Capítulo 2

Introducción a la teoría de grupos

2.1 Introducción

Comencemos con un juego de cartas

Tomemos 9 cartas de un mismo palo numeradas del 1 al 9. Empezamos con ellas

ordenadas como se ve en la figura 2.1.

Figura 2.1: Cartas ordenadas

Ahora las separamos colocándolas alternativamente en dos montones boca

abajo. Después montamos uno sobre otro y “cortamos” todas las veces que quera-

mos y por donde queramos (“cortar” es pasar unas cuantas cartas de arriba a abajo

sin desordenarlas ni mezclarlas).

Después de hacer esto dos veces las cartas quedan bastante desordenadas, co-

mo puede verse en la figura 2.2.

61

Figura 2.2: Cartas desordenadas

Pero, para quedarnos más seguros del desorden, vamos a separarlas una tercera

vez y, por supuesto, “cortar” cuantas veces queramos.

Ahora miramos la carta de arriba

Figura 2.3: Cartas de arriba

y pasamos de arriba a abajo tantas cartas como indique el número (en el ejemplo

de la figura 2.3, es el 4). Entonces, enseñamos las cartas y ¡todo está ordenadocomo al principio!

¿Qué es lo que ocurre? ¿Dónde está la magia?

Lo que hemos visto es un juego de “magia” que no tiene ningún “truco”. Es

álgebra y nada más que álgebra lo que hay detrás de este juego. En las siguientes

secciones vamos a profundizar en el modelo algebraico que nos va a permitir

descubrir por qué se ordenan las cartas: El grupo de las permutaciones. Y

después volveremos al juego de cartas.

62

Permutaciones de un conjunto

En cada paso del juego anterior “separamos” o “cortamos” las cartas, es decir, las

cambiamos de orden. De esta manera estamos estableciendo una biyección entre

las posiciones originales en las que se encuentran las cartas, aquellas que ocupan

después de barajearlas. Por ejemplo, en la figura 2.2 se observa que la primera

carta se ha quedado en su lugar, pero la segunda ahora está la octava, la tercera

está la sexta, etcétera. La biyección correspondiente es:

1 → 12 → 83 → 64 → 45 → 26 → 97 → 78 → 59 → 3.

.

Permutación de un conjunto

Sea X un conjunto, se llama permutación de X a cualquier apli-

cación biyectiva σ : X → X .

El conjunto de todas las permutaciones de un conjuntoX se denota por Sim(X).Cuando trabajamos con permutaciones del conjunto {1, 2, · · · , n}, una manera

concisa de representar una permutación es a través de una matriz con dos filas,

la primera los números del 1 al n, y la segunda sus imágenes . En nuestro ejem-

plo, la primera fila indica la posición inicial y la segunda la nueva posición tras la

permutación.(

1 2 3 4 5 6 7 8 91 8 6 4 2 9 7 5 3

)

Pero Sim(X) es más que un conjunto. Las permutaciones son, en particular,

aplicaciones, de manera que dadas dos permutaciones π y σ podemos componer-

las para obtener una nueva permutación π ◦ σ. (Recuerda que hemos visto que la

composición de aplicaciones biyectivas es biyectiva)

La composición de permutaciones satisface las siguientes propiedades.

Proposición 2.1.1. Sea X un conjunto, se verifican las siguientes propiedades:

63

1. La composición de permutaciones de X es una permutación de X . Es decir,para cada par de permutaciones σ, τ ∈ Sim(X), se tiene que τ ◦ σ ∈Sim(X).

2. La aplicación identidad en X , que denotaremos por 1X es una permutación.Es decir, 1X ∈ Sim(X).

3. La inversa de cualquier permutación de X es una permutación de X . Esdecir, para cada σ ∈ Sim(X), su inversa σ−1 también está en Sim(X).

4. La composición de permutaciones verifica la propiedad asociativa. Es de-cir, dadas σ, τ y ρ ∈ Sim(X), tenemos que ρ ◦ (τ ◦ σ) = (ρ ◦ τ) ◦ σ.

PRUEBA: Ya hemos visto en el tema anterior que la composición de dos

aplicaciones biyectivas es también biyectiva, como ambas van de X en X , la

composición de dos permutaciones es una permutación (1). Sabemos también

que 1X es una aplicación biyectiva de X en X , luego 1X ∈ Sim(X) (2). Cada

aplicación biyectiva tiene una aplicación inversa que es también biyectiva, si σ es

una aplicación biyectiva de X en X entonces σ−1 : X → X es una permutación

(3). Por último, la composición de aplicaciones verifica la propiedad asociativa,

en particular la composición de permutaciones también la verifica (4). �

Sin duda nos hemos encontrado anteriormente con estas propiedades. Deten-

gámonos a pensar cuándo. Los conjuntos Z, Q, R y C tienen definidos de manera

natural dos operaciones, la suma y el producto. Con respecto a la suma, cada uno

de ellos satisface las propiedades de la Proposición 2.1.1. (Los números naturales

N no las hace ya que, por ejemplo, la inversa de 1 con respecto a la suma es −1,

que no pertenece a N).

Con respecto al producto, ninguno de estos conjunto satisface la tercera pro-

piedad de la Proposición 2.1.1, ya que el cero pertenece a todos ellos, pero el cero

no tiene inversa. Por otra parte, si quitamos el cero de algunos de estos conjuntos,

esto es, si consideramos Q∗ = Q \ {0}, R∗ = R \ {0} y C∗ = C \ {0}, entonces

se cumplen todas las propiedades de la Proposición 2.1.1. Por otra parte, en el ca-

so de Z junto con la operación de multiplicación, los único elementos que tienen

inversa son 1 y −1. La inversa de 2 es 1/2 que no pertenece a Z.

Una pregunta al lector, ¿por qué no consideramos las operaciones de resta y

división? ¿Satisfacen estas operaciones la propiedad asociativa?

Para un ejemplo de naturaleza más geométrica que satisfaga las propiedades

de la Proposición 2.1.1, el lector está invitado a verificar que el conjunto de las

simetrías de un cuadrado, (rotación de ángulo π2, simetría con respecto a las dia-

gonales, etc), junto con la operación de composición.

64

¿Qué es lo que ocurre? ¿Qué tienen en común estos ejemplos? Antes de

empezar a investigar estas preguntas, introducimos una nueva definición, que nos

evitará referirnos una y otra vez a la Proposicion 2.1.1.

Para esto, observemos que en todos los ejemplos anteriores, tenemos tanto un

conjunto G, como una operación (suma, producto, composición) entre sus ele-

mentos. Esto nos motiva a hacer la siguiente definición.

Operación

Una aplicación de G × G en G tal que a cada par ordenado

(a, b) ∈ G × G le asocia un único elemento a ⋆ b de G se de-

nomina operación.

Por ejemplo, en la discusión anterior, la operación considerada para Sim era

la composición de aplicaciones, para Z la suma y para Q∗ el producto.

En otros contextos es necesario trabajar con otros tipos de operaciones. Por

esta razón, con frecuencia se dice que la operación de grupo es binaria e interna.

En este caso, el adjetivo binario se refiere a que el conjunto de partida es un

producto cartesiano, y el adjetivo interno a que la aplicación se define entre G×Gy G. Por ejemplo, la multiplicación de un vector por un escalar es una operación

que no es interna.

Grupo

Un grupo es un par (G, ⋆), donde G es un conjunto y ⋆ es una

operación sobre G verificando las siguentes propiedades:

1. La operación es asociativa.

2. La operación tiene elemento neutro. Es decir, existe un

elemento e ∈ G tal que para todo x ∈ G se tiene que

x ⋆ e = e ⋆ x = x.

3. Cada elemento de G posee un simétrico. Es decir, para

cada x ∈ G existe un elemento x−1 ∈ G tal que x ⋆ x−1 =x−1 ⋆ x = e.

Una manera equivalente de presentar los resultados obtenidos en la Proposi-

ción 2.1.1 es entonces la siguiente.

65

El grupo simétrico

El conjunto Sim(X) de las permutaciones de un conjunto X , jun-

to con la composición de permutaciones, es un grupo.

Aprender matemáticas es un proceso activo. Cuando vemos una nueva defini-

ción es indispensable detenerse y pensar, buscar ejemplos, pensar en la motivación

detrás de ella. ¿Por qué se introduce? ¿Qué nos dice? ¿Qué caracteristicas com-

parten (o no comparten) los diferentes ejemplos que lo satisfacen?

Ejemplo 2.1.2. Hagamos una lista de algunos grupos que conocemos bien:

1. Z, Q, R y C son grupos con la suma. En este caso el elemento neutro es el

cero. El simétrico de un elemento a es su opuesto −a.

