universidad del zulia programa de ingenierÍa nÚcleo costa oriental … · universidad del zulia...

UNIVERSIDAD DEL ZULIA

PROGRAMA DE INGENIERÍA

NÚCLEO COSTA ORIENTAL DEL LAGO

UNIDAD CURRICULAR: FÍSICA I

INSTRUCTIVO

PRÁCTICA Nº 2. ERRORES DE MEDICIÓN

Preparado por.

Ing. Ronny J. Chirinos S., MSc

Práctica Nº 2. Errores de Medición

OBJETIVOS

Conocer los tipos de errores de medición.

Establecer diferencias entre las mediciones directas e indirectas.

Calcular el margen de error en una medición aplicando el método de los mínimos cuadrados. INTRODUCCIÓN

Cuando se mide una cantidad física, no debe esperarse que el valor obtenido sea

exactamente igual al valor verdadero. Es importante dar alguna indicación de qué tan cerca está el resultado obtenido del valor verdadero1; es decir, alguna indicación de la exactitud o confiabilidad de la medición. Esto se hace incluyendo en el resultado una estimación de su error. Por ejemplo, puede medirse una distancia focal f de una lente y dar el resultado final como:

mm2256f

Por eso se entiende que se cree que la distancia focal está en alguna parte dentro

de la variación de 254 a 258 mm. En realidad, la ecuación que antes expresamos, es una afirmación de la probabilidad; no significa que se está seguro que el valor está entre los límites indicados, sino que las mediciones indican que hay cierta probabilidad de que esté ahí.

La estimación de los errores es importante porque sin ella no se puede obtener

conclusiones significativas de los resultados experimentales. Por ejemplo, supóngase que se desea determinar si la temperatura tiene efecto sobre la resistencia de una bobina de alambre. Los valores de la resistencia que se miden son los siguientes:

200,025 Ohm a 10°C 200,034 Ohm a 20°C ¿Es significativa la diferencia entre los dos valores? Si no se conocen los errores no puede contestarse la pregunta. Por ejemplo, si el

error en cada valor de la resistencia es 0,001 Ohm, la diferencia es significativa; en tanto si el error es 0,010 Ohm, entonces no lo es. Una vez obtenido el resultado de un experimento, se difunde por el mundo y se convierte en propiedad pública; diferentes personas pueden hacer uso de él en formas diversas. Algunas pueden utilizarlo en sus cálculos para fines prácticos, otros quizás desean compararlo con una predicción teórica. Por ejemplo, un Ingeniero Electricista desearía conocer la resistividad del cobre, a fin de diseñar un transformador; en tanto un físico que estudia el estado sólido

1 El valor verdadero se considera aquel que corresponde al hecho de medir una magnitud sin verse

afectada por ningún tipo de error. En la práctica esto no se logra nunca.


desearía conocer el mismo dato para comprobar la teoría de los electrones en los metales. Cualquier uso que una persona haga de un resultado experimental querrá saber si éste es suficientemente preciso para sus propósitos; y si éste obtiene algunas conclusiones, deseará saber cuanta confianza puede poner en ellos. Para responder a tales preguntas es necesario estimar el error del resultado y es responsabilidad del experimentador hacerlo.

I PARTE: FUNDAMENTOS TEÓRICOS ERRORES DE MEDICIÓN

Las alteraciones que se producen al efectuar cualquier medición, es decir, la

divergencia en el resultado de la medición respecto al valor verdadero de la magnitud medida, determinan los errores en la medición.

Clases de errores:

Los errores de medición son de dos tipos: sistemáticos y accidentales (o aleatorios). Errores Sistemáticos

Los errores sistemáticos son aquellos que cuando están presentes en un proceso

de medición causan que las medidas obtenidas tiendan consistentemente a ser muy bajas o muy altas. Estos errores son producidos por:

a) El instrumento. Son aquellos errores provenientes del instrumento utilizado para realizar la medición. Los instrumentos son fabricados con cierto margen de tolerancia, a medida que estos son utilizados se presentan desajustes y deformaciones causando errores en las mediciones determinadas.

Para evitarlos es necesario ajustar el cero del instrumento y hacer la calibración del

mismo, o sea, analizar el comportamiento en cuestión con respecto a otro similar pero de mayor precisión.

