Capítulo 2 Figuras planas comunes

Recordemos nombres y definiciones de figuras geométricas planas comunes: cuadrado, rectángulo, triángulo, círculo, etc. Todas ellas son figuras planas cerradas limitadas por segmentos de recta y/o arcos circulares. A dichas figuras se les asocia un perímetro, el cual está constituido por los segmentos y/o arcos circulares que lo limitan. A dicho perímetro se le asocia una longitud, a esta longitud usualmente también se le llama perímetro. A estas figuras se les asocia también una región del plano, la región que está limitada por el perímetro. A dicha región se le asocia un área que representa el número de unidades cuadradas de dicha región. Veamos algunas de dichas figuras:

¿Recuerda el nombre específico de cada una de ellas? En el mundo físico, existen muchos objetos: terrenos planos, superficies planas de objetos, etc. que pueden considerar representantes concretos de figuras geométricas ideales comunes. Unas las consideraremos estáticas, no cambian de forma, área y perímetro en el tiempo y/o plano, por ejemplo la hoja (plana) donde Ud. está leyendo ahora. Otras cambian de forma, y/o área, y/o perímetro en el tiempo y espacio; imagine un disco circular metálico que al transcurrir el tiempo se dilata simétrica y radialmente al someterse a calentamiento. Por otro lado, por necesidades de resolver determinado problema, a cierta figura, nosotros mismo haremos variar sus magnitudes, por ejemplo, podemos (imaginar) hacer variar el perímetro de un rectángulo sin que su área cambie. Aceptaremos también figuras degeneradas, por ejemplo, un rectángulo que se degenera en segmento, un triángulo que degenera en un sólo punto, etc. a ellas les asociaremos área o perímetro nulo. Observación. En general, nosotros nos interesaremos en estudiar una clase de especial de figuras planas llamadas convexas. Ellas se caracterizan porque todo segmento que une dos puntos cualesquiera de la región limitada por el perímetro queda completamente sobre dicha región.

Figuras convexas Figuras no convexas En algunas ocasiones trabajaremos con figuras no convexas, por ejemplo ciertos tipos de sectores circulares, o figuras no convexas compuestas por figuras convexas.

2.1 Cuadrado Consideremos el segmento fijo AB, de longitud (finita) 0l > pero fija; imaginemos el segmento CD, también de longitud l coincidente con AB, traslademos CD paralelamente a AB sobre el plano una distancia l perpendicular a AB, la región “barrida” por CD le llamaremos cuadrado: región plana limitada por cuatro segmentos de igual longitud perpendiculares dos a dos.

A los cuatro segmentos se les llama lados. Se dice que los lados AB e DC son opuestos entre sí, que también los lados AD y BC son opuestos entre sí. El punto de intersección de dos lados se llama vértice. Se dice que los vértices A y C son opuestos y los vértices A y D son adyacentes, lo mismo puede decirse para otros pares de vértices. Los segmentos AD y BD se llaman diagonales. Generalmente el cuadrado se dibuja con lados horizontales y verticales. Generalmente, el cuadrado se dibuja con lados horizontales y verticales.

2.1.1 Perímetro Es el número de unidades de longitud que mide la suma de sus cuatro lados

4P l l l l l= + + + = . Imaginemos una plancha metálica de forma de un cuadrado cuyos lados se dilatan con la misma rapidez al ser expuesta a un cierto flujo de calor. Puesto que l cambia en el espacio y/o tiempo, entonces su perímetro P cambiará. En este sentido se dice que P depende de l, dicha relación de dependencia entre ellos es lineal,

( ) 4 ul (unidades lineales)P P l l= = 2.1.2 Área Es el número de unidades cuadradas de la región limitada entre sus cuatro lados (incluyendo esos lados). Ella se calcula multiplicando por si mismo sus lados 2A l l l= × =Vemos que si hacemos variar los lados de un cuadrado entonces su área varía, la relación entre su área y la longitud de su lado es cuadrática,

2 2( ) u (unidades cuadradas)A A l l= =

l l

l

lSegmentos coincidentesAB y CD

A,C DADA

CBB,D CB

Cuadrado

l

l

DA

CB

Observaciones (a) Comúnmente al dibujo del perímetro del cuadrado también se le llama cuadrado. (b) La maneara con que generamos el cuadrado no corresponde con el procedimiento físico con el cual dibujamos el cuadrado, nosotros dibujamos su perímetro. (c) Si AB es segmento nulo, l = 0, diremos que el cuadrado se degenera en un punto. (d) Los propios lados pueden o no incluirse en la región que representa el área del cuadrado. Para una figura dada, sí se incluye o no el perímetro, su área es la misma. En las áreas de figuras sucesivas, aunque no lo explicitemos, ellas incluyen su perímetro. Distingamos en dibujo cuando los lados pertenecen o no a la región. Se dice que el primer cuadrado incluye su frontera y que el segundo no la incluye. Sin embargo ambos tienen la misma área.

En la región se incluye En la región no se incluye sus lados (región cerrada) sus lados (región abierta) 2.1.2.1 Área variable Una placa metálica tiene la forma de un cuadrado. Después de haber sido sometido a calentamiento, se le deja enfriar. La longitud de su lado en el preciso momento en que se inició el proceso de enfriamiento era de 157.8 cm, y el tiempo de enfriamiento considerado es de 9.4 minutos. Suponiendo que por cada minuto que transcurre su longitud disminuye de manera constante en 0.1 cm. Nos interesa investigar. (a) El área del cuadrado cuando hayan transcurrido los 9.4 minutos de enfriamiento. (b) ¿A los cuantos minutos su área es de 24774 cm²? (c) La diferencia entre el área inicial y el área en un instante determinado. (d) Las gráficas cartesianas de su lado (L), su área (A) y la diferencia de áreas (D) en función de t, con 0 ≤ t ≤ 9.4 min. Solución. Primeramente tenemos que imaginar que los lados y el área del cuadrado son magnitudes que disminuyen en el tiempo, ellas son magnitudes variables que dependen del tiempo que transcurre. Por otro lado, el área depende de la longitud de su lado, y el lado depende del tiempo, por tanto, es claro que el área depende, finalmente, del tiempo. Refiramos la medida de la longitud de sus lados en uno de los vértices el cual lo supondremos fijo (aunque en realidad todos sus vértices pueden estar acercándose entre sí). Denotemos con t el tiempo medido en minutos donde 0 ≤ t ≤ 9.4. Denotemos con L la longitud de los lados, y con A el área, en ese intervalo de tiempo.

l l

l l

Para t = 0 min. Para 0 < t < 9.4 min.

(a) Puesto nos piden su área a los 9.4 minutos, si tuviéramos la relación entre el área y el tiempo A = A(t), simplemente sustituiríamos 9.4 por t y de allí obtendríamos el área A correspondiente. Veamos sí estos se puede realizar a partir de los datos que nos proporcionan. Por un lado, sabemos que A = A(L) = L², y por otro, nos dicen que L disminuye en 0.1 cm./min. a partir de su longitud inicial de 157.8 cm, esto último nos permite escribir L en términos del tiempo: L = L (t). Por tanto, si hemos escrito L en términos de t, sustituimos esta expresión en la relación del área del cuadrado, tendremos finalmente el área en términos del tiempo (en realidad se trata de construir dos funciones y realizar una composición con ellas). Realicemos esas actividades. Como L decrece a una velocidad constante de 0.1 cm/min. y su longitud inicial es de 157.8 cm. entonces la longitud de su lado decrece según la relación lineal: L = 157.8 - 0.1t, donde 0 ≤ t ≤ 9.4. Pero como A = L², entonces,

2( )2 (157.8 0.1 ) , con 0 9.4A A t t t= = − ≤ ≤

Ella nos da, explícitamente, el área para cualquier tiempo, y nos informa también cómo varía A al transcurrir el tiempo. En particular, si t = 9.4 min., entonces el área de cuadrado es A = A(9.4) = (157.8 - 0.1(9.4))² = 24605 cm² aproximadamente. (b) Nos dan el valor de A = 24774, nos piden determinar el valor de t correspondiente. Esto se puede responder usando la misma relación A = (157.8 - 0.1t)². Despejando t, queda: t = t(A) = (157.8 - A )/0.1, con 24,605 ≤ A ≤ 24,901 en la realidad hemos encontrado la expresión inversa de A = A(t). Esta relación nos da, explícitamente, el tiempo en función del área, ella nos puede informar el tiempo necesario que debe transcurrir para alcanzar determinada área. En particular si A = 24774, tenemos: t = t(24774) = 10(157.8 - 24774) ≈ 4. Por tanto, a los 4 segundos su área es 24774 cm² aproximadamente. (c) La diferencia de áreas es D = D(t) = área inicial - área en determinado tiempo = 157.8(157.8) - (157.8 -0.1t)² , al simplificar queda

D(t) = 31.56t + 0.01t², cm²

157.8

157.8 157.8

L

L 0.1t

157.8

0.1t

Ella nos informa cuánto ha disminuido el área en un instante determinado. ¿Cuánto fue la disminución total del área? (d) Se deja al lector. Problemas propuestos 1. Dibuje a mano alzada dos cuadrados diferentes y nombre sus elementos principales. 2. Describa que entiende Ud. por diagonal de un cuadrado. 3. Describa en palabras las fórmulas que permiten calcular el perímetro y área de un cuadrado. 4. ¿Todo cuadrado necesariamente debe ser convexo? 5. Se deben recubrir los bordes de una lámina cuadrada con tres capas de cinta adhesiva. Si sus lados miden 26.5 pg. Aproxime los metros de cinta necesarios para el recubrimiento. 6. En la figura siguiente, el área del cuadrado PQST es de 64 cm2. Determine el área del cuadrado sombreado.

7. Construya un cuadrado que tenga cuatro veces el área de un cuadrado de área 4. 8. Construya un cuadrado que tenga el doble del área de un cuadrado de área 4. 9. Dibuje un cuadrado (cuadrado inicial), inscriba un cuadrado dentro del primero de tal manera que sus vértices estén en el punto medio de los lados del primer cuadrado, de misma manera inscriba otro cuadrado dentro del segundo cuadrado. Y así sucesivamente. Si en proceso se continuara así, ¿a que tienden los cuadrados inscritos cuando el número de cuadrados inscritos tiende a infinito? 10. Con relación al problema 8. (a) Si l cuadrado inicial tiene un área de 16 cm2 ¿cuál es el área del primer cuadrado inscrito? (a) Si el tercer cuadrado inscrito tiene un área de 1 cm.2 ¿Cuál es el área del cuadrado inicial? (b) Si el cuadrado inicial tiene un perímetro de 64 cm. ¿cuál es el área del quinto cuadrado inscrito?

P 2.5 2.5 T

2.5

2.5

Q S

11. Una placa cuadrada muy delgada, está construida de cierto metal cuya densidad de masa superficial es de 89.5 gr/cm.². Aproxime la masa de dicha placa si se sabe que sus lados miden 34.5 cm. 12. ¿Entre qué valores tiene que estar la medida de la diagonal de un cuadrado de lado L? Proponga un intervalo acotado. 13. Haga las gráficas cartesianas del área y del perímetro de un cuadrado en función de su lado. ¿En qué punto se intersecan las gráficas?, ¿qué significado geométrico tiene dicho punto? 14. Determine la longitud del cuadrado de tal manera que su área como su perímetro sean numéricamente iguales. 15. ¿Qué valores puede tomar el lado de un cuadrado de tal manera que su área sea numéricamente menor que su perímetro? 16. ¿Qué valores puede tomar el lado de un cuadrado de tal manera que su área sea numéricamente mayor que su perímetro? 17. El área de un cuadrado crece a razón de 2.3 cm.²/s. a partir de 25.3 cm.². (a) Exprese su área en términos de t, (b) exprese su lado en términos de t, (c) ¿a los cuantos segundos su área será el doble?, (d) ¿cuál es el cambio que sufre su longitud desde t =1 hasta t =2 s.? 18. Por cada hora que transcurre el lado de un cuadrado crece 2 cm., a partir de 3.04 cm. (a) Exprese su lado en términos del tiempo. (b) Exprese su perímetro en términos del tiempo. (c) ¿A los cuántas horas su lado es de 7 cm? (d) ¿a los cuántas horas su perímetro es de 43.4 cm.²?, (e) ¿cuál es su área a 4.33 h.? 19. Un cuadrado cuyos lados son muy grandes, está creciendo. ¿Su perímetro crece numéricamente más rápido que su área? Explique. 20. Considere todos los cuadrados inscritos en un cuadrado de 10 cm. de lado. (Los vértices de los inscritos deben de quedar los lados del cuadrado dado). (a) Dibuje algunos cuadrados inscritos, seleccione varios pares de cuadrados y compare visualmente sus áreas, ¿tienen áreas iguales?. ¿Sus áreas varían?. ¿Entre todos ellos existe uno que tiene menor área?, (b) Considere el conjunto de cuadrados inscritos como si se tratara de un cuadrado cuya área varía al variar la longitud x. ¿Cuál es el dominio de variación de x? (c) Usando consideraciones visuales determine las dimensiones de cuadrado de menor área. (d) Explique la variación del área del cuadrado inscrito al variar x y esboce cualitativamente su gráfica cartesiana. (e) Trate de responder las mismas preguntas para su perímetro. Compruebe sus respuestas realizando la simulación asociada, Simulación Cuadrados.

