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Universidad de Granada

Facultad de Ciencias Econmicas y Empresariales

Departamento de Mtodos Cuantitativos para la Economa y la Empresa

GENERALIZACIONES DE LA DISTRIBUCIN BIPARABLICA. APLICACIONES EN EL MBITO FINANCIERO Y EL CAMPO DE LA VALORACIN

TESIS DOCTORAL

Catalina Beatriz Garca Garca Granada, 2007

USEREditor: Editorial de la Universidad de GranadaAutor: Catalina Beatriz Garca GarcaD.L.: Gr. 2577 - 2006ISBN:978-84-338-4193-3

UNIVERSIDAD DE GRANADA

FACULTAD DE CIENCIAS ECONMICAS Y EMPRESARIALES

MTODOS CUANTITATIVOS PARA LA ECONOMA Y LA EMPRESA

La presente memoria titulada Generalizaciones de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin, que presenta Da. Catalina Beatriz Garca Garca para optar al grado de Doctor, ha sido realizada en el Departamento de Mtodos Cuantitativos para la Economa y la Empresa de la universidad de Granada bajo la direccin de los doctores D. Rafael Herreras Pleguezuelo y D. Jos Manuel Herreras Velasco.

Fdo. Catalina Beatriz Garca Garca V B de los Directores de la Tesis: Fdo. Rafael Herreras Pleguezuelo Fdo. Jos Manuel Herreras Velasco

Granada, febrero de 2007

Agradecimientos

Por que son parte de todo lo que hago, A mi familia ahora y siempre.

ndice Introduccin 13 Captulo I: Revisin de los modelos probabilsticos propios de la metodologa PERT y el mtodo de las dos funciones de distribucin. I.0. INTRODUCCIN 19 I.1. DISTRIBUCIONES UNIVARIANTES EN EL MBITO DEL PERT Y EL MTODO DE

LAS DOS FUNCIONES DE DISTRIBUCIN 22 I.1.1. Distribucin rectangular 22 I.1.2. Distribucin triangular 25 I.1.3. Distribucin beta 30 I.1.4. Distribucin trapezoidal 36 I.1.5. Distribucin two-sided power 42 I.1.6. Distribucin Topp-Leone 49 I.1.7. Distribucin parablica 52 I.1.8. Otras distribuciones para el tratamiento de la incertidumbre 57 I.2. DISTRIBUCIONES BIVARIANTES EN EL MTODO DE LAS DOS FUNCIONES DE

DISTRIBUCIN 60 I.2.0. Introduccin 60 I.2.1. Distribucin cbica 60 I.2.2. Distribucin piramidal 61 I.2.3. Distribucin troncopiramidal 66 Captulo II: Construccin, caractersticas estocsticas y aplicaciones principales de la distribucin biparablica en el PERT y el mtodo de las dos funciones de distribucin. II.0. INTRODUCCIN 71 II.1. CONSTRUCCIN DE LA DISTRIBUCIN BIPARABLICA 73 II.2. CARACTERSTICAS ESTOCSTICAS PRINCIPALES 77 II.2.1. Obtencin a partir del sistema generador de van Dorp 79 II.2.2. Calculo de los momentos centrales 82 II.2.3. Anlisis de la forma de la distribucin biparablica 83 II.3. APLICACIONES DE LA DISTRIBUCIN BIPARABLICA 85 II.3.1 La distribucin biparablica en la metodologa PERT 85 II.3.2. La distribucin biparablica en el MDFD 89 II.4.CONCLUSIONES 95

Captulo III: La distribucin biparablica generalizada de una rama y de dos ramas: una nueva herramienta. III.0. INTRODUCCIN 97 III.1. DISTRIBUCIN BIPARABLICA GENERALIZADA EN UNA RAMA (BPG1) 99 III.1.1.Seleccin de la funcin generadora. 101 III.1.2. Aplicacin del sistema de van Dorp y Kotz para la generalizacin de la

distribucin biparablica de una rama. 105 III.1.3. Asimetra y curtosis de la distribucin BPG1 113 III.1.4. Estimacin de la distribucin BPG1 116 III.1.4.1. Estimacin de la distribucin BPG1 usando el mtodo de los momentos 117 III.1.4.2. Estimacin de la distribucin BPG1 usando el mtodo de mxima

verosimilitud 121 III.1.4.3. Estimacin de la distribucin BPG1 mediante restricciones en la familia de

distribucin. 123 III.1.4.4. Aplicacin del criterio de media moderada y el criterio de varianza mxima

en la estimacin de la distribucin BPG1 125 III.1.4.5. Estimacin de la distribucin BPG1 mediante el proceso de elicitacin 128 III.1.5. La entropa de la distribucin BPG1 133 III.1.6. La tasa de fallo de la distribucin BPG1 138 III.1.7. La distribucin SBPG1 en el mbito del PERT. 141 III.1.7.1. Anlisis de las estimaciones 146 III.1.7.2. Comparaciones de medias 148 III.1.7.3. Comparacin de varianzas 152 III.2. GENERALIZACIN DE DOS RAMAS DE LA DISTRIBUCIN BIPARABLICA 155 III.2.1. Presentacin de la herramienta 156 III.2.2. Generalizacin de dos ramas de la distribucin biparablica 158 III.2.3. Generalizacin de dos ramas de la distribucin STSP2 164 III.2.4. Generalizacin mixta de una rama STSP y otra rama BPG. 169 III.2.5. Generalizacin mixta de una rama BP y otra rama STSP 173 III.2.6. Elicitacin 178 III.2.6.1. Elicitacin de la distribucin SBP2 178 III.2.6.2. Elicitacin de la distribucin STSP2 181 III.2.6.3. Elicitacin de la distribucin STSP-BP2 183 III.2.6.4. Elicitacin de la distribucin SBP-TSP2 185 III.2.6.5. Resumen de los resultados obtenidos con las diferentes combinaciones de

distribuciones subyacentes aplicadas en el procedimiento de la elicitacin. 188 III.3. APLICACIN PRCTICA 189 III.3.4. Conclusiones de la aplicacin prctica. 194 III.4. CONCLUSIONES 195

