universidad nacional santiago antÚnez de mayolo facultad de ingenierÍa civil curso: fisica i...
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UNIVERSIDAD NACIONAL
“SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
CURSO: FISICA I
DINAMICA DE UN SISTEMA DE PARTICULAS
AUTOR: Mag. Optaciano L. Vásquez García
HUARAZ - PERÚ
2010
UNIVERSIDAD NACIONAL
“SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
CURSO: FISICA I
DINAMICA DE UN SISTEMA DE PARTICULAS
AUTOR: Mag. Optaciano L. Vásquez García
HUARAZ - PERÚ
2010
Optaciano Vasquez
MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA
Posición del centro de Masa• Consideremos un sistema compuesto por
partículas de masa m1, m2, ….. Mn cuyas posiciones respecto a un observador inercial son
• El centro de masas se define como
1 2 3; ; ;....... ;.......i nr r r r r
1 1 2 2
1 2
1
1
1
..... ...
..... ....
1
i i n nCM
i n
n
i i ni
CM i ini
ii
m r m r m r m rr
m m m m
m rr m r
Mm
Optaciano Vasquez
Ejemplo• Localice el centro de masa para el
sistema mostrado
MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA
Velocidad del centro de Masa• Si las partículas tienen velocidades
• La velocidad del centro de masa se obtiene derivando la ecuación del centro de masa respecto del tiempo
1 2 3; ; ;....... ;.......i nv v v v v
1 1 1
1 1 1n n nCM i
CM i i i i ii i i
dr drdv m r m m v
dt dt M M dt M
Optaciano Vasquez
MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA
Momento lieal de un sistema de Particulas• Sabemos que el momento lineal es igual al
producto de la masa por la velocidad entonces el momento de la i-ésima partícula será
• Entonces el momento lineal del sistema serái i ip m v
1
1 2 11
1
..... .....
n
CM i CMi
n
i ii
Pv p P M v
M M
donde
P p p p p p
Optaciano Vasquez
MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA
Aceleración de un sistema de Particulas La aceleración del centro de masa de un
sistema se obtiene derivando la velocidad del CM, es decir
1
1
1
1
nCM
CM i ii
n
CM i ii
dv da m v
dt dt M
a m aM
1
n
CM i ii
Ma m a
Optaciano Vasquez
Ejemplos de Movimiento de CM
Optaciano Vasquez
EJEMPLO• Las tres partículas de un sistema se mueven en
el plano xy. En cierto instante las posiciones y las acelereaciones de las partículas se muestran en la figura. Para este instante determine: (a)las coordenadas del centro de masa del sistema y (b) la aceleración del centro de masa del sistema
SEGUNDA LEY DE NEWTON PARA UN SISTEMA DE
PARTÍCULAS• La segunda ley para una partícula será
1
1
fuerza externa fuerza interna
fuerza efectiva
n
i ij i ij
n
i i i ij i i ij
i ij
i i
F f m a
r F r f r m a
F f
m a
El sistema de fuerzas externas e internas actuando sobre un sistema es equivalente al sistema de fuerzas efectivasOptaciano Vasquez
14 - 10
SEGUNDA LEY DE NEWTON PARA UN SISTEMA DE
PARTÍCULAS • Sumando para todas las
partículas,
n
iiii
n
i
n
jiji
n
iii
n
iii
n
i
n
jij
n
ii
amrfrFr
amfF
11 11
11 11
• De acuerdo con la tercera ley de Newton las suma de las fuerza internas se anulan de igual foma el par de dichas fuerzas
iiiii
iii
amrFr
amF
• El sistema de furzas externas y el sistema de fuerzas efectivas son equipolentes o equivalentes
Optaciano Vasquez
Ejemplo• Las tres partículas de un sistema se mueven
en el plano xy. En el instante que se muestra, sobre las partículas actúan la fuerzas indicadas. Para este instante, determine: (a) las coordenadas del centro de masa del sistema y (b) la aceleración del centro de masa del sistema
MOMENTUM ANGULAR DE UN SISTEMA DE
PARTÍCULAS • Hemos definido el momento angular como el producto vectorial.
