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METODO DE CALIBRACIN MEDIANTE
ALGORITMO GENETICO DE UN
MODELO DE CALIDAD DEL AGUA EN REDES DE CANALES
Ing. Rafael Bcemberg Lippo
Trabajo de Grado presentado ante la ilustre
Universidad Central de Venezuela para
Optar al ttulo de Magister Scientiarium en
Ingeniera Hidrulica.
Caracas, Octubre de 2.002
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Certifico que he revisado este trabajo de
Grado y que lo encuentro apropiado tanto
en su contenido como en su formato y
apariencia externa
___________________________________
Prof. Ivn Saavedra Cuadra
Tutor
________________________
Fecha
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RESUMEN
Un algoritmo gentico es una tcnica de bsqueda y optimizacin ciega, heurstica e
intuitiva basada en los procesos de seleccin natural y supervivencia del ms apto. Se basan
en la representacin digital del ADN y constituyen una herramienta muy til para resolver
problemas de optimizacin, presentando una serie de ventajas con respecto a los mtodos
tradicionales, ya que el mecanismo de evolucin y de seleccin en que se basan, es
independiente del problema a resolver. Dado el hecho de que no necesitan derivadas de las
funciones con las cuales se trabaja, su desarrollo y eventual convergencia no est sujeta a
condiciones de continuidad de las funciones y de sus derivadas, este enfoque presenta
ventajas para problemas en los cuales normalmente dichas derivadas no tienen solucin
analtica que introduciran el problema adicional de encontrar una formulacin numrica de
dicha derivada.
En este trabajo se desarroll un modelo unidimensional de transporte que en conjunto con
un modelo de flujo, permite obtener la distribucin espacial y temporal de una sustancia,
utilizando y modificando la estructura bsica de un algoritmo gentico para obtener el valor
del coeficiente E de dispersin involucrado en la ecuacin de conveccin-difusin que
mejor reproduzca el conjunto de mediciones que se tienen.
Se utilizaron probabilidades de cruce y mutacin expresadas en funcin de la posicin
relativa de los individuos, con lo cual se acelera el proceso de convergencia del parmetro
que se est calculando sin afectar su convergencia global. Se efectuaron pruebas en
funciones de dos (2) y tres (3) parmetros previas a la aplicacin en el caso real, siendo los
resultados obtenidos indicativos de la eficiencia de la tcnica de calibracin utilizada.
Para obtener el valor del coeficiente E se defini una funcin de aptitud del problema,
considerando la presencia de errores sujetos a una distribucin probabilstica, por lo cual se
ajustan los parmetros por medio de la maximizacin de la funcin de verosimilitud.
Se efectu la aplicacin en el sistema hidrulico del ro San Juan y se comprueba que este
mtodo permite obtener valores representativos del coeficiente de dispersin sin manipular
la estructura original del modelo a calibrar.
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I
METODO DE CALIBRACIN MEDIANTE
ALGORITMO GENETICO DE UN
MODELO DE CALIDAD DEL AGUA EN REDES DE CANALES
INDICE DE CONTENIDO
1. INTRODUCCION .......................................................................................................................................1
1.1 MODELOS NUMERICOS EN HIDRAULICA FLUVIAL ..............................................................1
1.1.1 Modelos de Flujo............................................................................................................................2
1.1.2 Modelos de Transporte y calidad .................................................................................................3
1.1.3 Tcnicas de Solucin......................................................................................................................3
1.2 MODELOS DE CALIDAD DEL AGUA .............................................................................................7
1.2.1 Ecuacin de Conveccin-Difusin. ...............................................................................................8
1.3 TERMINOS DE FUENTE Y SUMIDERO.......................................................................................11
1.3.1 Cintica Qumica. ........................................................................................................................13
1.4 SUSTANCIAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS.....................................................15
1.5 ESTIMACION DE LOS VALORES DEL COEFICIENTE DE DISPERSION. ..........................18
1.6 CALIBRACION ..................................................................................................................................24
1.7 DESARROLLO DEL ALGORITMO GENETICO. GENERALIDADES....................................28
1.8 OBJETIVOS DEL TRABAJO ...........................................................................................................37
2. DESCRIPCION DEL MODELO HIDRAULICO ..................................................................................39
2.1 FORMULACION MATEMATICA...................................................................................................39
2.1.1 Hiptesis .......................................................................................................................................39
2.1.2 Ecuaciones Bsicas ......................................................................................................................40
2.1.3 Pendiente de Friccin ................................................................................................................401
2.2 METODO NUMERICO .....................................................................................................................42
2.2.1 Integracin en el tiempo..............................................................................................................42
2.2.3 Condiciones Iniciales y de Contorno..........................................................................................43
2.2.4 Solucin del Sistema de Ecuaciones No-Lineales......................................................................44
2.3 ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD EN LAS CONFLUENCIAS..........................................46
2.4 SISTEMA FLUVIAL DONDE SE APLICO EL MODELO DE FLUJO ........................................47
2.4.1 Propagacin de la onda de marea en el estuario.......................................................................47
3. DESARROLLO DEL MODELO DE CALIDAD DEL AGUA .............................................................49
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II
3.1 ECUACIONES BASICAS ..................................................................................................................49
3.2 SOLUCION NUMERICA...................................................................................................................52
3.2.1 Esquema Numrico......................................................................................................................52
3.2.2 Conservacin de la masa.............................................................................................................54
3.2.3 Ecuacin numrica en las confluencias......................................................................................56
3.3 ESTABILIDAD Y PRECISION DEL MODELO .............................................................................57
3.4 CONDICIONES INICIALES Y DE CONTORNO...........................................................................60
3.5 SISTEMA DE ECUACIONES ...........................................................................................................62
4. APLICACIN DEL ALGORITMO GENETICO.................................................................................65
4.1 ALGORITMO GENETICO BASICO ...............................................................................................67
4.2 MODIFICACIONES, ANTECEDENTES Y MEJORAMIENTO DEL ALGORITMO
GENETICO ...............................................................................................................................................70
4.3 METODO DE CALIBRACION MEDIANTE ALGORITMO GENETICO.................................73
4.4 MODIFICACIONES DEL ALGORITMO GENETICO REALIZADAS EN ESTE TRABAJO 75
4.4.1 Probabilidades de cruce y de mutacin. ....................................................................................75
4.5 PRUEBA DEL ALGORITMO GENETICO PARA LA CALIBRACIN DE UN MODELO
SIMPLE......................................................................................................................................................77
4.5.1 Prueba del esquema de calibracin con parmetros conocidos. .............................................77
4.5.1.1 Funcin con dos parmetros de estimacin.......................................................................77
4.5.1.2 Funcin con tres parmetros de estimacin ......................................................................79
5. APLICACIN DEL MODELO DE TRANSPORTE Y SU CALIBRACION MEDIANTE
ALGORITMOS GENETICOS. ....................................................................................................................81
5.1 CASOS ESTUDIADOS .......................................................................................................................81
5.2 APLICACIN AL ESTUDIO DEL RIO SAN JUAN.......................................................................83
5.2.1 Descripcin del Area de Estudio ................................................................................................83
5.2.2 Discretizacin del sistema estudiado..........................................................................................85
5.2.3 Aplicacin del algoritmo gentico a la calibracin. ..................................................................86
6. RECOMENDACIONES Y CONCLUSIONES.......................................................................................89
7. BIBLIOGRAFA........................................................................................................................................92
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III
INDICE DE FIGURAS
Figura No. Descripcin
1.1 Esquema de la variacin espacial de los trminos de conveccin y dispersin ..a lo largo de un tramo de canal.
1.2 Esquematizacin de la descarga de un efluente en un ro.
1.3 Funcin de Ackley en 2D.
2.1 Estuario del Ro San Juan.
2.2 Propagacin de la onda de marea.
2.3 Relacin entre los niveles de marea y las velocidades de corriente. Terminal
Petrolero de Caripito. Mareas Vivas.
2.4 Hidrograma de caudales y niveles de marea en el Terminal Petrolero de
Caripito. Mareas Vivas.
2.5 Hidrograma de caudales y niveles de marea Aguas abajo de Punta Marieta.
Mareas Vivas.
4.1 Operador de cruce basado en un punto.
4.2 Operador de mutacin.
4.3 Funcin de probabilidad de cruce utilizada en el algoritmo gentico.
4.4 Funcin de probabilidad de mutacin utilizada en el algoritmo gentico.
4.5 Funcin de probabilidad de cruce utilizada en el algoritmo gentico.
4.6 Funcin de probabilidad de mutacin utilizada en el algoritmo gentico.
4.7 Funcin de dos parmetros utilizada para evaluar al algoritmo gentico.
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IV
4.8 Convergencia del mtodo de calibracin e influencia del nmero inicial de
individuos.
4.9 Convergencia del mtodo de calibracin e influencia del nmero inicial de
individuos
4.10 Evolucin del valor de los parmetros en cada generacin.
4.11 Evolucin del valor de los parmetros en cada generacin.
4.12 Evolucin de la funcin de aptitud en cada generacin.
4.13 Funcin de tres parmetros utilizada para evaluar el algoritmo gentico.
4.14 Evolucin del valor de los parmetros en cada generacin.
4.15 Evolucin del valor de los parmetros en cada generacin.
4.16 Evolucin del valor de los parmetros en cada generacin.
4.17 Evolucin de la funcin de aptitud en cada generacin. Funcin con tres
parmetros.
5.1 Comparacin de soluciones analtica y calculada. Dt= 5 seg, Tiempo 125
seg.
5.2 Comparacin de soluciones analtica y calculada. Dt= 5 seg, Tiempo 250
seg.
5.3 Comparacin de soluciones analtica y calculada. Dt= 5 seg, Tiempo 500
seg.
