vibracion

UNIVERSIDAD TCNICA PARTICULAR

DE LOJA

ESCUELA DE INGENIERA CIVIL

MODALIDAD PRESENCIAL

Verificacin de las herramientas de dinmica de estructuras en l VLEE e implementacin del anlisis de sistemas de dos grados de libertad

AUTOR:

Agusto Rodrigo Vin Pelez

DIRECTOR:

Dr. Vinicio Suarez Chacn

Loja-Ecuador

Tesis previa a la obtencin del

ttulo de Ingeniero Civil

CERTIFICACIN

Dr. Vinicio Suarez Chacn,

DIRECTOR DE TESIS

CERTIFICO:

Que he dirigido la presente tesis desde su inicio hasta su culminacin, la misma que se

encuentra cientfica y reglamentariamente en condiciones de presentarse para la graduacin

del postulante.

Por lo expuesto, autorizo su presentacin, disertacin y defensa.

Loja, diciembre de 2009.

_________________________

Dr. Vinicio Suarez Chacn

DIRECTOR DE TESIS

CESIN DE DERECHOS

Agusto Rodrigo Vin Pelez, declaro conocer y aceptar la disposicin del Art. 67 del

Estatuto Orgnico de la Universidad Tcnica Particular de Loja, que en su parte

textualmente dice: Forman parte del patrimonio de la Universidad, la propiedad

intelectual de investigaciones, trabajos cientficos o tcnicos y tesis de grado que se

realicen a travs, o con el apoyo financiero, acadmico o institucional (operativo) de la

Universidad.

__________________________


AUTOR

AUTORA

El proceso de investigacin realizado en la presente tesis como: anlisis, diseos,

verificaciones, comprobaciones, conclusiones y recomendaciones, as tambin como

observaciones son de absoluta responsabilidad del autor.

Adems, cabe indicar que la informacin recopilada para el presente trabajo, se encuentra

debidamente especificada en el apartado de las referencias.

AGRADECIMIENTO

Agradezco primeramente a Dios, por darme la vida y la fuerza espiritual para no desmayar

en mi formacin profesional. A todos los docentes de la Escuela de Ingeniera Civil y

Minas por su valiosa entrega al proceso de mi formacin integral. De manera especial al

Dr. Vinicio Suarez Chacn, quien generosamente me orient para culminar con xito la

presente investigacin. Tambin quiero agradecer a los ingenieros que de alguna u otra

manera me brindaron su apoyo acadmico en la elaboracin de la presente: Ing. Carmen

Esparza, Ing. Santiago Quiones, Ing. Daniel Irene, Ing. Jos Hurtado. Adems a aquellos

profesores que me encaminaron ms de lleno en mi carrera y son aquellos quienes

considero que me han brindado su conocimiento sin egosmo: Ing. Humberto Ramrez, Ing.

Fabin Armijos, Ing. Diomedes Obaco.

A mis compaeros y amigos de los cuales aprend mucho. Finalmente a la Universidad

Tcnica Particular de Loja, por ofrecerme el soporte acadmico, tcnico y humano que

consolid mi formacin profesional.

__________________________


AUTOR

DEDICATORIA

Por el apoyo que he obtenido de ellos no solo en mis estudios, sino tambin el transcurso de

toda mi vida. Dedico mi investigacin a toda mi familia en especial a mis padres: Luis

Vin Jimnez y Angelita Pelez Guamn. Tambin a mis hermanos: Fernando, Vernica,

Rafael, Carmen, Amparito. Finalmente a mis sobrinos Geovanny y Thala, y espero que

todos ellos algn da lo hagan mejor que yo. Con todo mi corazn el fruto de mi

aprendizaje.


RESUMEN

Se inicia el desarrollo de esta investigacin con la revisin de ciertos conceptos sobre

dinmica de estructuras que ayudarn a centrarse ms en el tema de la investigacin.

Seguidamente con el aprendizaje de lenguajes de programacin.

Una vez realizada la fase de revisin de teora, se procede a la verificacin mediante el uso

del software OpenSees, NONLIN y adems manualmente, de las herramientas que

existen en el Laboratorio Virtual de ingeniera Ssmica, en la seccin de Dinmica de

estructuras. Luego se procede a implementar la herramienta SDOF-Dynamics

nuevamente para ser mejorada, debido a que esta ya estaba antes implementada, y se

desarrolla un tutorial.

Adems se elaboran dos herramientas, que son denominadas por el autor como: 2DOF-

Dynamics y 2S-Porch, de las cuales tambin se realiza un tutorial. Todo lo resumido se lo

podr ver en hechos si se visita el sitio web: www.utpl.edu.ec/VLEE. Y para ello se busca

en la seccin de Simulacin-Dinmica de estructuras.

El presente documento muestra secuencialmente:

En el CAPITULO I, se ver una descripcin general del proyecto. Es aqu donde se

expondrn los objetivos de esta investigacin. Adems de la problemtica y su respectiva

justificacin.

En el CAPITULO II, se expone una serie de definiciones, algoritmos, etc. En si un captulo

dedicado a la comprensin de ciertos trminos de dinmica estructural.

En el CAPITULO III, se desarrolla un tutorial para la herramienta de un grado de libertad.

Esta se denomina SDOF-Dynamics.

En el CAPITULO IV, se desarrolla un breve tutorial para las herramientas de dos grados de

libertad. Estas se denominan 2DOF-Dynamics y 2S-Porch.

En el CAPITULO V, aqu se podr encontrar las conclusiones y recomendaciones del

proyecto.

Finalmente, se podr encontrar los ANEXOS, y las REFERENCIAS.

TABLA DE CONTENIDO

INDICE DE FIGURAS ........................................................................................................... i

INDICE DE TABLAS ............................................................................................................ ii

NONMECLATURA .............................................................................................................. iii

CCAAPPIITTUULLOO II ......................................................................................................................... 1

11.. DDEESSCCRRIIPPCCIIOONN GGEENNEERRAALL DDEELL PPRROOYYEECCTTOO .......................................................... 1

11..11 IINNTTRROODDUUCCCCIIOONN ............................................................................................................................................................................................ 11

11..22 DDEEFFIINNIICCIINN DDEELL PPRROOBBLLEEMMAA .............................................................................................................................................. 11

11..33 JJUUSSTTIIFFIICCAACCIINN .............................................................................................................................................................................................. 11

11..44 OOBBJJEETTIIVVOOSS .............................................................................................................................................................................................................. 22

11..44..11 Objetivo General .............................................................................................. 2

11..44..22 Objetivos Especficos ....................................................................................... 2

CCAAPPIITTUULLOO IIII ........................................................................................................................ 3

22.. MMAARRCCOO TTEEOORRIICCOO ....................................................................................................... 3

22..11 PPRRIIMMEERRAASS IINNTTEERRRROOGGAANNTTEESS .............................................................................................................................................. 33

22..11..11 Qu es el LVIS o VLEE? ................................................................................ 3

22..11..22 Qu herramientas de dinmica de estructuras hay en el VLEE? .................... 3

22..11..33 Qu es un anlisis dinmico? .......................................................................... 4

22..11..44 Cul es el fin del software OpenSees? ............................................................ 4

22..22 GGRRAADDOOSS DDEE LLIIBBEERRTTAADD .................................................................................................................................................................... 44

22..33 TTEEOORRAA GGEENNEERRAALL DDEE VVIIBBRRAACCIIOONNEESS .................................................................................................................... 55

22..33..11 Vibracin libre sin amortiguamiento ................................................................ 6

22..33..22 Vibracin libre con amortiguamiento viscoso .................................................. 8

22..33..33 Tipos de Movimiento ....................................................................................... 9

22..33..44 Sistema subamortiguado ................................................................................. 10

22..44 TTIIPPOOSS DDEE MMOODDEELLOO DDEE MMAATTEERRIIAALL .......................................................................................................................... 1122

22..44..11 Modelo elstico lineal ..................................................................................... 12

22..44..22 Modelo bilineal ............................................................................................... 13

22..55 TTIIPPOOSS DDEE EEXXCCIITTAACCIINN ................................................................................................................................................................ 1155

22..55..11 Funcin de carga lineal ................................................................................... 16

22..55..22 Funcin de carga trilineal ............................................................................... 17

22..55..33 Funcin de carga armnica ............................................................................. 19

22..66 AANNAALLIISSIISS DDEE HHIISSTTOORRIIAA EENN EELL TTIIEEMMPPOO .......................................................................................................... 2200

22..66..11 Mtodo de Newmark ...................................................................................... 20

Caso "ELSTICO" ........................................................................................................ 22

Caso "BILINEAL" ......................................................................................................... 23

CCAAPPIITTUULLOO IIIIII ..................................................................................................................... 25

33.. MMAANNUUAALL DDEE LLAA HHEERRRRAAMMIIEENNTTAA SSDDOOFF--DDYYMMAAMMIICCSS .................................... 25

33..11 IINNTTRROODDUUCCCCIINN ........................................................................................................................................................................................ 2255

33..22 SSIISSTTEEMMAASS DDEE UUNN GGRRAADDOO DDEE LLIIBBEERRTTAADD .................................................................................................... 2255

33..22..11 Algunas ecuaciones ........................................................................................ 26

33..33 FFUUNNCCIIOONNAAMMIIEENNTTOO DDEE LLAA HHEERRRRAAMMIIEENNTTAA ............................................................................................ 2277