21. El cuadrado TOGA de lados L es fijo. El cuadrado NIBE, también de lados L, se puede hacer girar tomando como pivote su vértice E el cual se ubica precisamente sobre el punto de intersección de las diagonales del cuadrado TOGA (centro del cuadrado). Al hacer girar de esta manera al cuadrado NIBE, ¿cambia el área sombreada? Responda usando argumentos visuales.

22. En la figura siguiente cada cuadrado tiene lado 1,

x

10

10

E

N

B

I

T O

GA

(a)Visualice y compruebe numéricamente que:

2 3 3 3(1 2 3) 1 2 3+ + = + + (b) Haga otro dibujo similar al anterior que le permita visualizar que

2 3 3 3 3(1 2 3 4) 1 2 3 4+ + + = + + + (c) De lo anterior ¿se puede inducir que para todo entero 1n ≥ ,

2 3 3 3 3 3(1 2 3 4 ) 1 2 3 4n n+ + + + + = + + + + +K K ? 2.2 Rectángulo Consideremos un segmento fijo AB, de cualquier longitud (finita) 0h > pero fija. Imaginemos segmento CD, también de longitud h coincidente con AB, traslademos CD paralelamente a AB sobre el plano una distancia 0b > , finita cualquiera pero fija, perpendicular a AB, la región “barrida” por CD le llamaremos Rectángulo: Región plana limitada por cuatro segmentos perpendiculares (no necesariamente de igual longitud) dos a dos.

Si 0b = , diremos que el rectángulo se degenera en el segmento AB ¿Qué se genera si AB es un segmento nulo, 0h = ? Naturalmente, Ud. puede generar o construir rectángulos utilizando otros procesos. Proponga otro procedimiento. Al igual que en el cuadrado hablamos de lados y vértices. En todo rectángulo los lados opuestos son iguales. Generalmente, se le dibuja de manera que dos de sus lados sean

h h h

DA bDADA

CB b b > h

CB b b = h

CB b b < h

h

horizontales y los otros verticales. Sus lados horizontales se les llama base b, y los verticales se les llama altura h.

2.2.1 Perímetro Es el número de unidades lineales que mide la suma de las longitudes de sus cuatro lados: P = b + h + b + h = 2b+2h. Vemos que el perímetro del rectángulo depende de las longitudes de su base y su altura en el sentido siguiente: si variamos una de ellas y dejamos constante la otra, entonces, obviamente, el perímetro variará; pero si variamos conjuntamente la altura y base el perímetro puede también variar, pero bajo ciertas condiciones puede permanecer constante ¿por qué?. Se ve así que el perímetro depende de esas dos magnitudes, se dice que es una función de dos variables y escribimos la notación simbólica:

( , ) 2 2 , ulP P b h b h= = + Observación: En lo sucesivo para representar la dependencia de cierta magnitud de dos, tres o más magnitudes, en el sentido arriba explicado, para cierto objeto geométrico, usaremos dicha notación aunque no explicitemos dicha dependencia. 2.2.2 Área Es el número de unidades cuadradas (no necesariamente enteras) de la región comprendida entre sus lados, se calcula multiplicando su base por su altura: A = bh. Se ve también que A depende de las dos variables b y h.

( , )A A h b hb= = u²

Ejemplo. Un rectángulo tiene un perímetro de 60 plg, y un área de 200 plg.² ¿Cuánto miden sus lados? Solución. Las incógnitas son la base y la altura del rectángulo. Denotemos con h la base y con b la altura de dicho rectángulo. Las condiciones del problema son: el perímetro rectángulo debe ser de 60 plg. y su área de 200 plg.2. Entonces podemos plantear el sistema de ecuaciones: 60 = 2h + 2b & 200 = hb. El problema es ahora algebraico, resolvamos este sistema no lineal de dos por dos. De, 200 = hb, h = 200/b. Sustituyendo en la primera ecuación tenemos: 60 = 400/b + 2b, de cual obtenemos: b² -30b + 200 = 0, en producto, (b - 10)(b - 20) = 0, de donde b = 10 & b = 20. Por tanto, se puede concluir que existen dos rectángulos que satisfacen las condiciones

h

DA b

CB b

h

impuestas: un de base 10 y altura 20 y otro de base 20 y altura 10 plg. ¿Existe un rectángulo de perímetro 20 plg y área 60 plg²? Resuélvalo. 2.2.2.1 Menor perímetro Investiguemos la siguiente situación. Imaginemos que tenemos un hoja de papel tamaño carta, ella se puede considerar como un rectángulo (plano). Cortemos dicha hoja por el punto medio de la base y paralela a la altura.

Coloquemos la parte izquierda sobre la parte derecha, la figura que formamos se puede considerar como un rectángulo.

Obviamente tienen la misma área. Pero, ¿Tienen el mismo perímetro? Aunque a simple vista no lo logramos percibir plenamente, su perímetro pudo haber cambiado. Realicemos el mismo proceso de corte y dispongamos una parte sobre la otra. Obtendremos un rectángulo más angosto pero más alto pero con la misma área que los dos anteriores.

Ahora parece más claro, este rectángulo tienen diferente perímetro que el original. Si imaginamos proseguir con este proceso de corte y formación de nuevos rectángulos. Nos convencemos que aunque la base se hace muy pequeña, la altura se hace muy grande, y por tanto, el perímetro se hace muy grande. Esto nos sugiere la existencia de una infinidad de rectángulos con la misma área y diferente perímetro.

El proceso descrito arriba se puede realizar también imaginando cortar la hoja rectangular original horizontalmente por el punto medio de su altura y disponer las partes cortadas también de manera horizontal, cortar de nuevo horizontalmente y disponerlos de manera horizontal, y así continuar. De aquí debemos imaginarnos también la formación de una infinidad de rectángulos con la misma área y diferente perímetro. Aquí nos damos cuenta que la base se hace muy grande y la altura se hace muy pequeña, y por tanto, el perímetro se hace muy grande también. Nuevamente, esto nos sugiere la formación de un conjunto infinito de rectángulos todos con la misma área y diferente perímetro. Solicitamos al lector hacer los dibujos correspondientes. Nos damos cuenta que los valores de las bases y alturas que toman los rectángulos, no son arbitrarios, notemos que para los cortes verticales la base cada vez se reduce en su mitad y que la altura cada vez se duplica, y que para los cortes horizontales la base se duplica y la altura se reduce a la mitad. Esto permite que su producto se mantenga siempre constante, esto es el área de los rectángulos se mantiene constante. Lo anterior nos permite pensar (aunque ya no podamos realizarlo físicamente con la hoja de papel) que se puede formar rectángulos con la misma área y diferente perímetro aumentado la base en ε veces y reduciendo la altura en 1/ε (ε puede ser cualquier número real positivo). Y como ello se puede hacer partiendo con cualquier rectángulo, concluimos: Existe una familia infinita (continua) de rectángulos todos con una misma área A y diferente perímetro cuyas bases y alturas pueden tomar cualquier valor en (0, )∞ . Resulta interesante responder: ¿En dicha familia existe un rectángulo con menor perímetro? ¿Cuáles son sus dimensiones? Haciendo dibujos o imaginándolos, por comparación visual vemos que debe existir un único rectángulo de menor perímetro. ¿Este rectángulo de menor perímetro puede ser el cuadrado? Lo comprobaremos más adelante.

A la familia de rectángulos con una misma área A y diferente perímetro, podemos considerarlo como si tratara de un rectángulo cuya base o altura se pueden hacer variar continuamente en el intervalo (0, )∞ ; su área se mantiene constante y su perímetro varía continuamente.

Percibimos que, si variamos la base manteniendo constate su área, entonces varía su perímetro. Nos preguntamos, ¿el perímetro es función de la base? Investiguemos cualitativamente la existencia y naturaleza de esta función.

Cuando la base es muy pequeña el perímetro es muy grande, y nos imaginamos que, si hacemos la base aun más pequeña entonces el perímetro se hace aun más grande (se dice que cuando la base tiende a cero entonces el perímetro tiende a infinito); inversamente, para cierto valor muy pequeño de la base, si hacemos crecer dicha base el perímetro disminuirá (se dice que el perímetro decrece al aumentar la base para esos valores).

Por otro lado cuando la base toma valores infinitamente grandes, vemos que también el perímetro toma valores infinitamente grandes, si aumentamos la base a partir de ciento valor muy grande vemos que también el perímetro crece aún más (se dice que cuando la base tiende a infinito entonces el perímetro tiende también a infinito y que el perímetro es creciente para esos valores de la base).

De acuerdo a todo lo expuesto se ve que el perímetro puede considerarse como función de la base: P = P(b). Y como ya vimos que existe un rectángulo de menor perímetro,

entonces debe existir un cierto valor de la base bo para el cual P(b) (el perímetro) toma su valor menor: Pm > 0 (el perímetro físico no puede llegar a desaparecer ni ser negativo). Considerando todos estos hechos podemos construir la gráfica cartesiana de manera cualitativa de dicha función. Ella debe ser una curva suave y continua,

En las gráficas cartesianas vemos que para valores de b pequeños la curva se aproxima más y más al eje vertical sin llegar a tocarla. Diremos que el eje vertical es una asíntota vertical de dicha curva. Determinemos ahora la representación analítica de la función P = P(b). Para simplificar su entendimiento supongamos que el área del rectángulo es de 100 cm². Entonces, tenemos un rectángulo de área 100 cm², cuyo perímetro P y altura h podemos hacer variar, variando su base b, a condición de mantener constante dicha área. Partamos de la función de dos variables: P = 2b + 2h; pongámosla en términos de una sola variable, la b. Considerando la condición: 100 = bh. Despejando h tenemos, h = 100/b, sustituyendo en la función perímetro la reducimos a una función de una sola variable.

200( ) 2 , con 0P b b b

b= + >

Notemos que en esta función, si b (la base) es casi cero, el primer término es casi cero y el segundo es muy grande, por tanto P (el perímetro) es muy grande; si b es muy grande, el primer término es muy grande y el segundo es casi cero, y por tanto, el P es muy grande. Es decir la función corresponde con lo establecido más arriba de manera cualitativa. Debemos aprender, y acostumbrar, a verificar si los resultados alcanzados corresponden con la naturaleza física del problema que estamos resolviendo. Ahora, una vez tengamos construida la expresión analítica de la función, en este caso tenemos P = 2b + 200/b. Para determinar o aproximar, el valor de la base para el cual el perímetro es mínimo, por lo menos existen tres “maneras”: (i) Numérico, se dan valores a b de su dominio y vamos buscando, de manera sistemática el valor mínimo de P. (ii ) Grafico, se obtiene la gráfica de P = P(b) en la pantalla de una calculadora que grafica, o de una computadora que tenga un paquete matemático que grafica, y visualmente podemos leer las coordenadas del punto donde se da el mínimo. (iii ) Analítico, usando nociones de cálculo diferencial.

P P

bo00

Pm

b b

Determinemos el valor mínimo, usemos un método numérico, construyamos la tabla de valores.

B 0.001 0.1 1 5 10 15 50 100 1000 P 200,000 2,000.2 202 50 40 43.33 104 202 2000.2

Parece que el valor mínimo es P = 40 y se obtiene cuando b = 10, o sea cuando el rectángulo es un cuadrado de lados 10. Veamos que sucede con valores cercanos a 10.

b 9.95 9.99 10 10.001 10.05 P 40.0005 40.00002 40 40.0000002 40.00049

Intuitivamente vemos que si tomamos valores muy cercanos (mayores o menores) a b = 10, sus perímetros siempre son mayores que 40. Veamos la gráfica de P = 2b + 200/b, proporcionada por el paquete matemático Matcad. Este paquete nos permite aproximarnos al punto donde se da el mínimo haciendo ampliaciones gráficas. Si dispone de una calculadora que grafica verifique. b ..,2 2.1 30

p( )b .2 b200

b

0 10 20 30 400

50

100

p( )b

b6 8 10 12 14

35

40

45

p( )b

b Los cálculos numéricos y la grafica no llevan a concluir, y correctamente, que: Entre todos los rectángulos de área 100 cm² el que tiene menor perímetro es el cuadrado de lados 10 cm. Con fines de comparación de razonamientos empleados, observaciones y resultados, realice la Simulación rectángulo de menor perímetro. Observación. Este resultado particular se puede generalizar para rectángulos de cualquier área A, aquí el rectángulo de menor perímetro es el cuadrado de lados A . Tal problema se investiga con más formalidad usando nociones de cálculo diferencial. Ejercicios propuestos. 1. Dibuje a mano alzada dos rectángulos diferentes y nombre sus elementos.

2. Dibuje un rectángulo que sea cuadrado. ¿Es todo cuadrado rectángulo?, ¿Es todo rectángulo cuadrado? Explique qué característica adicional distingue a un rectángulo cuadrado. 3. Describa el proceso de la construcción del dibujo de un rectángulo. 4. Exprese de manera verbal las fórmulas de área y perímetro del rectángulo. 5. Describa que es diagonal de un rectángulo, 6. ¿Todo rectángulo necesariamente debe ser convexo? 7. ¿Cuánto es la suma de los cuatro ángulos internos en todo rectángulo? 8. El rectángulo siguiente tiene un área de 100 cm² ¿Cuál es el valor de a?.