5.4 Comparacin de soluciones analtica y calculada. Dt= 25 seg, Tiempo 125
seg.
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V
5.5 Comparacin de soluciones analtica y calculada. Dt= 25 seg, Tiempo 250
seg.
5.6 Comparacin de soluciones analtica y calculada. Dt= 25 seg, Tiempo 500
seg.
5.7 Velocidades de corriente y variacin vertical de salinidad. Seccin 66. Cao
La Brea.
5.8 Velocidades de corriente y variacin vertical de salinidad. Seccin 25. Cao
Guanoco.
5.9 Velocidades de corriente y variacin vertical de salinidad. Seccin 8. Ro
San Juan (Muelle 3).
5.10 Discretizacin espacial del sistema Hidrulico del Ro San Juan y ubicacin
y tipo de mediciones y condiciones de borde.
5.11 Resultados del Algoritmo Gentico. Curva de Funcin de aptitud Vs
Coeficiente de dispersin.
5.12 Comparacin de los datos de salinidad medidos y los calculados para E= 450
m2/s.
5.13 Evolucin de la poblacin (16 individuos) para cada generacin.
5.14 Valores de E para cada generacin. Caso QCaripito= 200 m3/s y QGuanoco= 50
m3/s.
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VI
INDICE DE SIMBOLOS
A= Area de flujo.
C= Concentracin de una sustancia.
Cl= Concentracin lateral de la descarga.
Db= Oxgeno removido por depsitos bentales.
Dm= Coeficiente de difusin molecular.
E= Coeficiente longitudinal de dispersin.
Ex= Coeficiente de difusin turbulenta en la direccin x.
K= Constante de velocidad de reaccin de una sustancia.
K1= Velocidad de reaccin de la DBO carboncea.
K3= Velocidad de remocin del DBO por absorcin o sedimentacin.
K2= Coeficiente de reareacin.
M= Momento de rea de la seccin transversal con respecto a la superficie libre.
Mi = Cantidad de sustancia difundida por unidad de rea.
n= Coeficiente de friccin de Manning.
P= Permetro mojado de la seccin transversal.
ql= Aporte lateral al canal por unidad de longitud.
Q= Caudal.
R= Radio hidrulico de la seccin transversal.
Si= Trmino de fuente o sumidero.
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VII
Sf= Pendiente de friccin.
t= Tiempo.
U*= Velocidad de corte.
Vx= Componente del vector velocidad en la direccin x.
W= Ancho del canal.
y= Profundidad del flujo.
= Factor de ponderacin.
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1
1. INTRODUCCION
1.1 MODELOS NUMERICOS EN HIDRAULICA FLUVIAL
Un modelo matemtico es en trminos generales una representacin de fenmenos
naturales extremadamente complejos que permite obtener el valor de las variables que
intervienen en el proceso tanto en lo referente a su distribucin espacial como a su
evolucin temporal, basndose en la solucin de las ecuaciones descriptivas del fenmeno
que se quiera modelar.
El modelo matemtico utilizado puede tener simplificaciones en mayor o menor grado, lo
cual depender de la incorporacin al mismo de un mayor o menor nmero del total de
variables que intervienen en el proceso que se quiere simular. Para su desarrollo e
implementacin se deben identificar en primer lugar las ecuaciones bsicas que lo
describen, las cuales conforman usualmente un sistema de ecuaciones diferenciales
parciales.
Luego de que se han determinado las ecuaciones que describen al fenmeno que se vaya a
modelar, se debe implementar un algoritmo de clculo para obtener la solucin del sistema
de ecuaciones resultantes, las cuales a su vez pueden ser lineales o no lineales. Esto
conlleva a la ejecucin de una serie de pruebas numricas para estudiar la convergencia y
estabilidad del modelo para lo cual se utilizan normalmente problemas con soluciones
analticas contra las cuales se puedan comparar los resultados obtenidos con el modelo.
Una vez que se tiene seguridad en lo referente a la convergencia y estabilidad del modelo
se procede entonces a calibrarlo de forma tal de que el mismo se ajuste a un sistema fsico
dado, para lo cual es necesario contar con mediciones reales efectuadas en dicho sistema
contra las cuales se pueda comparar la respuesta del modelo.
Logrado esto, el modelo se convierte en una herramienta de trabajo muy til a la hora de
predecir los efectos que puedan originar cambios en los valores de las distintas variables
que intervienen en el sistema.
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1.1.1 Modelos de Flujo
Entre los modelos matemticos utilizados en hidrulica fluvial se pueden distinguir los
llamados modelos de flujo o modelos hidrulicos, a travs de los cuales se trata de
caracterizar el comportamiento de un fluido (en este caso el agua) dentro de un sistema
fluvial, utilizando para ello las ecuaciones de continuidad y de cantidad de movimiento.
El desarrollo de modelos para estimar el patrn de flujo en ros se basa en las ecuaciones
del flujo con superficie libre. Dichas ecuaciones son la de continuidad y la de cantidad de
movimiento (ecuaciones de Saint Venant) estudiadas y conocidas desde hace muchos aos
y cuya solucin completa, salvo algunos casos simples, tiene que ser encontrada por
mtodos numricos.
La complejidad de las ecuaciones condujo en el pasado a muchos investigadores a trabajar
con formas simplificadas de las mismas, ignorndose en muchos casos algunos de los
trminos de dichas ecuaciones (Wormleaton et al. 1984).
En el presente, con el auge de las computadoras, la solucin completa de stas ecuaciones
ha alcanzado un gran desarrollo permitiendo con ello una determinacin muy confiable del
patrn de flujo, siempre y cuando se tenga a la disposicin una informacin bsica
confiable. En la literatura especializada estn descritos numerosos modelos
unidimensionales y bidimensionales tanto de flujo como de sedimentos y contaminantes en
cuerpos de agua, los cuales se basan en tcnicas numricas para la solucin de las
ecuaciones de flujo no permanente y transporte de sedimentos en canales abiertos.
Los fundamentos y aplicacin de modelos de hidrulica fluvial basados en las ecuaciones
de Saint Venant pueden encontrarse, por ejemplo, en Practical aspects of computational
river hydraulics(Cunge et al. 1980).
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1.1.2 Modelos de Transporte y calidad
Otros tipos de fenmenos son simulados mediante los llamados modelos de transporte,
los cuales toman en cuenta el transporte de masa de una sustancia en el sistema estudiado a
travs de la resolucin de la ecuacin de conveccin-difusin, y dentro de stos se
encuentran los llamados modelos de calidad del agua.
Los modelos de calidad del agua para rgimen permanente en ros y estuarios son en la
actualidad muy utilizados y tradicionalmente se basan en extensiones de las ecuaciones de
Streeter-Phelps para la prediccin de la demanda bioqumica de oxgeno (DBO) de varios
componentes biodegradables, as como las concentraciones resultantes de oxgeno disuelto
(OD) en ros.
Las diferencias entre los modelos matemticos existentes para calidad del agua se basan en
las siguientes condiciones:
1) Dimensin del modelo (una, dos o tres dimensiones).
2) Tipo de flujo (permanente o no).
3) Tipos de fuente o sumidero y el tipo de sustancias a simular (conservativas o no).
4) Mtodos numricos que en realidad no representan una clasificacin del modelo en s,
sino de tcnicas de solucin.
1.1.3 Tcnicas de Solucin
Las tcnicas de solucin tienen un papel importantsimo en el desarrollo de los modelos.
Los mtodos de solucin van desde el clculo manual y utilizacin de grficos y
nomogramas hasta mtodos de optimizacin y simulacin de alta complejidad para los
cuales es imprescindible la utilizacin de computadoras.
En las ltimas dcadas, con el auge en la utilizacin de equipos de computacin digital
rpidos, poderosos y de bajo costo, los mtodos numricos han pasado a representar un
medio natural para obtener soluciones rpidas y precisas.
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Las ecuaciones de un modelo forman un sistema de ecuaciones diferenciales parciales que
representan las propiedades de almacenamiento y transporte. Las tcnicas de solucin de
dichas ecuaciones pueden basarse en soluciones analticas, o en mtodos de solucin
numrica aproximada, tales como el de diferencias finitas o el de elementos finitos y ms
recientemente a travs del uso de las tcnicas de ecuaciones integrales para la solucin de
las ecuaciones de flujo y dispersin.
A continuacin procederemos a describir brevemente dichas tcnicas de solucin.
Mtodo de Diferencias Finitas: Utilizado tradicionalmente en la resolucin de ecuaciones
de flujo y calidad del agua. Su amplia difusin se debe principalmente a su simplicidad
conceptual y a la facilidad para programarlo en un computador, ya que las ecuaciones
diferenciales se transforman directamente en ecuaciones aproximadas de diferencias finitas.
En general los pasos que se deben seguir para la obtencin de la solucin numrica son: (1)
Seleccin de un mtodo de diferencias finitas adecuado para el tipo de ecuaciones que se
pretenda resolver; (2) Discretizacin de dichas ecuaciones diferenciales; (3) Resolucin del
sistema de ecuaciones obtenido.
La aplicacin clsica del mtodo de diferencias finitas a la solucin de un problema de
derivadas parciales en dos dimensiones involucra la discretizacin del dominio de clculo
mediante una malla de celdas cuadradas o rectangular de dimensiones fijas, por lo cual, si
se quiere refinar dicha malla para mejorar la representacin del dominio fsico se deben
aumentar los puntos o nodos de clculo y en consecuencia se necesita ms memoria y
mayor tiempo de computacin, lo cual puede llegar a representar una limitacin de cierta
importancia si la geometra del problema estudiado es muy irregular, en cuyo caso sera
preferible la utilizacin del mtodo de elementos finitos.