33..44 LLIIMMIITTAACCIIOONNEESS DDEE LLAA HHEERRRRAAMMIIEENNTTAA .......................................................................................................... 2277

33..55 UUTTIILLIIZZAACCIINN DDEE LLAA HHEERRRRAAMMIIEENNTTAA ................................................................................................................ 2288

33..55..11 Iconos utilizados ............................................................................................. 28

33..55..22 Propiedades del sistema .................................................................................. 28

33..55..33 Tipo de material .............................................................................................. 29

33..55..44 Tipo de excitacin .......................................................................................... 30

33..55..55 Anlisis ........................................................................................................... 34

33..55..66 Grficos .......................................................................................................... 34

33..55..77 Ejercicios ........................................................................................................ 35

33..66 VVEERRIIFFIICCAACCIINN DDEE LLAA HHEERRRRAAMMIIEENNTTAA ............................................................................................................ 5500

CCAAPPIITTUULLOO IIVV .................................................................................................................... 51

44.. MMAANNUUAALL DDEE LLAASS HHEERRRRAAMMIIEENNTTAASS DDEE DDOOSS GGRRAADDOOSS DDEE LLIIBBEERRTTAADD ....... 51

44..11 IINNTTRROODDUUCCCCIINN ........................................................................................................................................................................................ 5511

44..22 SSIISSTTEEMMAA SSIIMMPPLLEE:: PPRRTTIICCOO DDEE DDOOSS PPIISSOOSS ............................................................................................ 5511

44..22..11 Usando la segunda ley de movimiento de Newton ........................................ 52

44..22..22 Equilibrio dinmico ........................................................................................ 54

44..33 RRAAYYLLEEIIGGHH DDAAMMPPIINNGG ...................................................................................................................................................................... 5555

44..44 MMAANNUUAALL DDEE LLAA HHEERRRRAAMMIIEENNTTAA 22DDOOFF--DDYYMMAAMMIICCSS ............................................................ 5599

44..44..11 Breve vistazo a la herramienta........................................................................ 59

44..44..22 Ejercicios ........................................................................................................ 59

44..44..33 Verificacin .................................................................................................... 70

44..55 MMAANNUUAALL DDEE LLAA HHEERRRRAAMMIIEENNTTAA 22SS--PPOORRCCHH ............................................................................................ 7711

44..55..11 Breve descripcin de la herramienta .............................................................. 71

44..55..22 Ejercicio .......................................................................................................... 71

44..55..33 Verificacin .................................................................................................... 77

CCAAPPIITTUULLOO VV ...................................................................................................................... 78

55.. CCOONNCCLLUUSSIIOONNEESS YY RREECCOOMMEENNDDAACCIIOONNEESS .......................................................... 78

55..11 CCOONNCCLLUUSSIIOONNEESS ........................................................................................................................................................................................ 7788

55..22 RREECCOOMMEENNDDAACCIIOONNEESS ...................................................................................................................................................................... 7788

AANNEEXXOOSS ............................................................................................................................. 80

RREEFFEERREENNCCIIAASS .................................................................................................................. 90

i

INDICE DE FIGURAS

Fig.2.3.1 Vibracin libre de un sistema crticamente amortiguado, sobreamortiguado y

subamortiguado ................................................................................................................... 9

Fig.2.3.2 Efecto del amortiguamiento en vibracin libre ..................................................... 11

Fig.2.4.1 Modelo lineal elstico ........................................................................................... 13

Fig.2.4.2 Modelo bilineal (a) Steel 01 (b) Steel 02 ............................................................. 14

Fig.2.5.1 Funcin de carga lineal ......................................................................................... 16

Fig.2.5.2 Funcin de carga trilineal ...................................................................................... 18

Fig.2.5.3 Otras cargas a partir de la funcin trilineal ........................................................... 18

Fig.2.5.4 Funcin de carga armnica ................................................................................... 19

Fig.3.1.1 Esquema de la herramienta SDOF-Dynamics ....................................................... 25

Fig.3.1.2 Ejemplos de figuras modeladas con un solo grado de libertad ............................. 26

Fig.3.5.1 Propiedades del sistema ........................................................................................ 29

Fig.3.5.2 Tipo de material (Elstico) .................................................................................... 29

Fig.3.5.3 Tipo de material (Bilineal 1) ................................................................................. 30

Fig.3.5.4 Tipo de material (Bilineal 2) ................................................................................. 30

Fig.3.5.5 Tipo de excitacin (Funcin de fuerza lineal) ....................................................... 31

Fig.3.5.6 Tipo de excitacin (Funcin de fuerza trilineal) ................................................... 31

Fig.3.5.7 Tipo de excitacin (Funcin de fuerza armnica) ................................................. 32

Fig.3.5.8 Tipo de excitacin (Acelerograma) ....................................................................... 32

Fig.3.5.9a Formato del acelerograma (en una columna) ...................................................... 33

Fig.3.5.9b Formato del acelerograma (en varias columnas)................................................. 33

Fig.3.5.9c Formato del acelerograma (incorrecto) ............................................................... 33

Fig.3.5.10 Anlisis ................................................................................................................ 34

Fig.3.5.11 Esquema del ejercicio 3.5.1................................................................................. 35

Fig.4.2.1 (a) Prtico de dos pisos (b) Fuerzas que actan en las dos masas ....................... 51

Fig.4.2.2 Diagramas de cuerpo libre .................................................................................... 55

Fig.4.3.1 (a) Amortiguamiento proporcional a la masa; (b) amortiguamiento proporcional a

la rigidez ........................................................................................................................... 56

Fig.4.3.2 Variacin de la relacin de amortiguamiento modal con la frecuencia natural: (a)

Amortiguamiento proporcional a la masa y amortiguamiento proporcional a la rigidez (b)

Rayleigh Damping ............................................................................................................ 57

Fig.4.4.1 Esquema principal de la herramienta 2DOF- ........................................................ 59

Fig.4.5.1 Esquema principal de la herramienta 2S-Porch .................................................... 71

ii

INDICE DE TABLAS

Tabla 2.4.1 Estructura del comando Elastic Material ........................................................... 13

Tabla 2.4.2 Estructura del comando uniaxialMaterial Steel01 ............................................. 14

Tabla 2.4.3 Estructura del comando uniaxialMaterial Steel02 ............................................. 15

Tabla 2.5.1 Algoritmo para generar una funcin de carga lineal ........................................ 17

Tabla 2.5.2 Algoritmo para generar una funcin de carga trilineal ...................................... 18

Tabla 2.5.3 Algoritmo para generar una funcin de carga armnica ................................... 20

Tabla 2.6.1 Algoritmo para aplicar el mtodo de Newmark ................................................ 21

Tabla 3.5.1 Utilidad de los iconos de la herramienta ........................................................... 28

Tabla 3.6.1 Comparacin de resultados SDOF-Dynamics ................................................... 49

Tabla 4.4.1 Cuadro comparativo de la herramienta 2DOF-Dynamics ................................. 70

Tabla 4.5.1 Cuadro comparativo de la herramienta 2S-Poch ............................................... 77

iii

NONMECLATURA

T Tn = Periodo natural de vibracin

m =masa

k EI = Rigidez

t = tiempo

I = Impulso

DI = Duracin del impulso

Po = Amplitud mxima

f = Frecuencia

n = Frecuencia natural de un sistema dinmico

D = Frecuencia de un sistema dinmico amortiguado

a = Frecuencia de excitacin

u(t) = Desplazamiento.

umax = Desplazamiento mximo.

(t) = Velocidad.

c = Constante de amortiguamiento

ccr = Constante de amortiguamiento crtico

max = Velocidad mxima.

(t) = Aceleracin.

max = Aceleracin mxima.

F = Fuerza interna

P(t) p(t) = Funcin de fuerza externa

Pmax = Fuerza externa mxima

u = Vector de desplazamiento.

= Vector de velocidad.

= Vector de aceleracin.

iv

Fy = Fuerza de fluencia.

r = Coeficiente post-fluencia.

R= Control de transicin del estado elstico al plstico.

CCAAPPIITTUULLOO II

UNIVERSIDAD TCNICA PARTICULAR DE LOJA La universidad catlica de Loja

CCAAPPIITTUULLOO II

Pg. 1

11.. DDEESSCCRRIIPPCCIIOONN GGEENNEERRAALL DDEELL PPRROOYYEECCTTOO

11..11 INTRODUCCION

Actualmente se encuentran operativas en el Laboratorio Virtual de Ingeniera

Ssmica (LVIS) con sus siglas de su versin en ingls (VLEE) (1) varias herramientas que

hacen el anlisis dinmico de sistemas de un grado de libertad. El propsito de esta tesis es

verificar que dichas herramientas estn funcionando correctamente. Adems de esto se

pretende implementar el anlisis de sistemas de dos grados de libertad.

11..22 DEFINICIN DEL PROBLEMA

Debido a que se est construyendo el Laboratorio Virtual de Ingeniera Ssmica, para

complementar las herramientas de anlisis dinmico, que son: SDOF-Dynamics,

SPECTRUM, LINEARIZATION (1)

, se ir chequeando y comprobando la aplicacin

SDOF-Dynamics ya que de esta dependen las dems herramientas. Para ello se ha credo

conveniente utilizar la aplicacin especializada en ingeniera ssmica llamada OpenSees (2)

.

Luego de verificar que dicha herramienta est funcionando correctamente se redactar un

tutorial para esta.

