upc universitat politècnica de catalunya - cálculo cientí ﬁco y...

Cálculo científico y técnico con HP49g/49g+/49gIIMódulo 1: Funcionamiento básico

Tema 1.4 Listas

Francisco PalaciosEscuela Universitaria Politécnica de Manresa

Universidad Politécnica de CatalunyaDep. Matemática Aplicada III

Abril 2005, versión 1.1

Contenido

1. Listas: construcción directa.

2. Funciones sobre listas

3. Visualizar los elementos de una lista

4. Construcción de listas desde la pila

5. Destrucción de listas

6. Operaciones arítméticas con listas

7. Algunos comandos para listas: ΣLIST, SIZE

8. Funciones sobre listas

9. Comando MAP

10. Ejemplos finales

c Este documento es de dominio público. El autor te autoriza explícitamente a co-piarlo, difundirlo y distribuirlo por cualquier medio: manual, mecánico o electrónicoy si entre tanto aprendes algo, mucho mejor.

e-mail: [email protected]

Índice General

1 Listas: construcción directa 1

2 Funciones sobre listas 2

3 Visualizar los elementos de una lista 23.1 Visualización en la línea de edición . . . . . . . . . . . . . . . 23.2 Visualización con VIEW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

4 Construcción de listas desde la pila 4

5 Destrucción de listas 6

6 Aritmética de listas 76.1 Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76.2 Cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86.3 Resta y cambio de signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96.4 Suma: operador ADD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106.5 Concatenación: operador + en listas . . . . . . . . . . . . . . 10

7 Algunos comandos para listas: ΣLIST, SIZE 117.1 Comando SIZE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117.2 Comando ΣLIST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

8 Funciones sobre listas 128.1 Comandos sobre listas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128.2 Funciones de usuario sobre listas. Problemática del operador

+ en listas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

9 Comando MAP 13

10 Ejemplos finales 1510.1 Cálculo de media aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1510.2 Varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1610.3 Estadísticas con datos agrupados . . . . . . . . . . . . . . . . 1810.4 Aproximación de integrales por trapecio compuesto . . . . . . 2010.5 Aproximación de integrales por Simpson compuesto . . . . . 23

1 Listas: construcción directa

Una lista es un conjunto de objetos entre llaves { } y separados por espacios1

o comas2. Por ejemplo

{1, 2, 3}, {12, 345, 212.4, π}, {’X’ 12 DUP 123 ’12/123’}Para construir una lista de números, por ejemplo {1 2 34 14},

• Escribimos un par de llaves { } (tecla (9,5)), y escribimos en su inte-rior los números separados por espacios

• Observa que estás en el editor de línea (el cursor de línea está visible),para cargar la lista en la pila, pulsa ENTER.

• Para incluir expresiones algebraicas, debemos usar comillas simples.Actividad 1.1 Construye las listas {1 3 5 7}; {1.23 3.45 5.67}.Actividad 1.2 Construye las listas {1, 3, 5, 7} y {1.23, 3.45, 5.67} usandocomas como separadores.

Actividad 1.3 Construye las listas

{1 ’1/2’ ’X^2’}, {2.34 ’(X− 1)/(X+ 1)’ ’Y+ 1’}.NOTA La mejor forma de construir listas es usar espacios como separado-res, de hecho, cuando la lista se carga en la pila, los elementos se separanmediante espacios. Nosotros emplearemos comas o espacios, según creamosconveniente.

1 [SPC], tecla (10,4)2Tecla (10,4)

1

2 Funciones sobre listas

Las funciones incorporadas de la calculadora operan sobre las listas, calcu-lando las imágenes de cada uno de los elementos. Por ejemplo, si cargamosla lista {1, 2, 3, 4} en la pila y pulsamos [x2], se obtiene {1, 4, 9, 16}.

Actividad 2.1 Calcula el cubo de los 10 primeros números naturales.

Actividad 2.2 Fija la calculadora en modo real exacto (R=). Construye lalista {1, 2, 3, 4}. Pulsa la tecla [SIN]. ¿Qué resultado obtienes?¿Qué pasasi intentas obtener una aproximación decimal con →NUM?Actividad 2.3 Fija la calculadora en modo real aproximado (R ∼). Cons-truye la lista {1 2 3 4}. Pulsa la tecla [SIN]. ¿Qué resultado obtienes?