Por ltimo, debe destacarse que en general no se dispone de mtodos exactos para estudiar
la convergencia de esquemas de diferencias finitas, razn por la cual se necesita realizar
experimentos numricos para con ello determinar las condiciones bajo las cuales un
esquema puede garantizar una mejor simulacin de las condiciones reales de un flujo.
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Mtodo de Elementos Finitos: Si el dominio fsico es geomtricamente irregular es
preferible utilizar, por las causas referidas en el prrafo anterior, el Mtodo de Elementos
Finitos antes que el de Diferencias Finitas. En contraposicin con los esquemas de
diferencias finitas en los cuales el dominio de inters es sustituido por un conjunto de
puntos discretos, en este mtodo el dominio se subdivide en segmentos o subdominios a los
cuales se refiere el trmino elementos el cual puede tener una forma arbitraria y sobre el
cual se efectan directamente todos los balances.
Una virtud esencial del mtodo de elementos finitos es que, a diferencia del mtodo de
diferencias finitas, permite una discretizacin muy flexible de forma que puede reducirse
notablemente el nmero de elementos necesarios para una representacin adecuada del
fenmeno estudiado.
Mtodo de Elementos de Frontera: El mtodo de elementos de frontera (BEM) es un
mtodo numrico para la solucin de las ecuaciones integrales de frontera basado en un
procedimiento de discretizacin, el cual es en cierta manera similar al mtodo de elementos
finitos, pero se efecta solamente sobre el contorno del problema. En general, se expresa el
problema mediante una ecuacin integral equivalente a la ecuacin diferencial parcial que
se desea resolver por medio de la representacin de Green correspondiente (mtodo
directo).
Existe en la actualidad un gran inters en la investigacin de mtodos de frontera ya que al
obtener la solucin numrica por un mtodo de integral de frontera no se necesita construir
una malla sobre dicho dominio sino solamente sobre el contorno, pudindose de sta forma
disminuir el esfuerzo computacional a travs de una reduccin de la dimensionalidad, pero
con la desventaja del costo computacional de evaluar las integrales de frontera sobre dicho
contorno.
El BEM se ha extendido hoy en da a muchas reas del anlisis en ingeniera, en particular
ha sido aplicado al flujo en medio poroso con superficie libre por Liggett (1977), siendo
tambin muy utilizado para simulaciones tridimensionales de flujo potencial y en modelos
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de transporte con mtodos muy sofisticados, no siendo muy ventajoso su uso en modelos
unidimensionales de superficie libre o de transporte.
En este trabajo se utiliz un modelo unidimensional de diferencias finitas ya que el objetivo
principal del mismo no se centra en particular en el tipo de tcnica de solucin del modelo
(diferencias finitas, elementos finitos o elementos de frontera) sino en el desarrollo y
evaluacin de la rutina de calibracin de dicho modelo.
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1.2 MODELOS DE CALIDAD DEL AGUA
El proceso global del modelaje de la calidad del agua es muy amplio, y aunque algunos
aspectos del mismo pueden ser considerados independientes por completo del modelaje del
flujo no permanente en canales abiertos, existe un factor que enlaza ambas disciplinas; el
transporte de las sustancias disueltas o suspendidas. Una explicacin amplia y detallada de
esto se encuentra en Cunge et al., 1980.
El transporte de masa en el medio ambiente es ocasionado tanto por los procesos de
dispersin, como por los procesos de conveccin y difusin, entendindose por transporte
al proceso hidrodinmico de dispersin, es decir, la interaccin entre la conveccin
diferencial y la difusin turbulenta, ya que ambas dependen del campo de velocidades que
tenga el flujo.
Los contaminantes y efluentes, cuando se descargan en un curso de agua, se mezclan con el
flujo de agua y son transportados aguas abajo, siendo entonces el efluente dispersado
longitudinalmente, transversalmente y verticalmente por los procesos de transporte
convectivos y dispersivos (Loucks et al. 1981). Luego de que la mezcla en la seccin
transversal est completa, el mecanismo ms importante es el proceso de dispersin
longitudinal, tendiente a eliminar el gradiente de concentraciones longitudinales (Fischer
1979).
El transporte convectivo domina en la mayora de los ros, mientras que la dispersin
domina en estuarios sujetos a la oscilacin de los niveles de la superficie libre por accin
de las mareas.
En aquellos cauces donde se presentan velocidades altas, la conveccin es el proceso
dominante siendo la difusin despreciable frente a la primera, mientras que en aquellos
estuarios donde las velocidades son usualmente bajas, tanto la dispersin como la difusin
deben ser examinadas con detenimiento.
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1.2.1 Ecuacin de Conveccin-Difusin.
El fenmeno de difusin molecular, en el cual unas molculas marcadas de un fluido se
van a difundir en otro fluido neutral, se realiza de acuerdo a la primera ley de estado de
Fick (1855) quien expres por primera vez en trminos cuantitativos el esparcimiento de
sustancias as como el movimiento aleatorio de las molculas. Para ello, hizo una analoga
entre este proceso y la transferencia de calor por conduccin, la cual tambin se debe al
movimiento aleatorio de las molculas. Para representar matemticamente este fenmeno,
adapt la ecuacin matemtica de conduccin de calor desarrollada anteriormente por
Fourier (1822) para expresar la cantidad de sustancia difundida a travs de una seccin de
rea unitaria.
De acuerdo con Fick la variacin del transporte de masa en una direccin i, es proporcional
al gradiente de la concentracin en esa direccin, es decir;
Donde Mi es la cantidad de sustancia difundida por unidad de rea de una seccin por
unidad de tiempo, C es la concentracin de la sustancia difundida, i es la distancia medida
normal a la seccin y Dm es el coeficiente de difusin molecular. El signo (-) obedece al
hecho de que la concentracin de la sustancia que se difunde decrece en el sentido en que
ocurre la transferencia de la sustancia.
El proceso de difusin molecular juega un papel importante en la difusin de
contaminantes cuando el flujo es laminar, pero en el caso de que el flujo sea turbulento su
efecto es despreciable en comparacin con el proceso de difusin turbulento
En efecto, si se libera un nmero pequeo de partculas de alguna sustancia flotante, neutra,
en un punto P, se puede notar que a una distancia aguas abajo del punto P, las
partculas se habrn dispersado por completo una de la otra, siempre y cuando el flujo sea
turbulento. Este es el proceso de difusin turbulento, donde cada porcin individual de
(1.1) iCDM mi
=
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fluido est sujeta a fluctuaciones aleatorias del vector velocidad, tanto en magnitud como
en sentido, razn por la cual su ruta o las rutas de varias partculas que salen del mismo
punto, varan alrededor del campo de flujo.
Usando la ecuacin (1.1) para tomar en cuenta la variacin en un elemento volumtrico, el
proceso de difusin a travs de dicho elemento se puede representar mediante la siguiente
ecuacin:
Por otro lado la conveccin de la concentracin de un elemento, es el transporte que resulta
del gradiente del flujo de masa de la sustancia, pudiendo describirse este proceso mediante
la siguiente ecuacin:
Donde C es la concentracin del elemento y vx, vy y vz son las componentes del vector
velocidad en las direcciones x, y, z respectivamente. El primer trmino de la ecuacin toma
en cuenta la variacin temporal de la concentracin mientras que los otros trminos toman
en cuenta la variacin espacial de la misma.
En base a las ecuaciones (1.2) y (1.3) se tiene que la ecuacin de transporte tridimensional
viene dada entonces por la siguiente expresin:
Donde ex, ey y ez son los coeficientes de difusin turbulenta (Tucci 1978)
(1.2) 22
2
2
2
2
+
+=
zC
yC
xCD
tC
m
(1.3) 0)()()( =
++
+
zCv
yCv
xCv
tC zyx
(1.4) )()()()()()(
zCe
zyCe
yxCe
xzCv
yCv
xCv
tC
zyxzyx
++=+++
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La forma unidimensional de esta ecuacin fue desarrollada por Holley y Harleman (1965).
Integrando sobre la seccin transversal se promedia la velocidad longitudinal, la
concentracin y el coeficiente de difusividad turbulenta obtenindose la ecuacin de
transporte unidimensional para flujo no permanente de una sustancia no conservativa, la
cual queda representada de la siguiente manera:
Donde E es el coeficiente longitudinal de dispersin el cual evala la distribucin no
uniforme de la velocidad (dispersin) as como el valor principal de la difusividad
turbulenta.
En la ecuacin (1.5) los trminos del lado izquierdo de la ecuacin toman en cuenta los
efectos convectivos, mientras que el primer trmino del lado derecho toma en cuenta los
efectos de la dispersin.
Igualmente se tiene que el trmino Si conocido como trmino "fuente" o "sumidero" toma
en cuenta las ganancias o prdidas del sistema.
En la figura 1.1 se muestra un esquema de la variacin espacial de los trminos de
conveccin y dispersin a lo largo de un tramo de canal.
(1.5) )()()( iSxCEA
xxQC
tAC +=+
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1.3 TERMINOS DE FUENTE Y SUMIDERO
Se dice que una sustancia es conservativa cuando su concentracin no cambia debido a
reacciones biolgicas o qumicas, y no conservativas a aquellas que s experimentan
cambios en su concentracin a lo largo del tiempo. La sal y otros cloruros son ejemplos de
sustancias conservativas, mientras que la Demanda Bioqumica de Oxgeno es un ejemplo
de una no conservativa.
Para sustancias conservativas el trmino de fuente o sumidero se expresa de la
siguiente forma:
Donde ql es la descarga por unidad de longitud (m3/m.s), bien sea entrando o saliendo al
sistema considerado, y Cl es la concentracin de la sustancia en esta descarga (mg/l).