Captulo IV: Extensin del mtodo de las dos funciones de distribucin a travs de la herramienta matemtica cpula. IV. 0. INTRODUCCIN 199 IV.1. REVISIN LITERARIA Y APLICACIONES DEL CONCEPTO CPULA 201 IV.1.1. Resumen de cpulas ms relevantes 205 IV.1.2. Aplicaciones ms relevantes de la herramienta cpula 207 IV.1.3. Medidas de asociacin 208 IV.1.4. Familia de cpulas FGM 213 IV.1.5. Familia de cpulas Placket 215 IV.2. CONSTRUCCION DE LA FUNCION DE DISTRIBUCION CONJUNTA A PARTIR DE

LA CPULA FGM 217 IV.2.1. Uso de marginales STSP para la construccin de la funcin de distribucin

conjunta a travs de la cpula FGM. 217 IV.2.2. Uso de marginales biparablicas para la construccin de la funcin de

distribucin conjunta a travs de la cpula FGM. 224 IV.3. MTODO DE VALORACIN 227 IV.3.1. Aplicacin del mtodo de valoracin en ambiente de riesgo para

distribuciones subyacentes STSP y familia de cpulas FGM. 229 IV.3.2. Aplicacin del mtodo de valoracin en ambiente de incertidumbre para

distribuciones subyacentes STSP y familia de cpulas FGM. 235 IV.4. CONCLUSIONES Y FUTURAS APLICACIONES 240 Captulo V: Aplicaciones de la distribucin biparablica y la distribucin two-sided power en el mbito financiero. V.0. INTRODUCCIN 247 V.1. DESARROLLO TERICO 253 V.1.1. La distribucin biparablica en el mbito financiero 255 V.1.2. La distribucin TSP en el mbito financiero. 264 V.1.3 Anlisis de la curtosis de las distintas distribuciones 269 V.1.3 Anlisis de la curtosis de las distintas distribuciones 270 V.2. APLICACIN PRCTICA 274 V.2.1. Asimetra y curtosis en la series de datos financieros. 276 V.2.2. Diferentes ajustes del ndice DJ Eurostoxx50. 283 V.2.3. Un procedimiento de ajuste simplificado: El caso DJ Eurostoxx50. 290 V.3. CONCLUSIONES 291

Conclusiones y lneas de investigacin 293 Referencias bibliogrficas 299 Anexo A 319 Anexo B 329 Anexo C 335

13

Introduccin La presente memoria titulada Generalizaciones de la distribucin biparablica.

Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin tiene como primer y

principal objetivo presentar la denominada distribucin biparablica y encuadrarla

dentro del contexto de la Teora General de Valoracin a partir del mtodo de las dos

funciones de distribucin (MDFD), introducido por Ballestero (1973) y ampliamente

tratado en los manuales de Ballestero (1991) o Caballer (1998).

Dentro de la Teora General de Valoracin se encuentran diversos campos de aplicacin

que podemos agrupar en las siguientes reas temticas: i) rea general: nuevas

metodologas de valoracin, aplicacin de las nuevas tecnologas a la valoracin, la

situacin de la valoracin en los diferentes pases, legislacin, etc.; ii) Valoracin

agraria, mercado de la tierra, agua de riesgo, arbolado, daos agrarios, etc.; iii)

Valoracin medioambiental: parques naturales, espacios naturales, daos por

contaminacin, estimacin de impactos ambientales, etc.; iv) Valoracin empresarial:

empresas en funcionamiento, nueva economa, sociedades deportivas, marcas, fondos

de comercio, opciones, proyectos de inversin, activos financieros, carteras de

inversin, permuta financiera y comercial, etc.; v) Valoracin urbana y del patrimonio

arquitectnico. Mercado inmobiliario, inmuebles con valor histrico, gestin de centros

histricos, inmuebles de uso residencial, comercial, ldico, religioso, puertos

deportivos, campos de golf, etc.; vi) Valoracin de activos con valor artstico y cultural:

mercado del arte, obras de arte, antigedades, joyas, numismtica y otros activos

coleccionables; vii) Valoracin de bienes de equipo: maquinaria, vehculos, naval,

aeronutica, etc.; viii) Valoracin de activos atpicos: dao corporal, imagen, etc.

Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.

Introduccin

14

En cuanto a las tcnicas valorativas aplicables, la Orden ECO/805/2003, de 27 de

marzo, sobre normas de valoracin de bienes inmuebles y de determinados derechos

para ciertas finalidades financieras (BOE de 9 de abril de 2003) cita, en su artculo 15,

el mtodo del coste, el mtodo de comparacin, el mtodo de actualizacin de rentas y

el mtodo residual. Las caractersticas ms importantes de cada uno de estos mtodos

son presentadas a continuacin:

a) El mtodo del coste: consiste en determinar el coste total estimado de

reemplazar el activo a tasar por otro de iguales caractersticas. Es recomendable

para la tasacin de inmuebles recientes o en rehabilitacin.

b) El mtodo de comparacin: consiste en determinar el valor de los bienes

inmuebles a partir de su comparacin con otros bienes similares de los que

existe informacin suficiente. Es muy usado y es considerado el mtodo ms

directo y sistemtico para la estimacin del valor de mercado.

c) El mtodo de capitalizacin: que calcula el precio ms probable que un

inversor, de tipo medio, estara dispuesto a pagar, al contado, por la adquisicin

de un bien capaz de producir rentas.

d) El mtodo residual: que determina el valor de mercado del suelo, o activo a

rehabilitar, a partir del valor del producto inmobiliario final, deduciendo de el

todos los gastos e inversiones necesarias para ello.

