. ……………...…………………….51

2.3 ELEMENTOS INERCIALES …………………………… ……………..…………..53

2.3.1. Inercia equivalente …………………………………………..………………..55

2.4. EJERCICIOS ……………………………………… …………………………………57

CAPÍTULO 3

VIBRACIÓN LIBRE DE SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD ALREDEDOR

DEL PUNTO DE EQUILIBRIO

3.1. VIBRACIÓN LIBRE O AMORTIGUADA …………………………………………60

3.1.1. Determinación de la ecuación diferencial ……………………………..…… ………60

3.1.2. Modelo representativo y cálculo de la frecuencia natural …..…….………63

3.2 VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA ……………………………..………….67

3.3 MÉTODOS DE ANÁLISIS …………………………………………...……………….75

CAPÍTULO 4

BALANCEO

4.1. DESEQUILIBRIO …………………………………………………....……………….79

4.2. EQUILIBRADO ESTÁTICO ……………………………………..………..…….…..80

4.3. DESEQUILIBRIO Y EQUILIBRADO ………………………..………….…….….84

4.4. MAQUINAS DE EQUILIBRADO ESTÁTICO ……………...……………….…….88

4.5. MÁQUINAS DE EQUILIBRADO DINÁMICO ……………...…………….……….89

4.5.1. Bastidor basculante ………………………………….……………………….89

4.5.2. Punto nodal …………………………………… ………………..………….92

4.5.3. Compensación mecánica ………………… ……………………….………93

4.6. BALANCEO “I N S I T U” …………………………… …………………….……….94

4.7. ROTORES RÍGIDOS Y FLEXIBLES ………………… …………………………..97

4.7.1. Rotores flexibles ………………………………… ………………………….97

BIBLIOGRAFÍA ………………………… ………………………………………………101

FES-CUAUTITLÁN Mtro. FELIPE DÍAZ DEL CASTILLO R.

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INTRODUCCIÓN

El desarrollo de la Ciencia y Tecnología actuales implican la generación y aplicación del

conocimiento en muchas áreas y consecuentemente el estudiante de Ingeniería debe estar

al tanto de los mismos, sin embargo, debido a la actualización poco frecuente de los

programas y planes de estudio y por las limitaciones propias de semestres de apenas cuatro

meses de actividades académicas, es difícil la actualización del estudiante en dichos

conocimientos, además, dejar trabajos de investigación no funciona de la manera deseada,

ya que en muchas ocasiones se descargan de Internet y se imprimen sin leerlos siquiera, de

ese modo, surge la idea de crear una serie de apuntes de temas básicos para el ingeniero

actual como son: el endurecimiento superficial del acero, las fundiciones de hierro, la

tribología y el desgaste, la superplasticidad, los avances en la industria siderúrgica,

superaleaciones, etc.

En este trabajo se habla de entre otros temas: a) la historia e importancia de las

vibraciones mecánicas, b) el presente y futuro del estudio de las vibraciones, c) la

clasificación de las vibraciones, d) el procedimiento para la elaboración de un modelo

matemático.

Como siempre cualquier comentario o corrección será bienvenido.

ATTE.

Mtro. Felipe Díaz del Castillo Rodríguez.


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CAPITULO 1

CONCEPTOS GENERALES

1.1. CONCEPTO DE VIBRACIÓN

Se dice que un cuerpo vibra cuando experimenta cambios alternativos, de tal modo que sus

puntos oscilen sincrónicamente en torno a sus posiciones de equilibrio, sin que el campo

cambie de lugar.

Como otro concepto de vibración, se puede decir que es un intercambio de energía cinética

en cuerpos con rigidez y masa finitas, el cual surge de una entrada de energía dependiente

del tiempo.

Este intercambio de energía puede ser producido por:

• Desequilibrio en maquinas rotatorias

• Entrada de Energía Acústica

• Circulación de Fluidos o masas

• Energía Electromagnética

Sea cualquiera la causa de la vibración, su reducción es necesaria debido a razones entre

las cuales se tienen:

• La excesiva vibración puede limitar la velocidad de procesamiento.

• La vibración es responsable de la pobre calidad de los productos elaborados por

maquinas-herramientas.

• La vibración de maquinarias puede resultar en radiación de ruido.

• La vibración puede alcanzar a otros instrumentos de precisión de otras fuentes, y causar

fallas de funcionamiento.

La Medición de la vibración, juega un papel muy importante en el desarrollo de técnicas

para mitigarla o reducirla, y en el establecimiento de límites en los niveles de ruido de la

maquinaria existente en una instalación industrial. Aproximadamente el 50% de las averías

en máquinas rotativas se deben a desalineaciones en los ejes. Las máquinas mal alineadas

generan cargas y vibraciones adicionales, causando daños prematuros en rodamientos,


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obturaciones y acoplamientos, también aumenta el consumo de energía. Gracias a los

avances de la electrónica, actualmente se tienen instrumentos de medición altamente

sofisticados que permiten cuantificar la vibración de manera precisa, a través de diversos

principios. Es por esto que es muy importante, un buen entendimiento de los transductores

empleados para la medición de vibración, y su interfaz con los sofisticados equipos de

instrumentación y de adquisición de datos.

Hoy en día, uno de los puntos importantes a considerar en el buen funcionamiento de los

procesos industriales esta basado entre otras cosas en reglas, procedimientos ó

metodologías de mantenimiento, en especial uno conocido como mantenimiento predictivo

ya que permite saber el estado actual y futuro de una maquinaria o de sus elementos; el

análisis de vibraciones de maquinaria es una de las metodologías ampliamente usadas en el

mantenimiento de maquinaria, de tal manera que el estudio de las vibraciones mecánicas se

ha convertido en algo esencial para el estudiante de ingeniería mecánica ya que le permite

comprender, analizar y proponer soluciones sobre diversa problemática relacionada con

procesos industriales. En este capítulo se presentan los conceptos introductorios de las

vibraciones mecánicas como lo es: su historia, presente, aplicaciones e importancia entre

otras cosas.

1.2 EL ORIGEN DE LAS VIBRACIONES

Es difícil establecer el origen de la ciencia de las vibraciones mecánicas, ni si quiera

adjudicar a una sola persona el título del “padre de la ciencia de las vibraciones” ya que a

través de la historia grandes científicos realizaron importantes aportaciones que hicieron

hoy en día del fenómeno de las vibraciones toda una ciencia.

A continuación se presenta un breve recorrido de algunos personajes de ciencia que

hicieron aportaciones sobre el fenómeno de las vibraciones.

Remontándose en la historia, un personaje celebre de la antigua Grecia sorprendía con

grandes e importantes aportaciones filosóficas y matemáticas, sobre todo en el área de

aritmética; hoy en día todos conocemos de el gracias a un famoso teorema dado en su

honor conocido como el teorema de Pitágoras. Pitágoras (570 – 497 a.C.) desarrolló la


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teoría de los números y la teoría de la música y de la armonía en donde afirmaba la relación

entre estas dos ciencias. Cuenta la historia que un día pasó por una herrería y se quedó

sorprendido al darse cuenta de la rítmica regularidad con la que el herrero hacía repicar el

martillo sobre el yunque; tal fue su admiración que llegado a su casa se puso a

experimentar, haciendo vibrar varias agujas del mismo espesor y misma tensión, pero de

distinta longitud. De esta manera pudo concluir que las notas dependían de la frecuencia de

vibración, esto mismo Pitágoras lo calculó y concluyó que la música no era más que una

relación matemática de las vibraciones medidas según intervalos.

Por otro lado un importante filósofo e investigador llamado Aristóteles (374-355 a.C.).

Trabajo con las leyes del movimiento, escribió el primer escrito relacionado con la acústica

llamado On Acoustic, introdujo el principio del trabajo virtual

En el presente siglo uno de los personajes de ciencia mas inquietados por este fenómeno es

conocido como Galileo Galilei (1564-1642). Galileo encontró la relación existente entre la

longitud de cuerda de un péndulo y su frecuencia de oscilación, además encontró la

relación entre la tensión, longitud y frecuencia de vibración de las cuerdas. Se cuenta que

cierta vez, mientras observaba despreocupadamente las oscilaciones de un candelabro en la

catedral de Pisa Galileo Galilei se interesó en medir el tiempo de cada oscilación

comparándolo con el número de latidos de su pulso (en esa época todavía no se inventaba


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los relojes ni los cronómetros). Pudo comprobar, sorprendido, que aun cuando las

oscilaciones fueran cada vez más menores, el tiempo de cada oscilación era siempre el

mismo. Al repetir el experimento en su casa, comprobó lo anterior utilizando un péndulo

(una piedra atada al extremo de una cuerda), encontrando además que el tiempo de la

oscilación dependía de la longitud de la cuerda.

En la década de los 40 del siglo XVII existió uno de los grandes científicos de la historia

llamado Isaac Newton (1642-1727), matemático y físico británico, considerado uno de los

más grandes científicos de la historia, que hizo importantes aportaciones en muchos

campos de la ciencia. Sus descubrimientos y teorías sirvieron de base a la mayor parte de

los avances científicos desarrollados desde su época. Newton fue, junto al matemático

alemán Gottfried Wilhelm Leibniz, uno de los inventores de la rama de las matemáticas

denominada cálculo. También resolvió cuestiones relativas a la luz y la óptica, formuló las

leyes del movimiento y dedujo a partir de ellas la ley de la gravitación universal. En el

campo de las vibraciones el uso de las leyes de Newton forma un papel importante en el

análisis de sistemas y la determinación de frecuencias de oscilación. Publicó su teoría en

Principios matemáticos de la filosofía natural (1687), obra que marcó un punto de inflexión

en la historia de la ciencia, y con la que perdió el temor a publicar sus teorías.


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Con la aparición de la obra de Newton “The principia” implicó a Newton en un

desagradable episodio con otro gran filósofo y físico llamado Robert Hooke (1635-1701).

En 1687 Hooke afirmó que Newton le había robado la idea central del libro: que los

cuerpos se atraen recíprocamente con una fuerza que varía inversamente al cuadrado de

la distancia entre ellos. Sin embargo, la mayor parte de los historiadores no aceptan los

cargos de plagio de Hooke. Sin embargo, este científico es reconocido por sus

investigaciones en el campo de la elasticidad. En 1678, el también llamado Leonardo

Inglés, publico el libro: “Ut Pondus Sic Tensia” (como el peso así es la tensión) que

representa un primer enunciado de su conocida ley de la elasticidad

Ya en una época reciente Daniel Bernoulli (1700-1782), estudio la forma de vibrar de

algunos cuerpos usando el principio de superposición de armónicos. Daniel Bernoulli hizo

una estrecha correspondencia con su amigo Euler en la que trataron temas de la

mecánica de los medios flexibles y elásticos, en particular los problemas de pequeñas

oscilaciones de cuerdas y vigas. Particularmente atractiva es la polémica que se abrió sobre

el tema de la cuerda musical, no sólo entre Euler y Daniel, sino con la incorporación de un

joven geómetra Jean le Rond D’Alembert, quien pronto fue considerado entre los más

prestigiosos geómetras de Francia en el Siglo de las Luces. El debate sobre la ecuación de

la cuerda, sometida a una vibración en un mismo plano, es importante desde el punto de

vista matemático, no sólo porque representa el primer análisis de la solución de una

ecuación diferencial en derivadas parciales, sino además porque la discusión llevó al

cuestionamiento de las nociones establecidas de función y de representación de funciones

mediante series trigonométricas. En particular en las ideas de Daniel estaba el germen de

la teoría de representación en series de Fourier que se estableció en el siglo XIX con los

trabajos de Fourier, Dirichlet, Riemann y otros.


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Pero en el siglo XVIII el matemático francés Joseph Fourier (1768-1830) vino a realizar

una de las aportaciones mas importantes en el área de las vibraciones, en 1807 envió un

artículo a la Academia de Ciencias en Paris, en él presentaba una descripción matemática

de problemas relacionados con la conducción de calor. Pese a que el artículo fue

rechazado, contenía ideas que se convertirían en una importante área de las matemáticas

llamada en su honor, el análisis de Fourier. Una de las sorprendentes aportaciones del

trabajo de Fourier fue que muchas de las funciones más conocidas podían expandirse en

series de senos y cosenos; de tal modo que esta aportación es una de las más interesantes e

importantes en el campo de las vibraciones mecánicas ya que en base al algoritmo de la

serie de Fourier trabajan los modernos analizadores de vibración.

1.3 EL PRESENTE E IMPORTANCIA DE LAS VIBRACIONES MECÁNICAS

En la era moderna, en donde los avances tecnológicos están a la puerta, grandes

aportaciones matemáticas y métodos de análisis vinieron a resolver algunos problemas en el

campo de las vibraciones mecánicas.

Por ejemplo en 1909, Frahm propuso una forma de reducir las vibraciones

mecánicas mediante la implementación de sistema agregado sistema masa-resorte. Stodola

Aurel (1859–1943) hizo aportaciones importantes relacionadas con las vibraciones de

membranas, vigas y placas. Timoshenko (1872-1972) realizó aportaciones importantes en la

teoría de vibración en vigas.


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Por otro lado, importantes aportaciones matemáticas ampliaron considerablemente

el área de investigación del campo de las vibraciones mecánicas, por mencionar algunos,

los métodos de Rayleigh que sirven para determinar las frecuencias de resonancia de

algunos elementos basándose en ecuaciones de energía, las variables de estado que

permiten “resolver” y analizar problemas basados en ecuaciones diferenciales no lineales,

el elemento finito que consiste en discretizar cualquier elemento para posteriormente

modelar y analizar su comportamiento como pudiera ser los modos de vibrar, ecuaciones

estadísticas que facilitaron el estudio de vibraciones aleatorias.

Estos métodos modernos unidos a los avances tecnológicos por ejemplo, a) Las

computadoras, b) Los PLC´s, c) Analizadores de vibración, d) sopieware de monitoreo y/o

mantenimiento, etc. hacen hoy en día de las vibraciones todo un campo de investigación tal

que existen asociaciones, revistas, seminarios, cursos especializados. dedicados al estudio de

este fenómeno.

En la actualidad el estudio en este campo es tan grande que basta con ver algunos de

sus causa-efecto para entender su importancia. La gente de una u otra forma esta

constantemente relacionada con este fenómeno, por ejemplo, el buen funcionamiento de los

amortiguadores de un automóvil permite un mejor manejo entre los tripulantes, el mal

aislamiento de alguna maquinaria industrial puede dañar la infraestructura de la misma y

zona aledaña pudiendo ser conjuntos habitacionales, ruido causado por maquinaria que

puede afectar física y psicológicamente a personas de la empresa e inclusive a personas

ajenas a la misma, ruidos nocturnos producto de las vibraciones mecánicas de algunos

objetos y que en algunas ocasiones son confundidos y relacionados algunas veces con

esoterismo y fantasmas.

Pero para ampliar lo anterior vamos a considerar ahora la causa-efecto de las

vibraciones mecánicas en la industria mecánica. Primero considere que existen diferentes

tipos de maquinaria que pueden ser causantes de vibración en algunos casos causado por

algunos de los elementos ó por algún proceso; algunos ejemplos de vibración causada por

elementos son: desbalance rotativo, coples mal alineados, chumaceras dañadas, engranes

defectuosos, bandas mal alineadas, entre otros.


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Por otro lado, algunos ejemplos causados por procesos industriales pueden ser:

procesos de maquinado o de máquinas herramientas, procesos de extrucción, procesos de

centrifugado, pruebas mecánicas, etc.

Pues bien, estas vibraciones pueden implican problemas de diferente índole como lo

es: a) pérdidas económicas, b) daños en maquinaria, c) contaminación por ruido, d)

accidentes laborales, entre otros.

Es por eso que para el buen funcionamiento de la maquinaria se requiere de una

constante inspección para evitar fallas en la misma ya que pueden causar pérdidas

económicas a la empresa e incluso daños físicos a las personas.

“Yo soy el doctor de este hospital y las maquinas son mis pacientes” fue la frase

usada por un colega de la industria minera y con más de 20 años de experiencia industrial

en el ramo de la vibraciones mecánicas, “El porqué una maquina tiene temperatura, si una

maquina vibra ¿por qué tiene frío?, si una maquina genera ruido ¿por qué llora?, etc” son

algunas expresiones usadas por esta persona y que dan un panorama de la importancia del

buen monitoreo y funcionamiento de la maquinaria industrial.