Lo siguiente que se realizar es la implementacin de herramientas que realicen el anlisis

dinmico de una estructura que posea dos grados de libertad. Esto se lo lograremos con la

modelacin de una estructura que posea dichas caractersticas en la aplicacin OpenSees.

Seguidamente se aadirn las nuevas aplicaciones al laboratorio virtual, donde se hace

necesario el aprendizaje de una herramienta de programacin en web, llamada Visual

Studio .Net 2005 (3)

.

11..33 JUSTIFICACIN

Es necesario que las aplicaciones antes mencionadas se sometan a una evaluacin o

chequeo, esto permitir garantizar la efectividad de las herramientas en la seccin de

dinmica de estructuras de laboratorio virtual. Adems al elaborar la gua de usuario se

podr hacer ms eficiente el uso del mismo.

Tambin, nace la necesidad de complementar estas herramientas incrementando nuevas

aplicaciones, que permitan fomentar de manera ms amplia los fundamentos del estudiante

o usuario en lo que tiene que ver con ingeniera ssmica. O sea, con la implementacin en el


CCAAPPIITTUULLOO II

Pg. 2

laboratorio virtul de aplicaciones sobre sistemas de dos grados de libertad con sistemas de

asilamiento y disipacin de energa.

11..44 OBJETIVOS

11..44..11 Objetivo General

Esta investigacin es terica y su objetivo global es:

Complementar la seccin de dinmica de estructuras del Laboratorio Virtual de Ingeniera Ssmica (VLEE).

11..44..22 Objetivos Especficos

Verificar el funcionamiento de las herramientas de dinmica de estructuras de

un grado de libertad y luego preparar un tutorial para una de ellas.

Disear interfaces web necesarios para la implementacin del anlisis de

sistemas de dos grados de libertad en el Laboratorio Virtual de Ingeniera

Ssmica (VLEE LVIS) (1)

.

CCAAPPIITTUULLOO IIII



Pg. 3

22.. MMAARRCCOO TTEEOORRIICCOO

22..11 PRIMERAS INTERROGANTES

22..11..11 Qu es el LVIS o VLEE?

El Laboratorio Virtual de Ingeniera Ssmica (LVIS) con sus siglas de su versin en ingls

VLEE ha sido desarrollado como una herramienta para la educacin e investigacin en

ingeniera ssmica. Esta herramienta, interactiva, de acceso libre, permite realizar

Experimentos Virtuales sin el uso directo de software especializado en simulacin

estructural. Adems, el LVIS permite la comunicacin, colaboracin, discusin e

intercambio de informacin entre sus usuarios.

El laboratorio virtual contiene una lista de experimentos virtuales (1)

clasificados en varios

campos. La ejecucin de los experimentos virtuales requiere del uso de herramientas de

diseo y/o herramientas de simulacin. En los experimentos virtuales se describe

completamente, el fundamento terico, objetivos y procedimientos de cada experimento.

Las herramientas de diseo son un conjunto de programas para el diseo en lnea de varios

tipos de estructuras. Las herramientas de simulacin son un conjunto de programas para la

simulacin en lnea del comportamiento estructural. Algunas herramientas de simulacin

usan OpenSees como motor de simulacin. Una vez que el experimento ha sido ejecutado,

los usuarios registrados pueden publicar sus resultados, observaciones o plantear temas de

discusin en foros.

22..11..22 Qu herramientas de dinmica de estructuras hay en el VLEE?

Una vez que se ha ingresado al VLEE en el men de Simulacin, en la seccin de

Anlisis de Estructuras nos ofrece hasta el momento tres aplicaciones:

a. SDOF-Dynamics.- Anlisis de historia en el tiempo de sistemas de un grado de

libertad.

b. SPECTRUM.- Anlisis espectral de registros ssmicos y funciones armnicas.

c. LINEARIZATION.- Estudio de los mtodos de linearizacin equivalente usado en

el diseo ssmico. (1)



Pg. 4

22..11..33 Qu es un anlisis dinmico?

El anlisis dinmico (4)

comprende el anlisis de las fuerzas, desplazamientos, velocidades

y aceleraciones que aparecen en una estructura o mecanismo como resultado de los

desplazamientos y deformaciones que aparecen en la estructura o mecanismo.

El anlisis dinmico de estructuras se refiere al anlisis de las pequeas oscilaciones o

vibraciones que puede sufrir una estructura alrededor de su posicin de equilibrio. El

anlisis dinmico es importante porque ese movimiento oscilatorio produce una

modificacin de las tensiones y deformaciones existentes, que deben tenerse en cuenta por

ejemplo para lograr un diseo ssmico adecuado.

Como resultado de una perturbacin exterior un edificio o estructura resistente que bajo la

accin de unas cargas estaba en reposo, experimenta oscilaciones que en primera

aproximacin pueden representarse como un movimiento armnico compuesto (5)

.

El anlisis dinmico incluye estudiar y modelar al menos estos tres aspectos:

Anlisis modal de frecuencias y modos propios de vibracin. Tanto las frecuencias

naturales de vibracin de una estructura como los modos principales de vibracin

dependen exclusivamente de la geometra, los materiales y la configuracin de un

edificio o estructura resistente.

Anlisis de la solicitacin exterior.

Anlisis de las fuerzas dinmicas inducidas.

22..11..44 Cul es el fin del software OpenSees?

El Sistema abierto para Simulacin de Ingeniera Ssmica (OpenSees) (2)

es un software en

continuo desarrollo, elaborado para simular la respuesta ssmica de las estructuras y

sistemas geotcnicos. OpenSees ha sido desarrollado en forma de una plataforma

computacional para la investigacin de la ingeniera ssmica basado en el rendimiento,

gracias al Centro de investigacin Ingeniera de Terremotos del Pacifico (Pacific

Earthquake Engineering Research Center)

22..22 GRADOS DE LIBERTAD

En dinmica estructural se los conoce como el nmero de coordenadas independientes

necesarias para especificar la configuracin o posicin de un sistema en cualquier instante

de tiempo. Toda estructura continua tiene un nmero infinito de grados de libertad. Sin

embrago, el proceso de seleccin o idealizacin de un modelo matemtico apropiado

permite reducir los grados de libertad a un nmero discreto y en algunos casos a uno solo.



Pg. 5

22..33 TEORA GENERAL DE VIBRACIONES

El estudio de las vibraciones se refiere a los movimientos de los cuerpos y a las fuerzas

asociadas con ellos. Todos los cuerpos que poseen masa y elasticidad, son capaces de

vibrar. Una vibracin mecnica es el movimiento de una partcula o cuerpo que oscila

alrededor de una posicin de equilibrio. La mayora de las mquinas y estructuras

experimentan vibraciones hasta cierto grado por lo que su diseo requiere la consideracin

de este efecto dinmico debido a que ocasiona un aumento en los esfuerzos.

Una vibracin se produce cuando el sistema en cuestin es desplazado desde una posicin

de equilibrio estable, el sistema tiende a retornar a dicha posicin, bajo la accin de fuerzas

de restitucin elstica o gravitacional, movindose de un lado a otro hasta alcanzar su

posicin de equilibrio. El intervalo de tiempo necesario para que el sistema efecte un ciclo

completo de movimiento se llama periodo de vibracin (T o Tn), el nmero de ciclos por

unidad de tiempo define la frecuencia (f) y el desplazamiento mximo del sistema desde su

posicin de equilibrio se denomina amplitud de vibracin (umax).

Los sistemas oscilatorios pueden clasificarse como lineales o no lineales. Para los sistemas

lineales rige el principio de superposicin y las tcnicas matemticas para su tratamiento

estn bien desarrolladas (Ley de Hooke). Por el contrario las tcnicas para el anlisis de

sistemas no lineales son ms complicadas y no muy conocidas.

Existen dos clases de vibraciones, las libres y las forzadas. Cualquier sistema elstico puede

tener una vibracin libre a consecuencia de un impulso inicial, donde el movimiento es

mantenido nicamente por las fuerzas de restitucin inherentes al mismo. El sistema bajo

vibracin libre vibrar en una o ms de sus frecuencias naturales, dependientes de la

distribucin de su masa y rigidez.

