GEOMETRÍA ANALÍTICA

PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES

EL PRODUCTO ESCALAR:

1.Expresión analítica del producto escalar

2.Expresión analítica del módulo de un vector

3.Definición de producto escalar

4.Expresión analítica del ángulo de dos vectores. Aplicación 1.

5.Ortogonalidad de dos vectores (perpendiculares entre si).

Aplicación 2.

6.Interpretación geométrica del producto escalar.

Aplicación 3.

Expresión analítica del producto escalar

Es el número que resulta de la suma del producto de sus componentes.

Ejemplo

1 1 2 2

3,0 5,5

3 5 0

.

15 5

u v u

u v

u v

v u v

El módulo de un vector

Es la longitud del segmento que separa el punto inicial del extremo final del vector , y que cuantificaría la intensidad de la magnitud vecorial que representase.

Ejemplo

Un vector unitario, tiene por módulo la unidad.

2 21 1 2 2 1 2

3,0 5,5

3 3 0.0

5 5 5.5

3

5 2

u v

u u u

u u u u u u u

v

u

v

u

v

Definición de producto escalar

El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

Ejemplo

2 2 2 2

3,0 5,5 , 45º

23

co

0 5 5 cos 45º 3 5 22

s

15

u v ángulo u v

u v

u v u v

Expresión analítica del ángulo de dos vectores

Despejando el coseno del ángulo de la definición de producto escalar,

Ejemplo

1 1 2 2

2 2 2 21

2

2

2 2 2

2 1

3,0 5,5

3 5 0.5 2cos

.co

23 0 5 5

2

s

4c s º. o2

5

u v u v

u

u v

ar

v

c

u v

Condición analítica de la ortogonalidad de dos vectores

Que su producto escalar sea CERO

Ejemplo

No son perpendiculares

1 1 2 2

3,0

0 . 0

15 0

5,5

3 5 0 5

u v

u v u v u

u v

v

Interpretación geométrica del producto escalar

El producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. La proyección es la “sombra” que un vector marca en el segmento del otro, cuando ambos parte del mismo punto y se traza una perpendicular desde el extremo de un vector hasta la dirección del otro.

Ejemplo

2 2

2,1 3,4

2 3

'cos ' cos

' '

21 4,

53 4

OAOA u

u

u vu v v OA O

u

Av

u v

P v