• Su dirección es perpendicular al plano de r y mv
• Su magnitud está dado por
OH r mV
2
sinO
O
H rmV
H rmv mr
Optaciano Vasquez
MOMENTUM ANGULAR DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
• Su componentes vectoriales se determinan del determinante
• Derivando respecto del tiempo al momento angular
• La suma de momentos respecto de O es igual a la razón de cambio del momento angular
zyx
O
mvmvmv
zyx
kji
H
0
O
F
O O
dH r mV r mV r mV
dt
V mV r ma r F
H M
66666666666666
Optaciano Vasquez
MOMENTO ANGULAR DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
• Consideremos un sistema formado por dos partículas y después se generaliza
• Cada partícula está sometida a fuerzas externas e internas
• El momento angular de cada una de ellas será
• El momento del sistema será
• Derivando respecto del tiempo
1 1 1 2 2 2 y H r x p H r x p
1 2 1 1 2 2OH H H r x p r x p
1 1 2 2
1, 1,
( ) ( )O
OO O
dH d r x p d r x p
dt dt dt
dHM M
dt
Optaciano Vasquez
MOMENTO ANGULAR DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
• Por otro lado los momentos son
• El momento total será
• Los momentos de las fuerzas internas se cancelan. Entonces
• Generalizando para n partículas, se tiene
1, 1 1 12
2, 2 2 21
( )
( )
O
O
M r x F F
M r x F F
1 1 1 12 2 2 21
1 1 2 2 1 2 12
1 1 2 2
)
( )
O
O
O
M r xF r xF r xF rxF
M r xF r xF r r xF
M r xF r xF
1, 2,O
ex ex
dHM M
dt
,1
( ) nO tot
i exi
d HM
dt
Optaciano Vasquez
CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL Y ANGULAR
• Si sobre un sistema no actúan fuerzas externas o si la resultante de todas las fuerzas externas es nula, se conserva el momento lineal del sistema. Es decir
• Si sobre un sistema no actúan fuerzas externas o si la resultante de todas las fuerzas externas es nula, se conserva el omento lineal del sistema
,1
( )0
tan
nO tot
i exi
O
d HM
dt
H Cons te
Optaciano Vasquez
1
n
ii
P p Cte
Ejemplo• Un proyectil de 10 kg se está moviendo con
una velocidad de 30 m/s cuando este explota en dos fragmentos de 2,5 kg y 7,5 kg. Inmediatamente después de la explosión los fragmentos viajan según las direcciones que se indica θA = 45° y θB = 30°. Determine la velocidad de cada fragmento
14 - 18
Solución
• Debido a que no existen fuerzas externas , el momentum lineal se conserva
x
y
• Se escribe las componentes de la ecuación de conservación del
momento lineal.
0
0
105.75.2 vvv
vmvmvm
BA
BBAA
componente x:
301030cos5.745cos5.2 BA vvcomponente y:
030sin5.745sin5.2 BA vv• Resolviendo simultaneamente las
ecuaciones
sm3.29s/m 1.62 BA vv
ENERGÍA CINÉTICA DE UN SISTEMA• Consideremos un sistema formado por dos partículas
de masas m1 y m2 sometidas a las fuerzas mostradas y moviéndose en la trayectorias C1 y C2
• Las ecuaciones de movimiento serán
1 1 1 12
2 2 2 21
m a F F
m a F F
Optaciano Vasquez
ENERGÍA CINÉTICA DE UN SISTEMA• Multiplicando las ecuaciones por los
desplazamientos correspondientes se tiene
• Sumando dichas ecuaciones y recordando que
• Integrando desde se tiene
1 1 1 1 1 12 1
2 2 2 2 2 21 2
. . .