3 Visualizar los elementos de una lista

3.1 Visualización en la línea de edición

Para ver bien los elementos de una lista situada en el nivel 1 de la pila, pulsala tecla [ ], que activa el editor de línea. Por ejemplo, si tomamos la lista{.1, .2, .3, .4, .5, .6, .7} y pulsamos la tecla [COS], resulta

observa el símbolo de continuación, que indica que la lista no puede mostrar-se completa en pantalla. Si ahora pulsamos la tecla [ ], se activa el editorde línea

que nos permite ver adecuadamente los elementos de la lista, pulsando [ ],podemos hacer descender el cursor de línea y ver los elementos no mostrados.Observa que cuando estamos en el editor

2

• Podemos modificar los elementos de la lista• Los valores numéricos se muestran en formato estándar, esto es debidoa que los formatos con un número fijo de decimales, por ejemplo FIX4, sólo afectan a la visualización.

3.2 Visualización con VIEW

También podemos ver los elementos de la lista pulsando [TOOL][VIEW].

En este caso se activa un pantalla gráfica.

La marca de continuación indica que el objeto no se puede mostrar completoen la pantalla, entonces podemos usar las teclas de desplazamiento [ ][ ]para ver la parte oculta del objeto.

Cuando empleamos VIEW para ver un objeto

• No podemos editarlo• Los valores decimales se muestran con el número de decimales especi-ficado en el formato numérico, esto es, si el formato numérico es FIX4, los numeros aproximados aparecerán con 4 decimales.

Actividad 3.1 Fija la calculadora en modo real aproximado (R ∼), y elformato numérico en FIX 3. Construye la lista {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y completala siguiente tabla. Usa VIEW para ver los elementos de la lista.

x 1 2 3 4 5 6 7√x

3

Actividad 3.2 Fija la calculadora en modo real aproximado (R ∼), el modoangular en radianes y el formato numérico en FIX 5. Construye la lista

{.1, .2, .3, .4, .5, .6, .7, .8, .9, 1.0}y completa la siguiente tabla

x sinx sin2 x

.1

.2

.3

.4

.5

.6

.7

.8

.9

1.0

4 Construcción de listas desde la pila

Puedes construir la lista {23, 12, 16, 21} como sigue:

• Carga los elementos en la pila

• Pulsa la tecla [HIST]3 para acceder al editor de pila, puedes observarque aparece el cursor de nivel de pila

3Tecla (4,1)

4

• Desplaza el cursor de nivel de pila hasta el nivel 4 pulsando [ ]• Pulsa [NEXT]4 para ver la segunda página del soft-menu de herra-mientas del editor de pila

• Finalmente, pulsa [F1] para ejecutar el comando →LIST, entonces sedescargan los elementos de la pila y se obtiene la lista

• Observa que aún estás en el editor de pila (el cursor de nivel de pilaestá visible), debes pulsar ENTER para cargar la lista en la pila.

Actividad 4.1 Completa la tabla siguiente

x 0.15 0.17 0.23 0.42 0.82

1

cos(x2)

Para ello, construye la lista {0.15, 0.17, 0.23, 0.42, 0.82} cargando los núme-ros en la pila y usando el comando →LIST. Fija el formato numérico enFIX 4.

4Tecla (3,3)

5

5 Destrucción de listas

Si tenemos una lista en el Nivel 1 de la pila y pulsamos EVAL

• Se destruye la lista• Los elementos de la lista se cargan, ordenadamente, en la pila.

El primer elemento de la lista es el primero en cargarse, por ello, es el quequeda en la posición más alta de la pila; el último elemento de la lista quedaen el NIVEL 1 de la pila. Si colocamos la lista {12, 1, 23, ’A’} en el NIVEL1 de la pila

y pulsamos EVAL, se destruye la lista y se obtiene

Actividad 5.1 Completa la siguiente tabla

xj 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 yj

yj =1

sinxj

en la última casilla coloca el valor

5

j=1

1

sinxj=

1

sin 0.1+

1

sin 0.2+ · · ·+ 1

sin 0.5

Para ello, construye la lista {0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5}, usa la tecla [SIN] y[1/x], para calcular los valores yj . Después, rompe la lista con EVAL y sumalos valores yj que están cargados en la pila. ( yj = 23.0878).