Un sistema hidrulico de ros interconectados o un simple canal recto, pueden tener fuentes
internas y externas de polucin, las cuales pueden a su vez ser difusas o puntuales. Las
fuentes puntuales son aquellas descargas cuyo flujo es transportado en un canal bien
definido. Ejemplos tpicos son las descargas municipales e industriales de aguas negras,
descargas de alcantarillas que transportan aguas de lluvia, etc. Por otro lado las fuentes
difusas o fuentes no puntuales tienen descargas extendidas lateralmente donde el flujo total
de la descarga no puede ser medido o monitoreado directamente con observaciones en un
punto.
Los cambios que afectan la calidad del medio pueden ser provocados intencionalmente
(cuando las descargas con contaminantes son autorizadas) o pueden ser sin intencin
(cuando se altera el drenaje natural de un rea), pudindose clasificar stas ltimas de
acuerdo a la forma en que los poluentes son introducidos en el medio acutico y por la
actividad o procesos que generan dichas descargas.
(1.6) . lll CqS =
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Los procesos mediante el cual estas descargas contaminan pueden ser discretos o puede
extenderse dispersivamente sobre el cuerpo receptor. Hasta aqu, la diferencia esencial
entre descargas puntuales y difusas (independientemente del mecanismo de polucin) es la
capacidad de remover el contaminante del primero.
Esto contrasta con los mtodos de control disponibles para fuentes difusas las cuales
solamente pueden ser reguladas mediante el control de la actividad que la genera, ya que si
no es controlada puede elevar los niveles de contaminacin.
En base a lo anterior las fuentes de polucin se pueden clasificar como sigue:
1) Fuentes capaces de ser controladas en un punto (Fuentes Puntuales).
- Desechos domsticos.
- Desechos industriales, los cuales pueden orgnicos, inorgnicos, calricos y sustancias
radioactivas.
- Desechos superficiales provenientes de rea impermeables, tales como aeropuertos,
zonas industriales, etc.
- Sustancias radioactivas.
- Desechos provenientes de reas con drenajes, entre las cuales se pueden mencionar;
sitios donde se est ejecutando alguna construccin, minas, canteras, etc.
- Agua de escorrenta proveniente de sitios tales como botaderos de basura.
- Agua de escorrenta utilizada en actividades mineras.
- Descargas ilegales (las cuales estn tericamente controladas mediante leyes, y que
adems deben ser continuamente monitoreadas).
2) Fuentes difusas.
- Acuferos y drenajes naturales contaminados.
-
13
- Materia dispersa debido a la turbulencia generada por actividades navieras, las cuales
ocasionan la resuspensin de material.
- Lluvias cidas.
La extensin de cualquiera de stas fuentes y su capacidad de contaminar, depende de la
naturaleza del cuerpo receptor. Areas rurales con poblacin dispersa y suelos pobremente
cultivados poseen ros limpios y la contaminacin que all se presenta es probablemente
causada por fuentes difusas, mientras que las reas urbanas con una densidad poblacional
alta, tienen ros contaminados donde las fuentes de polucin son generalmente puntuales.
En general, la calidad del agua de un cuerpo se determina a travs del anlisis de sustancias
escogidas de acuerdo a los objetivos del estudio que se est haciendo de las fuentes de
polucin.
Algunos de los parmetros estudiados incluyen la temperatura, salinidad, cloruros, oxgeno
disuelto, demanda bioqumica de oxgeno, formas nitrogenadas y concentracin de
coliformes.
1.3.1 Cintica Qumica.
La cintica qumica se refiere a la rapidez o velocidad de las reacciones. Muchas reacciones
son propias de la biotransformacin, crecimiento y muerte de microbios, aireacin,
desintegracin por la radiactividad, desinfeccin, etc (Sawyer et al. 2000) y tienen
velocidades que a una temperatura dada son proporcionales a la concentracin de uno, dos,
ms reactivos, elevadas a una pequea potencia integral.
En general, las reacciones de primer orden son las ms comunes, aunque existen reacciones
de otros rdenes o de una naturaleza ms compleja.
A continuacin se describirn muy brevemente los tipos de reacciones antes mencionadas.
Reacciones de orden cero: Son aquellas donde la velocidad de reaccin es independiente de
la concentracin. Matemticamente se representan mediante ecuaciones del tipo:
-
14
(1.7) ktC =
donde C es la concentracin del reactivo y k es la constante de velocidad en unidades de
concentracin/tiempo. Ejemplos de este tipo de reacciones son la oxidacin del amonaco a
nitrito y la oxidacin de la glucosa por bacterias aerbicas.
Reacciones de primer orden: En este tipo de reacciones la tasa de desintegracin es
directamente proporcional a la cantidad del material que no se ha desintegrado. El ejemplo
ms directo de este tipo de reacciones es la desintegracin de un elemento radiactivo, as
como la Demanda Bioqumica de Oxgeno (DBO).
Matemticamente se pueden expresar de la siguiente manera:
(1.8) KCtC =
Si se integra la ecuacin (1.8) se obtiene la siguiente ecuacin:
(1.9) 10 * -KTCoC =
Reacciones de segundo orden: Son aquellas en las que la velocidad de reaccin es
proporcional al cuadrado de la concentracin de uno de los reactivos, o al producto de la
concentracin de dos reactivos diferentes, y matemticamente pueden ser expresadas por
una ecuacin del tipo:
(1.10) 2CaKt
Ca
a =
-
15
1.4 SUSTANCIAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS
Las sustancias que se van a analizar a travs de un modelo de calidad del agua pueden ser
clasificadas como conservativas y no conservativas.
Tal como se mencion en el aparte 1.3, una sustancia se dice que es conservativa cuando su
concentracin no cambia debido a reacciones biolgicas o qumicas. La sal y otros cloruros
son ejemplos de sustancias conservativas, tenindose por otro lado que las sustancias no
conservativas presentes en un cuerpo de agua pueden tener reacciones qumicas o
biolgicas modificando as su concentracin (ver aparte 1.3.1). Por lo general, algunas de
estas sustancias tales como la Demanda Bioqumica de Oxgeno son simuladas mediante
reacciones de primer orden.
Referente a las sustancias no conservativas, se puede afirmar que en descargas
contaminadas pueden existir componentes nitrogenosos y carbonosos los cuales se oxidan
bioqumicamente a velocidades diferentes, siendo usualmente representados los procesos
carbonosos mediante reacciones de descomposicin de primer orden, mientras que la
demanda nitrogenada se debe a la oxidacin del amonio en nitratos debido a la nitrificacin
por las bacterias.
As como la ecuacin (1.6) expresa matemticamente a una sustancia conservativa, a
continuacin se presentan, slo como referencia, los trminos de fuente y sumidero
utilizados para representar sustancias no conservativas tales como: la demanda bioqumica
de oxgeno y el oxgeno disuelto, cuyas concentraciones son factores importantes en la
evaluacin y manejo de la calidad del agua una vez que las aguas contaminadas y sin tratar
son descargadas a lo largo del cuerpo de agua, lo cual ocasiona que el equilibrio qumico,
biolgico y fsico de sus componentes se vea alterado.
El trmino fuente y sumidero utilizado para representar a la demanda bioqumica de
oxgeno, est dado por la siguiente expresin:
-
16
Donde K1 es la velocidad de reaccin de la DBO carbononcea (por da), K3 es el
coeficiente de la velocidad de remocin del DBO por absorcin o sedimentacin (por da),
La es la velocidad de adicin de DBO a lo largo de un tramo (partes por milln al da,
ppm/da), ql es la descarga lateral (m2/s), A es el rea de la seccin transversal (m2) y Cl es
la concentracin de DBO en el flujo lateral (ppm).
La ecuacin diferencial parcial con la que se representa la concentracin de DBO es:
Por otro lado se tiene que el trmino fuente y sumidero utilizado para representar al
oxgeno disuelto es el siguiente:
Donde CDBO es la concentracin de la Demanda Bioqumica de Oxgeno (ppm) de la
demanda bioqumica de oxgeno, K2 es el coeficiente de reareacin (por da), Cs es la
concentracin de saturacin del oxgeno disuelto (ppm) y DB es el oxgeno removido por
depsitos bentales, y el incremento del oxgeno a travs de la fotosntesis y respiracin de
las plantas (ppm/da).
La ecuacin diferencial parcial con la que se representa el oxgeno disuelto (OD) es:
(1.11) )( 31 llai CqLACKKS +++=
(1.12) )()()()( )(31 DBOllaDBODBODBODBO CqALACKKxCEA
xxQC
tAC +++=+
(1.13) )( )(21 ODllbODsDBOi CqADCCAKACKS ++=
(1.14) )()()()(
)(21 ODllBODSBODODODOD CqADCCAKACKx
CEA
xxQC
tAC ++=+
-
17
La parte de este trabajo que involucra la simulacin del transporte de sustancias, se limitar
al tratamiento de sustancias conservativas por lo que en caso de que existan trminos de
fuente o sumidero en el sistema considerado, los mismos se evaluarn a travs de una
ecuacin del tipo presentado en (1.6).
-
18
1.5 ESTIMACION DE LOS VALORES DEL COEFICIENTE DE DISPERSION.
Cuando los contaminantes y efluentes son descargados en un ro, se mezclan con el flujo de
agua y son transportados aguas abajo, siendo entonces el efluente dispersado longitudinal,
transversal y verticalmente por procesos de transporte convectivos y dispersivos.
Considrese que un efluente es descargado en un ro tal como se muestra en forma
esquemtica en la figura 1.2. El proceso de mezcla del efluente en el ro puede dividirse en
tres (3) etapas:
- Una primera etapa donde la cantidad de movimiento inicial y la vivacidad de la
descarga determina un porcentaje de dilucin.
- Una vez que se disipan los efectos del impulso inicial, se comienza una segunda etapa
en la cual el desecho se mezcla transversalmente en el canal receptor debido a la
turbulencia.
