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_____________________________Universidad Simón Bolívar

Modelos de Inventarios

PS-4162 GESTION DE LA PRODUCCION II

_____________________________ Contenido

• Modelos de inventario– Demanda independiente vs dependiente– Costos de almacenamiento, lanzamiento y preparación

• Modelos de inventario para la demandaindependiente– El modelo de tamaño de lote económico (EOQ)– Minimización de costos– Puntos de reordenamiento– Modelo de cantidad de pedido de producción– Modelo de descuento por cantidad

• Sistemas de periodo fijo• Modelos probabilísticos con plazo de entrega

constante

_____________________________Objetivos de aprendizaje

Cuando haya completado este capítulo, debe ser capaz de:

• Describir o explicar:– Las funciones del inventario y los modelos de

inventario básicos

_____________________________Modelos de inventario

• Establecer una política de inventario– ¿Cuánto ordenar?– ¿Cuándo ordenar?

• Objetivo de minimizar el costo total del inventario– Costo de compra– Costo de preparación– Costo de almacenamiento– Costo de faltante– Costo de lanzamiento

Ayude a responder a las preguntas sobre la planificación del inventario. ¿Cuándo?¿Cuánto?

Ayude a responder a las preguntas sobre la planificación del inventario. ¿Cuándo?¿Cuánto?

_____________________________Modelos de inventario

• Modelos determinísticos– Modelos de Revisión Contínua (cantidad de pedido fijo)

• Modelo clásico de la cantidad de pedido económico (EOQ).• Modelo de cantidad de pedido de producción• Modelo de descuento por volumen

– Modelos de Revisión Periódica (periodo de pedido fijo)

• Modelos probabilísticos

_____________________________Hipótesis en las que se basa la EOQ

• La demanda es conocida y constante.• El plazo de entrega se conoce y es constante. • La recepción del pedido es instantánea.• Los descuentos por cantidad no son posibles.• Los únicos costos variables son el costo de preparación de un

pedido y el costo de almacenamiento. • Las existencias no se agotan (se evita el stockout).

_____________________________Modelo EOQ, ¿cuándo pedir?

Nivel de inventarioInventario Inventario

medio medio disponible disponible

(Q*/2)(Q*/2)

Cantidad Cantidad óóptima del ptima del pedido (Q*)pedido (Q*)

Tiempo

_____________________________Estimación de Inventarios Cíclicos

• La estimación del inventario cíclico promedio está en función de la determinación del lote a producir, adquirir o transportar.

• Cuando se opera con lotes de artículos mayores a las demandadas, el nivel del inventario del artículo promedio sería de la mitad del tamaño del lote.

• El tamaño del lote se determina minimizando el costo total de adquirirlo, ordenarlo, mantenerlo y transportarlo.

Q/2

Q

_____________________________Modelo EOQ, ¿cuánto pedir?

Cantidad de pedido

Costo por unidad de tiempo

Curva del Curva del costocosto de almacenamiento

de almacenamiento

Curva del Curva del costocosto total total porpor unidadunidad de de tiempotiempo

Curva del Curva del costocosto de preparacide preparacióónn

Cantidad Cantidad óóptima ptima de pedido, (Q*)de pedido, (Q*)

Curva del Curva del costocosto de de compracompra = c= c

_____________________________¿Por qué aumenta el costo de almacenamiento?

• Cuanto más pedidos se hagan, más unidades se almacenarán.

Solicitud de compraDescripción Cantid.Microondas 1

Cantidad del pedido


Cantidad del pedido

_____________________________¿Por qué se reduce el costo de preparación?

• El costo se distribuye entre más unidades.Ejemplo: Necesita 1.000 hornos microondas, 330 $.

Purchase OrderDescription Qty.Microwave 1




1.000 pedidos (0,33$/unidad) 1pedido (franqueo 330 $/unidad)

Cantidad del pedido


_____________________________Cómo resolver el modelo EOQ

• Desarrollar una expresión para el costo de preparación o de lanzamiento.

• Desarrollar una expresión para el costo de almacenamiento.• Minimizar la función de costo total por unidad de tiempo.• El punto mínimo ocurre al igualar el costo de preparación al

costo de almacenamiento (derivada parcial con respecto al pedido es cero).

• Resolver la ecuación para hallar la cantidad de pedido óptima.