A pesar del cuidado que se tenga en el ajuste y calibración de un instrumento

siempre se encontrarán ciertos errores que se denominan residuales. Los fabricantes de instrumentos especifican para cada uno de ellos su error límite, dentro del cual se garantiza está comprendido el error residual.

b) El operador. Estos errores se deben a los defectos visuales, a la sensibilidad del operador. Influyendo notablemente el cansancio y/o agotamiento del mismo. Además existen los errores debido a la posición incorrecta de la pieza al medir o al mal uso del


instrumento y/o equipo. Estos errores pueden disminuirse dependiendo de la destreza y habilidad del observador.

c) El método de medición. Es el error debido a la selección de un método de medición que no es el más indicado teniendo en cuenta la naturaleza de los instrumentos utilizados. Tal error surge con frecuencia al emplear nuevos métodos, así como al aplicar ecuaciones que presentan aproximaciones inexactas de la dependencia real entre las magnitudes.

d) Condiciones ambientales. Son productor de la influencia del medio ambiente en el proceso de medición por lo tanto siempre están presentes, tales como temperatura, humedad, presión, etc. Se recomienda aislar el instrumento, controlar la temperatura y presión, calcular el error y corregir el resultado de acuerdo a este cálculo.

Errores Accidentales (o aleatorios)

Son las causas de las diferencias que aparecen cuando se efectúan varias

mediciones del mismo valor de una magnitud en condiciones idénticas. Al finalizar la serie de mediciones se puede fijar los límites entre los cuales se

encontrará el error con una probabilidad determinada. Estos errores varían tanto en valor absoluto como en signo.

Un ejemplo que sirve para ilustrar la diferencia entre error sistemático y error

accidental es el siguiente: imagínese un cazador provisto de un rifle con mira telescópica que se encuentra haciendo prácticas de tiro disparando a un blanco situado a una cierta distancia. Después de haber hecho un número elevado de disparos se observa que la distribución de los mismos es como se muestra en la figura adjunta.

Figura 1 - Distribución de los disparos

Es evidente que por alguna razón los disparos del cazador fueron “todos

consistentemente a la derecha y hacia arriba del blanco B. La causa de esta desviación es un error sistemático (mira telescópica defectuosa, no consideración de la velocidad


del viento, entre otros) puesto que todos los disparos presentan una desviación del mismo sentido.

Si se considera el blanco ficticio B’, se puede observar que los disparos se

distribuyen de cierta manera alrededor de este blanco. Las pequeñas desviaciones que ocurren son producto de errores accidentales. Si el error sistemático es eliminado, la distribución de los disparos alrededor del blanco real B, sería similar a la distribución de los mismos alrededor del blanco ficticio B’.

PRECISIÓN Y EXACTITUD DE MEDICIONES

a) Precisión: es la posibilidad de repeticiones en un proceso de medición, o simplemente que tanto concuerdan entre sí una serie de medidas idénticamente realizadas. Este concepto se aplica a un conjunto de mediciones no a una sola medida, ya que para un conjunto de mediciones los resultados individuales se esparcirán alrededor del valor medio.

b) Exactitud: es la concordancia de resultado de una medición con un valor verdadero de la cantidad medida. La diferencia entre el valor medio y el valor verdadero es el error de la medición. Ya que el valor verdadero es generalmente desconocido, lo único posible es estimar por varios métodos la magnitud del error. Esto se conoce como incertidumbre.

En el ejemplo del tiro al blanco están presentes errores accidentales y sistemáticos.

Hay una alta precisión, pero una baja exactitud. Se obtendrá una alta precisión si el error accidental es pequeño y será baja si dicho

error es grande. Si corregimos los errores sistemáticos la exactitud será alta.

CLASES DE MEDICIONES Las mediciones pueden clasificarse en dos grupos:

a) Mediciones directas: Son el resultado de la comparación directa de la magnitud física a ser medida con una magnitud de la misma especie elegida como “patrón”. Se realizan con la ayuda de un instrumento. Ejemplo: al medir longitudes. b) Mediciones indirectas: Son el resultado de cálculos que envuelven una o varias medidas directas, usando ecuaciones teóricas o empíricas que relacionan la magnitud buscada con aquellas magnitudes que pueden ser medidas directamente. Ejemplo: calcular la densidad y el volumen.


ESTIMACIÓN DE ERRORES DE MEDIDAS DIRECTAS

En una serie de medidas

El error absoluto de una medida, es la diferencia entre el valor verdadero que se pretende y el que se consigue. El valor verdadero de una magnitud es inaccesible, pero es posible limitar la incertidumbre de la medida. Estadísticamente se prueba que el error disminuye si se realiza varias veces la medición y se toma como valor más probable la media aritmética de los valores obtenidos.

