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Verificación Experimental de la Capacidad Predictiva de

Modelos de Transporte de Solutos en Redes de Tuberías

a Presión

Miguel Ángel Hernández Fuerte

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ingeniería, Departamento de Ingeniería Civil y Agrícola

Bogotá D.C., Colombia

2010

Verificación Experimental de la Capacidad

Predictiva de Modelos de Transporte de Solutos en

Redes de Tuberías a Presión

Miguel Ángel Hernández Fuerte

Tesis presentada como requisito parcial para optar al título de Magister en Ingeniería de

Recursos Hidráulicos

Director:

Ph.D. Luis Alejandro Camacho

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ingeniería, Departamento de Ingeniería Civil y Agrícola

Bogotá D.C., Colombia

2011

Agradecimientos

Agradezco la colaboración indirecta, constante e invalorable de mis padres, quienes me apoyaron en

todos estos años en la academia y ayudaron en gran medida a desarrollarme como persona y como

ingeniero.

A los compañeros de la maestría, por la valiosa ayuda en la realización de los ensayos, ya que sin

ellos no hubiera sido posible la elaboración del presente trabajo. En especial agradezco a Diana

Galindo por su colaboración incondicional en este importante proceso, por su apoyo emocional y

motivación que conllevaron a un mejor transcurso en la realización de este documento.

A Luis Alejando Camacho I.C, M.Sc y Ph.D, por sus valiosos aportes e importantes orientaciones

en la investigación y por su contribución en mi formación académica.

Gracias a la Universidad Nacional por prestarme los espacios necesarios de estudio, trabajo y de

convivencia que desde mi formación en pregrado he sabido apreciar y que ha generado en mí

diferentes valores para enfrentarme a la vida laboral.

I

Resumen

En una red de distribución, la calidad del agua puede ser alterada por contaminación a través de las

conexiones, fallas en los componentes del sistema, mezcla de agua desde fuentes de calidad

distintas, pérdida de residuos desinfectantes en tanques, largos tiempo de residencia hidráulica en la

red en zonas de baja circulación, entre otras. Los software hidráulicos comerciales (EPANET ,

WATERGEMS) poseen un módulo de calidad del agua que generan el transporte de una sustancia

sin tener en cuenta el componente dispersivo. En el presente trabajo se realizaron ensayos

experimentales con trazadores conservativos en una red de distribución ubicada en las instalaciones

de la Universidad Nacional de Colombia - Bogotá, cuyos resultados indican claramente el

componente dispersivo del trazador. En comparación con el modelo de transporte Advección -

Dispersión (ADE), el modelo de Zona Muerta Agregada (ADZ) posee la mejor capacidad predictiva

para representar los fenómenos de advección y de dispersión, con coeficientes R2 promedio

obtenidos mayores a 0.8.

Palabras Clave: Redes de distribución de agua potable, soluto, Fracción dispersiva, Coeficiente de

dispersión, trazadores, ADZ, ADE.

Abstract

Water quality in potable water distribution networks can be come pollutied through connections,

components system failures, mixture of water from different quality sources, loss of chlorine

residual in tanks, and large hydraulic residence time in zones of low water circulation, between

others. Hydraulic commercial software (EPANET, WATERGEMS) have water quality modules that

represent solute transport of substances without taking into account the dispersive component. In

this thesis, experimental tests using conservative traces in a small distribution network located at the

National University of Colombia – Bogotá were performed. The results show clearly a major

dispersive behaviour of the solute transport process. Compared against the classic Advection

Dispersion Equation (ADE) model, the Aggregated Dead Zone (ADZ) model has the best predictive

ability to represent advection and dispersion phenomena, with average Nash coefficients obtained

greater than 0.8 in prediction mode.

Keywords: Potable – Drinking water, Distribution networks, solute, Dispersive Fraction,

Dispersion Coefficient, tracer experiments, ADZ, ADE.

CONTENIDO

I

Contenido

1. INTRODUCCIÓN .................................................................................................................... 11 1.1. Generalidades .................................................................................................................... 12

1.2. Antecedentes ..................................................................................................................... 13

1.3. Definición del Problema .................................................................................................... 14

1.4. Justificación de la Investigación ....................................................................................... 16

1.5. Hipótesis ............................................................................................................................ 16

1.6. Objetivos ........................................................................................................................... 17

1.6.1. General ...................................................................................................................... 17

1.6.2. Específicos ................................................................................................................ 17

1.7. Resumen Metodológico ..................................................................................................... 17

1.8. Resultados Principales e Importancia................................................................................ 18

1.9. Contenido del documento .................................................................................................. 20

2. REVISIÓN DEL ESTADO DEL ARTE DEL TRANSPORTE DE SOLUTOS EN

TUBERIAS ....................................................................................................................................... 22 2.1. Introducción ...................................................................................................................... 22

2.2. Conservación de masa ....................................................................................................... 22

2.3. Conservación de la Energía ............................................................................................... 24

2.3.1. Perdidas por fricción ................................................................................................. 27

2.3.2. Pérdidas por accesorios ............................................................................................. 30

2.4. Perfiles de velocidad en tuberías ....................................................................................... 31

2.4.1. Flujo Laminar ............................................................................................................ 32

2.4.2. Flujo Turbulento ........................................................................................................ 34

2.5. Análisis de Sistemas de Redes en Tuberías ....................................................................... 40

2.5.1. Método del Gradiente de Análisis del flujo en Redes ............................................... 42

2.6. Estudios con Trazadores .................................................................................................... 49

2.6.1. Tipos de Trazadores .................................................................................................. 50

2.6.2. Lectura del Trazador ................................................................................................. 51

2.6.3. Experimentos con trazadores..................................................................................... 53

2.6.3.1. Inyección Instantánea ........................................................................................ 53

2.6.3.2. Inyección Continua............................................................................................ 54

2.7. Modelo de transporte de la Ecuación Advección Dispersión ADE (Advection Dispersion

Equation) ....................................................................................................................................... 55

2.8. Modelo de transporte de Zona Muerta Agregada ADZ (Aggregated Dead Zone) ............ 62

2.8.1. Solución Tiempo Discreto ......................................................................................... 67

CONTENIDO

II

2.9. Estimación de parámetros usando la herramienta MCAT ................................................. 68

2.9.1. Estimación de parámetros ......................................................................................... 69

2.9.2. Análisis de sensibilidad Regional.............................................................................. 70

2.9.3. Análisis de incertidumbre en los resultados del modelo utilizando la metodología

GLUE 71

2.10. Conclusiones del capítulo .............................................................................................. 72

3. DESARROLLO EXPERIMENTAL ........................................................................................ 74 3.1. Introducción ...................................................................................................................... 74

3.2. Montaje y descripción de la red de tuberías ...................................................................... 74

3.2.1. Sistema de bombeo .................................................................................................... 81

3.3. Calibración del vertedero .................................................................................................. 83

3.4. Experimentos con trazadores ............................................................................................ 89

3.4.1. Descripción del procedimiento de experimentación ................................................. 90

3.4.2. Obtención de los perfiles de concentración ............................................................... 94

3.5. Datos registrados en el experimento con trazadores ......................................................... 97

3.6. Lectura de presiones ........................................................................................................ 111

3.7. Conclusiones del capítulo ................................................................................................ 115

4. CALIBRACIÓN HIDRÁULICA ........................................................................................... 116 4.1. Introducción .................................................................................................................... 116

4.2. Metodología de calibración y validación del modelo hidráulico .................................... 116

4.2.1. Elaboración del programa en MATLAB ................................................................. 118

4.2.2. Características de la Calibración ............................................................................. 119

4.2.2.1. Límite conocido. .............................................................................................. 119

4.2.2.2. Parámetros de calibración ............................................................................... 119

4.2.2.3. Rangos para cada parámetro ............................................................................ 119

4.2.2.4. Número de simulaciones ................................................................................. 120

4.2.2.5. Función objetivo (F.O.) ................................................................................... 120

4.2.3. Criterio de selección de parámetros ........................................................................ 121

4.2.4. Validación de la calibración hidráulica ................................................................... 121

4.3. Montaje de la red con el Método del Gradiente .............................................................. 122

4.4. Pruebas preliminares de verificación de la implementación ........................................... 125

4.4.1. Revisión de energía y continuidad para el Circuito No 5: ....................................... 127

4.4.2. Revisión de energía y continuidad para el Circuito No 6: ....................................... 129

4.5. Resultados de Calibración ............................................................................................... 130

4.5.1. Calibración Tramos Iniciales................................................................................... 130

4.5.2. Calibración Tramo Final ......................................................................................... 133

CONTENIDO

III

4.5.3. Calibración en los Tramos Intermedios ................................................................... 136

4.5.3.1. Resultados Calibración – Circuito No 1 .......................................................... 136

4.5.3.2. Resultados Calibración – Circuito No 2 a No 4 .............................................. 138

4.6. Resultados de Validación ................................................................................................ 139


5. IMPLEMENTACIÓN DE LOS MODELOS DE TRANSPORTE ........................................ 144 5.1. Introducción .................................................................................................................... 144

5.2. Metodología de implementación ..................................................................................... 144

5.3. Modelo ADZ ................................................................................................................... 145

5.3.1. Pruebas Sintéticas .................................................................................................... 147

5.3.1.1. Primera Prueba (DF=0.13) .............................................................................. 147

5.3.1.2. Segunda y Tercera Prueba (DF=0.2 y DF=0.3): ............................................. 149

5.3.1.3. Cuarta Prueba (tres tuberías, DF=0.2) ............................................................. 150

5.4. Modelo ADE ................................................................................................................... 151

5.4.1. Pruebas Sintéticas .................................................................................................... 153

5.5. Implementación de los modelos ADZ y ADE ................................................................. 154

5.6. Conclusiones de Capítulo ................................................................................................ 157

6. APLICACIÓN DE LOS MODELOS DE TRANSPORTE .................................................... 159 6.1. Introducción .................................................................................................................... 159

6.2. Resultados y Análisis – Modo predictivo........................................................................ 159

6.2.1. Circuito No 1. .......................................................................................................... 160

6.2.2. Circuito No 2 a No 4 ............................................................................................... 167

6.2.3. Circuito No 5 y No 6 ............................................................................................... 173

6.3. Resultados y Análisis – Calibración Directa ................................................................... 183

6.3.1. Características de la calibración .............................................................................. 184

6.3.2. Resultados calibración Circuito No 1 ...................................................................... 186







7. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ..................................................................... 199 7.1. Consideraciones Generales ............................................................................................. 199

7.2. Conclusión de la Hipótesis .............................................................................................. 200

7.3. Conclusión los objetivos planteados ............................................................................... 200

CONTENIDO

IV

7.4. Conclusiones de la Metodología ..................................................................................... 201

7.5. Conclusiones del Desarrollo Experimental y Calibración Hidráulica ............................. 203

7.6. Conclusiones de los Modelos de Transporte ................................................................... 205

7.7. Recomendaciones ............................................................................................................ 207

8. REFERENCIAS ..................................................................................................................... 209 ANEXOS......................................................................................................................................... 215

CONTENIDO

V

Lista de Figuras

Figura 1-1. Ejemplo resultado transporte de Modelos. Circuito No 4 Q bajo Punto [D]. ................. 19

Figura 2-1.Nodo de conexión de tuberías, sometido a caudales, demandas y aportes. ..................... 24

Figura 2-2. Disipación de energía en una tubería a presión. Adaptado de Crane, 1994. .................. 26

Figura 2-3. Desarrollo de la capa límite. Adaptado de (Saldarriaga, 2007) ...................................... 32

Figura 2-4. Desarrollo de la capa límite turbulenta. Adaptado de (Saldarriaga, 2007) ..................... 34

Figura 2-5. Distribución de velocidad basada en la ecuación. (Chiu y Hsu, 2006) ......................... 38

Figura 2-6. Relación entre el factor entrópico M y el coeficiente de fricción f. (Chiu, Lin, y Lu,

1993) ................................................................................................................................................. 39

Figura 2-7. Inyección instantánea (Camacho L. A., 2008). .............................................................. 54

Figura 2-8. Inyección continua (Camacho L. A., 2008) .................................................................... 55

Figura 2-9. Transporte (a) advectivo y (b) difusivo de una masa de tinte. Tomado y adaptado de

(Chapra, 1997) ................................................................................................................................... 56

Figura 2-10. Volumen de control infinitesimal y análisis de los componentes longitudinales de flujo.

Tomado de (Camacho L. , 2000). ...................................................................................................... 57

Figura 2-11. Representación esquemática del modelo ADZ de primer orden. RMC (Reactor de

Mezcla continua). Tomado y adaptado de (Lees y Camacho, 2000) ............................................... 63

Figura 2-12. Representación de los tiempos de arribo y de viaje del modelo ADZ. Adaptado de

(Lees y Camacho, 2000).................................................................................................................... 66

Figura 2-13. Gráfico de dispersión para el tramo inicial, Q alto. ...................................................... 70

Figura 2-14. Sensibilidad regional para para el tramo inicial, Q máximo. ...................................... 71

Figura 2-15. Análisis de incertidumbre utilizando la metodología GLUE. CircuitoNo 4, Q med. ... 72

Figura 3-1. Vista general del modelo físico de la red. ...................................................................... 75

Figura 3-2. Bomba hidráulica y transición de tubería en hierro galvanizado a PVC. ....................... 75

Figura 3-3. Esquema de la red experimental ..................................................................................... 76

Figura 3-4. Inyector del soluto en la red. .......................................................................................... 77

Figura 3-5. Puntos de muestreo ......................................................................................................... 78

Figura 3-6. Piezómetro y múltiple con el fin de conocer la presión en la red. .................................. 79

Figura 3-7. Configuración de cada circuito. ...................................................................................... 80

Figura 3-8. Bomba hidráulica. ........................................................................................................... 82

Figura 3-9. Canal final y vertedero triangular. .................................................................................. 83

CONTENIDO

VI

Figura 3-10. Dimensiones del tanque para calibración del vertedero. .............................................. 84

Figura 3-11. Esquema del vertedero triangular ................................................................................. 84

Figura 3-12. Registro fotográfico de la calibración del vertedero de cresta delgada. ...................... 85

Figura 3-13. Valores de Ce para un vertedero Triangular con contracción completa. Fuente: Bos

1989 ................................................................................................................................................... 87

Figura 3-14. Curva del vertedero triangular ...................................................................................... 88

Figura 3-15. Fotografía de los equipos de conductividad. ................................................................ 89

Figura 3-16. Registro de video mediante una cámara en los punto [G] y [F]. .................................. 90

Figura 3-17. Resultados ensayo de prueba medición directa e indirecta. ......................................... 93

Figura 3-18. Registro de video en el punto [C] de la red. ................................................................. 93

Figura 3-19. Curva de calibración de conductivímetros Toledo realizada el e de mayo de 2010 ..... 95

Figura 3-20. Perfiles de concentración Circuito No 1. ...................................................................... 98

Figura 3-21. Perfiles de concentración Circuito No 2 . ................................................................... 100

Figura 3-22. Perfiles de concentración Circuito No 3. .................................................................... 102

Figura 3-23. Perfiles de concentración Circuito No 4 . ................................................................... 104



Figura 3-26. Diagrama de la lectura de presión en el ensayo. ......................................................... 112

Figura 4-1. Diagrama de Flujo realizado para la calibración y validación hidráulica..................... 117

Figura 4-2. Esquema de la red en WATERGEMS V8XM ............................................................. 124

Figura 4-3. Esquema de los tramos y mallas del sistema de distribución. ...................................... 126

Figura 4-4. Resultados Calibración P1 a P4.Circuito No 1 – Qalto (a) Gráfico de dispersión.