Uno de las formas de monitorear el buen funcionamiento y vida útil de las máquinas

es por medio del análisis de vibración, este consiste en tomar medidas de vibración de las

maquinas y mediante el uso de gráficos y/o experiencia, determinar la vida útil de la

máquina o de uno de sus elementos. Esto conlleva a conservar un historial gráfico y

bitácora con el fin de predecir fallas futuras y realizar las acciones correctivas

correspondientes.

Por otro lado, un fenómeno bien conocido en el ambiente de las vibraciones

mecánicas y en el cuál todo ingeniero del ramo de la ingeniería mecánica debería poner

atención se le conoce como resonancia, este fenómeno es de gran interés en el estudio de las

vibraciones mecánicas ya que ha estado relacionado con diferentes eventos destructivos en

la historia de la industria y estructuras, este ha sido el causante de problemas en

estructuras, maquinas y contaminación por ruido.

Pero ¿Qué es el fenómeno de la resonancia?, en capítulos posteriores se proporciona

una explicación detallada por el momento resta decir que es un fenómeno que se manifiesta


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con grandes amplitudes de vibración.

En la actualidad los investigadores han encontrado aplicaciones de las vibraciones

mecánicas como antes no se había imaginado.

Sin embargo no todas las vibraciones son malas, algunas se producen con

propósitos específicos en algún proceso industrial y generalmente son controladas, estas

vibraciones son llamadas “buenas vibraciones”; por ejemplo: procesos de centrifugado para

separar desechos de materiales, transportación de material por bandas vibratorias (Figura

1.1), acabado y pulido por vibración, elevadores vibrantes, etc.

Figura 1. 1Transportador vibrante de frecuencia natural (Cortesía de Urbar Ingenieros

www.urbar.com)

Pero la aplicación benéfica de las vibraciones va aún más allá, en conjunto con

científicos de diferentes especialidades, las vibraciones han encontrado nuevos campos de

investigación y de aplicación, hoy en día se oye hablar además de vibraciones buenas,

“vibraciones saludables”

Por ejemplo, un problema presentado por los astronautas es que en el espacio, los

huesos y los músculos de los astronautas, liberados de la tensión normal de la gravedad,

pueden debilitarse en forma alarmante. Los músculos se atrofian, mientras que los huesos

se vuelven frágiles. Ahora, sin embargo, parece que se ha encontrado una solución: un

grupo de científicos, patrocinados por la NASA, sugieren que los astronautas podrían

prevenir la pérdida de los huesos parándose sobre una plataforma vibrante durante unos 10

ó 20 minutos cada día. Sosteniéndose sobre ella con la ayuda de unas bandas elásticas, los

astronautas pueden continuar haciendo otras tareas mientras vibran sobre la plataforma.


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Hoy en día se estudia esta terapia para ser usada eventualmente usada para el tratamiento

de algunos de los millones de personas que sufren de pérdidas de masa ósea, enfermedad

conocida como osteoporosis.

En un estudio (publicado en el número de octubre del 2001 de la revista The FASE

Journal), sólo 10 minutos al día de terapia de vibraciones ayudaron a promover niveles casi

normales de formación ósea en un grupo de ratas, a las que se les impidió apoyarse sobre

las patas traseras durante el resto del día. Otro grupo de ratas que habían tenido sus

miembros traseros suspendidos todo el día, mostraron una disminución considerable en su

ritmo de formación ósea hasta de un 92% mientras que otro grupo de ratas, a las que se les

permitió soportar su peso por 10 minutos diarios, pero sin el tratamiento de vibraciones,

tuvieron también reducciones en la formación de hueso 61% menos.

Estos resultados indican que el tratamiento por vibraciones mantiene a los huesos

sanos, mientras que breves periodos de soporte del peso no tiene mayores efectos.

Por último, aún con la evolución de los procesos industriales, las computadoras, los

sistemas de control y con la aparición de modernos métodos matemáticos. Los principios

básicos de las vibraciones mecánicas se ven casi inalterables, mas bien estos avances han

aportado a nuevos campos de investigación y al desarrollo didáctico e industrial, por

ejemplo:

a) Uso de la computadora para simulación. Permite mediante programas de

simulación resolver diferentes problemas del análisis de vibración, por ejemplo:

Working Model, ANSYS, MatLab, LabVIEW, EasyJava Simulation etc.

b) Uso de la computadora para el análisis. Existen diferentes programas que

facilitan el análisis de vibración de maquinaria industrial, en su mayoría vienen

acompañados con los equipos de medición.

c) Equipos de medición. Desde los primeros analizadores de vibración hasta los

más sofisticados la mayoría se basan en los mismos principios, han evolucionado

en tamaño, aditamentos, sopieware entre otros que han facilitado las medidas y

el diagnóstico.


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d) Modernos métodos de análisis. Métodos modernos matemáticos son utilizados en

el análisis e investigación ya que son fácilmente demostrables mediante el uso de

las computadoras; por ejemplo las variables de estado y el elemento finito.

1.3.1 ¿Porque estudiar las vibraciones mecánicas? por el impacto y los efectos.

Estos pueden ser de carácter económico, social, físico y psicológico, entre otros. El

impacto económico es de preocupar a la industria ya que un problema de vibración no

atendido puede repercutir en el daño de maquinaria e incluso, en daños físicos a personas

causando pérdidas económicas por detención del proceso, mantenimiento e indemnización.

El impacto físico y psicológico a personas puede manifestarse de diferentes maneras,

por ejemplo, cuando un obrero es sometido a constantes fuentes de vibración le afecta a

algunas partes del cuerpo ya que son susceptibles a diferentes frecuencias de vibración.

Otro caso se puede observar cuando una fuente de vibración genera ruido a diferentes

frecuencias y niveles sonoros en rangos no deseables, además de ser un causante de

contaminación ambiental y que puede alterar el comportamiento humano, puede causar

daños irreversibles al oído incluyendo sordera.

El impacto social se puede manifestar si diferentes fuentes de vibración pueden

causan problemas a una persona o grupos de personas ya que esto pudiera repercutir en

problemas de relación laboral entre dueños, gerentes o supervisores con empleados o

síndicos de la empresa. Otro ejemplo puede ser si en un proceso de maquinaria es causante

de transmisión de vibración al piso repercutiendo en problemas a unidades habitacionales a

su alrededor, por ejemplo, daños en estructuras y ruido causando inconformidad entre

grupos de vecinos.

Matemática y Ciencia aplicada

Una de las principales aplicaciones de temas vistos en el cálculo diferencial,

ecuaciones diferenciales, series de Fourier, entre otras, tiene que ver con los sistemas

vibratorios, esto convierte a las vibraciones mecánicas en matemáticas aplicadas.

Además, puesto que las bases de las vibraciones mecánicas están dadas en diferentes


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postulados y expresiones matemáticas bien definidas, dichos postulados no se quedan solo

plasmados “en papel” ya que sus alcances van más allá debido a que es una ciencia

involucrada en los procesos industriales.

1.4 LAS VIBRACIONES MECÁNICAS COMO CIENCIA APLICADA

Las vibraciones mecánicas han pasado a ser desde una “ciencia pura” hasta llegar a una

ciencia aplicada pasando por el proceso tecnológico o tecnología, ¿qué quiere decir esto?,

pues bien, primero definamos a la ciencia como un conjunto coordinado de explicaciones

sobre el porque de los fenómenos que observamos o sea, de las causas de esos fenómenos.

Para construir la ciencia se investigan las causas y determina su ordenamiento. La ciencia

es la aplicación del llamado método científico a la investigación de algún sector de la

realidad. La ciencia tiene como objetivo crear conocimiento para entender el universo, la

naturaleza y publicar el conocimiento.

La tecnología es el conjunto de conocimientos, técnicas y procesos para el diseño y

construcción de objetos y útiles que sirven para satisfacer las necesidades de la humanidad.

La tecnología se percibe con los sentidos, es decir, podemos observarla y verla, ambas.

Sin embargo la tecnología y la ciencia, necesitan de un método experimental para

ser confirmadas y que puede ser demostrable por medio de la repetición, sin embargo

podemos decir que existe una tecnología para cada ciencia, es decir, cada rama posee un

sistema de tecnología diferente, que permite un mejor desarrollo para cada una de estos.

En tal sentido, debemos entender el concepto "ciencia pura", como la actividad de

hacer ciencia al margen de su aplicación, es decir, cuando se realiza la investigación

científica con el único propósito de producir conocimiento científico. Luego, la conjugación

de intereses sociales, económicos y políticos encuentra aplicación a los conocimientos

alcanzados, lo cual da lugar a la investigación tecnológica, que a su vez da origen a la

tecnología, que es la "ciencia aplicada". Es decir, cuando la ciencia surte su función

práctica, al servicio de quien la posee y al margen de cualquier consideración ética, se

convierte en tecnología.

¿Es pues las vibraciones mecánicas una ciencia aplicada?, claro que si. Antes que


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nada y para empezar recordemos que grandes los grandes científicos que realizaron y

formularon conceptos que rigen hoy las vibraciones mecánicas se rigieron bajo todo un

proceso científico, es decir, aplicaban la ciencia a todo lo que postulaban. Pero además las

bases o principios básicos del estudio de las vibraciones mecánicas cumplen con el

procedimiento del método científico, por lo tanto es una ciencia.

Pero con la aparición de tecnologías que han permitido no tan solo reforzar algunos

conceptos científicos del área de vibraciones, como por ejemplo, los modos de vibrar

elementos continuos, sino que además estos conocimientos han sido aplicados movidos por

intereses sociales, económicos, entre otros, por ejemplo:

a) Mesas vibratorias basados en el principio de la frecuencia natural.

b) Aisladores de vibración que se basan en el principio de sistemas

de varios grados de libertad.

c) Análisis de fallas en maquinaria basado en el principio del teorema

de Fourier.

d) Calculo de frecuencias naturales de algunos elementos de

máquinas basados en ecuaciones de energías.

e) Edificios que soportan terremotos basados en el principio de

frecuencias naturales y del amortiguamiento.

f) Estudios clínicos basados en el principio de resonancia.

g) Solución a algunos problemas de maquinaria basados en el

principio del impulso ó impacto.

Es por eso que hoy en día esta ciencia se encuentra tan fundamentada de manera

que comprende:

a) Temáticas ordenadas y comprensibles.

b) Modelos matemáticos representativos.

c) Solución a problemas establecidos.

-Temáticas ordenadas y comprensibles

El estudio de las vibraciones mecánicas, al igual que otras ciencias, va encaminado

desde lo básico, simple hasta lo complejo, los temas expuestos pueden clasificarse como


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temas: a) introductorios, b) básico, b) intermedio y c) avanzado.

a) Temas introductorios. Establecen los conceptos y la terminología general del

campo de las vibraciones mecánicas fomentando el interés y la importancia de

esta ciencia. Se dan las bases cinemáticas y dinámicas que facilitan la

comprensión de los modelos y métodos. Se explican los elementos que forman

un sistema vibratorio.

b) Temas básicos. Se estudian los sistemas vibratorios basados en un modelo de un

solo grado de libertad para pequeñas oscilaciones; además se definen métodos

de análisis para modelar sistemas vibratorios con estas características. Los

temas involucrados son: vibración libre amortiguada y no amortiguada, métodos

para el cálculo de frecuencias naturales, vibración forzada con excitación

armónica y por desbalance y la transmisibilidad de vibración.

c) Temas intermedios. Aquí se estudian los sistemas de varios grados de libertad

replanteando algunos de los temas básicos y definiendo métodos adecuados para

este tipo de sistemas. Los temas relacionados con el control de vibraciones y el

análisis de vibración son considerados.

d) Temas avanzados. Estos temas comprenden el estudio de los sistemas no lineales

de uno a varios grados de libertad, métodos modernos de análisis como elemento

finito y variables de estado, análisis modal de elementos estructurales, vibración

en sistemas continuos, etc.

-Modelos matemáticos representativos

Como posteriormente se explicara en detalle, resulta ser que un sistema vibratorio

puede ser representado por un modelo matemático que incluya los parámetros del sistema,

las condiciones iniciales y el tipo de excitación, entre otras cosas, este modelo permite la

formulación de criterios importantes para su análisis y diseño y son representados por

ecuaciones diferenciales que pueden clasificarse como:

a) Modelo lineal y no lineal. Representado por ecuaciones diferenciales lineales o

no lineales respectivamente.

b) Modelo no forzado y forzado. Representado por un ecuación diferencial

homogénea y no homogénea respectivamente.


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c) Modelo con y sin amortiguamiento. Representado por una

ecuación diferencial en donde interviene el término que

representa la perdida de energía ó no, respectivamente.

d) Modelo de 1 grado de libertad o de varios grados de libertad. Representado por

una ecuación diferencial ó un conjunto de ecuaciones diferenciales

respectivamente.

-Solución a problemas establecidos.

El primer paso dentro del análisis e investigación científica es el planteamiento del

problema para posteriormente dar seguimiento a una serie de pasos hasta llegar a la

solución. En el campo de las vibraciones mecánicas existen problemas definidos y

planteados de tal manera que su solución pasa algunas por el proceso del método científico

y otros solo por inducción; por ejemplo:

a) ¿Qué son las vibraciones y que efectos producen?

b) ¿Cómo representar un sistema vibratorio?

c) ¿Cómo modelar matemáticamente los sistemas vibratorios?

d) ¿Cómo determinar la frecuencia natural de un sistema vibratorio?

e) ¿Qué efectos rodean a un sistema vibratorio cuando es forzado a vibrar?

¿Cómo reducir y controlar los efectos de las vibraciones?

Por lo tanto, basándose en estos conceptos podemos definir:

Las vibraciones mecánicas ó también conocida como la mecánica de las vibraciones

es una ciencia aplicada como una rama de la mecánica, o más generalmente de la ciencia,

que estudia los movimientos oscilatorios de los cuerpos o sistemas y de las fuerzas asociadas

con ella

1.5. DEFINICIÓN DE VIBRACIÓN MECÁNICA

Vibración, vibración mecánica, oscilación, movimiento periódico, etc. son conceptos

utilizados para describir el movimiento de un elemento, sistema o en si de una máquina.


17

Una forma simple de definir vibración mecánica es el movimiento de una parte mecánica

hacia atrás y hacia delante a partir de una posición de descanso, otra manera más formal

de definirlo es a partir de la definición de oscilación, por lo tanto:

Oscilación: Es el movimiento de vaivén de un parámetro físico alrededor de una referencia.

Vibración mecánica: Es la oscilación mecánica de un cuerpo y/o sistema.

En la definición de vibración mecánica se habla de cuerpo y/o sistema ya que si un

cuerpo no tiene la capacidad de vibrar se puede unir a otro y formar un sistema vibratorio;

por ejemplo, en un sistema masa-resorte la masa posee características energéticas cinéticas,

y el resorte, características restauradoras.

Es importante aclarar que para que un sistema vibre es necesario que posea por lo

menos un elemento inercial (energía cinética) y un restaurador (energía potencial). Aunque

en algunos casos los elementos restauradores se generalizan como elementos elásticos,

existen sistemas en las que no existe un elemento elástico y sin embargo pueden vibrar, por

ejemplo el penduleo que se manifiesta como elemento restaurador.

Ahora bien, cuando un cuerpo vibra resulta importante definir la causa de la

vibración, es decir, si el cuerpo vibra por su condición natural debido a una perturbación

instantánea y ajeno a toda excitación permanente, o bien si se debe a que existen fuerzas

perturbadoras que hacen vibrar al sistema.

De aquí la importancia de considerar los tipos de perturbaciones que hacen vibrar a

un sistema. Estas perturbaciones conocidas como excitaciones pueden clasificarse como: a)

Instantánea y b) Permanente.

Una perturbación del tipo instantánea es aquella que aparece como una

perturbación y desaparece inmediatamente. Ejemplos de ello: el golpeteo de una placa, el

rasgueo de las cuerdas de una guitarra, el impulso y deformación inicial de un sistema

masa resorte, el impulso generado por el impacto. Una excitación de este tipo además puede

aparecer a manera de impulso o a manera de desplazamiento inicial; por ejemplo, una

persona en un columpio puede iniciar el movimiento si es impulsado desde su posición de


18

equilibrio o bien si es desplazado desde su posición de equilibrio

Una excitación del tipo permanente siempre esta presente en el movimiento del

cuerpo. Ejemplos: el caminar de una persona sobre un puente peatonal, un rotor

desbalanceado cuyo efecto es vibración por desbalance, el motor de un automóvil, un tramo

de retenedores es una excitación constante para el sistema vibratorio de un automóvil, etc.