- Finalmente, cuando el desecho est totalmente mezclado a lo largo del canal, el proceso
de dispersin longitudinal tiende a eliminar las variaciones longitudinales de
concentracin. En sta ltima etapa es en la cual se podra aplicar el anlisis de
dispersin longitudinal en tuberas de Taylor y se podra encontrar que hay un anlisis
equivalente para dispersin longitudinal en ros.
En base a lo anterior, se puede decir que el coeficiente de dispersin longitudinal es el
resultado de los efectos de la distribucin no uniforme de velocidades y de la concentracin
a lo largo de la seccin transversal, as como del efecto de la difusividad turbulenta, siendo
el primer efecto el ms importante.
En trminos generales, cuando un poluente entra a un ro, el proceso convectivo es
inicialmente el que tiene ms influencia y la nube del contaminante presenta inicialmente
una forma similar al perfil de velocidades.
Todo esto trae como consecuencia que cuando se utiliza un modelo de dispersin
longitudinal para predecir la variacin de concentracin de poluentes en canales naturales,
-
19
la seleccin de un coeficiente de dispersin apropiado es lo ms importante y a la vez es la
tarea ms difcil ya que normalmente en ros, donde las caractersticas de mezcla y de
dispersin son desconocidas, el coeficiente de dispersin slo puede ser estimado usando
ecuaciones tericas o empricas.
En otras palabras, el poder calibrar el modelo mediante la seleccin apropiada de los
valores del coeficiente de dispersin longitudinal, no es tarea fcil, por lo que encontrar el
camino ms expedito para lograr dicha calibracin es imprescindible (ver aparte 1.6).
Dado el hecho de que el principal problema durante el proceso de calibracin de un modelo
de transporte es la obtencin de un coeficiente de dispersin adecuado, los trabajos de
investigacin se han centrado desde hace tiempo en tratar de obtener frmulas o relaciones
matemticas para la evaluacin de dicho coeficiente.
Para que se tenga una idea de lo variable que puede ser el coeficiente de dispersin
longitudinal en los diferentes sistemas fluviales, Won y Tae Sung (1998) presentan una
tabla donde se resumen datos de mediciones hidrulicas y de dispersin en 26 ros de los
Estados Unidos de Norteamrica, y en la misma puede apreciarse que los valores del
coeficiente de dispersin longitudinal varan entre 1,90 y 1486 m2/s.
Los conceptos bsicos para los modelos unidimensionales de transporte fueron elaborados
por Taylor (1954) siendo la ecuacin unidimensional de dispersin derivada por Taylor
ampliamente utilizada, obtenindose resultados razonablemente buenos en cuanto a la
variacin de la dispersin longitudinal se refiere. Esta ecuacin de dispersin
unidimensional es:
donde A es el rea de la seccin transversal, C es el promedio de la concentracin en la
seccin transversal, U es la velocidad promedio en la seccin transversal, K es el
coeficiente de dispersin, t es el tiempo y x es la direccin principal del flujo.
(1.15) )()()(xCEA
xUAC
xtAC
+=
-
20
Existen soluciones analticas de la ecuacin (1.15) que se pueden obtener si se tienen las
condiciones iniciales y de borde, y adems se asume que el flujo del ro es uniforme y el
coeficiente de dispersin es constante. Sin embargo, y debido a las suposiciones hechas, el
uso de esta ecuacin se limita a las localizaciones cercanas a la fuente, donde se logra el
balance entre adveccin y difusin asumido por Taylor.
Normalmente el coeficiente de dispersin longitudinal depende de la profundidad del agua,
de la forma de la seccin transversal, de la rugosidad, y de la velocidad principal. Taylor
(1954) en sus estudios del coeficiente longitudinal de dispersin, asumiendo una versin
para flujo permanente de la ecuacin (1.5) en una tubera larga y recta obtuvo la siguiente
expresin:
donde a es el radio de la tubera, U* es la velocidad de corte y E es el coeficiente de
dispersin.
Elder (1959) estudi el mtodo de Taylor para flujo uniforme en un canal abierto de ancho
infinito. Elder formul una ecuacin y asumi una distribucin logartmica de velocidades
en la direccin vertical as como que los coeficientes de mezcla para la transferencia de
masa y momentum en la direccin vertical son los mismos. La ecuacin hallada por Elder
es la siguiente:
siendo y la profundidad del flujo.
Esta ecuacin ha sido ampliamente utilizada debido a su simplicidad y al fuerte soporte
terico que tiene. Sin embargo, se ha dicho que esta ecuacin no puede describir
apropiadamente la dispersin en cauces naturales (Fischer 1979).
(1.16) 1,10 *aUE =
(1.17) 93,5 *yUE =
-
21
Fischer (1966,1968) mostr que la ecuacin de Elder subestima la dispersin natural en
cauces naturales debido a que no considera la variacin transversal del perfil de
velocidades a travs del ro. A su vez Fischer postul que en la mayora de los ros
naturales, el perfil transversal de la velocidad es mucho ms importante que el perfil
vertical en cuanto a la generacin de dispersin longitudinal.
Usando el perfil lateral de velocidades en lugar del perfil vertical, Fischer (1966,1968)
obtuvo una relacin integral para el coeficiente de dispersin en ros naturales cuya
relacin ancho-profundidad es alta. Dicha expresin es la siguiente:
en la cual h=h(y), u es la desviacin de la velocidad con respecto al promedio en la seccin
transversal, w es el ancho del canal, y= coordenada en la direccin lateral y Et es el
coeficiente transversal de difusin turbulenta
Fischer (1969) estudi el coeficiente de dispersin para flujo oscilatorio en una regin de
densidad constante de un estuario, y concluy que el tiempo de mezcla transversal fue
mucho ms grande que el tiempo de mezcla vertical.
Harleman (1971) desarroll una ecuacin modificada de la ecuacin de Taylor usando la
relacin entre el esfuerzo cortante y el coeficiente de resistencia. Dicha ecuacin es la
siguiente:
donde E est expresado en pies2/s, n es el coeficiente de rugosidad de Manning, v es la
velocidad y R es el radio hidrulico en pies.
Sooky (1969) estudi los efectos de la forma de la seccin transversal y de la distribucin
de velocidades. Asumiendo un perfil de velocidades logartmicas y una funcin del tipo
= W Y Yt
dydydyhuhE
huA
K0 0 0
'' (1.18) 11
(1.19) 77 6/5nvRE =
-
22
potencial para el perfil de velocidades, Sooky desarroll unas ecuaciones de dispersin
longitudinal adimensionales, las cuales eran funcin de la relacin ancho/profundidad para
un flujo uniforme en canales abiertos rectos los cuales tenan secciones triangulares y
circulares. Por medio del anlisis de los datos de campo de Godfrey y Frederick (1970),
Sooky (1969) mostr que el coeficiente de dispersin adimensional aumentaba a medida
que la relacin ancho/radio hidrulico aumentaba. El trabajo de Sooky no describe
adecuadamente la dispersin en cauces naturales debido a que la ecuacin que desarroll
fue derivada asumiendo un canal de seccin uniforme.
Bansal (1971) revis y junt todas las ecuaciones empricas y tericas que calculaban el
coeficiente de dispersin . Usando los datos de dispersin obtenidos por el U.S Geological
Survey, demostr que los coeficientes de dispersin adimensionales, aumentaban cuando la
relacin ancho/radio hidrulico aumenta.
McQuivey y Keefer (1974) presentaron un mtodo basado en una analoga de la versin
lineal de la ecuacin de momento y la ecuacin lineal de dispersin. La ecuacin de
momento fue linealizada usando un flujo permanente de descarga (Qo) y las relaciones
fsicas caractersticas es decir, ancho, pendiente de la lnea de energa y el nmero de
Froude. De esta analoga result la siguiente relacin lineal entre el coeficiente de
dispersin y otros parmetros:
Esta ecuacin puede ser usada cuando el nmero de Froude (F) sea menor de 0,5 y tiene un
error estndar estimado del 30% de acuerdo con los resultados de un estudio que compar
diferentes condiciones en 18 ros.
Aunque el mtodo propuesto por McQuivey y Keefer (1974) es simple, Fischer (1975)
sugiri que la ecuacin desarrollada por ellos careca de fundamentos analticos, puesto que
deberan esperarse grandes diferencias entre el mecanismo de dispersin de la onda de flujo
y el del contaminante disuelto.
(1.20) 058,0OO
O
WSQE =
-
23
Liu (1977) desarroll una ecuacin para el coeficiente de dispersin utilizando la ecuacin
de Fischer (1.18) y tomando en cuenta la influencia que el gradiente lateral de velocidades
tiene en la dispersin que se presenta en cauces naturales. Dicha ecuacin es:
y en la misma, es un parmetro que es funcin de la forma de la seccin transversal del canal as como de la distribucin de velocidades a travs del ro.
Liu sugiri que el parmetro se puede determinar considerando la sinuosidad del ro as como los cambios en el ancho de las secciones transversales (contracciones y expansiones)
que se presenten en el ro.
Ajustando por mnimos cuadrados los datos de campo obtenidos por Godfrey y Frederick
(1970) y otros, Liu dedujo la siguiente expresin para el coeficiente :
Chatwin y Sullivan (1982) investigaron los efectos de la relacin ancho/profundidad en el
coeficiente de dispersin en canales donde la seccin transversal es aproximadamente
rectangular y determinaron analticamente el coeficiente de dispersin para flujo laminar,
expandindolo luego para flujo turbulento en canales de fondo plano y altas relaciones de
ancho/profundidad. Sin embargo en la prctica es dificultoso usar este mtodo para
predecir el coeficiente de dispersin debido a la detallada informacin que se necesita del
perfil de velocidades y de la geometra de la seccin transversal para poder calcular el
coeficiente de dispersin.