9. Una persona tiene un campo rectangular de 20.4 metros de ancho y cierto largo. Esta persona compra un segundo campo de 40.5 m² de área. Una segunda persona le propone intercambiar los dos terrenos por otro campo rectangular que tiene la misma área que los dos terrenos y el mismo largo que el primer terreno. ¿Cuál debe es el largo de los terrenos para que el intercambio sea justo? 10. Dibuje rectángulos y cuadrados que geométricamente representen la identidad: (x + y)² = x² + 2xy + y² 11. Dado el rectángulo de base 40 cm y altura 10 cm. En un mismo sistema de coordenadas, haga la gráfica cartesiana de base contra altura de todos los rectángulos que cumplan con. (a) Tengan el mismo perímetro que el rectángulo dado (es un rectángulo (es un segmento en el primer cuadrante). (b) Tengan la misma área que el rectángulo dado (es la rama de una hipérbola en el primer cuadrante). Apóyese en las gráficas anteriores para determinar las dimensiones de un rectángulo que: (c) Tengan perímetro y área mayor que el perímetro y área del rectángulo dado. (d) Tengan perímetro y área menores que el perímetro y área del rectángulo dado. (e) Tenga perímetro menor y área mayor que los correspondientes del rectángulo dado. (f) Tenga igual área y perímetro mayor que el rectángulo dado. 12. La altura de un rectángulo crece con rapidez constante de 2 cm/s a partir de 3 cm. Su base mide 5 cm y se mantiene constante en el tiempo ¿Con qué rapidez crece su área? 13. La altura de un rectángulo decrece con una rapidez constante de 5 cm/min a partir de 50 cm. Contrariamente, su base crece con una rapidez constante de 1 cm/min a partir de 1 cm. (a) Exprese su altura y base en función del tiempo, (b) Exprese el área del rectángulo en función del tiempo, determine al cuántos minutos su área es cero, y establezca el dominio de la función. (c) Grafique dicha función.

1.2

2 a

14. Exprese el perímetro de todos los rectángulos de área constante 100 cm2, en función de la variable altura. Determine el valor que debe tomar la altura para que su perímetro sea mínimo. 15. Un señor desea construir una un corral para su perro que tenga un área de 20 mt². El desea gastar la menor cantidad posible de material a usarse en la cerca. ¿Qué dimensiones debe tener la cerca?. 16. Tome o imagine tomar un cordel de unos 12 cm. de longitud. Juntando y separando sus dedos pulgares e índices forme varios rectángulos. O bien realice la Simulación Rectángulo de Mayor Área. (a) ¿Qué magnitud permanece constante?, (b) ¿Qué magnitudes pueden hacerse variar?, (c) ¿Cuáles son sus intervalos de variación?, (d) ¿Es cierto que existen una infinidad de rectángulos todos con el mismo perímetro?, (e) ¿Se pueden formar rectángulos de área cero?, (f) ¿Entre todos ellos existe uno que tiene mayor área?, (g) ¿Cómo debe ser el rectángulo de mayor área?, (h) Considere el problema como si se tratara de un rectángulo cuya área se puede hacer variar manteniendo constante su perímetro. ¿Puede hacerse depender el área del rectángulo de su altura?, (i) ¿Cómo es, cualitativamente, la gráfica del área en función de la altura?, (j ) Determine la representación analítica del área en función de la altura y establezca su domino, (k) Usando criterios sobre la determinación del vértice de una parábola (función cuadrática) determine el rectángulo de mayor área con perímetro 12 cm². 17. Un granjero quiere construir un corral rectangular para su ganado. El desea usar exactamente 90 m lineales de material para la cerca que dispone. El desea también aprovechar una pared de 60 m de largo ya construida y circular solamente tres lados con el material que dispone. (a) Dibuje varios corrales posibles, (b) Establezca las magnitudes variables y constantes. (c) Exprese el área del corral en función de solamente su ancho. (d) Determínelas dimensiones del corral de mayor área posible. ¿Este corral tiene la forma de un cuadrado? 18. A Ud. se le dan Q 3,050.9 y se le pide invertir exactamente dicha cantidad para circular tres lados de un terreno de forma rectangular que tenga la mayor área posible, el cuarto lado lo debe aprovechar usando una pared ya construida de 80 m de largo. El costo para circular el lado paralelo a la pared ya existente es de Q 55.3 el metro lineal, el costo de los otros dos lados es de Q 96.1 el metro lineal. (a) ¿Tiene Ud. varias posibilidades de poder construir la circulación invirtiendo la cantidad de dinero dada? Haga dibujos e del terreno. (c) Exprese el área de la circulación en función de la longitud que es perpendicular a la pared existente y establezca su dominio. (d) Haga una tabla de valores y aproxime las dimensiones del terreno de mayor área a circular con la cantidad de dinero que se le ha dado. 19. Se desean construir 6 cubículos rectangulares del mismo tamaño según se muestra en el dibujo. Se dispone de 8 m lineales de material para su construcción y se desea utilizarlo completamente. (a) Determine el área de los cubículos si se toma la magnitud x = 0.1, 0.25, 0.5 y 1 m. ¿Para cuáles de los valor de x se tiene mayor área? (b) Para realizar dicha construcción Ud. puede seleccionar ciertos valores de x, y obtener cubículos de diferentes áreas. ¿Cuál es intervalo de valores que físicamente puede tomar x? (c) Escriba el área de un cubículo en función de x. (d) Determine las dimensiones que deben tener los cubículos para que su área sea máxima. Realice las simulaciones asociadas. Simulación Cubículo.

20. Se desea determinar las dimensiones de la hoja rectangular más económica (de menor área) que tenga un área impresa de 30 cm2. con márgenes superior e inferior de 2 cm y márgenes laterales de 1 cm. (a) ¿Es posible formar varias hojas rectangulares impresas con diferentes dimensiones que cumplan con las características citadas? Haga dibujos de ellas y determine qué magnitudes permanecen constantes, qué magnitudes pueden hacerse variar y cuáles son sus rangos de variación. (b) ¿Observa Ud. que existe una hoja de menor área? Explique (c) ¿Observa Ud. que si hace variar la altura de la región impresa entonces varía el área de la página? Explique. (d) Exprese el área de la hoja en función de la altura de la región impresa. (e) Determine el área de la hoja para cada una de las posibles alturas de la región impresa: 0.2, 1, 4, 7.4, 10, 2001 cm. ¿De las anteriores valores cuál determina la menor área de la hoja? ¿Entre qué valores debe estar la altura de la hoja de menor área? 21. Considerando el dibujo y teniendo en cuenta que 2 =21, 4 = 22, 8 = 23, 16 = 24, 32 = 25, etc. ¿A qué es igual la suma infinita: 1/2 + 1/22 + 1/23 + 1/24 + ....1/2n +...., (cuando n tiende a infinito).

22 Considerando el dibujo y teniendo en cuenta que 31 = 3, 3² = 9, 33 = 27, etc. ¿A qué es igual la suma infinita: 1/3 + 1/3² + 1/33 + 1/34 + ... + 1/3n + ..., (cuando n tiende a infinito)?

2x

3y

1

1/2 1/2

1/3

1/3

1/3

1

2.3 Triángulo Consideremos el ángulo α con vértice A de cualquier amplitud pero fija en el intervalo (0,180 )o cuyos lados tengan cualquier longitud (finita) pero fijas 0 y 0b c> > ; unamos los extremos no comunes de los lados de α , C y B a través del segmento a, con ello formamos una región plana limitada por tres segmentos llamada triángulo.

Si 0α = o o 180α = o y unimos los extremos no comunes de los lados α , diremos que el triángulo se degenera en un segmento. ¿Puede un ángulo degenerarse en un punto? Los segmentos se llaman lados, los puntos donde se intersecan los segmentos se llaman vértices y los tres ángulos se llaman ángulos internos del triángulo o simplemente ángulo del triángulo.

Observamos que en todo triángulo, a cada lado se opone un ángulo: El lado a se opone al ángulo α , el lado b se opone al ángulo β , y el lado c se opone al ánguloγ . Se dice también que los lados c y b son adyacentes a α , que los lados a y c son adyacentes a β , etc. Nota. En Capitulo 1, al triángulo le llamamos región triangular, así, propiedades expuestas para regiones triangulares son válidas en triángulos. Ángulo exterior. Llamaremos ángulo exterior de un triángulo aquel que tiene como lados, un lado del triángulo y la prolongación de un lado.

α α

C

b

a

aB

A A

A

b

c

αC

B

CB

c c

b

a

α

aβ

A

b

c γ C

B

C

BA

δ, ángulo exterior

prolongación de AB

Todo triángulo tiene 6 ángulos exteriores. Dibújelos. 2.3.1 Propiedades generales 1. La suma de dos lados de un triángulo no degenerado siempre es mayor que el tercero. 2. La suma de los tres ángulos internos de un triángulo es 180°. 3. Un ángulo externo es igual a la suma de los dos ángulos internos no adyacentes. Problemas propuestos 1. Dibuje a mano alzada dos triángulos diferentes y señale sus elementos principales. 2. Dados tres segmentos de longitudes dadas, ¿siempre se puede construir un triángulo? Explique. 3. ¿Es cierto que en todo triángulo, a mayor ángulo se opone mayor lado e inversamente a menor ángulo se opone menor lado? Dibuje algunos. 4. Dado el segmento de longitud 3.4 cm. ¿cuántos triángulos se pueden construir tomando como uno de sus lados a dicho segmento? Dibuje algunos. 5. Dados los segmentos de longitudes 2.3 y 7.7 cm. ¿cuántos triángulos se pueden construir tomando como lados a dichos segmentos? 6. Con los segmentos de longitudes de 2.3 y 7.7 plgs, se desea construir varios triángulos. ¿Qué longitudes puede tomar el tercer lado?, ¿cuál es la menor, cuál es la mayor?, ¿Existe entre todos ellos uno de área mayor?, ¿Existe entre todos ellos uno de menor perímetro? 7. Un triángulo tiene: un ángulo de 22o, un ángulo que puede tomar valores entre 40o y 110o. ¿Cuál es intervalo de variación del tercer ángulo? 8. Un triángulo tiene un ángulo que mide 34o, ¿Cuáles son los intervalos de valores que pueden tomar las medidas de los otros ángulos? 9. En la siguiente figura, (a) ¿Qué ángulo interno es constante y cuáles se pueden hacer variar?, (b) Proponga tres ternas diferentes de valores que pueden tomar los ángulos internos.

10. Deduzca que 2α δ β+ = .

110o

δ

α β

11. Un émbolo esta unido a un disco rotativo por medio de una biela. A medida que el disco gira, el émbolo se desplaza horizontalmente. V representa el centro del disco, E representa el punto de unión de la biela con el disco y R representa el punto de unión de al biela con el émbolo. Supongamos que VE = 10 cm y ER = 25 cm. Sea α la amplitud del ángulo EVR� .

Efectúe la Simulación Émbolo y conteste las siguientes preguntas. (a) Al girar el disco en contra del movimiento de las manecillas del reloj, ¿Qué lados del triángulo VER se mantienen constantes y qué lado variable?, (b) Cuando 0α = radianes ¿Cuánto mide el lado VR?, (c) Cuando α π= ¿Cuánto mide el lado VR?, (d) ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo de VR y a qué valores de α suceden?, (e) al variar α de 0 a 2π el lado l VR= varía, o sea l es función de α , simbolizamos ( )l l α= Esboce la gráfica de ( )l l α= . 12. Dibuje un triángulo cualquiera, recorte el triángulo, y corte según las líneas punteadas. Reacomode los tres recortes, de tal manera los tres ángulos queden sobre un mismo punto y sus lados no quede traslapados ni divergentes. De acuerdo a este arreglo compruebe que la suma de los tres ángulos internos del triángulo es igual a 180o.

13. Usando la propiedad: la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180o, y el hecho de que la suma de dos ángulos internos suplementarios es también 180o, compruebe que un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de dos ángulos internos no adyacentes. 2.3.2 Congruencia Se dice que dos o más triángulos son congruentes o iguales si tienen la misma forma y tamaño aunque, en general, dispuestos en posiciones diferentes.

Se dice que dos o más triángulos son congruentes entre sí, sí tienen 3 lados iguales dos a dos y 3 ángulos iguales dos a dos.

V

E

Rα

βγ α '

β 'γ'

αa

b

c b'

c'

a'

a = a', b = b', c = c'α = α ', β = β ', γ = γ'

2.3.3 Clasificación i) Comparando las medidas de sus lados

ii ) Comparando las medidas de sus ángulos

Acutángulo: Todos sus ángulos internos son agudos. Rectángulo: Uno de sus ángulos mide 90°. Obtusángulo: Uno de sus ángulos es obtuso. En todo triángulo rectángulo, a los lados que forman el ángulo recto se les llaman catetos y al lado que se opone al ángulo recto (el de mayor longitud) se le llama hipotenusa. Problemas propuestos 1. Dos triángulos tienen dos pares de ángulos iguales dos a dos, y tres lados iguales también dos a dos. ¿Son dichos triángulos congruentes? 2. Dos triángulos tienen un par de ángulos iguales dos a dos y el lado adyacente a dichos ángulos igual. ¿Son dichos triángulos congruentes? 3. Dos triángulos tienen un par de lados iguales dos a dos y el ángulo entre ellos igual. ¿Son dichos triángulos congruentes? 4. Dibuje: (a) dos triángulos equiláteros, (b) tres triángulos equiláteros isósceles, (c) dos triángulos isósceles congruentes. 5. En todo triángulo equilátero, ¿cómo son sus tres triángulos internos?, ¿cuánto miden? 6. Justifique intuitivamente el hecho de que en todo triángulo isósceles a los lados iguales se oponen ángulos iguales y recíprocamente. 7. Dibuje un triángulo (a) Rectángulo isósceles, (b) Obtusángulo isósceles, (c) Obtusángulo escaleno. 8. Verbalice las definiciones de triángulo equilátero, de triángulo isósceles.