(b)Sensibilidad Regional (c) Gráfico de incertidumbre .................................................................. 131

Figura 4-5. Resultados Calibración P14 a P17 – Circuito No 2 Q med. (a) Gráfico de dispersión.

(b)Sensibilidad Regional (c) Gráfico de incertidumbre .................................................................. 134

Figura 4-6. Resultados de validación Circuito No 5. (a) Caudal alto (b) Caudal medio (c) Caudal

bajo. ................................................................................................................................................. 140

Figura 4-7. Resultados de validación Circuito No 6. (a) Caudal alto (b) Caudal medio (c) Caudal

bajo. ................................................................................................................................................. 141

Figura 5-1. Componenetes matriz de información datub ................................................................ 145

Figura 5-2. Resultado de prueba transporte por ADZ. DF=0.1. ..................................................... 148

Figura 5-3. Resultado de prueba transporte por ADZ. DF=0.1, DF=0.2 y DF=0.3 ....................... 149

Figura 5-4. Resultado de prueba transporte por ADZ. Tres tuberías ............................................. 151

CONTENIDO

VII

Figura 5-5. Resultado de prueba transporte por ADE. ................................................................... 154

Figura 5-6. Ventana principal de la herramienta para la generación del transporte en la red de

solutos. ............................................................................................................................................ 157

Figura 6-1. Resultado modelos ADZ y ADE para Circuito No 1 – Caudal Bajo. ........................... 161

Figura 6-2. Resultado modelos ADZ y ADE para Circuito No 1 – Caudal medio. ........................ 163

Figura 6-3. Resultado modelos ADZ y ADE para Circuito No 1 – Caudal alto. ............................ 165

Figura 6-4. Resultado modelos ADZ y ADE para Circuito No 4 – Caudal Alto. ........................... 168

Figura 6-5. Resultado modelos ADZ y ADE para Circuito No 2 – Caudal alto. ............................ 169

Figura 6-6. Comparación entre la fracción dispersiva promedio y caudal para los circuitos No1 a No

4. ...................................................................................................................................................... 173

Figura 6-7. Resultado modelos ADZ y ADE para Circuito No5 – Caudal Alto- Puntos A, G y E. 175

Figura 6-8. Resultado modelos ADZ y ADE para Circuito No5 – Caudal Alto- Puntos F, D y B. 176

Figura 6-9. Resultado modelos ADZ y ADE para Circuito No 6 – Caudal Bajo- Puntos E y B. ... 178

Figura 6-10. Resultado modelo ADZ y ADE para Circuito No 6 – Caudal Bajo- Puntos F, C y D.

......................................................................................................................................................... 179

Figura 6-11. Relación de fracción dispersiva y caudal para la campaña No 1. ............................... 183

Figura 6-12. Resultado de calibración de la fracción dispersiva para el circuito No 5 Q bajo. (a)

Gráfico de dispersión. (b)Sensibilidad Regional (c) Gráfico de incertidumbre .............................. 186

Figura 6-13. Perfil de concentración con la mejor opción de calibración. Circuito No 1 – Q med. 187

Figura 6-14. Perfil de concentración con la mejor opción de calibración. Circuito No 2 – Q alto. 189

Figura 6-15. Perfil de concentración con la mejor opción de calibración. Circuito No 3 – Q bajo. 190

Figura 6-16. Perfil de concentración con la mejor opción de calibración. Circuito No 4 – Q alto.. 192

Figura 6-17. Perfil de concentración con la mejor opción de calibración. Circuito No 5 – Q bajo. 194

Figura 6-18. Perfil de concentración con la mejor opción de calibración. Circuito No 6 – Q med..

......................................................................................................................................................... 195

Figura 6-19. Relación de fracción dispersiva calibrada y caudal. ................................................... 196

CONTENIDO

VIII

Lista de Tablas

Tabla 3-1. Características principales de la red de distribución ........................................................ 74

Tabla 3-2. Características de cada circuito ........................................................................................ 79

Tabla 3-3. Dimensiones del tanque de almacenamiento ................................................................... 81

Tabla 3-4. Especificaciones de la bomba. ......................................................................................... 81

Tabla 3-5. Datos experimentales para calibración del vertedero. ..................................................... 86

Tabla 3-6. Selección ecuación del vertedero. .................................................................................... 88

Tabla 3-7. Especificaciones de los equipos de conductividad. ......................................................... 89

Tabla 3-8. Puntos medición de presión y de muestreo para cada circuito. ....................................... 94

Tabla 3-9. Calibración de conductivímetros ..................................................................................... 95

Tabla 3-10. Coeficientes de Ajuste de los conductivímetros ............................................................ 96

Tabla 3-11. Características de los ensayos. Circuitos No 1 a 4. ........................................................ 97

Tabla 3-12. Análisis resultados Circuito No1. .................................................................................. 99

Tabla 3-13. Análisis resultados Circuito No2. ................................................................................ 101



Tabla 3-16. Características de los ensayos circuito No 5 y No 6. ................................................... 106

Tabla 3-17. Análisis resultados circuito No 5. ................................................................................ 108

Tabla 3-18. Análisis resultados circuito No 6. ................................................................................ 110

Tabla 3-19. Presiones observadas en cada ensayo con trazadores. ................................................. 111

Tabla 3-20. Presiones corregidas para cada ensayo. ....................................................................... 113

Tabla 3-21. Presiones depuradas para cada ensayo ......................................................................... 114

Tabla 4-1. Valores de energía y caudal para cada tramo en la prueba del modelo hidráulico realizada

al Circuito No 5. .............................................................................................................................. 127

Tabla 4-2. Valores de energía y caudal para cada tramo en la prueba del modelo hidráulico realizada

al Circuito No 6. .............................................................................................................................. 129

Tabla 4-3. Los 10 mejores parámetros de calibración para el tramo inicial (P-1 a P-4) de acuerdo al

valor de R2. ..................................................................................................................................... 132

Tabla 4-4. Selección del mejor grupo de parámetros para el tramo inicial ..................................... 133

Tabla 4-5. Los 10 mejores parámetros de calibración para el tramo final (P-14 a P-17) ................ 135

Tabla 4-6. Selección del mejor grupo de parámetros de tramo final. P-14 a P-17 .......................... 136

CONTENIDO

IX

Tabla 4-7. Los 10 mejores grupo de parámetros de calibración para el tramo del circuito No 1. ... 137

Tabla 4-8. Selección del mejor grupo de parámetros del tramo del circuito No 1 .......................... 137

Tabla 4-9. Tablas calibración circuito No 2 a No 4. (a) Los 10 mejores grupo de parámetros. (b)

Selección del grupo de parámetros. ................................................................................................. 138

Tabla 4-10. Resultados finales de calibración ................................................................................. 139

Tabla 4-11. Valor de R2 promedio para cada tramode calibración ................................................. 143

Tabla 5-1. Variables de entrada al modelo de transporte ADE. ...................................................... 153

Tabla 6-1. Valores de R2 y error % de concentraciones máximas. Modelo ADZ. Circuito No 1 Q

bajo. ................................................................................................................................................. 162


med. ................................................................................................................................................. 164


alto ................................................................................................................................................... 166

Tabla 6-4. Valores de DF en modo predictivo para el circuito No 1. ............................................. 166

Tabla 6-5. Valores del coeficiente de determinación de Nash (R2) de los circuitos No 2 a No 4 para

el modelo ADZ. ............................................................................................................................... 170

Tabla 6-6. Valores de error % de concentraciones máximas. Modelo ADZ. Circuito No 2 a No 4.

......................................................................................................................................................... 172

Tabla 6-7. Valores de DF en modo predictivo para los circuitos No 2 a No 4. .............................. 172

Tabla 6-8. Valores del coeficiente de determinación de Nash (R2) de los circuitos No 5 y No 6 para

el modelo ADZ. ............................................................................................................................... 180

Tabla 6-9. Valores de error % de concentraciones máximas. Modelo ADZ. Circuito No 5 y No 6.

......................................................................................................................................................... 181

Tabla 6-10. Valores de DF en modo predictivo para los circuitos No 5 y No 64. ......................... 182

Tabla 6-11. Resultado de los 10 mejores R2. Calibración Directa DF. Circuito No 1 ................... 187






Tabla 7-1. Mejores tres valores de la calibración de DF. ................................................................ 206

CONTENIDO

X

Lista de Anexos

Anexo A. Plano de la Red .................................................................................................................. i

Anexo B. Curvas de calibración de los equipos de conductividad ............................................... iii

Anexo C. Matrices para la solución por el Método del Gradiente. ............................................... v

Anexo D. (Digital) Registro de lecturas de conductividad de los experimentos con trazadores

.......................................................................................................................................................... viii

Anexo E. Código en MATLAB del Método del Gradiente ........................................................... ix

Anexo F. Código calibración circuitos No 1 y No 4. ...................................................................... xi

Anexo G. Función modelo de transporte ADZ ............................................................................ xiv

Anexo H. Función Auxiliar para el modelo ADE ........................................................................ xvi

Anexo I. Código acople modelo ADZ ADE y método del gradiente ......................................... xvii

Anexo J. Herramienta para el transporte de solutos. .............................................................. xxvii

Anexo K. Resultados del modelo de transporte ADZ en modo predictivo y el modelo ADE

...................................................................................................................................................... xxxiii

INTRODUCCIÓN

VERIFICACIÓN EXPERIMENTAL DE LA CAPACIDAD PREDICTIVA DE MODELOS DE TRANSPORTE DE SOLUTOS EN REDES DE TUBERÍAS A PRESIÓN MIGUEL A. HERNANDEZ FUERTE

11

1. INTRODUCCIÓN

La contaminación en los sistemas de distribución de agua, ya sea de agua potable o en sistemas de

irrigación para cultivos, es un tema que desde hace pocos años se ha venido tratando, tanto por

investigadores, como por empresas prestadoras del servicio (Arrieta, 2002). El tema de

contaminación en redes de distribución es importante, pues es necesario preservar estándares de

calidad a lo largo de toda la red, y más aún cuando se trata de agua potable para consumo humano.

En los últimos años la calidad del agua en sistemas de distribución de agua potable se ha convertido

en un tema de gran interés para especialistas y entidades prestadoras de este servicio. Esto debido a

la importancia que tiene para el crecimiento integral de una ciudad, al aumento de la densidad de

población, al crecimiento de la red de abastecimiento, a la exigencia de la calidad del agua y del

servicio por parte de los consumidores, y situaciones que puedan poner en riesgo la salud pública

por la mala calidad del agua (Fonnegra, 2002).

En Colombia, la entidad con competencia legal para llevar a cabo la vigilancia de la calidad del

agua potable es el Ministerio de la Protección Social y la Superintendencia de Servicios Públicos

Domiciliarios, exactamente la superintendencia delegada para A.A.A (Acueducto Alcantarillado y

Aseo). De acuerdo con estadísticas e informes de diferentes entidades gubernamentales, en

Colombia la calidad del agua para consumo humano es deficiente y se relaciona principalmente con

la presencia de organismos patógenos, sin descartar los contaminantes de origen fisicoquímico

(Arrieta, 2002). Un estudio realizado por el Ministerio de Salud en coordinación con la

Organización Panamericana de la Salud (OPS, 1993), determinó que del grupo de enfermedades de

salud pública más importantes (enfermedad diarreica aguda, infección respiratoria aguda,

enfermedades por vectores, etc.), 44% estaban relacionados con el saneamiento básico y de ellas,

aproximadamente 40% tenían relación directa con el agua potable.

Desde el punto de vista microbiano, la calidad del agua en corrientes naturales y redes de

distribución puede variar rápidamente, tanto espacial como temporalmente. A corto plazo, los picos

en la concentración de patógenos incrementan considerablemente los riesgos de propagación de

INTRODUCCIÓN


12

enfermedades causadas por el consumo de agua contaminada, lo cual puede ser el inicio de una

epidemia (UNICEF et al. 200). De aquí la importancia de la implementación de modelos de

transporte y decaimiento de organismos patógenos que soporten el desarrollo de sistemas de alerta

en casos de contaminación accidental (Torres y Camacho, 2008).

Investigaciones en torno a la calidad del agua, el mejoramiento y la optimización de sistemas de

distribución de agua potable, han permitido el desarrollo de diferentes modelos matemáticos de

calidad del agua aplicados a redes de distribución o tuberías con flujo a presión (Vidal et al,1 994).

La modelación clásica del transporte de sustancias disueltas en agua se realiza por medio de la

ecuación de advección y dispersión (ADE, Advection Dispersión Equation, Taylor, 1954), base para

diferentes programas comerciales de redes de distribución tales como EPANET (Rossman, 2000) o

WATERCAD (Bentley, 2009). No obstante modelos menos conocidos como el modelo de zona

muerta agregada ADZ (ADZ, Aggregated Dead Zone, Young y Wallis, 1993), ha demostrado tener

buenos resultados en ríos (Young y Wallis, 1993; Lees y Camacho, 2000; Camacho y Cantor, 2006;

Camacho y Gonzalez, 2008; Gonzalez, 2008), constituyendo potencialmente en una buena

alternativa en la modelación del transporte de solutos en redes de distribución.

1.1. Generalidades

En la presente investigación se pretende mediante el uso de un modelo físico piloto de una red de

distribución, realizar ensayos de experimentos con trazadores con el fin de implementar y calibrar

dos modelos matemáticos de transporte, el modelo clásico de transporte ADE, y el modelo menos

conocido ADZ, para verificar la capacidad predictiva de estos. El modelo físico fue construido en la

playa de modelos del Laboratorio de Hidráulica (edificio 409) de la Universidad Nacional de

Colombia, sede de Bogotá (Trujillo, 2007; Palacios y Rincón, 2008).

Los experimentos con trazadores permiten simular el transporte de un contaminante conservativo en

una red de distribución. Para observar la dinámica de los procesos de transporte del contaminante,

se realizan diferentes experimentos en condición de flujo permanente, con diferentes valores del

caudal y variando la complejidad del sistema mediante el cierre o apertura de válvulas.

INTRODUCCIÓN


13

1.2. Antecedentes

Durante los últimos años, la modelación de la calidad del agua ha constituido uno de los temas de

mayor auge en el campo de la hidráulica urbana. La preocupación por la calidad del agua potable,

mientras permanece en la red de distribución, surgió en E.E.U.U. en la década de los ochenta

(Vidal, et al., 1994). La aparición de varios modelos numéricos para simular el transporte de

contaminantes en las redes de distribución de agua potable ha incentivado la investigación frente a

este importante tema. Ejemplos de lo anterior, son el Modelo Lagrangiano de transporte de Liou y

Kroon (1987), el enfoque dinámico para modelar la calidad del agua de Grayman, et al., (1988), el

método de elementos discretos de Rossman y Boulos (1993), entre otros. Estos modelos calculan en

primera instancia la trayectoria de flujo y la velocidad en cada una de las tuberías de la red, para

luego calcular la concentración de una sustancia disuelta o soluto y de algunos determinantes

reactivos de interés, tales como cloro residual (Fonnegra, 2002).