La figura 1.2 muestra un panorama práctico de estos los tipos de excitación en

donde un carro pasa primero por un borde y vibra en su forma natural producto de esta

excitación instantánea, posteriormente pasa por un conjunto de bordes que lo obligan a

vibrar siendo una excitación permanente.

Figura 1.2 Excitación instantánea y permanente

1.6. UNIDADES DEL MOVIMIENTO DE LAS VIBRACIONES

Las vibraciones mecánicas pueden ser medidas tomando diferentes patrones y

criterios y que en su mayoría están establecidos, estas medidas tienen que ver con el

movimiento por lo tanto conviene analizar algunos criterios relacionados con el movimiento

de oscilación.

Cuando la variación de una cantidad física se repite con las mismas características

después de cierto intervalo de tiempo se dice que se tiene un movimiento periódico, ejemplos

de este movimiento pudieran ser la variación de voltaje en generadores de CA, la vibración

producida por maquinaria rotativa desbalanceada. Ahora bien, cuando el movimiento de

una partícula puede ser representada por una forma senoidal entonces a este movimiento se

le conoce como movimiento armónico, ejemplo de un movimiento armónico se puede

observar en la figura 1.3 en donde la posición vertical de la partícula p puede ser

representada como una onda senoidal.


19

Figura 1.3 Movimiento armónico

Todo movimiento periódico ó armónico cumple con las característica de una función

periódica, es decir que existe una constante T llamada período tal que la posición en un

instante x(t) es la misma en x( t + nT) para n = 1,2,3,4 ..... , por lo tanto se puede definir a el

período como el valor del tiempo en la cuál se efectua un ciclo completo. El inverso del

período se le conoce como la frecuencia de oscilación y representa de una manera las veces

que se repite el movimiento en un determinado tiempo

…………(1.1)

En donde el Hertz se define como ciclos/s. Es posible representar la frecuencia en

otras unidades, para ello es necesario recordar que 1 rev = 2π radianes y que 1 minuto = 60

segundos, por lo tanto la frecuencia en rad/s y en rpm están dadas por:

……….(1.2)

En una señal armónica el valor máximo se le conoce como amplitud y si se mide

desde la referencia se le llama amplitud de pico pero si se mide desde extremo a extremo

entonces se le conoce como amplitud de pico a pico como se muestra en la figura 1.3.

Dentro del ambiente laboral, estos parámetros son utilizados para la medida del

movimiento de la vibración de una maquina y que son:

a) El desplazamiento de la vibración.

b) La velocidad de la vibración.

c) La aceleración de la vibración.

d) La fase.


20

El desplazamiento de la vibración generalmente se mide de pico – pico y usualmente

se usan las unidades de milésimas de pulgada (mils) que es 0.001 in. ó micrómetro que es

0.001 m.

La velocidad de vibración generalmente se mide de pico y usualmente se usan las

unidades de pulgada por segundo (in/s) ó milímetros por segundo (mm/s).

Mientras que en a aceleración de vibración generalmente se mide de pico y

usualmente se usa como unidad el gs, donde g es la aceleración de la gravedad 980.665

cm/s2.

La fase se refiere a la medida relativa entre dos puntos de medición, generalmente se

usa el ángulo de separación entre las señales que representan el movimiento de estos

puntos.

Estos parámetros se pueden visualizar fácilmente en la figura 1.4 se puede observar

como los parámetros de desplazamiento y velocidad en fase a 90o mientras que entre la

velocidad y la aceleración están en fase también a 90º con la velocidad y a 1800 con el

desplazamiento. Lo anterior se debe a que si el desplazamiento del movimiento es expresado

como y(θ) = Ysen(θ), entonces la velocidad que es la derivada del desplazamiento quedará

expresada como v(θ) = Vcos(θ) y la aceleración que es la derivada de la velocidad como a(θ)

= Asen(θ).

Figura 1.4. Las Unidades de medición de las vibraciones

Puesto que se puede medir la amplitud de vibración en términos de desplazamiento,

velocidad ó aceleración ahora la pregunta es: ¿Qué unidad de amplitud utilizar?, hay varios

elementos a considerar para seleccionar cuál parámetro a utilizar, por ejemplo, el tipo de

problema causante de la vibración, tipo de diagnóstico, el equipo utilizado, etc., pero la

experiencia dice que para bajas frecuencias hasta 10 Hz (600 rpm) la medida de

desplazamiento es recomendable, mientras que para frecuencias de 10 a 1000 Hz (600 –

60000 rpm) cualquier unidad de amplitud puede ser utilizada aunque se recomienda el


21

análisis de velocidad, por último para frecuencias arriba de 1000 Hz la medida de la

amplitud de aceleración es recomendable.

1.7. CLASIFICACIÓN DE LAS VIBRACIONES MECÁNICAS

Las vibraciones mecánicas pueden clasificarse desde diferentes puntos de vistas

dependiendo de: a) la excitación, b) la disipación de energía, c) la linealidad de los

elementos y d) de las características de la señal.

a)

Una Vibración libre es cuando un sistema vibra debido a una excitación del tipo

instantánea, mientras que la vibración forzada se debe a una excitación del tipo

permanente. Esta importante clasificación nos dice que un sistema vibra libremente

si solo existen condiciones iniciales del movimiento, ya sea que suministremos la energía

por medio de un impulso ( energía cinética) o debido a que posee energía potencial, por

ejemplo deformación inicial de un resorte.

b)

El amortiguamiento es un sinónimo de la perdida de energía de sistemas vibratorios y se

manifiesta con la disminución del desplazamiento de vibración. Este hecho puede aparecer

como parte del comportamiento interno de un material por ejemplo la fricción, o bien, o

como un elemento físico llamado precisamente amortiguador.

Por lo tanto, la vibración amortiguada es aquella en la que la frecuencia de oscilación de

un sistema se ve afectada por la disipación de la energía, pero cuando la disipación de


22

energía no afecta considerablemente a la frecuencia de oscilación entonces la vibración es

del tipo no amortiguada.

c)

Si el comportamiento de cada uno de los parámetros de los componentes básicos de un

sistema es del tipo lineal la vibración resultante es lineal, en caso contrarío será del tipo no

lineal. En la realidad todo elemento se comporta como un elemento no lineal pero si bajo

ciertas condiciones se puede considerar como un elemento lineal, entonces el análisis se

facilita considerablemente. Por ejemplo, un resorte helicoidal en donde según la ley de

Hooke el comportamiento fuerza-deformación es lineal (Figura 1.5) aunque en la realidad

los resortes helicoidales tienen un comportamiento no lineal pero este que puede ser

aproximado a un elemento lineal y facilitar su estudio sin afectar considerablemente el

comportamiento real.

Figura 1.5. Grafica lineal y aproximación lineal.

En algunos casos se puede considerar la linealidad en una región de trabajo y que

generalmente es alrededor del punto de equilibrio, por ejemplo, suponga que el

comportamiento de un parámetro esta dado por la ecuación y = sen (q) (Figura 1.6) resulta

ser que la gráfica es no lineal, pero alrededor del punto de equilibrio se tiene que para


23

ángulos pequeños, digamos θ ≤ 15º se puede observar una linealidad tal que y = sen (q) ≈ q.

Otro ejemplo de gran utilidad para temas posteriores y no es precisamente una linealización

sino de aproximación es la ecuación y = 1- cos (q ) en donde alrededor del punto de

equilibrio se tiene y = 1 - cos(q) ≈ θ2/2 . Lo anterior puede comprobarse si se analizan

estas funciones en su forma expansiva de la serie de Taylor.

Figura 1.6. Región de trabajo en y=sen (Θ ) , y=1-cos(Θ )

d)

Cuando el comportamiento vibratorio de un sistema puede ser representado por medio de

una ecuación matemática entonces se dice que la vibración es determinística, pero si la

señal de vibración se caracteriza por ciclos irregulares de movimiento entonces no es

predecible y la vibración es del tipo probabilística o al azar. En la Figura 1.7 se puede

observar un ejemplo de estas señales, aunque en apariencia en algunas ocasiones las

señales del tipo deterministicas suelen confundirse con otras llamadas complejas, las

vibraciones probabilísticas se caracterizan por no ser señales periódicas.


24

Figura 1.7. Vibración a) determinística b) probabilística

Por otro lado, si las características de la señal se repiten de igual característica después de

cierto intervalo de tiempo entonces la vibración será del tipo periódica, si la señal de

vibración de un sistema se asemeja a una señal del tipo senoide, entonces se dice que la

vibración es senoidal. Una señal compleja a simple vista no se puede representar por medio

de una ecuación matemática, pero si esta es del tipo periódica puede ser descompuesta en

señales del tipo senoides y/o cosenoides, según el teorema de Fourier. La figura 1.8 muestra

un ejemplo de como una señal compleja llamada total puede ser descompuesta en suma de

señales senoidales y/o cosenoidales llamados componentes armónicos; en este caso, la señal

total es la ecuación:

y(x) = sen(x) + sen(3x) + sen(5x),

Donde:

sen(x), sen(3x) y sen(5x) son los armónicos.

Si las señales pueden ser representadas por medio de una ecuación matemática y si cumple

con algunos requisitos, entre ellos ser periódica, entonces los armónicos pueden obtenerse

mediante un procedimiento matemático conocido como serie de Fourier; para el caso en

que su representación matemática sea problemático, existe otro método en el cuál se pueden

calcular los términos armónicos mediante un procedimiento de muestreo de la señal y es

conocido como Transformada rápida de Fourier (FPIE de sus siglas en ingles Fast Fourier

Transform).


25

Figura 1.8. Señal compleja y sus armónicos

El concepto involucrado en las series de Fourier es de gran importancia en el campo y el

estudio de las vibraciones mecánicas ya que aunque el movimiento armónico es simple de

analizar, pues resulta que muchos de los sistemas vibratorios no son armónicos aunque si

periódicos 1, para ilustrarlo considere la máquina de Figura 1.9 compuesta por un motor,

chumaceras, coples y flechas. Estos elementos pueden ser fuentes de vibración por ejemplo,

motor con rotor desbalanceado, daño en las chumaceras, bandas mal tensionadas, etc.;

estas fuentes de vibración aunque pudieran ser armónicas, sumadas forman una señal

compleja.

El principio del análisis de vibración consiste en hacer uso de un instrumento de medición

llamado precisamente analizador de vibraciones con el fín de registrar y estudiar esta señal

(señal total) y por medio de un procedimiento de filtrado que el mismo analizador dispone

filtrar esta señal en sus componentes armónicos, posteriormente mediante el estudio del

comportamiento tanto de la señal total así como de los componentes armónicos poder

predecir la falla. Este tipo de análisis se le conoce como análisis de la amplitud en función

del tiempo, pero existe otro análisis en función de la frecuencia, ambos serán detallados en

forma posterior.


26

Figura 1.9. Aplicación de las series de Fourier en el análisis de vibración

1.8. OTROS CONCEPTOS

A manera introductoria a capítulos posteriores, a continuación se mencionan

algunos conceptos de interés en el campo de las vibraciones mecánicas y que más adelante

se detallaran con precisión tanto teórica como analíticamente.

(No confunda movimiento periódico con armónico ya que un movimiento puede ser periódico

pero no necesariamente armónico )

Frecuencia natural. Es la frecuencia propia de un cuerpo o sistema al poseer inercia y

elementos restauradores. Es la frecuencia resultante de la vibración libre por lo tanto no

depende de la excitación sólo de las características físicas del sistema.

Resonancia.Fenómeno que ocurre cuando la frecuencia con la que se excita un sistema

vibratorio es igual a su frecuencia natural.

Aunque el fenómeno de resonancia será discutido más adelante, a manera

introductoria se puede decir que es un fenómeno relacionado con las altas amplitudes de

vibración y que depende entre otras cosas, de la frecuencia con la que se excita un sistema

aún cuando los demás parámetros permanecieran constantes como lo es la fuerza de

excitación, la masa y la elasticidad.

Para comprender este fenómeno considere el caso de una guitarra acústica, si está

se encuentra afinada, entonces al colocar el dedo en el quinto trasto de la sexta cuerda y al

hacerla vibrar, sucederá que la quinta cuerda vibrará sola precisamente por el fenómeno de


27

resonancia. Esto se debe a que el tono de la sexta cuerda en el quinto trasto es de LA, la

cual es la nota de la quinta cuerda libre (Figura 1.10).

Figura 1. 10 Caso de resonancia en una guitarra acústica

Generalmente cuando se trata de dar un ejemplo de este fenómeno se cita el caso

ocurrido en el puente de Tacoma Narrow en 1940 (Figura 1.11), aunque ha sido un tema de

discusión entre los investigadores, se cree que este puente se derrumbo por el fenómeno de

resonancia producto de la vibración torsional de la estructura del puente debido a una

probable excitación de unos remolinos.

Figura 1.11 Tacoma Narrow (1940)

Se podrían mencionar más ejemplos relacionados con este fenómeno pero esto será

visto con mayor detalle en capítulos posteriores en donde además se discutirá lo que ocurre

durante este fenómeno así como sus efectos.

1.9. MODELADO MATEMÁTICO

La solución de muchos problemas en el área de vibraciones mecánicas y en ingeniería en

general requieren de un proceso que consiste en representar el modelo del sistema en una

expresión matemática para su análisis. El procedimiento de representar matemáticamente

el comportamiento de un sistema se le conoce como modelado matemático.


28

El modelaje será la representación con cualquier otro medio de dicha representación

matemática, pudiendo ser una computadora o modelos a escala. Para elaborar este

modelado se requiere de una serie de pasos y métodos que a continuación se describen.

Identificación del problema. En este paso se identifica el tipo de sistema, los elementos que

lo forman, así como el proceso.

Documentación. Aquí se plantean tres pasos importantes:

a) Las leyes que rigen el comportamiento del sistema.

b) Los datos necesarios.

c) La obtención de dichos datos.

Consideraciones. En este paso se realizan una serie de consideraciones para simplificar la

solución del problema, estas deben de ser las adecuadas para el análisis sin afectar el

verdadero comportamiento del sistema, por ejemplo: la linealidad, la fricción, las inercias,

etc.

Representación gráfica. Aquí se realiza una figura del sistema tomando en cuenta las

consideraciones anteriores. En esta figura se colocan los elementos necesarios para el

análisis descartando aquellos que no intervengan; además, es importante representar los

elementos en la forma más simple indicando las conexiones de los elementos.

Por ejemplo, considere la estructura mostrada en la figura 1.12 y que corresponde al

Space Needle, estructura ubicada en Sattle Washington, si lo que se desea es analizar el

comportamiento oscilatorio de la parte superior entonces puede modelarce como un

elemento flexible y una masa en su parte superior como se muestra en la Figura 112

Figura 1.12 (a) Estructura del Space Needle (b) Modelado gráfico


29

Otro ejemplo es la suspensión mostrada en la Figura 1.13, esta puede ser modelada

gráficamente por un resorte k y un amortiguador c.

Figura 1.13 (a) Estructura de una suspensión, (b) Modelado gráfico

Desarrollo del modelo. Ahora se hace uso de las leyes físicas y del desarrollo matemático

para encontrar la ecuación diferencial que rige el comportamiento del sistema.

Solución matemática. La solución de la ecuación diferencial es el paso siguiente ya que

proporciona el comportamiento de ciertos parámetros del sistema en función del tiempo.

Algunas veces este paso se realiza mediante programas computacionales o bien, se busca

soluciones análogas, es decir, se busca relacionar la ecuación con otras ya resueltas y así

hacer la analogía.