Equilátero: Isósceles: Escaleno: Tres lados iguales Dos lados iguales Tres lados difirentes

Acutángulo Rectángulo Obtusángulo

2.3.4 Alturas En el triángulo siguiente se han dibujado los segmentos ha, hb y hc, llamadas alturas de ese triángulo.

ha: altura asociada al lado a hb: altura asociada al lado b hc: altura asociada al lado c

Notemos que el triángulo dibujado tiene una altura interna y dos alturas externas. Realice la Simulación Alturas para verificar que las alturas o sus prolongaciones concurren o se intersecan en un punto O llamado ortocentro. Para el triángulo del dibujo su ortocentro se ubica fuera del triángulo. Problemas propuestos 1. Viendo el dibujo de arriba, explique qué entiende por altura de un triángulo. 2. Dibuje dos triángulos cualesquiera, luego dibuje sus tres alturas de cada uno de ellos. 3. Dibuje un triángulo equilátero, luego localice aproximadamente su ortocentro. 4. ¿En un triángulo dado, es cierto que entre más pequeña sea la base, su altura correspondiente es más grande? 5. ¿Qué características tienen los triángulos cuyas 3 alturas son internas? 7. ¿Qué características tienen los triángulos que tienen dos alturas que coinciden con sus lados, qué clase de triángulos son? 8. ¿Pueden haber triángulos que tengan dos alturas internas y una externa? 9. ¿Pueden haber triángulos que tengan sus tres alturas externas? 2.3.5 Medianas

En triángulo siguiente se han dibujado los segmentos ___ _____ ____

, y AL BM CN , llamadas medianas de ese triángulo.

O

hb

a

ha

c

bhc

Mediana Correspondiente a lado y vértice AL CB A MB CA B CN AB C

Las medianas concurren en un punto, dicho punto se llama centro de gravedad, baricentro o centroide, comúnmente se simboliza con G. Las medianas quedan divididas por G en la

razón 2:1 medido desde el vértice del ángulo; así para el triángulo dibujado ____ ____

2AG GL= . Realice la Simulación Medianas para comprobar estos hechos. Problemas propuestos. 1. Exprese de manera verbal que entiende Ud. por medianas de un triángulo. 2. Dibuje dos triángulos cualesquiera y localice el centro de gravedad de cada uno de ellos. 3. Imagine un triángulo de cartón con peso uniforme, si se ata con un hilo exactamente en su centro de gravedad, ¿qué posición tendría que adoptar el triángulo? 4. ¿Pueden haber triángulos cuyo centro de gravedad queda fuera del triángulo? 5. Más adelante se pide mostrar que la longitud de la mediana ma trazada desde el lado a

está dada por, 2 2 22( )

2a

b c am

+ −= determine la longitud de la mediana si sus lados son a =

6, b = 5 y c = 3. 2.3.6 Bisectrices

En triángulo siguiente se han dibujado los segmentos ___ _____ ____

, y AL BM CN , llamadas bisectrices de ese triángulo.

C

A BN

LM

G

C

A

B

L

N

MI

Bisectriz Correspondiente al vértice y lado BM B AC AL A BC CN C AB

Las bisectrices concurren en un punto, dicho punto se llama incentro, comúnmente se simboliza con I. Realice la Simulación Bisectrices para visualizar el incentro. Problemas propuestos 1. Explique lo que entiende Ud. por bisectriz de un triángulo. 2. Dibuje dos triángulos no congruentes y trace sus bisectrices. 3. Dibuje un triángulo en el que sus medianas, su bisectrices y sus alturas sean todas iguales entre sí. ¿Qué tipo de triángulo es? 4. Dibuje un triángulo en el que por lo menos una de sus alturas, bisectrices y medianas sean iguales. ¿Qué tipo de triángulo es? 5. Más adelante se pide probar que la bisectriz la correspondiente al ángulo opuesto al lado

a se puede calcular con la formula: 2 2[( ) ]

a

bc b c aI

b c

+ −=

+ ¿Existe un triángulo con lados b =

4, c = 4 y la = 3?, ¿cuánto mide el lado a? 2.3.7 Mediatrices

En triángulo siguiente se han dibujado los segmentos ___ _____ ____

, y CL CM CN, llamadas mediatrices de ese triángulo.

Las mediatrices concurren en un punto, dicho punto se llama circuncentro, comúnmente se simboliza con C. Realice la Simulación Mediatrices para visualizar el circuncentro. 2.3.8 Segmentos Medios Se llama segmento medio a aquel que une los puntos medios de los lados de un triángulo. Se puede probar que este es paralelo al tercer lado y es la mitad del este. Problemas propuestos

C

A

N

D

M

L

B

1. Explique qué entiende por mediatriz de un triángulo. 2. Dibuje un triángulo cualquiera y trace sus mediatrices. 3. ¿Puede el circuncentro quedar fuera del triángulo, qué tipo de triángulo es? 4. Dibuje un triángulo isósceles no equilátero y trace sus segmentos medios. 5. ¿Para qué clase de triángulo, dos mediatrices son paralelas a sus lados? 2.3.9 Perímetro Es el número de unidades lineales que mide la suma de las longitudes de sus tres lados.

Notemos que si hacemos variar uno de sus lados y mantenemos constante los otros dos entonces el perímetro variará, si variamos dos de sus lados y mantenemos constante el tercero entonces el perímetro puede variar o bien bajo ciertas condiciones puede permanecer constante, y también, si hacemos variar conjuntamente sus tres lados entonces el perímetro puede variar pero puede bajo determinadas condiciones permanecer constante. (Todo ello se puede hacer siempre que se cumpla la desigualdad del triángulo). En este sentido se ve que el perímetro depende de las magnitudes que tomen los tres lados. Se dice que el perímetro es una función de tres variables.

( , , ) ulP P x y z x y z= = + +

2.3.10 Área Es el número de unidades cuadradas de la región limitada por sus tres lados. Mostremos que área del triángulo depende de su base y su altura.

Vemos que los triángulos AFR y ALF son iguales, que los triángulos LMF y MOF también son iguales, y el área del triángulo AMF es la suma de las áreas de los triángulos ALF y LMF. Entonces el área de dicho triángulo AMF es igual a la mitad del área del rectángulo AMOR. Por tanto: Área del triángulo AMF = bh/2. Se puede realizar una construcción similar tomando otro lado como base y su altura correspondiente y ver que el área es un medio de su producto.

y

z

zP = x + y + z

R F O

A b M

h

L

/ 2

/ 2

/ 2

a

b

c

A ah

A bh

A ch

===

En resumen, el área de un triángulo es igual al producto de uno de sus bases por su altura correspondiente entre 2. Usualmente se toma como altura la altura interna. Dado que el área del triángulo depende de que valores toma su base y su altura, entonces se puede considerar el área del triángulo como una función de esas dos magnitudes, simplemente se escribe:

2( , ) u2

bhA A b h= =

Problemas propuestos 1. Un pedazo de lámina tiene la forma de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 0.5 y 1.3 m. ¿Cuál es su peso si sabemos que cada metro cuadrado del material de lámina pesa 1.5 kg? 2. Un triángulo rectángulo tiene perímetro de 24 pies, área de 24 pies2 e hipotenusa de 10 pies. Determine su base y su altura. 3. ¿Para cualquier triángulo siempre se puede realizar la construcción que usamos arriba para deducir la fórmula de su área? Explique. 4. Use un dibujo (similar al de arriba) y muestre que el área de ese triángulo es igual a un medio del producto de una altura externa por su base correspondiente, pero tomando como altura del rectángulo a dicha altura externa del triángulo. 5. En la siguiente figura todos los triángulos son equiláteros. El área del triángulo de mayor área es A unidades cuadradas. Exprese el área de la región sombreada en términos de A. (Se resuelve con procedimientos visuales, no trate de usar procedimientos algebraicos).

C

A

B

hb

a

ha

hc

cb

6. Usando argumentos visuales diga si las áreas sombreadas son iguales. Explique. a) Todos son rectángulos o triángulos rectángulos.

b) Los segmentos horizontales son paralelos.

7. Considere un triángulo equilátero. Desde un punto P en su interior trace tres segmentos perpendiculares a cada uno de sus lados. Muestre que la altura de dicho triángulo es iguala al suma de los segmentos. Sugerencia: Construya dos expresiones diferentes para el área del triángulo e iguale. 8. Considere el triángulo rectángulo de catetos a y b. Determine el lado del cuadrado inscrito siguiendo el razonamiento: Sea x el lado del cuadrado inscrito, construya un rectángulo de lados a y b como se indica, forme y descomponga dicho rectángulo en cuatro triángulos rectángulos congruentes dos a dos y dos cuadrados iguales. Tome dichas piezas y forme un rectángulo con un lado x. ¿Cuánto mide el otro lado? Por igualdad de áreas de los rectángulos muestre que / ( )x ab a b= + .

9. La altura de un triángulo crece con una rapidez constante de 4.5 cm./min., siendo la altura inicial de 3 cm. La base de ese mismo triángulo decrece con la misma rapidez, siendo la base inicial de 9 cm. (a) Exprese el área del triángulo en función del tiempo. (b) ¿A los cuántos minutos el triángulo tiene área cero?, ¿En qué se degenera el triángulo?

a

b

x

xx

10. Discuta que le pasa a la parte sombreada si movemos el punto M sobre el segmento TU.

11. Un triángulo tiene dos lados con medidas fijas. 2.5 y 11.4 cm. En tercer lado es variable. ¿Cuál es el intervalo de variación de su perímetro?, ¿Entre todos ellos existe uno que tiene mayor área? 12. Considere todos los rectángulos de base horizontal de una misma área. En cada uno de ellos siempre se puede trazar un triángulo isósceles cuya base sea la base del rectángulo y cuya altura sea la altura del rectángulo. (a) ¿Todos estos triángulos isósceles tienen la misma área?, (b) ¿Su perímetro es variable? y, (c) ¿Entre todos ellos quién tiente el menor perímetro? 13. (a) Dibujar 7 triángulos no congruentes que tengan la misma base y la misma altura, (b) Puede generalizar su procedimiento manera que se pueda imaginar dibujar una infinidad de ellos. (c) ¿Todos ellos tienen la misma área? (d) ¿Tienen diferente perímetro?, (e) ¿Entre todos ellos quien tiene el menor perímetro? y, (f) ¿Entre ellos es posible siempre encontrar dos que tienen el mismo perímetro? 14. Considere el triángulo rectángulo ROL, seleccione un punto cualquiera P sobre la hipotenusa RL, desde dicho punto trace segmento perpendiculares a das uno de los catetos y uno de sus extremos S e I.

Seleccione otros puntos sobre la hipotenusa y realice el mismo procedimiento anteriormente explicado. (a) ¿Los segmentos SI así trazados tienen la misma longitud?, (b) ¿Entre todos ellos existe uno de menor longitud?, y (c) Use argumentos visuales para establecer cuál es el segmento de menor longitud. (Note que no se pide determinar la longitud numérica) 2.3.11 Teorema de Pitágoras Consideremos el problema: Dos autos M y N parten al mismo tiempo del punto de intersección de dos carreteras perpendiculares sobre el suelo horizontal, uno toma una carretera con velocidad de v k/h y el segundo toma la otra carretera con velocidad w k/h, con v < w. ¿Cuál es la distancia que los separa t horas después de su partida? Si dibujamos

T M U

R

S

O

P

I L

esquemas nos damos cuenta que en cualquier momento se pueden formar triángulos rectángulos con: la distancia recorrida por los autos como catetos, y la distancia que los separa como hipotenusa. Para cualquier tiempo t podemos determinar los catetos pues conocemos sus velocidades. El problema es ahora un problema geométrico: ¿conociendo los catetos cómo determinar la hipotenusa del triángulo rectángulo?

Un problema más general es el siguiente. Consideremos el esquema de triángulos rectángulos:

Si hacemos variar (crecer o decrecer) uno de los catetos y mantenemos fijo el otro, obviamente la hipotenusa z varía, si hacemos variar ambos catetos simultáneamente, en general, también la hipotenusa varía. Aquí estamos viendo que la magnitud de la hipotenusa depende de los valores que tomen los catetos (en trigonometría se muestra que la hipotenusa puede depender de uno de sus catetos y un ángulo). Se puede considerar a la hipotenusa de todo triángulo rectángulo como una función de dos variables: las magnitudes de sus dos catetos. ¿Cuál es la relación entre la hipotenusa y los catetos? A esta relación se llama teorema de Pitágoras. Determinemos dicha relación usando el siguiente razonamiento. Consideremos un triángulo rectángulo cualquiera de catetos x y y e hipotenusa z.

Tracemos un cuadrado de lados z sobre la hipotenusa.

M

O N

M

O N

z

y

x

z

y

x

Sobre cada uno de los otros tres lados de cuadrado tracemos un triángulo rectángulo de catetos x, y, e hipotenusa z. Con ello formamos un cuadrado de lados x + y. Los lados x e y quedan alineados pues la suma de los tres ángulos internos de un triángulo es igual a 180°.

Ahora, el área A del cuadrado grande se puede calcular de dos maneras:

2( )A x y= + , 2 4( / 2)A z xy= +

Igualando estas dos expresiones y simplificando tenemos la importante fórmula2 2 2z x y= + . Formula que relaciona hipotenusa y catetos de un triángulo rectángulo. Por

tanto hemos probado el, Teorema de Pitágoras. En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Esto es, en el triángulo de catetos x y y e hipotenusa z se cumple,

2 2 2z x y= +

Reiteramos, viendo los catetos e hipotenusa como magnitudes variables x, y e z, en general si los catetos varían, varía también la hipotenusa. Decimos que en general puesto no siempre es así, por ejemplo, aún variando los catetos la hipotenusa puede permanecer constante. Piense en la formación de triángulos rectángulos de una escalera (de largo constante) que resbala sobre el suelo horizontal y una pared vertical.

z

y

x

z

z

z

z

y x

y

x

z

z

z

x y

x

y

z

y

x

Obviamente la relación pitagórica, acepta otras escrituras obtenidas por transformaciones

algebraicas 2 2 2 2 2, z x y x z y= + = − , etc.