Cuando al sistema se le aplica fuerzas perturbadoras externas, el movimiento resultante es

una vibracin forzada. Cuando la excitacin es oscilatoria, ya sea peridica o no, como la

de un sismo, el sistema es obligado a vibrar a la frecuencia de excitacin, si sta coincide

con una de las frecuencias naturales del sistema se produce resonancia, en este estado

tienen lugar oscilaciones peligrosamente grandes; as la falla por resonancia de estructuras

como puentes o edificios es una dramtica posibilidad que debe tenerse muy en cuenta. Por

este motivo el clculo de las frecuencias naturales de vibracin es de gran importancia en el

diseo ssmico de estructuras. (6)

La ecuacin general de movimiento es:

mu+cu+ku = p(t) (2.3.1)



Pg. 6

El coeficiente de rigidez:

2

nk = m (2.3.2)

El periodo natural de vibracin se expresa as:

n

mT = 2

k (2.3.3)

En forma matemtica la frecuencia natural del sistema:

n

n

2=

T

(2.3.4)

Tambin se denomina frecuencia cclica natural del sistema a:

n

1f = [hertz]

T (2.3.5)

22..33..11 Vibracin libre sin amortiguamiento

Para el caso de vibracin libre sin amortiguamiento nuestra ecuacin (2.3.1) se transforma

de la siguiente manera:

mu(t)+ku(t)= 0 (2.3.6)

Tenemos las condiciones inciales u(0) y (0)

Asumimos:

(t) n nu = A Cos( t) + B Sen( t)

(2.3.7)

Cuando t=0

(0)

(0)

(0)

u = A Cos(0) + B Sen(0)

u = A 1 + 0

A = u

Derivando:

)()()( tCosBtSenAu nnnnt (2.3.8)



Pg. 7

Cuando t=0

n

nn

nnnn

uB

uBA

CosBSenAu

)0(

)0(

)0(

10

)0()0(

Reemplazando, la ecuacin de desplazamiento es:

)()()(

)()( tSenu

tCosuu nn

t

ntt

(2.3.9)

La primera derivada de la ecuacin (2.3.9), es la ecuacin de velocidad:

)()( )0()()( tSenutCosuu nnntt (2.3.10)

La segunda derivada de la ecuacin (2.3.9), es la ecuacin de aceleracin:

2

(t) (0) n n (0) n nu = -u Cos( t) - u sen( t) (2.3.11)

Ejemplo 2.3.1.- Encontrar la respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad

cuyo perodo de vibracin es 0.2 s, que no tiene amortiguamiento y que en el tiempo igual a

cero el desplazamiento inicial es de 2 m., y la velocidad inicial es 10 m/s. Despreciar la

masa.

n

n

n

2 =

T

2 =

0.2

= 31.416

u(0) =2 m

(0)=10 m/s

Aplicando la ecuacin de desplazamiento con vibracin libre sin amortiguamiento tenemos:



Pg. 8

(0)

(t) (0) n n

(t)

(t)

uu = u Cos( t)+ Sen( t)

10u = 2Cos(31.416t)+ Sen(31.416t)

31.416

u = 2Cos(31.416t)+0.3183 Sen(31.416t)

Aplicando la ecuacin de velocidad con vibracin libre sin amortiguamiento tenemos:

(t) (0) n (0) n

(t)

u = -u Sen( t)+u Cos( t)

u = -231.416 Sen(31.416t)+10Cos(31.416 t)

Aplicando la ecuacin de aceleracin con vibracin libre sin amortiguamiento tenemos:

2

(t)u = -2(31.416) Cos(31.416t) - 10* 31.416 Sen(31.416t)

22..33..22 Vibracin libre con amortiguamiento viscoso

La ecuacin de movimiento para un sistema lineal amortiguado en vibracin libre es:

0 ukucum (2.3.12)

Dividiendo la ecuacin (2.3.12) por la masa, se obtiene:

022

uuu nn (2.3.13)

Donde:

crc

c (2.3.14)

nncr

kkmmc

222 (2.3.15)

El coeficiente de amortiguamiento crtico, ccr, y la razn o relacin de amortiguamiento

crtico, son parmetros que determinan el tipo de movimiento del sistema.



Pg. 9

22..33..33 Tipos de Movimiento

Fig.2.3.1 Vibracin libre de un sistema crticamente amortiguado, sobreamortiguado y subamortiguado (8)

La Fig. 2.3.1 ilustra el desarrollo de este punto; sta es una grfica del movimiento u(t)

debido a un desplazamiento inicial u(0) para tres valores distintos de :

Si c=ccr =1 El sistema retorna a su posicin inicial de equilibrio sin oscilar, por tal razn es llamado sistema crticamente amortiguado o sistema con amortiguamiento

crtico.

Si c>ccr >1 El sistema no oscila pero retorna a su posicin de equilibrio lentamente, por tal motivo es denominado sistema sobreamortiguado.

Si c



Pg. 10

El coeficiente de amortiguamiento crtico, ccr, llamado as debido a que es un valor pequeo

de c que inhibe completamente la oscilacin y representa la lnea de divisin entre el

movimiento oscilatorio y mono oscilatorio.

Las estructuras civiles (puentes, edificios, embalses, etc.) poseen una relacin de

amortiguamiento



Pg. 11

Fig.2.3.2 Efecto del amortiguamiento en vibracin libre (8)

Ntese que la ecuacin (2.3.16) aplicada a un sistema no amortiguado (=0) se reduce a la

ecuacin (2.3.9). La Fig.2.3.2 ilustra una comparacin entre un sistema subamortiguado y

uno sin amortiguamiento; se observa que la amplitud del sistema no amortiguado es la

misma en todos los ciclos de vibracin, en cambio para el sistema amortiguado la amplitud

decrece y lo hace en forma exponencial.

El valor del periodo natural de vibracin amortiguado es:

D

DT

2 (2.3.18)

y est relacionado con el periodo natural sin amortiguamiento de la siguiente forma:

21

n

D

TT

(2.3.19)

u (0) u

u (0)

t

T n

T D

estructura no amortiguada

estructura

amortiguada

e n t

n t e



Pg. 12

La relacin entre dos desplazamientos pico en un intervalo de tiempo TD es constante, y el

decremento logartmico est definido como el logaritmo natural de esta cantidad y est

dado por:

2

1

2ln

21

Dni

i Tu

u (2.3.20)

y la relacin entre dos desplazamientos cuales quiera es:

2ln1

1

1 ju

u

j (2.3.21)

El amortiguamiento tiene el efecto de reducir la frecuencia natural de n a D y aumentar el

periodo natural de Tn a TD; este efecto es despreciable para una relacin de

amortiguamiento debajo del 20%, un rango en el cual estn incluidas la mayora de las

estructuras; y, valga la redundancia, para la mayora de las estructuras D y TD son

aproximadamente iguales a n y Tn (7)

22..44 TIPOS DE MODELO DE MATERIAL

Comnmente los elementos de una estructura poseen ciertas propiedades que las

diferencian entre s. Para caracterizar estas propiedades se ha recurrido a idealizar

modelos, que intentan simular la realidad. Lgicamente no se podr realizar con estos

modelos lo que pasa realmente en la realidad, pero nos permiten tener una idea y ciertos

rangos de lo que suceder realmente. Se ha credo conveniente conceptualizar algunos

modelos: el modelo elstico lineal y el modelo bilineal.

22..44..11 Modelo elstico lineal

El modelo elstico lineal (Fig.2.4.1) lo poseen las estructuras que se comportan de una

manera elstica, por ejemplo cuando actan las intensidades de un sismo son

relativamente pequeas. Para caracterizar la curva carga-deformacin (desplazamiento),

slo basta con la rigidez (ko).



Pg. 13

Fig2.4.1 Modelo lineal elstico

En el programa OpenSees a esto se lo ha simulado con el uso del comando que se detalla a

continuacin:

Comando: Elastic Material

Este comando es utilizado para construir un objeto de material elstico uniaxial. Su

estructura es la siguiente:

Tabla 2.4.1 Estructura del comando Elastic Material

22..44..22 Modelo bilineal

Los modelos bilineales con frecuencia se utilizan para el modelado de estructuras de acero.

El modelo bilineal (Fig.2.4.2) se define por tres parmetros: la resistencia a la fluencia (Fy),

la rigidez inicial (ko), y despus de la rigidez post fluencia (kp = r*ko). La fuerza es limitada

por las curvas envolventes de fluencia. La descarga de las curvas se produce con la rigidez

uniaxialMaterial Elastic $matTag $E

$matTag = Nmero de etiqueta

$E = Tangente

$eta = Amortiguamiento de la tangente (opcional, por defecto = 0.0)



Pg. 14

igual a la rigidez inicial (elstica). El modelo plstico perfectamente elstico es un caso

especial obtenido estableciendo la rigidez post fluencia igual a cero (kp = 0).

(a) (b)

Fig.2.4.2 Modelo bilineal (a) Steel 01 (b) Steel 02 (2)

Haciendo uso de OpenSees a los dos tipos de material se los ha simulado de la siguiente

manera:

Comando (a): Steel01 Material

Este comando es usado para construir un material de acero uniaxial bilineal como objeto

con endurecimiento cinemtico y endurecimiento isotrpico descrito por una ecuacin de

evolucin no lineal. Su estructura es la siguiente:

Tabla 2.4.2 Estructura del comando uniaxialMaterial Steel01

uniaxialMaterial Steel01 $matTag $Fy $E0 $b

$matTag = Nmero de etiqueta del material

$Fy = Fuerza de fluencia

$E0 = Tangente elstica inicial

$b = Relacin de endurecimiento (relacin entre la tangente de post-fluencia y la

tangente elstica inicial.

$a1, $a2, $a3, $a4 = Parmetros de endurecimiento isotrpico: (Opcional, por defecto:

No isotrpico)



Pg. 15

Comando (b): Steel02 Material

Este comando es usado para crear un material uniaxial Giuffre-Menegotto-Pinto como un

objeto con endurecimiento de esfuerzo isotrpico. Su estructura es la siguiente:

Tabla 2.4.3 Estructura del comando uniaxialMaterial Steel02

22..55 TIPOS DE EXCITACIN

Las estructuras estn expuestas a distintos tipos de fuerza o excitacin, ya sea las generadas

por el viento, por un sismo, vibraciones debidas a vehculos, entre otras.

