VALOR DEL DINERO A TRAVES DEL TIEMPO

Puesto que el dinero puede ganar un cierto interés, cuando se invierte por un cierto periodo de tiempo, usualmente un año, es importante reconocer que un peso que reciba en el futuro valdrá menos que un peso que tenga actualmente. Es precisamente esta relación entre interés y tiempo lo que conduce al concepto del valor del dinero a través del tiempo. Cantidades iguales de dinero no tienen el mismo valor si se encuentran en puntos diferentes en el tiempo y si la tasa de interés es mayor que cero. Es importante reconocer que el cambio del dinero es debido al concepto de capitalización o descuento, el cual es muy distinto al poder adquisitivo (inflación).

Interés simple e interés compuesto.

La diferencia fundamental entre interés simple e interés compuesto estriba en el hecho de que cuando se utiliza interés compuesto, los intereses generan a su vez intereses, mientras que cuando se utiliza interés simple, los intereses son función únicamente del principal, el número de periodos y la tasa de interés.

Para ilustrar la diferencia entre estos dos conceptos, suponga que se han pedido prestados $10,000 para pagarlos dentro de tres años a una tasa de interés del 15%, si se utiliza interés simple, la cantidad a pagar sería:

10,000 + ( (10,000) ( 3 ) ( 0.15 ) ) = 14,500

Por otra parte, si se utiliza interés compuesto el adeudo final del tercer año sería como se muestra a continuación:

AÑO ADEUDO AL

PRINCIPIO DEL AÑO

INTERES ADEUDO AL FINAL

DEL AÑO

1 10,000 1,500 11,500.00

2 11,500 1,725 13,225.00

3 13,225 1,983 15,208.75

Como se puede observar, existe una diferencia de 708.75 entre los adeudos obtenidos mediante estos dos enfoques, esta diferencia se debe a los intereses que generan intereses.

Definiciones:

1. Intereses: es la ganancia obtenida de una inversión.

2. Tasa de interés: es el porcentaje de utilidad obtenida de cada peso invertido en un

determinado periodo de tiempo.

Tasa de interés = intereses / inversión

3. Diagrama de flujo de efectivo: los gastos e ingresos de un proyecto se pueden

representar en un diagrama llamado escala de tiempo o diagrama de flujo de efectivo,

utilizaremos este último:

Ingresos

Gastos e inversiones

4. Valor cronológico del dinero. El dinero cambia a través del tiempo debido al costo del

capital asignado (capitalización).

5. Periodo de interés. Es el plazo considerado en cada capitalización del dinero, puede ser

de un año, seis meses, un mes o cualquier periodo de tiempo. (en la práctica

normalmente es un año o un mes)

6. Interés simple. Es cuando la tasa de interés es aplicable únicamente al capital en uno o

varios periodos de interés (concepto poco usual en nuestra época)

7. Interés compuesto. Es cuando la tasa de interés es aplicable a los intereses generados

en cada periodo de interés, es decir los intereses generan nuevos intereses.

8. Equivalencia. Dos cantidades de dinero o series de cantidades de dinero en diferentes

puntos del diagrama, son equivalentes si son iguales en un mismo punto a un mismo

tiempo y tasa de interés dado.

9. NOMENCLATURA

P: CANTIDAD PRESENTE O ACTUAL

F: CANTIDAD FUTURA

A: SERIE UNIFORME DE PAGOS

i: TASA DE INTERES

n: NÚMERO DE PERIODOS DE INTERES

EJERCICIOS: 1

1. El Sr. González pide prestado al banco la cantidad de $10,000 para pagarlos dentro de

tres años a una tasa de interés del 20% anual. ¿cuánto pagará al final del tercer año?

2. Un agricultor desea comprar el rancho que está trabajando y el cual ahora tiene

arrendado, al contrato aún le faltan cinco años para su vencimiento, el dueño le ha

prometido vendérselo en esa fecha en tres millones de pesos, si el agricultor deposita

ahora una cantidad en el banco, el cual le da el 15% anual neto, ¿cuál es el monto de

dicha cantidad para que al final del quinto año tenga los tres millones de pesos?

3. Una persona efectúa depósitos iguales en forma semestral, durante tres años, por la

cantidad de $5,000 si la cuenta de ahorros le paga el 4% semestral, ¿cuánto tendrá

acumulado al final del tercer año?

4. Si el agricultor del ejemplo dos, desea hacer depósitos iguales cada año, para que al

término del quinto año tenga los tres millones ¿cuál sería el monto de cada depósito?

5. Si una persona efectúa seis retiros anuales iguales de $10,000 cada uno, de una cuenta

que le proporciona el 15% anual sobre su dinero depositado. ¿qué cantidad fue la que

depositó esta persona al principio del primer año?

6. Si nos prestan ahora $2,000,000 con la condición de que se lo paguemos en diez pagos

iguales (principal más interés) iniciando el primer pago dentro de un año y al 12%

anual ¿cuál será el pago anual que debemos hacer?

EJERCICIOS: 2 NOTA: Salvo que se indique lo contrario, las tasas son anuales

1. Usted se acaba de ganar $5,000 ¿cuánto dinero tendrá al cabo de diez años si invierte

una suma al 6% anual capitalizable anualmente?