La modelación clásica del transporte (advección y dispersión) de solutos o contaminantes se ha

realizado principalmente mediante la ecuación ADE (Taylor, 1921). Esta ecuación ha sido motivo

de revisión y se ha estudiado extensivamente la implementación numérica en modelos de flujo en

ríos. Su utilización práctica en modelos computacionales comerciales de flujo en redes de tuberías

es aún limitada. En el modelo EPANET (Rossman, 2000) por ejemplo, se desprecia el efecto de la

dispersión longitudinal en el modelo de transporte. Usualmente se argumenta que la dispersión

longitudinal es despreciable en tuberías pues el flujo es más advectivo. Sin embargo esta afirmación

no aparece plenamente justificada. La simplificación de la ecuación original obedece más a aspectos

numéricos ya que el tiempo de cálculo de las soluciones dinámicas es considerablemente extremo

para obtener soluciones estables y precisas (Rossman y Boulos, 1996).

Debido a las limitaciones prácticas del modelo ADE, surge la posible implementación de un modelo

alterno de transporte, el modelo de Zona Muerta Agregada ó ADZ (Aggregated Dead Zone, Beer y

Young, 1983), desarrollado originalmente para ser aplicado en corrientes naturales. Este modelo

parece ser una buena opción como alternativa para la modelación de los fenómenos de transporte de

solutos y contaminantes en redes de distribución, incorporando el efecto de la dispersión

longitudinal. Los trabajos previos relativamente recientes de Romero (2001), Fonnegra (2001 y

2002), Guevara (2002), González, (2004), Pantoja (2005) y Felix (2005) así parece demostrarlo.

Algunos de estos estudios han aplicado el modelo ADZ mediante la implementación experimental

INTRODUCCIÓN


14

en redes de tuberías construidas en laboratorios de hidráulica (más reciente Pantoja, 2005)

obteniendo resultados consistentes, sin embargo, hace falta realizar ensayos concluyentes de su

aplicabilidad.

1.3. Definición del Problema

De acuerdo con la literatura (Rossman y Boulos, 1993), el problema del transporte de flujo de

sustancias en una red de distribución está estrechamente relacionado con la magnitud y la dirección

del flujo del agua en el tiempo. Puesto que las mezclas diluidas no afectan el estado hidráulico del

sistema, es posible conocer de antemano como el flujo en la red puede variar debido a cambios

externos y usar estos flujos como entrada a un modelo que realice el seguimiento al destino de cada

sustancia disuelta. Cambios en la relación del consumo, estado de las válvulas, niveles del tanque de

agua y operación de las bombas pueden cambiar la magnitud del flujo y su posible dirección. Al

tener hidráulicamente calibrada la red de distribución, e identificar cada uno de los cambios

anteriormente mencionados, se reduce en gran medida la incertidumbre en el transporte de una

sustancia contaminante o no en la red.

En una red de distribución, la calidad del agua puede deteriorarse por la complejidad física y por las

transformaciones químicas y biológicas que ocurren durante el transporte. Las transformaciones

pueden ser causadas por contaminación a través de las conexiones, fallas en los componentes del

sistema, mezcla de agua desde distintas fuentes con calidad de agua variable, pérdida de

desinfectante en tanques y en la red a causa de largos tiempo de residencia del agua, regeneración

bacteriana, actividades microbianas, aumento de la turbiedad, disolución de plomo, corrosión de

tuberías y la formación de desinfección por productos, algunos de los cuales son sospechosamente

cancerígenos (Rossman y Boulos, 1993).

En Colombia son escasos los estudios que partiendo de la vulnerabilidad de los sistemas de

suministro de agua potable a sustancias contaminantes, tienen en cuenta la distribución y transporte

de contaminantes dentro de la red y la relacionan con el impacto sobre la población (González,

2004). Aunque en la actualidad existen diversos estudios e investigaciones referentes al transporte

de contaminantes en redes de distribución, la validación en redes piloto o mediante modelos físicos

a escala ha sido escasa.

INTRODUCCIÓN


15

De acuerdo a los lineamientos de la normativa nacional, la calidad del agua que debe hallarse en un

sistema de distribución depende del uso que a ésta se de. Entre los usos se encuentran, el consumo

humano y doméstico, preservación de flora y fauna, agrícola, pecuario, recreativo, industrial y de

transporte. Los límites permitidos de los compuestos químicos que puede haber en el agua, para

cada uno de estos usos, están establecidos por el Decreto 1594 de 1984. Sin embargo estos

lineamientos no son del todo acatados por entidades públicas y privadas o corporaciones regionales

responsables del tratamiento del agua.

Específicamente para los sistemas de agua potable, el Reglamento Técnico del Sector de Agua

Potable y Saneamiento Básico (RAS, 2000), establece que la calidad del agua en sistemas de agua

potable debe garantizar los lineamientos del Decreto 475 de 1998. De acuerdo a este Decreto “el

valor admisible del cloro residual libre en cualquier punto de la red de distribución de agua

potable, deberá estar comprendido entre 0.2 y 1.0 mg/litro” (el cloro actua como desinfectante y

reacciona con otros agentes contaminantes, mejorando la calidad del agua). El cloro residual es la

concentración de cloro existente en cualquier punto del sistema de abastecimiento de agua, después

de un tiempo de contacto determinado. Citando textualmente del RAS (2000): “la concentración del

cloro residual debe calcularse aplicando una ecuación de conservación de la masa que incluya los

procesos de decaimiento de la concentración durante el transporte, decaimiento o crecimiento por

reacción, los procesos de mezcla en los nodos de la red, la adición en diferentes puntos de la red y

la degradación por retención del agua en los tanques”. La modelación sugerida por la norma

incluye un proceso reactivo (no conservativo) del cloro, mas no incluye un tipo de transporte

advectivo o dispersivo en específico, por lo que el modelo se vuelve flexible ante este caso. La

importancia del modelo de calidad del agua en la red, radica en su implementación para todos los

diseños en niveles de complejidad medio, medio alto y alto (numeral B.7.4.4, RAS, 2000). Además

se debe calcular la calidad del agua en cada uno de los nodos de la red, para un nivel de calidad de

agua en la (o las) planta(s) de tratamiento y posibles sitios de reinyección de químicos al agua

(numeral B.7.4.9.6, RAS, 2000).

A consecuencia de esta problemática y con el fin de atenderla de una forma honesta y responsable

se considera útil contar con una herramienta que permita modelar de manera sencilla la distribución

temporal y espacial de un soluto en sistemas de agua potable. Esto con el fin de vigilar la calidad

del agua y permitir el control y la actuación rápida cuando ocurra un incidente de contaminación

INTRODUCCIÓN


16

inesperado en la red, o con el fin de justificar correctamente la cantidad de cloro que debe

suministrarse en los tanques de almacenamiento que alimenta la red de distribución.

1.4. Justificación de la Investigación

Debido a la importancia del problema, a la ausencia de un estudio formal en el país en relación al

tema de transporte de solutos en redes de distribución y a las limitaciones que existen en los

modelos normalmente utilizados, es importante obtener los elementos necesarios para determinar la

capacidad predictiva real del proceso de transporte (advección - dispersión) en un sistema de

abastecimiento de agua potable. Al cuantificar la capacidad predictiva es posible establecer con

claridad el grado de confianza de los resultados que un modelo de transporte ofrece.

Trabajos anteriores (Guevara, 2002; Fonnegra, 2001; Fonnegra, 2002; Pantoja, 2005) han

demostrado que el modelo unidimensional de transporte de Zona Muerta Agregada (ADZ), simula

adecuadamente los fenómenos de advección y dispersión de solutos en tuberías. Vale la pena

profundizar aun más la investigación en este modelo, realizando verificaciones experimentales por

medio de ensayos con trazadores con el fin de realizar la calibración de los parámetros del modelo

unidimensional del transporte ADZ, verificando la capacidad predictiva del mismo como punto de

comparación con otros modelos como el ADE.

1.5. Hipótesis

Como hipótesis para la presente investigación, es posible afirmar provisionalmente y de acuerdo

con la literatura que:

“Los resultados de la verificación experimental en el modeló físico instalado en la playa de modelos

de la Universidad Nacional de Colombia, permiten corroborar que el modelo ADZ es capaz de

representar satisfactoriamente y con una alta capacidad predictiva, mayor a que la del modelo ADE,

la distribución espacio temporal del transporte de solutos en una red de distribución de agua a

presión en condiciones de flujo permanente”

INTRODUCCIÓN


17

1.6. Objetivos

El objetivo general planteado en el presente trabajo de investigación es:

1.6.1. General

Verificar experimentalmente la capacidad predictiva de los modelos unidimensionales ADZ y ADE

de transporte de solutos en redes de tuberías de agua potable a presión, utilizando datos de

experimentos con trazadores, en el modelo físico de la red de distribución construido en la playa de

modelos del laboratorio de hidráulica de la Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogotá. Como

resultados específicos se plantean los siguientes:

1.6.2. Específicos

Realizar una calibración hidráulica de la red distribución mediante el uso de herramientas

computacionales, basadas en la metodología GLUE (Benley y Binley, 1992), a partir de

mediciones de presión y caudal en la red de distribución piloto.

Calibrar los modelos de transporte unidimensionales ADE y ADZ mediante la metodología de

estimación de parámetros GLUE (Beven y Binley, 1992), basada en simulaciones de Monte

Carlo, empleando la herramienta MCAT (Wagener y Lees, 2004).

Analizar la relación entre la fracción dispersiva DF y el coeficiente de dispersión longitudinal D,

así como la importancia relativa del componente dispersivo de los modelos unidimensionales de

transporte ADZ y ADE respectivamente.

Evaluar la capacidad predictiva de los modelos ADZ y ADE de la distribución espacio temporal

de transporte de solutos en una red de distribución de agua a presión en condiciones de flujo

permanente.

1.7. Resumen Metodológico

La metodología realizada para el desarrollo de la investigación comenzó con la adecuación de la

infraestructura de la red piloto del laboratorio con el fin de realizar ensayos con trazadores de

INTRODUCCIÓN


18

cloruro de sodio. Fue necesario aumentar la cabeza de energía en la red de distribución, para

permitir mayor variabilidad en el caudal. Para esto, se conectó la red de distribución con una bomba

existente en el cuarto de bombas del patio de modelos, la cual generó la energía suficiente para

establecer un rango de caudales considerable. Además, se construyó un vertedero triangular de

cresta delgada con el fin de medir el caudal que pasa por el modelo físico.

Con el modelo físico, se realizaron diferentes experimentos con trazadores en la red de distribución

variando el caudal y la complejidad del sistema. Se consideraron seis configuraciones de la red con

tres caudales diferentes, para un total de 18 experimentos con trazadores. En cada experimento se

tomó lectura de la presión en diferentes puntos, con el fin de realizar la calibración hidráulica del

sistema mediante la metodología GLUE usando la herramienta MCAT (Wagener y Lees, 2004).

Se implementó el modelo matemático ADZ para la red de distribución, considerando diferentes

ecuaciones de perfiles de velocidad en tuberías y permitiendo el análisis y comparación de los

resultados del transporte.

Se realizó la calibración de los parámetros dispersivos de transporte en los modelos ADZ y ADE a

partir de los datos de trazadores con cloruro de sodio tomados en la red.

Para la calibración de los modelos se utilizó la metodología GLUE aplicando la herramienta

MCAT para los parámetros de transporte de fracción dispersiva DF (ADZ) y el coeficiente de

dispersión D (ADE).

1.8. Resultados Principales e Importancia

Mediante los resultados de ensayos con trazadores en el modelo físico instalado, se logró verificar

satisfactoriamente la capacidad predictiva del modelo de Zona Muerta Agregada ADZ. A

continuación una figura comparativa de los valores de concentración experimentales con los

resultados de varios modelos de transporte utilizados en la investigación:

INTRODUCCIÓN


19

Figura 1-1. Ejemplo resultado transporte de Modelos. Circuito No 4 Q bajo Punto [D].

Como se puede observar en la Figura 1-1, existe gran variación en la respuesta de cada modelo para

el punto muestreo. Con un coeficiente de dispersión de 1m2/s el modelo ADE presenta un

comportamiento dispersivo que no es capaz de acercarse a la concentración máxima, y con un valor

de 0.01 m2/s el tiempo de arribo es muy lejano con una diferencia de 100 segundos. El resultado del

software hidráulico EPANET considera la advección como único componente del transporte,

sobreestimando el valor de la concentración máxima y con un considerable desfase en el tiempo de

arribo de 120 segundos. El modelo ADZ se acerca considerablemente al comportamiento de

transporte ocurrido para esta condición (punto [D] caudal mínimo del circuito No 4), con un alto

grado de precisión del modelo a los datos medidos.

Para modelar el efecto de un posible evento de contaminación dentro de un sistema de distribución

de agua potable, se podrían utilizar los resultados de esta investigación, aplicando el modelo de

transporte ADZ para conocer con el mejor grado de predicción los tiempos de arribo, tiempos de

viaje y la carga contaminante en puntos determinados. Se podrían realizar entonces acciones

pertinentes, como lo son el cierre de válvulas, derivación de flujo, llamados de emergencia, entre

otros, antes que la sustancia contaminante llegase a puntos de consumo.

El modelo clásico de transporte usado en los programas hidráulicos comerciales, como EPANET o

WATERGEMS, no representa correctamente el fenómeno de transporte en una red de distribución.

60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 4200

100

200

300

400

RESULTADO TRANSPORTE DIFERENTES MODELOSCircuito No 4 - Q=0.45LPS -Punto [D]

Tiempo [seg]

Concentr

ació

n

[mlg

/lt]

Concentración de entrada

Concentración Observada

Modelo ADZ- Ley Potencia 1/7

Modelo ADE. D=1m2/s

EPANET

Modelo ADE. D=0.01m2/s

INTRODUCCIÓN


20

Esta investigación recomienda el uso del modelo ADZ, por su excelente capacidad predictiva en la

representación del transporte de un contaminante en un sistema de distribución. Además, su

eficiencia computacional es clarmente superior a la del modelo de transporte ADE.

1.9. Contenido del documento

Para presentar un desarrollo secuencial y lógico de la investigación, el documento ha sido dividido

en ocho capítulos. El primer capítulo contiene las generalidades concernientes a la investigación,

como lo son objetivos, hipótesis planteada y metodología desarrollada. Además se presenta un

ejemplo de los resultados relevantes encontrados.

En el segundo capítulo se presenta una revisión del estado del arte del transporte de solutos en

tuberías. Se incluyen generalidades con respecto a la solución hidráulica de una red de distribución

mediante el método del gradiente. Se realiza una breve explicación de las diferentes leyes que rigen

las distribuciones de velocidad en la hidráulica de tuberías. Se describen las ecuaciones

fundamentales de los modelos de transporte ADE y ADZ. Al final del capítulo se incluye una breve

revisión de la metodología utilizada para la calibración hidráulica de la red y de los modelos de

transporte.