Experimentalmente se trata de simular este tipo de fuerza. Para ello se hace uso de

funciones de carga P(t) o ug(t) que varan segn el tiempo. Una carga impulsiva consta

esencialmente de un impulso principal, el cual generalmente es de corta duracin las

explosiones y las rfagas de viento son excitaciones de este tipo. A continuacin se ha

credo conveniente mostrar algunas de estas funciones idealizadas.

uniaxialMaterial Steel02 $matTag $Fy $E $b $R0 $cR1 $cR2

$matTag = Numero de etiqueta del material

$Fy = Fuerza de fluencia

$E = Tangente elstica inicial

$b = Relacin de endurecimiento (relacin entre la tangente de post-fluencia y la

tangente elstica inicial.

$R0, $cR1, $cR2 = Control de transicin del estado elstico al plstico

Valores recomendados:

$R0 = Entre 10 y 20, $cR1 = 0.925, $cR2 = 0.15

$a1, $a2, $a3, $a4 = Parmetros de endurecimiento isotrpico: (Opcional, por defecto:

No isotrpico)

Isotrpico: Se lo llama al material que posee las mismas propiedades fsicas en todas

las direcciones



Pg. 16

22..55..11 Funcin de carga lineal

Este tipo de carga se lo ha definido en base a un impulso y su respectiva duracin. Se

sabe que el impulso es igual a: fuerza por incremento del tiempo, pero en este caso se

ideo una unidad de algn tipo de impulso I [Fuerza/Tiempo] y la duracin de dicho

impulso DI [Tiempo]. En la Fig.2.5.1 se muestra un esquema de este tipo de funcin de

carga.

Fig.2.5.1 Funcin de carga lineal

En la siguiente tabla se muestra un algoritmo para generar la funcin de carga

anteriormente descrita.



Pg. 17

Tabla 2.5.1 Algoritmo para generar una funcin de carga lineal

22..55..22 Funcin de carga trilineal

El siguiente tipo de funcin consta de una carga mxima Pmax, un tiempo inicial por defecto

t0=0, y los tiempos t1, t2, t3. En el transcurso de tiempo 2 t2 al tiempo 3 t3, se aplicar la

carga mxima. En la Fig.2.5.2 se muestra un esquema de este tipo de funcin de carga.

Datos requeridos: Impulso, Dimpulso, t (paso)

kNImpulso = Magnitud del impulso

s

Dimpulso = Duracin del impulso s

Carga mxima

max P = Impulso Dimpulso

Ndexi = 0 : t_ = 0

Hacer mientras t Dimpulso

t_ = t_ + t

Ndexi = Ndexi + 1

Continuar bucle

Desde i = 0 Hasta Ndexi

iP = i t Impulso

Siguiente i



Pg. 18

Fig.2.5.2 Funcin de carga trilineal

Este tipo de funcin permite al cambiar los tiempos t1, t2, t3, permite obtener: Cargas en

rampa Fig.2.5.3 (a), cargas triangulares Fig.2.5.3 (b), entre otras formas.

Fig.2.5.3 Otras cargas a partir de la funcin trilineal

En la Tabla 2.5.2 se muestra un algoritmo para crear una funcin de carga trilineal. Cabe

recalcar que aquellos que lo deseen pueden hacer uso de este algoritmo y mejorarlo si lo

desean.

Tabla 2.5.2 Algoritmo para generar una funcin de carga trilineal

Datos requeridos: Pmax, t1, t2, t3, t (paso

max1 2

1

P pend = : pend = 0

t

Si t2 - t3 = 0 Entonces 2 2 t = t + 0.0000001

max

3

2 3

P pend =

t - t

Hacer mientras t_ t3

t_ = t_ + t : nPt = nPt + 1

Continuar bucle



Pg. 19

Tabla 2.5.2 Algoritmo para generar una funcin de carga trilineal (continuacin)

22..55..33 Funcin de carga armnica

Este tipo de funcin de carga es comnmente utilizado, ya que es una idealizacin de carga

dinmica muy acertada. Para definirla necesitamos la amplitud mxima Pmax y la frecuencia

de excitacin a: A continuacin se muestra un esquema de este tipo funcin.

Fig.2.5.4 Funcin de carga armnica

nPt = 0 : t_ = 0

Desde i=0 hasta nPt Si t_ t1 y t_ > 0 Entonces

1P i = pend * t_ + 0 ContrarioSi t_ t2 y t > t1 Entonces

( ) 2 1 _ i maxP pend t t P ContrarioSi t_ t3 And t_ > t2 Entonces

( ) 3 2 * _ i maxP pend t t P Fin Si

_ _ t t t

Siguiente i



Pg. 20

Tabla 2.5.3 Algoritmo para generar una funcin de carga armnica

22..66 ANALISIS DE HISTORIA EN EL TIEMPO

22..66..11 Mtodo de Newmark

El mtodo de Newmark-beta es un mtodo de integracin numrica utilizado para resolver

ecuaciones diferenciales. Este mtodo puede tener muchas aplicaciones como por ejemplo

en anlisis de elementos finitos para modelar sistemas dinmicos. Este mtodo tiene dos

coeficientes fundamentales como son y . Estableciendo a los distintos valores entre 0 y

1 puede dar una amplia gama de resultados. Existen dos mtodos para la aplicacin del

mtodo de Newmark: Mtodo de aceleracin promedio y Mtodo de aceleracin lineal. La

diferencia de cada mtodo est en sus factores y .

1) Para el Mtodo de aceleracin promedio: = 1/2 y = 1/4

2) Para el Mtodo de aceleracin lineal: = 1/2 y = 1/6

El nombre del mtodo es basado en Nathan M. Newmark, quien lo introdujo en el ao

1959. A continuacin se detalla en forma resumida un algoritmo del mtodo de Newmark,

para un Sistema lineal y un Sistema Bilineal. En este caso se utiliza el Mtodo de

aceleracin promedio:

Constantes: 14 (1)Tan

Datos Requeridos: Pmax, a, , t (paso)

a

a

2T =

Ndexi = 0: t_ = 0

Hacer mientras t_ DuracionQ t_ = t_ + paso

Ndexi = Ndexi + 1

Continuar bucle

Desde i = 0 hasta Ndexi

(i) aP = Pmax Sin i t Siguiente i



Pg. 21

Tabla 2.6.1 Algoritmo para aplicar el mtodo de Newmark (8)

Tabla 2.6.1 Algoritmo para aplicar el mtodo de Newmark (continuacin)

Datos Requeridos: m, T, , DA, uo, o, o

:

(t)

o

o

o

m = Masa [tonne]

= Amortiguamiento [%]

T = Periodo[s]

DA = Duracindel anlisis

P = Funcindecarga

Condiciones iniciales

u = Desplazamiento inicial

u = Velocidad inicial

= Aceleracin inicial

Clculos previos:

Frecuencia natural

n

2 =

T

Constante de amortiguamiento

n

c = 2 m

100

Rigidez inicial

2o nk = m

Asumir incremento de tiempo (t)

Calculamos el nmero de iteraciones para el anlisis (nDA). En este caso t_ tan solo es un valor

que se ir incrementando segn el incremento del tiempo (t).



Pg. 22


Iniciamos con, t_ = 0 y nDA = 0

Hacer mientras t DA

t_ = t_ + t

nDA = nDA+1

Continuar bucle

Tomar las condiciones iniciales

(0) (0)o (0) o (0) ou = u : u = u : u = u : F = 0

Nota: Como el algoritmo est realizado para dos modelos de material: Lineal y

Bilineal. Seleccionamos el caso segn el tipo de material

Caso "ELSTICO"

Clculos iniciales: 2(tc ) (t) k

M * = m + +2 6

Desde i=1 hasta nDA

iVt = i t

i i - 1P = P - P

(i-1)

(i-1) (i-1)

tuP* = P - tcu - t ko u +

2

P*

u =M *

(i-1)

t uu = tu +

2

2 2

(i-1)

(i-1)

(t) u (t) uu = tu + +

2 6

(i) (i-1)

(i) (i-1)

(i) (i-1)

(i) (i-1) o

u = u + u

u = xo + u

u = xoo + u

F = F + k * u

Siguiente i



Pg. 23


Caso "BILINEAL"

Otras propiedades del material: Fy, r Fy = Fuerza de fluencia del material [kN]

r = Coeficiente de post fluencia [adimensional]

a, b, Dy = Coeficientes : kt, kti = rigidez

Clculos iniciales:

4m

a = + 2ct

b = 2m

o

FyDy =

kt ok = k

vdes = 1

Desde i=1 hasta nDA

iVt = i t

(i) (i-1) (i-1) (i-1)P* = P - P +au +bu

_ *R P

kti = kt

Realizamos nIter iteraciones: Newton Raphson Modificado

Desde j = 1 hasta nIter _R R

Si vant vdes :o okt = k kti = k

Fin Si

2

2c 4mk* kti + +

t t=

Ru =

k *

i i - 1 u = u + u

i i - 1F = F + kt u

o iFp = k * Dy + r u - Dy

o iFn = k -Dy + r u + Dy Si F(i) Fp

oiF = Fp : kt = k r

Fin Si

Si F(i) Fn

oiF = Fn : kt = k r

Fin Si

i i - 1F = F - F + k* - kti u



Pg. 24


_ R FR Tol = 0.01

Si R_ < Tol Entonces Siga i = i + 1

Siguiente j

Siga:

i - j+ 1 iu = u

(i - j + 1) (i)F = F

i = i - j + 1

i - j+ 1 iu = u

(i) (i - 1)u = u - u

i - 1

2 uu = - 2 u

t

(i-1)

(i-1)2

uu

4u4= - - 2u

tt

i i - 1u = u + u

Si Entonces Contrario i - 1u > 0 vant = 1 vant = - 1

i i - 1u = u + u

Si Entonces Contrario i - 1u < 0 vdes = - 1 vdes = 1

i

Ductilidad

= u / Dy

:

Siguiente i

CCAAPPIITTUULLOO IIIIII



Pg. 25

33.. MMAANNUUAALL DDEE LLAA HHEERRRRAAMMIIEENNTTAA SSDDOOFF--DDYYMMAAMMIICCSS

33..11 INTRODUCCIN

Antiguamente ya estaba funcionando la herramienta SDOF-Dynamics (1)

del LVIS. Esta

herramienta realizaba el anlisis dinmico de un sistema de un grado de libertad. El

objetivo era verificar el funcionamiento de dicha herramienta, lo cual se lo hizo utilizando

el software OpenSees. Al modelar la estructura de un grado de libertad se pudo verificar

que la herramienta estaba funcionando parcialmente, por ello se decidi implementar

nuevamente dicha herramienta. Se la elabor esta vez hacindole unas mejoras. Para ello se

utiliz por detrs, para la recoleccin de datos y la escritura de los archivos .tcl, el software

Visual Studio 2005. Y como lgica de programacin para el anlisis de la estructura el

software OpenSees.

