UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

CLAVE-116-3-M-1-00-2016_sA

CURSO: Matemática Aplicada 3

SEMESTRE: Primero

CÓDIGO DEL CURSO: 116

TIPO DE EXAMEN: Tercer Examen Parcial

FECHA DE EXAMEN: 4 de Mayo de 2016

RESOLVIÓ EL EXAMEN: Ing. Alfonso Velázquez

DIGITALIZÓ EL EXAMEN: Juan Ramón Veleche Brán

COORDINADOR: Ing. José Alfredo González Díaz

INSTRUCCIONES:

Resuelva los temas que se presentan a continuación dejando los

procedimientos necesarios para justificar sus respuestas, trabaje limpio y

ordenado. UTILICE HASTA 6 DECIMALES

TEMA 1 (30 puntos)

Para el siguiente sistema:

2𝑥1 − 𝑥2 + 4𝑥3 = 2

𝑥1 − 8𝑥2 + 3𝑥3 = −6

3𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 2

Partiendo de la aproximación inicial 𝑥(0) = 0́ y con una tolerancia de 10-3

determine la solución mediante la siguiente secuencia (DEJE CONSTANCIA

DE 1 ITERACIÔN COMPLETA POR CADA METODO) :

a) Determine SOLO 3 ITERACIONES con el método de Jacobi x(3)

Solución: Como primer paso para utilizar el método de Jacobi se debe de demostrar que

la matriz de valores del sistema de ecuaciones es diagonalmente dominante:

2 −1 41 −8 33 1 −3

=2−62

Se debe primeramente ordenar las filas en orden decreciente:

2 −1 41 −8 33 1 −3

=2−62

Se ordena de la siguiente manera:

3 1 −31 −8 32 −1 4

=2−62

Valor más grande

en la columna (1)

se le asigna a la

fila el número 1.

Valor más grande

en la columna (2)

y asigna a la fila

el número 2.

Se comprueba que la matriz

es diagonalmente dominante:

3˃|1 + 3|

|−8|˃(1 + 3)

|4|˃|2 + 1|

La matriz es diagonalmente

dominante.

Se procede a desarrollar el método. Se procede a despejar el sistema de

ecuaciones:

2𝑥1 − 𝑥2 + 4𝑥3 = 2

𝑥1 − 8𝑥2 + 3𝑥3 = −6

3𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 2

Primera Iteración: k=1 con 𝑥(0) = 0,0,0 >

Ingresando al algoritmo computarizado de EXCEL®:

R// x(1) =<0,666 ; 0,75 ; 0,5˃

x(2) =<0,583 ; 1,02 ; 0,354˃

𝑥1 =−𝑥23

+𝑥33+2

3

𝑥2 =𝑥18+3𝑥38

+6

8

𝑥2 =−2𝑥14

+𝑥24+2

4

𝑥1 =−0

3+0

3+2

3= 2 3⁄

𝑥2 =0

8+3 ∗ 0

8+6

8= 6 8⁄

𝑥2 =−2 ∗ 0

4+0

4+2

4= 2 4⁄

Se calcula el error para los 3

valores :

‖𝑥(1) − 𝑥(0)‖ = 0,6; 0,75; 0,5 >

Se toma el valor de error más

grande: 0,75

3

x(3) =<0,444 ; 0,955; 0,463˃

b) Tome como valor de arranque la aproximación x(3) del inciso anterior y

llegue a la solución mediante el método de Gauss-Seidel con la

tolerancia indicada.

R// x (4) =<0,5001; 0,999; 0,4998˃

Tema 2 (20puntos)

Dado el siguiente sistema, resuélvalo con el Metodo de Punto Fijo no Lineal

DEJANDO CONSTANCIA DE 1 ITERACION COMPLETA

2𝑥 − 0,25(𝑠𝑖𝑛(𝑦) + 𝑐𝑜𝑠(𝑥)) = 0

2𝑦 − 0,25(𝑠𝑖𝑛(𝑥) + 𝑐𝑜𝑠(𝑦)) = 0

Con : tol=10-3 x(0)=0,180,22

Primeramente se despejan las variables:

𝑔1 = 𝑥 =0,25(𝑠𝑖𝑛𝑦 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)

2= 0,125𝑠𝑖𝑛𝑦 + 0,125𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑔2 = 𝑦 = 0,125𝑠𝑖𝑛𝑥 + 0,125𝑐𝑜𝑠𝑦

Se evalúa el vector de arranque:

𝑔1 = 0,125𝑠𝑖𝑛0,18 + 0,125𝑐𝑜𝑠0,22 = 0,150 < 1

La función g1 cumple con la condición de g1(x0; y0) <1

Se evalúan las respectivas derivadas parciales para verificar la segunda

condición necesaria para aplicar el método a g1:

𝜕𝑔1𝜕𝑥

< 1𝑦𝜕𝑔1𝜕𝑦

< 1

𝑑𝑔1𝑑𝑥

= −0,125𝑠𝑖𝑛𝑥𝑦𝜕𝑔1𝜕𝑦

= 0,125𝑐𝑜𝑠𝑦

Evaluando en x (0):

𝜕𝑔1𝜕𝑥

= −0,125𝑠𝑖𝑛0,18 = 0,01867 < 1

𝜕𝑔1𝜕𝑦

= 0,125𝑐𝑜𝑠0,22 = 0,1219 < 1

De la misma manera para g2 :