6

6 Aritmética de listas

6.1 Producto

La tecla [×] permite calcular dos tipos de productos

• Producto de número y listaα {x1, x2, x3, · · · , xn} = {αx1, αx2, αx3, · · · ,αxn}

Si realizamos el poducto de 3 por la lista {1, 2, 4, 5}

se obtiene

• Producto de listas{x1, x2, · · · , xn} {y1, y2, · · · , yn} = {x1 y1, x2 y2, · · · , xn yn}

Si multiplicamos las listas

se obtiene

7

En el producto de listas, las listas deben tener el mismo número de elementos.Cuando intentamos multiplicar listas con un número distinto de elementosse obtiene un mensaje error

Actividad 6.1 Realiza las siguientes operaciones

(a) {1, 2, 3} × {2, 1, 1} (b) 3× {1, 1, 4} (c) {1, 2, 1} × 4

(d) {2, 1, 1} × {1, 2,3} (e) {1, 2} × {1, 2, 3}

6.2 Cociente

La tecla [÷] permite realizar 3 tipos de operaciones• División de número por lista.

α÷ {x1, x2, · · · , xn} = {α/x1, α/x2, · · · ,α/xn}

• División de lista por número{x1, x2, · · · , xn} ÷ α = {x1/α, x2/α, · · · , xn/α}

• División de listas{x1, x2, · · · , xn} ÷ {y1, y2, · · · , yn} = {x1/y1, x2/y2, · · · , xn/yn}

Así por ejemplo si dividimos el número 3 por la lista {3, 6, 9} se obtiene lalista {1, 1/2, 1/3}, el esquema de pila es el siguiente

Cociente [÷]Nivel 2 Nivel 1 ⇒ Nivel 13 {3, 6, 9} {1, 1/2, 1/3}

8

Cuando dividimos la lista {3, 6, 9} por el número 3, el resultado es {1, 2, 3}.Si dividimos la lista {3, 6, 9} por la lista {1, 2, 4}, obtenemos {3, 3, 94}. Elesquema de pila es el siguiente

Cociente [÷]Nivel 2 Nivel 1 ⇒ Nivel 1

{3, 6, 9} {1, 2, 4} {3, 3, 94}

En la división de listas, es preciso que ambas listas tengan el mismo númerode elementos. En caso contrario se produce un error.


(a) {1, 2, 3} ÷ {2, 1, 1} (b) 3÷ {1, 1, 4} (c) {1, 2, 1} ÷ 4

(d) {2, 1, 1} ÷ {1, 2, 3} (e) {1, 2} ÷ {1, 2, 3}

6.3 Resta y cambio de signo

La tecla5 [+/−], cambia el signo de todos los elementos de la lista.La tecla [−], permite realizar 3 operaciones

• Sustracción de número y lista:

α− {x1, x2, · · · , xn} = {α− x1, α− x2, · · · ,α− xn}

• Sustracción de lista y número

{x1, x2, · · · , xn}− α = {x1 − α, x2 − α, · · · , xn − α}

• Sustracción de listas

{x1, · · · , xn}− {y1, · · · , yn} = {x1 − y1, · · · , xn − yn}


(a) {1, 2, 3}− {2, 1, 1} (b) 3− {1, 1, 4} (c) {1, 2, 1}− 4

(d) {2, 1, 1}− {1, 2, 3} (e) {1, 2}− {1, 2, 3}5Tecla (6,2)

9

6.4 Suma: operador ADD

Las sumas de listas se realizan mediante el operador ADD. Para usar el ope-rador ADD, podemos teclearlo directamente mediante el teclado alfabético,o bien, acceder al menu6 [MTH][LIST].El operador ADD permite realizar dos operaciones

• Suma de número y listaα ADD {x1, x2, · · · , xn} = {α+ x1, α+ x2, · · · ,α+ xn}{x1, x2, · · · , xn} ADD α = {x1 + α, x2 + α, · · · , xn + α}

• Suma de listas{x1, · · · , xn} ADD {y1, · · · , yn} = {x1 + y1, · · · , xn + yn}

Actividad 6.4 Localiza el comando ADD en el menu [MTH][LIST]. Sumalas listas {1, 2, 3} y {0, 1, −1}.Actividad 6.5 Calcula la suma del número 3 y la lista {3, 2, 7}. Paraello, teclea el comando ADD directamente.