En notación funcional escribimos,

2 2( , )z f x y x y= = +

Para visualizar la anterior de deducción del teorema de Pitágoras realice la Simulación Pitágoras. 2.3.11.1 El problema de los navíos A las 8:32 horas dos navíos, en mar adentro, se desplazan en direcciones perpendiculares entre sí acercándose al punto de intersección. El primero del Norte hacia el sur, y el segundo del Este hacia el Oeste. A dicha hora el primero se encuentra a 100 km. del punto de intersección desplazándose a una velocidad constante de 50 km./hr, mientras que el segundo se encontraba a 80 km. del mismo punto de intersección desplazándose a una velocidad constante de 30 km./hr. (d) Determinemos. ¿Cuál es la distancia que los separa a las 8:32?, ¿Cómo varía la distancia que los separa?, ¿chocarán los navíos?, (b) Expresemos la distancia que los en función del tiempo. (c) Si dichos navíos disponen de radios de intercomunicación con un alcance de 60 km. a la redonda ¿durante qué horas se pueden intercomunicar? y (d) ¿Cuál es la distancia menor que llegan a tener entre sí? Solución. Haciendo algunos dibujos nos damos cuenta que en un principio la distancia que los separa inicia disminuyendo, luego después de pasar el cruce comienza a aumentar; es decir, dicha distancia es función del tiempo y que además hay un tiempo determinado en la que la distancia que los separa será menor de todos. Los navíos no chocarán, pues si chocaran debería ser en el punto de intersección, pero el que viaja de Norte a Sur pasa en dicho punto exactamente a las 10:32 horas, mientras que el segundo a esta hora se encontrará a una distancia de 20 km. ¿Por qué? La variación de esta distancia en el tiempo en una gráfica cartesiana, construida cualitativamente, que se muestra en seguida. Para visualizar cualitativamente el problema le sugerimos realizar la Simulación Navíos.

N

S

WD(t)

E

tO

128

8:32 h.

(a) Encontremos la distancia que los separa inicialmente, la situación para este instante, y para cualquier tiempo posterior, en general, se puede representar geométricamente con triángulos rectángulos, los cuales tienen un vértice en origen del sistema de coordenadas. Hay dos momentos que los triángulos se degeneran en segmentos ¿Cuando sucede eso? El problema se resuelve entonces a trabajando con triángulos rectángulos. Geométricamente, conocemos los catetos: 100 y 80 km., desconocemos la hipotenusa. Usemos el teorema de Pitágoras.

(b) Denotemos con t > 0, el tiempo que transcurre a partir de las 8:32 hrs. Entonces la distancia para cierto t de los navíos a el punto de intersección de las direcciones de viaje son: y = 100 - 50t y x = 80 - 30t, para el que viaja hacia el Sur y para el que viaja hacia el Oeste respectivamente, ¿Por qué? Haga dibujos.

Usando el Teorema de Pitágoras y despejando D, tenemos que la distancia que los separa en función del tiempo está dada por:

2 2(100 50 ) (80 30 ) , 0D t t t= − + − ≥

Al simplificar,

2200(17 74 82), 0D t t t= − + ≥

¿Por qué ella nos da también la distancia entre los navíos después que estos ya cruzaron el punto de intersección? La gráfica de esta función con el Mathematica es,

D100

80

D

x = 80 - 30t

y = 100 - 50t

N

EO

(c) Los navíos lograrán comunicación durante tiempo que la distancia D sea menor o igual a 60 km. O sea que debemos resolver la desigualdad, D < 60,

2200(17 74 82) 60t t− + ≤

Al simplificar tenemos la desigualdad cuadrática 217 74 64 0,t t− + ≤ con 0t ≥ . El intervalo solución de esta última desigualdad nos da el tiempo en que logran comunicación. El extremo inferior del intervalo nos da el instante en que se puede iniciar a tener comunicación y el extremos superior es el instante en que dejan de poder comunicarse. La expresión del lado izquierdo 2( ) 17 74 64f t t t= − + es una parábola abierta hacia arriba, gráficamente entonces, la desigualdad nos pide determinar los valores de t para los cuales la parábola está debajo del eje horizontal o bien la corta. Para contestar esto es suficiente con determinar los extremos del intervalo determinando las raíces de 217 74 64 0t t− + = . De se obtiene que t = 1.19 = 1:11 y t = 3.16 = 3: 10 horas aproximadamente. Por tanto puede comunicarse desde 8:32 +1:11 = 9:43 hasta las 8:32 + 3:10 = 11:42 horas aproximadamente.

(d) La menor distancia que llegan a tener entre sí se puede determinar aproximadamente por aproximaciones sucesivas evaluando D = D(t) para diferentes valores de t. Si Ud. dispone de una calculadora que grafica o de computadora con programas apropiados, puede determinarlo aproximadamente de manera gráfica o numérica. En cálculo se estudiarán métodos para determinarlo. Problemas propuestos. 1. En cada uno de los triángulos determine la longitud desconocida,

3. Una plancha rectangular tiene lados de 2.3 y 1.56 m. ¿Cuánto miden sus diagonales?

In[8]:= Plot�Sqrt�200 �82�74 t �17 t2��, �t, 0, 5�, AxesLabel ��t, D��

Out[8]=

1 2 3 4 5t

50

100

150

D

12

5.67

15

10.3 20.1

k2k

z

u

2. Cierto conjunto de triángulos tienen la característica de que la medida de sus catetos son de la forma: 2MN y 2 2M N− , con M > N. ¿Son rectángulos dichos triángulos? 4. Determine el área de cuadrado si sus diagonales miden M metros. 5. Demuestre que en todo triángulo equilátero la altura h y la base b están relacionadas por 3 / 2h b= . 6. Calcule la altura de un triángulo equilátero de área 34.5 pies. 7. (b) La siguiente figura representa una habitación cuyas paredes, suelo y techo son perpendiculares entre sí. Aproxime la distancia entre las esquinas P y Q.

(a) En la figura siguiente. P es fijo y M y N son móviles; así, x y y son variables, con la condición de que la suma de la distancias MP y PN se mantiene constante igual a 16. Si se hace crecer x de 0 a 8, y decrece. Exprese y en función de x, determine el intervalo de variación de y, y grafique dicha función.

8. Para el triángulo rectángulo de catetos x, y e hipotenusa z, usando la figura siguiente deduzca el teorema de Pitágoras,

9. Partiendo de un punto se va formando un cuadrado. Se sabe que su diagonal crece a razón constante de 3.4 plg/min. (a) Exprese su área en función del tiempo. (b) ¿Cuántas pulgadas cuadradas aumentará su área de 2.3 minutos a 2.4 minutos? (c) se define rapidez promedio con que aumenta su área como: (área final - área inicial)/(tiempo final - tiempo inicial), ¿ A qué velocidad promedio aumento su área en dicho intervalo?.

P

Q

2

46

P

y x

M N

6

z

xy

10. El bote de un niño se desliza desde su mano en la orilla de un río rectilíneo. La corriente lo lleva río abajo a una velocidad constante de 3 m/s. Un viento cruzado aleja al bote hacia la otra orilla a una velocidad constante de 2 m/s. Si el niño corre a lo largo del río a una velocidad también constante de 1 m/s, (a) Haga varios dibujos de la situación, construya triángulos rectángulos y exprese la distancia que separa al niño de bote en función del tiempo, (b) ¿Con qué rapidez se separa el bote del niño? y (c) ¿En qué momento la distancia que los separa será de 10 m? (d) Grafique la función construida. 11. Una escalera de 2.3 m resbala sobre una pared vertical y suelo horizontal. La escalera inició a resbalar cuando su extremo inferior estaba a una distancia 0.5 m de la pared. Se sabe que la parte inferior se desplaza a una velocidad constante de 0.2 m/s. (a) Haga dibujos de la situación, construya triángulos rectángulos y determine que magnitudes son variables y cuales son constantes en el tiempo, (b) Exprese la distancia que separa la parte superior de la escalera al suelo en función del tiempo que transcurre, (c) ¿A los cuántos segundos la distancia que separa su parte superior con suelo es de 1 m? y, (d) ¿Puede Ud. Calcular con que velocidad se aproxima la parte superior al suelo? Este es un problema que se investiga en cálculo. Realice la simulación asociada. Simulación Escalera. 12. Una planta generadora de electricidad está ubicada en la orilla de un río recto de 1 km. de ancho. Se desea instalar una línea (de transmisión eléctrica) para suministrar energía eléctrica a una ciudad que se encuentra al otro lado del río a 5 km. río abajo. La instalación no debe ser área. El costo por km. bajo agua es el doble del costo bajo tierra.

(a) ¿Mira Ud. que existen varias posibilidades de construcción?, ¿Existen otras posibilidades diferentes a las mostradas?, Dibújelas. En las posibilidades dibujadas o imaginadas, ¿las longitudes bajo agua y bajo tierra varían?, ¿Sus costos diferentes? Ayúdese realizando la simulación asociada Simulación Costo. (b) Denote con k el costo bajo tierra y determine el costo de la línea si se opta por instalar toda la línea directamente bajo agua desde P a C. (c) Determine el costo de la línea si se opta por instalar bajo agua de P a Q y luego bajo tierra de Q a C. (d) ¿Describa cómo cree que varía el costo de la línea, si la distancia de Q a M, QM = x se hace crecer desde 0 hasta 5, ¿El costo de la línea depende de dicha distancia?, ¿habrá una posibilidad de costo mínimo?. (e) Trate de formar un triángulo rectángulo, seleccione como variable independiente a la distancia de Q a M, y exprese el costo de la línea en función de esta distancia. Esta relación sirve puede servir para determinar la ubicación del punto M a fin de construir la línea de menor costo. ¿Conoce alguna manera? Utilícela. 13. Un río recto atraviesa una región en el que a uno de los lados el terreno es seco mientras que el otro lado es pantanoso. En la zona pantanosa a 10 km. del río se ubica la ciudad A, 15 km. río abajo y a 10 km. en terreno seco se ubica la ciudad B. Se desea construir una carretera desde la ciudad A hasta la ciudad B. El precio por km. en terreno pantanoso es tres veces más caro que el costo por km. en terreno seco. Investigue este

P

Q M C

1

5

x

problema, planteándose preguntas similares a las del problema anterior. Grafique la función. 14. Resuelva el problema de la menor distancia propuesto en la simulación, Simulación Menor Distancia. 15. Como e indica en la figura. Un río recto de 1 km de ancho separa a dos hoteles, los cuales están a 5 y 3 km en lados opuestos del río y distanciados 10 km sobre el río. Se desea construir una carretera que conecte a los hoteles. Se necesita ubicar el puente sobre el río para la carretera tenga la menor longitud posible. Visualice este problema realizando la Simulación Puente. Exprese la longitud de la carretera en función x, haga su gráfica con calculadora y aproxime la longitud mínima.

16. En un campo plano, una persona vive en V a 1/4 de kilómetro de una vía férrea recta, en el momento que la locomotora del tren iba en el punto O más cercano de su casa. Con el fin de alcanzar el último vagón, la persona decide salir corriendo a velocidad constante en línea recta por el campo. El tren tiene un largo de 1/3 de kilómetro y se desplaza a 20 km/h. Si decide correr en la dirección VU1 (cuando el último vagón esta en U1), debe ir a una velocidad infinita; si decide correr en la dirección VU2 (cuando el último vagón está en U2) y VU2 = U1U2, debe ir a 20 km/h; si decide correr la dirección VU3 (cuando el último vagón está en U3), su velocidad debe ir a menos de 20 km/h; si decide correr en dirección VUn (cuando el último vagón está en el infinito), debe ir a un poquito menos de 20 km/h. Así vemos que la velocidad v de la persona depende de la distancia x, del punto O al punto U de la parte trasera del último vagón. Esboce cualitativamente la gráfica de v en función de x. Exprese la velocidad v de la persona en función de x, grafíquela en computadora y aproxime el valor de x para que su velocidad sea la más pequeña posible y su dirección correspondiente.

Hotel 1

P

Hotel 2

5

3

10

1

xO

2.3.12 Semejanza Si dos ángulos de un triángulo son iguales a dos ángulos de otro triángulo diremos que dichos triángulos son semejantes entre sí (≈ ). Esto es, si , y α α β β′ ′= = en los triángulos ABC y A’B’C’

De la definición de triángulos semejantes y considerando el hecho de que la suma de los ángulos internos de todo triángulo es 180°, se concluye fácilmente que 'γ γ= . Es decir, todo par de triángulos semejantes tienen tres pares de ángulos iguales dos a dos

', ', y 'α β β β γ γ= = = . Simple e informalmente se dice que tienen sus tres ángulos iguales dos a dos. Considerando que cada uno de los lados a y a’ se opone a ángulos iguales 'α α= , en cada uno de los triángulos semejantes, a dichos lados les llamaremos lados correspondientes entre sí. De la misma manera podemos decir que los lados b y b’ son correspondientes entre sí, y que los lados c y c’ también son correspondientes entre sí. Para el caso particular de triángulos rectángulos semejantes entre sí, de esa definición, se deduce también que si un ángulo de un triángulo rectángulo es igual a un ángulo agudo de otro triángulo rectángulo entonces dichos triángulos rectángulos son semejantes. Problemas propuestos 1. Dibuje un triángulo cualquiera, trace algunos segmentos paralelos a un mismo lado (cualquiera), de tal manera que sus extremos estén sobre los otros dos lados. ¿Los triángulos que se forman son semejantes entre sí? Justifique su respuesta. 2. ¿Es cierto que dos triángulos iguales (llamados congruentes) son semejantes entre sí? 3. ¿Es cierto que todos los triángulos equiláteros semejantes entre sí? Explique.