1.10 GRADOS DE LIBERTAD, ECUACIÓN DE KUTZBACH MODIFICADA

Una de los términos de gran importancia en el modelado matemático de los sistemas

dinámicos se le conoce como grados de libertad, estos influyen en el tipo de análisis,

metodología y solución a utilizar. Los Grados de libertad (GDL) es el número de parámetros

independientes y necesarios para determinar el movimiento entero o la posición entera de

un sistema. Por ejemplo, la posición de una partícula en un eje es de un grado de libertad,

en dos ejes de dos y en el espacio es de tres grados de libertad, las extremidades del robot

hexápodo de la Figura 1.14 es de dos grados de libertad ya que consta de dos servomotores

para el movimiento de cada extremidad.


30

Figura 1.14 Extremidades de un hexápodo con 2 GDL

Pero resulta conveniente buscar una metodología que facilite y permita determinar

los grados de libertad de un sistema dinámico; a continuación se presenta un procedimiento

basado y modificado de la ecuación de Kutzbach [2].

Principio 1. Una partícula en un plano es de dos grados de libertad. La demostración

es sencilla, la posición de una partícula queda determinada por las coordenadas x,y o bien

por el radio r y el ángulo teta, o bien

P = Pxi + Pyj

Principio 2. Un sólido rígido en un plano es de tres grados de libertad. La demostración es

simple ya que para determinar la posición de sus partículas es necesario un origen y la

inclinación del mismo ya que el radio es constante por ser sólido rígido.

b = Pa + Pb/a

b = (Paxi + Payj) + rb/a(cos(α)i + sen(α)j)


31

Principio 3. Un elemento con flexibilidad líneal es de cuatro grados de libertad. Esto se

puede demostrar considerando el caso anterior pero en donde el radio L ahora es variable.

b = Pa + Pb/a

b = (Paxi + Payj) + (Pb/axi + Pb/ayj)

Principio 4. Una únion tipo articulación ó deslizamiento disminuye en dos los grados de

libertad. Lo anterior es simple de comprender ya que una unión de este tipo limita el

movimiento en ambos ejes.

Principio 5. Una únion tipo patín ó guía disminuye en uno los grados de libertad. Esto se

debe a que este tipo de union limita solo en un eje el movimiento

Principio 6. Un elemento fijo no aporta ningún grado de libertad. Por lo que no se

considerará en el cálculo


32

Es importante aclarar que un elemento en deslizamiento puede considerarce como

un elemento rígido y la unión tipo deslizamiento, es decir 3 GDL – 2 GDL = 1 GDL o bien

uno solo elemento tipo guía de 1 GDL.

En base a lo anterior una ecuación que permita determinar los grados de libertad de

los sistemas dinámicos será:

GDL = 4L + 3M – 2P – Q

Esta ecuación se le conoce como la ecuación de Kutzbach modificada en donde:

GDL se refiere a los grados de libertad, L el número de elementos con flexibilidad lineal,

como lo es el resorte , el amortiguador, el pistón, etc., M es el número de elementos rígidos,

P es el número de uniones tipo articulación, y Q es el número de uniones tipo patín

incluyendo las semijuntas por contacto de rodadura con deslizamiento.

Ejemplo 1.1

Determine los grados de libertad del cada uno de los sistemas de la figura 1.15.

Se puede decir que el sistema (a) es de tres grados de libertad ya que permite un

movimiento vertical y angular del resorte, además, del movimiento angular de la masa

alrededor de la articulación, el sistema (b) es semejante al (a) solo que se limita el

movimiento al eje vertical siendo ahora de solo un grado de libertad; en ocasiones el

sistema (a) es considerado como de un grado de libertad ya que se supone que el resorte

esta conectado en el eje de simetría de la masa permitiendo el mismo movimiento vertical

de todas las partículas de la masa, en este caso la masa se considera como una masa

puntual y se modela como sistema (c); por último el sistema

(d) es de dos grados de libertad.


33

Figura 1.15 Ejemplos de grados de libertad (GDL)

Usando la ecuación de Kutzbach modificada se tiene que:

Sistema (a) GDL = 4(1) + 3(1) – 2(2) = 3 GDL

Sistema (b) GDL = 4(1) + 3(1) – 2(3) = 1 GDL

Sistema (c) GDL = 4(1) + 3(0) – 2(1) – 1 = 1 GDL

Sistema (d) GDL = 4(2) + 3(2) – 2(6) = 2 GDL

Note que para el caso (b) existen dos formas de solucionarlo, la primera

considerando a la masa como un elemento y el deslizamiento como una unión tipo

articulación ya que limita el movimiento en 1, otra forma es considerar al conjunto de

masa y deslizamiento como una unión tipo patín en donde la articulación entre el resorte

y la masa no se considera ya que es una unión.

Ejemplo 1.2

Determine los grados de libertad del cada uno de los sistemas de la Figura 1.16.


34

Figura 1.16 Ejemplos de grados de libertad

Para el caso (a) se tienen 2 elementos elásticos (L=2) 3 rígidos (M=3) y 8 juntas

(P=8) , por lo tanto GDL = 4L + 3M – 2P – Q= 4(2) + 3(3) – 2(8) = 1 GDL.

Para el caso (b) se puede analizar considerando a la corredera como elemento

rígido, es decir,GDL = 4L + 3M – 2P – Q = 4(0) + 3(3) – 2(4) = 1 GDL. o bien como un

elemento de unión tipo patín GDL = 4(0) + 3(2) – 2(2)

– 1 = 1 GDL.

Por último para el caso (c) se tienen 1 elemento elástico (L=1), 2 rígidos (M=2) y cuatro

articulaciones (P=4), por lo tanto GDL = 4L + 3M – 2P – Q= 4(1) + 3(2) – 2(4) = 2 GDL.


35

CAPÍTULO 2

ELEMENTOS DE SISTEMAS VIBRATORIOS

Los elementos que forman una maquinaria en toda su complejidad, desde el punto de vista

vibratorio se pueden representar como un modelo que involucre los elementos inerciales,

los restauradores y los amortiguadores conectados formando un modelo de uno o varios

grados de libertad. En este capítulo se hace un análisis detallado de estos tres elementos que

consiste en ver cuál es la función que desempeñan en el sistema vibratorio, los arreglos en

dicho sistema, equivalencias así como las leyes físicas que rigen su comportamiento.

2.1 ELEMENTOS ELÁSTICOS

Todos los materiales poseen características elásticas en mayor o menor grado. Cualquier

material al que se le aplique una fuerza sufrirá una deformación proporcional a la fuerza.

Pueden considerarse como elementos elásticos los resortes de cualquier tipo, los elementos

estructurales como vigas y placas, así como algunos hules, cauchos polímeros, etc. Además

del resultado de acomodarlos en arreglos del tipo serie y/o paralelo.

A continuación se detalla la forma en que se presenta la elasticidad de algunos

elementos elásticos así como la forma de calcular sistemas elásticos equivalentes de

elementos estructurales; además se presentará la forma de representar arreglos de

elementos elásticos serie y/o paralelo así como su representación equivalente.

2.1.1. Resortes helicoidales y a torsión

Los resortes helicoidales (Figura 2.1) son uno de los más usados en sistemas

vibratorios y puede ser considerado como el modelo representativo de la elasticidad de un

sistema vibratorio. Considere un resorte helicoidal del tipo ideal, es decir, aquel cuya

deformación es lineal por lo menos en una región de trabajo. Se puede establecer la ley de

Hooke de la siguiente manera

Ley de Hooke: Un elemento elástico recibe una deformación directamente

proporcional a la fuerza que soporta.


36

Figura 2.1 Resortes helicoidales

Lo anterior se refiere a que si se aplica una Fuerza F1=10 N el resorte experimentará una

deformación x1=1 cm .Una fuerza F2 aplicada al mismo resorte hará que se deforme x2 =

cx1 donde c es una constante. Por ejemplo, si una fuerza F1 = 10 N deforma a un resorte x1

= 1 cm. intuitivamente es de esperar que una fuerza F2 = 20 N deforme al resorte x2 = 2

cm. ya que si F2 = 2F1, entonces x2 = 2x1. (Figura 2.2)

Figura 2.2 Deformación proporcional

Ahora si una fuerza F3 = 50 N se aplica al resorte entonces la deformación

resultante será de 5 cm. Por lo tanto es importante encontrar una relación directa entra la

fuerza y la deformación y que cumpla para todos los valores. Si se analiza las condiciones

anteriores se tiene que:

donde: k es una constante proporcional llamada constante elástica, de aquí la relación

entre la fuerza y la deformación es:


37

f k = kx …….(2.1)

Donde:

fk es la fuerza elástica dada en Newton(N) o Libra (lb.),

x es la deformación en metros (m) o pies

k es la constante elástica en N/m o lb/pie, según el sistema de unidades.

Es común ver en algunas fichas técnicas la constante elástica en unidades de kg/cm

ya que en algunos casos muestra una mejor visión del comportamiento del resorte, tomando

a este como kg fuerza, lógicamente nos referimos al sistema técnico.

Retomando el ejemplo anterior se concluye que k=1000 N/m. Esta relación se

muestra en la gráfica de la Figura 2.3

Figura 2.3 Relación entre la fuerza aplicada y deformación

Los resortes del tipo helicoidal tienen un comportamiento muy aproximado al tipo

lineal y dicha constante se puede encontrar en función de los parámetros de diseño como se

muestra en la ecuación 2.2.

Figura 2.4 Comportamiento de un resorte helicoidal


38

………..(2.2)

Donde:

G es el módulo de corte (Young), D el diámetro medio de la espira, d el diámetro del

alambre y n es el número de vueltas.

Ahora considere un resorte torsional como el que se muestra en la Figura 2.5 En la

ecuación 2.3 muestra como calcular esta constante en función de los parámetros de diseño

Figura 2.5 Resorte torsional

………..(2.3)

Donde:

kτ es la constante elástica torsional en Nm/rad, E es el módulo de elasticidad del material de

la espira, L la longitud total de la espira e I es el momento de inercia de la sección

transversal.

Tomando como analogía las notas dadas en resortes helicoidales se tiene que la

relación que existe entre el momento aplicado y la deformación angular será:

M = kτθ ………(2.4)

Donde:

M es el momento aplicado en Nm, kτ es la constante elástica torsional en Nm/rad y θ es el

desplazamiento angular en radianes. Una gráfica del momento contra deformación sería de

las mismas características a la mostrada en la figura


39

2.1.2. Elementos estructurales

Los materiales sometidos a diferentes fuerzas y momentos pueden experimentar

deformaciones considerables desde el punto de vista vibratorio, por lo tanto existe una

relación lineal entre la carga aplicada y su deformación. Siempre y cuando se trabaje en la

zona conocida como zona elástica (Figura 2.6)

Figura 2.6 Región de trabajo en materiales

Por lo tanto en esta zona de trabajo es posible encontrar una relación entre esfuerzo

y deformación llamado módulo de elasticidad E, donde E = σ /ε donde σ es el esfuerzo en

Pascales y ε es la deformación unitaria en mm/mm. En nuestro caso nos interesa encontrar

la relación entra carga y deformación, es decir k = P/x, donde P es la carga en N, x es la

deformación en m y k la constante elástica en N/m.

Es posible encontrar la relación entre la carga vs. Deformación real usando las

ecuaciones de esfuerzo vs. deformación unitaria, por lo tanto, la constante elástica

equivalente de un resorte con esas características tendrá la misma deformación. Considere

como ejemplo los dos elementos estructurales mostrados en la Figura 2.7 sometidos a una

fuerza P aplicada en un punto como se muestra

Figura 2.7 Elementos estructurales (a) Barra a tensión y (b) viga en cantilever


40

Considerando primero el caso de la barra sometida a tensión como se muestra en la

Figura 2.7 (a), si L es la longitud de la barra y A es el área de la sección transversal y E es

el módulo de elasticidad, entonces la deformación real de la barra delta esta dada por δ=

PL/(EA), por lo tanto la relación entre la carga P y la deformación δ dará l constante

elástica:

Ahora considere la viga en cantilever como se muestra en la figura 2.6 (b)b, para el

caso de las vigas la deformación en un punto dado del claro se le conoce como la ecuación

de deflexión de la curva y(x) y que esta en función de entre otras cosas del punto x en donde

se encuentra ubicada la carga P. Para el caso de una viga en cantilever esta ecuación esta

dada por:

Por lo tanto si la carga se coloca en el extremo de la viga, es decir, para x= L, se tiene que la

relación entra la carga P y la deformación y esta dada por:

Se puede realizar el mismo procedimiento para encontrar la constante elástica de diferentes

elementos estructurales como se muestra en la tabla 2.1


41

Tabla 2.1 Constantes elásticas de elementos estructurales

2.1.3. Elementos elásticos equivalentes.

Los elementos de maquinaria pueden componerse de varios elementos y conectados

de diferentes formas, de aquí la necesidad de encontrar en muchas ocasiones un elemento

elástico equivalente tal que al aplicarle una fuerza P en un punto dado se produzca la

misma deformación x en dicho punto, es decir ke = P/x.

2.1.3.1 Arreglos serie y paralelo

Elementos elásticos en serie.

Dos o más elementos elásticos están en serie si la fuerza aplicada en un extremo se

transmite en la misma proporción en cada uno de ellos.

Para explicar lo anterior considere dos resortes en serie como se muestra en la

Figura 2.8 en donde el objetivo es encontrar un elemento único equivalente de constante

elástica ke tal que al aplicarle la misma fuerza F se tenga la deformación total xT


42

Figura 2.8. Resortes en serie

Por definición se tiene que F = F1 = F2 y xT = x1 + x2, por lo tanto, un elemento

elástico equivalente tendrá una constante elástica equivalente tal que Ke = F /xT. como el

desplazamiento total esa dado por xT = x1 + x2 y además x1 = F1/k1 y x2 = F2/k2, se tiene

que:

En términos generales para n elementos elásticos en serie la constante elástica equivalente

esta dada por:

Ec. 2.5

Elementos elásticos en paralelo.

Dos o más elementos elásticos están en paralelo si fuerzas distribuidas en ellos producen la

misma deformación.

Para explicar lo anterior considere dos resortes en paralelo como se muestra en la

Figura 2.9 en donde el objetivo es encontrar un elemento único equivalente de constante

elástica ke tal que al aplicarle la misma fuerza F se tenga la deformación total xT


43

Figura 2.9 Resortes en paralelo

En este caso se tiene que F = F1 + F2, y que xT = x1 = x2, un elemento elástico equivalente

será de constante elástica equivalente ke tal que Ke = F /xT. como la fuerza total esta dada

por PIE = F1 + F2 y además x1 = F1/k1 y x2 = F2/k2, se tiene que:

En términos generales para n elementos elásticos en paralelo la constante elástica

equivalente esta dada por:

……..(2.6)

En un sistema vibratorio además de resortes se puede disponer de otros elementos

elásticos tales como vigas, muelles, etc. y pueden intervenir de la misma manera, ya sea

como arreglo serie o paralelo, ver figura 2.10

Figura 2.10 Arreglos serie, paralelo y combinado


44

Ejemplo 2.1

Considere el sistema mostrado en la, Figura 2.11 si se aplica una fuerza F = 500 N,

determine la fuerza y deformación en cada elemento. El elemento k1 es de acero de 20

cm. de claro y de sección transversal circular de 1 cm. de diámetro, el elemento k3 es de

aluminio de 25 cm. de claro y de sección transversal cuadrada de 1 cm. *por lado. El

resorte es de k2=30 kN/m

Figura 2.11. Ejemplo de arreglos

Primero, se calculan las constantes elásticas k1 y k3; de la tabla 2.1 se obtiene que

la constante elástica para una viga en cantilever es k=3EI/L3. El módulo de elasticidad

para el acero es 200 GPa y para el aluminio es de 70 GPa. Las secciones circulares tienen

un momento de inercia para la sección circular de I = πr4 /4 y para la sección rectangular

es de I=bh3/12.

Ahora obteniendo el diagrama equivalente se tiene que el elemento k1 y el elemento k2

están en serie ya que se transmite la misma fuerza, estos a su vez están en paralelo con el

elemento k3 como se muestra en al figura 2.12.


45

Figura 2. 12 Ejemplo: diagramas equivalentes

Por lo tanto la fuerza se transmite en la misma proporción, entre k1 y k2, y el

desplazamiento xe1 = x3 = xT . Calculando las equivalencias

La deformación total será:

Como xe1 = x3 = xT, se tiene que la fuerza en el elemento 3 y el equivalente 1 será F3 =

k3 x3 = 0.20195 KN y Fe1 = ke1xe1 = 0.29805 KN; por otro lado como Fe1 = F1 = F2 se

tiene que el desplazamiento en el elemento 1 y el 2 será x1 = F1/k1 = 8.097 x 103 m, x2 =

F2/k2 = 2.66 x 103 m.