2. Dentro de diez años el capital insoluto de la hipoteca que grava su casa será de $8,955

¿cuánto dinero tendrá usted que invertir al 6% capitalizable anualmente para

acumular exactamente los $8,955 en diez años?

3. Usted piensa ahorrar $500 de sus ganancias de cada año durante los próximos diez

años ¿cuánto dinero tendrá al terminar el décimo año si invierte sus ahorros al 6%

anual capitalizable anualmente?

4. Si la hipoteca insoluta de su casa dentro de 10 años será de $8,955 ¿cuánto dinero

debe usted invertir anualmente al 6% para tener disponible exactamente esta

cantidad al finalizar el décimo año?

5. Usted tiene una póliza de seguro total de vida que le proporcionará la suma de

$20,000 al llegar a la edad de 65 años. Si invierte esta suma al 6% ¿qué sumas iguales

podrá usted retirar de su cuenta cada año de modo que al cabo de diez años no le

quede nada?

6. Usted ha estimado que durante los primeros diez años después de que se haya

retirado del trabajo necesitará un ingreso anual de $2,720 ¿cuánto debe invertir al 6%

al llegar a los 65 años justamente para poder percibir este ingreso anual?

EJERCICIOS: 3 NOTA: salvo que se indique lo contrario, las tasas son anuales

1. El señor Hernández obtiene un préstamo de $60,000 acordando pagar el capital con

intereses de 10% capitalizable semestralmente ¿cuánto debe al final de 4 años?

2. ¿Cuál será el monto de invertir $25,000 por 5 años al 24% anual capitalizable

mensualmente? Cantidad única.

3. El primero de febrero de 2009 la señora Acosta obtuvo un préstamo de $20,000 al

12% capitalizable mensualmente ¿cuánto deberá al primero de febrero de 2010?

4. Debo $12,000 pagaderos dentro de tres meses sin intereses ¿qué cantidad debería

estar dispuesto a aceptar mi acreedor en este momento si puede invertir el dinero al

45 mensual?

5. ¿cuánto debo invertir ahora al 12% capitalizable trimestralmente para obtener

$15,000 en mi cuenta dentro de tres meses?

6. En la compra de una casa la señora Yáñez paga $1,000,000 de enganche y acuerda

pagar $2,500,000 un año después. Hallar el valor de contado de la casa al 20%

capitalizable semestralmente.

7. Calcule el monto acumulado de una anualidad de $S30,000 cada seis meses durante

3.5 años al 30% capitalizable semestralmente

8. La compañía Rolux tiene una oferta de una máquina, con $200,000 de enganche y

$25,000 mensuales por los primeros 12 meses si se carga intereses de 8 por ciento

mensual, hallar el valor de contado de la máquina.

9. Para liquidar una cierta deuda con intereses al 48% anual capitalizable mensualmente,

el Sr. Gutiérrez acuerda hacer pagos de $50,000 al final de cada mes por los próximos

17 meses y un pago final de $95,000 un mes después ¿cuál es el importe de la deuda?

10. La señora Luna está pagando $22,500 al final de cada semestre por concepto de la

prima de una póliza total, la cual le pagará $1,000,000 al término de 10 años ¿qué

cantidad tendría si en su lugar depositara cada pago de una cuenta de inversión que le

produjera el 30% capitalizable semestralmente?

EJERCICIOS: 4 NOTA: salvo que se indique lo contrario, las tasas son anuales

1. El señor Hernández desea comprar un tractor cuyo costo es de $3,000,000 si obtiene un crédito de 18 meses a una tasa de interés del 25 ¿cuál será el monto mensual? Tasa mensual.

2. ¿cuánto dinero es equivalente ahora a $50,000 en 5 años a una tasa de interés del 30% anual?

3. ¿cuánto dinero ahora es equivalente a $80,000 en 10 años con una tasa de interés del 15% capitalizable semestralmente?

4. ¿cuánto dinero debe depositarse en un fondo cada año para acumular $5,000,000 en 5 años a una tasa de interés del 20% anual?

5. Un alumno desea hacer un viaje de estudios dentro de un año el cual le cuesta $75,000, si desea reunir tal cantidad durante el año, haciendo depósitos iguales mensualmente en un banco que le da el 5% mensual ¿cuál debe ser el monto del depósito?

6. Si de un crédito aún tenemos pendiente de pago cuatro documento iguales de $200,000 cada uno y por año y en este momento quisiéramos pagarlo totalmente ¿cuánto sería el valor del pago sabiendo que la tasa de interés del crédito es del 30% anual?

7. El señor Pérez pide un préstamo de $600,000 al 20% capitalizable anualmente, el plantea pagar el préstamo en 5 anualidades, si paga la primera, la segunda y la tercera anualidad y desea pagar la quinta al final del cuarto año ¿cuánto deberá pagar?

8. El señor Juárez desea invertir $1,200,000 durante seis meses a una tasa del 60% anual ¿cuánto será el monto de lo acumulado? Capitalizable mensualmente.