Iwasa y Aya (1991) analizando en el laboratorio los datos de campo previamente
recolectados por Nordin y Sabol (1974) y otros, desarrollaron una ecuacin para predecir el
coeficiente de dispersin en canales y ros naturales, la cual es:
(1.21) *
22
hUWUK =
(1.22) )(18,0 5,1*UU=
(1.23) )(0,2 5,1* h
WhuK =
-
24
Sin embargo, debido a que los canales naturales son sinuosos, presentan contracciones y
expansiones y zonas de aguas estancadas a lo largo de su cauce, el coeficiente de dispersin
obtenido tiende a aumentar si se compara con el de un canal abierto recto.
Won y Tae Sung (1998) utilizando el mtodo de Huber realizaron una regresin mltiple
no lineal para predecir coeficientes de dispersin adimensionales como funcin del factor
de friccin y la relacin entre el ancho y la profundidad. Ellos compararon los resultados
obtenidos con ecuaciones anteriormente desarrolladas y concluyeron que los valores
obtenidos mediante esta nueva ecuacin reproducan con mayor exactitud los datos de
campo. Dicha ecuacin es la siguiente:
Una complicacin adicional resulta de la solucin numrica de muchas de stas ecuaciones
ya que los errores en el clculo numrico, producto de la discretizacin de las derivadas
parciales, pueden crear efectos disipativos y dispersivos en la solucin que se obtenga, lo
cual hace necesario calibrar el modelo dependiendo de los valores de x y t.
Adems, dada la diversidad de factores presentes en los sistemas naturales, se dificulta la
prediccin de un coeficiente nico de dispersin, para lo cual tambin se necesita la
calibracin. Lo anterior sirve de marco para presentar el objetivo bsico de este trabajo, que
es el de obtener el valor del coeficiente de dispersin que mejor reproduzca un conjunto de
datos que se tengan en diferentes localizaciones del sistema fluvial estudiado.
1.6 CALIBRACION
Los problemas que involucran modelaje matemtico son clasificados como problemas
directos y problemas inversos. En los problemas directos todo acerca del modelo es
conocido siendo el objetivo el encontrar una condicin final del sistema a partir de un
(1.24) )()(915,5 428,1*
620,0
* UU
hW
hUK =
-
25
conjunto inicial de datos, mientras que los problemas inversos son clasificados como de
identificacin, deteccin y reconstruccin de estados de problemas.
La calibracin es un problema inverso asociado con la identificacin y es usado para
determinar constantes parmetros desconocidos en un modelo (Wasantha 1995), lo cual
es necesario para que el modelo sea capaz de: primero, reproducir las condiciones
observadas en campo, y luego poder predecir condiciones o escenarios futuros.
Para la calibracin del modelo se usan uno o ms conjuntos de datos tanto de entrada como
de salida, modificndose y ajustndose durante el proceso de calibracin los parmetros del
modelo, de tal forma que se reproduzcan lo ms fielmente posible las condiciones reales de
calidad del agua medidas en el campo (concentraciones de contaminantes) pudindose
utilizar, como punto de partida para el ajuste, los valores de las constantes obtenidos a
partir de anlisis de laboratorio de muestras recolectadas durante campaas de mediciones
realizadas y diseadas para tal fin.
En el proceso de la estimacin ptima de los parmetros de un modelo, bien sea de flujo, de
transporte, o de calidad del agua, se han utilizado numerosos mtodos a fin de optimizar
dicho proceso tanto en lo referente a la calidad de los parmetros encontrados como al
tiempo de clculo invertido para encontrar los valores de los mismos, en particular, para la
calibracin de modelos de calidad del agua para ros sean han utilizado numerosos
mtodos, pasando por una diversidad de aproximaciones de mnimos cuadrados iterativos y
recursivos.
Igualmente se han aplicado esquemas de estimacin iterativas en los cuales cada punto de
prueba corresponde a una simulacin del modelo tales como en Shastry et al. (1973),
quienes presentan una aplicacin de estimacin de parmetros no lineal. Beck y Young
(1976) efectan una revisin de metodologas y presentan una identificacin sistemtica de
estructuras de modelos de BOD-DO aplicando una estimacin recursiva basada en el filtro
de Kalman extendido. Tambin se han aplicado otros enfoques tales como modelos de
autocorrelacin (Huck y Farquhar, 1976).
-
26
Wood et al. (1990) utilizan un sistema experto para la calibracin automtica de un modelo
y para ayudar al usuario en la aplicacin del mismo.
Khatibi et al. (1997) encontraron que los parmetros de calibracin involucrados en las
ecuaciones de flujo en canales abiertos normalmente son determinados usando datos que a
menudo contienen ruido Gaussiano. Estos valores sufren subsecuentemente de errores
ocasionados regularmente si ellos son determinados a travs de mtodos de optimizacin.
Sus investigaciones mostraron que los parmetros identificados podran ser afectados por
factores tales como: errores de la base de datos, funcin objetivo seleccionada o los sitios
de medicin.
Se encontr que la seleccin de la funcin objetivo propiciaba preferencias impropias,
afectando as la identificacin de los parmetros.
Wang (1991) utiliz un algoritmo gentico para calibrar el modelo de lluvia-escorrenta de
Xinanjiang con los datos recolectados en el Bird Creek.
Duan et al. (1992) argumentan que la mayora de los algoritmos de calibracin automtica
son afectados por cinco problemas clave:
1) Mltiples regiones de atraccin donde el ptimo local encontrado depende del valor
inicial del parmetro utilizado para comenzar el algoritmo.
2) Optimo local mnimo.
3) Robustez cuando la superficie analizada contiene puntos con derivadas
discontinuas.
4) Sensibilidad, donde hay una pobre sensibilidad del modelo a variacin de los
parmetros en la proximidad de un ptimo e interaccin no lineal entre los
parmetros.
5) Forma, cuando la superficie analizada es no convexa y contiene largas curvas con
lomos.
-
27
Algoritmos determinsticos tales como el mtodo simplex de Nelder and Mead (1965)
requieren intervencin manual durante las etapas de inicializacin y calibracin para
superar stos problemas. Esto requiere un buen conocimiento de las caractersticas de los
modelos conceptuales de lluvia-escorrenta (Gan and Biftu, 1996).
-
28
1.7 DESARROLLO DEL ALGORITMO GENETICO. GENERALIDADES
Los algoritmos evolutivos, tal como se conocen hoy en da, comenzaron a existir a finales
de los aos 60 y principios de los 70. Durante este perodo diversos investigadores
comenzaron a trasladar los principios de la evolucin a tareas de bsqueda o resolucin de
problemas provocando el desarrollo paralelo de distintos modelos que permiten una
estructuracin natural de los algoritmos evolutivos dentro de tres (3) grandes familias:
Programacin Evolutiva: Esta familia de algoritmos tiene su origen en el trabajo de Fogel et al. (1966) y ponen especial nfasis en la adaptacin de los individuos, ms
que en la evolucin del material gentico de stos. Tradicionalmente stas tcnicas
emplean mecanismos de reproduccin asexual y tcnicas de seleccin mediante
competicin directa entre individuos.
Estrategias de Evolucin (ES): Comenz a desarrollarse en Alemania y su objetivo inicial era servir de herramienta para optimizacin de parmetros en problemas de
ingeniera (Rechenberg,1973) y se caracterizan por el manejo de vectores de
nmeros codificados en punto flotante, aunque tambin existen versiones de las
mismas que se aplican a problemas discretos. Al igual que la programacin
evolutiva, basa su funcionamiento en el empleo de un operador de reproduccin
asexual o de mutacin.
Algoritmos Genticos (Ags)
Muy brevemente un algoritmo gentico puede definirse como una tcnica de
bsqueda/optimizacin ciega, heurstica e intuitiva basada en los procesos
Darwinianos de seleccin natural y supervivencia del ms apto.
Segn Koza (1992) un algoritmo gentico Es un algoritmo matemtico altamente paralelo
que transforma un conjunto de objetos matemticos individuales con respecto al tiempo,
usando operaciones modeladas de acuerdo al principio Darwiniano de reproduccin de
supervivencia del ms apto.
-
29
En los ltimos aos ha habido un gran crecimiento en el desarrollo de procedimientos
heursticos para resolver problemas combinatorios. Esta aseveracin se constata al
examinar el gran nmero de artculos en revistas de Investigacin Operativa en los que se
proponen y estudian mtodos heursticos, al tiempo que tambin han surgido publicaciones
especficas para el estudio y divulgacin de dichos procedimientos tales como el Journal of
Heuristics.
Este auge se debe sin duda a la necesidad de disponer de herramientas que permitan ofrecer
soluciones rpidas a problemas reales. Se debe destacar el hecho de que los algoritmos
heursticos por s solos no garantizan la optimalidad de la solucin encontrada, aunque su
propsito es encontrar una solucin cercana al ptimo en un tiempo razonable. No obstante,
la gran cantidad de publicaciones en donde problemas de gran dificultad son resueltos con
mucha rapidez, avalan estos mtodos.
Dentro de las tcnicas heursticas se pueden encontrar diversos mtodos tales como:
Mtodos Constructivos, de descomposicin, de reduccin y de bsqueda local.
Tradicionalmente para resolver un problema dado se diseaba un algoritmo especfico que
perteneca a alguno de los mtodos enumerados. Hoy en da el inters primordial es el
diseo de mtodos generales que sirvan para resolver clases o categoras de problemas.
Dado que estos mtodos generales sirven para construir el diseo de mtodos que resuelvan
problemas especficos se les ha dado el nombre de Metaheursticos que son una clase de
mtodos aproximados que estn diseados para resolver problemas difciles de
optimizacin combinatoria, en los cuales los heursticos clsicos no son efectivos ni
eficientes.