En el tercer capítulo se describe la fase experimental de la investigación, iniciando con la

caracterización del modelo físico y sus componentes. Se presentan además los resultados de la

calibración del vertedero triangular, los resultados de los ensayos con trazadores de cloruro de sodio

para cada uno de los circuitos establecidos y finalmente se presentan las lecturas de presión tomadas

a lo largo de la red para cada ensayo con trazadores realizado.

En el cuarto capítulo se resume la calibración hidráulica. Se describe la metodología implementada

y el proceso de depuración de los valores de presión como base del proceso de calibración. Se

presenta la solución de la red por el método del gradiente y las pruebas preliminares aplicadas al

modelo con el fin de garantizar la validez de los resultados. Finalmente se describen los resultados

de la calibración hidráulica y la validación del modelo hidráulico, que constituye la base del modelo

de transporte de solutos.

INTRODUCCIÓN


21

En el quinto capítulo se describe la implementación de los modelos de transporte en la red,

realizando pruebas sintéticas de verificación que permiten concluir sobre la bondad de los

algoritmos programados en los modelos matemáticos. También se presentan los códigos de

programación en MATLAB que permiten correr los modelos de transporte, generar, y visualizar los

resultados.

En el sexto capítulo se resume la aplicación de los modelos de transporte, la metodología utilizada y

los resultados de la implementación. Se muestran los resultados del transporte en modo predictivo,

basados en diferentes ecuaciones de perfiles de velocidad, y los resultados del modo de calibración

directa de la fracción dispersiva DF para el modelo ADZ.

En el séptimo capítulo se formulan las conclusiones pertinentes y se presentan algunas

recomendaciones para continuar con el desarrollo del tema de esta investigación.

En el octavo capítulo se presentan las referencias bibliográficas citadas en el cuerpo de este

documento. Éstas sirvieron como fuente de información y comparación de los resultados obtenidos

y son el punto de partida de la revisión del estado del arte de futuras investigaciones de modelación

del transporte de solutos.

REVISIÓN DEL ESTADO DEL ARTE


22

2. REVISIÓN DEL ESTADO DEL ARTE DEL

TRANSPORTE DE SOLUTOS EN TUBERIAS

2.1. Introducción

En este capítulo se exponen los fundamentos teóricos empleados en los cálculos hidráulicos

requeridos en las aplicaciones de transporte de solutos en tuberías para redes de distribución de

agua. El entorno conceptual del cual se dispone para limitar el área de interés en este tema de

investigación es supremamente vasto, por lo tanto, se presentan de manera general los conceptos

básicos utilizados. En primera medida se abarcarán temas de hidráulica general, como los conceptos

de conservación de masa, conservación de energía y el método de solución hidráulica de redes de

distribución. Posteriormente se estudiará el tema de ensayos de transporte con trazadores para

luego terminar con los modelos de transporte de solutos.

Las ecuaciones que rigen toda la mecánica de fluidos se obtienen por la aplicación de los principios

de conservación de la mecánica y la termodinámica a un volumen fluido. Para generalizarlas se usa

el teorema del transporte de Reynolds y el teorema de la divergencia, teorema de Gauss, para

obtener las ecuaciones en una forma más útil para la formulación euleriana (Niño y Duarte, 2003).

2.2. Conservación de masa

El principio de la conservación de masa indica que la materia no se crea ni se destruye. Así,

considerando un flujo a través de un volumen de control, segmento de tubería, cavidad, tanque u

otro, y este no es retenido en el volumen, se puede expresar que: el balance entre la variación

temporal, acumulación o desacumulación, de la masa en el volumen de control y la tasa neta de

flujo de masa a través de la superficie de control igual a cero. Matemáticamente, esto es.

0SC VC

dMV dA d

dt t

Equation Chapter 2 Section 2(2.2.1)



23

Donde, M es la masa del flujo en el volumen de control VC; la densidad del fluido; V es el vector

de la velocidad del flujo; A el vector área de la superficie; ∀ el volumen y SC es la superficie de

contorno del volumen de control.

Ahora bien, considerando un flujo estacionario o permanente, en el que las características en un

punto permanecen constantes a través del tiempo, o pequeñas fluctuaciones comparadas con los

valores medios y estos no varían en el tiempo, Sotelo, 2002, la ecuación (2.2.1) toma la siguiente

expresión, en donde las propiedades del fluido, incluyendo la densidad, permanecen constantes en

el tiempo,

0SC

U dA (2.2.2)

El principio de conservación de la masa expresado en la ecuación (2.2.2) para flujo permanente, se

puede relacionar directamente con la ecuación de continuidad en un volumen de control, por

ejemplo un conducto, con velocidad media de entrada U1 por el área A1 y de salida U2 por el área

A2.

1 1 1 2 2 2

1 2

0SC A A

U dA U dA U dA (2.2.3)

Sí se tiene un flujo incompresible (1=2) resulta la ecuación de continuidad para flujo permanente

e incompresible. Esta es empleada como ecuación de conservación de masa para flujos en tuberías

considerando agua en estado líquido,

1 1 1 2 2 2 1 1 2 2

1 2

0A A

U dA U dA U A U A Q (2.2.4)

Considerando ahora el flujo permanente e incompresible, densidad constante, hacia y desde un nodo

de conexión entre conductos, la ecuación de conservación de la masa en el volumen de control se

representa a través de la siguiente ecuación generalizada,

1 1 1

0nT nA nD

i j k

i j k NC

Q A D

(2.2.5)



24

Donde nT es el número de tuberías conectadas al nodo de conexión (NC); nA es el número de

aportes de caudal al NC; nD es el número de demandas, consumos o fugas en el nodo NC; Q es el

caudal que fluye desde o hacia el nodo de conexión NC a través de la tubería i; A es el aporte de

caudal hacia el nodo de conexión NC; D es la demanda, consumo o fuga que presenta el NC.

En la siguiente figura se ilustra la conservación de masa en un nodo de conexión,

Figura 2-1.Nodo de conexión de tuberías, sometido a caudales, demandas y aportes.

2.3. Conservación de la Energía

Para llegar a la ecuación de conservación de energía para fluidos en movimiento, es posible citar la

ecuación de Euler. Las ecuaciones de Euler son las que describen el movimiento de un fluido

incompresible y viscosidad despresiable. Su expresión corresponde a las ecuaciones de Navier-

Stokes cuando las componentes disipativas son despreciables frente a las convectivas, la ecuación

de Euler se puede expresar como (Sotelo, 2002).

1 U

p g z U Ut

Equation Section (Next)(2.3.1)

Donde es el operador diferencial; es la densidad del flujo; z es la altura desde un punto de

referencia; U es el vector de la velocidad, g la aceleración de la gravedad y t es el tiempo.

Al desarrollar el segundo término de la ecuación (2.3.1) para un flujo irrotacional y permanente

se puede llegar a la siguiente expresión,

Q1

Q2 Q3

A

D

NC



25

21

2

Up g z

Integrando en dos puntos cualesquiera de un fluido incompresible se obtiene,

21

2p gz U cte

(2.3.2)

La anterior expresión se conoce como la ecuación de Bernoulli, la cual es el resultado de integrar la

ecuación de Euler a través de una línea de corriente, líneas a las que la velocidad del fluido es

tangente en cada punto, asumiendo, como se evidenció, que el flujo es permanente y que la

densidad del mismo es constante.

Los términos de la ecución (2.3.2) pueden expresar en unidades de longitud por lo ecuación (2.3.2),

y después de aplicar el concepto de gravedad especifica ( g ),

21Altura Total

2TH p gz U

(2.3.3)

La cabeza total representa la energía del fluido en un punto. Considerando dos puntos dentro una

tubería a presión con el fluido en movimiento, se puede observar (ver Figura 2-2) que la línea de

energía presenta un decaimiento al final del punto 2. Esta pérdida de energía se debe a que el fluido

debe vencer fuerzas que se resisten al movimiento y se denomina hT.



26

Figura 2-2. Disipación de energía en una tubería a presión. Adaptado de Crane, 1994.

Entonces, para conservar la energía entre el punto 1 y el punto 2 la ecuación (2.3.3) puede

expresarse de la siguiente manera,

21 1 2 21 1 2 2 12 2

M T

P U P Uz H z h

g g

(2.3.4)

Donde se conoce como factor de corrección de energía cinética, o coeficiente de Coriolis, que

para flujos turbulentos ,como los experimentados por los sistemas de distribución, puede tomar un

valor de 1.03 ≅1.0 (Featherstone, 1995), HM es la energía generada por un maquina hidráulica, este

valor es positivo si existe una bomba y negativo si es una turbina; y hT son las pérdidas de energía

generadas por la fricción del fluido y por cambios bruscos de la velocidad media del flujo debido a

accesorios localizados en el tramo 1 a 2.

La suma de los términos a la izquierda de la ecuación (2.3.4) se conoce como la energía total

disponible del flujo en el conducto (H).

Las pérdidas de energía debidas a la fricción y a las pérdidas locales se pueden representar mediante

la siguiente ecuación,

2

1T f mh h h (2.3.5)

1P

2

1Th1

2

U

g

1z

2P

2

2

U

g

2z

Linea de Energía Hidráulica

Linea de Energía

Plano horizontal arbitrario de referencia

Punto No 1

Punto No 2



27

Donde hf es la pérdida de energía por fricción en la superficie del conducto en la longitud (L),

debida al rozamiento que se presenta en el interfaz fluido-conducto y hm las pérdidas de energía

locales, esta se debe a las deflexiones en las líneas de corriente del flujo por cambios en forma y/o

alineamiento o geometría del accesorio.

2.3.1. Perdidas por fricción

Como lo expresa Mays (2002), las pérdidas por fricción son muy importantes para el flujo de

fluidos en conductos, ya que por medio de estas se pueden dimensionar hidráulicamente los

conductos. Las ecuaciones más reconocidas para redefinir las pérdidas de energía debidas a la

fricción son la ecuación de Hazen-Williams y la ecuación de Darcy-Weisbach, sin embargo para

esta investigación solo se utilizó esta última ya que es la más aproximada, y físicamente basada.

Como se expresó anteriormente, el modelo matemático que mejor representa la pérdida de energía

en una tubería debida a la fricción, fue desarrollado por los ingenieros Henry Darcy y Julios

Weisbach, y está basado en desarrollos matemáticos de la física clásica, (López, 2003). En Haestad

(2003) se encuentra que la fecha de publicación de la ecuación de Darcy-Weisbach data de 1845 y

fue el resultado de aplicar el análisis dimensional en un trabajo presentado por J. Weisbach en el

área de la ingeniería mecánica,

22

2 5

8

2f

f L U f Lh Q

D g D g

(2.3.6)

Donde f es el factor de fricción de Darcy-Weisbach, que depende del comportamiento del flujo a

través del número de Reynolds (Re) y por lo tanto de la viscosidad cinemática, de los parámetros

geométricos y de la rugosidad absoluta de la pared del conducto; L es la longitud del conducto; U es

la velocidad media del flujo en el conducto; Q es el caudal; D es el diámetro y g es la aceleración de

la gravedad.

La versatilidad que brinda la ecuación de Darcy-Weisbach hace que esta sea la más utilizada en

cálculos de pérdidas por fricción. Además Sharp (2005), expone las áreas de aplicación de la ley de

Darcy sobre la cual se obtuvo la ecuación de Darcy-Weisbach: hidrología, hidrogeología, ingeniería

civil, ingeniería de petróleos, ingeniería química, geografía, geomorfología, planeamiento y



28

administración de recursos hidráulicos y agua subterránea. El presente trabajo utiliza la ecuación de

Darcy-Weisbach como ecuación de pérdidas por fricción. Con el fin de determinar el factor f de

fricción de Darcy-Weisbach es necesario considerar el concepto de flujo laminar y turbulento.

El flujo turbulento presenta intercambio de paquetes de fluido entre las capas que se mueven a

diferente velocidad y sus partículas de velocidad no tienen un vector de velocidad muy definido

(Niño y Duarte, 2003). En cambio el flujo laminar es caracterizado por el movimiento de partículas

en trayectorias paralelas y definidas, sin mezcla de estas (Sotelo, 2002).

El número de Reynolds determina si el flujo presenta una condición turbulenta, laminar o en

transición. El número de Reynolds representa la relación entre fuerzas inerciales y fuerzas viscosas

y se puede expresar como,

e

UDR

(2.3.7)

Donde U es la velocidad promedio del flujo; D es el diámetro de la tubería; es la densidad del

fluido y es el coeficiente de viscosidad dinámica, tal como lo establece la ley de viscosidad de

Newton. Cuando el número de Reynolds alcanza un valor de 2200, el flujo pasa de laminar a

transicional, para valores entre 2200 y 4500 aproximadamente, el flujo se localiza en una zona de

transición para número de Reynolds mayores a 4500 pasa a ser turbulento.

Para el flujo laminar en una tubería de sección circular en un papel log-log, el factor de fricción f de

Darcy está dado por.

64

e

fR

(2.3.8)

La ecuación (2.3.8) es conocida como la ecuación de Poiseuille, quien en 1846 estableció

matemáticamente esta relación para f, y expresa una independencia de la altura de rugosidad del

conducto, mostrando claramente que predomina la viscosidad en la definición del régimen de flujo

(Sotelo, 2002).

En torno al régimen de flujo en transición entre valores de Re de 2000 a 4000, el flujo puede ser

turbulento o laminar. El factor de fricción en esta región no se obtiene con precisión y tiene límites



29

más bajos si el flujo es laminar y más altos si el flujo es turbulento. Niño y Duarte (2003) comparte

los argumentos de Crane (2001), respecto a que la obtención del factor f para la zona de transición

es incierta.

Con respecto al rango de régimen de flujo turbulento, se puede obtener el f de Darcy-Weisbach con

la ecuación desarrollada por Cyril Colebrook y Cedrik White, desarrollada experimentalmente con

tuberías comerciales (Inglaterra 1938). La ecuación (2.3.9) plantea la fórmula denominada

Colebrook-White, con la cual en 1944 Lewis Moody crea el diagrama universal que lleva su

nombre.

1 2.512log

3.7 Re

eD

f f

(2.3.9)

Aunque la ecuación (2.3.9) es una de las más reconocidas en el cálculo del factor de fricción f,

posee el inconveniente de no ser explícita, causa que ha dado origen a diferentes tipos de

ecuaciones. Muestra de ello se encuentra en Sotelo (2002), donde se aprecian por lo menos seis

ecuaciones para ciertos rangos del número de Reynolds y materiales de conductos.

Para la obtención del factor f de fricción de Darcy para la zona en transición turbulenta, existe una

interpolación cúbica para el diagrama de Moody que posee la característica de ser explícita. Esta

interpolación aparece en Rossman (2000), tomada en cuenta en los algoritmos diseñados para el

software EPANET. El conjunto de ecuaciones reunidos en (2.3.10), hacen posible la obtención de

un valor aproximado de f para la zona en transición, y se reestructura su orden respecto al

presentado por Rossman (2000), ya que de este modo es más fácil su implementación

computacional.