Es importante señalar esto porque en la definición de grupo se usa una nota-ción multiplicativa para el simétrico (el simétrico de x es x−1). Este debe

ser modificado naturalmente cuando la operación del grupo es la suma (el

simétrico de a es −a).

2. Q∗ = Q \ {0}, R∗ = R \ {0} y C∗ = C \ {0} son grupos con la multiplica-

ción.

3. El conjunto {−1, 1} con el producto es un grupo con dos elementos.

4. El conjunto de las matrices n×n, con elementos en un cuerpo k y determi-

nante no nulo, GL(n, k), es un grupo con la multiplicación de matrices.

5. Las simetrías de un poligono regular (triángulo, cuadrado, pentágono, etc),

junto con la operación de composición es un grupo.

Una ventaja de trabajar con la definición de grupos, es que cualquier propie-

dad que podamos deducir de la definición será válida en cada uno de los ejemplos

anteriores (y en cualquier otro grupo). Por ejemplo, algunas propiedades impor-

tantes que se deducen directamente de la definición de grupo son las siguientes:

Proposición 2.1.3. El elemento neutro de un grupo (G, ⋆) es único.

PRUEBA: Si e y e′ son elementos neutros de (G, ⋆), entonces se tiene:

e = e ⋆ e′ = e′,

donde la primera igualdad se tiene por ser e′ elemento neutro, y la segunda se

tiene por ser e elemento neutro. �

66

Proposición 2.1.4. En un grupo (G, ⋆), el simétrico de un elemento x ∈ G esúnico.

PRUEBA: Sea x ∈ G, y sean y, z elementos simétricos de x. Se tiene:

y = y ⋆ e = y ⋆ (x ⋆ z) = (y ⋆ x) ⋆ z = e ⋆ z = z.

�

En el capítulo 1 demostramos esta proposición para el ejemplo particular de

las aplicaciones biyectivas. Ahora vemos que la propiedad la comparten todos los

grupos. Gracias a este resultado, podemos denotar al simétrico de x por x−1 (o por

−x si estamos usando notación aditiva) sin ambigüedad, puesto que sólo hay un

elemento simétrico. Más aún, para comprobar que un elemento y es el simétrico

de un elemento x, no es necesario ver que x ⋆ y = e y que y ⋆ x = e; bastará con

comprobar una de estas dos condiciones:

Proposición 2.1.5. Si x, y son elementos de un grupo (G, ⋆) tales que x ⋆ y = e,entonces y = x−1 y x = y−1.

PRUEBA: A partir de x ⋆ y = e, si multiplicamos esta igualdad desde la

izquierda por x−1, obtenemos y = x−1. Y si la multiplicamos desde la derecha

por y−1, obtenemos x = y−1. �

Es imposible evitar preguntarse: ¿Qué sucede con la propiedad conmutativa?

Ya que estamos en esto, ¿Todos los grupos satisfacen la propiedad conmutativa?

La respuesta es un rotundo no, y esta es una observación muy importante. Por

ejemplo, la composición de permutaciones no verifica la propiedad conmutativa.

Ejemplo 2.1.6. Sea X = {1, 2, 3} y sean las permutaciones de X

σ :

(

1 2 32 1 3

)

y τ :

(

1 2 32 3 1

)

.

Es decir, σ es la permutación que intercambia los números 1 y 2, dejando 3 inva-

riante, y τ es la que lleva 1 en 2, 2 en 3 y 3 en 1.

Entonces las composiciones de σ y τ son

τ ◦ σ :

(

1 2 33 2 1

)

y σ ◦ τ :

(

1 2 31 3 2

)

.

Como son permutaciones distintas, esto demuestra que la composición de permu-

taciones no es conmutativa en general1.

De este ejemplo concluimos que si X tiene al menos tres elementos el grupo

Sim(X) no es conmutativo.

1“En general” quiere decir que no negamos la posibilidad de que existan pares de permutacio-

nes cuya composición sí conmute. Animamos al lector a buscar algún ejemplo de este hecho.

67

Grupo abeliano

Dado un grupo G, si la operación de grupo es conmutativa enton-

ces se dice que el grupo es abeliano o conmutativo.

¿Cuáles de los grupos que aparecen en el Ejemplo 2.1.3 son abelianos?

En esta breve introducción hemos observado que existen grupos finitos y gru-

pos infinitos. Por otra parte, que existen grupos conmutativos (abelianos) y grupos

no conmutativos. ¿Qué más podemos decir? La respuesta a esta pregunta es uno

de los capítulos más elegantes de las matemáticas, que empezaremos a estudiar

ahora.

2.2 Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn

Ciclos y trasposiciones

Sean X un conjunto y σ una permutación de Sim(X). Llamamos soporte de σ al

conjunto

sop(σ) = {x ∈ X | σ(x) 6= x}.

Ciclos y trasposiciones

Se dice que σ ∈ Sim(X) es un ciclo de longitud 0, o un 0-ciclo,

si es la identidad.

Se dice que σ ∈ Sim(X) es un ciclo de longitud r, o un r-ciclo(con r ≥ 2), si su soporte es un conjunto finito de r elementos

sop(σ) = {i1, i2, . . . , ir}

donde σ(i1) = i2, σ(i2) = i3, . . ., σ(ir−1) = ir y σ(ir) = i1.

Decimos que σ ∈ Sim(X) es una trasposición si es un ciclo de

longitud 2.

Nota 2.2.1. Sea σ ∈ Sim(X) un ciclo tal que sop(σ) = {i1, i2, . . . , ir} donde

σ(i1) = i2, σ(i2) = i3, . . ., σ(ir) = i1. Entonces escribiremos σ de la siguiente

forma

σ = (i1i2 . . . ir)

68

Figura 2.4: Ciclo

sabiendo que si x ∈ X no aparece en la lista entonces σ(x) = x.

Obsérvese que con esta notación tenemos diferentes representaciones de un

mismo ciclo:

σ = (i1i2 . . . ir) = (i2i3 . . . iri1) = · · · = (iri1 . . . ir−1).

Siguiendo esta notación podemos escribir el ciclo identidad como

1X = (),

pues sop(1X) = ∅ y todos los elementos que no aparecen entre los paréntesis (o

sea, todos los elementos de X) quedan invariantes.

Ejemplo 2.2.2. Veamos algunos ejemplos:

1. La permutación del conjunto {1, 2, 3, 4, 5} definida por

σ :

(

1 2 3 4 52 5 3 4 1

)

es el 3-ciclo (1 2 5).

2. La permutación del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} definida por

σ :

(

1 2 3 4 5 6 7 86 1 5 8 7 2 3 4

)

no es un ciclo. Sin embargo τ = (1 6 2) ◦ (3 5 7) ◦ (4 8) es composición

de ciclos, veremos más adelante que este es un hecho general para permu-

taciones de conjuntos finitos.

69

Nota 2.2.3. En adelante, siempre que no haya posibilidad de equívoco, prescin-

diremos en un grupo (G, ⋆) del símbolo “⋆” para la operación de dos (o más)

elementos. Escribiremos por yuxtaposición xy en lugar de x ⋆ y.

En particular, en el caso de permutaciones, escribiremos τσ en lugar de τ ◦ σ.

Permutaciones disjuntas

Dos permutaciones σ, τ ∈ Sim(X) se dicen disjuntas si sus so-

portes son disjuntos.

Permutaciones disjuntas y conmutatividad

Si σ, τ ∈ Sim(X) son permutaciones disjuntas entonces

τσ = στ.

PRUEBA: Dado x ∈ X tenemos que demostrar que τσ(x) = στ(x). Si

x /∈ sop(σ) ∪ sop(τ) entonces

τσ(x) = x = στ(x).

Si x ∈ sop(τ) entonces x /∈ sop(σ), luego τσ(x) = τ(x). Por otra parte, como

τ(x) 6= x y τ es biyectiva, tenemos τ(τ(x)) 6= τ(x). Es decir, τ(x) ∈ sop(τ). Por

tanto, τ(x) 6∈ sop(σ), lo que implica στ(x) = τ(x). Luego

τσ(x) = τ(x) = στ(x).

Análogamente, si x ∈ sop(σ) se demuestra que

στ(x) = σ(x) = τσ(x).

�

El recíproco no es cierto, es decir, si dos permutaciones conmutan no tienen

por qué ser disjuntas. Veámoslo con un ejemplo.

Ejemplo 2.2.4. Sea X = {1, 2, 3, 4, 5} y sean las permutaciones de Sim(X)

σ :

(

1 2 3 4 53 4 5 2 1

)

y τ :

(

1 2 3 4 55 2 1 4 3

)

.

70

Ambas permutaciones no son disjuntas, pues sop(σ) ∩ sop(τ) = {1, 3, 5}. Sin

embargo, no es difícil comprobar que

τσ = στ :

(

1 2 3 4 51 4 3 2 5

)

.