_____________________________ Modelo EOQ

Punto de Punto de pedido pedido (ROP)(ROP)

Tiempo



(Q*/2)(Q*/2)


CicloCiclo de de PedidoPedidott00=Q/D=Q/D

_____________________________Función de costo total

D = Demanda en unidades de producto por unidad de tiempoQ = Cantidad pedida por ciclo o pedidoS = Costo de preparación por pedidoH = Costo de almacenamiento por unidad de tiempo y por unidad de

producto C = Costo total por unidad de tiempot0 = Duración del ciclo de pedidos

C= Costo de preparación + Costo de almacenamiento por ciclo t0to

QHQSDQH

DQSQH

tS

t

tQHSQC

2222)(

00

0

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=

_____________________________Modelo EOQ, Minimización del Costo

Cantidad de pedido Q

Costo por unidad de tiempo

Curva del Curva del costocosto de de almacenamiento

almacenamiento = H/2 Q= H/2 Q

Curva del Curva del costocosto total total porpor unidadunidad de de tiempotiempo = SD/Q + H/2 Q

= SD/Q + H/2 Q

Curva del Curva del costocosto de de preparacipreparacióónn = SD/Q= SD/Q

Cantidad Cantidad óóptima ptima de pedido, (Q*)de pedido, (Q*)

Curva del Curva del costocosto de de compracompra = c= c

El costo de compra del producto es independiente de la cantidad pedida y no afecta el valor mínimo

_____________________________Minimización del Costo Total

( ) HQSQDQC ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

Cantidad de pedidos

Costo de Almacenamiento

Nivel medio de Inventario

Costo del pedido

El punto de costo mínimo ocurre donde el costo de preparación es igual al costo de almacenamiento

( ) 022 =+−=

∂∂ H

QDS

QQC HQS

QD

2=

DQt

**

0 =¿Cuándo?

HDSQ 2*=Despejando Q*

¿Cuánto?

_____________________________Resultados del modelo EOQ

Cantidad óptima del pedido = = × ×D SH

2Q*

Si D es la demanda anual (unidad de tiempo es un año):

días laborables / año= =

NDQ*

TN

Número de pedidos esperados = =

Tiempo esperado entre cada pedido

Días laborables / añoD= D = Demanda anual.

S = Costo de preparación por pedido.H = Costo de almacenamiento. d = Demanda diaria.

d

_____________________________Modelo EOQ con plazo de espera

Punto de Punto de reordenreorden o o pedidopedido(ROP)(ROP)

Tiempo



(Q*/2)(Q*/2)

Plazo de Plazo de entregaentrega (L)(L)


_____________________________Resultados del modelo EOQ

El punto de reorden ocurre cuando el nivel del inventario desciende a LD unidades, Ld en caso de demanda diaria

= ×ROP d Ld = Demanda diariaL = Plazo de entrega en días Punto de Pedido

Si ocurre que L es mayor que t0*, entonces definimos el tiempo de entrega efectivo Le

*0ntLLe −=

dLROP e=

_____________________________Modelo de cantidad de pedido de

producción (POQ)

• Responde a las preguntas de cuánto y cuándo pedir. • La empresa recibe el pedido progresiva y

contínuamente: – Las otras hipótesis de EOQ son válidas.– El reabastecimiento es uniforme a una tasa p>d

• Modelo adecuado para entornos de producción:– Material producido, utilizado inmediatamente.– Proporciona el tamaño del lote de la producción.

_____________________________Modelo POQ, ¿cuándo pedir?

Punto de Punto de pedido pedido (ROP)(ROP)

Tiempo


medio medio disponibledisponible

Plazo de entregaPlazo de entrega


_____________________________Razones por las que la producción

varía

Una mala gestión provoca una mayor variabilidad. Las causas son las siguientes:

los empleados, las máquinas y los proveedores producen unidades que no se ajustan a los estándares, llegan con retraso o en cantidades que no son las adecuadas. Las especificaciones y los diseños de ingeniería son inexactos. El personal de producción intenta producir antes de que se completen los diseños y las especificaciones. No se conocen las demandas de los clientes.

