Vectores

Física I

Contenido

• Sistema de coordenadas• Sistema de coordenadas rectangulares• Sistema de coordenadas polares• Cantidades escalares y vectoriales• Propiedades de los vectores• Suma de vectores• Componentes de un vector• Vectores unitarios• Suma con vectores unitarios

Sistema de coordenadas

Un sistema de coordenadas se compone de:

•Un punto de referencia fijo O, denominado el origen.

•Un conjunto de ejes especificados con escalas y leyendas apropiadas sobre los ejes.

•Instrucciones de cómo marcar un punto en relación con el origen y los ejes.

Un sistema que se utilza con frecuencia es el sistema rectangular o cartesiano

Sistema de coordenadas rectangulares

(x, y)Q(-3, 9)

P(6, 3)

Cada punto esta marcado con las coordenadas (x, y).

x

y

Sistema de coordenadas polares

(x, y)

r

O

y

x22

tan

sen

cos

yxr

x

y

ry

rx

Se cumplen las siguientes relaciones entre el sistema rectangular y polar..

Cantidades escalares y vectoriales

Una cantidad escalar sólo tiene magnitud y no dirección. Los escalares se detotan con letras en itálica, ej. A, B, x, etc.

Una cantidad vectorial tiene magnitud tanto como dirección. Los vectores se denotan con letras en negrita, ej. A, B, x, etc.

Un ejemplo de cantidad vectorial es el desplazamiento que es el vector entre cualquiera dos puntos en el plano coordenado. Note que la distancia recorrida es un escalar.

Propiedades de los vectores

Igualdad de vectores

Dos vectores A y B son iguales, sólo si A = B y los dos actúan en direcciones paralelas. Donde A y B representan la magnitud de los vectores A y B respectivamente.

Adición

Para sumar el vector B al vector A se dibuja primero el vector A, y después se dibuja el vector B a la misma escala con el origen empezando en la punta de A. El vector resultante R = A + B es el vector dibujado desde el origen de A hasta la punta de B.

Suma de vectores

A

B

R = A + B

Método del triángulo Método del paralelogramo

A

B

A

B

R = A + B

Propiedades del álgebra de vectores

El álgebra de vectores tiene las siguientes propiedades:

Ley conmutativa de la suma: A + B = B + A

Ley asociativa de las suma: A + (B + C) = (A + B) + C

Negativo de un vector: el negativo de A es un vector tal que al sumarlo con A da el vector nulo, A + (-A) = 0

Resta de vectores: se define la resta de A y B, denotada A - B, como el resultado de sumar -B al vector A.

Multiplicación por un escalar: Al multiplicar un vector A por un escalar m se obtiene un vector en la misma dirección de A pero con magnitud mA.

continuación

A

B

A

B

R = A + B

R = A + B

A + B = B + A

A

BA + B

A + B + C

C

A

BB + C

A + B + C

C

A + (B + C) = (A + B) + C

continuación

A

B

R = A - B -B

R = A - B

A

mA

Componentes de un vectorLas proyecciones de un vector a lo largo de los ejes de un sistema de coordenadas rectangular se denominan las componentes del vector.

A

Ax

Ay

x

y

22

tan

sen

cos

yx

x

y

y

x

AAA

A

A

AA

AA

Vectores unitarios

Los vectores unitarios son vectores sin dimensiones que tiene magnitud igual a uno.

En coordenadas cartesianas se utiliza i, j y k para representar la dirección de los ejes x, y y z, respectivamente.

Cualquier vector A puede escribirse como: A = Axi + Ayj

Un punto puede especificarse por medio de un vector de posición r, dado por

r = xi + yj

Suma con vectores unitarios

La suma de dos vectores puede llevarse a cabo sumando las componentes de cada uno por separado:

R = A + B =

(Ax + Bx) i + (Ay + By) j

Podemos escribir

R = Rxi + Ryj

Entonces Rx = (Ax + Bx) y

Ry = (Ay + By)

BxAx

Ay

By

Rx

Ry B

R

A x

y

Tarea

1. Un vector tiene una componente x de -25.0 unidades y una componente y de 40.0 unidades. Encuentre la magnitud y dirección de este vector.

2. Considere dos vectores A = 3i - 2j y B = -i - 4j. Calcule a) A + B, b) A - B, c) |A + B|, d) |A - B| y e) las direcciones de A + B y A - B.

3. Una partícula efectúa los siguientes desplazamientos consecutivos: 3.50 m al sur, 8.20 m al noreste y 15.0 m al oeste. ¿Cuál es el desplazamiento resultante?