. . .
m a dr F dr F dr
m a dr F dr F dr
12 21F F
1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 12 1 2
1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 12 12
. . . . .( )
. . .
m a dr m a dr F dr F dr F dr dr
m v dv m v dv F dr F dr F dr
1 2
10 201 1 1 2 2 2 1 1 2 2 12 12
2 2 2 21 1 2 2 1 1,0 2 2,0 int
int
. . .
1 1 1 1
2 2 2 2
v v B B
v v A A
ext
f i ext
m v dv m v dv F dr F dr F dr
m v m v m v m v U U
T T U U
Optaciano Vasquez
CONSERVACIÓN DE LA ENERGIA DE UN SISTEMA
• Si las fuerzas internas son conservativas, se les puede asociar una función potencial dependiente de la posición de las partículas, entonces el trabajo interno se escribe
• Las cantidades V12,0 y V12, son las energías potenciales internas inicial y final. Entonces al remplazar esta ecuación en el principio trabajo - energía cinética se tiene
• La energía propia del sistema (ε) es la suma de las energías cinéticas respecto a un observador inercial más la energía interna
int 12 12 12,0 12.B
AU F dr V V
12,0 12
12 12,0( ) ( )
f i ext
f i ext
T T W V V
T V T V U
2 212 1 1 2 2 12
1 1
2 2fT V m v m v V Optaciano Vasquez
CONSERVACIÓN DE LA ENERGIA DE UN SISTEMA
• Si en lugar de dos partículas tenemos n de ellas se tiene, la energía propia se escribe
• Donde
• Entonces el cambio en la energía propia es igual al trabajo externo, esto es
212
1
2f i i ijtodas las Todos lospartículas pares
E T V m v V
2 2 2 2 21 1 2 2
1 1 1 1 1... .....
2 2 2 2 2i i i i n ntodas laspartículas
T m v m v m v m v m v
12 12 13 23....... .....ijTodos lospares
V V V V V
f i exE E U Optaciano Vasquez
CONSERVACIÓN DE LA ENERGIA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
• Por otro lado si el sistema se encuentra aislado, el trabao externo es nulo y como tal la energía propia permanece constante
• Por otro lado si las fuerzas externas también son conservativas, entonces se pueden expresar también como una función potencial, es decir
• La variación de energía propia del sistema será
• La energía total permanece constante y se puede escribir
final inicial
,ex o ext extU V V
,f i ex o ext extU V V
intex extE V T V V Optaciano Vasquez
EJEMPLO 01
Los bloques A y B están unidos por un cable que pasa a través de dos poleas de masa despreciable, como se muestra en la figura. El coeficiente de fricción cinético entre el bloque A y el plano inclinado es 0,40. Si la velcidad inicial de A es 8 pies/s descendiendo por el plano. Determine el desplazamiento sA del bloque A antes que el sistema alacance alcance el reposo.
Optaciano Vasquez
Solución 01• Cinemática de movimiento
dependiente
• Se aplica la segunda ley de Newton en dirección y para determinar la reacción normal y después la fricción
, , , ,
, , , ,
2 (1)
2 2
[ ] 2[ ] 0
2 0
2 (2)
Derivando la ecuación (1)
2 0 (3)
A B
A i B i A f B f
A f A i B f B i
A B
A B
A B
s s L
s s s s
s s s s
s s
s s
v v
, 0 cos 20
0,4(10cos 20 ) 3,759
y A y A
k k A
F ma N W
F N lb
Solución• Se aplica el principio trabajo. Energía
cinética para un sistema de partículas
int
2 2, ,
2 2
( ) ( )
10 ( 20 )
2
1 810(8) 6( ) (10 20 ) 3,759 6( )
64,4 2 2
3,42
f i i f ext i f
A BA i B i A A A A B B
AA A
A
T T U U
W Wv v W sen s F s W s
g g
ssen s s
s pies
Ejemplo 02• Los dos collarines A y B que se muestran en la
figura se deslizan sin fricción a lo largo de dos barras que se encuentran en el mismo plano vertical y están a 1,2 m de separación. La rigidez del resorte es k = 100 N/m y su longitud libre es Lo = 1,2 m. Si el sistema se suelta desde el reposo en la posición que se muestra, donde el resorte se ha estirado a la longitud L1 = 1,8 m. determine la máxima velocidad alcanzada por cada uno de los collarines
Solución 02• Se analiza el sistema
formado por los dos collarines. Para ello se traza el DCL en una posición arbitrara.