Nota 2.2.5. De igual manera que hemos decidido usar la yuxtaposición, xy, pa-

ra expresar la operación de dos elementos de un grupo (G, ⋆), es natural definir

potencias de elementos de G. Sean x ∈ G e i un entero no negativo. La i-ésima

potencia de x, xi, se define mediante la siguiente regla recursiva:

x0 = e, xi = xi−1x.

Esta definición la podemos extender a potencias negativas poniendo

x−i = (x−1)i.

En adelante se usará esta notación también para permutaciones.

Aprovecharemos que estamos hablando de potencias de permutaciones para

definir, en general, el concepto de orden de un elemento de un grupo.

Orden de un elemento

Sea (G, ⋆) un grupo.

Diremos que un elemento x ∈ G tiene orden finito si existe un

número entero positivo m tal que xm = e. En este caso, el or-den de x, que denotaremos o(x), es el menor entero positivo que

cumple esta propiedad.

Diremos que x ∈ G tiene orden infinito si xm 6= e para todo

m > 0.

Proposición 2.2.6. Un elemento x ∈ G tiene orden infinito si y sólo si todas suspotencias xk con k ∈ Z son distintas.

PRUEBA: Si x tiene dos potencias iguales, digamos xr = xs con r < s,

entonces podemos multiplicar esta igualdad por x−s (desde la izquierda o desde

la derecha) y obtendremos xr−s = e, por lo que x tendrá orden finito. Recípro-

camente, si todas sus potencias son distintas, entonces xm 6= x0 = e para todo

m > 0, luego x tendrá orden infinito. �

El orden de un elemento satisface las siguientes propiedades cuya demostra-

ción dejaremos como ejercicio:

71

Proposición 2.2.7. Sean G un grupo y x ∈ G. Se tienen las siguientes propieda-des:

1. o(x) = 1 si y solamente si x = e.

2. Si x ∈ G tiene orden finito, entonces x−1 también y o(x) = o(x−1).

3. Si x ∈ G tiene orden infinito, x−1 tiene orden infinito.

4. Si G es finito, todo elemento de G tiene orden finito.

5. Si o(x) = m y xn = e, entonces m es un divisor de n. Dicho de otra forma,las potencias de x iguales a e son exactamente las de la forma xkm conk ∈ Z.

En el caso de permutaciones, es fácil comprobar que el orden de un ciclo

coincide con su longitud.

Orden de un ciclo

El orden de un ciclo de longitud m ≥ 1 es m.

El siguiente resultado será muy importante para el estudio de las permutacio-

nes de conjuntos finitos.

Expresión en ciclos disjuntos

Toda permutación con soporte finito puede expresarse como pro-

ducto de ciclos disjuntos, además esta descomposición es única

salvo el orden de los ciclos.

PRUEBA: Sea σ ∈ Sim(X) una permutación. Definimos la órbita de un

elemento x ∈ X respecto de σ como

x = {σn(x);n ≥ 0}.

Si x /∈ sop(σ), entonces x = {x}. Si x ∈ sop(σ), entonces x ⊂ sop(σ) es un

conjunto finito. Es decir, existe un (primer) m > 0 tal que σm(x) = x y a partir

de ahí los elementos σn(x) se van repitiendo.

72

Ahora podemos definir la siguiente relación en X: x está relacionado con y si

y ∈ x. Se demuestra fácilmente que ésta es una relación de equivalencia, y que

las clases de equivalencia son las órbitas de los elementos de X .

Observamos ahora que cada clase de equivalencia, cada órbita x, corresponde

a un ciclo que es, bien () si x = {x}, bien (x σ(x) · · ·σm−1(x)) si m > 1 es el

menor tal que σm(x) = x. Estos ciclos son disjuntos, pues son clases de equiva-

lencia. Además, si σ 6= (), debe ser la composición de estos ciclos disjuntos no

triviales. El número de ciclos de orden > 1 es finito, porque el soporte de σ es

finito.

Por otra parte, si descomponemos σ como producto de ciclos disjuntos, cada

ciclo es una órbita, luego es una clase de equivalencia para la relación anterior. Y

deben estar todas las órbitas, o el producto de los ciclos no sería igual a σ. Luego

esta descomposición debe coincidir con la descomposición anterior, que es por

tanto única. �

Ejemplo 2.2.8. En X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} consideremos la permutación

σ :

(

1 2 3 4 5 6 73 6 5 1 4 2 7

)

.

Calculando las órbitas de los elementos de X se obtiene:

1 = {1, 3, 5, 4} = 3 = 5 = 4 (1354),

2 = {2, 6} = 6 (26),

7 = {7} ().

La expresión de σ como producto de ciclos disjuntos es

σ = (1354)(26).

Corolario 2.2.9. Sea X un conjunto con al menos dos elementos. Toda permuta-ción de Sim(X) con soporte finito puede expresarse como producto de trasposi-ciones.

PRUEBA: La permutación identidad se puede escribir como () = ττ , siendo

τ cualquier trasposición. Si la permutación no es la identidad, dado que toda per-

mutación con soporte finito puede expresarse como producto de ciclos disjuntos,

es suficiente demostrar que los ciclos de longitud ≥ 2 pueden expresarse como

producto de trasposiciones. Es fácil comprobar que se satisface la siguiente igual-

dad:

(i1i2 . . . ir−1ir) = (i1i2)(i2i3) · · · (ir−1ir).

�

73

Ejemplo 2.2.10. En el ejemplo anterior, donde σ = (1354)(26), se tiene que

(1354) = (13)(35)(54).

Luego σ = (13)(35)(54)(26). Aprovechamos este ejemplo para comprobar ade-

más que la descomposición en producto de trasposiciones no es única, pues

también se verifica

σ = (14)(23)(15)(23)(13)(26).

Corolario 2.2.11. Toda permutación con soporte finito tiene orden finito.

PRUEBA: Sea σ ∈ Sim(X) una permutación con soporte finito. Si σ = () su

orden es 1. Si σ 6= () se descompone como producto de r ≥ 1 ciclos disjuntos

σ = σr · · ·σ1.

Cada ciclo σi tiene orden finito ni. Además, como el producto de ciclos disjuntos

es conmutativo

σp = (σr · · ·σ1)p = σp

r · · ·σp1 .

Sea n =∏r

i=1ni, entonces

σn = σnr · · ·σ

n1 = ().

Luego el orden de σ es finito. �

Nota 2.2.12. ¡Ojo! En la demostración anterior no hemos probado que el orden

de σ sea el producto de los órdenes de los ciclos en los que se descompone. De

hecho es un buen ejercicio para el próximo tema (El anillo de los números enteros)

demostrar que el orden de σ es el mínimo común múltiplo de los ni.

El grupo Sn

En este apartado vamos a estudiar las permutaciones de conjuntos finitos. Sea

entonces el conjunto X = {1, 2, . . . , n}, y denotemos por Sn al grupo Sim(X) de

permutaciones de estos n elementos.

Orden de un grupo

Sea (G, ⋆) un grupo. Definimos su orden, que notaremos por |G|,como el cardinal del conjunto G.

74

Orden de Sn

El orden del grupo Sn es |Sn| = n!

PRUEBA: Sea σ una permutación cualquiera de Sn, podemos escribir

σ :

(

1 2 · · · ni1 i2 · · · in

)

.

Hay n posibles elecciones para i1, pero sólo n − 1 posibilidades para i2, pues i1no puede ser elegido de nuevo. Fijados i1 e i2 hay n− 2 posibles elecciones para

i3, . . . y así sucesivamente hasta llegar a in, cuya elección ya está fijada por la de

los elementos anteriores. Luego contando todas las posibilidades el número de

permutaciones distintas de Sn es

n(n− 1) · · ·1 = n!

�

Ejemplo 2.2.13. Siguiendo el procedimiento anterior podemos dar la lista de to-

das las permutaciones de S3:(

1 2 31 2 3

)

,

(

1 2 31 3 2

)

,

(

1 2 32 1 3

)

,

(

1 2 32 3 1

)

,

(

1 2 33 2 1

)

,

(

1 2 33 1 2

)

.

Expresadas como productos de ciclos las permutaciones de S3 son

S3 = {(), (23), (12), (123), (13), (132)}.

Dado que X = {1, 2, . . . , n} es un conjunto finito, todas las permutaciones de

Sn tienen soporte finito y los resultados enunciados anteriormente se aplican a Sn,

es decir,

Descomposición en ciclos disjuntos y trasposiciones

Toda permutación de Sn se descompone de manera única, salvo

orden, como producto conmutativo de ciclos disjuntos. Además

toda permutación de Sn se puede expresar como producto de tras-

posiciones, esta vez no de manera única.

75

Explicación del juego inicial

Llegados a este punto podemos explicar cuál es la “magia” del juego de cartas.

