UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

CLAVE-101-3-M-2-00-2018

CURSO: Matemática Básica 1

SEMESTRE: Segundo

CÓDIGO DEL CURSO: 101

TIPO DE EXAMEN: Tercer Examen Parcial

FECHA DE EXAMEN: 23 de octubre del 2018

RESOLVIÓ EL EXAMEN: Oscar Vinicio Norato Socop

DIGITALIZÓ EL EXAMEN: Oscar Vinicio Norato Socop

COORDINADOR: Ing. José Alfredo González Díaz

Tercer examen parcial Temario C

Tema 1: (20 puntos)

a. Resuelva la ecuación exponencial

163 3 0

x xx x

b. Resuelva la ecuación logarítmica

6254log log 2log

5 4

xx

Tema 2: (20 puntos)

Se sabe que cierto material radiactivo se desintegra a una razón proporcional a la cantidad

presente. Si inicialmente hay 60 miligramos de material y después de 2 horas se observa que

el material ha perdido el 10% de su masa original.

a. Obtenga una expresión para la masa de material restante en un momento t.

b. ¿Cuántos miligramos quedan después de 5 horas?

c. ¿Cuál es la vida media de este material?

d. Esboce la gráfica de la función.

Tema 3: (15 puntos)

Para la siguiente función trigonométrica

( ) 3sen 2

4f x x

Determine la amplitud, el período, el desplazamiento de fase, el corrimiento vertical y

Dibuje la representación gráfica.

Tema 4: (25 puntos)

a. Demuestre la identidad trigonométrica

1 seccsc

sen t an

b. Resuelva la ecuación trigonométrica para 0 2x

sen 2 3 cosx x

Tema 5: (20 puntos)

La figura de la derecha muestra un cuadrilátero ABCD,

donde: 30 mAB , 55 mBC , 43 mCD y 32 mAD .

Calcule el área del cuadrilátero.

A B

C

D

SOLUCIÓN DEL EXAMEN

Tema 1: (20 puntos)

a. Resuelva la ecuación exponencial

163 3 0

x xx x

No. Explicación Operatoria 1. El primer paso corresponde a

reescribir la ecuación en forma de exponentes racionales. Luego efectuar las operaciones indicadas con las leyes de exponentes correspondientes.

((3)𝑥+6)1

𝑥 − (3𝑥)1

𝑥−1 = 0

3𝑥+6

𝑥 = 3 𝑥

𝑥−1

2.

Se trabaja solamente con los exponentes como una ecuación ya que allí se encuentra la incógnita.

𝑥 + 6

𝑥=

𝑥

𝑥 − 1

𝑥+6

𝑥−

𝑥

𝑥−1=0

𝑥2 + 5𝑥 − 6 − 𝑥2

𝑥(𝑥 − 1)= 0

5𝑥 − 6 = 0

𝑥 =6

5

b. Resuelva la ecuación logarítmica

6254log log 2log

5 4

xx

No. Explicación Operatoria

1. Se aplica las leyes de los logaritmos para que los coeficientes se conviertan en exponentes de la incógnita.

𝒍𝒐𝒈 (𝑥4

625) + 𝒍𝒐𝒈 (

625

4) = 𝒍𝒐𝒈(𝑥2)

𝒍𝒐𝒈 (𝑥4

625∗

625

4) = 𝒍𝒐𝒈(𝑥2)

2.

Se anulan los logaritmos y se trabaja con las incógnitas.

𝑥4

4= 𝑥2

𝑥4 − 4𝑥2 = 0

𝑥2(𝑥 − 2)(𝑥 + 2) = 0

𝑥 = 0 ; 𝑥 = 2 ; 𝑥 = −2

3. La única solución que cumple con la igualdad es

𝑥 = 2

Tema 2: (20 puntos)

Se sabe que cierto material radiactivo se desintegra a una razón proporcional a la

cantidad presente. Si inicialmente hay 60 miligramos de material y después de 2 horas

se observa que el material ha perdido el 10% de su masa original.

a. Obtenga una expresión para la masa de material restante en un momento t.

No. Explicación Operatoria

1. Usando el modelo matemático de crecimiento exponencial, tenemos:

𝒎(𝒕) = 𝟔𝟎𝒆−𝒓𝒕

2.