V

O=U3 U2 U U1

Un

Línea férrea

VU1 = 1/3

VO = 1/4

β ' α 'γ'γ

α

β

A

B

CC'

A'

B'bc

c'

a

a'

b'

4. ¿Todos los triángulos rectángulos son semejantes entre sí? 5. Dibuje 5 triángulos rectángulos cualesquiera semejantes entre sí. 6. Dibuje 6 triángulos isósceles semejantes entre sí. 7. Dibuje un triángulo cualquiera. Presente un procedimiento general que permite dibujar una infinidad de triángulos semejantes a un triángulo dado. 8. Identifique que triángulos son semejantes entre sí e identifique los ángulos y lados correspondientes.

9. A una tira de papel rectangular muy larga y ancho k se le dobla una esquina según se indica en el dibujo. Diga qué triángulos son semejantes y en particular qué triángulos son iguales.

2.3.12.1 Proporciones entre lados Imaginemos el esquema siguiente,

k

z

RCP

Q

B

S

A

y

x

c

b

a

El triángulo rectángulo ABC de lados a, b y c es fijo. Desplacemos el punto P sobre el lado BC o su prolongación CR. Para cada desplazamiento de P, tracemos la perpendicular PQ, de tal manera que Q se mantenga siempre sobre el lado BA o su prolongación AS. Denotemos con x la distancia de A a P y con y la distancia de P a Q. Observamos que bajo tal movimiento se forman una infinidad de triángulos semejantes entre sí y semejantes con el triángulo ABC fijo (¿por qué?). En particular el triángulo BPQ es semejante al triángulo BCA. Notamos también, que al desplazar P sobre AB o su prolongación, la distancia x crece, y esto lleva consigo también el crecimiento de las distancias y e z. Recíprocamente si x se hace decrecer entonces se ve que y e z también decrecen. Se ve así que para el triángulo fijo de lados a, b y c. tanto la distancia y como la distancia z dependen de la distancia x. Ahora nos preguntamos ¿Cuáles son las fórmulas que relacionan entre sí los lados a, b, c, x, y y z de dichos triángulos semejantes.

Para determinar dichas fórmulas, consideremos el par de triángulos rectángulos semejantes entre sí.

Dispongámoslos en el plano de tal manera que sus hipotenusas queden colineales, y con sus vértices A y T coincidentes.

A partir de este esquema construyamos la siguiente figura

c

ba z

x

yAB

C

Q

P

T

c

b

a

z x

yA,T

BC

Q

P

c

b

a

z

x

yA

BC

Q

PT

Observemos atentamente en la figura construida que los rectángulos sombreados tienen áreas iguales. Explique por qué. (Vea tres pares de triángulos congruentes, y use el principio de que si a regiones con áreas iguales les quita regiones iguales, deben de quedar regiones con áreas iguales). Por lo que,

xb ya= De la cual obtenemos la siguiente proporción

x y

a b=

Usando es proporción junto con las ecuaciones pitagóricas para cada una de los triángulos:

2 2 2x z y= − y 2 2 2a c b= − , obtenemos la siguiente proporción

z y

c b=

Las dos últimas proporciones equivalen a las tres proporciones:

, ,x y z y x z

a b c b a c= = =

Ellas son fórmulas que relacionan catetos e hipotenusas de triángulos rectángulos semejantes entre sí. Veamos algunas características importantes de las relaciones determinadas. (a) Los numeradores son catetos o hipotenusa de uno de los triángulos y los denominadores son catetos o hipotenusa del otro, (b) el numerador y denominador de cada razón representan catetos o hipotenusas correspondientes de triángulos rectángulos semejantes entre sí (lados que se oponen a un mismo ángulo en cada triángulo rectángulo) Ya que cualquier par de triángulos rectángulos semejantes siempre podemos disponerlos según los arreglos anteriores, entonces con la discusión anterior hemos probado el llamado teorema Angulo o A. 2.3.12.2 Teorema AA Si un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es igual a un ángulo agudo de otro triángulo rectángulo, es decir, son semejantes entre sí, entonces sus catetos e hipotenusas correspondientes son proporcionales. Esto es, para los triángulos rectángulos semejantes entre sí.

Se cumplen las proporciones entres sus lados correspondientes:

, ,x y z y x z

a b c b a c= = =

Las relaciones anteriores podemos describirlas así: Si dos triángulos rectángulos son semejantes entre sí entonces: el cateto mayor del triángulo pequeño es al cateto mayor del triángulo grande, como el cateto menor del triángulo pequeño es al cateto menor del triángulo grande; o bien para segunda proporción, la hipotenusa del triángulo pequeño es la hipotenusa del triángulo grande, como el cateto menor del triángulo pequeño es al cateto menor del triángulo grande; etc. Por su puesto Ud. puede sugerir otras maneras equivalentes de verbalizar dichas proporciones. Ahora nos preguntamos: ¿el teorema AA se cumple para triángulos semejantes cualesquiera? La respuesta es: si. Para probarlo veamos la discusión siguiente. A partir de cualquier par de triángulos semejantes entre sí,

Podemos siempre disponer en el plano dichos triángulos, a fin construir la configuración siguiente.

c

ba z

x

yAB

C

Q

P

T

z

y

x

b

a

c

Haciendo un análisis similar al caso de triángulos rectángulos semejantes, se concluye que las dos figuras sombreadas tienen áreas iguales. (Vea tres pares de triángulos congruentes). Por construcción cada una de las figuras sombreadas tiene cuatro lados, en donde sus lados opuestos son iguales y paralelos, a ellas se les llama paralelogramo. Para calcular el área de un paralelogramo se puede razonar según la siguiente transformación, manteniendo su base y altura constantes, un paralelogramo se puede transformar en un rectángulo de igual área.

se observa que el triángulo rectángulo A’ se puede trasladar a la posición de del triángulo rectágulo A, así que el área del paralelogramo es igual al área del rectángulo. De modo que se puede calcular multiplicando su base por su altura. Volviendo al cálculo del área de los paralelogramos sombreados, puesto que sus áreas son iguales,

( )a H h xh− = Por otro lado, para los dos triángulos rectángulos semejantes construidos en el lado derecho de la figura, por proporciones entre sus hipotenusas y lados verticales,

y H h

y b H

−=+

De cual,

H

y

xa

b

H-h

h

altura

base

A A'

( )( )Hy H h y b

Hy Hy Hb hy hb

hyH h

b

= − += + − −

− =

Sustituyendo esta última ecuación en la ecuación de áreas iguales tenemos,

hya xh

b=

De la cual finalmente, tenemos la proporción:

x y

a b=

Con un análisis similar y usando las figuras siguientes

Obtenemos la proporción / /y b z c= , (tarea que dejamos al lector) Así, de acuerdo a esta discusión hemos deducido el importante teorema ángulo-ángulo o AA, para el caso más general. Teorema AA. Si dos ángulos de un triángulo son iguales a dos ángulos de otro triángulo, es decir son semejantes entre sí, entonces sus lados correspondientes son proporcionales. Esto es, para los triángulos semejantes,

Se cumplen las proporciones,

, ,x y z y x z

a b c b a c= = =

Recordando que los lados correspondientes son los que se oponen a un mismo ángulo, las proporciones pueden verbalizarse así:

y

c

b

z

H y

h

H-hc

z

b - y

z

yx

ab

c

En dos triángulos semejantes entre sí, las razones o cocientes de lados correspondientes, en las que los numeradores son siempre de un mismo triángulo, son iguales / / /x a y b z c= = Ello quiere decir que dichas razones o cocientes son iguales a una misma constante 0k > . De allí que x ka= , y kb= y z kz= . De esto se dice que dos triángulos son semejantes entre sí, si uno es k veces más grande o pequeño que el otro, poseen dos tres pares de ángulos iguales dos a dos, pero en general, diferente tamaño. Debido a esta propiedad se le nombra semejantes entre sí. Finalmente, cuando resolvamos problemas en los que están presentes triángulos semejantes entre sí, (ya nos hemos dado cuenta que tienen dos pares de ángulos iguales), tenemos que formar proporciones con sus lados correspondientes. Para ello, primeramente debemos ver cuáles son los lados correspondientes entre sí, luego formar proporciones según nuestras necesidades. También se pueden construir otras proporciones o ecuaciones equivalentes a partir de las proporciones arriba mencionadas, por ejemplo, se pueden construir, a/b = x/y, xb = ya, etc. ya sea a partir de los dibujos de los triángulos semejantes dados o construidos, o mediante manipulaciones algebraicas de las proporciones mencionadas. 2.3.12.3 Aproximación de una longitud Una persona desea aproximar el ancho de un río recto sobre un terreno plano. Para ello planificó el siguiente procedimiento y realizó las siguientes mediciones.

Seleccionó un árbol (como punto E) ubicado casi en la orilla opuesta. Ubicó los puntos C y D alineadas con E de tal manera que el segmento CD quedase aproximadamente perpendicular a la orilla del río y midiera 20 m. Ubicó el punto A a 30 m. de C de tal manera que el segmento AC quedase paralela a BD. Localizó el punto B sobre la orilla del río de tal manera que quedase alineada con los puntos A y E. Finalmente, midió la distancia entre los puntos B y D, siendo esta de 18.7. Para calcular el ancho del río construyó los siguientes triángulos rectángulos semejantes, denotando con x el ancho del río.

18.7

A

E

B

30

Ancho del río

20 ÁrbolC D

Luego utilizó el teorema A y construyó la siguiente ecuación

20 30

18.7

x

x

+ =

De la cual obtuvo 33.01x = Por tanto concluyó que el ancho del río es de 33 metros aproximadamente.

En la práctica. Trate Ud. de simular el procedimiento explicado anteriormente para aproximar la distancia entre dos puntos sobre un terreno plano (el ancho de un campo por ejemplo) luego mida directamente dicha distancia y compruebe la exactitud de su cálculo. Vea que suposiciones debe realizar y que dificultades técnicas debe enfrentar.

2.3.12.4 El cable de menor longitud Veamos la resolución del siguiente problema con la ayuda de semejanza de triángulos: Se desea reforzar dos postes verticales con un cable tenso unido al suelo según se muestra en el dibujo. La distancia que los separa es de 10.4 m. Se tiene como única preocupación usar la menor cantidad de cable. (a) ¿Existirá una longitud mínima?, (b) ¿Donde debe ubicarse el punto P sobre el suelo para lograr la longitud sea mínima?, (c) ¿Cuál es la longitud mínima?

Solución. (a) Obviamente existen varias alternativas de ubicar el punto P de unión del cable al suelo. Es conveniente hacer dibujos más sistemáticos, representando los postes, el cable y el nivel de suelo como segmentos y denotando los extremos de los segmentos con letras. Veamos

30

18.7

20 x

4.37.1

10.4

P

Donde la distancia RP PT+ representa la longitud del cable. Tal como vemos en el dibujo, podemos sospechar que para diversas posiciones de P sobre el segmento SU, tenemos diferentes longitudes de RP PT+ , pero no tenemos manera de comprar entre sí sus longitudes y percibir la existencia de una menor de todas. Con el fin de comparar sus longitudes y hacer plausible la existencia de una longitud mínima, usemos el principio de muy antiguo de simetría-alineamiento: Ubiquemos el punto simétrico del plano T debajo de la recta horizontal. Sea T ′ el punto simétrico de T.

Vemos que para cualquier ubicación de P, bajo la reflexión simétrica de T sobre T´, se tiene RP PT RP PT′+ = + . Ahora, en este esquema vemos que la longitud del cable a usar, depende de la ubicación del punto P sobre el suelo, hay posiciones que dan lugar a longitudes más largas que otros, y lo que es más importante, entre todos ellos existe uno de menor longitud: Ello sucede cuando R, P y T´ están alineados. (b) Determinemos la ubicación de P para la longitud mínima y dicha longitud mínima. La ubicación la vamos a referir con respecto a la base S del poste de 7.1 m de alto. Entonces queremos determinar la distancia de P (alineado con T y T´) a la base de dicho poste. Esta es nuestra incógnita, Denotémosla con x. Dibujemos.

R

S P

U

T

4.3

7.1

10.4

R

S P

U

T

4.3

7.1

10.4 T '

Ahora tenemos que construir una ecuación algebraica que contenga la x, partiendo y usando el dibujo. Para ello, hay que investigar y descubrir qué propiedad geométrica nos puede ayudar. En este caso nos damos cuenta de que los dos triángulos rectángulos son semejantes. ¿Por qué? Se aconseja dibujar separados dichos triángulos semejantes anotando sus lados. Lo que hay que tratar ahora es de construir una ecuación de proporcionalidad entre dos pares de lados de los triángulos semejantes que contenga la x. Si intentamos construir alguna relación nos damos cuenta hace falta determinar el cateto horizontal TP del triángulo pequeño. Observando el dibujo nos damos cuenta que esta distancia se puede expresar como 10.4 x− . Por lo que tenemos los triángulos semejantes,

De los cuales podemos construir la ecuación de proporcionalidad

7.1

10.4 4.3

x

x=

−

Al despejar x, obtenemos x = 6.48, aproximadamente. Por tanto, para que el cable a usar tenga la menor longitud, el punto P debe ubicarse a una distancia de 6.48 m de la base de poste de 7.1 m. El construir ecuaciones algebraicas útiles, a partir de dibujos apropiados que uno va haciendo, es una de las principales habilidades que Ud. debe aprender en matemáticas. (c) La longitud mínima de cable se puede encontrar sumando las longitudes de las hipotenusas de los dos triángulos semejantes de arriba. Como ya se conoce el valor de x, entonces se conocen los cuatro catetos y por el Teorema de Pitágoras se pueden obtener las hipotenusas. Los cálculos se dejan al lector interesado.

