universidad nacional de ingenierÍa uni- norte. matemÁtica i unidades a desarrollar iv u...
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA UNI- NORTE
MATEMÁTICA I
UNIDADES A DESARROLLAR
IV U Aplicaciones de la Derivada en una y varias variables
I U Geometría Analítica Vectorial
II U Límite y continuidad de funciones en una y varias variables
III U Derivada y Diferenciales de funciones en una y varias variables
I UNIDAD GEOMETRÍA ANALÍTICA VECTORIAL
OBJETIVOS DE UNIDADUtilizar el sistema coordenado rectangular en tres
dimensiones para representar gráficamente lugares geométricos en el espacio
Aplicar los algoritmos de la suma y resta vectorial así como sus propiedades y relaciones en ejercicios
Aplicar el producto punto y producto cruz, así como sus relaciones y propiedades a problemas de trabajo físico, área, volumen y la determinación de la posición entre planos, rectas, rectas y planos
Determinar las ecuaciones cartesianas y vectoriales de la recta en el espacio y de planos
Graficar rectas en el espacio, así como planos
Diferenciar los distintos tipos de superficies, esferas cilindros y cuádricas a partir de sus ecuaciones
Graficar cualquier superficie
I UNIDAD GEOMETRÍA ANALÍTICA VECTORIAL
OBJETIVOSRepresenten correctamente puntos en el
plano coordenado rectangular tridimensionalCalculen correctamente distancia entre dos
puntos y coordenadas del punto medio en 3DDeterminen con precisión coordenadas de un
vector, representación y móduloDemuestren respeto, disciplina, participación
e integración al trabajo en equipo
SISTEMA COORDENADO RECTANGULAR
Un sistema de coordenadas cartesianas en el espacio R3 se determina por una unidad lineal para las medidas de longitud y por tres ejes perpendiculares entre sí concurrentes en un punto y numerados en un orden determinado. El punto de intersección se llama origen y los propios ejes se llaman ejes coordenados, estos se denotan por OX,OY y OZ
Representación de puntos en el plano R3
Los ejes coordenados determinan tres planos llamados planos coordenados,
estos son: el plano OXY, OYZ y OXZ, a su vez los planos coordenados
dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes.
Los puntos en el sistema de coordenadas tridimensional se representan por
medio de ternas.
Distancia entre dos puntos
Th. 1 Consideremos dos puntos P (x1, y1, z1) y Q (x2, y2, z2) la distancia esta dada por la fórmula:
Esta fórmula es ampliación de la fórmula en dos dimensiones.
Distancia y punto Medio en R3
Las coordenadas del punto medio del segmento dirigido cuyos extremos son los puntos (x1, y1, z1) y (x2, y2, z2) son:
Ejemplo:
Localizar los siguientes pares de puntos, calcular la longitud del segmento que los
une y las coordenadas de sus puntos medios.
Vectores de posición y trasladados
Vectores fundamentales: Definición.
Supongamos que se ha definido un sistema de coordenadas rectangulares. Se define el vector î como el vector unitario cuya dirección es la del semieje positivo X, el vector ĵ es el vector unitario cuya dirección es la del semieje positivo Y, y el vector k es el vector unitario cuya dirección es la del semieje positivo Z
Vectores de posición y trasladados
Vectores en el espacio
En el espacio los vectores se denotan por ternas ordenadas v=‹v1,v2,v3›. El vector cero se denota por 0= ‹0,0,0›. Usando los vectores unitarios i=‹1,0,0›,
j=‹0,1,0› y k =‹0,0,1›. La notación empleando los vectores unitarios canónicos o estándar para v es
v= v1i+v2j+v3k.
Las componentes de un vector dados dos puntos se obtiene restando las coordenadas del punto final menos el punto inicial, sea P(p1,p2,p3), Q(q1,q2,q3) así:
v=‹v1,v2,v3›=‹q1-p1,q2-p2,q3-p3›.
Vectores en el espacio.
Sean u = <u1, u2, u3> y v = <v1, v2, v3> vectores en el espacio y sea c un escalar.Igualdad de Vectores: u = v sí y solo sí u1 = v1 u2
=v2 u3 =v3
Expresión mediante las componentes: Si v se presenta por el segmento de recta dirigido de P(p1, p2, p3) a Q (q1, q2, q3 ). Entonces:
v = <v1, v2, v3> =< q1- p1 , q2 - p2 , q3- p3 > Longitud:║v║ =
Vector unitario en la dirección de v:
Suma de vectores: v + v = < u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3>
Multiplicación por un escalar. cv = <cv1, cv2, cv3>
Hallar las componentes de un vector en el espacio.
Ejemplo
Hallar las componentes y la longitud del vector v que tiene punto inicial (-2, 3, 1) y punto final (0,-4,4)Después hallar un vector unitario en la dirección de v.
Definición de Vectores Paralelos.
Dos vectores distintos de cero u y v son paralelos si hay algún escalar c tal que u = cv.
Ejemp.
El vector w tiene punto inicial (2, -1, 3) y punto final (-4,7,5). ¿Cuál de los vectores siguientes es paralelo a w?
Ejemplo.Uso de vectores para determinar puntos colineales.
Determinar si los puntos P (1,-2,3), Q (2,1,0) y R(4,7,-6) son colineales.
Ejemplo.Notación empleando los vectores unitarios canónicos.
a)Exprese el vector v = 4i - 5k por medio de sus componentes.
b)Hallar el punto final del vector v = 7i-j+3k, dado que el punto inicial es P(-2,3,5)
Solución.
a)Como falta j, su componente es 0 y v= 4i- 5k = <4,0,5>
b)Se necesita encontrar Q (q1, q2, q3 ) tal que
v = PQ = 7i-j+3k. Esto implica que q1-- (-2)= 7, q2 – 3 =-1 y
q3 -5 = 3.
Por tanto, Q es (5,2,8)