V. Corrientes V. Corrientes eléctricaseléctricas

3. Leyes de la corriente 3. Leyes de la corriente eléctricaeléctrica

CamposCampos ElectromagnéticosElectromagnéticos® Gabriel Cano Gómez, 2010/11 ® Gabriel Cano Gómez, 2010/11

Dpto. Física Aplicada III (U. Sevilla)Dpto. Física Aplicada III (U. Sevilla)

CamposCampos ElectromagnéticosElectromagnéticosIngeniero de TelecomunicaciónIngeniero de Telecomunicación

V. Corrientes eléctricasV. Corrientes eléctricas1.1. IntroducciónIntroducción22 M it d l i t lé t iM it d l i t lé t i

V. Corrientes eléctricasV. Corrientes eléctricas

2.2. Magnitudes para la corriente eléctricaMagnitudes para la corriente eléctrica3.3. Leyes de la corriente eléctricaLeyes de la corriente eléctrica

P i i i d ió d lPrincipio de conservación de la cargaEcuación de continuidadCondiciones de salto en discontinuidadCondiciones de salto en discontinuidadCorrientes estacionariasEcuaciones de las corrientes estacionarias

4.4. Conductores lineales: medios óhmicosConductores lineales: medios óhmicos5.5. GeneradoresGeneradores

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10

/11 5.5. Ge e ado esGe e ado es

6.6. Coeficientes de conductanciaCoeficientes de conductancia77 Circuito equivalenteCircuito equivalente

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G 7.7. Circuito equivalenteCircuito equivalente

8.8. Corrientes no estacionariasCorrientes no estacionarias

Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) V. Corrientes eléctricasV. Corrientes eléctricas

® G

a®

Ga

2

Principio de conservación de la cargaPrincipio de conservación de la cargaEnunciado del principio

“en cada instante la carga eléctrica que fluye a través

Principio de conservación de la cargaPrincipio de conservación de la carga

J“en cada instante, la carga eléctrica que fluye a través de ∂τ es igual a la variación de la carga en τ”.

dQ dQ I

dS=dS nQΔΔj=0

intensidad en la superficie cerrada ∂τ:

dQ dQdt dt

τ

τ∂

⇒ − = I τ∂=,t Qτ∂

∀ Δ Δ Qτ= −Δ (t)Qτ

Qt τ∂

Δ

ΔΔj=0

intensidad en la superficie cerrada ∂τ:

I dτ τ∂ ∂= ⋅∫ J S dQ

dtτ= −

τ

Ecuación de continuidad (general)versión local del principio de conservación:

τ∂∫ dt

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10

/11 versión local del principio de conservación:

se verifica en cada punto del espacio para todo tipo de corrientes y de carga eléctrica ∂τ

ρe(r,t)MτΔτ∼PΔj≠0

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

p p y g

( , ) e

P

tt

∂ρ= −

∂∇⋅J r

J(r,t)

Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) V. Corrientes eléctricasV. Corrientes eléctricas

® G

a®

Ga Pt∂

3

J(r,t)

Ec. continuidad para corriente de conducción/convecciónEc. continuidad para corriente de conducción/convección

Densidades de carga y corriente

pp

ρlib(r;t) = ρ− (r;t) + ρ+ (r) =0sólo la cargas eléctricas “libres” (móviles) contribuyen a la corriente de conducción

d id d d lib t

(portadores)

densidad de carga libre neta

eρ +lib lib( , ) ( , )t tρ ρ −→ +r rlib ( ; )tρ =r

densidad de corriente de conducción

( ) ( ) ( )t t tρ ρ+ + − −+J r v r v r

Ecuación de continuidad

lib lib( , ) ( , ) ( , )t t tρ ρ= +J r v r v r J(r;t) =−n−ev−(r;t)≠0

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10

/11 Ecuación de continuidad

la variación en t de la carga “libre neta” es fuente escalar de la corriente de conducción

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

( , )t =∇⋅J r lib

Pt∂ρ

−∂ Conductor metálico

Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) V. Corrientes eléctricasV. Corrientes eléctricas

® G

a®

Ga Pt∂ Conductor metálico

4

Condiciones de salto en discontinuidadCondiciones de salto en discontinuidadSuperficie de discontinuidad