Método de los mínimos cuadrados

Supóngase que se mide n veces una misma magnitud x, obteniéndose x1, x2,…, xn

valores. El valor más probable de x es:

n

1i

in21 x

n

1

n

x...xxx

Para limitar la incertidumbre de esta medida probable se utiliza el método de la

teoría de Gauss. Se deduce que el llamado error cuadrático medio de una serie de datos es:

1nn

d

x

n

1i

2

i

Donde xxd ii es la desviación de cada medida respecto al valor medio y n es el

número de medidas realizadas. De este modo se puede expresar la magnitud x de la siguiente manera:

xxx Lo cual se puede interpretar diciendo que el valor verdadero se encuentra entre

xx y xx . Generalmente el error absoluto no dice mucho acerca de la magnitud del error

cometido y es por esta razón que se define el error relativo como:

x

x

probable Valor

cuadrático ErrorEr


El error relativo porcentual es:

100x

xEr%

El error relativo porcentual indica la magnitud relativa del error con respecto al valor

medio y permite la comparación directa de los errores cometidos en la determinación de diferentes magnitudes físicas. Por ejemplo, cuando al medir una longitud decimos que hemos cometido un error de 1mm, es poco lo que afirmamos, si no agregamos además, cuál es la magnitud de la longitud sobre la cual hemos cometido el error.

En efecto, si el error que se comete en la determinación del espesor de una madera

terciada de 3mm resulta mm1x , y %33Er% . Es decir el error relativo cometido

involucra la tercera parte de la magnitud que se desea medir. Luego, si hacemos una medición de 1Km con aproximación del milímetro, resulta

mm1x , y %001,0Er% . Al comparar los errores relativos podemos asegurar que la

segunda medida es de alta precisión comparada con la primera. Ejemplo. Se han realizado las siguientes medidas x1, x2,…, xn de una magnitud x y

se quiere determinar su error usando el método de los mínimos cuadráticos.

x Magnitud (en mm)

despreciable 0.261

x1 0.250

x2 0.254

x3 0.253

x4 0.255

x5 0.253

despreciable 0.259

Criterios para despreciar medidas El buen criterio del experimentador despreciará sin escrúpulos alguno, aquellos

valores obtenidos que por grandes o pequeños se alejen mucho de la moda de la serie. La moda de un conjunto es aquella que se repite con más frecuencia.


Determinemos:

a) El valor probable de x.

mm253.0x

5

253.0255.0253.0254.0250.0x

b) Desviación de cada medida respecto del valor x .

3

1

11

103003.0253.0250.0d

xxd

El resto de las desviaciones se calculan de igual forma y se muestran en la tabla

siguiente.

c) Desviaciones anormales cuadráticas de cada medida.

6232

1 109103d

x di · 10-3 di · 106

0.250 -3 9 0.254 1 1 0.253 0 0 0.255 2 4 0.253 0 0

d) Error cuadrático medio. Sustituyendo los valores resulta:

46

10845

1010x

Luego, la medida puede expresarse como:

mm 0008.0253.0x

Calculando el error relativo porcentual,

%32.0%316.0100253.0

0008.0Er%


En una medida Cuando se realiza una medida con un instrumento, este introduce un error debido a

su “inexactitud”, que está dada por la más pequeña desviación sobre la escala del mismo.

Por ejemplo, al medir el diámetro de una esfera con un tornillo micrométrico cuya

apreciación es de 0.01mm, el resultado es mm01.025.3D , y el error absoluto en la

medida es mm 01.0x . El error relativo de la medida se define como:

Medida

medida la de absoluto ErrorEr

Si se mide la longitud de una varilla con una regla cuya apreciación es de 1mm, el

observador puede introducir un error al estimar la lectura. En esta situación difícilmente se puede decir más que “el extremo de la longitud que se quiere medir coincide o no coincide con una división de la regla”.

En este caso no se puede apreciar más que la mitad de una división menor de la

escala.

La medida registrada en la figura arriba es 05.045.11 cm.