(a) {1, 2, 3} ADD {2, 1, 1} (b) 3 ADD {1, 1, 4}

(c) {2, 1, 1} ADD {1, 2, 3} (d) {1, 2} ADD {1, 2, 3}

6.5 Concatenación: operador + en listas

Cuando actúa sobre listas, el operador + agrega ordenadamente los elemen-tos. Por ejemplo, el resultado de 12+{0.34, 1.23} es {12, 0.34, 1.23}, comoresultado de la operación, el número 12 se añade como primer elemento dela lista. Algunos ejemplos más, aclaran el funcionamiento del operador +en listas

• {1, 2, 1}+ {0, ’B’} = {1, 2, 1, 0, ’B’}• {1, 2, 1}+ 34 = {1, 2, 1, 34}• { }+ 1 = {1}


(a) {1, 2, 3}+ {2, 1, 1} (b) 3 + {1, 1, 4}

(c) {2, 1, 1}+ {1, 2, 3} (d) {1, 2}+ {1, 2, 3}

(e) {1, 4}+ 3 (f) 5 + { }6Tecla (4,4)

10

7 Algunos comandos para listas: ΣLIST, SIZE

7.1 Comando SIZE

Proporciona el número de elmentos de una lista. Podemos teclearlo directa-mente, o bien, obtenerlo en el menu7 [PRG][LIST][ELEM]. El diagrama depila de SIZE es el siguiente

Comando SIZENivel 1 ⇒ Nivel 1

{x1 x2 · · · xn} n

Actividad 7.1 Localiza el comando SIZE en [PRG][LIST][ELEM]. Aplícaloa la lista {1, 2, 3, 1, 0}.

Actividad 7.2 Aplica el comando SIZE a la lista {2, 1, 2, 1}. Teclea elcomando directamente.

Actividad 7.3 Busca el comando SIZE en el catalogo de comandos [CAT].Aplícalo a la lista {3.21, 2.13, 6.71, 4.21}.

7.2 Comando ΣLIST

El comando ΣLIST calcula la suma de los elementos de una lista. Puedesobtener el comando ΣLIST en [MTH][LIST]. Por ejemplo, si tomamos lalista {1, 2, 3, 4} y aplicamos el comando ΣLIST, resulta el valor 10.El diagrama de pila de ΣLIST es

Comando ΣLISTNivel 1 ⇒ Nivel 1

{x1, x2, · · · , xn}n

j=1xj

Actividad 7.4 Localiza el comando ΣLIST en [PRG][LIST][ELEM].Aplíca-lo a la lista {1, 2, 3, 1, 0}.

Actividad 7.5 Podemos aproximar el valor de la integral

1.5

1

1

xdx

mediante la suma de Riemann

S =1

10

1

1.05+

1

1.15+

1

1.25+

1

1.35+

1

1.45

7 tecla (4,2)

11

Calcula el valor de S siguiendo los siguientes pasos:(1) Construye la lista {1.05, 1.15, 1.25, 1.35, 1.45}(2) Aplica la función f(x) = 1/x sobre la lista usando la tecla [1/x](3) Calcula la suma con ΣLIST(4) Divide por 10. (Sol. 0.4052)

Actividad 7.6 Calcula el valor de la integral y comparalo con el obtenidoen el ejercicio anterior. (Sol. exacta ln 1.5 = 0.405465)

8 Funciones sobre listas

8.1 Comandos sobre listas

Buena parte de los comandos y funciones de la calculadora operan sobrelistas, aplicándose sobre cada uno de sus elementos. Así, para borrar con-juntamente un grupo de variables, podemos contruir un lista con los nombresde las variables a borrar y ejecutar el comando PURGE.Las funciones incorporadas de la caluladora: SENO, COSENO, EXP, LN,etc., actúan sobre una lista aplicándose sobre sus elementos. Por ejemplo,si colocamos la lista {1, 2, 3, 4} en la pila y pulsamos la tecla [

√x], obte-

nemos {1, √2, √3, 2}. Para obtener apoximaciones decimales del resultado,debemos fijar la calculadora en modo aproximado antes de entrar la lista{1, 2, 3, 4}.

8.2 Funciones de usuario sobre listas. Problemática del ope-rador + en listas

Las funciones definidas por el usuario mediante el comando DEFINE (omediante programación directa) también actúan sobre listas, evaluándosesobre cada uno de los elementos.Una función de usuario es un programa del tipo

<< → X ’expresión algebraica’ >>

Por ejemplo, la función f(x) = x−1x2+1 , se define mediante el programa

<<→ X ’(X—1)/(X^2+1) >>

Este programa no funcionará correctamente sobre listas pues, cuando ac-tuamos sobre listas, el operador + añade elementos a la lista, en lugar derealizar la suma. Para que la función se aplique correctamente sobre listas,debemos editar el programa y sustituir el operador + por ADD

<<→ X ’(X—1)/(X^2 ADD 1) >>

12

Actividad 8.1 Usa el comando DEFINE para definir la función

f(x) =x− 1x2 + 1

Calcula f(2.0), f(2.5), f(2.7), f(3.0). Aplica la función a la lista {2, 2.5,2.7, 3.0} ¿Son correctos los resultados? ¿Qué ha sucedido?