A continuacin se muestra el esquema de la herramienta SDOF-Dynamics

Fig.3.1.1 Esquema de la herramienta SDOF-Dynamics

El esquema pretende darnos un breve bosquejo del sistema de un grado de libertad. En el

cual se muestra las variables relacionadas directamente con dicho sistema.

33..22 SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

La Fig.3.2.1 muestra algunos ejemplos de estructuras que estableciendo ciertas condiciones

de rigidez para sus respectivos elementos, pueden ser modeladas como sistemas de un

grado de libertad para el anlisis dinmico; esto son sistemas modelados como sistemas

con una sola coordenada de desplazamiento. Dichos sistemas con un grado de libertad

pueden ser representados convenientemente por el modelo matemtico que aparece en la

Fig.3.1.1 que tiene los siguientes elementos: (1) un elemento, m, que representa la masa o

la propiedad de inercia de la estructura, (2) un elemento resorte, k, que representa las

fuerzas internas del sistema y la capacidad de la estructura de almacenar energa potencial,

(3) un elemento amortiguador, c, que representa las caractersticas friccionales y las

prdidas de energa de la estructura, (4) la fuerza de excitacin, P(t) ug(t), que representa

las fuerzas exteriores que acta sobre el sistema estructural. (9)



Pg. 26

Fig.3.2.1 Ejemplos de figuras modeladas con un solo grado de libertad

33..22..11 Algunas ecuaciones

La ecuacin general de movimiento est dada por:

( )mu cu ku p t

(3.2.1)

El periodo natural de vibracin es

n

mT = 2

k (3.2.2)

Frecuencia natural

n

n

2 =

T (3.2.3)

Constante de amortiguamiento



Pg. 27

n

c = 2 m

100 (3.2.4)

Rigidez inicial

2

o nk = m (3.2.5)

33..33 FUNCIONAMIENTO DE LA HERRAMIENTA

El funcionamiento de la herramienta es el siguiente:

a) En la interfaz dinmica, el usuario introduce los datos como son: El periodo T, La

masa m y El amortiguamiento . De la misma manera se escoge el tipo de material

que vamos a utilizar que son: elstico, bilineal 1 y bilineal 2. As mismo se

escoger el tipo de excitacin: funcin de carga lineal, funcin de carga trilineal,

funcin de carga sinusoidal y archivo de un acelerograma. Segn la opcin

escogida se pedir los datos respectivos. Finalmente se decide la duracin del

anlisis.

b) Se procesa todos los datos para la creacin de un archivo con la extensin .tcl.

Donde se modela un sistema de un grado de libertad.

c) El archivo creado en (b) se ejecuta con aplicacin OpenSees.exe (2)

d) Seguidamente se lee los archivos de respuesta se toma la respuesta mxima y se

procede a graficar todos los resultados del anlisis, incluyendo los valores mximos

donde se ha pensado conveniente.

33..44 LIMITACIONES DE LA HERRAMIENTA

A esta herramienta se la ha diseado tratando de abarcar muchos conceptos sobre dinmica

de estructuras en lo que tiene que ver con sistemas de un grado de libertad. El usuario ir

descubriendo las limitaciones, de una manera ingeniosa podr experimentar y comprobar

la herramienta.



Pg. 28

33..55 UTILIZACIN DE LA HERRAMIENTA

Para facilidad de la utilizacin de la herramienta las unidades y descripcin del dato pedido

se indican al frente de cada casillero.

33..55..11 Iconos utilizados

Es conveniente indicar algunos de los iconos que nos ayudarn a distinguir cual es el

evento que produce su pulsacin:

Tabla 3.5.1 Utilidad de los iconos de la herramienta

Icono Utilidad

Carga un ejemplo de anlisis

Permite subir un acelerograma.

Para la descarga de resultados

Ejecuta el anlisis o borra anlisis (el ultimo o todos)

Nota: En caso de querer descargar los resultados al computador, en configuracin regional

de nmero establecer: El separador de decimales como punto (.) y la separacin de miles

con un espacio ( ). Los resultados de los anlisis permanecen en memoria por el lapso de 25

minutos, de no estar en uso la herramienta.

33..55..22 Propiedades del sistema

Lo primero que se debe tener en cuenta es el ingreso de las propiedades del sistema. En este

caso son: El periodo natural de vibracin T, la masa m, y el amortiguamiento . Al frente se

muestra un esquema de un sistema dinmico de un grado de libertad.



Pg. 29

Fig.3.5.1 Propiedades del sistema

33..55..33 Tipo de material

Lo siguiente que se tiene que realizar es, la seleccin del tipo de material a utilizar. Se tiene

la opcin de Elstico, Bilineal 1 y Bilineal 2. El esquema de comportamiento tipo cambia

dependiendo de la opcin que se seleccione. Para el caso de un material elstico no se

necesita ingresar ningn dato. Como se muestra:

Fig.3.5.2 Tipo de material (Elstico)

Para el caso de un material Bilineal 1. Se deben ingresar los datos: Fuerza de fluencia Fy y

el coeficiente post-fluencia r. Esto se muestra en la siguiente ilustracin:



Pg. 30

Fig.3.5.3 Tipo de material (Bilineal 1)

Para el caso de un material Bilineal 2. Se deben ingresar los datos: Fuerza de fluencia Fy,

el coeficiente post-fluencia r y el control de transicin del estado elstico al plstico R,

cuyo valor est recomendado entre 10 y 20. Esto se muestra en la siguiente imagen:

Fig.3.5.4 Tipo de material (Bilineal 2)

33..55..44 Tipo de excitacin

De la misma manera se escoge el tipo de excitacin a la que se desea someter el sistema.

Los datos respectivos se ingresarn segn la opcin que se escoja. Ya sea Funcin de fuerza

lineal, funcin de fuerza trilineal, funcin de fuerza armnica, o un acelerograma. Para el



Pg. 31

caso de una funcin de fuerza lineal, los datos a ingresar son el Impuso I, y su respectiva

duracin DI.

Fig.3.5.5 Tipo de excitacin (Funcin de fuerza lineal)

Para el caso de una funcin de fuerza trilineal. Se pide ingresar una fuerza o carga

mxima Pmax y adems los tiempos t1, t2, t3. Se puede idear algunos tipos de funciones de

carga a partir de este tipo de funcin, es cuestin de ingenio para ir cambiando los tiempos.

A continuacin se muestra una imagen de esta funcin, los casilleros de ingreso de datos y

su respectivo esquema.

Fig.3.5.6 Tipo de excitacin (Funcin de fuerza trilineal)

Para el caso de una funcin de fuerza armnica. Los datos que se deben ingresar es la

amplitud mxima Po (Pmax)



Pg. 32

Fig.3.5.7 Tipo de excitacin (Funcin de fuerza armnica)

Para el caso de un acelerograma. Antes de cargar el archivo debemos definir la duracin

del acelerograma, el paso o incremento de tiempo, y un factor de aceleracin.

Fig.3.5.8 Tipo de excitacin (Acelerograma)

Antes de cargar el Acelerograma fijarse muy bien en la nota:

Nota: El archivo solo puede contener valores de aceleracin. Verificar que al inicio de la columna no haya

espacio ni tab. Si las aceleraciones estn en columnas debern estar separadas por Tabs.



Pg. 33

El archivo debe ser un archivo de texto .txt y el tipo de formato de datos de aceleracin es

el siguiente. El nmero de columnas puede ser uno o ms.

Fig.3.5.9a Formato del acelerograma (en una columna)

Fig.3.5.9b Formato del acelerograma (en varias columnas)

Se recomienda que al inicio del acelerograma no contenga, ninguna clase de descripcin o nota. O

sea caracteres, ni espacios en blanco. Esto se lo ilustra en la siguiente imagen.