ESTIMACIÓN DE ERRORES DE MEDIDAS INDIRECTAS

Anteriormente se definieron las medidas indirectas como aquellas que son el

resultado de cálculos que envuelven una o varias medidas directas. Puesto que hay un error asociado en cada una de las medidas directas, estos

errores necesariamente tienen que reflejarse en el valor final de la medida indirecta. El error absoluto de una medida indirecta generalmente es mayor que los errores

absolutos de las medidas directas de las cuales ésta se calcula. Supongamos que tenemos una medida indirecta Z en cuyo cálculo intervienen

varias magnitudes medidas directamente x, y, u, v,…, es decir:

,...v,u,y,xfZ


Si x, y, u, v, …, son magnitudes independientes, es decir que cualquier error que se cometa en una de ellas no afecta a las otras, se puede calcular por separado el efecto que produce el error cometido en cada una de ellas, sobre Z y luego combinar dichos efectos para calcular el error absoluto en Z. Usando el cálculo diferencial elemental se obtiene:

...v

Z

u

Z

y

Z

x

ZZ

2222

En donde x

Z es la derivada parcial de Z con respecto a x y así sucesivamente.

... y, ,x son los errores absolutos de cada medida directa por separado.

El error relativo porcentual lo determinamos por:

100Z

ZZEr%

EJERCICIO MODELO

Calcúlese la densidad de un cilindro metálico mediante calibre y balanza. La ecuación para el cálculo de la densidad del cilindro es:

hD

m42

a) Medidas directas.

m (gr) d x 10-1 d2 x 10-2 D (cm) d x 10-2 d2 x 10-4 h (cm) d x 10-2 d2 x 10-4

602.9 +1 1 3.98 Se desprecia 5.82 Se desprecia 602.7 -1 1 4.00 -2 4 6.02 +1 1 602.9 +1 1 4.02 0 0 6.01 0 0 602.8 0 0 4.03 +1 1 6.00 -1 1 602.0 Se desprecia 4.03 +1 1 6.01 0 0 602.7 -1 1 4.02 0 0 6.01 0 0

3014.0 4 20.10 6 30.05 2


gr 8.6025

0.3014m

cm 02.45

10.20D

cm 01.65

05.30h

gr 04472.045

104m

2

cm 00547.045

106D

4

cm 00316.045

102D

4

b) Medida indirecta.

3cm

gr90.7

01.616.16

8.6024

222

hh

DD

mmEr

Al reemplazar en la ecuación arriba,

hD

4

m 2

hD

m42

D 3

22 hD

m4

h

y hD

m42

Al simplificar se obtiene:

222

h

h

D

D2

m

mEr

Sustituyendo valores nos queda

003.001.6

003.0

02.4

005.02

8.602

04.0Er

222


El valor de viene dado por:

3cm

gr003.090.7

CIFRAS SIGNIFICATIVAS

Las cifras significativas de una medida son las que el experimentador lee y estima

en la escala de un instrumento de medida, el mínimo de cifras significativas depende de la apreciación del instrumento utilizado para realizar dicha medida. Por ejemplo, se mide un objeto con una regla, cuya división menor es de 1 cm (figura abajo). Como el extremo del objeto queda entre las divisiones 10 y 11 cm hay certeza en las dos primeras cifras (1 y 0), pero hay duda en cuanto a la tercera. Un estimativo entre 10 y 11, por lo tanto, la longitud del objeto, con tres cifras significativas es de 10.6 cm.

Lectura de cifras significativas

El número de cifras significativas de una medida se puede establecer por las reglas

siguientes:

a) La primera cifra significativa de una medida es la primera distinta de cero, contado de izquierda a derecha. En la medida 25.65 mm, la primera cifra significativa es el 2. b) Los ceros que se usan para localizar el punto decimal no son significativos. Por ejemplo, en 0.0002335 gr/cm3. Esta cantidad se puede escribir de diferentes maneras: 2335x10-7, 233.5x10-6 gr/cm3. Todas tienen cuatro cifras significativas.

c) El número de cifras significativas es independiente de la unidad de medida. La medida del objeto de la Figura 1 puede expresarse como 10.6 cm, 106 mm, 0.106 m o 1.06x10-4 km. En todo caso el número de cifras significativas es 3. d) Los ceros finales en medidas que contengas fracciones decimales, serán o no significativos dependiendo de la apreciación del instrumento utilizado para realizar dicha medida. En 7.00 cm, los ceros finales serán significativos si la medida fue hecha con un instrumento cuya apreciación fuera en el orden de las centésima. Si utilizáramos un instrumento cuya apreciación fuera en el orden de las décimas la lectura sería 7.0 cm.

Operaciones con cifras significativas.