Σ d i i t

Condiciones de salto en discontinuidadCondiciones de salto en discontinuidad

Σ separa dos regiones con corrientessuperficie con carga eléctrica σe(r,t)

evaluación de corrientes en P∈Σ: ρe(r,t) dSevaluación de corrientes en P∈Σ:

lim limdQd

dτΔ

∂Δ⋅ = −∫ J S Sdq

dt= −

ρe( , )

J2(P,t)Δh/2

dS2

Discontinuidad de la densidadlt t l

0 0h h dtτΔ → Δ →∂Δ∫ dt dS=dS nPSMS K(r,t)

dl

ΔτΔh/2σe(r,t)P

salto en su componente normalen cada punto P de la superficie Σcausado por cambios en σ (r t) J (P t)

Σ( , )

dl

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10

/11 causado por cambios en σe(r,t)

[ ] ( )2 1 e PPtσΣ⋅ − = − ∂ ∂+∇ ⋅n J J K dS1

J1(P,t)

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G en corrientes de conducción…

Σ−∇ ⋅K[ ]2 1 P

⋅ − =n J J ( )lib Pt− ∂σ ∂

Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) V. Corrientes eléctricasV. Corrientes eléctricas

® G

a®

Ga [ ]P ( )lib P

50

Corrientes estacionariasCorrientes estacionariasPropiedades de corriente de conducción

causa del movimiento de cargas

Co e tes estac o a asCo e tes estac o a as

ΔτΔτ ∼∼ PPt t ≥≥ tt00causa del movimiento de cargascampo E(r) →

oposición al movimiento de cargas:e ( )q± ±=F E r v+(r)Fdis

+

oposición al movimiento de cargas: proporcional y opuesta a la velocidad

( )di 0( , );t± ± >= −F v r γγ

q+ Fe+

J(r)Régimen estacionario

estado de equilibrio (dinámico):

( )dis 0( , );t >F v r γγ

v_(r)Fe

_ E(r)estado de equilibrio (dinámico):

se alcanza en t0 y se mantiene en t > t0:± ± =F + F 0 ( )d dt±⇒ =v 0

q_

Fdis_

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10

/11

velocidad “de arrastre”: C i t t i i

e dis =F + F 0

( ) + ++ t

( )d dt⇒ v 0

0 0( ) ( , ); cte. t t t± ±= ∀ >v r v r

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G Corriente estacionaria

magnitudes constantes en el tiempo:

( ) 0t∂ ∂

ρlib(r)= n+q++n− q−, cte.

( ) ( ) ( ) ( );( ) ρ ρ+ + − −+r r r rJ r v v d cteI⇒ ∫ J SCampos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) V. Corrientes eléctricasV. Corrientes eléctricas

® G

a®

Ga ( )lib 0t∂ρ ∂ =lib lib( ) ( ) ( ) ( );( ) ρ ρ= +r r r rJ r v v d , cte.IΣ Σ

⇒ = ⋅∫ J S6

Ecuaciones de las corrientes estacionariasEcuaciones de las corrientes estacionariasEcuaciones de la corriente y el campo

corriente estacionaria J(r) y campo electrostático E(r)

Ecuaciones de las corrientes estacionariasEcuaciones de las corrientes estacionarias

ρlib(r) = (n+−n−)ecorriente estacionaria J(r) y campo electrostático E(r)

Local Local ((∀∀ PP∈∈ 33)) Integral∂τ

Principio de Principio de conservaciónconservación ( ) 0=J r∇ ⋅ 0d

∂τ⋅⋅ =∫ J S J(r)

IrrotacionalidadIrrotacionalidad 0dΓ

⋅ =∫ E r( )× =E r 0∇ E(r)

Ω2Ω1 ΣΣCondiciones en una discontinuidad Condiciones en una discontinuidad ΣΣcontinuidad de componente normal de J(r)

( )

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10

/11 21

nnσσee((PP))JJ11

JJnnJJ

continuidad de componente normal de J(r)

2 1 0P∈Σ

⎡ ⎤⋅ − =⎣ ⎦n J J→→σσliblib((PP))