30

0.9

0.9

2

5.742

3.7 Re

5.743 0.86859ln

3.7 4000

3

0.005142152

2 3

1 7

2 0.128 17 2.5

3 0.128 13 2

Re

2000

4 0.032 3 0.5

1 2 3 4

eY

D

eY

D

FA Y

FB FAY Y

X FA FB

X FA FB

X FA FB

R

X R FA FB

f X R X R X X

(2.3.10)

La ecuación (2.3.10) es válida para rangos de número de Reynolds entre 4000 y 100’000.0000, y

para la rugosidad relativa (e/D) entre 1x10-6 y 1x10-2, con un error relativo de ±1% (Rossman,

2000).

2.3.2. Pérdidas por accesorios

La ecuación (2.3.5) considera que las pérdidas de energía también están sujetas a pérdidas locales

por accesorios o también llamadas pérdidas menores (hm). Las pérdidas de energía locales se deben

a que el flujo sufre un aceleramiento aguas arriba, a través y después del accesorio a causa de la

obstrucción del flujo que induce éste; la velocidad aumenta disminuyendo la presión, al mismo

tiempo se generan vórtices y remolinos en inmediaciones del accesorio, los cuales consumen parte

de la energía del flujo (Niño y Duarte, 2003).

La siguiente ecuación representa las pérdidas de energía por accesorios

22

2 4

8

2m m m

Uh k k Q

g g D (2.3.11)



31

Donde hm es la perdida debida al accesorio; U es la velocidad media y la más alta en inmediaciones

del accesorio, ya sea aguas abajo o aguas arriba y km es el coeficiente de pérdidas (adimensional), el

cual depende del tipo de accesorio, la forma de acople al conducto, el número de Reynolds y la

velocidad media del flujo (Niño y Duarte, 2003).

En la literatura existen diferentes tablas que relacionan el coeficiente de pérdidas con el diámetro y

el material de la tubería. La presente investigación toma los valores de coeficiente de pérdidas por

accesorios preliminares del libro “Redes Hidráulicas y Sanitarias en Edificios” (Granados, 2002), ya

que posee diversos valores del coeficiente de pérdidas completo y es de fácil uso.

Conociendo el coeficiente de pérdida de algún accesorio y el factor de fricción f de la tubería es

posible reemplazar el accesorio por una longitud equivalente. Este concepto es útil para la solución

de redes de distribución. Para hallar esta longitud equivalente es necesario igualar las pérdidas por

fricción (ecuación (2.3.6) y las pérdidas por accesorios (ecuación (2.3.11)) para poder despejar la

longitud. La ecuación resultante para un accesorio es,

me

k DL

f

(2.3.12)

Donde Le es la longitud equivalente para el accesorio seleccionado y las demás variables fueron

definidas anteriormente.

2.4. Perfiles de velocidad en tuberías

De acuerdo con la teoría de capa limite introducida por Prandtl (1904), en donde se establece una

interacción entre el fluido en movimiento y la pared sólida, existe un esfuerzo cortante que sumado

con el grado de turbulencia del fluido, genera una distribución de velocidad transversal al

movimiento del fluido. El desarrollo de la capa limite se puede demostrar mediante la Figura 2-3

considerando flujo incompresible a través de una tubería de longitud infinita.



32

Figura 2-3. Desarrollo de la capa límite. Adaptado de (Saldarriaga, 2007)

Como se puede observar, para un flujo ideal con pared ideal ,sin viscosidad, incompresible y

esfuerzo de corte nulo, la velocidad media y su distribución es uniforme porque no existen

esfuerzos de corte en la masa ni en su contorno. A partir de xo el contorno es real y el fluido tiene

viscosidad, presentándose esfuerzos de corte. A medida que aumenta y, la velocidad aumenta hasta

un punto . Si y>el flujo no es viscoso, corriente libre, y presenta potencial. La unión de cada

punto punto límite, para cada sección define la denominada capa límite, y esta puede ser laminar

o turbulenta (Niño y Duarte, 2003).

2.4.1. Flujo Laminar

Como se observó en la página 24 el flujo puede ser laminar o turbulento y este se calcula mediante

el número de Reynolds, ecuación (2.3.7). Para el caso de flujo laminar en tuberías, en 1930 bajo la

hipótesis de que en la subcapa viscosa la velocidad no dependía del espesor de la capa límite,

espesor muy pequeño, L. Prandtl partiendo de la ley de viscosidad de Newton encontró que

(Saldarriaga, 2007),

2

00

02

rU r

r


Donde U es la velocidad para un radio r, r0 es el radio de la tubería, es el coeficiente de

viscosidad dinámica y 0 el esfuerzo cortante en la tubería, que por Ley de viscosidad Newton,

0

du

dy (2.4.2)

Pared Sólida

Capa

Límite

Dirección

del Flujo

Flujo Ideal

Pared Ideal xo xi

y



33

El esfuerzo cortante también puede ser expresado en términos de factor de fricción como,

2

08

Uf

(2.4.3)

Según la ecución (2.4.1) la distribución de velocidad es parabólica en donde en el centro de la

tubería (r=0) la velocidad es máxima y en las paredes (r=r0) la velocidad es cero.

Trabajando independientemente, Hagen y Poiseville, llevaron a cabo experimentos sobre el

comportamiento de los fluidos en tuberías de diámetro pequeño. En 1839 y 1841 respectivamente,

dieron a conocer algunas relaciones empíricas. Sin embargo fue 20 años más tarde cuando

Hagenbach y Neuman presentaron el primer análisis teórico del flujo laminar (Niño y Duarte,

2003). Como resultado, se tiene la siguiente expresión para la distribución de velocidad para flujo

laminar en una tubería circular,

2 2

1 2 0( )( )

4

P P r ru

L

(2.4.4)

Donde (P1-P2) es la diferencia de presiones entre dos puntos en la tubería [F/L-²]; r0 es el radio de

la tubería [L] y es la viscosidad dinámica del fluido en [ML-1

T-1

]. Cuando r es cero la velocidad es

máxima así,

2

2 1 0max

( )

4

P P ru

L

(2.4.5)

Al combinar las dos últimas ecuaciones se obtiene La ley de Stokes, dada por:

2

max 2

0

1r

u ur

(2.4.6)

Ahora bien ya que la velocidad media se define por

A

udAA

U0

1 , donde A es el área de la

sección transversal del tubo (2R ) y dA el diferencial de área igual a rdr2 , resulta que,



34

0

2

2

00

1 11 2

2

r

máx máx

ru u rdr u

R r

(2.4.7)

Es decir que la velocidad media para flujo laminar en una tubería circular es igual a un medio de la

velocidad máxima del flujo.

2.4.2. Flujo Turbulento

En el caso de flujo turbulento la superficie sólida impide que cerca a ella ocurran las variaciones de

velocidad en el eje y, en forma libre, generándose así una zona de flujo laminar dentro de la capa

límite, llamada subcapa laminar viscosa, como se observa en la Figura 2-4. Se denomina viscosa

porque en ella priman las fuerzas viscosas sobre las inerciales (Saldarriaga, 2007)

Figura 2-4. Desarrollo de la capa límite turbulenta. Adaptado de (Saldarriaga, 2007)

El espesor de la subcapa laminar es mucho menor que el de la capa límite (’<<). La relación

existente entre d’ y el tamaño medio de la rugosidad de las paredes establece la diferencia entre los

flujos hidráulicamente lisos y los hidráulicamente rugosos (Saldarriaga, 2007). Se ha comprobado

que entre la subcapa viscosa y la capa límite turbulenta existe una zona de transición, por lo tanto

son tres capas (Niño y Duarte, 2003).

La presencia de esfuerzos cortantes en la frontera fluido–sólido y entre las diferentes capas del

fluido afecta la distribución de velocidades que, en principio, debería ser uniforme. En flujo

turbulento, la presencia de la subcapa laminar viscosa modifica aún mas dicha distribución.

Capa límite

Turbulenta

Subcapa

laminar viscosa

Capa límite

laminar

’

Zona Turbulenta

(Distribución exponencial)

Zona de Transición

(Distribución logaritmica



35

Para la zona entre la pared de la tubería y la subcapa laminar viscosa, en donde la magnitud del

esfuerzo es prácticamente igual a , existe un comportamiento lineal de la velocidad la cual se

expresa como,

*

*

u yu

u v (2.4.8)

Donde u es la velocidad en el sentido longitudinal de la tubería; y es la distancia desde la pared de la

tubería al centro de la misma; v es la viscosidad cinemática y u* se conoce como la velocidad de

corte, definida por.

0* u

(2.4.9)

Donde 0 esfuerzo cortante; y densidad del fluido (99.1 kg/m³ a 15 °C).

La ecuación (2.4.8) indica que la velocidad sigue una distribución lineal con respecto a y (ver

Figura 2-4), siempre y cuando y <= ’, esta ecuación ha probado ser válida hasta el siguiente

límite:

*

11.6xu

u

(2.4.10)

Este último permite establecer el espesor de la subcapa laminar viscosa, el cual establece con

claridad la diferencia entre flujos hidráulicamente lisos e hidráulicamente rugosos,

*

11.6'

v

u (2.4.11)

En la zona transicional para tuberías hidráulicamente lisas en donde la subcapa viscosa suaviza e

impide la formación de remolinos, la tubería se comporta como si tuviese un contorno rígido liso

cuya rugosidad no influencia el comportamiento del flujo. La distribución de velocidad está

definida por la siguiente ecuación (Niño y Duarte, 2003),

** 2.5 5.5

yuu u Ln

v

(2.4.12)



36

En cambio para una tubería hidráulicamente rugosa (zona transicional), la tubería crea

considerables alteraciones en el flujo formándose una estela turbulenta y un tren de vórtices. La

subcapa laminar viscosa queda casi totalmente destruida y la resistencia debido a la rugosidad es

proporcional a u², la distribución de velocidad se expresa por,

* 2.5 8.5y

u u Ln

(2.4.13)

Donde es la rugosidad absoluta de la tubería. De la ecuación (2.4.13) se deduce que el flujo

turbulento en superficies hidráulicamente rugosas, no depende de la viscosidad del fluido, por tanto

es independiente del número de Reynolds. Si el flujo es turbulento, la distribución de velocidad es

frecuentemente representada por la ley universal de Prandtl – Von Karman (1925), la cual se

expresa como (Schilichting, 1979),

max

* 0

1ln 1

u u r

u k r

(2.4.14)

Donde u es la velocidad en el sentido longitudinal de la tubería; umax es la velocidad máxima del

flujo; r es la distancia radial desde el centro de la tubería; r0 es el radio de la tubería; k es una

constante universal que la experiencia indica que es igual a 0.4. Sin embargo la ecuación no

satisface la condición de frontera donde la velocidad es igual a cero donde Rr , por lo tanto los

valores de velocidad son inexactos cercanos a la pared de la tubería. Además el gradiente de

velocidad dado por la ecuación (2.4.14) tiende a infinito en la pared. Ha habido esfuerzos para

remediar estas deficiencias, introduciendo factores de corrección y usando una ecuación de

distribución diferente al llegar a la pared de la tubería (Chiu, Lin, y Lu, 1993).

En investigaciones preliminares realizadas por Blassius y con contribuciones importantes de Johann

Nikuradse, se encontró que los perfiles de velocidad de flujo turbulento se ajustaban relativamente

bien con la siguiente ecuación,



37

n

R

y

u

u1

max

(2.4.15)

El ajuste se realizó bajo la suposición de que el esfuerzo de corte en la pared dependía solamente de

la forma del perfil de velocidad y de las propiedades físicas del fluido más no por la dimensión R

del tubo. En la expresión (2.4.15) n varía con el número de Reynolds, mientras que la variable y se

mide desde la pared de la tubería. Esta ecuación es válida hasta alguna distancia de la pared. El

valor de n varía en un rango de 6 a 10 para Números de Reynolds de 4000 a 3.24x106 (Schilichting,

1979). Cuando se toma el valor de n igual a 7, esta ecuación se conoce como la Ley de la potencia

1/7. Mediante análisis dimensional y comprobación experimental, se encontró la siguiente ecuación

(Saldarriaga, 2007),

1 17 7

max *

*

8.74 1xu u R u y

u v R

(2.4.16)

En 1930 el ingeniero y matemático T, Von Karman, dedujo la Ley Universal la cual lleva su

nombre, y establece la siguiente relación.

R

y

R

y

ku

uux 111ln1

*

max.

(2.4.17)

La distribución de velocidad por la ecuación (2.4.17) refleja una curva más cóncava que la

distribución de la ecuación (2.4.14), debido al hecho de que el requisito de la similitud no puede ser

satisfecho en (2.4.17), ya que la longitud de mezcla se vuelve cero en el centro de la tubería. Para

y=R la velocidad es infinitamente grande, lo cual se explica por el hecho que la fricción molecular

en este punto ha sido abandonada en comparación con la aparente fricción turbulenta. Esta

suposición no es válida en cercanías de la pared donde la capa límite turbulenta va más allá de la

subcapa laminar (Schilichting, 1979).

Darcy intentando medir la distribución de velocidades en 1858, encontró una ecuación empírica

universal para flujo turbulento que no depende de las características de la tubería y con eficiencia

para y/R > 0.25.



38

23

*

max108.5

R

y

u

uu

(2.4.18)

Vale la pena señalar aquí que las dos leyes universales de la distribución de velocidad mencionadas

ecuaciones (2.4.14) y (2.4.17) han sido obtenidas para flujo bidimensional en canales.

Existe una nueva ecuación de distribución de velocidad basada en conceptos de probabilidad y

entropía (Chiu, Lin y Lu, 1993). Con solo dos parámetros, la nueva ecuación puede representar la

distribución de velocidad en tuberías ya sean estas lisas o rugosas o con flujo laminar o turbulento.

La ecuación es la siguiente.

0max

0

max

11ln1

MeMu

u

(2.4.19)

Donde u (1<=u<=umax) es la velocidad de flujo en la tubería; (0<=<=max<=0) parámetro

adimensional igual a

2

0

1r

r

; umax es la velocidad máxima en la tubería y M es un parámetro

entrópico. Valores pequeños de M corresponde a patrones más uniformes en la distribución de

probabilidad. Valores grandes de M corresponde a una distribución de velocidad menos uniforme,

como se puede observar en la Figura 2-5. Al hacer M=0 en la ecuación (2.4.19) y aplicar la regla de

L’Hopital se obtiene la Ley de Stokes (ecuación (2.4.6))

Figura 2-5. Distribución de velocidad basada en la ecuación. (Chiu y Hsu, 2006)



39

Una de las ventajas de abordar la distribución de velocidad en términos Probabilísticos es que se

pueden obtener expresiones matemáticas mediante la función de densidad de probabilidad, sin hacer

uso de la integración sobre un plano físico. Por ejemplo para representar la función de densidad de

probabilidad de u, u , puede obtenerse como la expectativa matemática de u y expresada como la

relación de u/umax en función de M.

M

eeu

u MM 11

1

max

(2.4.20)

Los valores expectativos de u² y u también pueden obtenerse en función de M. Esto demuestra que

el transporte de momentum, masa y energía pueden ser interpretados en términos del parámetro

entrópico M, (Chiu, Lin y Lu, 1993).