Actividad 8.2 Modifica la función f que has definido en el ejerccio ante-rior para que opere correctamente sobre listas. Aplica la función a la lista{2, 2.5, 2.7, 3.0} ¿Son correctos los resultados?

Actividad 8.3 Define la función

f(x) =x− 1x2 − 1

¿Es necesaro modificarla para que opere correctamente sobre listas? Com-pruebalo aplicando la función sobre la lista {1.3, 1.5, 1.7, 1.9}

Actividad 8.4 Define la función

f(x) =2 + sinx

3 + cosx

Modifícala, si es preciso, para que opere correctamente sobre listas. Aplícalasobre la lista {1.3, 1.5, 1.7, 1.9}.

9 Comando MAP

El comando MAP permite aplicar un programa a los elementos de una lista.Puedes obtener el comando MAP en el catalogo de comandos y funciones[CAT], o bien, puedes teclearlo directamente.Un buen ejemplo es la aplicación del comando →NUM sobre los elementosde una lista. Fija la calculadora en modo real exacto (R=), construye lalista {1, 2, 3, 4, 5} y pulsa la tecla [√x]; como resultado obtendrás la lista{1,√2,√3, 2,√5}. Para obtener una aproximación decimal de los elementosde la lista, puedes intentar ejecutar el comando→NUM (tecla (10,5)), peroverás que esto no funciona.

Para aplicar el comando →NUM (o cualquier otro) a los elementos de unalista, puedes proceder como sigue:

• Carga la lista en el nivel 1 de la pila• Construye un programa que ejecute el comando, en nuestro caso elprograma es << →NUM >>

13

Teclea MAP, la pantalla presentará el siguiente aspecto

Para ejecutar MAP, pulsa ENTER.Como resultado obtendrás

Para ver los elementos de la lista, pulsa la tecla de desplazamiento haciaabajo [ ], eso llevará la lista a la línea de edición y podrás ver adecuadamentesus elementos. También puedes usar [TOOL][VIEW]

Actividad 9.1 Fija la calculadora en modo real exacto. Carga la lista{1, 2, 3, 4} en la pila y pulsa la tecla [1/x]. Intenta obtener una evaluacióndecimal de los resultados. Aplica el método expuesto en esta sección, usandoMAP y →NUM para obtener una aproximación decimal del resultado.

Actividad 9.2 Fija el modo angular en radianes. Construye la lista

{sin 1, sin 12, sin

1

3, sin

1

4, sin

1

5}

Calcula una aproximación decimal mediante MAP y →NUM.

14

10 Ejemplos finales

10.1 Cálculo de media aritmética

La media aritmética de los números {X1, · · · ,XN} es

x̄ =1

N

n

j=1

Xj

Para calcular la mediar aritmética de la lista {1, 2, 3, 4, 5, 6},1. Carga la lista en el nivel 1 de la pila

2. Pulsa ENTER para duplicarla

3. Ejecuta SIZE

4. Pulsa la tecla de desplazamiento derecho [ ] para ejecutar SWAP eintercambiar el contenido del nivel 1 y 2 de la pila

5. Ejecuta ΣLIST,

15

6. Pulsa [ ] para intercambiar la posición de la suma y el número deelementos

7. Calcula la división, el resultado es 3.5

Actividad 10.1 Calcula la media aritmética de la lista

{2, 3, 2, 4, 5, 6, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 6, 6, 6, 7}(Sol. x̄ = 3. 5625)

Actividad 10.2 Fija el modo angular en radianes y calcula

v =1

10

10

k=1

sin21

k

(Sol. 0. 12312 5)

10.2 Varianza

La varianza de los números {X1, . . . ,XN}, se define como

s2 =1

N

n

j=1

(Xj − x̄)

donde x̄ es la media aritmética. La raiz cuadrada de la varianza se denominadesviación típica, se representa por s.

s =1

N

n

j=1

(Xj − x̄)2

Para calcular la desviación típica de {1, 2, 3, 4, 5, 6}

1. Carga la lista en la pila y pulsa ENTER 2 veces, para obtener 2 copiasde la lista.

2. Calcula la media aritmética, como en la subsección anterior; el resul-tado es x̄ = 3.5, y la pantalla presentará el siguiente aspecto

16

3. Pulsa [−], para calcular la lista de los elementos Xj − x̄4. Pulsa [x2], para calcular la lista de los elementos (Xj − x̄)2