2.1.3.2 Algunas equivalencias elásticas torsional

Es común ver dentro de los modelos de sistemas vibratorios acoplamientos de

elementos elásticos con otros y que debido a su comportamiento pueden ser expresados por

un elemento elástico torsional equivalente.

Acoplamiento resorte disco

Considere el ejemplo de la Figura 2.13 en donde un resorte se acopla a la periferia

de un y que posee condiciones de enrollarse sobre la periferia. Como el resultado del

movimiento es angular es posible establecer un elemento elástico equivalente torsional que

reemplace al resorte lineal como se muestra en la figura.


46

Figura 2.13 Acoplamiento resorte-disco(a) y su equivalente(b)

Como la longitud del arco s esta dada por s=r θ, donde r es el radio del disco y θ el

desplazamiento angular y la deformación del resorte es precisamente s, se tiene el momento

del resorte en el pivote será Mp = (kx)r , como x=s= r θ se tiene que el momento Mp = kr2θ.

Por lo tanto la constante elástica torsional equivalente kτ= M/θ, será

kτ= kr 2

-Acoplamiento resorte palanca

Ahora considere un acoplamiento de un resorte a una palanca de masa despreciable

como se muestra en la Figura 2.14. Como el resultado del movimiento es angular es posible

establecer un elemento elástico equivalente torsional que reemplace al resorte lineal como

se muestra en la Figura 2. 14

Figura 2.14 Acoplamiento resorte-palanca(a) y su equivalente (b)

En este caso es necesario hacer unas observaciones y suposiciones. Primero es notable que

la deformación del resorte depende directante de la longitud inicial de este de tal manera

que entre más grande sea esta longitud y mas pequeño el ángulo α, se tiene que el efecto

horizontal de la fuerza elástica Fx = kxsen α≈0 y el efecto vertical de la masa Fx = kxcos

α≈kx como se muestra en la siguiente figura:


47

Esta suposición no se aplicará para el desplazamiento angular θ ya que es la

variable a considerar para el elemento elástisco torsional equivalente.

El momento en el punto de articulación p esta dado por Mp = (Kx)dcosθ, en donde la

deformación del resorte x puede ser expresada como x =dLsenθse tiene que el momento

elástico esta dado por Mp =kd2senθ cosθ; por último, para oscilaciones pequeñas, es decir,

alrededor del punto de equilibrio se tiene que senθ ≈ θ y cosθ≈ 1, por lo tanto la constante

elástica equivalente será

kτ= kd 2

-Acoplamiento péndulo vertical

Cuando un cuerpo rígido se pivotea en un punto diferente a su centro de gravedad

puede vibrar debido al efecto de la energía potencial gravitacional, este efecto es semejante

al del resorte en donde la energía potencial es elástica por lo que se puede establecerse una

analogía entre estos.

Considere el péndulo de la Figura 2.15 pivoteado en un punto p, sea cg su centro de

gravedad y r la distancia entre estos puntos

Figura 2.15 El péndulo como elemento elástico torsional

Si después de la perturbación se analiza el efecto de las fuerzas externas (que es el

peso), el momento en el punto p esta dado por Mp = (mgsenθ)r., puesto que para

oscilaciones pequeñas se tiene que sen θ≈θ, por lo tanto la constante equivalente es aquella


48

tal que kτ= M/θ.

Es importante verificar que en este caso el efecto del peso mg siempre será

restaurador después de la perturbación.

-Acoplamiento péndulo invertido

Existe otra configuración del péndulo como se muestra en la Figura 2.16, en donde

el centro de gravedad esta en la parte superior del centro de gravedad; esta configuración se

le conoce como péndulo invertido. Puesto que sin el resorte el sitema después de la

perturbación nunca se restaurará, entonces se limita el movimiento por medio de dicho

resorte como se indica en la figura.

Figura 2.16 Péndulo invertido

La ecuación quedaría Mp= ka2θ mgrθ. El sentido positivo del momento es a

encontra de las manecillas ya que se supone que el momento del resorte es superior para

restaurar el sistema, es decir ka2θ> mgrθ. Ahora la constante elástica torsional equivalente

será kτ= M/θ, es decir

kτ= ka2 − mgr

- Acoplamiento péndulo horizontal

Ahora considere una configuración del péndulo horizontal como se muestra en la

Figura 2.17. Sin el resorte, el sistema después de la perturbación nunca se restaura,

entonces se limita el movimiento por medio de un resorte como se indica en la figura.

Observe que si el sistema se perturba hacia arriba el efecto del peso será restaurador pero si


49

se perturba hacia abajo no lo será; ¿Que pasa aquí?

Figura 2.17. Péndulo sobre el eje horizontal

Es importante notar que en la posición P1 se supone que no se conecta el resorte a la

masa, pero después de colocar el resorte entonces existe una deformación inicial pasando a

la posición P2 en θ s. Antes de la perturbación existe un equilibrio estático tal que:

mgr =kxsa. Ahora, después de la perturbación se tiene que:

Pero como los términos mgr y kxsa son constantes entones el primer término de la ecuación

desaparece y además como x = asen θ , se tiene que Mp = ka2sin(θ )cos(θ +θ s). Como para

ángulos pequeños sin θ ≈ θ y cos(θ + θs) ≈ 1. Se tiene que Mp = ka2θ; por lo tanto la

constante elástica equivalente torsional para este caso será kτ = M/θ

kτ e =− ka2

Aprovechando los resultados previamente expuestos se puede mencionar que cuando

un sistema está estático y uno de sus elementos elásticos este deformado (deformación

estática), entonces el efecto de la(s) masa(s) causantes de dicha deformación no es

considerado en el análisis dinámico ya que es compensado con el efecto de los elementos

elásticos previamente deformados ya que pasarían como parámetros constantes en la

ecuación dinámica y estos se eliminarían. A esto se le conoce como la condición de

deformación estática.


50

2.2 ELEMENTOS AMORTIGUADORES

La pérdida de energía en los sistemas siempre esta presente ya sea por las

características propias de un material o la combinación de elementos, o bien por la

existencia de un elemento amortiguador, de aquí que se clasifiquen como:

1. Amortiguamiento coulomb

2. Amortiguamiento de viscoso

3. Amortiguamiento de histéresis

El amortiguamiento de coulomb se presenta mediante el rozamiento seco entre de la

superficie de dos elementos. La fuerza del amortiguador del tipo de coulomb es igual al

producto de la fuerza normal y el coeficiente de fricción independiente de la velocidad una

vez que inicie el movimiento.

El amortiguamiento del tipo histéresis se presenta cuando un material es deformado,

entonces la energía es absorbida y desplazada por el material.

El amortiguamiento del tipo viscoso ocurre cuando un componente del sistema esta

en contacto con otro a través de un medio de fluido viscoso, en donde el amortiguamiento es

el resultado de la fricción viscosa entre el fluido y el componente, en estos casos

generalmente la fuerza es directamente proporcional a la velocidad, por lo tanto para

eliminar esta proporcionalidad se agrega un término proporcional que en este caso

llamaremos coeficiente de amortiguamiento c y cuya unidad es (Ns)/m.

fd = c x …….(2.7)

En donde:

fd es la fuerza del amortiguador en N, c es el coeficiente de amortiguamiento en (N-

s)/m.

La Figura 2. 18 muestra la simbología de un amortiguador y el comportamiento

lineal entre la fuerza aplicada y la velocidad.


51

Figura 2.18 Relación proporcional y constante de amortiguamiento

Ahora considere el caso de un amortiguamiento angular en donde el momento

aplicado es directamente proporcional a la velocidad angular como se muestra en la Figura

2.19.

Figura 2.19 Amortiguamiento torsional

Por lo tanto, el amortiguamiento angular tendrá un coeficiente de amortiguamiento

torsional cτ , por lo tanto la relación entre el momento y la velocidad angular esta dada por:

•

Md = cτθ ……( 2.8)

2.2.1. Elementos amortiguadores equivalentes.

Se puede hacer uso de los conceptos vistos en el apartado elementos elásticos

equivalentes para definir equivalencias en los amortiguadores. En resumen se puede

establecer los siguientes:

- Elementos amortiguadores en serie.

Dos o más elementos amortiguadores están en serie si la fuerza aplicada en un


52

extremo se transmite en la misma proporción en cada uno de ellos (Figura 2.20).

Figura 2.20 Amortiguadores en serie

En términos generales, el coeficiente de amortiguamiento equivalente de arreglos en

serie estará dado por

……( 2.9)

-Elementos amortiguadores en paralelo

Dos o más elementos amortiguadores están en paralelo si fuerzas distribuidas en

ellos producen la misma velocidad (Figura 2.21) .

Figura 2.21 Amortiguadores en paralelo

En términos generales para n elementos amortiguadores en paralelo constante elástica

equivalente esta dada por:

…..( 2.10)

-Acoplamiento amortiguador disco

Considere un acoplamiento entre un amortiguador y un disco como se muestra en la

Figura 2.22. Es fácil establecer un amortiguamiento equivalente ya que la velocidad en la

periferia del disco es v= ωr, donde v es la velocidad lineal, ω es la velocidad angular, como

la fuerza del amortiguador será:


53

Como el momento del amortiguador M=f x r, se tiene que el amortiguamiento torsional

equivalente será cτ= M/θ, es decir

cτ = cr2

Figura 2.22 Acoplamiento amortiguador – disco(a) y su equivalente(b)

2.3 ELEMENTOS INERCIALES

La inercia forma parte de un sistema vibratorio ya sea como elemento o como parte de

las propiedades de alguno de ellos., más sin embargo es común despreciar la masa de los

elementos elásticos ó amortiguadores por lo que solo se enfocará a la masa como un

elemento de un sistema vibratorio. Las unidades de la masa en el sistema métrico es

kilogramo (kg) y en el sistema ingles el slug.

En algunos casos en el modelado matemático las masas pueden representarse

indistintamente de su forma como solo una partícula, sobre todo si el movimiento es lineal

ya que las partículas se desplazan con las mismas características de desplazamiento,

velocidad y aceleración. En otros casos es necesario representarla tal y cual su forma ya

que cada una de las partículas tienen características diferentes, por ejemplo en la Figura

2.23 en el caso (a) el resorte se supone que se coloca en una línea simétrica, es decir, pasa

por el centro de gravedad, por lo tanto todas las partículas se mueven igual y puede ser

representada como una masa puntual; pero en el caso (b) la masa además de moverse

verticalmente tendrá a girar por lo que las partículas se mueven indistintamente y no puede

ser representada como una partícula. Para el caso (c) la masa esta pivoteada en p por lo


54

tanto las partículas tendrán diferentes características de desplazamiento y no puede ser

representada como una partícula.

Figura 2.23 Representaciones del modelado de la inercia

El caso en que la masa tenga que ser representada tal y cual su geometría es

necesario conocer un parámetro que interviene en el análisis de sistemas vibratorios y se le

conoce como momento de inercia de masa. El momento de inercia de masa J se define

como:

Este depende de la geometría de la pieza así como de la masa; puesto que una masa

se puede pivotear en diferentes puntos, en el apéndice ¿? viene una tabla de momentos de

inercia de masa de algunos cuerpos. En ocasiones resulta necesario para análisis

posteriores encontrar el momento de 0inercia en puntos diferentes al del centro de

gravedad. En la literatura del tema existen tablas en las que se muestran la forma de

calcular el momento de inercia de masa de diferentes cuerpos pero generalmente están

dadas en el centro de gravedad, por lo tanto será útil encontrar una forma de obtener dicha

inercia pero en un punto diferente al centro de gravedad. El teorema de los ejes paralelos

resuelve este problema y establece:

……( 2.11)

Esta ecuación se puede mencionar como sigue: El momento de inercia de masa de

un cuerpo en un punto p (Jp) en un eje determinado es igual al momento de su centro de


55

gravedad paralelo al mismo (Jcg) eje, más un término de traslado (md2), donde m es la

masa y d es la distancia entre estos dos ejes. Al final del capítulo se presenta una tabla de

los momentos de inercia de algunos cuerpos.

La inercia puede manifestarse como movimiento inercia lineal y/o inercia angular.

Para el caso en que se disponga de un movimiento lineal, la fuerza inercial esta dada por:

Donde:

fm es la fuerza inercial en N,

m la masa en kg y

x es la aceleración.

Para un movimiento angular se tiene:

Donde:

Mp es el momento inercial en el pivote, Jp es el momento de inercia en el pivote y θ es la

aceleración angular.

2.3.1. Inercia equivalente

Al igual que los elementos elásticos es posible encontrar una representación de la

masa de algunos elementos como una masa equivalente. Para ello es necesario siempre

definir: equivalente a que?, en estos casos generalmente se establece una coordenada de

posición en la cual se hace referencia al movimiento y luego se analiza el efecto de todas las

masas en ese punto. Cuando se establece una coordenada de movimiento lineal es común

hablar solo de “masa equivalente”, no así en movimiento angular donde se habla de

inercia. Este procedimiento se explicará más adelante en el capítulo 2 en el apartado de

métodos energéticos: sistemas equivalentes.

Es posible encontrar una inercia equivalente para 2 más masas si se presenta una

configuración como el que se muestra en la Figura 2.24, en donde la aceleración es la


56

misma pero las fuerzas inerciales son diferentes en cada elemento.

Figura 2.24 Inercia paralelo

Para la masa m1 se tiene que F- F12=m1a, mientras que para la masa m2 se tiene que

la fuerza F21 = m2a. Agrupando estas dos ecuaciones se tiene que F = m1a + m2a, por lo

tanto la masa equivalente será me= F /a

me = m1 + m 2 +…..+ mn

-Acoplamiento masa-disco y masa-palanca

Al igual que en los elementos elásticos y amortiguadores es posible encontrar una

inercia equivalente para algunos tipos de acoplamientos como se muestra en la Figura 2.25.

El objetivo es representar estos elementos como una inercia equivalente en el pivote.

Figura 2.25 Acoplamiento masa-disco y masa-palanca

Considere primero el caso del acoplamiento masa-disco, sea p el pivote del disco el

momento inercial en dicho pivote será como , se tiene que la inercia

equivalente es

Ahora considere el caso de la palanca, recordando las suposiciones vistas en el caso

del elemento elástico-palanca, se considera que el efecto horizontal de la masa es

despreciable y el efecto vertical es aproximado a:


57

,

Por lo tanto la masa equivalente será idéntica al de la ecuación 2.11.

Es importante evitar la confusión entre el efecto de la inercia y el efecto del peso.

Según la condición de deformación estática dice que la masa de un cuerpo no se

considerará en el análisis dinámico si este inicialmente deforma a un elemento elástico

puede confundir al no considerar la inercia del sistema.

Por ejemplo, considere el sistema mostrado en la Figura 2.26. Si se desprecia la

masa de la varilla que sirve como palanca, se puede observar que inicialmente la masa m

deformará al resorte, por lo tanto el sistema pasaría a su posición de equilibrio estático,

aquí el momento externo de dicha masa M = mgr no se considerará en análisis dinámicos,

pero la inercia equivalente Je = mr2 si se considerará ya que no depende de la condición de

deformación estática.

Figura 2.26 Efecto de orientación del peso y la inercia

2.4. EJERCICIOS

E 2.1 Discuta en grupo el siguiente cuestionamiento. Si los resortes en realidad no son

lineales, ¿ Por que confiar en las balanzas de medición que usamos en los

supermercados?.

E 2.2 Respecto al centro de masa, pida a las personas que se sientes completamente

ergidas sobre una silla y solicite que se levanten sin agarrarse de nada ni enderezar

la cabeza. ¿Lo lograron?, ¿qué fenómeno ocurre?.

E 2.3 Realizar una investigación técnica acerca de los resortes y que incluya tablas.


58

E 2.4 Realizar una investigación técnica acerca de los amortiguadores y que incluya

tablas.

E 2.5 Realizar una investigación acerca de los amortiguadores magnetoreológicos.

E 2.9 Si un resorte se parte justo a la mitad, ¿cuál deberá ser la constante elástica de

cada uno de los resortes?