Teníamos cartas del mismo palo numeradas del 1 al 9 y las vamos “desordenan-

do” hasta llegar a la posición inicial. Se trata por tanto de una combinación de

permutaciones de S9 que, “mágicamente”, llegan a la identidad.

La separación de cartas es la siguiente permutación2:

σ :

(

1 2 3 4 5 6 7 8 99 4 8 3 7 2 6 1 5

)

.

Que es σ = (195762438) un ciclo de longitud 9. Si no cortáramos, separar dos

veces es

σ2 = (156489723).

Y separar tres veces

σ3 = (174)(285)(396).

κ :

(

1 2 3 4 5 6 7 8 92 3 4 5 6 7 8 9 1

)

.

Que en forma de ciclo es κ = (123456789). Cortar dos cartas es igual a cortar

una carta y luego otra, es decir,

κ2 = (135792468).

Y cortar varias cartas es:

κ3 = (147)(258)(369), κ4 = (159483726), κ5 = (162738495),

κ6 = (174)(285)(396), κ7 = (186429753), κ8 = (198765432) y κ9 = ().

Primer “hechizo mágico”: Separar tres veces seguidas es igual a cortar seis

cartas3.

σ3 = κ6.

Sabemos que en el caso de las permutaciones el orden de los factores sí altera

el producto. Cortar y separar no es lo mismo que separar y cortar:

σκ = (147)(285),

2En realidad hay dos posibles separaciones, pues nosotros decidimos qué montón ponemos

encima del otro, habría que estudiar varios casos que serían análogos a éste y que concluyen de

igual forma.3Es aquí donde sí tiene influencia relativa el hecho de poder decidir qué montón ponemos

encima del otro. En cualquier caso, hagamos la elección que hagamos, separar tres veces es igual

a cortar varias cartas.

76

κσ = (258)(396).

Si embargo, cortar siete cartas y separar es

σκ7 = (195762438)(186429753) = (258)(396) = κσ.

Segundo “hechizo mágico”: Cortar siete cartas y separar es lo mismo que separar

y después cortar una carta4.

κσ = σκ7.

Por lo tanto, si bien es cierto que la composición no es conmutativa, sí tenemos

ciertas reglas que nos permiten cambiar de posición “separar” y “cortar”. En

efecto:

κ2σ = κ(κσ) = κσκ7 = (κσ)κ7 = σκ7κ7 = σκ5.

κ3σ = κ(κ2σ) = κσκ5 = (κσ)κ5 = σκ7κ5 = σκ3.

κ4σ = κ(κ3σ) = κσκ3 = (κσ)κ3 = σκ7κ3 = σκ.

κ5σ = · · · = σκ8.

κ6σ = · · · = σκ6.

κ7σ = · · · = σκ4.

κ8σ = · · · = σκ2.

Ya tenemos las herramientas y “hechizos” necesarios para la explicación del

juego. Inicialmente tenemos las 9 cartas ordenadas y lo que hacemos en el juego

es separar las cartas, cortar varias veces, separar otra vez las cartas, cortar varias

veces y separar por tercera vez las cartas y cortar varias veces. Esto es:

(κrσ)(κqσ)(κpσ) = (σκr′)(σκq′)(σκp′) = σ(κr′σ)(κq′σ)κp′ =

= σ(σκr′′)(σκq′′)κp′ = σ2(κr′′σ)κq′′+p′ = σ2(σκr′′′)κq′′+p′ = σ3κr′′′+q′′+p′ =

= κ6κr′′′+q′′+p′ = κ6+r′′′+q′′+p′.

Por tanto, después de realizar el juego lo que nos queda es un simple corte. Al mi-

rar la primera carta sabemos cuántas cartas tenemos que cortar para dejar nuestras

nueve cartas ordenadas como al principio.

4Al igual que anteriormente, si al separar elegimos poner otro montón encima, siempre obten-

dremos una relación parecida en la que cortar varias cartas y separar equivale a separar y después

cortar una carta.

77

Permutaciones pares e impares

Si σ es una permutación de Sn entonces σ sustituye el orden natural de los enteros

1, 2, . . . , n por el nuevo orden σ(1), σ(2), . . . , σ(n). Así que la acción de σ puede

causar inversiones del orden natural.

Inversiones en una permutación

Se dice que un par (i, j) es una inversión de σ ∈ Sn, si

i < j y σ(i) > σ(j).

Signo de una permutación

Si σ ∈ Sn tiene un número par de inversiones, diremos que σ es

par, y que signo(σ) = 1.

Si σ ∈ Sn tiene un número impar de inversiones, diremos que σes impar, y que signo(σ) = −1.

Ejemplo 2.2.14. Las permutaciones pares de S3 son (), (123) y (132), mientras

que las impares son (12), (13) y (23).

Para decidir si una permutación (no demasiado grande) es par o impar es útil

hacer un diagrama de cruces. Veamos esto con un ejemplo:

Ejemplo 2.2.15. ¿Es la permutación

σ :

(

1 2 3 4 5 6 76 3 1 5 4 7 2

)

par o impar?

Simplemente ponemos en dos filas los números del 1 al 7, y unimos el número

i de la fila superior al número σ(i) de la fila inferior, teniendo cuidado de evitar

intersecciones múltiples o innecesarias. Un cruce indica una inversión del orden

natural.

Hay 11 cruces, luego signo(σ) = −1 y σ es una permutación impar.

El próximo resultado es es una propiedad significativa de las trasposiciones.

Proposición 2.2.16. Las trasposiciones son siempre impares.

78

Figura 2.5: Inversiones de σ

PRUEBA: Consideremos el diagrama de cruces (figura 2.6) para la trasposi-

ción τ = (ij) donde i < j. Contando obtenemos 2(j − i − 1) + 1 cruces, que

siempre es impar. Luego τ = (ij) es una permutación impar. �

Figura 2.6: Diagrama de cruces de τ = (ij)

Las siguientes son propiedades básicas de la función signo.

Proposición 2.2.17. Sean σ, τ ∈ Sn. Se satisfacen las siguientes propiedades:

1. signo(στ) = signo(σ) signo(τ).

2. signo(σ−1) = signo(σ).

PRUEBA:

1. Consideremos el diagrama que se obtiene dibujando el diagrama de cruces

de τ encima del de σ. Este diagrama representa a la permutación στ , aunque

hay pares de líneas que se pueden cruzar dos veces (una en τ y otra en σ).

Un par (i, j) será una inversión de στ si y sólo si las líneas correspondientes

se cruzan sólo en σ o sólo en τ , pero no en ambas. Por tanto, para obtener el

número de inversiones de στ , sólo hay que sumar los cruces del diagrama

de σ y los cruces del diagrama de τ , y a continuación restar un número par

de cruces (los que aparecen en los dos). Por tanto, el número de inversiones

de στ tiene la misma paridad que la suma del número de inversiones de σy el número de inversiones de τ . Así, στ es par si σ y τ son ambos pares

79

o ambos impares, y es impar en caso contrario. Esto equivale a decir que

signo(στ) = signo(σ) signo(τ).

2. Esto se deduce de la propiedad anterior, tomando τ = σ−1, aunque se puede

ver directamente: los diagramas de cruces de σ y σ−1 son simétricos, luego

el número de cruces es el mismo en ambos diagramas. Por tanto σ y σ−1

tienen el mismo número de inversiones, y por ello el mismo signo.

�

Corolario 2.2.18. Una permutación σ ∈ Sn es par (impar) si y sólo si es productode un número par (impar) de trasposiciones.

PRUEBA: En efecto, si σ = τ1 · · · τr donde cada τi es una trasposición, enton-

ces

signo(σ) =r∏

i=1

signo(τi) = (−1)r.

�

Finalizamos esta sección con la fórmula de Cauchy que relaciona el signo de

una permutación con su descomposición en ciclos disjuntos.

Fórmula de Cauchy

Sea σ ∈ Sn el producto de c ciclos disjuntos entonces

signo(σ) = (−1)m−c,

siendo m = #(sop(σ)) el número de elementos del soporte de σ.

PRUEBA: Sea σ = σ1 · · ·σc la descomposición de σ en ciclos disjuntos,

supongamos que cada σj tiene longitud ℓj . Sabemos que σj es producto de ℓj − 1trasposiciones. Luego signo(σj) = (−1)ℓj−1 y

signo(σ) =

c∏

j=1

signo(σj) =

c∏

j=1

(−1)ℓj−1 = (−1)m−c,

pues∑c

j=1ℓj = m. �

Nota 2.2.19. En particular, el signo de un ciclo de longitud m es (−1)m−1. Luego

la paridad del ciclo está cambiada respecto de su longitud: un ciclo de longitudpar es impar y un ciclo de longitud impar es par.