De acuerdo con Chiu et al (1993) se puede representar el factor entrópico M en función del factor f

de fricción de Darcy Weisbach, ecuación (2.3.9), mediante la siguiente expresión:

2

0.17 1.17 10.0983

1

M

M M

M e Mf

M e e

(2.4.21)

Para un mejor entendimiento de la ecuación(2.4.22), se grafica tal relación en la Figura 2-6.

Figura 2-6. Relación entre el factor entrópico M y el coeficiente de fricción f. (Chiu, Lin, y Lu, 1993)

0.001

0.01

0.1

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16

f

M

Relación entre M y f



40

La Figura 2-5 indica que a medida que el coeficiente de fricción es más bajo el factor entrópico es

mayor.

La diferencia entre la ecuación (2.4.14) y la ecuación (2.4.20) es que, en términos determinísticos,

la velocidad es intuitivamente asumida para variar con la relación de distancias (r/r0), como se

muestra en la ecuación (2.4.14), y en términos probabilísticos claramente la velocidad varía con la

relación de áreas (r²/r0²). La diferencia se debe al enfoque que se tome. Al tomar un enfoque

Probabilístico, la velocidad u es considerada como una variable que puede ser generada por un

muestreo aleatorio utilizando simulaciones de Monte Carlo, (Chiu y Hsu, 2006).

En resumen para calcular la velocidad máxima en una tubería se pueden aplicar las ecuaciones:

Von Karman. Ecuación (2.4.17)

Prandtl. Ecuación (2.4.14)

Potencia 1/7. Ecuación (2.4.16)

Darcy. Ecuación (2.4.18)

Probabilístico. Ecuación (2.4.19)

2.5. Análisis de Sistemas de Redes en Tuberías

La solución más rápida y eficaz del flujo en redes en tuberías se obtiene por medio de modelos

computacionales. De acuerdo con Rossman y Boulos (1993), un sistema de una red de distribución

para un modelo computacional comprende un número de vínculos (links) finitos

unidimensionalmente conectados, orientados (canales o tuberías) e interconectados entre sí por

nodos, configurados de forma ramificada o cerrada, formando circuitos. Los vínculos pueden

contener bombas y accesorios, como codos, tees y válvulas, donde ocurre disipación de energía.

Cada vínculo está definido por una longitud, geometría, rugosidad y material. Un nodo puede

representar una entrada o salida de flujo a la red y el fin de un vínculo. En un nodo es posible

conocer la energía si éste se encuentra conectado a un pozo, planta de tratamiento, embalse, tanque

de almacenamiento elevado o a una región de presión constante.



41

Todos los métodos conocidos de solución de sistemas de distribución, debido al gran número de

variables, tienen procesos iterativos y han sido concebidos en su mayoría para dar solución

hidráulica cuando el flujo es estacionario (Rossman y Boulos, 1996).

Las redes de distribución están gobernadas por condiciones de balance energético del flujo mismo,

fluyendo de nodos con mayor energía hacia aquellos con menor energía, gradiente de energía,

garantizando la conservación de la masa en cada nodo. Bajo estos dos principios, energía y masa, se

definen los métodos de análisis hidráulico de redes de distribución como: métodos de balance de

masa y métodos de balance de energía, o métodos con ecuaciones de nodo y métodos con

ecuaciones de tubería. En el siglo XX se desarrollaron métodos para solucionar (analizar)

hidráulicamente sistemas de redes de distribución, de los cuales los más conocidos son los

siguientes (Saldarriaga, 2007).

Método de Hardy Cross (Balance de energía): Propuesto en 1936 por Cross, Sotelo (2002).

Los caudales en la red son estimados a partir de los caudales demandados en los nodos, en

donde el método permite obtener la solución referente a las pérdidas de energía y dirección del

flujo. Fue diseñado para una solución manual debido a que en aquella época no existía el auge

de los computadores. No obstante debido a su concepción inicial de operatividad manual no es

eficiente en grandes redes.

Método de Cornish (Balance de masa): Desarrollado entre 1939 y 1940. Este método

considera niveles energéticos de presión conocidos en la red de distribución, y permite obtener

la magnitud y distribución de caudales de la misma, (Sotelo, 2002). Se puede caracterizar

básicamente como una modificación al método de Hardy Cross. También se conoce como

método de Hardy Cross con corrección de alturas de presión (Saldarriaga, 2007).

Método de Newton: Mays expone que fue desarrollado en 1963 por Martín y Peters (Mays,

2002). Se compone del método numérico de Newton Raphson para la solución de los sistemas

de ecuaciones. Fue adaptado tanto para ecuaciones de continuidad en los nodos como para

ecuaciones de energía en los circuitos.



42

Método de la teoría lineal (Ecuaciones de bucle): Fue planteado por Wood y Charles en julio

de 1972 en su artículo “Hydraulic Network Analysis using Linear Theory” en el Journal de

hidráulica de la ASCE, (Wood y Charles, 1972). Este método, como su nombre lo indica,

linealiza las ecuaciones de energía, planteando ecuaciones simultáneas de conservación de la

masa y de la energía, Narváez (1998).

Método del gradiente (Ecuaciones de tuberías): Método desarrollado por Todini y Pilati en

1987 (Todini y Pilati, 1987). Es el método más reciente en la solución de sistemas de

distribución (Computer Applications for Water Supply and Distribution, Leicester Polytechnic,

United Kingdom, September 1987). El método soluciona matricialmente las ecuaciones de

conservación de energía y masa de manera simultánea, calculando las pérdidas de energía en las

tuberías e implícitamente realizando el balance de masa en los nodos.

En la presente investigación se seleccionó el Método del Gradiente por encontrarse buenas

referencias ( Todini & Pilati, 1987; Hernández, 2005; Saldarriaga, 2007) para su implementación.

2.5.1. Método del Gradiente de Análisis del flujo en Redes

Este método desde el punto de vista numérico tiene muchas ventajas en cuanto al tiempo de

ejecución, por lo que es el más utilizado en la solución de redes a presión en los modelos

comerciales o de dominio público (Hernández, 2005).

Según Saldarriaga (2007) es el mejor método de cálculo de redes. Garantiza la solución en un

número definido de iteraciones y se asocia con el número de nodos de la red. La manipulación de

matrices dispersas típicas del método del gradiente y el almacenamiento de variables, reduce la

memoria requerida y el tiempo de cálculo en el computador. Calcula y ajusta simultáneamente

caudales y alturas de presión, esto reduce el número de iteraciones con respecto al método de la

teoría lineal. No requiere la definición de caminos de energía o circuitos (mallas ó bucles), lo cual

implica que el número de datos que el usuario debe proporcionar es menor.

En este método se utilizan las ecuaciones de las tuberías para obtener una solución por medio de

aproximaciones sucesivas. Aunque usa las ecuaciones de pérdidas en cada tubería, implícitamente

se calcula conservación de la masa en los nodos (Hernández, 2005),



43

nf nk

PTi fi i ki i bH Q Q h Equation Section (Next)(2.5.1)

La ecuación (2.5.1) permite calcular las pérdidas en cada tramo de tubería. Esta ecuación es una

variación de la ecuación (2.3.5) con la diferencia que se expresan las pérdidas restando la energía

proporcionada por una bomba hidráulica. HPTi son las pérdidas totales en la tubería i; Qi es el caudal

circulante por la tubería; nf es el coeficiente de pérdidas por fricción (igual a 2 al usar la ecuación

de Darcy y 1.85 al usar la ecuación de pérdidas de Hazem Williams); βfi

es el coeficiente de

pérdidas en la tubería i por fricción; βki es el coeficiente de pérdidas por accesorios en la tubería i,

nk es el exponente del caudal para las pérdidas localizadas expresadas como una fracción (k) de la

energía cinética en la tubería i y hb es la altura dinámica total suministrada por una bomba en la

tubería i.

El coeficiente βfi

de pérdidas en la tubería i por fricción se puede expresar de la siguiente forma al

utilizar la ecuación de Darcy.

2 5

8 ifi

i

fL

g D

(2.5.2)

Como se observa, la ecuación (2.5.2) es la misma expresión que multiplica al caudal en la ecuación

(2.3.6).

El coeficiente βki de pérdidas localizadas para la tubería i se puede expresar como una fracción de la

energía cinética así.

2 4

8 mki

i

k

g D

(2.5.3)

Como se puede observar, la ecuación (2.5.3) proviene del coeficiente que multiplica al caudal en la

ecuación (2.3.11).

Si existen bombas, éstas se pueden tratar de dos formas: cuando está conectada a un tanque y tiene

una tubería de descarga se plantea una ecuación desde el nivel en el tanque (H0) hasta un punto a la

salida de la bomba (is), y cuando hay tubería de succión y de descarga se plantea la ecuación entre

un punto a la entrada (ie) y a la salida (is) de la bomba.



44

En cualquiera de los casos se puede considerar la siguiente ecuación,

b is ieh H H (2.5.4)

Donde His es la altura de la presión a la salida de la bomba; Hie es la altura de presión a la entrada de

la bomba y hb es la altura suministrada por la bomba. Frecuentemente hb puede ser proporcionada

por la curva de la bomba o en términos de la eficiencia η o de la potencian P.

b

i

Ph

Q

(2.5.5)

La ecuación de continuidad descrita anteriormente en la ecuación (2.2.5), en el método del

gradiente se expresa como,

1

0nt

i i e

i

Q q q

(2.5.6)

Donde el primer término i

Q corresponde a los caudales de las tuberías conectas al nodo i; el

segundo es el caudal demandado (qi); y por último un caudal externo (qe)

Antes de explicar la forma matricial del método, es importante definir los siguientes parámetros:

(ne) Número de estanques en el sistema

(nb) Número de bombas en el sistema

(nn) Representa el número de nodos en el sistema con presiones desconocidas

(nt) Representa el número total de tuberías en la red con caudales desconocidos

(nv) Representa el número total de válvula en la red

(ns) Número que representa la suma de tuberías más válvulas y bombas con caudal desconocido

del sistema por analizar.

Con la nomenclatura explicada anteriormente y las ecuaciones planteadas, se puede definir una

expresión matricial para la conservación de la energía en la red, así (Hernández, 2005; Saldarriaga,

2007),



45

11 1 12 1 10 0 1[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]nsxns nsx nnx nsxne nexA Q A A H (2.5.7)

Esta expresión (2.5.7) identifica tres términos: el primero define las pérdidas en cada tubería,

incluyendo las adiciones de energía (bombas); el segundo término corresponde a las alturas

desconocidas de presión en los nodos; y el tercer término representa la conectividad a nodos con

presión conocida.

[A11]nsxns es una matriz simétrica, diagonal, de dimensiones (ns x ns), compuesta por la relación

entre las pérdidas totales de la tubería i y el valor absoluto del caudal circulante por dicha tubería,

definida como sigue, según la ecuación (2.5.1) (Hernández, 2005).

1

1

1

1

1

1

11

1

1

0 0 0

0 0 0

[ ] 0 0 0

0 0 0 0

nsxns

PT

PT

PT

PT

H

Q

H

Q

HA

Q

H

Q

(2.5.8)

Es importante tener en cuenta que si se ubica una válvula o una bomba en el sistema, se debe

agregar un número de filas y columnas igual a la cantidad de elementos presentes en la red en

estudio, con el fin de calcular las presiones antes y después de la válvula o la bomba. De este modo,

las dimensiones reales de la matriz serán ns = nt + nb + nv.

[Q]nsx1 es una matriz de dimensiones (ns x 1), correspondiente a los caudales de las tuberías con

flujo desconocido, su definición es.



46

1

1 2

3

[ ]nsx

ns

Q

Q Q

Q

Q

(2.5.9)

[A12]nsxnn es una matriz de dimensiones (ns x nn), representa la manera como se encuentran

conectadas las tuberías y los nodos del sistema en análisis, es el plano en forma matricial. Cada fila

posee sólo dos columnas con valores diferentes de cero. Se define teniendo en cuenta la siguiente

nomenclatura: para el nodo inicial de la tubería, bomba o válvula se asigna un valor de -1 y para el

nodo final de la tubería, bomba o válvula un valor de 1.

Es importante recalcar que cuando existe una conexión a un nodo con altura de presión constante, la

fila correspondiente sólo tendrá un valor en una de sus columnas y éste deberá corresponder a 1,

puesto que se presume que este nodo alimenta la red.

[H]nnx1 es una matriz de dimensiones (nn x 1), que representa las presiones en los nodos con altura

desconocida y se expresa así,

1

1 2

3

[ ]nnx

nn

H

H H

H

H

(2.5.10)

[A10]nsxne es una matriz que representa la conexión a tanque o puntos con altura conocida de

dimensiones (ns x ne). En cada fila se pueden tener dos valores: un valor de -1 cuando se encuentra

conectado a un nodo con altura conocida y un valor de 0 cuando no hay conexión.

[H]nnx1=Es una matriz con los datos de las alturas constantes de los nodos y de dimensiones (ne x 1).



47

Ahora se plantea la ecuación de conservación de masa en los nodos.

21 1 1[ ] [ ] [ ]nnxns msx nnxA Q q (2.5.11)

Donde [A21]nsxnn es la matriz transpuesta de [A21]nsxnn, con dimensiones (ns x ns) y [Q]nsx1 es el

vector de caudales desconocidos con dimensiones (ns x 1), según expresión (2.5.9).

El sistema de ecuaciones representadas por (2.5.7) y (2.5.11) se puede expresar en una forma más

compacta así (Mays, 2002).

11 12 1 10 0 1

21 1 1

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [0] [ ] [ ]

nsxns nsxnn nsx nsxne nex

nnxns nnx nnx

A A Q A H

A H q

(2.5.12)

Para resolver el anterior sistema de ecuaciones se utiliza el método del gradiente, en el cual se debe

derivar la expresión anterior, con lo que se obtiene (Mays, 2002),

11 12 1 1

21 1 1

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [0] [ ] [ ]

nsxns nsxnn nsx nsx

nnxns nnx nnx

dA A dQ dQ

A dH dq

(2.5.13)

Donde [dE]nsx1 representa para dos iteraciones sucesivas el desbalance de energía expresado en

altura para cada tubería; [dq]nnx1 representa para dos iteraciones sucesivas el desbalance de caudal en

cada nodo del sistema de tuberías y [dA]nsxns es la matriz diagonal simétrica con dimensiones

(ns x ns) que representa la derivada de las pérdidas en cada tubería o bomba, según sea el caso.

Para el caso en el cual existen sólo tuberías, la matriz será.

1

2

3

1

2

11

3

0 0 0

0 0 0

[ ] 0 0 0

0 0 0 0 ns

PT

PT

PT

nsxns

PT

ns

H

Q

H

Q

HdA

Q

H

Q

(2.5.14)



48

En general, los términos de la diagonal según la ecuación (2.5.1) quedan así,

1 1

1

nf nkPTi bif fi i k ki i

i

H hn Q n HQ

Q Q

(2.5.15)

Cuando hay bombas en el sistema, dependiendo del tipo de ecuación utilizada, los términos en la

matriz serían,

2

1

b

i

h P

Q Q

(2.5.16)

De acuerdo con la ecuación (2.5.13), se pueden expresar desbalances entre dos iteraciones sucesivas

en la siguiente forma,

1 11 1 12 10 1[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]nsx nsxns i nsx nsxnn nsxne oi nexdE A Q A A H (2.5.17)

1 21 1 1[ ] [ ] [ ] [ ]nnx nnxns i nsx nnxdq A Q q (2.5.18)

Las dos expresiones anteriores se obtuvieron al multiplicar los términos del sistema de la ecuación

(2.5.13).