• Aplicando el principio trabajo energía cinética se tiene
• La energía cinética inicial es nula y el trabajo interno es el de la fuerza elástica. Entonces
• Las deformaciones son
• Entonces se tiene
• Simplificando
int
int
( ) ( )
0 0 ( )
f i i f ext i f
f i f
T T U U
T U
2 2 2 2, ,
1 1 1[ ]
2 2 2A A f B B f f im v m v k
1 0 1,8 1,2 0,6
1,2 1,2 0i
f f o
L L m
L L
2 2 2, ,
12 8 1100[0 0,6 ]
2 2 2A f B fv v
2 2, ,6 4 18 (1)A f B fv v
Solución• Principio I-p: En ausencia
de fuerzas externas en dirección horizontal se conserva p
• Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (1) y (2), resulta
, , , ,
, ,.
[ ] [ ]
12 12 0 (2)
x inic x final
A A i B B i A A f B B f
A f B f
p p
m v m v m v m v
v v
,
,.
1,095 /
1,643 /
A f
B f
v m s
v m s
Ejemplo 03• El bloque A de 12 kg de la figura se suelta desde el
reposo en la parte superior de la cuña de 2 kg (posición 1). Determine las velocidades de A y B cuando el bloque haya llegado a la parte inferior de la cara inclinada de la cuña, como se muestra en la figura B. Desprecie la fricción
Solución• En ausencia de fricción, la única
fuerza que realiza trabajo es el peso. Por lo tanto se conserva la energía
• Movimiento relativo de A respecto a B
• Resolviendo las ecuaciones se tiene1 1 2 2
2 2, 2 , 2
2 2, 2 , 2
2 2, 2 , 2
1 10 0 ( ) ( )
2 212 2
12(9,81)(0,4) ( ) ( )2 2
6( ) ( ) 47,09
A A A x B B x
A x B x
A x B x
V T V T
m gh m v m v
v v
v v
2 / 2 2
, 2 , 2 / 2 / 2 2
( ) ( ) ( )
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) cos30 ( ) 30 ( )
A A B B
A x A y A B A B B
v v v
v i v j v i v sen j v i
, 2 / 2 2
, 2 / 2
( ) ( ) cos30 ( )
( ) ( ) 30A x A B B
A y A B
Igualando componentes
v v v
v v sen
, 2
, 2
2
/ 2
( ) 0,58 / ;
( ) 2,34 /
( ) 3,48 / ;
( ) 4,69 /
A x
A y
B
A B
v m s
v m s
v m s
v m s
Ejemplo• La bola B de masa mB cuelga de un hilo de longitud
L sujeto a un carro A, de masa mA que puede rodar libremente por una pista horizontal lisa. Si la bola recibe una velocidad horizontal v0 estando el carro en reposo. Determine la velocidad de B cuando llega a su máxima altura, (b) la máxima altura que h a la que sube B
• Las velocidades en la posición 1 y 2 son
• Cuando la bola B llega su su altura máxima su velocidad relativa respecto al soporte es nula.