Los profesores Ballestero y Rodrguez (1999) diferencian entre las tcnicas analticas,

las de comparacin y los mtodos de tasacin finalista y anlisis multicriterio para el

caso de tasaciones especiales, tal y como se recoge en el siguiente esquema:

MTODOS DE VALORACIN

ANLITICOS

Mtodo del coste Mtodo de actualizacin

de rentas Mtodo residual

COMPARATIVOS

Mtodo sinttico de comparacin Mtodos Beta

Anlisis de regresin

ESPECIALES

Tasacin finalista Anlisis multicriterio


Introduccin

15

Dentro de las tcnicas por comparacin distinguen entre el mtodo sinttico, el anlisis

de regresin, y el mtodo de las dos betas. El primer mtodo, consiste en estimar el

valor de mercado estableciendo relaciones de proporcionalidad entre una o varias

variables externas y el precio en unidades monetarias del inmueble a estimar. Esta muy

generalizada en la prctica inmobiliaria debido a su sencillez. El mtodo de regresin

esta basado en tcnicas economtricas y fue expuesto ya en la Primera Conferencia

Internacional de Arquitectos Tasadores, en julio de 1996 en el marco del congreso de la

UIA, por el arquitecto Lammers. Es muy usado en pases como Estados Unidos pero en

Espaa la insuficiencia de datos hacia imposible que las tcnicas de anlisis de

regresin tengan la fiabilidad necesaria. Con la aparicin de la Ley 2/1981, de 25 de

marzo, Ley de Regulacin del Mercado hipotecario, se espera que en un futuro este

mtodo tenga un papel relevante en el mundo de la valoracin inmobiliaria.

As pues, el mtodo sinttico estima el valor de mercado mediante una relacin

proporcional con un ndice externo y el mtodo de regresin supone que la relacin

entre el valor de mercado y uno o varios ndices externos puede analizarse mediante

sistemas estadsticos. El mtodo beta, Ballestero (1973), plantea un nuevo enfoque de

manera que la comparacin se efecta a travs de dos funciones de distribucin.

Originariamente la distribucin a aplicar era la beta y de aqu procede el nombre de

mtodo de las dos betas que posteriormente se ha generalizado como mtodo de las dos

funciones de distribucin. Actualmente posee diversas variantes como son el uso de dos

triangulares o dos rectangulares, Romero (1977), dos normales (Alonso e Iruretagoyena

1995) o dos trapezoidales (Lozano 1996). Este mtodo, al igual que el sinttico, utiliza

ndices externos que intenta explicar la variable valor de mercado, pero no utiliza

coeficientes de proporcionalidad, sino una funcin de distribucin, de manera que un

aumento o disminucin de los ndices externos se encuentra relacionado con una misma

respuesta en el valor de mercado aunque no necesariamente proporcional.

El mtodo de las dos funciones de distribucin no aparece explcitamente en la Orden

ECO/805/2003. Si bien no se utiliza normalmente en la valoracin inmobiliaria, tiene

gran aplicacin en ciertos campos de la valoracin agraria. Presenta como inconveniente


Introduccin

16

que en la mayora de los casos se debe trabajar con ms de un ndice por lo que se deben

ponderar los ndices. En cualquier caso se requiere de la experiencia y subjetividad de

un experto que puede hacer disminuir la fiabilidad del mtodo. Como ventajas nombrar

el escaso nmero de datos necesarios para su aplicacin, su facilidad para disponer de

dicha informacin y la sencillez de clculo, Ballestero y Rodrguez (1999).

Desde la presentacin del mtodo de la dos betas por, se han publicado numerosas

aportaciones, artculos, libros, trabajos de investigacin y se han realizado tesis

doctorales extendiendo as la aplicacin de este mtodo. Las aportaciones realizadas se

pueden enmarcar en las siguientes lneas:

Aplicaciones prcticas del mtodo de las dos funciones de distribucin:

Ballestero y Caballer (1982), Caballer (1993), Caballer (1998), Caballer (1999)

y Ballestero y Rodrguez (1999) extienden su uso a la valoracin de rboles

frutales e inmuebles. Alonso y Lozano (1985) hacen una aplicacin a la

valoracin de fincas en la comarca de Valladolid; Guadalajara (1996) presenta

una serie de casos prcticos. Garca, Trinidad y Snchez (1997) realizan una

aplicacin a la seleccin de los cultivos de una cartera. Caas, Domingo y

Martnez (1994) realizan una aplicacin prctica en la provincia de Crdoba.

Extensin del mtodo a diferentes distribuciones: Romero (1977) hace una

extensin del mtodo utilizando distribuciones uniformes y triangulares; Garca,

Cruz y Andujar (1998) presentan una revisin de la aplicacin en distribuciones

triangulares. Garca, Trinidad y Gmez (1999) extienden el mtodo a la

utilizacin de una clase especial de distribuciones trapezoidales; Herreras,

Garca, Cruz y Herreras (2001) extienden el mtodo al uso de distribuciones

trapezoidales de cualquier tipo. Garca, Trinidad y Garca (2004) realizan una

aplicacin utilizando las funciones triangulares generalizadas de van Dorp y

Kotz que permiten ser ajustadas en un ambiente de incertidumbre.

Utilizacin de dos o ms ndices, bajo el supuesto de independencia o no, e

implementacin de aplicaciones economtricas: Garca, Cruz y Rosado (2000,

2002) presentan una extensin del mtodo al caso multi-ndice bajo la hiptesis

de independencia entre los ndices. Herreras Velasco (2002) en su Tesis


Introduccin

17

Doctoral extiende el mtodo de las dos funciones de distribucin al caso

bivariante de forma exhaustiva y, en general, al caso multivariante sin hiptesis

de independencia, y presenta adems la distribucin piramidal. Garca, Cruz y

Garca (2002.b) presentan una aplicacin economtrica de la extensin

multindice del mtodo de las dos funciones de distribucin.

Desarrollo de test estadsticos para contrastar la adecuacin de las funciones de

distribucin elegidas y la bondad de los ndices: Garca, Cruz y Garca (2002.a)

extienden el uso del mtodo de la dos funciones de distribucin a las familias de

funciones mesocrticas, de varianza constante, Caballer y beta clsica aportando

un mtodo para seleccionar la distribucin ms adecuada a cada caso y

presentando al mismo tiempo un programa informtico que resuelve el problema

de la inversin. Herreras, Prez, Callejn y Herreras (1999) desarrollan un

mtodo para constatar la bondad de un experto en la metodologa PERT.