80

2.3 Subgrupos. Teorema de Lagrange

Subgrupo

Sea (G, ⋆) un grupo. Un subconjunto H de G se dice que es un

subgrupo de (G, ⋆) si (H, ⋆) es un grupo. Es decir, si el conjunto

H , y la operación definida en G, cumplen las propiedades de la

definición de grupo.

Un subgrupo es, por tanto, un grupo dentro de otro grupo con la

misma operación.

Ejemplo 2.3.1. Veamos algunos ejemplos de subgrupos:

1. Vimos en el ejemplo 2.1.2 que los conjuntos de números Z,Q,R y C son

grupos abelianos con la suma. De hecho es una cadena de subgrupos Z ⊂Q ⊂ R ⊂ C.

2. Lo mismo ocurre con los grupos Q∗ = Q\{0}, R∗ = R\{0} y C∗ = C\{0}con la multiplicación. Es también una cadena de subgrupos Q∗ ⊂ R∗ ⊂ C∗.

3. Sabemos que GL(n, k), el conjunto de las matrices n × n, con elementos

en un cuerpo k y determinante no nulo, es un grupo con la multiplicación

de matrices. Sea SL(n, k) el subconjunto de GL(n, k) formado por las ma-

trices con determinante igual a 1. Comprobemos que SL(n, k) es un sub-

grupo de GL(n, k). En efecto, si A,B ∈ SL(n, k) entonces det(AB) =det(A) det(B) = 1, luego AB ∈ SL(n, k). La matriz identidad, In tie-

ne determinante igual a 1, luego pertenece a SL(n, k). Si A ∈ SL(n, k),como det(A−1) = det(A)−1 se tiene que A−1 ∈ SL(n, k). Por último, co-

mo el producto en GL(n, k) verifica la propiedad asociativa, en particular,

también la satisface en SL(n, k). Así que la multiplicación de matrices en

SL(n, k) es una operación asociativa, con elemento neutro y cada matriz de

SL(n, k) tiene su inversa en el conjunto, luego es un grupo.

4. El subconjunto de S4, C = {(), (1234), (13)(24), (1432)}, es un subgrupo

con la composición de permutaciones. Para comprobar que se satisfacen

todas las propiedades de grupo, vamos a hacer la tabla de multiplicar de los

elementos de C:

81

◦ () (1234) (13)(24) (1432)

() () (1234) (13)(24) (1432)(1234) (1234) (13)(24) (1432) ()(13)(24) (13)(24) (1432) () (1234)(1432) (1432) () (1234) (13)(24)

En la tabla se observa que la multiplicación es una operación de C×C → C,

que está el elemento neutro () y que cada elemento tiene un simétrico. Ade-

más, el producto en C es asociativo, pues lo es en S4. Luego es subgrupo. El

hecho de que la tabla sea simétrica nos permite deducir que en este caso el

subgrupo C es conmutativo. Se da así la circunstancia de que un subgrupo

de un grupo no conmutativo, como S4, puede ser conmutativo.

Nota 2.3.2. Si G es un grupo y H ⊂ G es finito, para comprobar que es subgrupo

es suficiente hacer la tabla de multiplicar y razonar como en el ejemplo anterior.

Si H es infinito hay que demostrar que la operación entre elementos de H está

bien definida, que el elemento neutro pertenece a H y que el simétrico de cada

elemento de H está también en H . En cualquier caso, la propiedad asociativa se

“hereda” de G.

El siguiente resultado nos permite “ahorrarnos” verificar alguna propiedad a

la hora de demostrar que un subconjunto es subgrupo.

Proposición 2.3.3. Sean (G, ⋆) un grupo y H ⊂ G un subconjunto no vacío. Lascondiciones siguientes son equivalentes:

(1) H es un subgrupo de (G, ⋆).

(2) Para cada par de elementos x, y ∈ H , tenemos que xy−1 ∈ H .

PRUEBA: Veamos primero (1) ⇒ (2). Sean x, y ∈ H . Como H es subgrupo,

contiene los simétricos de todos sus elementos. En particular y−1 ∈ H . De nuevo

como H es subgrupo la operación esta bien definida, de donde xy−1 ∈ H , como

queríamos.

Probemos ahora (2) ⇒ (1). Como H ⊂ G, los elementos de H verifican la

propiedad asociativa. Como H es no vacío, sea a ∈ H . Aplicando (2) con x = ae y = a, obtenemos

aa−1 = e ∈ H,

luego H tiene un elemento neutro (el mismo que G).

Si a ∈ H , aplicando de nuevo (2) con x = e e y = a, tenemos

ea−1 = a−1 ∈ H,

82

luego H contiene los simétricos de todos sus elementos.

Sólo falta demostrar que la operación de G es una operación en H . Sean

a, b ∈ H . Aplicando (2) esta vez con x = a e y = b−1 se tiene

a(b−1)−1 = ab ∈ H.

Luego H es subgrupo de G. �

Nota 2.3.4. Sea (G, ⋆) un grupo y sea x = x1 · · ·xn un elemento de G, entonces

el simétrico de x es

x−1 = x−1

n · · ·x−1

1 .

Así, si σ = ρ1 · · · ρn es una permutación, entonces su inversa es

σ−1 = ρ−1

n · · ·ρ−1

1 .

Por otro lado, como el inverso de una trasposición es la misma trasposición, si

δ = τ1 · · · τm es una permutación producto de trasposiciones, su inversa es

δ−1 = τm · · · τ1.

El grupo alternado An

El conjunto An de las permutaciones pares de Sn es un subgrupo

llamado grupo alternado.

PRUEBA: Desde luego () es una permutación par, luego An es no vacío.

Si σ = τ1 · · · τ2r y ρ = π1 · · ·π2s son permutaciones pares, donde τi y πj son

trasposiciones, entonces

σρ−1 = τ1 · · · τ2rπ2s · · ·π1

es también una permutación par.

Luego por la proposición 2.3.3 se concluye que An es un subgrupo de Sn. �

Proposición 2.3.5. SeaH ∈ Sn un subgrupo que tiene alguna permutación impar,entonces H posee tantas permutaciones pares como impares.

PRUEBA: Sean P e I los subconjuntos de H formados por las permutaciones

pares e impares, respectivamente. Sea ρ ∈ H una permutación impar. Considere-

mos la aplicación

ϕ : P → Iσ 7→ ρσ.

83

Efectivamente ϕ es una aplicación bien definida, pues si σ es una permutación

par, como ρ es impar, el producto ρσ es también impar.

Si ϕ(σ) = ϕ(τ) entonces ρσ = ρτ , multiplicando desde la izquierda por ρ−1

obtenemos σ = τ . Luego ϕ es una aplicación inyectiva.

Por otro lado, si σ ∈ I , como ρ−1 es impar, entonces ρ−1σ ∈ P y además

ϕ(ρ−1σ) = ρρ−1σ = σ. Luego ϕ es sobreyectiva.

Por tanto la aplicación ϕ es biyectiva y hay tantas permutaciones pares como

impares en H . �

Corolario 2.3.6. Si n ≥ 2, el número de elementos de An es |An| = n!/2, esdecir, en Sn hay tantas permutaciones pares como impares.

PRUEBA: Sn es un subgrupo de Sn que, como n ≥ 2, contiene a la permuta-

ción impar (12). Luego podemos aplicar la proposición anterior para deducir que

hay tantas permutaciones pares como impares. �

Subgrupo generado

Sean (G, ⋆) un grupo y A ⊂ G un subconjunto no vacío. Sea

A−1 = {x−1 ∈ G | x ∈ A} el conjunto de los elementos simé-

tricos a los de A. Entonces el conjunto que se obtiene al operar

sucesiones arbitrarias de elementos de A y A−1,

〈A〉 = {x1 · · ·xn | xi ∈ A ∪A−1, n ≥ 1},

es un subgrupo de G llamado subgrupo generado por A.

PRUEBA: Como A 6= ∅, entonces 〈A〉 también es no vacío.

Por otro lado, sean x = x1 · · ·xn e y = y1 · · · ym dos elementos de 〈A〉, es

decir, tales que xi, yj ∈ A ∪ A−1. Es evidente que cada y−1

j también pertenece a

A ∪ A−1. Luego

xy−1 = (x1 · · ·xn)(y1 · · · ym)−1 = x1 · · ·xny

−1

m · · · y−1

1

es un elemento de 〈A〉. �

Ejemplo 2.3.7. En el grupo S4 calcular todos los elementos del subgrupo H =〈(124), (12)〉. Hay que ir operando los elementos (123), (12) y sus inversos, ad-

juntando a la lista los nuevos elementos que se obtengan. Hasta estar seguros de

haberlos encontrado todos. Una buena forma de hacer esto es ir haciendo la tabla

de multiplicar del conjunto, hasta que no se incorpore ningún nuevo elemento:

84

◦ () (124) (142) (12) (14) (24)

() () (124) (142) (12) (14) (24)(124) (124) (142) () (14) (24) (12)(142) (142) () (124) (24) (12) (14)(12) (12) (24) (14) () (142) (124)(14) (14) (12) (24) (124) () (142)(24) (24) (14) (12) (142) (124) ()

En este caso H = {(), (124), (142), (12), (14), (24)}.