S P T

R

T '10.4

7.1

4.3

xx

7.1

P P

4.3

T '

R

S T

7.14.3

4.3 - xx

Observación: Este problema se puede resolver también con criterios de cálculo diferencial. Problemas propuestos. 1. El siguiente esquema se puede llevar a la práctica para aproximar la altura de cierto objeto.

Construya un par de triángulos semejantes construya una ecuación entre sus lados y aproxime la altura del edificio ¿Piense cómo llevar a la práctica este esquema para aproximar la altura de un edificio? 2. Calcule la longitud desconocida.

3. Exprese x en términos de y.

20 3

2

h

5

5

4

6

3

2h

w

(a) (b)

4. En la figura siguiente, exprese h en términos de r,

5. En la figura siguiente (a) exprese y en términos de x, (b) exprese z en términos de x.

6. El dibujo siguiente es simétrico respecto al segmento vertical central punteado, Haga trazos a fin de construir un par de triángulos semejantes, de ellos plantee una ecuación que relacione h con b, y luego exprese h en términos de b. 7. (a) Si AB//CD y AC//BD. Exprese x en términos de h,

2.1y

3.57

5

4

x

y x

y

(a) (b)

r

h

5

5

z

912

x y

(b) Si AB//DE y BC//EF, calcule x

8. Considere el esquema de triángulos rectángulos semejantes,

Muestre que 2 2 2z x y= + 9. Un farol se encuentra una altura de 2.5 m sobre el suelo horizontal. Una persona que se encontraba a 8 m del punto P directamente abajo del farol (puntual) sobre el sobre el suelo, camina acercándose directamente hacia dicho punto P. Si la persona tiene una estatura de 1.75 m y camina con una velocidad constante de 0.4 m/s. Realice la Simulación Sombra de Persona (a) Observe la proyección de su sombra sobre el suelo, determine las magnitudes variables y constantes. (b) Seleccione como punto de referencia el punto P. Exprese la longitud de la sombra en función del tiempo. ¿Es esta una función decreciente?, ¿Con qué rapidez decrece la longitud de la sombra? y, (c) Exprese la distancia que separa la punta de la sombra al punto P en función del tiempo. ¿Con qué rapidez se mueve la punta de la sombra con respecto al punto P? y ¿qué longitud decrece más rápido?

10

8

x h A

B

D

C

DA

a

FC

BE

a x

5

w

x

v u

z

y

10. En el triángulo rectángulo, el vértice V se hace desplazar sobre la semirrecta de extremo 0, partiendo desde dicho extremo al infinito. Es decir, el cateto horizontal x se hace variar desde 0 a infinito manteniendo constante el cateto vertical igual a 7. Al realizar dicho desplazamiento, varían los ángulos y α β .

(a) Dibuje la altura interna y la mediana del triángulo cuando x es muy pequeño y señale el ángulo β , (b) Dibuje la altura interna y la mediana del triángulo cuando x es relativamente grande y señale el ángulo β , (c) ¿Para qué valor de α , β se hace cero?, ¿Cuál es el valor de x?, (d) Determinar el intervalo de variación de α , (e) Esboce cualitativamente la gráfica cartesiana α en función de x , (f) Exprese β en función de α (vea triángulos semejantes, note que el triángulo rectángulo mayor es la mitad de un rectángulo), (g) Haga la gráfica cartesiana de β en función de α , (h) Esboce cualitativamente la gráfica cartesiana de β en función de x. 2.3.13 Aplicaciones del teorema de Pitágoras y semejanza Hay varios problemas de geometría estática, de rapideces de variación y optimización en contextos geométricos que requieren el uso combinado o secuenciado, y a veces reiterado, del teorema de Pitágoras y de relaciones entre triángulos semejantes para lograr construir ecuaciones con el fin de determinar incógnitas o relaciones funcionales entre variables. El problema resuelto y el conjunto de problemas propuestos que se presentan en seguida pueden considerarse de esta categoría. 2.3.13.1 El problema del cuadrado Resolvamos el siguiente problema puramente geométrico. Los triángulos de la figura que sigue son equiláteros de lado 1. ¿Cuánto mide el lado del cuadrado?

V

x

7

0

mediana

altura

α β

Solución. Nuestra incógnita es el lado del cuadrado, esta es la incógnita principal, designémosla con la letra x , representemos los datos y la incógnita en el dibujo. En este problema como en otros, para determinar su valor hay que construir ecuaciones apropiadas, y a través de procedimientos algebraicos obtener su valor,

¿Qué trazos podemos realizar para obtener alguna figura o figuras de las cuales podamos obtener alguna ecuación útil a nuestros propósitos? Esto no se le ocurre a uno fácilmente, es realmente un proceso intelectual complejo difícil de describir. Pero uno debe partir de algo y hacerlo explícito. Partamos de que queremos usar semejanza de triángulos, con el fin de construir una ecuación usando sus lados correspondientes, pero, ya que en el dibujo no vemos triángulos semejantes, entonces debemos de construirlos, es preciso entonces hacer trazos. Hagamos los trazos siguientes, una altura vertical y un segmento vertical del vértice de uno de los triángulos al lado horizontal inferior del cuadrado,

x

x

1 1

1

1

1

1

Hemos construido dos triángulos semejantes. Dibujémoslos por separado,

¿De ellos qué lados conocemos? El mayor tiene cateto vertical 1/2, hipotenusa 1 y cateto vertical 3 / 2, ¿por qué? Pero los lados del triángulo menor, los desconocemos, son incógnitas, denotémoslos con las letras y, z y w. A ellas les llamamos incógnitas auxiliares, nos servirán para construir ecuaciones que relacionan los datos con la incógnita principal x.

Ahora iniciemos un proceso de reducción del número de incógnitas auxiliares, esto se logra expresando alguna incógnita auxiliar en términos de la principal, la x; o construyendo ecuaciones y eliminarlas con procesos algebraicos. Para ello debemos representar en el dibujo los datos encontrados y las incógnitas auxiliares en el dibujo, ver atenta y detenidamente el dibujo. A veces es necesario invertir relativamente mucho tiempo para lograr descubrir una relación útil. Acá vemos simetría, esto hay que usarlo. ¿Ya observó?

x

x

1 1

1

1

1

1

1

Sqrt(3)/2

1/2

wz

y

Aquí debemos ver que 3

2z x= − , esta es una relación útil, en el sentido de que la z está en

términos de la incógnita principal, x. Ahora, podemos construir una ecuación entre los lados correspondientes de los triángulos semejantes, ¿pero cuál de ellas, si podemos construir varias? Frecuentemente uno construye ecuaciones que no le son útiles, son intentos que deben ser abandonados. Construyamos la siguiente. (Eso se lo digo porque yo ya sé que es la apropiada)

3 / 2 3 / 2

1/ 2

x

y

−=

Esta ecuación contiene dos incógnitas, la principal x y la auxiliar y. Ahora, tratemos de construir otra ecuación, no equivalente a la construida, que contenga estas dos mismas incógnitas, luego resolvamos este sistema de dos por dos, hacia eso vamos. Para ello, otra vez debemos hacer trazos con el fin de formar triángulos rectángulos. Hay que ver que si se puede usar el teorema de Pitágoras, o tal vez semejanza de triángulos otra vez. Observemos el trazo para construir un triángulo rectángulo,

x

x

1

1

1/2

zy

Sqrt(3)/2

z

Ahora, nuevamente nos preguntamos, ¿Conocemos los lados de este triángulo rectángulo? Veamos atenta y cuidadosamente la figura y notemos que, la hipotenusa mide 1, el cateto vertical mide 3 / 2, y el cateto horizontal mide 1y x+ − .

Usando el teorema de Pitágoras construimos la ecuación,

( ) ( )2 2

1 3 / 2 1y x= + + −

Resolviendo el sistema de ecuaciones de dos por dos anteriores, obtenemos la respuesta, el lado del cuadrado debe medir,

2 3

1 3x =

+

Observaciones. (a) El problema anterior puede aceptar otras maneras de resolución distintas a la presentada. (b) La secuencia de actividades que realizamos en la resolución presentada, difícilmente coincide con la secuencia real cuando uno está tratando de resolver el problema. La secuencia fue organizada con fines de su enseñanza. (c) Probablemente, ya se dio cuenta que 1 1/ 2y x+ − = , esta ecuación nos evitaría utilizar el teorema de Pitágoras, en realidad, con esta ecuación agilizamos el proceso algebraico. No la utilizamos porque lo que queríamos era mostrar el uso secuenciado o combinado de proporciones en triángulos semejantes y el teorema de Pitágoras, como vemos el problema fue resuelto ignorando esta ecuación. Problemas propuestos 1. Uno de los catetos de un triángulo rectángulo es 4/3 más grande que el otro. Hallar dichos catetos, si la mediana trazada sobre la hipotenusa tiene 35 cm. 2. Considere todos los rectángulos inscritos según el esquema siguiente

y+x - 1

sqrt(3)/2

1

x-1

x

y

1

(a) ¿Sus áreas son diferentes?, ¿Entre todos ellos existe uno de mayor área?, ¿Qué longitudes son variables?, ¿Cuáles son sus límites de variación? (b) Considere el conjunto de rectángulos inscritos como si se tratara de un rectángulo cuyas dimensiones se pueden hacer variar según las condiciones impuestas en el dibujo. Exprese el área del rectángulo en función de uno de sus lados y en términos de los parámetros a, b, c y d. (c) Use cualquier procedimiento para determinar o aproximar las dimensiones a fin de que el área del rectángulo tenga área máxima. 3. Una barra recta y rígida de 10.5 m. de longitud se resbala sobre la parte superior de una pared vertical de 2.7 metros de alto y el suelo horizontal según se muestra en la figura. Se sabe que la barra inició a resbalar cuando su base estaba a 3 m. de la pared y que la base de desliza a una velocidad constante de 0.2 m/seg. Visualice el problema realizando la Simulación Escalera-Resbala. Exprese la distancia w (variable) en función del tiempo. ¿Cuándo la parte superior se desplaza verticalmente más rápido?, ¿Puede Ud. determinar la componente vertical de la velocidad con que se mueve la parte superior de la barra, esto la rapidez con que decrece w en el tiempo? Este es un problema de cálculo diferencial.

4. Una cerca vertical de h metros de altura está ubicada paralelamente a w metros de la pared de un edificio muy alto. Se desea colocar una escalera recta apoyada en el suelo, la pared del edificio y sobre la parte superior de la cerca. (a) ¿Ve Ud. que existe una infinidad de escaleras de distintas longitudes que se pueden apoyar de esa manera?, dibuje unas cuantas. (b) ¿Ve Ud. que entre todas ellas existe una que tiene la menor longitud?, explique. (c) Explique cómo varían las longitudes de las escaleras al variar la distancia x. (d) Se puede considerar que la longitud L de escalera es función de x, trace cualitativamente la gráfica de esta función. (e) Exprese la longitud de la escalera en función de x. (f) Determine la longitud de la escalera si x = h. Visualice el problema realizando la Simulación Infinidad de Escaleras.

a

c

b d

c

a

d b

2.7

w

z

Largo de laescalera, 10.5

Suelohorizontal

Paredvertical

5. La vista en planta de un pasillo a escuadra (a 90º) tiene las dimensiones que se muestran. Se deben trasladar, horizontalmente, barras rectas rígidas, de diferentes longitudes, a través de dicho pasillo. ¿Cuál es máxima longitud que pueden tener las barras a transportarse en estas condiciones? Visualice el problema realizando la Simulación Barra más Larga. Note que la más larga que pasa es la más corta que no pasa.

6. Una tira rectangular de papel muy larga y de ancho a, se le hacen dobleces según se indica en el dibujo. Realícelo con una tira de papel real o realice la Simulación Tira de papel.

h

L

xw

8 m

9 m

3 m

5 m

x

Al hacer los dobleces. (a) ¿Qué clase de triángulos se forma?, (b )¿Qué longitudes son iguales?, (lados y áreas de triángulos), (c) ¿Qué magnitudes son variables?, ¿Cuáles son sus límites de variación?, (d) Al hacer varios dobleces, ¿existe un área máxima para el triángulo A?, ¿existe un área mínima para el triángulo B?, ¿existe una longitud mínima para el z?, (e) Seleccione una magnitud variable de la cual vea que al hacer variar a ésta, varían el área del triángulo A, el área del triángulo B y la longitud z. (f) Forme triángulos semejantes y exprese el área del triángulo A, el área del triángulo B y la longitud z en función de la variable seleccionada y en términos de a. 7. Realice las Simulaciones Rectángulo Inscrito de Área Máxima, 1, 2, 3 y 4, y Resuelva el problema asociado. 2.3.14 Más teoremas y propiedades Usemos el teorema de Pitágoras, proporciones en triángulos semejantes, construcciones geométricas y procesos algebraicos para estudiar algunas relaciones y resolver problemas relativos al triángulo y sus elementos. 2.3.14.1 Propiedad del segmento medio. Un segmento medio es paralelo a uno de los lados de triángulo y es la mitad de ese lado paralelo.