Procedimientos iterativos de valoracin: Garca, Cruz y Garca (2002.c) y

Garca, Cruz y Garca (2004).

As pues, la memoria esta compuesta de cinco captulos, siendo el mtodo de las dos

funciones de distribucin el hilo de conductor de los cuatro primeros y realizando

aportaciones en las tres primeras lneas descritas anteriormente.

El primer captulo se destina a la recapitulacin de los modelos probabilsticos

univariantes y bivariantes usados en dicho mtodo as como en la metodologa PERT.

En un segundo captulo se construye la distribucin biparablica y se analiza su

aplicacin en ambas metodologas, extendiendo as el mtodo a nuevas distribuciones.

Posteriormente, en el tercer captulo, se procede a la generalizacin de una rama, basada

en el sistema generador de van Dorp, y de dos ramas desarrollada a partir del mismo. A

partir de las distribuciones generadas se realizan ciertas aplicaciones prcticas que

permiten avanzar sustancialmente en el mtodo de las dos funciones de distribucin

utilizando como distribuciones subyacentes distribuciones generalizadas de dos ramas,

es decir con parmetros (a, m, b, n1 y n2). Al trabajar con distribuciones penta-

paramtricas y contar nicamente con la informacin, aportada por el experto, acerca de

los parmetros a, m y b, se debe optar por pedir informacin adicional al experto.


Introduccin

18

Este procedimiento es conocido como proceso de elicitacin y ser la base de la

segunda parte del tercer capitulo. En la aplicacin prctica se realiza una comparacin

entre el mtodo sinttico, el mtodo de regresin y el mtodo de las dos funciones de

distribucin con subyacentes pentaparamtricas y la distribucin beta, subyacente

original del citado mtodo. En este captulo se avanza en la primera y segunda lnea de

investigacin.

En el cuarto captulo se extiende el MDFD al uso de dos ndices para lo que se

introduce la herramienta matemtica cpula con el propsito de crear funciones de

distribuciones conjuntas conocidas las distribuciones marginales de cada uno de los

ndices. Este hecho constituye una aportacin original y novedosa que adems abre la

posibilidad de trabajar con tres ndices e incluso con n ndices.

El anlisis de la distribucin biparablica en el mbito financiero se lleva a cabo en el

quinto y ltimo captulo constituyendo un gran aporte no solo desde el punto de vista

prctico, ajustando los valores del ndice burstil DJ Eurostoxx50, sino tambin desde

un prisma terico ya que consigue adaptar tanto la distribucin biparablica como la

distribucin two-sided power, van Dorp y Kotz (2002.a) para su uso en el ajuste de

rendimientos financieros.

Cada captulo comienza con una pequea recapitulacin que servir de resumen e

introduccin donde se resaltaran las aportaciones del captulo en cuestin. Se cierra la

Memoria con un ltimo captulo recopilatorio en el que se realiza una breve exposicin

tanto de las conclusiones finales que se derivan del estudio realizado, como de las lneas

de investigacin abiertas que se espera sean cerradas en futuros trabajos.

19

Captulo I

Revisin de los modelos probabilsticos propios de la metodologa PERT y el mtodo de las dos

funciones de distribucin

I.0. INTRODUCCIN

El mtodo PERT (Program Evaluation and Review Technique) fue desarrollado, tal y

como citan numerosos autores, por la Armada de los Estados Unidos de Amrica en

1957 para controlar los tiempos de ejecucin de las diversas actividades integrantes de

los proyectos espaciales y debido a la necesidad de terminar cada una de ellas dentro de

los intervalos de tiempo disponibles.

Originalmente se utiliz para el control de tiempos del proyecto Polaris y actualmente

se utiliza en todo el programa espacial, adems de en otros mbitos como, por ejemplo,

la Investigacin de Operaciones y, en general, el Anlisis Econmico. Como

aplicaciones concretas, se destacan el estudio de la duracin de un proyecto de

fabricacin en funcin de la duracin de las diferentes tareas (Romero 1991) o el

anlisis de la bondad de un proyecto de inversin mediante sus diversos flujos de caja

actualizados segn su valor capital, (Surez 1980).

Posteriormente, las distribuciones estadsticas y la metodologa para pasar de la

incertidumbre al riesgo, utilizada en el PERT, han encontrado un nuevo campo en la

teora general de valoracin gracias al mtodo de las dos funciones de distribucin

(MDFD) iniciado por Ballestero (1971). El objeto de este captulo es realizar una

revisin de los modelos probabilsticos usualmente aplicados en ambos campos y que

sern la base para el desarrollo de esta Memoria.


Captulo I

20

Desde que hace ms de cincuenta aos se presentaran las, posteriormente muy

publicadas, frmulas del PERT, stas han sido extensamente criticadas y modificadas.

La frmula inicial propona asumir que la duracin de la actividad segua una

distribucin beta y ofreca estimaciones de la media y la desviacin tpica basadas en la

moda y los valores extremos de la distribucin subyacente. Las mayores crticas a estas

frmulas se deben a que a priori no existe razn para que la duracin de la actividad

siga una distribucin beta. Sin embargo, Ben Yair (2000) dedica un trabajo a la

justificacin de este hecho bajo determinadas condiciones. Adems, en el caso de una

distribucin asimtrica a la derecha, las estimaciones de la moda y la desviacin tpica

sern asintoticamente sobrestimadas.

Muchos autores han ofrecido ciertas alternativas entre las que destacan ajustar distintos

coeficientes a las frmulas, emplear extremos alternativos o usar la mediana en lugar de

la moda. En Johnson (1998) se ofrece un extenso resumen de las modificaciones

propuestas a lo largo del tiempo por diferentes autores sobre las frmulas clsicas del

PERT.