Retomando la ecuación (2.5.13), la solución del sistema será.

1

1 11 12 1

1 21 1

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [0] [ ]

nsx nsxns nsxnn nsx

nnx nnxns nnx

dQ dA A dE

dH A dq

(2.5.19)

En la ecuación anterior se debe tener en cuenta que para dos iteraciones consecutivas los

desbalances se expresan como,

1 1 1[ ] [ ] [ ]i nsx i nsxdQ Q Q (2.5.20)

1 1 1[ ] [ ] [ ]i nsx i nsxdH H H (2.5.21)

Al calcular la inversa de la matriz indicada en la ecuación (2.5.19), se obtienen las siguientes

expresiones para el caudal y la altura de presión en los nodos (Mays, 2002; Hernández, 2005;

Saldarriaga, 2007),



49

12 11 1

1 1 1 111

11 11 10 0 1

[ ][ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

nsxns insxnn nsxi nsx i nsx nsxns

nsxns nsxne nexnsxns

I A HQ Q A

dA A A H

(2.5.22)

1 11 11

21 1121

10 0 11 1

11 12

21 1 1

[ ] [ ][ ][ ]

[ ] [ ][ ][ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

nsxns i nsx

nsxnsnsxns nnxnsnsxne nexi

nsxns nsxnn

nnxns i nsx nnx

A QA dAA

A HHdA A

A Q q

(2.5.23)

Las dos ecuaciones anteriores son la solución del método y estas están dentro de un ciclo el cual

busca reducir la diferencia entre [Hi+1] y [Hi].

2.6. Estudios con Trazadores

Un trazador se puede definir como una materia o sustancia que al ser transportada en un fluido,

permite dar información sobre la dirección y/o velocidad del movimiento de la misma. Al mezclarse

totalmente con el fluido, puede representar correctamente los procesos de transporte de un soluto en

cualquier campo donde exista un movimiento de un fluido de un punto a otro (Camacho, 2008).

El trazador al ser inyectado en una corriente se comporta de igual forma que un soluto o

contaminante disuelto en agua. Si se realizan mediciones del movimiento del trazador, se están

midiendo también las características dispersivas de la corriente, además de ser una herramienta

fundamental en la calibración de parámetros hidráulicos y modelos de transporte (Camacho y Diaz

Granados, 2003).

Los procesos de transporte de sustancias disueltas o solutos son muy importantes en el estudio de la

calidad del agua. Por ejemplo, al ser introducida una sustancia contaminante en un río, ésta es

transportada y dispersada a medida que avanza hacia aguas abajo desde el sitio del vertimiento,

afectándose la calidad del agua por reacciones biológicas y bioquímicas. (Camacho, 2008).

El ensayo con trazadores es el mejor método para estimar (Camacho, 2008).

El caudal en corrientes pequeñas de montaña.



50

Determinar los tiempos característicos de arribo pasaje y concentración pico de sustancias

contaminantes

Evaluar las características dispersivas en una corriente

Calibrar correctamente los modelos de transporte solutos

Su uso también se extiende a los siguientes casos.

Estudios de movimiento de agua subterránea

Estudios de balance de masa

Investigaciones de fuente de caudal

Determinar la dilución en mediciones de re-aireación

Estudiar patrones de circulación y problemas de estratificación

Los trazadores deben ser sustancias solubles en agua, detectables a bajas concentraciones con

instrumentos de campo, tener baja interferencia con la concentración base, no ser nocivos para la

salud humana y ambiental, no ser costosos y ser razonablemente estables o conservativos, es decir,

que no reaccionen, se adsorban, se sedimenten o volatilicen fácilmente (Camacho, 2008).

Conceptualmente las características de un trazador ideal son,

Sustancia inerte

Fácil de analizar con precisión en bajas concentraciones

No se encuentra en el medio natural.

Inoloro e incoloro en solución.

No debe “degradarse”, al menos durante su utilización

No debe alterar propiedades fisicoquímicas del agua (densidad y/o viscosidad) al ser añadido.

No debe alterar propiedades fisicoquímicas del agua

No debe presentar efectos nocivos para las personas y para el medio ambiente

2.6.1. Tipos de Trazadores

Existen varios tipos de trazadores, entre los cuales se encuentran.



51

Temperatura del agua

Cloruro de sodio.

Partículas sólidas en dispersión

o Serrín

o Bacterias

o Polen

Sustancias iónicas → Cl-, Br-, I-, F-, Li+

Colorantes orgánicos:

o Eosina

o Fluoresceína

o Rhodamina

Isótopos estables: 1H – 2H, 12C - 13C, 16O – 18O

Radiactivos: 3H, 14C, 36Cl, 131I,

Gases inertes / Radiactivos

2.6.2. Lectura del Trazador

Si se utiliza cloruro de sodio, con el fin de conocer la cantidad del trazador que pasa por un punto

en análisis, es necesario realizar primero la lectura de la conductividad eléctrica. La conductividad

eléctrica, se define como la capacidad que tienen sales inorgánicas en solución (electrolitos) para

conducir la corriente eléctrica. La conductividad de corriente del agua pura es despreciable, sin

embargo el agua con sales disueltas conduce mejor la corriente eléctrica. Los iones cargados

positiva y negativamente son los que conducen la corriente; la cantidad de corriente conducida

depende del número de iones presentes y del tipo de movimiento. En la mayoría de las soluciones

acuosas, entre mayor sea la cantidad de sales disueltas, mayor será la conductividad, efecto que

perdura hasta que la solución está tan llena de iones que se restringe la libertad del movimiento

(García, 2006).

La medición de de conductividad eléctrica del agua se hace a través un equipo conductivímetros.

Las unidades de medición de la conductividad son Siemens sobre centímetro [S/cm], generalmente

se expresada en miles [mS/cm] o en micro [S/cm] equivalentes a 10-3

S/cm y 10-6

S/cm

respectivamente. El equipo conductivímetro realiza la lectura de conductividad por medio de una



52

sonda, que en contacto con el agua permite traducir los impulsos eléctricos en unidades de

conductividad.

Para cada valor de conductividad en S/cm tabulado, se calcula la concentración en mg/l, mediante

la relación inequívoca existente entre la conductividad y la concentración. Esta relación está dada

por una ecuación lineal simple de primer orden, propia para cada conductivímetro. Por esta razón se

requiere la calibración de cada conductivímetro obteniéndose una ecuación que permite calcular los

valores de concentración que nace a partir de datos medidos de conductividad.

Al graficar las variaciones de concentración con el tiempo, en al menos dos puntos aguas abajo del

punto de inyección, se puede observar que la forma y magnitud de las curvas están afectadas por el

grado de conservación de la masa, la magnitud del caudal y la dispersión longitudinal. Para

determinar el grado de conservación del trazador se utiliza el concepto de estado de ganancia

estable SSG (Steady State Gain) y se obtiene mediante la siguiente ecuación,

2

1

2

0

1

0

T

T

C dt

SSG

C dt


Donde C1 representa la concentración medida aguas arriba y C2 la concentración aguas abajo. El

SSG indica la relación existente entre el área bajo la curva de respuesta del trazador en un sitio de

medición aguas abajo (sitio 2) y otro ubicado aguas arriba (sitio 1). Es importante notar que si en un

experimento con trazadores con SSG < 1, quiere decir que no se ha recuperado completamente la

masa de trazador inyectado y es posible que no se hayan alcanzado condiciones de mezcla

completa; o puede ser que existan aportes de caudal en el tramo definido. Por otra parte, si el

SSG>1, es posible que los equipos de medición no estén correctamente calibrados o que existan

salidas de caudal (Lees y Camacho, 1998).

Para una misma masa de trazador inyectado, la concentración observada es menor en la medida en

que el caudal sea mayor. Lo anterior es cierto si se consideran o no los procesos de reacciones

bioquímicas que pueda sufrir el soluto. Esto se sustenta mediante mecanismos de movimiento de

agua y mezcla del trazador. Dichos mecanismos son causados principalmente por la interacción de



53

dos fenómenos básicos de transporte, la advección diferencial y la difusión molecular y turbulenta

del soluto a través de la sección transversal de flujo (Young y Wallis, 1993).

2.6.3. Experimentos con trazadores

Los estudios de trazadores se pueden dividir a partir de dos tipos de inyección, la inyección

instantánea y la inyección continua.

2.6.3.1. Inyección Instantánea

La inyección instantánea consiste en inyectar una masa conocida de trazador en un tiempo

relativamente corto dentro de un sistema, para luego monitorear el movimiento de la distribución de

la concentración del trazador. El movimiento del centroide de la variación de trazador define el

tiempo de viaje. El cambio en la distribución del trazador define la dispersión. Estos estudios son

muy útiles para calibrar y evaluar modelos hidráulicos de flujo al igual que para predecir tiempos de

arribo a una determinada localización, y picos de concentración (ver Figura 2-7). Para obtener

resultados precisos con el método de inyección instantánea en flujo a superficie libre se debe:

Inyectar el trazador a una distancia lo suficientemente aguas arriba del tramo bajo estudio con el

fin de que exista mezcla competa a la entrada del tramo.

Inyectar el trazador a lo ancho de la sección transversal para promover la mezcla transversal

Medir el trazador en dos o más puntos aguas abajo.

Medir independientemente el caudal durante el tiempo de pasaje del trazador en cada estación

de medición.

Medir completamente la distribución del trazador (usualmente la curva de recesión es bastante

larga)

Medir en lo posible en más de un punto en la sección transversal para evaluar la distribución de

la masa del trazador y estimar la dispersión lateral.



54

Figura 2-7. Inyección instantánea (Camacho L. A., 2008).

Para una inyección instantánea, bajo condiciones de flujo permanente y en presencia de un trazador

conservativo se tiene que,

0

T

M QCdt (2.6.2)

Donde M es la masa inyectada de trazador aguas arriba; Q es el caudal; y C es la concentración

medida aguas abajo. A partir de esta ecuación es posible hallar el valor del caudal, conociendo la

masa de trazador inyectada y calculando el área bajo la curva de la distribución de concentración

del trazador en los diferentes puntos de medición,

0

T

MQ

Cdt

(2.6.3)

Por lo tanto, si existe una medición de caudal independiente (e.g, mediante aforos), se puede

chequear la validez del experimento con trazadores, esto es conservación de masa y mezcla

completa. Si se miden dos distribuciones aguas abajo, se puede chequear la Ganancia de Estado

Estable SGS, ecuación (2.6.1) (Camacho, 2008).

2.6.3.2. Inyección Continua

La inyección continua consiste en la inyección de una masa de trazador dentro de un lapso de

tiempo conocido. El trazador es monitoreado a través del tiempo en los diferentes puntos de



55

medición hasta el momento en que pase la totalidad del trazador. Este monitoreo puede ser continuo

o se puede concentrar en el periodo inicial de dilución y luego seguir con mediciones sucesivas

periódicas, de tal manera que se puedan obtener resultados apreciables, ver Figura 2-8(Fonnegra,

2002).

Figura 2-8. Inyección continua (Camacho L. A., 2008)

Para una inyección continua, con flujo permanente, se tiene que la conservación de masa es,

i i TQC Q C (2.6.4)

Donde Ci es la concentración inyectada aguas arriba, C la concentración de la meseta medida

aguas abajo, Qi caudal inyectado y QT es igual a.

0T iQ Q Q (2.6.5)

Donde Q0 es el caudal inicial antes de la inyección. Mediante esta clase de inyección s posible saber

el caudal inicial (si es el caso el caudal de un río) con solo los datos recopilados en el experimento,

mediante la siguiente expresión proveniente de (2.6.4) y (2.6.5),

0 1i

i

CQ Q

C

(2.6.6)

2.7. Modelo de transporte de la Ecuación Advección Dispersión ADE (Advection Dispersion

Equation)

iC C



56

Los procesos de transporte de solutos son muy importantes en el estudio de la calidad del agua. El

movimiento de una partícula en el agua puede presentar dos procesos diferentes, advección y

difusión, principalmente turbulenta. La combinación de advección diferencial o diferentes

velocidades y la difusión turbulenta se modela mediante la ecuación de advección dispersión

(ADE,Taylor, 1921).

Como se observa en la Figura 2-9, la advección mueve la materia desde una posición en el espacio

a otro. Ejemplos simples de transporte de este tipo son el flujo de agua a través de salida de un lago

y el transporte aguas abajo debido al flujo de un río o estuario,(Chapra, 1997).

Figura 2-9. Transporte (a) advectivo y (b) difusivo de una masa de tinte. Tomado y adaptado de (Chapra, 1997)

La dispersión o difusión se refiere al movimiento de la masa debido movimiento aleatorio o

movimiento Browniano de las partículas. Dicho transporte causa que la concentración de masa que

se muestra en la Figura 2-9 se extienda y se diluya en el tiempo con el movimiento neto

insignificante de su centro de masa. En una escala microscópica la difusión molecular se debe al

movimiento aleatorio Browniano de las moléculas del agua. Una clase similar de movimiento

aleatorio ocurre en una escala mayor debido a eddies o pequeños remolinos, en este caso se

denomina difusión turbulenta. Ambos movimientos tienden a minimizar los gradientes de

concentración por el movimiento de la masa del agua de zonas de alta a zonas de baja concentración

(Chapra, 1997).

Simultáneamente a la advección diferencial del soluto, existe una distribución en las direcciones

vertical y lateral del canal. Este fenómeno ha sido explicado por medio de los mecanismos de

difusión, i.e. movimiento Browniano y difusión turbulenta provocada por remolinos (Fischer, 1973;



57

Rutherford, 1994; Streeter, Wylie, y Bedford, 1997; Camacho, 2000). De esta forma, la interacción

entre la advección diferencial, y la difusión vertical y transversal, controlan principalmente la

dilución y propagación de la distribución de los solutos o sustancias disueltas.

Para explicar matemáticamente los procesos de transporte de solutos, se debe analizar la

conservación de masa del soluto en un volumen de control infinitesimal (Streeter, Wylie, y Bedford,

1997; Camacho, 2000) tal como se presenta a continuación,

Figura 2-10. Volumen de control infinitesimal y análisis de los componentes longitudinales de flujo. Tomado de

(Camacho L. , 2000).

En el volumen de control presentado en la Figura 2-10, x, y y z representan los ejes coordenados y

u, v, y w representan las componentes de velocidad instantánea longitudinal, transversal y vertical.

De igual forma, c y q representan la concentración del soluto dentro del volumen de control y la

tasa de flujo másico por unidad de área (flux) en la dirección x.