Fig.3.5.9c Formato del acelerograma (incorrecto)



Pg. 34

33..55..55 Anlisis

Una vez ingresado las propiedades del sistema, definido el material a utilizar y escogido

el tipo de excitacin. Procedemos a ingresar la duracin del anlisis (Duracin). Adems

cabe destacar que se permiten tres opciones: ya sea analizar, borrar el ltimo anlisis o

borrar todos los anlisis. Existe un botn que permitir cargar un ejemplo. Al frente se

mostrarn las respuestas mximas de desplazamiento, velocidad, aceleracin y fuerza

interna. Estos resultados se registran en una hoja de Excel segn el nmero de anlisis,

que los puede descargar. Lo dicho se ilustra en la siguiente imagen Fig.3.5.10:

Fig.3.5.10 Anlisis

33..55..66 Grficos

Una vez realizado cualquier anlisis se presentan grficamente los resultados. Estas

grficas son:

Aceleracin del suelo (solo cuando se utiliza un acelerograma)

Tipo de excitacin

Desplazamiento relativo de la masa 1 (nudo 2)

Velocidad relativa de la masa 1 (nudo 2)

Aceleracin relativa de la masa 1 (nudo 2)

Fuerza interna en el elemento 1

Histresis en el elemento 1

Las grficas se van sobreponiendo segn el nmero de anlisis que se realice. As mismo

en cada grfico existe la opcin de descargar en una hoja de Excel formato .xls, los

resultados de todos los test que se realicen.



Pg. 35

33..55..77 Ejercicios

Ejercicio 3.5.1.- Una torre que se utilizar para almacenar agua se comporta como un

sistema de un grado de libertad. Esta posee cual una rigidez k =15000 kN/m, una masa de

m=10 tonne (1 tonne = 1000 kg), y adems un coeficiente de amortiguamiento c = 40.

Se quiere saber cul es el comportamiento si se la somete una funcin de fuerza

armnica, donde la amplitud mxima Po= 100 kN y el periodo de excitacin Ta =0.15 s.

Se considera que el material del cual est compuesta la estructura tiene un

comportamiento lineal. Se pide analizar la estructura por 10 segundos. La cual es el

mismo tiempo de excitacin.

Fig.3.5.11 Esquema del ejercicio 3.5.1

Solucin.

A la estructura anterior se la modela como un sistema de un grado de libertad, para luego

realizar un anlisis dinmico de esta.

Haciendo uso de la herramienta SDOF-Dynamics lo primero que se tiene que hacer es

ingresar los datos de periodo natural de vibracin T [s], la masa m [kNm/s2], y wl amortiguamiento [%].

Usando la ecuacin (3.2.2), para encontrar el periodo natural del sistema

m 10Tn = 2 = 2 = 0.1622 s

k 15000

Utilizando la ecuacin (3.2.3)

38.72980.1622

n

n

2 2 rad =

T s

Ahora despejando (3.2.4) y expresndolo en porcentaje

m=10 tonne (1 tonne = 1000 kg)

k=15000 kN/m

c = 40 kss/m

P(t)



Pg. 36

n

c 35 = 100 = 100 = 4.5185%

2 m 238.729810

Se ingresan estos datos en la herramienta

Ahora seleccionamos el tipo de material. En este caso es elstico, que posee un

comportamiento lineal.

Ahora tenemos que seleccionar el tipo de excitacin a la cual se va a someter a la estructura.

Tenemos la amplitud mxima Po =100 kN y el periodo de exitacin Ta =0.15 s.



Pg. 37

a

a

2 2 = = = 41.8879

T 0.15

Ahora se ingresa el tiempo de duracin del anlisis como se muestra en la siguiente imagen:

Se selecciona la opcin analizar que por defecto aparece as y luego ejecutamos el anlisis. En la

parte derecha se muestran las respuestas mximas como se haba ya indicado.



Pg. 38

Aqu se puede descargar los resultados en este caso solo tenemos un test:



Pg. 39

La siguiente imagen muestra los resultados que han sido descargados:

Ahora observemos las grficas que se ha generado. Como se ve aparece una vaca, es porque esta

solo se muestra para un acelerograma como ya se dijo antes. Las grficas que se han generado se las

muestra a continuacin:

El tipo de excitacin: Funcin de carga lineal para el caso del ejemplo



Pg. 40

El desplazamiento relativo para la masa 1 (nudo 2)



Pg. 41

La velocidad relativa para la masa 1 (nudo 2)

La aceleracin relativa para la masa 1 (nudo 2)



Pg. 42

La fuerza interna generada en el elemento

Finalmente la grafica de comportamiento del elemento



Pg. 43

Ejercicio 3.5.2.- Para la torre del ejercicio 3.5.1, consideremos ahora que posee un

periodo natural de vibracin 0.2 s, una masa de 15 tonne (1 tonne = 1000 kg) y un

amortiguamiento de 5%. Pero en este caso a dicha estructura se la someter a un registro de

aceleraciones o acelerograma. Considerar un tiempo de anlisis de 20 s, pero el tiempo de

excitacin solo de 10 s. Adems un paso o incremento de tiempo del acelerograma de 0.01

s. Tambin se considera un factor de aceleracin de 9.81 m/s2. Ahora consideremos que la

estructura posee un material con un comportamiento no-lineal, y para ello tomemos un

valor fuerza de fluencia Fy =100 kN un coeficiente de post-fluencia r = 0.02.

Solucin:

Antes de proceder a volver a utilizar la herramienta se ha escogido la opcin borrar todos

los anlisis. Para tener una mejor resolucin de todos las graficas.

Al igual que el ejercicio anterior debemos primero ingresar las propiedades del sistema:



Pg. 44

Se selecciona el tipo de material, en este caso se escoge el material Bilineal 1 que posee un

comportamiento no-lineal.

Ahora se escoge en tipo de excitacin la opcin acelerograma. Y antes de cargar algn archivo

debemos ingresar la duracin, el paso y el factor de aceleracin. Si el acelerograma no posee el

nmero suficiente de datos, aumenta el paso o incremento de tiempo.



Pg. 45

Ahora examinamos el registro de aceleraciones en el computador. Recuerde que este debe ser un

archivo de formato .txt. Y que los datos deben estar dispuestos como indic anteriormente.

Una vez que se que se encontrado la ubicacin del acelerograma, procedemos a cargarlo. Si el

formato de dos y de archivo es el correcto tendremos el mensaje de que el archivo ha sido cargado

correctamente. En caso contrario se presenta un error.



Pg. 46

Ahora se ingresa la duracin del anlisis para este caso de 20 s, y luego se ejecuta el anlisis.

Ahora en este caso si aparecern todas las graficas. Pero para la grafica de aceleracin del suelo.

Aparecer como el primer test, lo cual pretende dar entender que es el primer test con acelerograma.

De esta manera tenemos las siguientes grficas:



Pg. 47



Pg. 48



Pg. 49



Pg. 50

33..66 VERIFICACIN DE LA HERRAMIENTA

Ahora se somete a la herramienta a un chequeo, para ello se ha utilizado el software

NONLIN (10)

y tambin se lo ha verificado manualmente utilizando el mtodo de

Newmark al igual que lo hace OpenSees. Se ha utilizado el ejercicio 3.5.1 a continuacin

se muestra en una tabla los resultados obtenidos.

Tabla 3.6.1 Comparacin de resultados SDOF-Dynamics

Como se ha mostrado en la Tabla 3.6.1, los resultados tienden a ser muy parecidos. Por ello se

puede decir que la herramienta est funcionando correctamente. Y no solamente ha sido sometida a

este ejercicio, sino que tambin se ha vuelto a modelar la herramienta en el software SAP2000 (11).

Para este ejercicio se obtuvo un desplazamiento de 0.04091 m. Recordar que para el anlisis,

SDOF-Dynamics utiliza el software OpenSees que el modelado de la estructura se utiliza el mtodo

de Newmark a lo igual que en SAP2000. Obviamente que estas software permiten escoger otros

mtodos de anlisis.

CCAAPPIITTUULLOO IIVV



Pg. 51

44.. MMAANNUUAALL DDEE LLAASS HHEERRRRAAMMIIEENNTTAASS DDEE DDOOSS GGRRAADDOOSS DDEE LLIIBBEERRTTAADD

44..11 IINNTTRROODDUUCCCCIINN

Seguido a la implementacin de la herramienta SDOF-Dynamics, se ha realizado la

insercin de dos aplicaciones ms. Estas aplicaciones se basan en el anlisis de sistemas de

dos grados de libertad. Las dos herramientas al igual que aquella de un grado de libertad

utiliza el software OpenSees, para realizar la parte analtica. Obviamente tambin se utiliz

pginas asp.net para el procesamiento de datos. Las nuevas herramientas se denominan

2DOF-Dynamics y 2S-Porch, de las cuales se desarrollar un manual para cada

herramienta ms adelante.

Al hablar de sistemas de dos grados de libertad nos estamos refiriendo ya a la utilizacin de

conceptos de sistemas de mltiples grados de libertad. Por eso se ha credo conveniente

hacer un breve recuento de ciertos conceptos que ayudarn a una mejor comprensin del

uso que se les puede dar a las herramientas.

44..22 SSIISSTTEEMMAA SSIIMMPPLLEE:: PPRRTTIICCOO DDEE DDOOSS PPIISSOOSS

Se formula la ecuacin de movimiento ms simple posible que corresponde a un sistema de

mltiples grados de libertad (MDOF) se ha idealizado un prtico de dos pisos sujeto a

fuerzas externas p1(t) y p2(t). En este sistema las vigas y pisos son rgidos (rigidez infinita)

a flexin, y varios factores son ignorados: la deformacin axial de las vigas y las columnas,

adems el efecto de la fuerza axial en la rigidez de las columnas. Esta idealizacin de un

prtico, aunque no es real, es conveniente para ilustrar el desarrollo de la ecuacin de

movimiento de un sistema de MDOF

Fig.4.2.1 (a) Prtico de dos pisos (b) Fuerzas que actan en las dos masas



Pg. 52

Estas masas estn distribuidas en todo el prtico, pero se las idealizar como si estuvieran

concentradas en cada nivel. Esta suposicin es generalmente para edificios de mltiples

pisos porque la mayora de la masa de los edificios esta efectivamente en los niveles de

cada piso.