• Aplicando la conservación del momento lineal en dirección +x se tiene
• Despejando la velocidad final de A
2,2,2,2,
01,1, 0
AABAB
BA
vvvv
vvv
2,2,1,1, BBAABBAA vmvmvmvm
2,0 ABAB vmmvm
02,2, vmm
mvv
BA
BBA
Solución• Aplicando el principio de conservación de la
energía se tiene
2211 VTVT
Posición 1 -Energia
potencial
Energía cinética:
Posición 2 -Energía
potencial:
Energía cinética:
glmV A1
202
11 vmT B
ghmglmV BA 2
22,2
12 ABA vmmT
ghmglmvmmglmvm BAABAAB 22,2
1202
1
g
v
mm
mh
BA
A
2
20
2
0
20
22,
20
2222
v
mm
m
mg
mm
g
v
g
v
m
mm
g
vh
BA
B
B
BAA
B
BA
g
v
mm
m
g
vh
BA
B
22
20
20
Ejemplo• En una jugada de billar americano, la bola A se
mueve con una velocidad inicial v0 = v0 i cuando golpea a las bolas B y C, que están en reposo una junto a la otra. Suponiendo las superficies lisas y el choque perfectamente elástico. Halle la velocidad final de cada bola suponiendo que el trayecto de A (a) está perfectamente centrado y que golpea a B y C simultáneamente y (b) no esté perfectamente centrado y golpee a B un poco antes que a C
Solución
Ejemplo• El par de bloques representado en la figura están
conectados mediante un hilo inextensible y sin peso. El resorte tiene una constante k = 1200 N/m y una longitud natural L0 = 30 cm. El rozamiento es despreciable. Si se suelta el sistema a partir del reposo cuando x = 0, determine: (a) la celeridad de los bloques cuando x = 10 cm y (b) El máximo desplazamiento xmax que alcanzará en el ulterior movimiento
EjemploLos dos bloques representados en la figura están unidos mediante un hilo inextensible y sin peso. Se sueltan, partiendo del reposo, cuando el resorte está sin deformar. Los coeficientes de rozamiento estático y cinético valen s = 0,20 y k = 0,10, respectivamente, determine: (a) la máxima velocidad de los bloques y el alargamiento que en esa condición, sufre el resorte, (b) la máxima caída del bloque de 25 N.
Ejemplo• Los bloques A y B están
unidos por un cable que tiene una longitud de 6,5 m y pasa por una pequeña polea lisa C. Si el sistema se suelta desde el reposo cuando xA = 4 m, determine la velocidad de A cuando B llega a la posición que se muestra por medio de líneas interrumpidas. Desprecie la fricción.
EjemploLos dos bloques mostrados en la figura están unidos mediante un hilo inextensible y sin peso. La superficie horizontal y el poste vertical carecen de rozamiento. En la posición representada, el bloque de 10 N tiene una velocidad de 1,5 m/s hacia la derecha. Determine para el ulterior movimiento, la máxima distancia a la cual asciende el bloque de 25 N
EjemploUna caja que tiene un peo W1 = 40 lb desliza hacia abajo partiendo del reposo por una rampa lisa y después sobre la superficie de un carrito de peso W2 = 20 lb. Determine la rapidez del vagón en el instante en que la caja deje de deslizar sobre el carro. Si alguien ata al carro a la rampa B determine el impulso horizontal que ejercerá en C para parar su movimiento. Desprecie la fricción y considere h = 15 pies
EjemploLa chalana B tiene una masa de 15 Mg y soporta a un automóvil que tiene una masa de 2 Mg. Si la chalana no está unida al muelle P y alguien conduce el automóvil d = 60 m hasta el otro lado para su desembarque. Determine cuanto se aleja la chalana del muelle justamente después que el auto se para. Desprecie la resistencia del agua.