Si se desea conocer el cambio de almacenamiento de la masa del soluto, se debe calcular la tasa

neta de flujo másico que entra y sale del volumen de control, esto es m t en la dirección x, se

puede plantear que,

m c q

dxdydt qdydz q dydzt t x


xx x

JJ d

x

xx x

II d

x

xJ

xI

y

x

xJ

xd

yd



58

Se debe aclarar que el flux tiene dos componentes principales, un componente advectivo y otro

difusivo (ver Figura 2-10). El componente advectivo, Ix, representa la traslación del soluto a una

velocidad local longitudinal, y el difusivo, Jx, representa el transporte del soluto debido a la difusión

molecular o turbulenta. Esta difusión se modela apropiadamente por medio de la ley de Fick. Ley

que describe diversos casos de difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente no

existe equilibrio químico o térmico (Rutherford, 1994),

xI uc (2.7.2)

x m

cJ D

x

(2.7.3)

x x m

cq I J uc D

x

(2.7.4)

Donde en u es la velocidad longitudinal y Dm es el coeficiente de difusión molecular. Como se

observa en (2.7.3) el símbolo negativo indica que el transporte ocurre desde las regiones de mayor

concentración, hacia regiones de menor concentración.

Si se realiza el mismo análisis para las direcciones transversal y vertical (e.i y y z) del volumen de

control, y se realiza la adición de las tasas de flujo másico por unidad de área, se obtiene la tasa de

cambio de masa del soluto (e.g c t dxdydz ) dentro del volumen de control definido, que

puede expresarse en términos de la variación temporal de la concentración.

m m m

c c c cuc D vc D wc D

t x x y y z z

(2.7.5)

Al ordenar y suponiendo velocidad constante a lo largo de cada eje x, y y z, de la ecuación (2.7.5) se

obtiene.

2 2 2

2 2 2m

c c c c c cu v w D

t x y z x y z

(2.7.6)



59

La ecuación (2.7.6) debería predecir la concentración del soluto para unas condiciones de frontera

dadas. No obstante, esta ecuación tan solo es aplicable para flujo laminar, ya que en éste es posible

predecir el perfil de velocidades (Fischer, 1973). Es importante aclarar que para tuberías como para

canales abiertos el flujo en la realidad se caracteriza por ser turbulento.

El flujo turbulento se caracteriza por fluctuaciones aleatorias de velocidad en el tiempo y por

pequeños remolinos (eddies) desarrollados por la velocidad cortante, resultado de amplios

gradientes de velocidad que en ríos se producen en el lecho y bancas y en el caso de tuberías, en

ampliaciones, reducciones y diferentes accesorios. Estas fluctuaciones y remolinos incrementan los

gradientes de concentración local y aumenta la difusión molecular. El efecto combinado de la

difusión molecular y las fluctuaciones de velocidad debido a la turbulencia, se denomina difusión

turbulenta (Camacho, 2000).

En el flujo turbulento las velocidades y la concentración se expresan comúnmente como la suma del

promedio y de su desviación aleatoria, así.

'u u u (8.a)

'v v v (8.b)

'w w w (8.c)

'c c c (8.d)

Donde “ ” denota el promedio y “´ ” es la desviación del promedio. Substituyendo las ecuaciones

(8.a-d) en la ecuación (2.7.6) se obtiene.

2 2 2

2 2 2

' ' ' '' ' '

' ' 'm

c c c c c c c cu u v v w w

t x y z

c c c c c cD

x y z

(2.7.8)

Ahora bien, aplicando la ecuación de continuidad para flujo incompresible, considerando que el

promedio temporal de las desviaciones es cero y simplificando se obtiene:



60

2 2 2

2 2 2

' ' ' ' ' 'm

c c c cu v w

t x y z

u c v c w cc c cD

x y z x y z

(2.7.9)

Taylor (Taylor, Diffusion by Continous Movements, 1921) demostró que en un flujo turbulento

homogéneo estacionario, el gradiente de concentración del trazador aumenta linealmente con el

tiempo. Dado que la variación lineal del indicador también es una característica de la solución a la

ecuación (2.7.6), el análisis de Taylor ha llevado a pensar que la turbulencia homogénea

estacionaria de difusión también puede ser modelada utilizando la ley de Fick, siempre que el

tiempo sea suficientemente largo desde el momento de la inyección de soluto.

La turbulencia se denomina inmóvil si las características como la velocidad media, la varianza de

velocidad y la correlación entre las velocidades se mantienen constantes con el tiempo. La

turbulencia es homogénea, si las fluctuaciones de velocidad y la correlación no varían con el lugar,

y es isótropo, si son las mismas en todas las direcciones.

Bajo las anteriores suposiciones y analógicamente con la ecuación (2.7.6), el modelo Fickiano para

difusión turbulenta se puede representar como.

2 2 2

2 2 2m t

c c c c c c cu v w D D

t x y z x y z

(2.7.10)

Donde Dt es el coeficiente de difusión turbulenta el cual se asume isotrópico y homogéneo en el

trabajo original de Taylor. Vale la pena anotar que Dt, Dm y los valores típicos de Dt están en el

orden de 10-3

m²/s. Al comparar (2.7.9) y (2.7.10) los términos de transporte turbulento se expresan

como.

2

2

' 't

c u cD

x x

2

2

' 't

c v cD

y y

2

2

' 't

c w cD

z z

(2.7.11)



61

Las ecuaciones en (2.7.11) también se pueden escribir como.

' 't

cD u c

x

' 't

cD v c

y

' 't

cD w c

z

(2.7.12)

Con el fin de aproximar las ecuaciones a un modelo de difusión turbulento de flujo estable, se omite

el coeficiente de difusión molecular Dm ya que su magnitud es muy pequeña comparada con la

difusividad turbulenta (Dm=0), obteniéndose de (2.7.9) la siguiente expresión.

' ' ' ' ' 'u c v c w cc c c cu v w

t x y z x y z

(2.7.13)

Al reemplazar las ecuaciones de (2.7.12) en (2.7.13) se obtiene la expresión que describe el

transporte difusivo turbulento de soluto en tres dimensiones.

tx tx tx

c c c c c c cu v w D D D

t x y z x x y y z x

(2.7.14)

Nótese que en la expresión (2.7.14) el coeficiente de difusión turbulenta está formalizado para cada

eje de coordenadas. La ecuación (2.7.14) solo es válida cuando las suposiciones hechas en el trabajo

de Taylor se satisfacen y esto se cumple si la distribución del soluto ha permanecido en el flujo un

tiempo mayor que la escala de tiempo Lagrangiana y su distribución alcanza distancias mayores que

la escala espacial Lagrangiana, i.e. el tiempo y la distancia necesarias para que una partícula de

soluto olvide su estado inicial (Young yWallis, 1993). En otros términos, la ecuación (2.7.14) es

válida solo cuando la distancia de la distribución espacial del soluto supera la distancia a la cual los

efectos de la turbulencia están correlacionados. Es importante notar que las longitudes de mezcla en

las direcciones vertical y transversal dependen de la ubicación del sitio de inyección, i.e. las

características hidráulicas y geométricas del río hacia aguas abajo afectan la mezcla del soluto en la

sección transversal (Gonzalez, 2008).

La ecuación (2.7.14) no puede resolverse de forma analítica o numérica puesto que no se conocen

los campos de velocidad en las tres dimensiones, ni tampoco la distribución de los coeficientes de



62

difusión turbulenta. Particularmente en tuberías, el transporte de solutos puede considerarse un

fenómeno unidimensional después de que se alcancen las condiciones de mezcla completa en la

sección transversal. En este caso no es necesario considerar la ecuación (2.7.14) en forma

tridimensional, y es posible emplear como longitud característica la dirección longitudinal del flujo.

Para reducir la ecuación (2.7.14) a una forma unidimensional, se debe considerar que los

parámetros que representan los procesos de transporte constituyen promedios en la sección

transversal, i.e. son función únicamente de la ubicación en la dirección longitudinal y del tiempo.

De esta forma puede establecerse una ecuación que permite cuantificar los mecanismos de

advección y dispersión en tuberías,

1c c c

u ADt x A x x

(2.7.15)

Las suposiciones a las que está sujeta la ecuación (2.7.15) son: 1) la distribución de solutos ha sido

introducida en la corriente por un tiempo suficientemente largo que permite garantizar la mezcla

transversal del soluto; 2) la turbulencia es estadísticamente estacionaria; 3) el campo de velocidades

es permanente; 4) la sección transversal es constante y 5) el soluto no sufre reacciones bioquímicas,

(Chatwen y Allen, 1985)

Una de las principales limitaciones en el uso del coeficiente de dispersión D es que éste es

responsable de cuantificar todas las características físicas que afectan la distribución espacio-

temporal del soluto (Gonzalez, 2008). Para el caso de flujo en tuberías a presión, este coeficiente

representa los efectos advectivos y difusivos generados por los accesorios del sistema, como lo son

las ampliaciones, reducciones, codos, tees, etc.

2.8. Modelo de transporte de Zona Muerta Agregada ADZ (Aggregated Dead Zone)

El modelo de Zona Muerta Agregada (ADZ), desarrollado por Beer y Young (Beer y Young, 1983),

se basa en la estimación de los parámetros mediante la utilización de series de tiempo. Las

principales diferencias con respecto al modelo ADE, radican en que el almacenamiento o “zona

muerta” de dispersión es la principal causante de la dispersión turbulenta a diferencia del modelo



63

ADE, que refleja la dispersión a partir de un solo coeficiente de dispersión. Por otra parte, el modelo

ADZ presenta una aproximación de “modelación basada en datos” en dónde se pretende identificar

en primera medida la estructura del modelo más apropiada basada en los cambios observados en la

concentración del soluto para luego estimar objetivamente los parámetros que caracterizan el mejor

modelo, a partir de potentes técnicas de identificación basadas en series de tiempo (Beer y Young,

1983;Young, 1984). El modelo ADZ de primer orden se presenta esquemáticamente en la Figura

2-11.

Figura 2-11. Representación esquemática del modelo ADZ de primer orden. RMC (Reactor de Mezcla continua). Tomado

y adaptado de (Lees y Camacho, 2000)

Beer y Young (1983) descubrieron que los mecanismos dispersivos que se presentan tanto en el

canal principal como en las zonas muertas, se pueden asociar a una zona de almacenamiento con un

volumen definido y un tiempo de residencia (Tr). Esto indica que las zonas muertas son la causa

principal de la dispersión.

Siguiendo la Figura 2-11 y considerando una zona muerta de volumen V1, un campo de flujo Q y

asumiendo una mezcla completa el balance de masa indica que,

1

u

d V t C tQ t C t Q t C t

dt


Donde Cu(t) es la concentración del soluto que ingresa a la zona muerta; C(t) la concentración en la

zona muerta o concentración de salida. Si se considera flujo permanente la ecuación (2.8.1) puede

expresarse como.



64

1

u

d C t QC t C t

dt V (2.8.2)

La ecuación (2.8.2) es una ecuación diferencial de primer orden que describe la relación existente

entre los cambios en la concentración del soluto a la entrada y a la salida de una zona muerta.

Ahora bien para representar el comportamiento de los procesos dispersivos en una tubería, es

necesario considerar el efecto agregado de todas las zonas muertas existentes, y este puede ser

descrito en forma similar a la ecuación (2.8.2), asumiendo que el volumen V1 es remplazado por un

volumen efectivo Ve denominado volumen de la zona muerta agregada (ADZ). Así mismo, para

modelar los efectos advectivos de transporte se ha incorporado un tiempo de retraso ( que

contabiliza el tiempo requerido por el frente de la distribución del soluto para recorrer el tramo

analizado, ver Figura 2-11 (Beer y Young, 1983; Young y Wallis, 1993). De acuerdo con las

anteriores consideraciones, el modelo puede escribirse como.

1

u

r

d C tC t C t

dt T (2.8.3)

Tr es el tiempo de residencia expresado por:

1

r e

Q

T V (2.8.4)

El tiempo de residencia Tr es el tiempo asociado al paso completo del soluto por el tramo en el que

ocurren los procesos dispersivos. La dispersión del soluto en el sistema está representado por el

tiempo de retraso advectivo simbolizado por, este tiempo es consecuencia de las mezcla de

concentración en las zonas muertas.

De acuerdo con Wallis et al., 1984, una de las propiedades más útiles e importantes del modelo

ADZ es el tiempo total de viaje, ocurre en la suma del tiempo de retraso advectivo del frente de

concentración y el tiempo de residencia en la zona de mezcla activa. De esta forma el tiempo total

de viaje toma la forma,

rt T (2.8.5)



65

Este importante resultado significa que si tan solo un elemento ADZ es necesario para representar

los datos observados en un experimento con trazadores, el tiempo de mezcla del soluto sería igual al

tiempo de residencia del tramo. Cuando se tienen conexiones entre dos o más elementos ADZ, el

tiempo de mezcla corresponde a la suma de los tiempos de residencia de cada elemento ADZ o a su

valor promedio ponderado en caso de obtenerse conexiones en serie o en paralelo, respectivamente.

Por ejemplo para n elementos en serie de idéntico tiempo de residencia ADZ, el tiempo promedio de

viaje estaría descrito por rt nT .

Las características de la mezcla del soluto en un sistema se relacionan mediante la fracción

dispersiva DF. Cuando existe mezcla perfecta en un tanque, la concentración de salida es igual a la

del tanque y DF = 1 (ver Figura 2-11). No obstante, el modelo ADZ supone que el tramo del río es

un sistema con imperfecciones en la mezcla, en el cual el volumen completamente mezclado Ve es

solo una fracción del volumen total V, es decir que DF se puede expresar como.

eV

DFV

(2.8.6)

Sabiendo que el tiempo promedio de viaje en un tramo de río puede estimarse mediante la

diferencia de los centroides de las curvas concentración-tiempo aguas abajo y aguas arriba, en

condiciones de flujo permanente este tiempo puede hallarse mediante la relación Q V t . Por lo

anterior y de acuerdo con la ecuación (2.8.4), la ecuación (2.8.6) también puede expresarse así.

1r rT Q TDF

tQ t t

(2.8.7)

La fracción dispersiva se puede expresar en términos de velocidad, remplazando el tiempo de

primer arribo por la relación entre la longitud del tramo y la velocidad máxima Umax

representativa, y el tiempo promedio de viaje t por la relación entre la longitud del tramo y la

velocidad media U , así (Camacho, 2000),



66

Max

L

U (2.8.8)

Lt

U

(2.8.9)

Al reemplazar (2.8.8) y (2.8.9) en (2.8.7) se obtiene otra expresión para la fracción dispersiva en

términos de velocidad.

1Max

UDF

U (2.8.10)

La representación gráfica de los diferentes tiempos descritos anteriormente están bien representados

en la siguiente figura:

Figura 2-12. Representación de los tiempos de arribo y de viaje del modelo ADZ. Adaptado de (Lees y Camacho, 2000).

Existe una relación entre la velocidad máxima y la velocidad media, la cual puede dar una idea de la

magnitud de la fracción dispersiva DF. Para obtener la relación de la ecuación (2.8.11) se usó la

distribución de velocidad de la ley de 1/7 de Prandtl para Reynolds menores de 100000, esta

relación es (Guevara, 2002),

1.238MAXU U (2.8.11)

Al reemplazar la ecuación (2.8.11) en (2.8.10) se puede obtener un valor para DF en tuberías,

verificación experimental de la capacidad predictiva de ... · gracias a la universidad nacional...

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