Justamente como en el caso de un sistema SDOF (Captulo III), se asumir que un

mecanismo de amortiguamiento viscoso lineal representa la disipacin de energa en una

estructura. La disipacin de energa est asociada con los movimientos deformacionales de

cada piso, los amortiguadores viscosos pueden ser visualizados como se mostr.

El nmero de desplazamientos requerido para definir las posiciones de desplazamiento de

todas las masas relativas a su posicin de equilibrio original, es denominado como el

nmero de grados de libertad (Capitulo II - Sec. 2.2). El prtico de la Fig.4.2.1a, con las

masas concentradas a nivel de cada piso, tiene dos grados de de libertad 2DOF: los

desplazamientos laterales u1 y u2 de los dos pisos en la direccin del eje x.

44..22..11 Usando la segunda ley de movimiento de Newton

Las fuerzas que estn actuando en las masas mj de cada piso se ven en la Fig. 4.2.1b. Esta

incluye la fuerza externa pj(t), la fuerza resistiva fSj elstica (o inelstica), y la fuerza de

amortiguamiento fDj.La fuerza externa es tomada como positiva a lo largo de la direccin

del eje x positivo. La fuerza elstica y de amortiguamiento como se mostr actan en la

direccin opuesta porque estas son las fuerzas internas que resisten los movimientos. La

segunda ley de movimiento de Newton entonces dada para cada masa:

(4.2.1)

La ecuacin (4.2.1) contiene dos ecuaciones para j =1 y 2, y escritas tambin en forma de

matriz:

(4.2.2)

La ecuacin (4.2.2) puede ser rescrita como:

(4.2.3)

Introduciendo la siguiente notacin:

j Sj Dj j j j j Dj Sj jp - f - f = m u o m u f + f = p

11 1 1 1

22 2 2 2

0 ( )

0 ( )

SD

SD

fm u f p t

fm u f p t

(t)D Smu + f + f = p

11 1 1 1

22 2 2 2

0

0

SD

D S

SD

fu m f p

fu m f p

u = m f f p



Pg. 53

Donde m es la matriz de masas del prtico de dos pisos.

Asumiendo un comportamiento lineal, la fuerzas resistivas elsticas fS estn relacionadas a

los desplazamientos de los pisos u. Para este propsito se introduce la rigidez lateral kj del

j-simo piso; esto relaciona al cortante de piso Vj con la deformacin del piso o deriva,

j = uj - uj-1, con la siguiente ecuacin:

(4.2.4)

La rigidez de piso es la suma de las rigideces laterales de todas las columnas en el piso

correspondiente. Para un piso de altura h y una columna con mdulo de elasticidad E, y

segundo momento de rea Ic, la rigidez lateral de una columna con los extremos

restringidos o empotrados implicadas por la idealizacin del prtico, es 12EIc/h3. Por ello la

rigidez de piso es:

(4.2.5)

Con las rigideces de piso definidas, se puede relacionar las fuerzas resistivas elsticas fS1 y

fS2 con los desplazamientos de piso, u1 y u2. La fuerza fS1 en el primer piso est conformada

por dos contribuciones: fs1a del piso que esta encima, y fs1

b del piso que est debajo.

De este modo:

La cual despus de sustituir en la ecuacin (4.2.4) y notar que 1 = u1 y 2 = u2 - u1, se llega a:

(4.2.6a)

La fuerza fS2 en el segundo piso es:

(4.2.6b)

Se observa que fs1a y fs2 es igual en magnitud y en direccin opuesta porque las dos

representan el cortante en el segundo piso. En forma matricial las ecuaciones (4.2.6a) y

(4.2.6b) son:

(4.2.7)

j j jV k

3

12 cj

columnas

EIk

h

1 1 1 b a

S S Sf f f

2S1 1 1 1 2f = k u +k (u - u )

2 2 1S2f = k (u - u )

1 1 2 2 1

2 2 2 2

S

S

S

f k k k u

f k k u

f = ku



Pg. 54

As el vector de fuerza elstica resistiva fS y el vector de desplazamiento u est relacionado

a travs de la matriz de rigidez k para el prtico de dos pisos.

Las fuerzas de amortiguamiento fD1 y fD2 , estn relacionadas con las velocidades 1 y 2 de los pisos. El coeficiente de amortiguamiento cj del j-simo piso relaciona al cortante de piso

Vj debido a los efectos de amortiguamiento en la velocidad asociada con la deformacin de piso por:

(4.2.8)

De manera similar a la ecuacin (4.2.6), se puede deducir

(4.2.9)

En forma matricial la ecuacin (4.2.9) es

(4.2.10)

El vector de fuerza fD de amortiguamiento resistivo y el vector de velocidad estn relacionados a travs de la matriz de amortiguamiento c para el prtico de dos pisos.

Ahora sustituyendo las ecuaciones (4.2.7) y (4.2.10) en (4.2.3) se obtiene,

(4.2.11)

La ecuacin matricial representa dos ecuaciones diferenciales ordinarias que gobiernan los

desplazamientos u1(t) y u2(t) del marco de dos pisos sujeto a fuerzas dinmicas externas

p1(t) y p2(t). Cada ecuacin contiene dos incgnitas u1 y u2. Las dos ecuaciones estn por lo

tanto unidas en esa forma presentada, deben ser resueltas simultneamente.

44..22..22 Equilibrio dinmico

De acuerdo al principio de DAlembert, con las fuerzas de inercia incluidas, un sistema dinmico est en equilibrio en cada instante de tiempo. Para las dos masas en el sistema de

la Fig.4.2.1a y Fig.4.2.2 vistas en su diagrama de cuerpo libre, incluyendo las fuerzas de

inercia. Cada fuerza de inercia es igual al producto de las masas por la aceleracin en su

respectivo tiempo y actuando en direccin opuesta de la aceleracin. De los diagramas de

cuerpo libre la condicin de equilibrio dinmico tambin est dada por la ecuacin (4.2.11).

j j jV = c

2 2 2 1D1 1 1 1 2 D2f = c u +c (u - u ) f = c (u - u )

1 1 2 2 1

2 2 2 2

D

D

D

f c c c u

f c c u

f = cu

(t)mu + cu + ku = p



Pg. 55

Fig.4.2.2 Diagramas de cuerpo libre

Las deducciones mostradas anteriormente fueron interpretadas del libro ref. (8)

Capitulo 9

Pg. 313-316. Cabe recalcar que el libro trata ms a detalle el desarrollo de un sinnmero

de conceptos.

44..33 RRAAYYLLEEIIGGHH DDAAMMPPIINNGG

Considerando primeramente el amortiguamiento proporcional a la masa y el

amortiguamiento proporcional a la rigidez:

(4.3.1)

cCT

(4.3.2)

Los modos naturales corresponden a las frecuencias naturales y pueden ser mostrados para

satisfacer las siguientes condiciones de de ortogonalidad. Cuando n r,

00 rT

nr

T

n mk (4.3.3)

Donde las constantes a0 y a1 tienen unidades de seg.-1

y seg., respectivamente. Para las dos

matrices de amortiguamiento C de la ecuacin (4.3.2) es diagonal en virtud de las

propiedades de ortogonalidad de la ecuacin (4.3.3), por lo tanto estas son las matrices

clsicas de amortiguamiento. Fsicamente estas representan el modelo de amortiguamiento

mostrado en la Fig. 4.3.1 para un prtico de mltiples pisos. El amortiguamiento

proporcional a la rigidez es deducido intuitivamente ya que este puede ser interpretado

como un modelo de disipacin de energa que surge de las deformaciones de piso, en

contraste al amortiguamiento proporcional a la masa. Esto es difcil de justificar

fsicamente porque el amortiguador de aire de este puede ser interpretado que para el

modelo es insignificantemente pequeo para la mayora de las estructuras.

y0 1a ac = m c = k



Pg. 56

Fig.4.3.1 (a) Amortiguamiento proporcional a la masa; (b) amortiguamiento proporcional a la rigidez

Luego se ver que, por ello mismo, ninguno de los dos modelos de amortiguamiento es

apropiado para la aplicacin prctica.

nT

nn cC (4.3.4)

Relacionando ahora las ecuaciones de amortiguamiento modal para un sistema con

amortiguamiento proporcional a la masa con el coeficiente a0. El amortiguamiento

generalizado para el n-simo modo, ecuacin (4.3.4), es

nn MaC 0 (4.3.5)

y la relacin de amortiguamiento modal, es

(4.3.6)

La relacin de amortiguamiento es inversamente proporcional a la frecuencia natural

(4.3.1a). El coeficiente a0 puede ser seleccionado para obtener un valor especfico de

relacin de amortiguamiento , de algn modo, es decir i para el i-simo modo. Luego la ecuacin (4.3.6) est dada por

(4.3.7)

Con a0 determinado, la matriz de amortiguamiento c es encontrada de la ecuacin (4.3.1a),

y la relacin de amortiguamiento en algn otro modo, es decir en el n-simo modo, es dada

vibracion

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