Claro que este método es operativo si el grupo no es demasiado grande. Por

ejemplo, si calculamos los elementos de 〈(123), (234)〉, obtenemos el grupo al-

ternado A4. Este grupo tiene 12 elementos, como hemos visto, luego su tabla de

multiplicar tiene ¡144 entradas! Sin embargo, usando las propiedades que cono-

cemos de permutaciones podemos ahorrar algunos cálculos. En este último caso

sabemos que las permutaciones (123) y (234) son pares, así que lo serán tam-

bién todas las permutaciones que calculemos a partir de ellas, esto quiere decir

que el grupo 〈(123), (234)〉 tiene como mucho 12 elementos. Así que en cuanto

obtengamos 12 distintos ya sabemos que hemos terminado.

Otra propiedad que podemos usar si es pertinente, aunque en este último ejem-

plo no, es que sabemos que si un grupo tiene elementos impares entonces tiene la

misma cantidad de pares que de impares.

Grupo cíclico

Se dice que un grupo G es cíclico si existe a ∈ G tal que

G = 〈a〉 = 〈{a}〉 = {am | m ∈ Z}.

Ejemplo 2.3.8. El grupo S3 no es cíclico, pues no existe ninguna permutación

que genere todo el grupo. El grupo alternado A3 = {(), (123), (132)} es cíclico,

pues A3 = 〈(123)〉 = 〈(132)〉.De hecho, para comprobar si un grupo finito de orden m es o no cíclico, hay

que verificar si existe o no en el grupo algún elemento de orden m. En S3 no hay

elementos de orden 6 mientras que en A3 hay un par de elementos de orden 3,

El grupo de los enteros con la suma, (Z,+), es cíclico infinito, pues Z = 〈1〉 =〈−1〉.

El teorema de Lagrange

Para finalizar vamos a demostrar el teorema de Lagrange, que también puede ser

de utilidad a la hora de calcular los elementos de un subgrupo de Sn, pues acota

85

los posibles órdenes de los subgrupos de un grupo finito. Si G es un grupo finito

el teorema dice que el orden de cualquier subgrupo de G divide al orden de G.

Definición 2.3.9. Sean G un grupo y H ⊂ G un subgrupo. Sobre G definimos la

relación ∼H de la manera siguiente: Dados x, y ∈ G,

x ∼H y ⇔ x−1y ∈ H.

Proposición 2.3.10. En las condiciones de la definición anterior, las relación ∼H

es de equivalencia.

PRUEBA: Se comprueba que la relación ∼H verifica las siguientes propieda-

des:

1. Reflexiva: Para cada elemento x ∈ G, x ∼H x ya que x−1x = e ∈ H .

2. Simétrica: Dados x, y ∈ G, x ∼H y implica que y ∼H x, ya que y−1x =(x−1y)−1 ∈ H .

3. Transitiva: Dados x, y, z ∈ G si se tiene que x ∼H y que y ∼H z, entonces

se tiene que x ∼H z. Esto se debe a que x−1z = (x−1y)(y−1z) ∈ H .

�

Nota 2.3.11. Lo usual es notar al conjunto cociente de G por la relación de equi-

valencia ∼H como

G/H := G/ ∼H .

Más adelante veremos que para algunos subgrupos H (los subgrupos normales),

la operación ⋆ de G induce una operación ⋆ que dota al conjunto cociente G/Hde estructura de grupo.

Proposición 2.3.12. Sean G un grupo y x ∈ G. El conjunto

xH = {xh | h ∈ H}

es la clase de equivalencia de x para la relación ∼H .

PRUEBA: Sea x ∈ G y llamemos x a su clase de equivalencia por ∼H , es

decir,

x = {y ∈ G | x ∼H y} = {y ∈ G | x−1y ∈ H}.

Probaremos por doble inclusión que x = xH . Si y ∈ x, entonces x−1y ∈ H ,

es decir, existe h ∈ H tal que x−1y = h, de donde

y = xh ∈ xH.

86

Si y ∈ xH , existe h ∈ H tal que y = xh, de donde

x−1y = h ∈ H ⇒ x ∼H y.

�

Nota 2.3.13. Las clases de equivalencia para ∼H , de la forma xH , se llaman

clases a izquierda. Observemos que podríamos haber definido otra relación de

equivalencia H∼ de la siguiente forma:

xH∼y ⇔ yx−1 ∈ H.

En este caso las clases de equivalencia son de la forma Hx, con x ∈ G, y se

llaman clases a derecha. En principio, las clases a izquierda no tienen por qué

coincidir con las clases a la derecha (salvo en el caso evidente 1H = H1 = H).

Cuando coinciden, se dice que el grupo H es normal: esto se estudiará al final de

este tema.

Índice de un subgrupo

Dado un grupo G y un subgrupo H ⊂ G, el índice de H en G,

denotado |G : H|, es el número de clases de equivalencia, en G,

para la relación ∼H . Es decir:

|G : H| = #(G/H)

Teorema de Lagrange

Si G es un grupo finito y H ⊂ G es un subgrupo, entonces |H|divide a |G|.

PRUEBA: Consideremos la relación ∼H sobre G. Como G es finito, habrá só-

lo un número finito de clases de equivalencia distintas. Sean éstas a1H, . . . , arH .

Como G es unión disjunta de estas clases, será

|G| = #(a1H) + · · ·+#(arH).

87

Sea H = {h1, . . . , hn}. Para todo i = 1, . . . , r, tendremos aiH = {aih1, . . . , aihn}.

Estos elementos son todos distintos, ya que si aihj = aihl, multiplicando desde la

izquierda por el simétrico de ai se obtiene hj = hl. Por tanto #(aiH) = n = |H|para todo i = 1, . . . , r. Luego |G| = r · n = r · |H|. �

Hemos visto que si G es un grupo finito y H es un subgrupo, las clases de

equivalencia aH tienen todas el mismo tamaño. Por tanto, tenemos:

Índice de un subgrupo en un grupo finito

Si G es un grupo finito y H ⊂ G es un subgrupo, entonces

|G : H| =|G|

|H|

Corolario 2.3.14. Sea G un grupo finito y sea x ∈ G, entonces el orden de xdivide al orden de G.

PRUEBA: El orden del elemento x coincide con el del subgrupo 〈x〉, que a su

vez divide al de G. �

Del siguiente resultado dejamos la demostración como ejercicio.

Corolario 2.3.15. Si G es un grupo cuyo orden es un número primo, entonces Ges cíclico.

Ejemplo 2.3.16. Volviendo al ejemplo en el que el subgrupo de S4, 〈(123), (234)〉,resulta ser A4, el teorema de Lagrange nos evita algún cálculo. Conforme van apa-

reciendo nuevos elementos del subgrupo, en cuanto aparezca el noveno elemento,

como el orden debe ser un divisor de 24, sabemos que 〈(123), (234)〉 tiene 12 o

24 elementos. Al tratarse de permutaciones pares exclusivamente, se deduce que

el subgrupo es A4.

Es más, sabiendo que 〈(123), (234)〉 ⊂ A4, como el orden de A4 es 12, basta

con llegar al séptimo elemento para decidir que 〈(123), (234)〉 = A4

Ejercicio 2.3.17. Terminamos el estudio del teorema de Lagrange con la siguiente

cuestión. Sabemos que el orden de cualquier subgrupo de G divide a su orden.

Recíprocamente, si m divide a |G|, ¿existe algún subgrupo de G de orden m? Te

animamos a reflexionar esta cuestión en el grupo S4 o en sus subgrupos.

88

2.4 Homomorfismos de grupos

Homomorfismo de grupos

Dados dos grupos (G, ⋆) y (H, ∗), un homomorfismo

f : (G, ⋆) −→ (H, ∗)

es una aplicación f : G → H que satisface que para cada x1, x2 ∈G,

f(x1 ⋆ x2) = f(x1) ∗ f(x2).

Nota 2.4.1. Mientras no haya equívocos seguiremos usando la yuxtaposición para

expresar la operación entre dos elementos. Aunque ahora intervienen dos grupos

con operaciones que pueden ser distintas, normalmente por el contexto sabremos

si los elementos que intervienen están en el primer grupo o en el segundo. Así,

escribiremos por ejemplo

f(x1x2) = f(x1)f(x2), para cada x1, x2 ∈ G.