_____________________________Niveles de inventario del modelo POQ

Nivel de inventarioNivel de inventario

TiempoTiempoInicio delInicio delsuministrosuministro

Fin del Fin del suministrosuministro

Parte del ciclo de inventario Parte del ciclo de inventario durante el cual se lleva a cabo durante el cual se lleva a cabo la produccila produccióónn

Parte de la demanda en el ciclo, sin Parte de la demanda en el ciclo, sin suministrosuministro

_____________________________Niveles de inventario del modelo POQ

TiempoTiempo


Parte del ciclo de Parte del ciclo de inventario durante inventario durante el que se lleva a el que se lleva a

cabo la produccicabo la produccióónn

Nivel mNivel mááximo ximo de inventario de inventario

QQ··(1(1-- d/p)d/p)

Q*Q*

Inicio del Inicio del suministrosuministro

Fin delFin delsuministrosuministro

Nivel de inventario sin demandaNivel de inventario sin demanda

Parte de la demanda Parte de la demanda en el ciclo sin suministroen el ciclo sin suministro

t1=Q/p t2=Q/d – Q/pt0=Q/d

p>dp>d

_____________________________Función de costo total

d = Demanda en unidades de producto por unidad de tiempoQ = Cantidad pedida por ciclo o pedidoS = Costo de preparación por pedidoH = Costo de almacenamiento por unidad de tiempo y por unidad de

producto C = Costo total por unidad de tiempot0 = Duración del ciclo de pedidosC= Costo de preparación + Costo de almacenamiento por ciclo t0

to( )( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=

2/12

/1

)(00

0 pdQHtS

t

tpdQHSQC

( ) ( )2

/1 HpdQ

dQSQC −+=

p>dp>d

_____________________________Costo Total Modelo POQ

d = Demanda diaria en unidades de productop = Unidades producidas por díat = Duración del ciclo de producción en díasQ = Cantidad pedidaS = Costo de preparación por pedidoH = Costo de almacenamiento anual por unidad de producto C = Costo total

p>dp>d

SQdH

pdQQC ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 1

2)(

Cantidad de pedidosNivel medio de Inventario

Costo del pedido

Costo de Almacenamiento

_____________________________Punto de Costo Mínimo POQ

El punto de costo mínimo ocurre donde el costo de preparación es igual al costo de almacenamiento, es decir, donde la derivada parcial conrespecto a Q es cero.

HpdQS

Qd

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 1

2( ) 01

2 2 =−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

∂∂

QdS

pdH

QQC

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−

=

pdH

dSQ1

2*Despejando Q*p>dp>d

_____________________________Ecuaciones del modelo POQ

S = Costo de preparación.H = Costo de almacenamiento. d = Demanda diaria.p = Producción diaria.

Cantidad óptima del pedido

Costo de Preparación porunidad de tiempo

Costo de almacenamiento

= =-

=

=

=

QH d

p

Q

dQ

S

*

1

(

0,5 H Q - dp

1

)- dp

1

( )

2 d S

( )Nivel de inventario máximo

_____________________________Modelos de descuento por cantidad

• Responden a cuánto y cuándo pedir. • Permiten a la empresa comprar con descuentos por

cantidad:Productos a precio reducido cuando éstos se compran en grandes cantidades. Se emplean las hipótesis de EOQ.

• Se establece un intercambio entre la reducción del precio y el aumento del costo de almacenamiento (aumenta porcuanto los pedidos son mayores).

_____________________________Costo Total con Descuentos

• Las ecuaciones de costo deberán incluir el costo de compra c

QHQSDDcQC

2)( 1

11 ++= qQ ≤

QHQSDDcQC

2)( 2

22 ++= qQ ≥

_____________________________

Modelo de descuento por cantidad, ¿cuánto pedir?

Cantidad del Cantidad del pedidopedido

CostoCostoTotalTotal

Cantidad que Cantidad que se deberse deberíía pedira pedir

Cantidad que Cantidad que se gana con el se gana con el Descuento 2Descuento 2

Descuento 2 Descuento 2 PrecioPrecio



Costo total

sin descuento

Precio inicialPrecio inicial

qqmm

SupuestoSupuesto H H permanecepermanece constanteconstante

_____________________________









Costo total

sin descuento


El El CostoCosto mmáás bajo fuera s bajo fuera del del áárea de los rea de los

descuentosdescuentos

qq11qqmm


_____________________________









Costo total

sin descuento




qq11 qq22qqmm


_____________________________

Búsqueda del Punto de Costo Mínimo para un solo descuento a partir de q

•Se calcula la cantidad óptima según EOQ (qm)

•Comparar el punto de descuento q con el punto de costo mínimo qm como sigue:

•Si q < qm entonces Q* = qm

•Se calcula el punto Q, donde C1(qm) = C2(Q)

•Si qm < q < Q entonces Q* = q

•Si Q < q entonces Q* = qm

HSDqm

2=

_____________________________Modelo de descuento por cantidad, q<qm






Costo total

sin descuento

Precio Precio inicialinicial

q qm

C1

C2

QQ*=qm


_____________________________

Modelo de descuento por cantidad, qm< q<Q






Costo total

sin descuento


qqm

C1

C2

QQ*=q


_____________________________

Modelo de descuento por cantidad, Q<q






Costo total

sin descuento


qqm

C1

C2

QQ*=qm


_____________________________

Modelo de descuentos por cantidad sobre costosde almacenamiento ¿cuánto pedir?