9. Si Zaide deposita mensualmente $8,000 en su cuenta de ahorro al 24% anual capitalizable mensualmente ¿cuánto acumulará al cabo de un año?

10. Calcule la tasa efectiva de 20% capitalizable:

a. Mensualmenteb. Trimestralmente c. Semestralmente

d. Anualmente e. Continuamente

11. Halle la tasa nominal r capitalizable trimestralmente equivalente a una tasa efectiva de 7.5%

12. ¿A qué tasa nominal capitalizable semestralmente el monto de $920,000 será $1,500,000 al cabo de dos años?

13. Si el interés real de un préstamo es del 1.75% ¿a qué tasa efectiva anual equivale?14. El banco da un préstamo a Zoé de $920,000 para pagarlo en 12 meses a una tasa de

interés del 2% mensual, los intereses deducidos del préstamo, calcule el interés mensual y el interés efectivo anual

EVALUACION DE PROYECTOS DE INVERSION

EJERCICIOS: 1 MUESTRE SUS CÁLCULOS

1. La tabla que enseguida se da muestra dos anexos de ingresos de efectivo probables provenientes de dos operaciones distintas cada una de las cuales requiere la misma inversión inicial. La tasa mínima deseada de rendimiento (TREMA) es el 6% capitalizable anualmente. En valores presentes ¿cuál es el más ventajoso?

AÑOS PLAN “A” PLAN “B”1 1,000 5,0002 2,000 4,0003 3,000 3,0004 4,000 2,0005 5,000 1,000

2. Industrias Lucky Corp. Está planeando una expansión de la planta productiva, para lo cual necesita adquirir una maquinaria adicional que tiene un costo de $25,000 dlls, la cual producirá utilidades adicionales por $10,000 dlls. Anualmente durante los próximos 6 años sin considerar ningún valor de rescate de la maquinaria citada. A usted se le pide su asesoría profesional en materia de inversiones, para que evalúe la bondad de la inversión desde el punto de vista financiero, considerando una tasa mínima de rentabilidad del 25% usando los siguientes métodos:

a. Valor presente netob. Valor terminal netoc. Costo anual equivalented. Periodo de recuperación

e. Tasa interna de rentabilidad TIR

f. Demuestre la equivalencia en el tiempo de los métodos a,b y c

3. Lion Ltd. Necesita adquirir una maquinaria nueva en $40,000 dlls. La cual le producirá utilidades adicionales por $10,000 durante 10 años sin ningún valor de rescate del equipo citado. Se le pide a usted que evalúe la bondad financiera de esta inversión, considerando una tasa mínima de rentabilidad del 20% usando los siguientes métodos:

a. Valor presente netob. Valor terminal netoc. Costo anual equivalented. Periodo de recuperación

e. Tasa interna de rentabilidad

f. Demuestre la equivalencia de los métodos a b y c

4. Monet Corp. Está planeando una expansión de la planta productiva, para lo cual necesita adquirir una maquinaria adicional que tiene un costo de $20,000 dlls. La cual le producirá utilidades adicionales por $8,000 dlls durante cinco años, sin ningún valor de rescate de la maquinaria citada. Se le pide su asesoría profesional para que evalúe la bondad financiera de la inversión citada, considerando una tasa mínima de rentabilidad del 25% usando los siguientes métodos:

a. Valor presente netob. Valor terminal netoc. Costo anual equivalented. Periodo de recuperación

e. Tasa interna de rentabilidad

f. Demuestre la equivalencia de los métodos a b y c

5. La gerencia de Diversa, Ltd. Debe decidir entre dos propuestas, se tiene disponible la siguiente información: Asumiendo que la compañía puede ganar un 20% en proyectos de este tipo y que los ingresos de efectivo se reciben al final de cada periodo, aconseje

a la gerencia qué propuesta debería ser seleccionada. Presente los cálculos de los valores presentes netos. Ignore las consideraciones fiscales.

PROPUESTA INVERSION AHORA

PERIODO 1 PERIODO 2 PERIODO 3

A 80,000 95,400 39,000 12,000B 100,000 35,000 57,500 80,000

6. Un gerente está estudiando tres posibles proyectos de inversión mutuamente excluyentes (A, B y C) cada uno de los cuales promete un ingreso anual efectivo de $20,000 con una inversión inicial de $100,000. Las vidas útiles son como sigue: Calcule el periodo de recuperación para cada proyecto, si el tiempo de recuperación constituye el único criterio para la decisión

a. ¿cuál proyecto es el más conveniente?b. ¿cuál proyecto ofrece la tasa de rentabilidad más elevada (TIR)

PROYECTOS AÑOSA 6B 7C 8

7. Procables, Ltd. Estima que puede ahorrar $2,800 en efectivo por año en costos de operación por los siguientes diez años, si compra una máquina especializada a un costo de $14,000, no se espera que esta máquina tenga ningún valor de salvamento. La tasa de rendimiento mínima deseada de la compañía (TREMA) es del 18%, calcule:

a. El periodo de recuperaciónb. Usando el flujo de efectivo descontado:

i. La tasa interna de rentabilidad (TIR)ii. El valor presente neto