E 2.10 Si se parte un resorte a la mitad y cada uno de ellos se unen e serie, ¿cambiará la

constante elástica?


59

CAPÍTULO 3

VIBRACIÓN LIBRE DE SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD ALREDEDOR DEL PUNTO DE EQUILIBRIO

Todo elemento ó sistema que posea características inerciales y elásticas es capaz de vibrar

ya sea por el resultado de una excitación instantánea (vibración libre) ó permanente

(vibración forzada). Esta consideración es de gran importancia en el estudio de las

vibraciones en maquinaria ya que uno de los criterios a seguir en el análisis de vibración es

determinar si dicha vibración es producto de una excitación forzada o por un fenómeno

natural conocido como resonancia, en tal caso es importante determinar las características

naturales de la vibración y que es conocida precisamente como la frecuencia natural.

Existen diferentes métodos y formas para determinar la frecuencia natural de

elementos o sistemas vibratorios, algunos de ellos son analíticos otros experimentales y en

algunos caos por la combinación de ambos. En este capítulo se presentan algunos métodos

analíticos que permita bajo ciertas condiciones representar un sistema vibratorio en un

modelo simple que facilite su análisis y permita un estudio detallado, entre ellos el cálculo

de la frecuencia natural.

Este modelo consiste en un sistema masa – resorte ó un sistema masa resorte-

amortiguador, de un grado de libertad y en la que no se ve afectado por fuerzas externas

salvo la excitación; además se considerará que el sistema presenta oscilaciones alrededor

del punto de equilibrio con el fin de facilitar el análisis, esto al considerarlo como un

sistema lineal. Este modelo aunque sencillo es basto y suficiente para comprender muchos

de los fenómenos relacionados con las vibraciones mecánicas en maquinaria industrial.

Objetivo general. Establecer las ecuaciones matemáticas (modelo matemático) que

describen el comportamiento de un sistema vibratorio libre de un grado de libertad

amortiguado y no amortiguado.


60

3.1. VIBRACIÓN LIBRE O AMORTIGUADA

Aunque la perdida de energía en sistemas vibratorios siempre esta presente, existe

ocasiones en las que la frecuencia de la vibración libre conocida como frecuencia natural

se ve casi inalterada al despreciar el amortiguamiento, entonces se puede eliminar este

efecto y considerarlo como un sistema sin amortiguamiento. El resultado es un modelo

simple de analizar y que además proporciona una serie de conclusiones importantes.

El cálculo de la frecuencia natural es de gran importancia ya que nos permite

conocer la frecuencia a la cuál un sistema no debe ser excitado porque aparecería el efecto

de la resonancia manifestándose como grandes amplitudes de vibración.

Por otro lado, puesto que un sistema vibratorio tiene tantas frecuencias naturales

como sea el número de grados de libertad, en este caso nos enfocaremos solo al caso de un

sistema de un solo grado de libertad y calcular entre otras cosas la frecuencia natural o de

resonancia.

3.1.1. Determinación de la ecuación diferencial

Considere el modelo mas simple de un sistema no forzado y sin amortiguamiento con

movimiento lineal que consta de una masa de masa m en Kg o slug y un resorte de rigidez k

en N/m ó lb/pie en cualquiera de las representaciones como se muestra en la Figura 3.1.

Figura 3.1 Modelo m-k libre

Aunque los modelos representativos de la Figura 3.1 se componen de los mismos

elementos existen unas diferencias debido a su condición inicial y que conviene analizarlas,

para el caso (b) el resorte inicialmente está inicialmente deformado debido a el peso, a esto


61

se le conoce como deformación estática, esto no ocurre para el caso (a), sin embargo el caso

(c) en cierta manera es una combinación de ambos. Sin embargo, puesto que el objetivo

principal es encontrar una expresión para determinar la frecuencia natural no

amortiguada*, se demostrará más adelante que ésta solo dependerá de los parámetros de la

masa m y de la rigidez k y no de la forma en que se coloquen.

* Note que se habla de frecuencia natural no amortigu ada, es decir cuando no interviene la fricción.

Considere primero el caso más simple de la Figura 3.1 Modelo m-k libre el caso (a)

en donde si el sistema se perturba como se muestra en la Figura 3.2 (a), entonces después

de esta perturbación el sistema oscilara sin detenerse ya que no existe amortiguamiento.

Figura 3.2 Análisis dinámico de un sistema libre no amortiguado, caso 1

Justo después de la perturbación, un análisis dinámico se muestra en la Figura

3.2(c) en donde kx denota la fuerza elástica y denota la fuerza inercia4l que esta a 180º

(ver Figura 1.4). Por lo tanto:


62

Esta última representa la ecuación diferencial del movimiento libre amortiguado

para esta consideración.

Ahora considere el caso de la Figura 3.1 Modelo m-k libre (b), para esta situación

existen dos posibilidades de análisis, una considerando el momento justo en que se coloca la

masa, y otra después de que intencionalmente se puso en equilibrio el resorte, es decir, en

que existe deformación estática.

Considerando primeramente el momento justo en que se coloca la masa como se

muestra en la Figura 3.3 y para facilitar el análisis considere el resorte inicialmente no

deformado y que se coloca una masa con velocidad inicial cero, en ese instante se suelta la

masa y el sistema comienza a vibrar sin detenerse.


Justo después de soltar la masa se tiene:

Esta última ecuación denota la ecuación diferencial del movimiento para esta

configuración.

Ahora considere el caso en que intencionalmente se pone en equilibrio estático el

resorte y la masa como se muestra en la Figura 3.4 (b), posteriormente una perturbación

instantánea mueve el sistema una distancia x y en ese instante se suelta el sistema.


63


Un análisis dinámico después de la perturbación y sabiendo que en del equilibrio

estático mg = kxs se tiene:

Por último considere el caso de la Figura 3.1 (c), es fácil suponer que bajo los

conceptos vistos con anterioridad y girando las coordenadas en el plano inclinado la

ecuación diferencial es idéntica al de la Figura 3.2 por lo tanto queda resuelto también este

caso.

3.1.2. Modelo representativo y cálculo de la frecuencia natural

Las ecuaciones diferenciales vistas en los apartados anteriores se pueden expresar de dos

maneras, la primera de la forma:

…….( 3.1)

Cuya solución para condiciones iniciales igual a cero es:

……( 3.2)

Donde:

A = mg / k


64

ω n =

Y la otra ecuación diferencial es:

……(3.3)

y que tiene una solución de la forma:

….. (3.4)

Donde:

A = x (0) que es la deformación inicial* y el término

, donde es la velocidad inicial.

* Debe tener cuidado de no confundir la deformación inicial con la deformación estática.

Puesto que el interés es buscar una expresión para determinar la frecuencia natural

de un sistema libre no amortiguado, se tomará la ecuación 3.2 como el modelo

representativo, para ello el caso en el que el peso interviene (Figura 3.1 (b)), se considerará

que el análisis en el que esta inicialmente deformado el resorte (Figura 3.4); para ello se

define lo siguiente:

Condición de deformación estática. Si en el equilibrio estático existe un elemento elástico

deformado (deformación estática) entonces en el análisis dinámico la(s) masa(s) que

produjeron dicha deformación no serán considerados ya que se compensan con el efecto del

elemento elástico en la deformación inicial.

Lo anterior quiere decir que si inicialmente una masa deforma a un elemento

elástico, entonces no será considerada en la ecuación diferencial.

La ecuación 3.2 además se puede escribir como:

……..(3.5)

Donde:


65

X =A2+ B 2 y φ=tan

-1 (B/A) (ver Apéndice A.1.1)

Al analizar el término que esta dentro del valor angular coseno se tiene que si ωn

esta en rad/s entonces la ωn es la frecuencia de la vibración libre, es decir, la frecuencia

natural:

……(3.6)

Por otro lado, haciendo uso de los criterios anteriores se puede expresar un modelo

representativo de un sistema con movimiento angular como el que se muestra en la Figura

35, donde kτes la constante elástica torsional en Nm/rad y p es el pivote de la masa cuyo

centro de gravedad esta en c.g.

Figura 3.5 Modelo m-k libre angular

En este caso se observa que en la condición estática, el resorte se deformaría a

manera que el momento generado por el peso es igual el de la deformación estática. Usando

la segunda ley de Newton para el movimiento angular se tiene que:

Donde:

Jp es el momento de inercia de la masa con respecto al pivote, de manera que usando el

teorema de los ejes paralelos


66

Jp = Jcg + md2 ……. (3.7)

y la frecuencia natural en rad/s estaría dada por:

……(3.5)

Ejemplo 3.1

El sistema mostrado en la figura consta de dos resortes de igual constante elástica

de 50 N/m, la masa de 8 kg reposa sobre una superficie lisa sin fricción, determine la

frecuencia de la vibración libre.

Solución:

Para solucionar el problema primero se giran las coordenadas, puesto que se tiene

que los dos resortes están en paralelo lo primero es obtener una equivalente entre ellos,

es decir, Ke = k + k, posteriormente usando la formula de la frecuencia natural

para k=50 N/m y m=8 kg. Se tiene que ωn = 3.53 rad/s, para esta frecuencia se tiene que

período natural es Tn = 2π / ωn = 1.77 s.

Una simulación con el programa Working Model confirma los resultados


67

Figura 3.6 Simulación en WM del ejemplo 3.1

3.2 VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA

Después de estudiar el modelo representativo de un sistema libre sin amortiguamiento

el paso siguiente es ampliar estos conceptos al estudio de un modelo en el que el

amortiguamiento esta presente, el amortiguamiento en un sistema vibratorio esta presente

ya sea por la naturaleza propia de alguno de sus elementos o bien por la presencia de un

elemento amortiguador.

Uno de los tipos de amortiguamiento ampliamente usados para representar la pérdida

de energía en sistemas vibratorios es el del tipo viscoso, este tipo de amortiguamiento tiene

la característica de que la fuerza ejercida por el mismo es directamente proporcional a la

velocidad, de manera que un amortiguador de este tipo posee una constante de

amortiguamiento al que llamaremos c; por lo tanto la fuerza del amortiguador fd esta dado

por

Donde:

es la velocidad en un instante.

Considere el modelo representativo de un sistema libre amortiguado como el que se muestra

en la figura 3.7


68

Figura 3.7 Modelo libre amortiguado

Usando el procedimiento analítico usado para determinar la ecuación diferencial de

un sistema libre no amortiguado se puede reescribir la ecuación 3.5 para representar el

modelo libre amortiguado de la manera:

……( 3.8)

Aquí se puede observar que aparece la fuerza inercial , la fuerza del amortiguador

y la fuerza elástica kx. La solución de la ecuación diferencial es de la forma

cuadrática: (ver apéndice ¿¿)

Donde s1 y s2 son de la forma:

Esta última expresión muestra que la solución de la ecuación diferencial

3.8 dependerá del valor del término de la raíz cuadrada, de aquí que los sistemas

amortiguados puedan clasificarse en diferentes tipos de movimiento como se muestra en la

tabla 3.1:

Tabla 3.1. Diferentes tipos de movimiento


69

La solución es una solución particular y a continuación se presenta

Caso1:Sobreamortiguado(ζ>1)

Cuando un sistema tiene tanto amortiguamiento tal que c2/4m

2 > k/m, entonces se dice

que es del tipo de movimiento sobreamortiguado, en este caso la solución de la ecuación 3.8

es de la forma:

…………….(3.9)

Donde:

x(0) se refiere al desplazamiento inicial (no a la deformación estática), x’(0) a la velocidad

inicial, ωn a la frecuencia natural no amortiguada y t es el tiempo.

El comportamiento de este tipo de sistemas se muestra en la Figura 3.8 en donde se

observa que el sistema no vibra y que además teóricamente nunca llega al equilibrio.

Figura 3.8 Comportamiento de un sistema sobreamortiguado


70

Son pocos los sistemas vibratorios con esta característica, pero se puede mencionar

el mecanismo de retroceso automático de una puerta como se muestra en la Figura 3.9,

después de la apertura el sistema toma un tiempo considerable en regresar pero sin vibrar.

Figura 3.9. Ejemplo de un sistema sobreamortiguado

Caso2.Críticamente amortiguado(ζ=1)

Cuando el amortiguamiento es tal que c2/4m

2 = k/m, entonces se dice que el sistema

esta en un punto crítico y quiere comenzar a vibrar pero no vibra aún como se muestra en

la Figura 3.10, este tipo de movimiento se caracteriza por que el sistema busca el equilibrio

en un menor tiempo y no vibra.

Figura 3.10. Comportamiento de un sistema críticamente amortiguado

La solución particular de la ecuación 3.8 es de la forma

….( 3.10)

Las constantes A y B dependen de las condiciones iniciales del movimiento y estan

expresadas como:


71

…..(3.11)

x(0) y x’(0) son el desplazamiento inicial (no la deformación estática) y la velocidad inicial

respectivamente, ω n es la frecuencia natural no amortiguada y el término ζ se le conoce

como el factor o la razón de amortiguamiento y esta definida como:

……(3.12) Donde:

c es el coeficiente de amortiguamiento y cc se le conoce como el coeficiente de

amortiguamiento crítico, este último termino no es un parámetro físico del sistema, si no un

estimado del valor del amortiguador en función de la masa y el amortiguador tal que el

sistema sea críticamente amortiguado, por lo tanto si en c2/4m

2 = k/m se hace c = cc, se

tiene que el coeficiente de amortiguamiento crítico será:

…... (3.13)

Caso3. Subamortiguado(0<ζ <1)

El tipo de movimiento amortiguado que más se presenta en los sistemas vibratorios

es aquel en el que existe poco amortiguamiento tal que c2/4m

2 < k/m. En este caso el sistema

si vibra y el oscilaciones son disminuidas producto del amortiguamiento del sistema como se

muestra en la Figura 3.11


72

Figura 3.11. Comportamiento de un sistema subamortiguado

La solución de la ecuación diferencial 3.8 para este caso es de la forma

…………..(3.14)

Donde:

X0 y φ son valores que dependen de las condiciones iniciales del movimiento y estan

expresadas como:

Donde:

Falta por analizar un parámetro de suma importancia y que es ωd , este resulta ser la

frecuencia natural del sistema amortiguado y es diferente a la ωn, de hecho, estos dos

términos están relacionado por:

……(3.15)

En los sistemas subamortiguados existe una forma de medir la pérdida de energía,

este método se le conoce como el decremento logarítmico δ, el decremento logarítmico se


73

define como:

…….( 3.16)

Donde el término xi/xi+1 se le conoce como la relación de dos máximos consecutivos como

se muestra en la Figura 3.12. Es decir estos máximos consecutivos pudieran ser xi/xi+1 =

x1/x2 = x2/x3

Figura 3.12. Decremento logarítmico

Para el caso en que se conozcan los dos máximos no consecutivos se tiene que:

……( 3.17)

Donde xi /xi+n es la relación de dos máximos no consecutivos y separados a n ciclos.

Para el caso en que no se conozca el número de ciclos entre dos máximos sino bien,

que estos estan separados a un tiempo en t segundos, entonces el decremento logarítmico

quedará expresado como:

…..( 3.18)


74

Por otro lado, el decremento logarítmico además puede expresarse en función del

factor de amortiguamiento ζ

…..( 3.19)

Ejemplo 3.2

Un sistema vibratorio consta de una masa de 10 kg. Y dos resortes conectados en

paralelo de 60 N/m de rigidez cada uno, el factor de amortiguamiento es de 0.25.

Determine: a) La frecuencia natural amortiguada y no amortiguada, b) El coeficiente de

amortiguamiento crítico y real y c) La relación de dos amplitudes máximas consecutivas.

Solución:

Primero se obtiene la constante equivalente de los dos resortes en paralelo, es

decir:

Ke = k1 + k2 = 120 N/m

Por lo tanto la ecuación diferencial del movimiento amortiguado quedará

expresada como:

La frecuencia natural amortiguada y no amortiguada serán:

Ahora se obtendrá el coeficiente de amortiguamiento crítico y real.