Este captulo se limitar a hacer una revisin de las diferentes distribuciones empleadas,

destacando las distribuciones de probabilidad rectangular, triangular y beta. Adems de

la sencillez de clculo de sus caractersticas estocsticas, estas distribuciones se adaptan

fcilmente a situaciones reales en ambiente de incertidumbre que se transforman en

ambiente de riesgo mediante las tres estimaciones subjetivas aportadas por el experto.

La distribucin beta posee una reconocida aplicacin en el proceso de valoracin dando

lugar al clebre mtodo de las dos funciones de distribucin beta comentado con

anterioridad. Adems fue usada originalmente por los creadores de la metodologa

PERT con el propsito de superar los inconvenientes presentados por la distribucin

normal. Sin embargo, la distribucin beta es criticada, entre otros aspectos, por ignorar

el valor modal en el clculo de la varianza. Parece poco conveniente que, despus de

exigir la estimacin del valor modal, posteriormente se omita y una posible solucin se

recoge en Herreras (1995). Otra alternativa da lugar al modelo trapezoidal CPR,

(Callejn Prez y Ramos 1998), que ser desarrollado en el presente captulo.


Captulo I

21

Adems de las distribuciones nombradas hasta ahora, destacan la distribucin Two-

sided power, presentada recientemente por van Dorp y Kotz (2002.a) y la distribucin

Topp-Leone (Topp y Leone 1955). Precisamente fue el profesor van Dorp el que me

sugiri el estudio de esta ltima distribucin y por ello quedo agradecida.

Por ltimo, se presenta la distribucin parablica como primer antecedente de la

distribucin biparablica que se recoger en el segundo captulo y se exponen otras

distribuciones propias del tratamiento de la incertidumbre como son: la distribucin

coseno, la distribucin medio-coseno y la distribucin U.

Por otro lado, parece lgico pensar que el anlisis a realizar no se refiera a una nica

variable y por ello se revisarn tambin los modelos probabilsticos bivariantes, y en

concreto aquellos cuya funcin de densidad tiene, en su representacin grfica, una

forma geomtrica. Destacan la distribucin cbica, la distribucin piramidal y la

distribucin troncopiramidal. En cualquier caso, no se ha pretendido realizar un anlisis

exhaustivo de dichas distribuciones y sus propiedades, sino que el objeto es

simplemente exponer la expresin de sus funciones de densidad y de distribucin,

siendo sta ltima la herramienta bsica del mtodo de las dos funciones de

distribucin.

En cuanto a la estructura del captulo queda dividido en dos epgrafes: a los modelos

univariantes se les dedica una primera seccin y la segunda abarca los modelos

probabilsticos bivariantes.


Captulo I

22

I.1. DISTRIBUCIONES UNIVARIANTES EN EL MBITO DEL

PERT Y EL MTODO DE LAS DOS FUNCIONES DE

DISTRIBUCIN

I.1.1. Distribucin rectangular

Definicin

Se dice que una variable aleatoria X se distribuye uniformemente o sigue una

distribucin rectangular si su funcin de densidad responde a la expresin:

=

caso otroen ,0

,1

)(bxa

abxf (I.1)

donde a y b son los lmites de la distribucin. De manera que la probabilidad de que X

este en el intervalo [a, b] es constante mientras que la probabilidad de que X este fuera

de dicho intervalo es 0.

Su funcin de distribucin viene dada por:

=

bx

bxaab

ax

ax

xF

,1

,

,0

)( (I.2)

Las representaciones grficas de la funcin de densidad y la funcin de distribucin se

recogen en la figura (I.1). Esta distribucin tambin es conocida como distribucin

uniforme ya que, como se observa en su funcin de densidad, la probabilidad queda

repartida uniformemente en todo el recorrido de la variable.


Captulo I

23

Se observa que la funcin de distribucin es lineal y por tanto fcilmente invertible, es

decir:

),( abax += (I.3)

donde 10 , siendo x un cuantil de )(xF es decir =)(xF , siendo esta

propiedad muy interesante para la aplicacin del MDFD. Vase Palacios, Prez,

Herreras y Callejn (1999).

Las principales caractersticas estocsticas de esta distribucin se recogen en el cuadro

(I.1) (Arniz 1978):

Funcin

generatriz de

momentos

Esperanza

matemtica Varianza

Coeficiente de

asimetra de

Fisher

Coeficiente de

curtosis de

Fisher

)()(

abt

eetG

atbt

=

2)(

baxE

+= ( )12

)(2ab

xVar= 01 =g 5

62 =g

Cuadro I.1. Principales caractersticas de la distribucin rectangular

ab

1 1

a b a b Figura I.1. Funcin de densidad y funcin de distribucin del modelo probabilstico rectangular


Captulo I

24

La distribucin rectangular estandarizada

Usando la variable estandarizada ab

axt

= puede simplificarse la expresin (I.1) y

obtener la distribucin rectangular estandarizada cuya funcin de densidad es:

=casootroen,0

10,1)(

ttf (I.4)

Realizando anlogo cambio de variable sobre (I.2) se obtiene la funcin de distribucin

de la distribucin rectangular estandarizada:

=casootroen,1

10,

0,0

)( tt

t

tF (I.5)

Las caractersticas estocsticas de esta distribucin, que se recogen en el cuadro (I.2),

se obtienen fcilmente de las correspondientes caractersticas de la distribucin general

presentadas en el cuadro (I.1) haciendo 0=a y 1=b . Por otro lado, hay que destacar,

aunque es de sobra conocido, la invariabilidad de los coeficientes de asimetra y

curtosis.