El 𝟏𝟎% de 60 mg es 54 mg. Por consiguiente, con base al crecimiento exponencial derivado del factor tiempo, después de 2 horas de desintegración quedarán 54 mg de ese material, quedando la evaluación de la expresión matemática siguiente:

Para: (𝟐, 𝟓𝟒) 𝒎(𝟐) = 𝟔𝟎𝒆−𝟐𝒓

𝟔𝟎𝒆−𝟐𝒓 = 𝟓𝟒

𝒆−𝟐𝒓 =𝟓𝟒

𝟔𝟎

𝒓 =𝒍𝒏(𝟎. 𝟗)

−𝟐

𝒓 = 𝟎. 𝟎𝟓𝟐𝟔𝟖𝟎𝟑

3.

Quedando el modelo matemático para la situación, así:

𝒎(𝒕) = 𝟔𝟎𝒆−𝟎.𝟎𝟓𝟐𝟔𝟖𝟎𝟑𝒕

b. ¿Cuántos miligramos quedan después de 5 horas?

No. Explicación Operatoria 1.

Valuando en el modelo matemático t= 5 hrs

Para t= 5 hrs:

𝒎(𝟓) = 𝟔𝟎𝒆−𝟎.𝟎𝟓𝟐𝟔𝟖𝟎𝟑(𝟓) 𝒎(𝟓) = 𝟒𝟔. 𝟏𝟏 𝒎𝒈

c. ¿Cuál es la vida media de este material?

Las soluciones a los dos incisos son:

a) 𝒙 =𝟔

𝟓

b) 𝒙 = 𝟐

No. Explicación Operatoria

1.

La mitad del material de 60 mg es 30 mg, entonces la vida media t es:

Para m= 30 mg tenemos:

𝟔𝟎𝒆−𝟎.𝟎𝟓𝟐𝟔𝟖𝟎𝟑𝒕 = 𝟑𝟎

𝒆−𝟎.𝟎𝟓𝟐𝟔𝟖𝟎𝟑𝒕 =𝟏

𝟐

𝒕 =𝒍𝒏(𝟏

𝟐⁄ )

−𝟎. 𝟎𝟓𝟐𝟔𝟖𝟎𝟑

𝒕 = 𝟏𝟑. 𝟏𝟔 𝒂ñ𝒐𝒔

d. Esboce la gráfica de la función.

Tema 3: (15 puntos)

Para la siguiente función trigonométrica

( ) 3sen 2

4f x x

Determine la amplitud, el período, el desplazamiento de fase, el corrimiento vertical y

Dibuje la representación gráfica.

No. Explicación Operatoria

1.

El modelo matemático nos dicta las partes de una función trigonométrica.

𝒂 𝒔𝒆𝒏(𝒃𝒙 + 𝒄) + 𝒌

𝐴𝑚𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 = 𝒂 = 𝟑 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑠𝑒 =

− (𝑐

𝑏) = − (−

𝜋

4) =

𝝅

𝟒

𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 = 𝒌 =𝟐

Tema 4: (25 puntos)

a. Demuestre la identidad trigonométrica

1 seccsc

sen t an

𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 =2𝜋

|𝑏|=

2𝜋

1= 2𝜋

Intervalo de un ciclo: 0 ≤ 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 2𝜋

0 ≤ 1𝑥 −𝜋

4 ≤ 2𝜋

𝜋

4≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 +

𝜋

4

𝝅

𝟒≤ 𝒙 ≤

𝟗𝝅

𝟒

No. Explicación Operatoria

1. Se elige trabajar el miembro izquierdo de la ecuación, para comprobar la identidad.

1 + sec(𝛼)

sin(𝛼) + tan(𝛼)

2.

Se recurre a realizar las sustituciones pertinentes para las funciones sec(𝛼) y la función tan(𝛼), porque la finalidad es llevar a las funciones básicas las expresiones, estas funciones básicas son 𝐬𝐢𝐧 𝜶 y 𝐜𝐨𝐬 𝜶

1 +𝟏

𝐜𝐨𝐬 𝜶

sin 𝛼 +sin 𝛼

cos 𝛼

cos 𝛼+1

cos 𝛼sin 𝛼 cos 𝛼 + sin 𝛼

cos 𝛼

b. Resuelva la ecuación trigonométrica para 0 2x

sen 2 3 cosx x

3.