Igualmente, mientras no haya equívocos, se notará por e tanto al elemento neutro

de G como al de H . Si hiciera falta distinguir, para evitar confusiones, se usará

eG y eH respectivamente.

Ejemplo 2.4.2. Ejemplos de homomorfismos:

1. La identidad, 1G : (G, ⋆) → (G, ⋆).

2. La inclusión de un subgrupo K ⊂ G, i : (K, ⋆) → (G, ⋆).

3. El signo de una permutación, signo : Sn → {±1}.

4. La aplicación f : Z → Z definida como f(x) = n · x es un homomorfismo

f : (Z,+) → (Z,+) para todo entero n.

5. Si (G, ∗) es un grupo abeliano, la exponenciación f : G → G, definida

como f(g) = gn es un homomorfismo f : (G, ∗) → (G, ∗) para todo entero

n.

6. Si GL(n,R) es el grupo de matrices invertibles n × n de números reales,

el determinante det : GL(n,R) → R \ {0} es un homomorfismo (donde la

operación en ambos grupos es la multiplicación).

89

7. La aplicación exponencial f : R → (0,+∞), f(x) = ex, es un homomor-

fismo f : (R,+) → ((0,+∞), ·).

8. Dado un grupo (G, ⋆) y un elemento x ∈ G, la aplicación cx : G → G dada

por cx(y) = x−1yx es un homomorfismo, llamado conjugación por x.

Ejemplos de aplicaciones que no son homomorfismos:

1. Si (G, ∗) no es abeliano, la exponenciación f : G → G definida en el ante-

rior punto 5 no es un homomorfismo, al menos para n = 2.

2. La aplicación f : Z → Z definida como f(x) = xn no es un homomorfismo

f : (Z,+) → (Z,+) para ningún n ≥ 2.

Los homomorfismos preservan el elemento neutro y los simétricos.

Proposición 2.4.3. Si f : (G, ⋆) → (H, ∗) es un homomorfismo, entonces f(e) =e, y además para cada x ∈ G, f(x−1) = f(x)−1.

PRUEBA: Como e = ee,

f(e) = f(ee) = f(e)f(e).

Cancelando un f(e) de cada lado deducimos que e = f(e).Ahora que hemos probado la primera ecuación, deducimos la segunda de e =

xx−1 del siguiente modo,

e = f(e) = f(xx−1) = f(x)f(x−1).

Despejando de aquí deducimos que f(x)−1 = f(x−1). �

La composición de dos homomorfismos es un homomomorfismo.

Proposición 2.4.4. Dados tres grupos y dos homomorfismos como en el siguientediagrama,

(G, ⋆)f

−→ (H, ∗)g

−→ (K, •),

la composicióng ◦ f : (G, ⋆) −→ (K, •)

también es un homomorfismo.

PRUEBA: Basta observar que, aplicando las definiciones, dados x1, x2 ∈ G,

(g ◦ f)(x1x2) = g(f(x1x2))

= g(f(x1)f(x2))

= g(f(x1))g(f(x2))

= (g ◦ f)(x1)(g ◦ f)(x2).

�

90

Monomorfismos, epimorfismos e isomorfismos

Decimos que un homomorfismo f : (G, ⋆) → (H, ∗) es un mo-nomorfismo, epimorfismo o isomorfismo si la aplicación f es

inyectiva, sobreyectiva o biyectiva, respectivamente. Los isomor-

fismos se denotan del siguiente modo

f : (G, ⋆)∼=

−→ (H, ∗).

Ejemplo 2.4.5. De los homomorfismos del Ejemplo 2.4.2, 2 y 4 son monomorfis-

mos, 3 y 6 son epimorfismos y 1, 7 y 8 son isomorfismos. En general 5 no es un

monomorfismo ni un epimorfismo.

Proposición 2.4.6. La composición de dos isomorfismos es un isomorfismo.

PRUEBA: Se deduce de que ya sabemos que la composición de dos homomor-

fismos es un homomorfismo y que la composición de dos aplicaciones biyectivas

es biyectiva. �

Proposición 2.4.7. Si f : (G, ⋆) → (H, ∗) es un isomorfismo la aplicación inversaf−1 : H → G es un isomorfismo

f−1 : (H, ∗) −→ (G, ⋆).

PRUEBA: Queremos demostrar que para cada y1, y2 ∈ H se cumple que

f−1(y1y2) = f−1(y1)f−1(y2).

Como f es inyectivo, bastará comprobar que

f(f−1(y1y2)) = f(f−1(y1)f−1(y2)).

Por un lado, por ser f−1 la inversa de f ,

f(f−1(y1y2)) = (f ◦ f−1)(y1y2) = y1y2.

Por otro lado, usando además que f es un homomorfismo,

f(f−1(y1)f−1(y2)) = f(f−1(y1))f(f

−1(y2))

= (f ◦ f−1)(y1)(f ◦ f−1)(y2)

= y1y2.

�

91

Ejemplo 2.4.8. Los inversos de los isomorfismos 1, 7 y 8 del Ejemplo 2.4.2 son,

respectivamente, 1−1

G = 1G, el isomorfismo f−1 : ((0,+∞), ·) → (R,+) definido

por f−1(x) = log(x), y el isomorfismo (cx)−1 = cx−1 definido por cx−1(y) =

xyx−1.

Grupos isomorfos

Dos grupos (G, ⋆) y (H, ∗) son isomorfos si existe un isomorfis-

mo

f : (G, ⋆)∼=

−→ (H, ∗).

Corolario 2.4.9. La relación de ser isomorfos es de equivalencia.

PRUEBA: Es reflexiva porque la identidad es un homomorfismo de todo grupo

en sí mismo. Es transitiva porque la composición de dos isomorfismos es un iso-

morfismo. Es simétrica porque el inverso de un isomorfismo es un isomorfismo.

�

Núcleo de un homomorfismo

Dado un homomorfismo f : (G, ⋆) → (H, ∗), el núcleo de f es

Ker(f) = {x ∈ G ; f(x) = e} ⊂ G.

Ejemplo 2.4.10. El núcleo de signo : Sn → {±1} es el grupo alternado.

La demostración de la siguiente propiedad la dejamos como ejercicio:

Proposición 2.4.11. Dado un homomorfismo f : (G, ⋆) → (H, ∗), su núcleo(Ker(f), ⋆) es un subgrupo de (G, ⋆), y su imagen (Im(f), ∗) es un subgrupode (H, ∗).

Proposición 2.4.12. Dado un homomorfismo f : (G, ⋆) → (H, ∗), se tiene:

1. f es inyectivo si y sólo si Ker(f) = {e}.

2. f es sobreyectivo si y sólo si Im(f) = H .

92

PRUEBA: La segunda propiedad es simplemente la definición de aplicación

sobreyectiva, así que basta demostrar la primera propiedad.

Supongamos que f es inyectivo. En primer lugar, como f(e) = e se tiene

{e} ⊂ Ker(f). Por otra parte, dado x ∈ Ker f se tiene

f(x) = e = f(e).

Pero entones, como f es inyectivo, se sigue que x = e. Por tanto Ker(f) ⊂ {e},

luego Ker(f) = {e}.

Recíprocamente, supongamos que Ker(f) = {e}. Si x, y ∈ G son tales que

f(x) = f(y) entonces, por ser f un homomorfismo,

f(xy−1) = f(x)f(y−1) = f(x)f(y)−1 = f(y)f(y)−1 = e.

Luego xy−1 ∈ Ker(f) = {e}, es decir xy−1 = e. Multiplicando desde la derecha

por y, obtenemos x = y. Por tanto f es inyectiva. �

2.5 Subgrupos normales. Grupo cociente

Dado un grupo (G, ⋆) y un elemento x ∈ G, recordemos el isomorfismo cx : G →G que conjuga por x a los elementos de G, es decir, cx(y) = x−1yx para todo

y ∈ G.

Dado un subgrupo K ⊂ G, podemos aplicarle el isomorfismo cx a todos sus

elementos y obtendremos un subgrupo de G (el conjugado de K por x):

cx(K) = x−1Kx = {x−1yx; y ∈ K}.

El grupo x−1Kx podría ser el propio K, o podría ser distinto. Diremos que Kes normal en G cuando obtenemos siempre el propio K, sea cual sea el elemento

x ∈ G escogido:

Subgrupos normales

Dado un grupo (G, ⋆) y un subgrupo K ⊂ G, decimos que K es

normal en G si para todo x ∈ G se tiene que

x−1Kx ⊂ K.

93

Lema 2.5.1. Si K ⊂ G es un subgrupo normal, la inclusión de la definiciónanterior es de hecho una igualdad.