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

JJ22EE11 EE22EE

JJnncontinuidad de componente tangencial de E(r)

2 1⎡ ⎤× − =⎣ ⎦n E E 0

Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) V. Corrientes eléctricasV. Corrientes eléctricas

® G

a®

Ga 22EEtt

2 1 P∈Σ⎡ ⎤⎣ ⎦ 0

7

Ejercicio 5.3 (I)Ejercicio 5.3 (I)Principio de conservación de la carga

esfera “Ε(t)” de radio variable: R(t) R +v t (∀ t ≥ 0)

Ejercicio 5.3 (I)Ejercicio 5.3 (I)

ε0

Ε(t)

Q

J(r,t)I∂τ

esfera “Ε(t)” de radio variable: R(t)=R0+v0t (∀ t ≥ 0)con carga eléctrica constante y uniforme

0 ;t Q Q∀ ≥ 3( ) 3 4 ( )t Q R tρ = π Q0 dS=dS nley de conservación en superficie esférica ∂τ:

lé t i l i t i

0( )0, ;

tt Q Q

Ε∀ ≥ = 0( )

( ) 3 4 ( )e tt Q R t

Ερ = π

OR(t)Q(t)

carga eléctrica en el interior, τ:0

00

r Rt v−

≤ ≤→0 ( ); R t rQ ≤⎧⎪ 0

0

0

r R tv−

≤→3

03

( )( )

( ) ;Q rR t r

R tQ t ≥

⎪=⎨

=⎪⎩

Q τ

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10

/11

∂τ: r, cte.intensidad de corriente a través de ∂τ:

( )0; R t r≤⎧ 00r R

t−

≤ ≤→

( )⎩

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

I d∂ ∂= ⋅→ ∫ J Sτ τ

ddQ It ∂− = τ

τ

304

0

( )

3( )

( )

0;

;

R t r

Q rR t r

R tv

≤

≥

⎧⎪= ⎨⎪⎩

0

0

0 t

r R t

v

v

≤ ≤

−≤

→

→

Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) V. Corrientes eléctricasV. Corrientes eléctricas

® G

a®

Ga

8

4 ( )R t⎪⎩ 0v

Ejercicio 5.3 (II)Ejercicio 5.3 (II)Versión local de conservación de la carga

esfera “Ε(t)” de radio variable: R(t)=R0+v0t (∀ t ≥ 0) J(r,t) = J(r,t)ur

Ejercicio 5.3 (II)Ejercicio 5.3 (II)ε0

esfera Ε(t) de radio variable: R(t) R0+v0t (∀ t ≥ 0)con carga eléctrica constante y uniforme Ε(t)

0 ;t Q Q∀ ≥ 3( ) 3 4 ( )t Q R tρ = π

ecuación de continuidad en punto P(r,θ,ϕ):densidad volumétrica de corriente en P:

ρe(r,t)

Q

P(r,θ,ϕ)0( )0, ;

tt Q Q

Ε∀ ≥ = 0( )

( ) 3 4 ( )e tt Q R t

Ερ = π

densidad volumétrica de corriente en P:

dI∂ ∂= ⋅∫ J Sτ τ

R

24 ( , )r J r t= π OR(t)Q0

0 0

( )

3( )

;( ; )

;

R t r

QR t r

t v

≤

≥

⎧⎪⇒ = ⎨⎪

0J r

r

0

0

0

0r R

t

r Rt

v−

≤ ≤

−≤

→

→

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10

/11

densidad volumétrica de carga en P:

4( )

4 ( ); R t r

R t≥

π⎪⎩

r 0

0tv ≤→

⎧r R−

∂τ: r, cte.

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

0

( )

3( )

0;( ; )

;e

R t r

QR t r

t≤

≥

⎧⎪ρ = ⎨⎪

r

0

0

0

0r R

t

r Rt

v−

≤ ≤

−≤

→

→( , ) et

t∂ρ

= −∂

∇⋅J r

Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) V. Corrientes eléctricasV. Corrientes eléctricas

® G

a®

Ga

9

3( )

4 ( ); R t r

R t≥

π⎪⎩

0

0tv ≤→ Pt∂