Solución• Sea v la velocidad del carro respecto a la chalana y vB la
velocidad de la chalana respecto a un observador fijo en la tierra (muelle). Entonces en ausencia de fuerzas externas e la dirección x ya que se deprecia el rozamiento del agua, considerando el sistema chalana + auto como un sistema cerrado, se conserva el momentum lineal es decir
• Por otro lado el movimiento del auto es uniforme
• El movimiento de la chalana será
( ) 0B B A B
AB
A B
m v m v v
mv v
m m
/ /A B A B
dx v t d vt v
t
[ ]
2 (60 ) 1207,07
2 15 17
A AB B
A B A B
AB
A B
m m dS v t v t v
m m m m v
m d Mg mS m m
m m Mg Mg
• Los bloque A y B de 40 kg y 60 kg de masa respectivamente, se encuentran localizados sobre una superficie horizontal lisa y conectado entre ellos mediante un resorte de constante K = 180 N/m, el cual se encuentra deformado 2 m. Si el sistema se libera desde el reposo, determine las velocidades de los bloques cuando el resorte no está deformado
Ejemplo• Dos semiesferas se encuentran unidas mediante
una cuerda que mantiene a un muelle bajo compresión(el muelle no esta sujeto a las semiesferas). La energía potencial del muelle comprimido es 120 J y el conjunto posee una velocidad vo de módulo vo = 8 m/s. sabiendo que la cuerda se corta cuando θ = 30° haciendo que las semiesferas se separen, hallar la subsiguiente velcoidad de cada semiesfera
• Dos automóviles chocan en el cruce, según se indica en la figura. El auto A tiene una masa de 1000 kg y una celeridad inicial vA = 25 km/h, mientras que el auto B tiene una masa de 1500 kg. Si los autos quedan enganchados y se mueven conjuntamente en la dirección dada por el ángulo θ = 30º después del choque, determine la celeridad vB que llevaba el auto B antes de chocar.
Ejemplo• Un bloque de madera de 0,30 kg está unido a
un resorte de k = 7500 N/m como se muestra en la figura. El bloque está en reposo sobre una superficie horizontal rugosa (μk = 0,40) y recibe el impacto de una bala de 0,030 kg que lleva una velocidad inicial vi = 150 m/s. En el choque, la bala queda incrustada en la madera. Determine: (a) la celeridad del conjunto bloque-bala inmediatamente después del choque, (b) la distancia que recorrerá el bloque antes de detenerse.
Ejemplo• La esfera de a figura pesa 25 N, se suelta a
partir del reposo cuando θA = 60º , baja y choca contra la caja B que pesa 50 N. Si la distancia del techo al centro de la esfera es de 0,9 m, el coeficiente de restitución vale 0,8 en este choque y el coeficiente de rozamiento entre caja y suelo vale 0,3, determine: (a) la velocidad de la caja inmediatamente después del choque, (b) la distancia que recorre la caja antes de detenerse.
Ejemplo• Una bala de 20 g disparada sobre un bloque de
madera de 4 kg suspendido de las cuerdas AC y BD penetra en el bloque por el punto E, equidistante de de C y D, sin tocar la cuerda BD. Determine: (a) la máxima altura a la que subirá el bloque con la bala incrustada después dl impacto, (b) el impulso total que durante éste ejercen ambas cuerdas sobre el bloque.
Ejemplo• Al seleccionar el mazo de un
martinete se desea que en cada golpe el mazo ceda toda su energía cinética. Es decir, la velocidad del mazo inmediatamente después del choque debe ser nula. Los pilotes que trabajan son de 300 kg cada uno y la experiencia indica que el coeficiente de restitución será 0,3 aproximadamente. ¿Cuál debería ser la masa del mazo?. Calcular la velocidad v del pilote inmediatamente después del choque si cae el mazo sobre el pilote desde una altura de 4 m. Calcular también la pérdida de energía Δ E en cada golpe.
Ejemplo• La bola se suelta en la posición Ay cae sobre el
plano inclinado desde una altura de 0,75 m. Si en el choque el coeficiente de restitución es e = 0,85. Determine el alcance medido plano abajo
Ejemplo
Ejemplo