PRUEBA: Fijemos un elemento cualquiera a ∈ G. Como K es normal,

tomando x = a tenemos a−1Ka ⊂ K. Pero también, tomando x = a−1 tenemos

aKa−1 ⊂ K. Esto quiere decir que dado cualquier k ∈ K se tiene aka−1 =k′ ∈ K, es decir, k = a−1k′a, luego k ∈ a−1Ka. Por tanto K ⊂ a−1Ka, luego

a−1Ka = K. Como esto lo hemos hecho para todo a ∈ G, el resultado queda

demostrado. �

Nota 2.5.2. Del lema anterior se deduce que un subgrupo K es normal en G si y

sólo si aK = Ka para todo a ∈ G. En otras palabras, un subgrupo K es normal

en G si y sólo si las clases a izquierda (definidas para K) coinciden con las clases

a derecha.

Es importante observar que la igualdad x−1Kx = K no implica que los ele-

mentos de K quedan fijos al conjugarlos por x. Lo que queda fijo es el conjunto

K, pero sus elementos pueden permutarse. Por tanto, K es normal si y sólo si

conjugar K por x corresponde a una permutación de K, para todo x ∈ G.

Esta permutación puede ser trivial o no. En el siguiente caso, la permutación

sí es trivial para todo x:

Proposición 2.5.3. Si (G, ⋆) es abeliano, todo subgrupo K ⊂ G es normal.

PRUEBA: Si G es abeliano, x−1kx = k para todo k ∈ K y para todo x ∈ G.

Por tanto, conjugar un subgrupo K por un elemento x induce la permutación

trivial en K. Luego todo subgrupo de G es normal en G. �

Ejemplo 2.5.4. Los subgrupos trivial y total {e} y G, son normales en cualquier

grupo G. El subgrupo K = {1, (1 2)} ⊂ S3 no es normal puesto que

(1 3)−1(1 2)(1 3) = (1 3)(1 2)(1 3) = (2 3) /∈ K.

Hay una relación muy estrecha entre subgrupos normales de un grupo G y nú-cleos de homomorfismos que parten de G. De hecho, todo núcleo es un subgrupo

normal, y todo subgrupo normal es el núcleo de un homomorfismo. Veamos lo

primero:

Proposición 2.5.5. El núcleo de un homomorfsimo f : (G, ⋆) → (H, ∗) es unsubgrupo normal de G.

PRUEBA: Dado x ∈ G, veamos que x−1Ker(f)x ⊂ Ker(f). Dado un ele-

mento del primer conjunto, será de la forma x−1yx con y ∈ Ker(f). Y tendremos:

f(x−1yx) = f(x−1)f(y)f(x) = f(x)−1ef(x) = f(x)−1f(x) = e,

94

luego x−1yx ∈ Ker(f). �

La propiedad más importante de los subgrupos normales K ⊂ G es que sir-

ven para definir una operación de grupo, de la forma más natural posible, en el

conjunto cociente G/K.

Grupo cociente

Si (G, ⋆) es un grupo y K ⊂ G es un subgrupo normal, entonces

el conjunto cociente G/K posee una única estructura de grupo

(G/K, ⋆) tal que la proyección natural p : G → G/K es un ho-

momorfismo

p : (G, ⋆) −→ (G/K, ⋆).

PRUEBA: Definimos el producto de dos clases como

(xK)⋆(yK) = (xy)K.

Tenemos que demostrar que ⋆ está bien definido, es decir que esta definición de

⋆ no depende de los representantes tomados. Para ello hemos de probar que si

xK = xK e yK = yK entonces

(xK)⋆(yK) = (xK)⋆(yK).

Es decir, debemos probar que

xyK = xyK,

os lo que es lo mismo, que y−1x−1xy ∈ K.

Por un lado, como xK = xK, tenemos x−1x = z1 ∈ K, y como yK = yK,

tenemos y−1y = z2 ∈ K. Por otro lado, como K es normal en G y z1 ∈ K, se

tiene y−1z1y ∈ K. Por tanto,

y−1x−1xy = y−1x−1xz1yz2 = (y−1z1y)z2 ∈ K,

como queríamos demostrar.

Con la definición anterior de ⋆ es inmediato comprobar que ⋆ es asociativo por

serlo ⋆, que el elemento neutro del cociente es eK y que el inverso de un elemento

del cociente es (xK)−1 = x−1K. Es más, p es un homomorfismo puesto que

dados x1, x2 ∈ G,

p(x1x2) = (x1x2)K = (x1 K)⋆(x2K) = p(x1)⋆p(x2).

95

Además ⋆ es el único producto que satisface esta propiedad puesto que la proyec-

ción natural p es sobreyectiva. �

Observemos que, en el grupo cociente G/K, el elemento neutro es la clase

eK, es decir, el propio K. Además, el inverso del elemento xK es el elemento

x−1K.

Como vimos antes, el núcleo de un homomorfismo es un subgrupo normal.

Ahora ya podemos demostrar que todo subgrupo normal es núcleo de un homo-

morfismo.

Proposición 2.5.6. Sea K un subgrupo normal en G. El núcleo de la proyecciónnatural p : (G, ⋆) → (G/K, ⋆) es precisamente Ker(p) = K.

PRUEBA: Basta observar que p(x) = xK = eK si y solo si x ∈ K. �

Hemos identificado entonces subgrupos normales con núcleos de homomor-

fismos. No podemos hacer lo mismo con las imágenes de homomorfismos:

Ejemplo 2.5.7. Si (G, ⋆) es un grupo y F ⊂ G es un subgrupo cualquiera, la

imagen de la inclusión i : (F, ⋆) → (G, ⋆) es Im(i) = F , por tanto la imagen de

un homomorfismo, en general, no es normal en el grupo de llegada.

Factorización canónica

Todo homomorfismo f : (G, ⋆) → (H, ∗) factoriza como la com-

posición f = i ◦ f ◦ p de un epimorfismo p, un isomorfismo f y

un monomorfismo i del siguiente modo

(G, ⋆)f

//

p

��

(H, ∗)

(G/Ker(f), ⋆)∼=

f

// (Im(f), ∗)

i

OO

Aquí p es la proyección natural sobre el cociente e i es la inclusión

del subgrupo imagen.

PRUEBA: La factorización es la misma que la de una aplicación cualquiera.

Ya sabemos que p e i son homomorfismos. Sabemos también que p es sobre-

yectiva, i es inyectiva y que f , definida por f(xKer(f)) = f(x), es biyectiva.

96

Basta por tanto ver que f es un homomorfismo. Por comodidad, llamaremos

K = Ker(f). Al ser f un homomorfismo,

f((x1K)⋆(x2K)) = f(x1x2K)

= f(x1x2)

= f(x1) ∗ f(x2)

= f(x1K) ∗ f(x2K).

Luego f es también un homomorfismo. �

Corolario 2.5.8. Si f : (G, ⋆) → (H, ∗) es un epimorfismo entonces f : (G/Ker(f), ⋆) →(H, ∗) es un isomorfismo.

Corolario 2.5.9. Si f : (G, ⋆) → (H, ∗) es un monomorfismo entonces f : (G, ⋆) →(Im(f), ∗) es un isomorfismo.

Teorema de Cayley

Todo grupo G es isomorfo a un subgrupo de un grupo de permu-

taciones. Si G es finito de orden n, es isomorfo a un subgrupo de

Sn.

PRUEBA: Por el corolario anterior, basta construir un homomorfismo inyec-

tivo f : G → Sim(G).Dado y ∈ G definimos f(y) ∈ Sim(G) como la aplicación my : G → G

definida como my(x) = yx. Esta aplicación es biyectiva y su inversa es m−1y =

my−1 . Así definido, f es un homomorfismo pues dados x, y, z ∈ G,

mzy(x) = (zy)x = z(yx) = zmy(x) = mz(my(x)) = (mz ◦my)(x),

luego f(zy) = f(z) ◦ f(y).Además f es inyectivo pues si f(y) = my = 1, la permutación identidad en

Sim(G), entonces y = ye = my(e) = 1(e) = e, luego Ker(f) = {e}.

Si G es finito de orden n, etiquetamos los elementos de G = {x1, . . . , xn} para

identificar cada aplicación mxi∈ Sim(G) con una permutación de los índices de

los elementos de G. �

Con esto vemos que los grupos simétricos no son un simple ejemplo parti-

cular de grupos, sino el caso general, puesto que todo grupo puede verse como

subgrupo de un grupo de permutaciones.

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Referencias

- Aranda, A., Narváez, L., Olalla, M.A., Piedra, R., “La magia de las per-mutaciones”, en el libro Matemáticas para Estimular el Talento III, editado

por Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales, 2014.

- Robinson, D.J.S., An Introduction to Abstract Algebra, Walter de Gruyter,

2003.

- Tema de grupos de los apuntes de Álgebra Básica del curso 2013-14, dis-

ponible en RODAS:

http://rodas.us.es/file/ef4c2591-e624-4993-b1ce-b224c7e54de0/1/

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