vectores en el plano curso 2012 nivel 4º e.s.o.. el concepto de vector está motivado por la idea...
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VECTORES EN EL PLANOVECTORES EN EL PLANO
Curso 2012Curso 2012
Nivel 4º E.S.O.Nivel 4º E.S.O.
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El concepto de vector está motivado por la idea de desplazamiento en el espacio
P Q
Si una partícula se mueve de P a Q determina un segmento de recta dirigido con punto inicial P y punto final Q
PQ
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R SP Q
S
R
La magnitud del vector es la longitud de ese desplazamiento y se denota por
PQ
Vectores de la misma magnitud
RSPQ
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Un vector es un segmento orientado
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La dirección del vector viene dada por el punto inicial y el punto final. En este sentido
SRRS
Vectores de la misma
dirección
S
R Q
P
S
R
S
R
Vectores en direcciones
distintas
P
Q
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Vectores Equivalentes
Q
P
RSPQ
Tienen la misma magnitud y dirección
S
R
Definición Geométrica
Un vector es el conjunto de todos los segmentos dirigidos
equivalentes
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OEje x
Eje y
Representante del vector por el origen de coordenadas
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(a,b) son las coordenadas del vector u y también del punto P
u
a
b
A un vector u se le asocia el punto P(a,b) así:
P(a,b))b,a(OPu
Eje Y
OEje X
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Y a la inversa: dado (a,b) perteneciente a un plano se le asocia el vector u así:
Definición algebraicaUn vector es un par ordenado de
números reales
u
a
b P(a,b)
Eje Y
OEje X
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Dado el vector u(-2,3) representarlo en el plano
Eje Y
OEje X
Dado el vector u(-2,-4) representarlo en el planoDado el vector u(0,3) representarlo en el planoDado el vector u(-2,0) representarlo en el planoDado el vector u(1,-4) representarlo en el planoDado el vector i(1,0)i(1,0) representarlo en el planoDado el vector j(0,1)j(0,1) representarlo en el plano
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Punto P en el plano
(a,b)2
Vector u=OPdesde el origen hasta P
Esta correspondencia se llama:Sistema de coordenadas rectangulares
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10c10cmm
6cm6cm
31º31º
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7,67cm7,67cm
6cm6cm
38º38º
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6cm6cm
6cm6cm
45º45º
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2,8cm2,8cm
6cm6cm
65º65º
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10c10c
mm ¿b?¿b?
27º27º
¿a?¿a?
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12c
12c
mm
¿b?¿b?
62º62º
¿a?¿a?
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15c15cmm ¿b?¿b?
11º11º
¿a?¿a?
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9cm9cm¿h?
¿h?
74º74º
¿a?¿a?
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3cm3cm¿h?¿h?
24º24º¿a?¿a?
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8cm8cm
¿h?
¿h?
48º48º
¿b?¿b?
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6,4c6,4cmm
¿h?
¿h?
23º23º
¿b?¿b?
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Magnitud o módulo de un
vector u
El vector nulo (0,0) no tiene
dirección
Dirección de u
Angulo positivo que forma con el eje X
22 bau a
btag
u
a
b(a,b)
Eje Y
OEje X
Un vector de módulo uno se llama unitario
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Halla el módulo del vector u(4,1) y el ángulo θ que forma con el eje X
Eje Y
O Eje X
22 bau a
btag
Halla el módulo del vector u(1,4) y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(-4,1) y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(-4,-1) y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(4,-1) y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(2,2) y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(0,5) y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(0,-3) y el ángulo θ que forma con el eje X
Halla el módulo del vector u(3,-2) y el ángulo θ que forma con el eje X
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¿a?
¿b?
Eje Y
OEje X
Halla las componentes del vector u si el módulo vale 4 y el ángulo θ = 28ºHalla las componentes del vector u si el módulo vale 2 y el ángulo θ = 60ºHalla las componentes del vector u si el módulo vale 1 y el ángulo θ = 150ºHalla las componentes del vector u si el módulo vale 6 y el ángulo θ = 220ºHalla las componentes del vector u si el módulo vale 3 y el ángulo θ = 315º
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Los vectores i=(1,0) y j=(0,1) son los vectores unitarios en la dirección de los
ejes coordenados
Todo vector (x,y)=x(1,0)+y(0,1), es decir, es combinación lineal de los
vectores i,j
Eje Y
O Eje X
u
x
y
i
j xi
yj
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Halla el módulo del vector u(1,1) = i + j y el ángulo θ que forma con el eje X
Eje Y
O Eje X
22 bau a
btag
Halla el módulo del vector u(1,3) = i +3 j y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(-2,3) =-2i +3 j y el ángulo θ que forma con el eje X
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Operaciones con vectores
Sean u=(x,y) y v=(a,b) vectores en el plano y un número real. Se define el vector:
suma u+v como
u+v= (x+a, y+b)
producto por un escalar u como
u=(x, y).
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Operaciones con vectores
Si u=(2,3), v=(4,1), gráficamente u+v=(6,4) es la diagonal mayor del paralelogramo
Eje Y
OEje X
u+ v u
v
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Operaciones con vectores
Si u=(2,3), v=(4,1), gráficamente v-u=(2,-2) es la diagonal menor del paralelogramo
Eje Y
OEje X
u- v u
v u- v
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Operaciones con vectores
Si u=(x,y), v=(a,b), gráficamente u+v=(x+a,y+b) es la diagonal mayor del
paralelogramo
Eje Y
OEje X
u+ v u
v
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Operaciones con vectores
u+v=(x+a,y+b)
a
y
O
Eje Y
Eje X
u+ v u
v
a x
y
b b
b x
x
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Operaciones con vectores
Si u=(x,y), u=(x, y)
Eje Y
OEje X
u
u
>0
u <0
0<<1
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Se define el producto escalar de dos vectores u=(x,y) y v=(a,b) como:
u.v=│u││v│cos
: Se define el ángulo entre dos vectores u y v como el ángulo no negativo mas pequeño entre u y v.
Producto escalar
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El producto escalar de los vectores canónicos i=(1,0), j=(0,1) será i.i=j.j=1 i.j=j.i=0
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Nueva definición de Producto escalar:
ybxav.u
j.ybji.yajj.xbii.xaiv.u
bjaiv
yjxiu
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Se define el producto escalar de dos vectores u=(x,y) y v=(a,b) como:
u.v=ax+by
Se define el ángulo entre dos vectores u y v como el ángulo no negativo mas pequeño entre u y v.
Producto escalar
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Dos vectores son paralelos si el ángulo entre ellos es 0 o .
Dos vectores son ortogonales si forman un ángulo de /2
Producto escalar
Eje X
Eje Y
/2
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Propiedades del producto escalar
u.0 = 0 u.v = v.u (propiedad conmutativa) Si u.v =0 y ninguno de ellos es nulo entonces los vectores son perpendiculares.
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Interpretación geométrica:
Teorema:
Sean u y v vectores no nulos y el ángulo entre ellos, entonces si calculamos el producto escalar podremos hallar el ángulo entre ellos:
cosvuv.u
v
u
ucos
cos/. vuvu
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Ejemplo: Sean los vectores A = 4i y B = i + 2 j . Representarlos y determinar su módulo. El producto escalar de A por B. Halla el ángulo entre A y B.
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Ejemplo: Sean los vectores A = 3i -2 j y B = -i - j . Representarlos y determinar su módulo. El producto escalar de A por B. Halla el ángulo entre A y B.
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Ejemplo: Sean los vectores A = -4i +2 j y B = -3j . Representarlos y determinar su módulo. El producto escalar de A por B. Halla el ángulo entre A y B.