75

Para determinar la relación de dos amplitudes máximas consecutivas se hará uso

de la ecuación 3.19 para determinar primeramente el decremento logarítmico

Por lo tanto

Para comprobar los resultados en simulación primero se determina el período

natural amortiguado Td = 2π/ωd = 1.87 s. y suponiendo una perturbación inicial xi =

0.8175 y un máximo consecutivo sería xi+1 = 0.8225 / 5.0647 = 0.162

Figura 3.13 Simulación en Working Model del ejemplo 3.3

3.3 MÉTODOS DE ANÁLISIS

Las figuras 3.1 y 3.5 representan el modelo más simple de un sistema vibratorio ya sea

sin y con amortiguamiento respectivamente, sin embargo la mayoría de los sistemas

vibratorios involucran elementos inerciales, elásticos y amortiguadores colocados ó

dispuestos de una forma en la que aparentemente nada tiene qu+e ver con alguno de estos

modelos; pero resulta ser que existen métodos analíticos que permiten bajo ciertas


76

condiciones representar dichos sistemas como un modelo equivalente a los mostrados en las

figuras 3.1 y 3.5 y así hacer uso de las ecuaciones vistas en los apartados anteriores para

determinar entre otras cosas, la frecuencia de resonancia, es decir, la frecuencia natural.

Estos métodos generalmente toman diversos criterios para el uso de su metodología,

sin embargo se basan prácticamente en dos cuestionamientos: a) existe o no

amortiguamiento y b) que tipo de movimiento(s) existe(n). En base a esto se procede hacer

uso de alguno de ellos.

Lo anterior no indica que si un sistema posee ciertas características forzosamente

tendrá que hacerse uso de un método en especial para su análisis, más bien indica que este

solo facilitará dicho análisis.

Primero se presentan métodos tradicionales en la literatura como lo es el método de

pares y el método de energías, posteriormente se proponen dos métodos replanteados de los

dos anteriores, estos facilitarán y agilizarán la solución de problemas y que se llaman el

método de elementos equivalentes y el método de sistemas equivalentes.

El método de pares se basa en la segunda ley de newton para movimiento angular con

el fin de modelar matemáticamente un sistema vibratorio con movimiento angular

alrededor de un punto fijo y así encontrar un modelo equivalente simple.

El método de energías se basa en la ecuación de la conservación de la energía con el

fin de modelar matemáticamente un sistema vibratorio con movimiento lineal, angular ó

ambos y así encontrar un modelo equivalente simple.

El método de elementos equivalentes con el fín de modelar matemáticamente un

sistema vibratorio y cuyos elementos pueden expresarse por una representación equivalente

individual y así encontrar un modelo equivalente simple.

El método de sistemas equivalentes se basa en la ecuación del trabajo y energía con el

fín de modelar matemáticamente un sistema vibratorio con movimiento lineal, angult o

ambos y así encontrar un modelo equivalente simple.


77

Tal vez se preste a confusión el porque del uso de varios métodos, pues bien, resulta

que el método de Newton tanto para movimiento lineal como angular es la base del análisis

de sistemas dinámicos y no presenta limitantes, es decir, pueden ser usados en cualquier

análisis; mientras tanto los demás métodos son un derivado de estas expresiones y facilitan

el análisis bajo ciertas condiciones, por ejemplo los métodos energéticos facilitan el análisis

de sistemas con combinación de movimientos.

Los primeros métodos de momentos y energías son comunes en la literatura de

vibraciones, los de elementos equivalentes y sistemas equivalentes, son propuestos para

facilitar considerablemente el análisis de los sistemas dinámicos, estos pueden ser aplicados

sin problema a sistemas de un grado de libertad, pero para sistemas de varios grados de

libertad se limita considerablemente y por lo tanto hay que hacer uso de los métodos de

Newton.

Existe un método llamado el método de Lagrange que se utiliza en sistemas de varios

grados de libertad, ya que aquí es donde tiene su potencialidad.

Por último, independientemente del método, todos tienen como objetivo llegar a una

expresión matemática y que es precisamente la ecuación diferencial del movimiento libre

pasando solo por diferentes procedimientos, sin embargo, todos se orientan a seleccionar

una coordenada de referencia para la cuál hacen uso de las mismas ecuaciones algebraicas,

geométricas y/o procedimientos de linealización para expresar todas las coordenadas del

movimiento de los diferentes elementos en términos de esta coordenada, esto se debe a que

en la ecuación diferencial del movimiento se hace referencia a la aceleración, velocidad y

desplazamiento de una misma coordenada.

Obviamente el seleccionar en un sistema diferentes coordenadas como referencia se

tendrán ecuaciones diferenciales y que en apariencia resultan ser diferentes, sin embargo,

representan el comportamiento del mismo sistema solo que en diferente coordenada, por lo

tanto la frecuencia natural no cambia con el solo echo de seleccionar diferentes

coordenadas como referencia.


78

CAPÍTULO 4

BALANCEO

El balanceo es la técnica de corregir o eliminar fuerzas o momentos generadores de

perturbaciones vibratorias. Los esfuerzos sobre el bastidor de un mecanismo, o sobre los

soportes pueden variar de manera significativa durante un ciclo completo de operación y

provocar vibraciones que a veces pueden alcanzar amplitudes peligrosas. Incluso aunque

no lo fueran, las vibraciones someten a los cojinetes a cargas repetidas que provocan el

fallo por fatiga de las piezas. Se hace entonces preciso eliminar o reducir las fuerzas de

inercia que producen estas vibraciones.

Cualquier eslabón o elemento que se encuentre en rotación pura puede, teóricamente, estar

perfectamente equilibrado estática y dinámicamente para lo que hay que eliminar todas las

fuerzas y momentos generadores de vibración. Para lograr un equilibrio completo se

requiere establecer el equilibrio dinámico; sin embargo, en algunos casos, el estático puede

ser un sustituto aceptable y generalmente es más fácil de alcanzar.

Las variaciones debido a las tolerancias de producción de las partes en rotación hacen que

haya algún pequeño desequilibrio en cada una. Por lo tanto, en cada parte se deberá aplicar

algún procedimiento de balanceo. La magnitud y localización de cualquier desequilibrio

pueden ser determinadas con bastante exactitud, y compensadas al agregar o quitar

material en las ubicaciones correctas. El balanceo se ha tornado preciso, rápido y fácil para

el usuario y las ventajas de realizarlo superan ampliamente el esfuerzo y tiempo necesarios

para reparar un rotor.

Las turbinas son balanceadas durante el proceso de manufactura y deben ser balanceadas

nuevamente después de cualquier montaje o desmontaje de partes rotativas, ya sea por

causas de mantenimiento de rutina o por daños. Los resultados del balanceo deben ser

comparables, sin importar a dónde se ha balanceado un módulo y quién lo ha balanceado.

La calidad del balanceo depende de tres factores: la capacidad de la máquina balanceadora,

la configuración del rotor, y el diseño de las herramientas.


79

4.1. DESEQUILIBRIO

La condición de desequilibrio estático se da cuando el eje principal de inercia del rotor se

encuentra desplazado paralelamente al eje del árbol, figura 4.1.

Figura 4.1. Desequilibrio estático

Un par desbalanceado se presenta cuando el eje principal de inercia del rotor y el eje del

árbol intersecan en el centro de gravedad del rotor pero no son paralelos, figura 4.2.

Figura 4.2. Par desbalanceado

El caso más común de desequilibrio es el dinámico. Esto ocurre cuando el eje principal no

es paralelo ni interseca en el centro de gravedad de la pieza al eje del árbol. Este tipo de

desequilibrio es una combinación de los anteriores:


80

Figura 4.3. Desequilíbrio dinámico

4.2. EQUILIBRADO ESTÁTICO

La configuración mostrada en la figura 4.4. se compone de una combinación de un disco y

un eje, que descansa sobre rieles rígidos, de manera que el eje (que se supone perfectamente

recto) pueda rodar sin fricción. Se fija un sistema de referencia xyz en el disco que se mueve

con él, figura 4.4.

Figura 4.4.Equilibrado estático

Para determinar si el disco está estáticamente equilibrado:

+ Se hace rodar al disco suavemente impulsándolo con la mano.

+ Se deja rodar libremente al sistema eje-disco hasta que vuelve al reposo.

+ Se marca el punto más bajo de la periferia del disco.

+ Se repite la operación siete u ocho veces (dependiendo del nivel de confianza buscado en

los resultados).

+ Si las marcas quedan dispersas al azar en lugares diferentes alrededor de la periferia de

manera equiprobable, el disco se encuentra equilibrado estáticamente.


81

+ Si las marcas tienden a coincidir, el disco se encuentra estáticamente desequilibrado, lo

que significa que el eje del árbol y el centro de masa del disco no coinciden. Esta situación

de desequilibrio se puede visualizar de la siguiente manera: existe una pequeña masa de

desequilibrio (magnitud del desequilibrio) que se encuentra desalineada en relación el eje

del árbol (posición angular). Esta masa, cuando se deja rodar libremente al sistema,

ejercerá un momento sobre el disco que desaparece sólo si la línea de acción de su peso

pasa por el eje del disco. Esto se da cuado dicha masa hipotética está en el punto más bajo

de la periferia del disco (o a 180°, pero ésta es una situación de equilibrio inestable, por lo

que es muy poco probable que ocurra). La posición de las marcas respecto al sistema xy

indica la ubicación angular del desequilibrio pero no su magnitud.

Si se descubre que existe desequilibrio estático, se puede corregir eliminando material

mediante una perforación en las marcas señaladas, o bien agregando masa a la periferia a

180º de la marca.

Como no se conoce la magnitud del desequilibrio, estas correcciones se deberían hacer por

tanteos. Pero si se introduce una masa de ensayo m, se puede determinar la corrección a

introducir en el sistema:

+ Sea A la marca realizada en los ensayos anteriores y A’ el punto situado a 180º, AA’ es la

vertical que pasa por la marca realizada en dichos ensayos.

+ Colocando una masa m en la periferia del disco (de radio r) según una dirección

perpendicular a AA’, el rotor gira un ángulo ϕϕϕϕ, fácil de determinar experimentalmente.

Este ángulo está relacionado con el balance de momentos debido a la masa del desequilibrio

y a la masa de ensayo, es decir, está relacionado con la magnitud del desequilibrio.

+ Para equilibrar el sistema habrá que colocar en A’ una masa m* = m / tanθq


82

Figura 4.5. Equilibrado Estático (disco fino, en un plano)

Si se montan un disco y un eje desequilibrados sobre cojinetes, y se hacen girar, aparecerá

una fuerza centrífuga de inercia mrGω2 como se ve en la figura 4.6.

Figura 4.6. Una fuerza centrífuga de inercia mrGω2

Esta fuerza actúa sobre el eje y aparecen reacciones giratorias en los cojinetes. Se establece

la siguiente notación:

+ m: masa total del sistema.

+ mu: masa no equilibrada.


83

+ k: rigidez del eje (magnitud de la fuerza necesaria para flexionar al eje una distancia

unitaria cuando se aplica en O)

+ c: coeficiente de amortiguamiento viscoso.

Si se selecciona cualquier coordenada x normal al eje, se puede escribir la ecuación de

movimiento y hallar el movimiento del punto O y el ángulo de fase:

……(4.1)

………(4.2)

Si se designa a la excentricidad e = rG , se obtiene la relación de amplitudes de la vibración

del conjunto de disco y eje girando

…..(4.3)

Volviendo a la figura 4.6, si se designa O como el centro del eje en el disco y G como el

centro de masa del disco, y no se considera amortiguamiento, se puede llegar a conclusiones

interesantes al representar gráficamente esta ecuación en la figura 4.7.


84

Figura 4.7. Representación gráfica de la ec. 4.3

En la figura 4.7 también aparece la posición relativa de tres puntos, O, G y el eje de

rotación en la intersección de las líneas de centro de los cojinetes, para distintas frecuencias

de giro. Se ve que la amplitud del movimiento nunca vuelve a ser cero al aumentar la

velocidad del eje, sino que alcanza un valor final de –rG. En este caso el disco se encuentra

girando en torno a su propio centro de gravedad que entonces coincide con la línea central

de los cojinetes.

Los sistemas rotativos estáticamente desequilibrados generan vibraciones indeseables y

reacciones giratorias en los cojinetes. Para resolver este problema, se puede reducir la

excentricidad rG utilizando equipos de equilibrado estático aunque será imposible reducirla

a cero.

4.3. DESEQUILIBRIO Y EQUILIBRADO

La figura 4.8 representa un rotor en el que se podría suponer que se colocan dos masas

iguales m1 y m2 en los extremos opuestos del rotor, y a distancias iguales r1 y r2 del eje de

rotación.

Se puede ver que el rotor se encuentra estáticamente equilibrado.


85

Figura 4.8. Rotor con dos masas: m1 y m2

Si el rotor se hace girar a una velocidad angular, aparecerán actuando las fuerzas

centrífugas m1rωr2 y m2rωr2 , respectivamente, en m1 y m2 sobre los extremos del rotor.

Estas fuerzas centrífugas producirán dos reacciones desiguales en los cojinetes, FA y FB, y

todo el sistema de fuerzas girará con el rotor a la velocidad angular ωrq Se ve que, el rotor

puede estar estáticamente equilibrado y, al mismo tiempo, dinámicamente desequilibrado.

En la figura 4.9, se presentan los dos casos de desequilibrio:

+ En la figura (a), se presenta un eje con desequilibrio estático. Cuando el rotor gira, las

dos reacciones de los cojinetes están en el mismo plano y tienen la misma dirección.

+ En la figura (b), se ve un eje balanceado estática pero no dinámicamente. Cuando el rotor

gira, el desequilibrio crea un par que tiene a voltear el rotor.

Figura 4.9. a) Desequilibrio estático b) Balanceado estáticamente pero no dinámicamente

En el caso más general, la distribución de la masa a lo largo del eje de la pieza depende de

la configuración de la misma, pero también habrá que tomar en consideración los errores

que se hayan podido producir al mecanizar la pieza. También puede provocar otros errores


86

o desequilibrios un calibrado inapropiado, la existencia de chavetas y el propio montaje.

Por consiguiente, una pieza desequilibrada estará casi siempre desequilibrada tanto estática

como dinámicamente.

Para analizar cualquier sistema giratorio, se usan las ecuaciones de equilibrio.

…….(4.4)

Para representar en forma gráfica estas ecuaciones se construye un polígono de fuerzas,

tomando la fuerza centrífuga en la dirección radial y proporcionales al producto m·r (el

factor de proporcionalidad es ω2). El vector mC * RC que requiere el polígono para

cerrarse indica la magnitud y la dirección de la corrección, figura 4.10.

Figura 4.10. Representación gráfica de las ecs. (4.4)

Con respecto a la ecuación de momentos, se toma una suma de momentos de las fuerzas

centrífugas con respecto a algún punto, incluyendo las correcciones, y se construye el

polígono de momentos, tomando como dirección del vector la radial, figuras 4.11 y 4.12.

Esto es:

….(4.5)


87

Figura 4.11. Suma de momentos de las fuerzas centrífugas

Figura 4.12. Polígono de momentos, tomando como dirección del vector la radial

El verdadero diagrama se obtiene haciendo girar 90° este último y escalándolo con ω2. Si

no se hace esto último, el vector de cierre mR IR RR del polígono empleado proporciona de

forma directa, no sólo la magnitud sino la dirección de la corrección requerida para el

plano elegido.

….(4.6)


88

4.4. MAQUINAS DE EQUILIBRADO ESTÁTICO

La máquina para balancear debe indicar, en primer lugar, si una pieza está equilibrada. En

caso de no estarlo, la máquina debe medir el desequilibrio, indicando su magnitud y

ubicación.

Las máquinas para balanceo estático se utilizan sólo para piezas cuyas dimensiones axiales

son pequeñas (disco delgado), como por ejemplo: engranes, poleas, ruedas, levas,

ventiladores, volantes e impulsores. Reciben también el nombre de máquinas de balanceo

en un solo plano. Si se deben montar varias ruedas sobre un eje que va a girar, las piezas

deberán equilibrarse estáticamente de forma individual antes de montarlas.

El equilibrado estático es en esencia un proceso de pesado en el que se aplica a la pieza una

fuerza de gravedad o una fuerza centrífuga. En el conjunto disco-eje ya visto, la

localización del desequilibrio se encuentra con la ayuda de la fuerza de gravedad. Otro

método sería hacer girar al disco a una velocidad predeterminada, pudiéndose medir las

reacciones en los cojinetes y luego utilizar sus magnitudes para indicar la magnitud del

desequilibrio. Como la pieza está girando cuando se realizan las mediciones, se usa un

estroboscopio para indicar la ubicación de la corrección requerida.