Funcin

generatriz de

momentos

Esperanza

matemtica Varianza

Coeficiente de

asimetra de

Fisher

Coeficiente de

curtosis de

Fisher

t

etG

t 1)( *

= 2

1)( =tE

12

1)( =tVar 01 =g 5

62 =g

Cuadro I.2. Principales caractersticas de la distribucin rectangular estandarizada


Captulo I

25

La distribucin rectangular en el PERT

La distribucin rectangular es uno de los modelos de probabilidad ms usado en el

anlisis de inversiones y se plantea como un modelo alternativo al modelo clsico de la

metodologa PERT. La utilizacin prctica de este modelo requiere un primer nivel de

informacin suficiente para obtener los valores mnimo (a) y mximo (b) por lo que su

eleccin se restringir al caso en el que slo se posea informacin sobre los valores

extremos de la distribucin y no se conozca el valor modal ni su frecuencia. En esta

distribucin se admite que todos los valores de la variable en el intervalo [a, b] son

equiprobables, por eso la grfica de su funcin de densidad (figura I.1) tiene forma de

rectngulo.

I.1.2. Distribucin triangular

Definicin

Se dice que una variable X sigue una distribucin triangular si su funcin de densidad

es:

=

casootroen,0

,))((

)(2

,))((

)(2

)( bxmmbab

xb

mxaamab

ax

xf (I.6)

La representacin grfica de tal funcin de densidad vara segn que mba >+

2,

mba =+

2 m

ba


Captulo I

26

Su funcin de distribucin viene dada por:

=

bx

bxmmbab

xb

mxaamab

ax

ax

xF

,1

,))((

)(

,))((

)(

,0

)(2

2

(I.7)

Esta funcin de distribucin es fcilmente invertible al ser cuadrtica. Es decir:


Captulo I

27

Funcin generatriz de

momentos

( )))()((

)()(2)(

2 mbamabt

eabeamembtG

mtbtat

+=

Esperanza matemtica 3

)(mba

XE++=

Varianza 18

))(()()()(

22 ammbammbxVar

++=

Coeficiente de asimetra de

Fisher

( )( )( ) 2321 ))(()(5

)2(222

mbamab

ambambmbag

++=

Coeficiente de curtosis de

Fisher 5

32 =g

Cuadro I.3. Principales caractersticas estocsticas de la distribucin triangular

La Distribucin Triangular Estandarizada

Las expresiones (I.6) y (I.7) pueden simplificarse si se usa la variable estandarizada

ab

axt

= , y en ese caso la funcin de densidad es:

=

casootroen,0

1,1

12

0,2

)( tMM

t

MtM

t

tf (I.9)

Y la funcin de distribucin:

=

casootroen,1

1,1

)1(1

0,

1,0

)(2

2

tMM

t

MtM

t

t

tF (I.10)


Captulo I

28

En el cuadro (I.4) se recogen las principales caractersticas estocsticas de la

distribucin triangular estandarizada y se observa, comparando con el cuadro (I.3), la

invariabilidad de los coeficientes de asimetra y curtosis de Fisher.

Funcin generatriz de

momentos )1(1

2*)(2*

**

MMt

eMeMtG

Mtt

+=


1)(

+= MtE

Varianza 18

1)(

2 += MMtVar

Coeficiente de asimetra de

Fisher

( )( )( ) 2321 15

)2(1212

+

+=MM

MMMg

Coeficiente de curtosis de

Fisher 53

2 =g

Cuadro I.4. Principales caractersticas de la distribucin triangular estandarizada

La distribucin triangular en el PERT

La distribucin triangular fue una de las primeras distribuciones continuas descubiertas

por los investigadores durante el siglo XVIII. Una de las primeras referencias de la

distribucin triangular parece ser Simpson (1755, 1757), solo unos pocos aos despus

de que en 1763 el famoso artculo de Bayes presentara la distribucin uniforme

continua. Segn Seal (1949) el objetivo de Simpson era considerar matemticamente el

mtodo prctico para astrnomos que consista en tomar la media de varias

observaciones para disminuir los errores obtenidos de la imperfeccin de los

instrumentos y rganos de recogida de datos. Simpson supone que los errores de

recogida de datos en exceso o defecto estn simtricamente dispuestos y que se pueden

asignar lmites superiores e inferiores. La siguiente referencia, Schmidt (1934), advierte

que la funcin de densidad de la distribucin triangular simtrica es la distribucin de la

suma aritmtica de dos variables aleatorias uniformes. Posteriormente, Ayyangar

(1941), estudia la distribucin triangular simtrica estandarizada. Hasta la mitad de los

aos sesenta muy pocas publicaciones fueron dirigidas al estudio de la distribucin


Captulo I

29

triangular. Sin embargo, desde 1962 la distribucin triangular ha renacido en numerosos

artculos referentes a la metodologa PERT. Vase Clark (1962), MacCrimmon, y

Ryaveck (1964), Moder y Rodgeres (1968), Vaduva (1971), Williams (1992), Keefer y

Verdini (1993) y Johnson (1997) entre otros.

Los parmetros de la distribucin triangular tiene correspondencia uno a uno con los

valores optimista (a), ms probable (m) y pesimista (b) de la metodologa PERT1.

Asimismo, se trata de una distribucin que puede ser simtrica o asimtrica a la derecha

o a la izquierda, lo que aade similitud con la distribucin beta. Esto conduce a una

aplicacin intuitiva de esta distribucin en el mbito del PERT en el que la variable de

estudio es el tiempo para completar ciertas actividades dentro de un proyecto global, y

cuya incertidumbre puede ser modelada por la funcin de densidad recogida en la

expresin (I.6). Vase Winston (1993).

Recientemente la distribucin triangular ha ganado popularidad debido a:

Su uso en el mtodo de simulacin de Monte Carlo, (Vose 1996), sistemas de

simulacin discretos, (Banks 2000 y Altiok y Melamed 2001).

Su uso en software de anlisis de incertidumbre por ejemplo @Risk desarrollado

por Palidase Corporation o Cristal Ball desarrollado por Decisin Engineering.

Estos manuales recomiendan el uso de la distribucin triangular cuando la

distribucin subyacente es desconocida pero se dispone de un valor mnimo, un

valor mximo y un valor ms probable.

La publicacin de la distribucin two-sided power presentada por van Dorp y

Kotz (2002.a) y que se desarrolla en el apartado (I.5) como extensin de la

distribucin triangular y como una magnifica alternativa a la distribucin beta.