Costo total con el

Descuento 2




Costo total con el

Descuento 1


Costo total

sin descuento


SupuestoSupuesto c y H c y H varvarííanan

_____________________________Búsqueda del Punto de Costo Mínimo

•Para cada tramo de descuento se calcula la cantidad óptima según EOQEOQ1 EOQ2 EOQ3

•Comparar cada punto de descuento con las cantidades EOQ1EOQ2 EOQ3•Encontrar para cuál de las funciones de costo se encuentra el costo mínimo de la función general de costo y seleccionar el Q* correspondiente

_____________________________EOQ de múltiples productos

El inventario consta de n productos que siguen el modelo clásico, pero compiten por un espacio limitado de almacenamientoA=área máxima de almacenamiento disponibleai=requerimiento del área de almacenamiento por unidad de producto i

( )

niQ

AQats

QHQDSQQQC

i

n

iii

n

i

ii

i

iin

,...10

..

2,..,min

1

121

=≥

≤

+=

∑

∑

=

=

_____________________________EOQ de múltiples productos

• Paso 1: Calcule los EOQ óptimos no restringidos para cada producto (EOQ1

*, EOQ2*, EOQ3

*, ...EOQn*)

• Paso 2: Verifique si los EOQ óptimos no restringidos satisfacen la restricción de almacenamiento. En caso contrario pase al punto 3.

• Punto 3: Utilice el método de multiplicadores de Lagrangepara determinar los valores óptimos restringidos.

ii

iii aH

DSQ **

22

λ−= 0⟨λ

_____________________________

Sistemas de Revisión Periódica: periodo fijo

• Responden a cuánto pedir.• Los pedidos se llevan a cabo en intervalos fijos:

– Se cuenta el inventario disponible. – La cantidad de los pedidos varía.

• No hay un conteo constante del inventario:– Puede que se agoten las existencias entre cada intervalo.

• Es un sistema apropiado cuando los proveedores hacen visitas rutinarias:

– Ejemplo: el representante de P&G llama cada 2 semanas– Habría que mantener un stock de seguridad mayor para evitar

el outstock

_____________________________Sistemas de periodo fijo, ¿cuándo

realizar un pedido?

Tiempo

Nivel de inventarioNivel de inventario Objetivo máximo

Periodo PeriodoPeriodo

_____________________________Modelo EOQ “probabilizado”

• Responde a cuánto y cuándo pedir. – Bajo las hipótesis de EOQ determinístico

• Refleja la naturaleza probabilística de la demanda:– Supone que la demanda xL durante el tiempo de entrega

(efectivo) L sigue una distribución normal con media µL y desviación standard σL

– Si la demanda por unidad de tiempo tiene media D y desviación standard σ

µL = D L σL2 = σ2 L

_____________________________Modelo EOQ “probabilizado”

• Consideran el nivel de servicio y el inventario de seguridad(SS)

• Se determina SS, tal que la probabilidad de agotamiento no exceda un valor predeterminado α

P(xL > SS + µL ) < α P(Z > SS/ σL) < α

– Nivel de servicio = 1 - Probabilidad de que se agoten lasexistencias (α)

– Un nivel de servicio mayor produce un mayor inventariode seguridad.

• Cuanto mayor sea el inventario de seguridad, mayor es el punto de pedido (ROP).

_____________________________Modelo EOQ “probabilizado” ¿cuándo

realizar un pedido?

Reorder Reorder Point Point (ROP)(ROP)

OptimalOptimalOrder Order

QuantityQuantity XX

Inventario de seguridad (SS)Inventario de seguridad (SS)

TiempoTiempo


Plazo de Plazo de entregaentrega

SSSSROPROP

Nivel deNivel deservicioservicio

P (se agotan las P (se agotan las existencias)existencias)

LanzamientoLanzamientode pedidode pedido

RecepciRecepcióón n del pedidodel pedido

FrecuenciaFrecuencia

_____________________________

Determinación del Inventario de Seguridad

• El inventario de seguridad depende del grado de variabilidad de la demanda y tiempo de respuesta, tamaño del tiempo de respuesta y nivel de servicio al consumidor.

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