Problemas propuestos 1. Un triángulo tiene lados 2, 3 y 4. Determine la longitud de cada uno de los segmentos medios y dibuje. 2. Un triángulo tiene dos lados cuyas longitudes son de 7 y 10 cm, el segmento que une sus puntos medios mide 4 cm. Determine las dimensiones del tercer lado. 3. Proponga las dimensiones de un triángulo que tenga un segmento medio de longitud 4 cm. 4. Determine las dimensiones de un triángulo cuyos tres segmentos medio midan 1 cm.

z ancho a

largo infinito

A

B

M

L

a/2 a

C

B A

LM lado medio LM//BC L punto medio de AB M punto medio de AC

5. Un triángulo tiene como lados fijos 10 y 24 cm, el tercer lado es variable. (a) Determine el intervalo de valores reales que puede tomar el tercer lado, (b) Determine el intervalo de valores que puede tomar el segmento medio paralelo al lado variable. 6. Dibuje un triángulo cualquiera, denote sus lados con a, b y c, trace un segmento medio, (a) Explique por qué el segmento medio es paralelo a uno de los lados, y (b) Deduzca que la longitud del segmento medio es la mitad del lado paralelo. 2.3.14.2 Longitud de la mediana Si variamos las longitudes de los lados de un triángulo, en general, la longitud de cada una de sus medianas variará. Vemos entonces que las longitudes de las medianas de un triángulo son función de las longitudes de los lados del triángulo (cada una es una función de tres variables). Para el triángulo de lados x, y y z (ternas que cumplen con la desigualdad del triángulo)

se puede deducir que las longitudes de las medianas mx correspondiente al lado x, la mediana my correspondiente al lado y, y la mediana mz correspondiente al lado z; están dadas por,

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2( )( , , )

2

2( )( , , )

2

2( )( , , )

2

x

y

z

z y xm m x y z

x z ym m x y z

x y zm m x y z

+ −= =

+ −= =

+ −= =

Problemas propuestos 1. Suponga que conoce la expresión de mx, observe su estructura; a partir de esto obtenga, my y mz.

2. Un triángulo tiene lados 10, 20 y 25 cm. Determine el valor de la suma de sus medianas. 3. Un triángulo tiene lados de 2 y 3 cm. Determine su tercer lado si su mediana correspondiente mide 1 cm. 4. Proponga las dimensiones de un triángulo que tenga como una mediana de longitud 8 m. 5. Un triángulo tiene dos lados fijos cuyas longitudes son 1 y 2, el tercero Ud. puede hacerlo variar. Determine el intervalo de variación de mediana correspondiente al lado variable.

C

A B y

x z

G

6. Los lados de un triángulo crecen a partir de cero con rapidez constante de 2, 3 y 4 m/s. Determine con qué rapidez crece cada una de las medianas. 7. Use el dibujo siguiente y plantee ecuaciones usando el teorema de Pitágoras, para deducir que,

2 2 22( )( , , )

2x

z y xm m x y z

+ −= =

2.3.14.3 Propiedad del baricentro El baricentro G de todo triángulo divide a las medianas en la razón 2:1 medidas desde el vértice del ángulo. Así para el triángulo siguiente,

La logitud de la mediana AB es r s+ , entonces la propiedad asegura que / 2 /1r s = , de cual, 2r s= y la longitud de la mediana es, 3AB s= . Problemas propuestos 1. En el triángulo NAP, G es su baricentro. Deduzca las propiedades, 2r s= y 3AB s= . Use la construcción,

Donde NM se traza paralela y congruente con AG, observe que los triángulos MON y AOG son semejantes e iguales, de allí que u r= , y observe también que los triángulos MNP y GBP también son semejantes entre sí.

mx

y z

x' u x'-u

Donde 2x' = x

r

A

B

s

G

r

A

u

B

s

a/2

M

G

N

O

P a/2

2. En el triángulo NAP, G es su baricentro. Deduzca que cada uno de los triángulos NGP, NGA y AGP tiene área igual a un tercio del área del triángulo NAP. Es decir, los tres primeros triángulos tienen la misma área.

3. Una placa metálica plana, de cierto grosor, tiene la forma de un triángulo escaleno, su peso por unidad de área es constante. (a) Explique cómo tendría que proceder a fin de obtener de la misma placa original, tres triángulos con el mismo peso, (b) ¿Cuánto pesará cada triángulo obtenido, si el peso por unidad de área del material es de 1.3 libras/pie2, y el área del triángulo es de 7.8 pie2? 2.3.14.4 Teorema de las alturas La altura interna h en un triángulo rectángulo (correspondiente a la hipotenusa) es igual a la media geométrica de las longitudes m y n en que queda dividida la hipotenusa por

dicha altura. Esto es n, h y m forman una progresión geométrica, y h mn= .

h mn=

En esta fórmula, si variamos m y/o n , en general h también variará, pero podemos también hacer variar m y n de tal forma que el producto mn, y por tanto h , permanezca constante. Así en términos funcionales escribimos,

( , ) , con y reales positivosh h m n mn m n= = Problemas Propuestos 1. En las figuras siguientes, determine x.

r

A

h

B

s

a

G

N P

h

n m

2. La altura divide a la hipotenusa de un triángulo en la relación 9:16. Determine el área de dicho triángulo, si su hipotenusa es de 70 cm. 3. En la siguiente figura (a) muestre que los triángulos ACB, ADC y BDC son semejantes entre sí, (b) forme una ecuación entre lados correspondientes de los triángulos ABC y BDC y deduzca el teorema de las alturas. Esto es h mn= , (c) Plantee ecuaciones entre lados correspondientes de triángulos semejantes apropiados y deduzca las relaciones

, ( ) y / ( )x mz y n m n h xy m n= = + = + .

4. Proponga los lados de dos triángulos rectángulos tal que tengan altura interna igual a 2 y tenga el doble del área que el otro. 5. Halle los valores de x e y.

6. En los triángulos rectángulos,

3

2

1/3

1/2

x

x

B D

C

A

h

n m

y x

x

y 9/5

9/5

y x y , crecen a razón constante de 8 y 2 m/s respectivamente, a partir de cero. (a) ¿Con qué

rapidez crece h?, (b) ¿Cuál es el valor de h a los 3 segundos?, (c) ¿Cuál es el área del triángulo mayor a los 5.3 segundos? 7. Proponga las dimensiones de un triángulo rectángulo que tenga ½ m de altura interna e hipotenusa mayor que 2009 m. 8. Imagine el conjunto de todos los triángulos rectángulos que tengan altura igual a 4. (a) Proponga las dimensiones de dos de ellos y calcule su área y perímetro, dibújelos; (b) Observe las figuras siguientes e imagine la generación de la familia infinita de triángulos rectángulos, o piense de manera equivalente, la transformación del triángulo rectángulo de altura cuatro, al hacer variar x.

Si se hace variar x continuamente en (0, )∞ , (a) ¿Observa que varían su área y su perímetro?, ¿observa que su área y su perímetro dependen de x?, (b) ¿Observa que existe un valor de x para el cual su área toma un valor menor?, ¿observa que existe un valor de x para el cual su perímetro es menor?, ¿qué tipo de triángulo debe ser?, (c) Exprese su área y perímetro en función de x, (d) Use cualquier procedimiento para aproximar el valor de x para cual el triángulo tiene menor perímetro y para el cual tiene menor área. Aproxime los valores mínimos del área y perímetro. 2.3.14.5 Teorema de la bisectriz Cualquier bisectriz de un ángulo en todo triángulo divide a lado opuesto del ángulo en segmentos cuyas longitudes son proporcionales a las longitudes de los otros dos lados. Más precisamente, y en particular, en el triángulo ABC siguiente,

x

y h

xxx

4 4 4

La bisectriz DB del ABC� , divide al lado opuesto AC en segmentos de longitudes x y y tales que cumplen las proporciones,

x m y no

y n x m= =

El problema de la bisectriz y la altura interna. La bisectriz del ángulo recto divide a la hipotenusa de un triángulo rectángulo en dos segmentos que están en relación 9:16 ¿En qué relación divide a la hipotenusa la altura interna de dicho triángulo? Solución. De la condición del problema tenemos el dibujo siguiente, con / 9 /16m n= .

Nos piden encontrar cuál es el valor de /x y , h es altura interna en el dibujo siguiente

Una de las habilidades que debemos adquirir es la de relacionar los datos, condiciones, o afirmaciones del problema con la pregunta de la misma. Vamos a relacionar el valor

/ 9 /16m n= en la figura de arriba con el valor de /x yde la figura de abajo. Para ello es necesario (frecuentemente lo es) introducir literales, o sea denotar con letras ciertas magnitudes desconocidas, con el fin de poder obtener ecuaciones que representen las propiedades geométricas que se han reconocido en la figura. Veamos los dibujos.

n

y

x

m

B

D

C

A

m

n

x

y

En la primera figura ¿qué característica geométrica reconocemos? Un triángulo rectángulo y su bisectriz. ¿Existe algún teorema o fórmula que nos permite relacionar las magnitudes

, , , y ?p q m n . Como cumplen con las condiciones del teorema de la bisectriz, tenemos, / / ,m n p q= y como / 9 /16,m n= entonces,

/ 9 /16 (1)p q =

Veamos la otra figura, ¿Qué característica geométrica reconocemos? Tres triángulos rectángulos semejantes entre sí. ¿Por qué? Formemos ecuaciones con sus lados proporcionales. Se pueden formar varias. ¿Cuáles debemos formar?, las tengan el cociente

/ ,p q ¿por qué?

/ / (2)

/ / (3)

p q x h

p q h y

==

Ahora, el problema se ha reducido al álgebra. De las tres ecuaciones, se obtiene

/ 81/ 2456x y = , esta es la respuesta del problema. Problemas propuestos 1. Determine el valor de x ,

2. Halle el valor de x ,

x

y p

q

p

q

m

n h

3

3.5

5

x

B

D

C

A

3. En el siguiente triángulo proponga tres parejas de valores que pueden tomar y x y ,

4. En el siguiente triángulo proponga dos ternas de números correspondientes a los valores que pueden tomar , y x y z. ¿Se pueden proponer una infinidad de ternas?

5. En el triángulo siguiente. Deduzca el teorema de la bisectriz / /m n x y= , (b) Deduzca

también que, , .zy zx

n my x y x

= =+ +

Sugerencia. Forme dos triángulos semejantes. Desde el vértice C trace una paralela a la bisectriz hasta tocar en un punto sobre la prolongación de AB. 6. La bisectriz del ángulo recto divide a la hipotenusa de un triángulo rectángulo en la relación 3:4. Encontrar los catetos, si la hipotenusa tiene una longitud de 70 cm.

5

10

7

x

y x

3

2

y z

1/2 x

x

y

n

m z

A B

C

2.3.14.6 Longitud de la bisectriz Imaginemos un triángulo cualquiera, si hacemos crecer o decrecer uno de sus lados, las longitudes de las bisectrices cambiarán; si hacemos crecer o decrecer dos de sus lados, las bisectrices pueden cambiar pero bajo ciertas condiciones una de ellas puede permanecer constante; si hacemos crecer o decrecer los tres lados (por ejemplo, un lado crezca y los otros decrezcan), las longitudes de las bisectrices pueden variar o bien alguna de ellas puede permanecer constante. Nos imaginamos que las longitudes de las bisectrices dependen, es decir son funciones de las longitudes de sus lados, es decir son funciones de tres variables. Las longitudes de las bisectrices son funciones algebraicas de sus lados. Consideremos un triángulo cualquiera, denotemos sus lados con , y x y z(los valores

, y x y zdeben cumplir con la desigualdad del triángulo)

La longitud de la bisectriz correspondiente al ángulo opuesto al lado de longitud x , xL

depende de las longitudes de sus tres lados según la función,

( )2 2

( , , )x x

yz y z xL L x y z

y z

+ − = =

+.

Problemas propuestos 1. Identifique el patrón de correspondencia en la fórmula de xL , ya a partir de ello

construya las fórmulas de yL y zL .

2. Un triángulo tiene lados de longitudes, 2, 3 y 4. Determine la longitud de dos de sus bisectrices 3. Un triángulo tiene lados con longitudes de 10.3 y 21.4 cm. El tercero es variable. Denote esta magnitud con x . (a) Escriba la longitud de la bisectriz correspondiente al ángulo opuesto al lado de longitud variable en función de x . (b) Determine el dominio de variación de xy de la longitud de dicha bisectriz. 4. Proponga los lados de dos triángulos diferentes que tengan una bisectriz con longitud 1. 5. Una familia de triángulos tiene un lado de longitud 7 cm, y la longitud de la bisectriz correspondiente al ángulo opuesto a dicho lado mide 16 cm. Proponga los lados restantes de tres triángulos de dicha familia. Haga dibujos de ellos. 6. Una familia infinita de triángulos tiene una bisectriz de 1/4 de longitud. Proponga los lados de dicha familia.

y z

x

Lx

7. Deduzca la fórmula de la longitud de la bisectriz xL . Ayuda. Apóyese en el dibujo

siguiente y plantee ecuaciones usando el teorema de Pitágoras y las relaciones relativas a las bisectrices / ( ´ ) y / ( )p xy y z q xz y z= + = + .

y z

x

Lx

q p

q - u p + u

u

h