1 El Doctor Herreras, R. insiste en la denominacin de valor mnimo (a), ms probable (m) y valor mximo (b) ya que el valor optimista puede no coincidir con el valor mnimo si en lugar de trabajar sobre la duracin de tareas se hace, por ejemplo, sobre flujos de caja, ocurriendo igual en el caso del valor pesimista.


Captulo I

30

I.1.3. Distribucin beta

Definicin

Sea X una variable aleatoria en el intervalo (a, b) se dice que se distribuye segn una

distribucin beta y se nota como ),,,( qpbaX si y solo si su funcin de densidad

responde a la siguiente expresin:

= +

casootroen,0

1;1;,),()(

)()(

)( 1

11

qpbxasiqpBab

xbax

xf qp

qp

(I.11)

Se comprueba fcilmente que la expresin (I.11) es una verdadera funcin de densidad

ya que verifica que ),(0)( baxxf y =ba dxxf 1)( .

Las caractersticas estocsticas de esta distribucin, (Dumas de Rauly 1968), estn

recogidas en el cuadro (I.5):

Esperanza matemtica Moda Varianza

aqp

qb

qp

pxE

++

+=)( a

qp

qb

qp

pMo

2

1

2

1

++

+=

2

2

))(1(

)()(

qpqp

abpqxVar

+++

=

Cuadro I.5. Principales caractersticas de la distribucin beta de primer tipo

Obsrvese que la moda de la distribucin beta B(a, b, p, q) coincide con la media de la

distribucin beta B(a, b, p-1, q-1). Farnum y Stanton (1987) aprovecharon este hecho

para disear una frmula refinada para el clculo de la media en la metodologa PERT.

Golenko-Ginzburg (1988) hace uso de un nuevo parmetro 2+= qpk y, mediante la

expresin de la moda recogida en el cuadro (I.5), obtiene las siguientes expresiones para

los parmetros p y q de la distribucin beta en funcin de dicho parmetro k y las tres

estimaciones periciales:


Captulo I

31

ab

mbkq

ab

amkp

+=

+= 1y1 (I.12)

Esta reparametrizacin llevada a cabo en primer lugar por Golenko-Ginzburg (1988), es

obtenida posteriormente y por otro camino, a travs de cierta subfamilia del sistema de

Pearson, por Herreras (1989). En cualquier caso, sustituyendo las expresiones de p y q,

recogidas en (I.12), en las referentes a la media y a la varianza de la distribucin beta

B(a,b,p,q) recogida en el cuadro (I.5) se obtiene unas nuevas expresiones en funcin de

los parmetros a, m, b y k , (Herreras 1989, 1995), que se presenta en el cuadro (I.6)

Esperanza matemtica Varianza

2)(

+++=

k

bkmaxE

3

))()()(()(

+=

k

xEbaxExVar

Cuadro I.6. Principales caractersticas de la distribucin beta de primer tipo en funcin del parmetro k

Se observa que el parmetro k juega el papel de ponderacin del valor estimado como

ms probable y por tanto puede representar la confiabilidad que se tenga en dicha

estimacin. Este parmetro presenta el inconveniente de no estar acotado por lo que

Prez (1995) propone el uso del parmetro 2+

=k

kque varia dentro del intervalo (0,1)

La Distribucin Beta Estandarizada

Para obtener los coeficientes de asimetra y curtosis de la distribucin dada por (I.11), y

a la vez seguir la lnea de las exposiciones anteriores, se presenta la distribucin beta

estandarizada.

Sea ab

axt

= la variable aleatoria que toma valores en el intervalo (0,1) se dice que se

distribuye segn una distribucin beta y se nota como ),( qpt si su funcin de

densidad responde a la siguiente expresin:


Captulo I

32

>>=

casootroen,0

0;0;)1,0(,)1(),(

1

)(11 qptsitt

qpBtfqp

(I.13)

Esta distribucin se obtiene de (I.11) realizando el cambio de variable ab

axt

= y se

comprueba fcilmente que la expresin (I.13) es una verdadera funcin de densidad ya

que verifica que )1,0(,0)( ttf y =1

01)( dttf .

Los momentos no centrales de esta distribucin son:

,...2,1,)(

)(

)(

)(][ =

+

+++= n

p

np

nqp

qptE n (I.14)

Y entre ellos se da la siguiente relacin de recurrencia:

,...2,1],[1

1][ 1 =

+++= ntEnqp

nptE nn (I.15)

Usando las expresiones (I.14) y (I.15) se obtiene el coeficiente de asimetra y el

coeficiente de curtosis, (Canvos 1987) que se recogen en el cuadro (I.7), junto con las

expresiones de la esperanza matemtica y la varianza.

Esperanza matemtica qp

ptE

+=)(

Varianza 2))(1()(

qpqp

pqtVar

+++=

Coeficiente de asimetra de Fisher )2(

1)(21

++

++=

qppq

qppqg

Coeficiente de curtosis de Fisher )3)(2(

)2)(1()2)(1(62 ++++

+++=qpqppq

pqqqqpppg

Cuadro I.7. Principales caractersticas de la distribucin beta


Captulo I

33

Ntese que, puesto que p y q son positivos, el signo de la asimetra viene dado por el de

la diferencia q-p, por lo que la distribucin presenta asimetra positiva, (negativa), si la

moda esta a la izquierda, (derecha), del punto medio. Este resultado fue presentado por

Herreras (1995) y se encuentra recogido en Herreras (2001).

Por otro lado, se observa que tanto el coeficiente de asimetra como el de curtosis son

invariantes a cambios de origen y de escala por lo que se podrn utilizar tanto para la

distribucin (I.11) como para la distribucin (I.13).