5. Ejecuta LIST para calcular la suma nj=1(Xj − x̄)2

6. Entra manualmente el número de elementos y calcula la división

nj=1(Xj − x̄)2

N

En este punto, hemos calculado la varianza s2 = 2.916667

7. Si calculamos la raiz cuadrada de la varianza, se obtiene la desviacióntípica s = 1.707825.

Actividad 10.3 Calcula la varianza y la desviación típica de la lista

{2, 3, 2, 4, 5, 6, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 6, 6, 6, 7}entrando manualmente el número de elementos N = 16

Actividad 10.4 Calcula la varianza y la desviación típica de la lista

{2, 3, 2, 4, 5, 6, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 6, 6, 6, 7}sin entrar manualmente el número de elementos. (s2 = 4. 24609)

Actividad 10.5 Guarda la lista {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} en la variable Xy usa esta variable para calcular la varianza y la desviación típica de la lista.

Actividad 10.6 Puede demostrarse que la varianza también puede calcu-larse mediante la fórmula

s2 =1

N

n

j=1

X2j − (x̄)2

Esto es, calculamos la media aritmética de los cuadrados de los datos y,luego, le restamos el cuadrado de x̄. Para la lista

{2, 3, 2, 4, 5, 6, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 6, 6, 6, 7}calcula el promedio de cuadrados

1

N

n

j=1

X2j

y después la varianza. Compara el resultado con el obtenido en la Activi-dad 10.3.

17

10.3 Estadísticas con datos agrupados

Amenudo se trabaja con variables que sólo pueden tomar un reducido núme-ro de valores. Por ejemplo, el número de averias que sufre una máquina enel período de una semana. Supongamos que hemos controlado una deter-minada máquina a lo largo de 20 semanas y hemos obtenido los siguientesnúmeros de averias.

{1, 0, 1, 2, 3, 2, 1, 4, 4, 0, 1, 5, 2, 2, 2, 2, 1, 0, 0, 1}

En este caso es apropiado resumir los datos en una tabla que contenga losdistintos resultados que toma la variable (xj), y el número de veces que cadaresultado aparece (frecuencia absoluta)

xj Nj fj

0 4 0. 20

1 6 0.30

2 6 0.30

3 1 0.05

4 2 0.10

5 1 0.05

20 1.00

Para cada uno de los valores distintos xj , representamos porNj su frecuenciaabsoluta; la frecuencia relativa es fj = Nj/N.

Nota. Es importante no confundir los valores originales (Xj) o “datosbrutos” con los valores distintos (xj). En nuestro ejemplo tenemos 20 valoresoriginales, mientras que sólo hay 6 valores distintos. N representa el númerototal de valores; n es el número de valores distintos.

Usando datos agrupados tenemos las siguientes fórmulas

• Media aritméticax̄ =

n

j=1

xjfj

• Varianzas2 =

n

j=1

(xj − x̄)2 fj

La varianza también se puede calcular con la fórmula abreviada

s2 =n

j=1

x2j fj − (x̄)2

18

Para calcular la media aritmética y la varianza de la tabla

xj Nj fj

0 4 0. 20

1 6 0.30

2 6 0.30

3 1 0.05

4 2 0.10

5 1 0.05

20 1.00

podemos proceder comos sigue.

1. Creamos una la lista con los valores distintos

{0, 1, 2, 3, 4, 5}

la guardamos con el nombre X.

2. Creamos una lista con las frecuencias absolutas

{4, 6, 6, 1, 2, 1}

Si aplicamos ΣLIST a esta lista se obtiene el número total de datosbrutos N = 20.

3. Dividimos la lista de frecuencias absolutas {4, 6, 6, 1, 2, 1} por 20, re-sulta la lista de frecuencias relativas

{0.2, 0.3, 0.3, 0.05, 0.1, 0.05}

la guardamos con el nombre F.

4. Para obtener x̄, multiplicamos las listas X y F y sumamos los elemen-tos de la lista resultante. La secuencia de comandos es:

X F ∗ ΣLIST

El resultado es x̄ = 1.7, guardamos x̄ en la variable M .

5. Para obtener s2, restamos x̄ a la lista X, elevamos al cuadrado, mul-tiplicamos por la lista de frecuencias relativas F y sumamos. La se-cuencia de comandos es:

X M — SQ F ∗ ΣLIST

El resultado es s2 = 1.91; la desviación típica es s = 1.38203.