Aproximaciones (redondeo):

a) Si el primer número a la derecha de la última cifra significativa es menor que 5, se suprime y la última cifra significativa queda igual. Por ejemplo, si se desea expresar 3.1416 con tres cifras significativas, identificamos la última cifra significativa, 4. Como la siguiente hacia la derecha es 1 (menor que 5), queda 3.14.


b) Si el primer número a la derecha de la última cifra significativa es mayor que 5, se suprime, pero se aumenta en una unidad la última cifra significativa. Si deseamos expresar 45.36 con tres cifras significativas, identificamos la última cifra significativa que es 3 y como la que le sigue a la derecha es mayor a 5, nos queda 45.4.

c) Si el primer número a la derecha de la última cifra significativa es exactamente 5, se suprime y se añade 1 unidad a la última cifra significativa si esta es impar, pero no se le añade si es par. Por ejemplo, al expresar 96.95 y 55.85 con tres cifras significativas, obtenemos 97.0 y 55.8.

d) Si el primer número que sigue a la última cifra significativa es 5 seguido de cero, se suprime el 5 y la última cifra significativa queda igual si es par o se le agrega 1 unidad si es impar. Se nos pide expresar 16.450 y 26.750 con tres cifras significativas. De acuerdo a lo referido obtenemos 16.4 y 26.8.

e) Si el primer número que sigue a la última cifra significativa es 5 seguido de un número diferente de cero, se suprime y la última cifra significativa aumenta una unidad. Por ejemplo, al expresar 2.853 con dos cifras significativas, obtenemos 2.9.

En la siguiente tabla se muestran aproximaciones de algunas cantidades, siempre

referidas a la cifra original.

Número 5 cifras 4 cifras 3 cifras 2 cifras 1 cifra

7.58400x10-5 7.5840x10-5 7.584x10-5 7.58x10-5 7.6x10-5 8x10-5 3.14159 3.1416 3.142 3.14 3.1 3 1.00280 1.0028 1.003 1.00 1.0 1

Adición y sustracción:

Al sumar o restar el resultado final no puede tener más cifras significativas después

del punto decimal que aquél con menor cantidad de ellos. Por ejemplo, sumar 335.46 m y 14.9 m.

m 4.35036.3509.1446.335

Multiplicación, división y raíces:

Al efectuar cálculos que impliquen productos, divisiones y raíces de números el

resultado final no puede tener más cifras significativas que aquél con menor cantidad de ellos.

Ejemplo 1: multiplicar 33152.424.73


Ejemplo 2: dividir 72023.0/648.1

Ejemplo 3: extraer la raíz 22.67.38

EJERCICIOS

1. Determinar el número de cifras significativas de las siguientes magnitudes físicas:

s/m 109979.2c 8 Cifras significativas 2s/m 78049.9g Cifras significativas

m 10378.6R 6

T Cifras significativas

2. Exprese las siguientes cantidades:

24.7 con 2 Cifras significativas




3. Realizar las siguientes operaciones y dar el resultado con el número correcto de cifras significativas:

759.023.36497 3.9/8.9

233.086207.8165.23 24.895.128

06.45778.362 2.1/0005.0

3.021.2 182419324

4. Se desea medir el espesor de una moneda tan aproximadamente como sea posible; se tienen dos instrumentos cuyas apreciaciones son 0.01 y 0.001 mm. ¿Cuál seleccionaría usted y por qué?

5. En unas mediciones realizadas se obtuvieron los siguientes resultados:

cm 10.020.104l

cm 00003.003005.0r

Calcule el error relativo para cada caso.


II. PARTE EXPERIMENTAL

Vamos a utilizar el vernier:

1. El instructor le hará entrega de una figura geométrica y un vernier.

2. Mida la magnitud de cada uno de los parámetros de la figura geométrica entregada.

3. Anote en la hoja de datos, los valores de cada una de las medidas realizadas.

4. Se tendrán n medidas en cada grupo, siendo “n” el número de integrantes del grupo. Complete la Tabla 1, con las medidas realizadas por sus compañeros de grupo.

5. Rechace todas las medidas que por grandes o pequeñas se alejan de la moda.

6. Calcule el valor probable de cada una de las variables.

7. Calcule el error absoluto de cada uno de los parámetros y exprese el resultado en

la forma xxp , anótelo en la Tabla 2.

8. Calcule el volumen probable de la figura geométrica entregada.

9. Calcule el error absoluto del volumen y expréselo en la forma VxV . Anótelo en

la Tabla 2.


HOJA DE REGISTRO DE DATOS 1. Tabla de Valores.

x y z

x: _____________________ y: _____________________ z: _____________________

2. Resultados.

Medida xp ± Δx

universidad del zulia programa de ingenierÍa nÚcleo costa oriental … · universidad del zulia...

Documents