𝑔2(0,18; 0,22) = 0,125𝑠𝑖𝑛0,18 + 0,125𝑐𝑜𝑠0,22 = 0,14436 < 1

𝜕𝑔2𝜕𝑥

= 0,125𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0,125𝑐𝑜𝑠0,18 = 0,1229 < 1

𝜕𝑔2𝜕𝑦

= −0,125𝑠𝑖𝑛𝑦 = −0,125𝑠𝑖𝑛0,22 = 0,0,02727 < 1

El despeje del sistema cumple con las condiciones necesarias para aplicar el

método. Aplicando el método

𝑥 = 0,125𝑠𝑖𝑛0,18 + 0,125𝑐𝑜𝑠0,22 = 0,150259

𝑦 = 0,125𝑠𝑖𝑛0,18 + 0,125𝑐𝑜𝑠0,22 = 0,14436

TOL =(0,22-0,14436)=0,075

𝑥 = 0,125𝑠𝑖𝑛0,150259 + 0,125𝑐𝑜𝑠0,14436 = 0,141575

𝑦 = 0,125𝑠𝑖𝑛0,150259 + 0,125𝑐𝑜𝑠0,14436 = 0,142411

TOL=0,0082

𝑥 = 0,125𝑠𝑖𝑛0,141575 + 0,125𝑐𝑜𝑠0,142411 = 0,14491

𝑦 = 0,125𝑠𝑖𝑛0,141575 + 0,125𝑐𝑜𝑠0,142411 = 0,141372

TOL=0,001

𝑥 = 0,125𝑠𝑖𝑛0,14491 + 0,125𝑐𝑜𝑠0,141372 = 0,141369

𝑦 = 0,125𝑠𝑖𝑛0,14491 + 0,125𝑐𝑜𝑠0,141372 = 0,141380

TOL=0,00012 <0,001

R// {𝑥 = 0,141369𝑦 = 0,141380

K=1

K=2

K=3

K=4

Tema 3 (25puntos)

Determine los valores y vectores característicos de la matriz 𝐴 = (2 −7 05 10 40 5 2

)

Solución Para la determinación de los vectores característicos se parte de la inserción

de λ :

‖𝐴 − 𝜆𝐼‖ = (2 − 𝜆 −7 05 10 − 𝜆 40 5 2 − 𝜆

)

Se encuentra el determinante de la matriz:

2 − 𝜆[ |(10 − 𝜆) + 20]

(2 − 𝜆 −7 05 10 − 𝜆 40 5 2 − 𝜆

) ↔ (2 − 𝜆)

(2 − 𝜆 −7 05 10 − 𝜆 40 5 2 − 𝜆

) ↔ −(−7)[5(2 − 𝜆) + 0] (2 − 𝜆 −7 05 10 − 𝜆 40 5 2 − 𝜆

)

↔ 0[25 + 0]

El determinante:

2 − 𝜆[ |(10 − 𝜆) + 20] + (7)[5(2 − 𝜆)]

|𝐴 − 𝜆𝐼| = (2 − 𝜆)

Se resuelve la ecuación: |𝐴 − 𝜆𝐼| = 0

Desarrollando |𝐴 − 𝜆𝐼| : −𝜆3 + 14𝜆2 − 59𝜆 + 70 = 0

Resolviendo se encuentran los valores propios: 𝜆1 = 2; 𝜆2 = 7; 𝜆3 = 5

Evaluando los valores propios para cada valor propio:

(2 − 2 −7 05 10 − 2 40 5 2 − 2

) = (0 −7 05 8 40 5 0

)

Se traduce en la ecuación: -7y=0; 5x+8y+4z=0

Por tanto: x=-4/5z, si z=5

Resolviendo: 𝐾1́ =−405

λ= 2

(2 − 7 −7 05 10 − 7 40 5 2 − 7

) = (−5 −7 05 3 40 5 −5

)

Resolviendo 𝐾2´ =

−755

(2 − 5 −7 05 10 − 5 40 5 2 − 5

) = (−2 −7 05 5 40 5 −3

)

Resolviendo 𝐾3´ =

−735

Tema 4(25 puntos)

De la tabla siguiente, formule un polinomio de grado 3 por el método de

DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON; SIMPLIFIQUELO y utilícelo para

encontrar la aproximación de f (30). Dejar constancia de todo el procedimiento:

X F(X)

5 30

15 45

25 55

40 35

Solución: Como primer paso, se debe definir qué tipo de diferencias divididas se adapta

al caso estudiado. Analizando la tabla:

X F(X)

5 30

15 45

25 55

40 35

x f(x) Col.1 Col.2 Col.3 Col.4

5 30

15 45 1,5

25 55 1 -0,025

40 35 -1,33333333 -0,09333333 -0,00195238

TABLA DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON

λ= 7

λ= 5

Al interpolar el valor de

30, se utiliza el método

de diferencias

divididas progresivas

45 − 30

15 − 5=15

10= 1,5

De esta manera, se tiene la tabla de diferencias divididas:

TABLA DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON

x f(x) Col.1 Col.2 Col.3 Col.4

5 30

15 45 1,5

25 55 1 -0,025

40 35 -1,33333333 -0,09333333 -0,00195238

Aplicando la fórmula de diferencias divididas:

P(x) = 30 +1,5(x-5)-0,035(x-5)(x-15)-0,00195238(x-5)(x-15)(x-25)

Valuando para x=30

P(30) = 53,4639

−0,093333 − (−0,00195238)

40 − 5= −0,00195238