Los metaheursticos proporcionan el marco general para la creacin de nuevos algoritmos
hbridos combinando diferentes conceptos derivados de actividades como: inteligencia
artificial, evolucin biolgica y mecanismos estadsticos (Osman y Kelly 1996).
Entre los procedimientos Metaheursticos ms utilizados estn: Simulated Annealing que
se puede considerar como una simplificacin de los Algoritmos Genticos y cuyo origen
est en los procedimientos fsicos de solidificacin controlada, Tab Search cuya
-
30
aspiracin bsica es encontrar una buena solucin de un problema de optimizacin
combinatorio a travs del mejoramiento paso a paso de una funcin objetivo a partir de una
solucin inicial (no necesariamente una factible), GRASP y los algoritmos Genticos.
El mtodo de Simulated Annealing es una tcnica que tiene una significativa atencin
debido a su conveniencia en la resolucin de problemas a gran escala, especialmente
aquellos donde el extremo global deseado est oculto en medio de muchos otros. Para
efectos prcticos sta tcnica ha resuelto efectivamente el famoso problema del agente
viajero (Traveling salesman problem) de encontrar el itinerario ms corto para el viajero, el
cual debe visitar en un ciclo cada una de las N ciudades y volver a la ciudad de partida.
Tambin ha sido utilizado para el diseo de complejos circuitos integrados.
Back y Schwefel (1993) dan una idea de estas tcnicas entre las cuales la principal
diferencia est en los tipos de mutacin, recombinacin y seleccin de operadores.
Hay varios trabajos donde se proponen estrategias de bsqueda que heredan algunos
aspectos de diferentes mtodos. Un ejemplo de esto es presentado por Fox (1993) donde las
tcnicas de Tabu Search y Simulated Annealing son combinados con algoritmos
genticos.
En cuanto a los algoritmos genticos, que son los que se utilizarn en este trabajo, estn
basados en la ley de seleccin natural de Darwin (1859) y la representacin digital de
ADN, por lo que imitando este proceso, proveen una nueva herramienta en el campo de la
informacin tecnolgica para resolver con la ayuda de poderosos computadores complejos
problemas de optimizacin, siendo la evolucin de las soluciones generadas hacia valores
ptimos del problema, dependiente en buena medida de una adecuada codificacin de las
mismas.
La mezcla de las propiedades estocsticas de los operadores genticos junto con una
clasificacin determinstica de aptitud o capacidad de cada candidato individual garantiza
diversidad para cdigos reales de algoritmos genticos y ello hace posible escapar a
mnimos o mximos locales que es donde los mtodos tradicionales fallan, razn por lo que
puede ser usado como un poderoso mtodo de bsqueda y optimizacin.
-
31
En nuestro caso particular la calibracin del modelo de transporte pasa necesariamente por
obtener el valor del coeficiente de dispersin E que mejor reproduzca los valores de
concentracin de la sustancia que se vaya a modelar y que constituye el objetivo bsico de
este trabajo. Para ello se utilizar la tcnica de los Algoritmos Genticos dadas las
numerosas ventajas que dicha tcnica presenta con respecto a los mtodos tradicionalmente
utilizados.
Entre dichas ventajas destacan las siguientes:
a) No trabajan ni necesitan derivadas de las funciones con las cuales se trabaja, por lo
cual su desarrollo y eventual convergencia no est sujeta a requerimientos de
continuidad de las funciones y de sus derivadas, las cuales en muchos casos no
tienen solucin analtica, lo que introduce un problema adicional al evaluar la
funcin, que es el encontrar una formulacin numrica de dicha derivada.
b) Los mtodos tradicionales convergen con mucha facilidad en ptimos locales,
hecho que se minimiza al usar los Algoritmos Genticos.
Para evidenciar este hecho y poner a prueba a la tcnica de los Algoritmos Genticos
tmese como ejemplo la funcin de Ackcley. Se pide buscar el vector que maximiza dicha
funcin la cual est definida segn:
2020)...(
10
1
210
1 1012.0)2cos(
101
101 += ==
eeexxf i
ii
i xx (1.25)
Se trata de una funcin definida en el espacio eucldeo de 10 dimensiones, imposible de
representar grficamente. No obstante, una versin simplificada y reducida a 2 dimensiones
tendra la siguiente forma:
2020),(
2
1
22
1 21
2.0)2cos(21
21 += ==
eeexxf i
ii
i xx (1.26)
-
32
Si se graficara dicha funcin (vese figura 1.3) se observara que presenta mltiples
mximos, slo uno de los cuales es el mximo global mientras los otros son mximos
locales.
Cualquier algoritmo clsico de optimizacin basado en la bsqueda del mximo gradiente
se quedara atascado en el primer mximo relativo que encontrase, no siendo este el caso si
se utilizasen los Algoritmos Genticos los cuales a diferencia de otros mtodos de
optimizacin, trabajan simultneamente con un conjunto de puntos (individuos), lo cual le
permite, manteniendo una poblacin adecuada, reducir la probabilidad de alcanzar un falso
ptimo. Es por esto que, frente a problemas donde la funcin a optimizar no sea lineal, o
donde las variables que intervienen en el problema son mltiples, los algoritmos genticos
presentan ventajas frente a mtodos como el Simplex, programacin dinmica, cuadrtica,
etc.
c) El operar de forma simultnea con varias soluciones, en vez de trabajar en forma
secuencial como las tcnicas tradicionales, permite su implementacin en paralelo
en varias computadoras con lo cual se pueden correr una multiplicidad de casos
en mucho menos tiempo. Esto permitira desmenuzar o dividir un programa en
pequeos programas o tareas y que stas sean ejecutadas simultneamente por
varios procesadores, pudiendo de sta forma disminuirse notablemente el tiempo de
ejecucin total que le llevara a un solo procesador poder completar todas las
operaciones del programa original.
Sin embargo esto a su vez plantea otros problemas: el primero, es como dividir el
programa en tareas que puedan ser ejecutadas simultneamente. El segundo
problema es la necesaria comunicacin que en la mayora de los casos debe haber
entre los diferentes procesadores debido a que algunos resultados intermedios tienen
que ser intercambiados entre los diferentes procesadores que estn trabajando
simultneamente. Por ltimo est el problema del balance de la carga de trabajo en
donde se trata de evitar que un procesador permanezca ocioso o esperando por los
resultados de los otros.
-
33
d) El algoritmo gentico bsico con pequeas modificaciones (cambios por ejemplo en
la funcin de evaluacin de la calidad de cada individuo), puede ser utilizado para
casi cualquier problema, a diferencia de los modelos tipo black box (caja negra)
que no se pueden adaptar a otros mtodos de optimizacin.
e) Permiten identificar parmetros apropiados de ecuaciones an cuando las
mediciones de campo que se tengan disponibles, tengan errores considerables y las
ecuaciones del modelo sean inexactas (Furukawa et al. 1997).
Los algoritmos Genticos pueden tratar con xito una gran variedad de problemas
provenientes de diferentes reas, incluyendo aquellos en los que otros mtodos encuentran
dificultades. Si bien no se garantiza que el Algoritmo Gentico encuentre la solucin
ptima del problema, existe evidencia emprica de que se encuentran soluciones de un nivel
aceptable, y en un tiempo competitivo con el resto de algoritmos de optimizacin
combinatoria. No obstante, en el caso de que existan tcnicas especializadas para resolver
un determinado problema, lo ms probable es que superen al Algoritmo Gentico, tanto en
rapidez como en eficacia.
Dado que el algoritmo gentico opera con una poblacin en cada iteracin, se espera que el
mtodo converja de forma tal que al final del proceso la poblacin sea muy similar, y en el
infinito se reduzca a un solo individuo. A partir de esto, se desarrolla el teorema de los
esquemas que garantiza el decaimiento exponencial de los genes menos aptos con cada
nueva generacin (Goldberg 1987).
El gran campo de aplicacin de los Algoritmos Genticos se relaciona con aquellos
problemas para los cuales no existen tcnicas especializadas. Incluso en el caso en que
dichas tcnicas existan, y funcionen bien, pueden efectuarse mejoras de las mismas,
hibridndolas con los Algoritmos Genticos.
Su uso es cada vez mayor en reas como la Ingeniera, Economa, problemas sociales,
inmunidad de sistemas etc, ya que aunque los mtodos determinsticos tradicionales
representan poderosas herramientas de trabajo a la hora de resolver problemas de
optimizacin que presenten funciones objetivo suaves, diferenciales y unimodales, existen
-
34
ocasiones en que es necesario hacer una evaluacin de las funciones objetivo, cuando al
compararlas con mtodos de optimizacin estocsticos, surgen algunas dificultades al
relacionarlas con funciones altamente multimodales o problemas de optimizacin no
convexos.
As se tiene por ejemplo, que problemas de ingeniera hidrulica como la remediacin de
aguas subterrneas o la utilizacin ptima de acuferos, han sido abordados a travs de
algoritmos genticos. En la ltima dcada varios mtodos de optimizacin numrica han
sido empleados en el diseo de sistemas de remediacin. Wagner (1995) hace una extensa
recopilacin de los mtodos de optimizacin aplicados a problemas de remediacin de
aguas subterrneas entre los cuales estn:
Programacin lineal (Atwood and Gorelick 1985), programacin no lineal (Gorelick et al.
1984, Ahlfeld et al. 1988), redes neurales (Ranjithan and Eheart 1993), simulated annealing
(Dougherty and Marryott 1991), algoritmos evolucionarios (McKinney and Lin 1996,
Yoon y Shoemaker 1999), todas las cuales han probado ser herramientas efectivas para
optimizar las acciones y polticas de remediacin.
Cheng et al. (2000) investig el problema hidrulico de optimizar el bombeo de pozos de
agua salada en acuferos ubicados en zonas costeras, y para problemas que envuelven
bombeos mltiples de pozos se utiliza un algoritmo gentico para la bsqueda de la
solucin ptima.