19

Actividad 10.7 Calcula la media aritmética, varianza y desviación típicade la lista {1, 0, 1, 2, 3, 2, 1, 4, 4, 0, 1, 5, 2, 2, 2, 2, 1, 0, 0, 1} tal como se ha hechoen la sección anterior, esto es, sin agrupar los datos. Compara los resultadoscon los que se obtienen en el ejemplo.

Actividad 10.8 Calcula la media aritmética, varianza y desviación típicade la lista {1, 0, 1, 2, 3, 2, 1, 4, 4, 0, 1, 5, 2, 2, 2, 2, 1, 0, 0, 1} usando datos agru-pados y la fórmula de cálculo abreviado de la varianza

s2 =n

j=1

x2j fj − (x̄)2

10.4 Aproximación de integrales por trapecio compuesto

El método del trapecio compuesto permite aproximar el valor de la integraldefinida

I =b

af(x) dx

empleando los valores que toma la función en n + 1 puntos igualmente es-paciados en el intervalo [a, b]

x0 = a

x1 = a+ h

x2 = a+ 2h...

xj = a+ j h

...

xn = a+ nh = b,

Los puntos xj (puntos de la red) se obtienen dividiendo el intervalo deintegración [a, b] en n subintervalos de longitud

h =b− an,

el valor de la aproximación es

ITC =h

2(f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + · · ·+ 2f(xn−1) + f(xn))

Por ejemplo, para aproximar el valor de la integral

2

1x2 sin(x) dx

por el método de trapecio compuesto con n = 5 subintervalos

20

1. Calculamos la longitud de subintervalo

h =b− an

=2− 15

= 0.2

2. Determinamos los n+ 1 = 6 puntos de la red

x0 = a = 1

x1 = a+ h = 1.2

x2 = a+ 2h = 1.4

x3 = a+ 3h = 1.6

x4 = a+ 4h = 1.8

x5 = a+ 5h = 2.0

• El valor de la aproximación es

ITC =h

2(f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + 2f(x3) + 2f(x4) + f(x5))

=0.2

2(f(1.0) + 2f(1.2) + 2f(1.4) + 2f(1.6) + 2f(1.8) + f(2.0))

= 2. 2454

El valor exacto de la integral redondeado a 5 decimales es

2

1x2 sin(x) dx = 2.2462

Nota Observa que los valores f(xj) se multiplican por 2 en los puntosinteriores de la red, esto es, para x1, x2, . . . , xn−1.

Para calcular la aproximación del ejemplo anterior mediante listas procede-mos como sigue

1. Definimos la función f(x) = x2 sin(x) usando DEFINE.

2. Calculamos el valor de h = (2−1)/5 = 0.2 y creamos la lista de puntosde la red {1.0, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8, 2.0}

3. Aplicamos la función F sobre la lista de puntos de la red; obtenemosla lista de imágenes

21

4. Creamos la lista de coeficientes {1, 2, 2, 2, 2, 1} y la multiplicamos porla lista de imágenes, usamos ΣLIST para obtener la suma

f(1.0) + 2f(1.2) + 2f(1.4) + 2f(1.6) + 2f(1.8) + f(2.0)

el resultado obtenido es 22.454246.

5. Finalmente multiplicamos por h y dividimos por 2, el resultado es2.245425.

Actividad 10.9 Calcula de forma manual el valor exacto de la integral2

1x2 sin(x) dx

aplicando el método de integración por partes dos veces.

Actividad 10.10 Para calcula el valor exacto de la integral con la calcu-ladora (1) fija el modo real exacto (2) escribe la integral en el editor deecuaciones [EQW] (3) selecciona la expresión y pulsa EVAL. Pulsa EN-TER para cargar el resultado en la pila. El resultado es

para ver el resultado completo pulsa [TOOL][VIEW]; las teclas de desplaza-miento [ ][ ] te permitirán ver toda la expresión. Calcula una aproximacióndecimal del resultado con 8 decimales. (Sol. 2.24623910).