Se realiza todo el trabajo aritmético y se simplifican los términos semejantes. Se hace la sustitución de la identidad trigonométrica y se comprueba la igualdad del miembro izquierdo con el miembro derecho de la ecuación.

cos 𝛼 + 1

cos 𝛼∗

cos 𝛼

sin 𝛼 cos 𝛼 + sin 𝛼

cos 𝛼 + 1

cos 𝛼∗

cos 𝛼

sin 𝛼 [cos 𝛼 + 1]

1

sin 𝛼

𝒄𝒔𝒄 𝜶 = 𝒄𝒔𝒄 𝜶

No. Explicación Operatoria

1. Se realiza la sustitución de la identidad trigonométrica de doble ángulo para el miembro izquierdo de la ecuación y se iguala a cero la ecuación.

2sin 𝑥 cos 𝑥 + √𝟑 𝐜𝐨𝐬 𝒙 = 𝟎

2.

Se factoriza y se resuelve para los factores.

cos 𝑥 [2 sin 𝑥 + √3 ] = 0

cos 𝑥 = 0 ; sin 𝑥 = −√3

2

3.

Se analiza con el círculo unitario cada solución. Empezamos por Cos x =0 Las soluciones están marcadas en la gráfica, que es donde Cos x se vuelve cero en “y”

Para cos 𝑥 = 0:

𝒙𝟏 =

𝝅

𝟐≅ 𝟏. 𝟓𝟕 ; 𝒙𝟐 =

𝟑

𝟐𝝅 ≅ 𝟒. 𝟕𝟏

4. Se analiza con el círculo unitario la solución

𝐬𝐢𝐧 𝒙 = −√𝟑

𝟐

Para sin 𝑥 +√3

2= 0:

Tema 5: (20 puntos)

La figura de la derecha muestra un cuadrilátero ABCD, donde: 30 mAB , 55 mBC

, 43 mCD y 32 mAD .

Calcule el área del cuadrilátero.

Las soluciones están marcadas en la gráfica, que

es donde 𝐬𝐢𝐧 𝒙 +√𝟑

𝟐= 𝟎 se vuelve cero en “y”

Para encontrar los valores donde se hace cero se procede de la siguiente manera:

𝑥∗ = sin−1 (√3

2)

𝒙∗ =𝝅

𝟑

Se le debe sumar a la mitad de la

circunferencia 𝝅

𝟑

𝝅 +𝝅

𝟑=

𝟒

𝟑𝝅 ≅ 𝟒. 𝟏𝟗

Se le debe restar a toda la circunferencia 𝝅

𝟑

𝟐𝝅 −𝝅

𝟑=

𝟓

𝟑𝝅 ≅ 𝟓. 𝟐𝟒

A B

C

D

No. Explicación Operatoria

1.

El cuadrilátero se divide en dos regiones tales que se encuentra el área de las dos regiones de forma independiente

2.

Para encontrar el área de la primera región se procede a sustituir los datos de base y altura en la formula ya establecida para dicha región.

𝐴 =1

2(30)(55)

𝑨 = 𝟖𝟐𝟓 𝒎𝟐

3. Ahora se encuentra la hipotenusa 𝑥 del triángulo rectángulo de la región I

𝑥 = √302 + 552

𝑥 = 5√157 ≅ 𝟔𝟐. 𝟔𝟒𝟗𝟖𝟐

4. Ahora por medio de la fórmula para encontrar el área de una región triangular irregular se encuentra el coeficiente S

𝑠 =43 + 32 + 62.64982

2

𝒔 = 𝟔𝟖. 𝟖𝟐𝟒𝟗𝟏

5.

Área de la región irregular triangular II.

= √68.82(68.82 − 43)(68.82 − 32)(68.82 − 62.64)

𝑨 = 𝟔𝟑𝟓. 𝟕𝟒𝟕𝟔

6. El área total del cuadrilátero es la suma de las regiones I y II

Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑖𝑙á𝑡𝑒𝑟𝑜 = 𝐴𝐼 + 𝐴𝐼𝐼

Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑖𝑙á𝑡𝑒𝑟𝑜 = 825 + 635.7476 Á𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝑪𝒖𝒂𝒅𝒓𝒊𝒍á𝒕𝒆𝒓𝒐 = 𝟏𝟒𝟔𝟎. 𝟕𝟓 𝒎𝟐