En general, las principales diferencias de los algoritmos genticos con el resto de los
mtodos de optimizacin son:
a) Se trabaja con parmetros codificados, es decir, no trabajan directamente sobre el
dominio de un problema sino en uno transformado.
b) Conjunto de puntos: A diferencia de otros mtodos de optimizacin trabajan
simultneamente con un conjunto de puntos (individuos) lo cual permite, manteniendo
una poblacin adecuada, reducir la probabilidad de alcanzar un falso ptimo.
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35
c) Se utilizan reglas de transicin probabilstica que son de naturaleza estocstica no
hacindose uso de informacin especfica del problema como en otros mtodos de
optimizacin (bsqueda ciega).
Su mayor ventaja radica en su fuerza y simplicidad, ya que no estn limitados por hiptesis
restrictivas sobre el espacio de bsqueda (continuidad, existencia de derivadas,
unimodalidad) (Priaux et al.,1998) adems, el mecanismo de evolucin y de seleccin en
que se basan, es independiente del problema a resolver; slo varan la funcin que
descodifica el genotipo en una solucin posible y la funcin que evala la calidad de la
solucin y no exige ningn conocimiento acerca de la manera ms idnea de resolver el
problema; slo es necesario la capacidad de evaluar la calidad de una solucin, por lo que
representan una de las ms poderosas alternativas estocsticas.
Los principios bsicos de los Algoritmos Genticos fueron establecidos por Holland (1975)
y su descripcin puede verse en varios textos como: Goldberg (1989), Davis (1991),
Michalewicz (1992), Reeves (1993).
Una buena descripcin del Algoritmo Gentico Simple o Cannico, puede esquematizarse
de la siguiente forma:
Generacin de una poblacin inicial
Se computa la funcin de evaluacin de cada individuo (evaluacin de la poblacin
inicial).
Comienza un proceso que se repite iterativamente hasta el nmero de generaciones
mxima que se halla seleccionado.
BEGIN/*Ciclo Reproductivo*/
Se seleccionan dos individuos de la anterior generacin (progenitores)
para el cruce (probabilidad de seleccin proporcional a la funcin de evaluacin del
individuo).
Se procede a cruzar con cierta probabilidad los dos individuos
previamente seleccionados obteniendo dos descendientes.
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36
Se procede a mutar a los dos descendientes con cierta probabilidad.
Se computa la funcin de evaluacin de los dos descendientes mutados
Se incorporan los dos descendientes mutados en la nueva generacin y se
evala a la nueva poblacin.
Se seleccionan a los sobrevivientes, se evala la poblacin y se vuelve a
iniciar el ciclo de reproduccin.
Como se ver a continuacin, se necesita una codificacin o representacin del problema,
que resulte adecuada a la naturaleza del mismo, as como una funcin de ajuste o
adaptacin al problema, la cual asigna un nmero real a cada posible solucin codificada.
Durante la ejecucin del algoritmo, los padres ms aptos deben ser seleccionados para la
reproduccin, los cuales se cruzarn generando dos hijos sobre cada uno de los cuales
actuar un operador de mutacin. El resultado de la combinacin de las anteriores
funciones ser un conjunto de individuos (posibles soluciones al problema), los cuales en la
evolucin del Algoritmo Gentico formarn parte de la siguiente poblacin.
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37
1.8 OBJETIVOS DEL TRABAJO
Una vez que se ha desarrollado un modelo matemtico, bien sea de flujo o de transporte, es
necesario determinar en base a la comparacin de los datos de campo y los datos aportados
por dicho modelo, si constituye o no una buena aproximacin del comportamiento
observado en la realidad.
El proceso de calibracin necesario para lograr esto involucra en algunos casos pruebas de
laboratorio, ajuste de curvas por mtodos grficos y aproximaciones basadas en simple
inspeccin de campo, con un alto grado de subjetividad, por lo cual el obtener la mejor
representacin numrica, utilizando series de datos observados puede resultar laboriosa,
poco confiable y costosa.
Es perentorio entonces, en aras de facilitar la implementacin y aplicacin de dichos
modelos, automatizar el proceso de calibracin implementando y desarrollando
procedimientos de optimizacin de parmetros.
La optimizacin de parmetros permite un mejor aprovechamiento de la informacin
presente en los eventos medidos, constituyendo los llamados Algoritmos Genticos una
tcnica novedosa para tal fin.
En consecuencia, se puede decir que el objetivo bsico de este trabajo es;
a) Desarrollo de un modelo unidimensional de transporte que en conjunto con un modelo
de flujo existente permita obtener la distribucin espacial y temporal de una sustancia
en un sistema estuarino o fluvial interconectado.
b) Obtener mediante la tcnica de los "Algoritmos Genticos" el valor del coeficiente de
dispersin involucrado en la ecuacin de conveccin-difusin, que mejor reproduzca un
conjunto de datos.
c) Desarrollar modificaciones del algoritmo gentico bsico de forma tal que permitan
obtener soluciones rpidas para el problema de calibracin.
-
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d) Verificar la funcionalidad del mtodo utilizando para ello datos que se tienen en
diferentes localizaciones distribuidas a lo largo de un sistema fluvial, que en este caso
es el estuario del ro San Juan.
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2. DESCRIPCION DEL MODELO HIDRAULICO
Para el clculo del transporte de la sustancia que se vaya a considerar, se requiere tener los
valores de las velocidades del flujo al igual que las propiedades geomtricas de las distintas
secciones transversales que se han utilizado para caracterizar el sistema fluvial estudiado.
Para lograr esto se requiere la aplicacin de un modelo de flujo.
2.1 FORMULACION MATEMATICA
En este trabajo se utiliz un modelo de flujo ya existente, el cual ha sido desarrollado y
utilizado anteriormente (Saavedra et al., 2002). Este modelo ser aplicado
independientemente del modelo de transporte, suponiendo que las concentraciones de la
sustancia simulada no afectan las propiedades y caractersticas del mismo. El modelo de
flujo en cuestin ser descrito a continuacin en forma resumida.
2.1.1 Hiptesis
Las ecuaciones de flujo no permanente unidimensional en canales abiertos (Ecuaciones de
Saint Venant) pueden obtenerse mediante la integracin sobre una seccin transversal de
las ecuaciones tridimensionales de flujo no permanente, es decir, la ecuacin de
continuidad, la cual considera el balance de masa del fluido y cantidad de movimiento con
la cual se toman en cuenta las caractersticas dinmicas del flujo, haciendo las siguientes
hiptesis y consideraciones:
- La presin a lo largo de la columna de agua considerada es hidrosttica, es decir, vara
linealmente.
- Las prdidas de energa debido a los efectos de friccin de los contornos del cauce son
representados mediante frmulas empricas similares a las usadas en flujo permanente
tales como la de Manning o la de Chezy.
- La pendiente promedio del fondo es pequea y la curvatura de la superficie libre es
suave, por lo que el flujo es esencialmente horizontal y presenta variaciones suaves en
el tiempo.
-
40
2.1.2 Ecuaciones Bsicas
El modelo de la onda dinmica para la simulacin del trnsito de crecientes en canales
abiertos se basa en las ecuaciones de Saint Venant para flujo no permanente gradualmente
variado. Si se tiene un canal prismtico con contribuciones o salidas laterales y se expresa
la conservacin de la masa y de la cantidad de movimiento entre dos (2) secciones
transversales del canal cuyas coordenadas longitudinales son x1 y x2 y entre dos (2)
instantes de tiempo t1 y t2,estas ecuaciones tienen la siguiente forma:
Ecuacin de Continuidad
Ecuacin de Cantidad de Movimiento
En las cuales Q es el caudal, A es el rea de la seccin transversal de flujo, q es el caudal
lateral, g es la aceleracin de gravedad, So es la pendiente del fondo del canal, M es el
momento de rea de la seccin transversal con respecto a la superficie libre, Sf es la
pendiente de friccin, x es la distancia a lo largo del canal, t es el tiempo y U es el trmino
no prismtico.
2.1.3 Pendiente de Friccin
El trmino de fuerzas de friccin gASf dxdt involucra a la pendiente de friccin la cual se calcula a travs de la frmula de Manning de acuerdo a con la siguiente expresin:
(2.3) 22
3/4 An
RQQ
S f =
2.1) ( )()(2
112
2
112 =+ t
txx
x
xtt qdtQQdxAA
[ ] +=
+
++
2
1
2
1
2
1 1
2
2
22
112 (2.2) )( )(
t
t
x
xfo
t
t xx
x
xtt dxdtgUSSgAdtgMA
QgMA
QdxQQ
-
41
donde n es el coeficiente de friccin de Manning y R=A/P, siendo el rea A y el permetro
mojado P, expresados como funciones de la profundidad y.
-
42
2.2 METODO NUMERICO
2.2.1 Integracin en el tiempo
Las ecuaciones (2.1) y (2.2) conforman un sistema de ecuaciones integrales que slo para
determinadas condiciones tienen solucin analtica, mientras que en la mayor parte de los
casos se deben utilizar mtodos numricos para resolver dichas ecuaciones.
Para calcular las variables en un nmero determinado de secciones de la geometra del
canal estudiado a lo largo del tiempo, se definen los valores de una funcin cualquiera Hij
en los nodos de una malla computacional, como funciones de las variables
independientes xi y tj.
Segn la discretizacin adoptada, la integral temporal de la funcin H en el intervalo de j-1
a j se puede expresar, de acuerdo a la aproximacin definida por el esquema de Preissmann
como,
donde t=tj-tj-1 y es un factor de ponderacin, el cual conduce a resultados que pueden variar entre los de un mtodo explcito (=0) y un mtodo totalmente implci