Actividad 10.11 Aproxima el valor de la integral2

1x2 sin(x) dx

usando el método del trapecio compuesto con 4, 6 y 10 intervalos. Compara elresultado con el valor obtenido en la actividad anterior. (Aprox. 4 intervalos2.244984. Aprox. 6 intervalos 2.245669. Aprox. 10 intervalos 2.246031)

Actividad 10.12 Aproxima el valor de la integral2

1

x2

x4 + 1dx

usando el método del trapecio compuesto con 10 intervalos. Recuerda quepara que la función actúe correctamente sobre listas, debes modificar la de-finición de la función sustituyendo las sumas por ADD. (Valor de la apro-ximación 0.37284; valor exacto con 5 decimales 0.37301)

22

10.5 Aproximación de integrales por Simpson compuesto

El método de Simpson compuesto también nos permite aproximar el valorde la integral definida

I =b

af(x) dx

En este caso el intervalo de integración [a, b] se divide en 2n subintervalosde igual longitud h = (b− a)/2n. Esto origina una red de 2n+ 1 puntos

x0 = a

x1 = a+ h

x2 = a+ 2h...

xj = a+ j h

...

x2n = a+ (2n+ 1)h = b,

El valor de la aproximación es

ISC =h

3(f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + 2f(x4) + · · ·+

+2f(x2n−2) + 4f(x2n−1) + f(xn))

h =b− a2n

Observamos que

• Las imagenes de los puntos de índice impar, f(x1), f(x3), . . . , f(x2n−1)están multiplicadas por el coeficiente 4

• Las imagenes de los puntos interiores de índice par , f(x2), f(x4), . . . ,f(x2n−2) están multiplicadas por el coeficiente 2

• Las imágenes de los puntos extremos f(x0) y f(x2n) no tienen coefi-ciente.

Por ejemplo, para aproximar el valor de la integral

2

1x2 sin(x) dx

por el método de Simpson compuesto con 2n = 8 subintervalos

1. Calculamos la longitud de subintervalo

h =b− a8

=2− 18

= 0.125

23

2. Determinamos los 2n+ 1 = 9 puntos de la red

x0 = a = 1.000

x1 = a+ h = 1.125

x2 = a+ 2h = 1.250

x3 = a+ 3h = 1.375

x4 = a+ 4h = 1.500

x5 = a+ 5h = 1.625

x6 = a+ 6h = 1.750

x7 = a+ 7h = 1.875

x8 = a+ 8h = 2.000

• El valor de la aproximación es

ITC =h

2(f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + 2f(x4) +

+4f(x5) + 2f(x6) + 4f(x7) + f(x8))

=0.125

3(f(1.0) + 4f(1.125) + 2f(1.250) + 4f(1.375) +

+2f(1.500) + 4f(1.625) + 2f(1.750) + 4f(875) + f(2.000))

= 2.246226

El valor exacto de la integral, redondeado a 6 decimales, es 2.246239.Para calcular la aproximación de la integral usando listas, prodemos comosigue

1. Definimos la función f(x) = x2 sin(x) usando DEFINE.

2. Calculamos el valor de h = (2−1)/8 = 0.125 y creamos la lista de pun-tos de la red {1.000, 1.125, 1.250, 1.375, 1.500, 1.625, 1.750, 1.875, 2.000}

3. Aplicamos la función F sobre la lista de puntos de la red; obtenemosla lista de imágenes.

4. Creamos la lista de coeficientes {1, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 1} y la multiplica-mos por la lista de imágenes, usamos ΣLIST para obtener la suma

f(1.000) + 4f(1.125) + 2f(1.250) + 4f(1.375) + 2f(1.500) +

+4f(1.625) + 2f(1.750) + 4f(1.875) + f(2.000)

el resultado obtenido es 53.90943102.

5. Finalmente multiplicamos por h = 0.125 y dividimos por 3, el resulta-do es 2.24622629.

24

Actividad 10.13 Aproxima el valor de la integral

2

1x2 sin(x) dx

usando el método de Simpson compuesto con 4, 6 y 10 intervalos. Comparael resultado obtenido con el valor exacto ¿Qué sucede cuando aumenta elnúmero de intervalos? (Aprox. 4 intervalos 2.246030. Aprox. 6 intervalos2.246198. Aprox. 10 intervalos 2.246234)

Actividad 10.14 Aproxima el valor de la integral

2

1

x2

x4 + 1dx

usando el método del trapecio compuesto con 10 intervalos. (Valor de laaproximación 0.37301126; valor exacto con 8 decimales 0.37301494)

Actividad 10.15 Calcula el valor exacto de la integral

2

1lnxdx

aplicando el método de integración por partes. Calcula el valor aproximadode la integral usando la calculadora. Aproxima el valor de la integral por elmétodo del trapecio compuesto con 10 intervalos. Aproxima el valor de laintegral por el método de Simpson compuesto con 10 intervalos. (Sol. exacta2 ln 2−1 = 0.38629463. Valor aproximación trapecio compuesto 0.38587793.Valor aproximación Simpson compuesto 0.38629340)

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upc universitat politècnica de catalunya - cálculo cientí ﬁco y...

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