Para grandes cantidades de piezas, se puede utilizar un sistema de péndulo como el de la

figura 4.13, el que proporciona tanto la magnitud como la ubicación del desequilibrio y en

el que no es necesario hacer girar la pieza. La dirección de la inclinación da la ubicación

del desequilibrio y el ángulo θr indica la magnitud. En el nivel universal, una burbuja, que

se muestra en el centro, se mueve con el desequilibrio e indica tanto la ubicación como la

magnitud de la corrección que es necesario introducir.


89

Figura 4.13. Sistema de péndulo

4.5. MÁQUINAS DE EQUILIBRADO DINÁMICO

El objetivo del balanceado dinámico es medir el par desequilibrado y agregar un nuevo par

en la dirección opuesta y de la misma magnitud. Este nuevo par se introduce mediante la

adición de masas en dos planos de corrección preseleccionados, o bien, mediante la

eliminación de masas (haciendo perforaciones) en dichos dos planos. Para equilibrar

dinámicamente un rotor, se debe medir la magnitud y ubicación angular de la masa de

corrección para cada uno de los dos planos de corrección. Para ello hay tres métodos de uso

general que son: bastidor basculante, punto nodal y compensación mecánica.

4.5.1. Bastidor basculante

En la figura 4.14, se presenta un rotor a equilibrar montado sobre medios cojinetes o

rodillos que están sujetos a una base soporte o bastidor basculante. El extremo derecho del

rotor se conecta a un motor impulsor por medio de una articulación universal. Existe la

posibilidad de hacer bascular el bastidor alrededor de cualquiera de los dos puntos (pivotes)

que, a su vez, se ajustan para coincidir con los planos de corrección del elemento que se va

a equilibrar.


90

Figura 4.14. Rotor a equilibrar

En el caso de la figura, el pivote izquierdo se muestra en la posición liberada, y el bastidor y

el rotor a equilibrar pueden bascular libremente en torno al pivote derecho. En cada

extremo del bastidor, se sitúan resortes y amortiguadores, y el conjunto constituye un

sistema de un solo grado de libertad. Los resortes y amortiguadores se pueden hacer

ajustables de manera que se pueda hacer coincidir la frecuencia natural del sistema con la

velocidad del motor impulsor. En la figura se muestran también los indicadores de amplitud

de desplazamiento situados en cada extremo del bastidor.

Cuando los pivotes están situados en los dos planos de corrección, se puede fijar cualquiera

de ellos y tomar lecturas de la magnitud y ángulo de ubicación de la corrección. Las

lecturas obtenidas en un plano serán totalmente independientes de las mediciones tomadas

en el otro plano de corrección, porque un desequilibrio en el plano del pivote fijado no

tendrá momento alguno en torno al mismo. En efecto, un desequilibrio con el pivote de la

derecha fijo es un desequilibrio corregible en el plano izquierdo de corrección y produce

una vibración cuya amplitud se mide mediante el indicador izquierdo de amplitud. Cuando

se introduce (o se mide) esta corrección, se libera el pivote de la derecha, se fija el de la

izquierda y se hace otro conjunto de mediciones para el plano de corrección de la derecha,

empleando el indicador de amplitud de la derecha.

La relación ente la magnitud del desequilibrio y la amplitud medida viene dada por:


91

……(4.7)

Donde:

mur es el desequilibrio

m es la masa del conjunto formado el bastidor y el rotor

X es la amplitud del movimiento medida

Esta ecuación muestra que la amplitud del movimiento X es directamente proporcional al

desequilibrio mur. Con respecto al amortiguamiento, en las máquinas balanceadoras, se

introduce el amortiguamiento deliberadamente con el fin de filtrar ruidos y otras

vibraciones que pudieran afectar a los resultados. Además el amortiguamiento ayuda a

mantener la calibración contra efectos de la temperatura y otras condiciones del medio

ambiente. La figura 4.15 muestra que la máquina será más sensible cerca de la resonancia

trω = ωn), puesto que, para un desequilibrio dado, en esta región se registra la máxima

amplitud.

Figura 4.15. Máquina será más sensible cerca de la resonancia ω = ωn

En el esquema de la máquina balanceadora no se incluye un generador de señales

armónicas (senoidales) que se puede conectar al motor impulsor. Si la onda senoidal

generada se compara, con la onda establecida por uno de los indicadores de amplitud se

observa la diferencia de fase que determina la ubicación angular del desequilibrio y que se

mide con un fasímetro


92

La expresión para el ángulo de fase es:

……(4.8)

En el gráfico anterior el parámetro es el amortiguamiento ξ. Esta curva muestra que, en la

resonancia, el desplazamiento va detrás del desequilibrio un ángulo φ = 90°.

4.5.2. Punto nodal

La separación de los planos de equilibrado utilizando un punto de vibración cero o mínima

recibe el nombre de método del punto nodal de equilibrado y se ilustra en la figura 4.16.

Figura 4.16. Método del punto nodal de equilibrado

En la misma, el rotor que se va a balancear se muestra montado sobre cojinetes que están

sujetos a un soporte que recibe el nombre de barra nodal. En principio, se supone que el

elemento ya está equilibrado en el plano de corrección de la izquierda (plano A) y que

todavía existe un desequilibrio en el plano derecho (plano B). Debido a este desequilibrio, se

produce una vibración en todo el conjunto, haciendo que la barra nodal oscile en torno a

algún punto O, ocupando alternativamente las posiciones CC y DD. En ese caso resulta

fácil localizar el punto O, deslizando un reloj comparador (en la figura, indicador de

carátula) a lo largo de la barra nodal y determinando el punto de movimiento cero o de

movimiento mínimo, éste es el punto nulo o nodal. Este punto constituye el centro de

oscilación para un centro de percusión situado en el plano de corrección de la derecha

(plano B).


93

Se ha supuesto como hipótesis de partida que no existe desequilibrio en el plano de

corrección de la izquierda, sin embargo, si existiera algún desequilibrio, su magnitud la

daría el reloj comparador ubicado en el punto nodal que se acaba de determinar. Por lo

tanto, al situar el reloj comparador en este punto nodal, se medirá el desequilibrio en el

plano de la izquierda sin interferencia alguna del que exista en el plano de la derecha. De

manera semejante, se puede encontrar otro punto nodal que sólo mida el desequilibrio en el

plano de corrección de la derecha sin interferencia alguna delque existe en el plano de la

izquierda.

4.5.3. Compensación mecánica

Un rotor desequilibrado situado en una máquina de equilibrado desarrolla una vibración al

girar. Se pueden introducir en la máquina de equilibrar fuerzas equilibrantes en cada plano

de corrección que compensen exactamente las fuerzas que provocan la vibración. El

resultado de introducir estas fuerzas será un rotor que funciona con suavidad. Al detenerse

se miden la ubicación y magnitud de las fuerzas equilibrantes, para obtener la corrección

exacta que se requiere. Este método recibe el nombre de compensación mecánica.

Cuando se utiliza la compensación mecánica, no importa la velocidad del rotor durante el

equilibrado debido a que el equipo estará calibrado para todas las velocidades. El equipo

electrónico es simple, no requiere incluir amortiguamiento y la máquina es fácil de operar

ya que el desequilibrio en ambos planos de equilibrado se mide simultáneamente, y la

magnitud y ubicación se leen directamente.

En la figura 4.17(a) se ve que al observar un extremo del rotor, se ve uno de los planos de

corrección con el desequilibrio que se va a corregir representado con ω· r


94

Figura 4.17.

En la figura 4.17(a) aparecen también dos pesos compensadores. Los tres pesos deben girar

con la misma velocidad angular ω, pero se puede hacer variar la posición relativa entre

ambos pesos compensadores, y en relación con el peso no equilibrado, por medio de dos

controles:

+ El control de magnitud hace variar el ángulo α rentre los pesos compensadotes. Da una

lectura directa cuando se compensa el desequilibrio del rotor.

+ El control de ubicación cambia el ángulo β (posición angular de los pesos compensadores

en relación con el desequilibrio). Cuando se compensa (equilibra) el rotor en este plano, un

indicador en el control señala el desfase angular exacto del desequilibrio.

Si, por ejemplo, la magnitud de la vibración se midiera eléctricamente y se presentara en un

voltímetro, se aseguraría la compensación cuando la manipulación de los controles

permitiera conseguir que la lectura en el voltímetro fuese cero.

4.6. BALANCEO “I N S I T U”

Se puede equilibrar una máquina “in situ”, equilibrando un solo plano cada vez. En tal

caso, sin embargo, los efectos cruzados y la interferencia de los planos de corrección a

menudo requieren que se equilibre cada extremo del rotor dos o tres veces para alcanzar

resultados satisfactorios.

Además, algunas máquinas pueden llegar a necesitar hasta una hora para alcanzar su

velocidad de régimen, y esto introduce más demoras en el procedimiento de balanceado.


95

El equilibrado “in situ” es necesario para rotores muy grandes para los que las máquinas

de equilibrado no resulten prácticas. Incluso, aun cuando los rotores de alta velocidad se

equilibren en el taller durante su fabricación con frecuencia resulta necesario volverlos a

equilibrar “in situ” debido a ligeras deformaciones producidas por el transporte, por

fluencia o por altas temperaturas de operación.

Se han desarrollado métodos de equilibrado en dos planos “in situ” que se pueden expresar

haciendo uso del álgebra compleja y se resuelven con una calculadora programable. En el

análisis que sigue se usarán letras en negrita para representar números complejos:

……..(4.9)

En la figura 4.18, se supone que existen los desequilibrios desconocidos ML y MR en los

planos de corrección izquierdo y derecho, respectivamente. Las magnitudes de estos

desequilibrios son ML y MR y se localizan en los ángulos ΦR y ΦL a partir de la referencia

de la rotación. Una vez que se hayan determinado estos desequilibrios, bastará con localizar

sus negativos en los planos izquierdo y derecho para lograr el equilibrado.

Los desequilibrios giratorios ML y MR producen perturbaciones en los cojinetes A y B. Los

equipos comerciales para equilibrado “in situ” permiten medir las amplitudes y los

desfasajes angulares de estas perturbaciones. Se usará la notación X = X/Φ, con los

subíndices apropiados, para designar estas amplitudes.

Figura 4.18. Rotor con pesos desconocidos ML y MR


96

En el equilibrado “in situ”, se llevan a cabo tres ensayos (Método de las tres carreras):

+ PRIMER ENSAYO. Se miden las amplitudes XA = X A /φ A y XB = X B /φ B en los

cojinetes A y B, debidas sólo a los desequilibrios originales ML = ML /φ L y

MR = MR /φ R

+ SEGUNDO ENSAYO. Se agrega la masa de ensayo mL = m L /θ L al plano de corrección

de la izquierda y se miden las amplitudes XAL = X AL /φ AL y XBL = X BL /φ BL en los

cojinetes izquierdo y derecho (A y B), respectivamente.

+ TERCER ENSAYO. Se elimina la masa de ensayo mL = mL /θ L y se añade la masa de

ensayo mR = mR /θ R en el plano de corrección del lado derecho, midiéndose nuevamente

las amplitudes en los cojinetes: XAR = X AR /φ AR y XBR = X BR /φ BR .

(En las pruebas anteriores, el término “masa de ensayo” significa lo mismo que

desequilibrio de ensayo, si se utiliza una distancia unitaria desde el eje de rotación)

Para desarrollar las ecuaciones para el desequilibrio se define primero el concepto de

rigidez compleja. Se entiende como tal, a la amplitud que resultaría en cualquiera de los

cojinetes debida a un desequilibrio unitario ubicado en la intersección de la marca de

referencia giratoria (desfase nulo) y uno de los planos de corrección. Por tanto, es necesario

encontrar las rigideces complejas (AL, BL) y (AR, BR) debidas a un desequilibrio unitario

ubicado en la intersección de la marca de referencia giratoria los planos L y R,

respectivamente. Conocidas las rigideces, y de acuerdo con los tres ensayos descritos

anteriormente, se podrían escribir las siguientes de ecuaciones complejas:

…………(4.10)

Realizados los tres ensayos, las rigideces serán las únicas incógnitas en estas ecuaciones:


97

………(4.11)

Una vez determinadas las rigideces, y de acuerdo con la definición de rigidez compleja, del

primer ensayo se tiene:

……..(4.12)

Y resolviendo simultáneamente este par de ecuaciones, pueden determinarse los

desequilibrios incógnitas en ambos planos de equilibrado:

……(4.13)

4.7. ROTORES RÍGIDOS Y FLEXIBLES

4.7.1. Rotores flexibles

La dificultad del balanceo de rotores muy grandes recae en el hecho de que se flexionan a

medida que se alcanza la velocidad de servicio. A velocidades bajas (300 -1000 rpm) rotan

con deflexión casi nula y se dice que se encuentran rotando en “modo rígido”. Muchos

rotores no salen del mismo.

Cuando la velocidad de servicio máxima hace que las fuerzas centrífugas sean importantes,

se requieren otras observaciones en el momento del balanceo. Cuando la velocidad de

servicio se acerca a la crítica, se tienen las máximas amplitudes y vibraciones. Dependiendo

de la velocidad, la flexión del rotor será la del primero o segundo armónico (en el segundo

armónico se registran amplitudes menores).


98

Figura 4.19.

De cualquier manera, los rotores flexibles pueden ser balanceados a velocidades bajas

utilizando métodos especiales. Estos rotores se denominan “cuasi rígidos” o clase 2 (los

rotores rígidos son clase 1, y los realmente flexibles son clase 3).

-Rotores cuasi rígidos

Los rotores de turbinas de reacción son flexibles. Generalmente, los rotores flexibles deben

ser balanceados a altas velocidades, sin embargo, los rotores de turbinas de reacción, por

ejemplo, pueden ser balanceados a bajas velocidades, utilizando procesos en los que todas

las partes rotantes individuales son balanceadas antes del montaje. Luego, los módulos

(turbina de baja y compresor, turbina de alta y compresor y ventilador) son balanceados

como componentes y finalmente son montados para formar la turbina completa. Los discos

individuales, sellos y demás partes, son normalmente balanceados en máquinas verticales

de un solo plano (se prefieren las máquinas verticales porque permiten cargar y descargar

las partes más convenientemente)

La norma API 610 7ª Edición describe dos métodos específicos para balancear rotores

grandes y con varios módulos y establece que los elementos rotantes, una vez ensamblados,

pueden ser balanceados dinámicamente en varios planos a velocidades bajas.

Figura 4.20


99

El balanceo secuencial o “Procedimiento A” establece que se deben balancear

dinámicamente los elementos rotantes luego de la adición de no más de dos componentes

principales. El balanceo debe hacerse solamente sobre los elementos agregados.

Correcciones menores de otros componentes pueden requerirse en el ajuste final con las

partes completamente ensambladas. La idea de este procedimiento es eliminar los momentos

internos en el ensamblado del rotor. Al ensamblar las partes sin balanceos intermedios el

resultado puede ser el que se ilustra, con la correspondiente flexión del rotor durante una

velocidad de servicio cercana a la crítica, que provocaría un nuevo desequilibrio. Se busca

también poder realizar el balanceo sin necesidad de contar con una máquina que provea la

potencia necesaria para mover el rotor a ola velocidad de servicio.

Figura 4.21.

El árbol debería ser balanceado antes de comenzar el ensamblado de las piezas, ya que si no

se corre el riesgo de colocar una gran cantidad de masa innecesaria cerca de los apoyos,

como muestra la figura.

Figura 4.22.


100

Lo mismo ocurre con los desequilibrios estáticos del árbol:

Figura 4.23.

El “Procedimiento B” prescribe que todos los componentes importantes deben ser

balanceados antes del ensamblado y no se permiten correcciones en el rotor ensamblado.


101

BIBLIOGRAFÍA

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César Guerra, Miguel Carrola y Jose de J. Vill alobos

F I M E U A N L . 2 0 0 5

2. DISEÑO DE MAQUINARIA

Robert L. Norton

McGraw-Hill. México.

3. Balanceo de ejes.

Andréa Torroba.

U n i v e r s i d a d de B u e n o s A i r e s – F a c u l t a d de I n g e n i e r í a.

2003

vibraciones_mecanicas

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