La distribucin beta en el PERT

La distribucin beta fue la originalmente propuesta por los autores de la metodologa

PERT que plantearon las siguientes expresiones para la estimacin de la media y la

varianza de la distribucin beta:

( )36

)(

6

4)(

2abxVar

bmaxE

=

++= (I.16)

Las razones que llevaron a ellas son eminentemente prcticas y sustentadas por

intuiciones atractivas, (Hillier y Lieberman 1982 y Yu Chuen-Tao 1980), pero desde

luego no pueden obtenerse a partir de la funcin de densidad de la distribucin beta con

las informaciones disponibles de valor optimista, pesimista y ms probable. En

cualquier caso estas expresiones tpicas del PERT han dado lugar a multitud de crticas,

entre ellas que se ignora, para el clculo de la varianza, la ms comprometida de las

estimaciones periciales, es decir, el valor modal. Sin embargo, el modelo PERT ha

funcionado relativamente bien en diversos campos lo que puede deberse a sus buenas

propiedades con respecto a la asimetra y la curtosis que hacen que este modelo sea el

ms parecido a una distribucin normal pero con dos grandes ventajas sobre ella: i) El

recorrido de la variable est limitado, es decir, no presenta colas infinitas como le ocurre

a la distribucin normal; ii) El modelo puede presentar asimetras, mientras que la

normal siempre es simtrica.


Captulo I

34

Tal y como se observa en la figura (I.3), la expresin grfica de la funcin de densidad

recogida en la expresin (I.13) vara sensiblemente segn el valor de sus parmetros,

dando lugar a figuras en forma de ele, jota, U y campana, (Casas y Santos 1996), y

precisamente esta caracterstica la convierte en un modelo adecuado para la distribucin

de la duracin de una actividad en un intervalo finito debido no solo a la amplia

variedad de formas sino tambin a las distintas intensidades de asimetra y curtosis que

puede adoptar.

Con el fin de resaltar la rigidez de este modelo y salvaguardar la flexibilidad

modeladora, Golenko-Ginzburg en 1988, mediante una reparametrizacin de la

distribucin beta, y posteriormente Herreras en 1989, utilizando el sistema generador

de Pearson, han desarrollado, por caminos distintos, unos modelos alternativos en los

que las estimaciones de E(x) y Var(x) se obtienen por las frmulas:

,2

)(+

++=k

bkmaxE (I.17)

.)3()2(

))(())(1()(

2

22

++++=

kk

mbamkabkxVar (I.18)

El parmetro k se determina segn la confianza subjetiva en la pericia del experto que

determin a, b y m, aunque el valor asignado, en el llamado PERT clsico, al parmetro

k es 4. En este sentido, la pregunta, planteada por Sasieni (1986), sobre la ponderacin

del valor modal, las respuestas iniciales de Gallagher (1987) y Littlefield y Randolph

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0

0,08

0,16

0,24

0,32 0,4

0,48

0,56

0,64

0,72 0,8

0,88

0,96

p=0,5;q=2

p=3;q=1

p=0,5;q=0,5

p=3;q=2

p=2;q=3

Figura I.3. Diferentes formas de la funcin de densidad de la distribucin beta


Captulo I

35

(1987) y los trabajos posteriores de Kamburowski (1997), Herreras, Garca y Cruz

(1999), Garca, Cruz y Herreras (2003), y Herreras, Garca y Cruz (2003) han

establecido las condiciones para algunas subfamilias de distribuciones beta.

La cuestin es la siguiente: con las tres estimaciones clsicas del PERT, (a, m y b), es

imposible determinar una nica distribucin beta, debido a que sta es una distribucin

tetraparamtrica. Para resolver este problema, en la literatura especializada se recurre

bien a hiptesis simplificadoras que permiten la especificacin casi completa de dicha

distribucin (Romero 1991; Surez 1980) o bien se intenta obtener informacin

adicional con la que pueda realizarse el ajuste con mayor, aunque no total, precisin.

En esta lnea estn los trabajos de Chae y Kim (1992), Moitra (1990) y Prez (1995) que

agregan informacin sobre la verosimilitud relativa de la moda, sobre la simetra o sobre

el apuntamiento de la distribucin respectivamente. As, imponiendo como hiptesis

simplificadora que la distribucin beta tenga la misma curtosis que la normal ( 32 = ),

se obtiene la llamada familia mesocrtica de distribuciones beta.

En este caso, la ecuacin que relaciona los valores de k con los de la moda

estandarizada (M) es:

,045)21616()155( 2223 =+++ kMMkMMk (I.19)

Conocidos los tres valores clsicos (a, m y b) y partiendo de ab

amM

= , se resuelve la

ecuacin cbica (I.19) y se obtiene un nico valor de 0>k siempre que 0 M

0,2763933 0,7236067 M 1.


Captulo I

36

Por otra parte, imponiendo que la distribucin beta estandarizada tenga la misma

varianza que la normal, 2 es decir: 36

12 = , vase Yu Chuen-Tao (1980) se obtiene la

llamada familia de distribuciones beta de varianza constante. En este caso, la ecuacin

que relaciona los valores de k con los de la moda estandarizada es:

[ ] ,02420)(367 223 =+ kMMkk (I.20)

La ecuacin cbica (I.20) siempre tiene una nica solucin 0>k , para todo valor de M

(0,1).

Es conocido, (Herreras, Garca y Cruz 2003), que la nica interseccin de ambas

familias se produce para k = 4 que es el valor asignado a la distribucin beta del PERT

clsico.

Finalmente, la familia de betas triparamtricas, formada por las distribuciones

beta ),,,( baqp , con 2= hp y 2mhq = , h > 0, tuvo su origen en el trabajo de

Ballestero y Caballer (1982) y tabulada posteriormente por Caballer (1993). El estudio

de estas familias puede verse en Garca, Cruz y Herreras (2003).

I.1.4. Distribucin trapezoidal

Definicin

Se dice que una variable X se distribuye segn una distribucin trapezoidal si su funcin

de densidad responde a la siguiente expresin:

2 Si se considera que el 997 de la masa de una distribucin normal esta comprendido entre 3 , entonces se

puede pensar que al sustituir la distribucin beta por la normal y despreciar el 3, = 6)( ab , luego 6

ab= y al

estandarizar 36

12 = .


Captulo I

37

+

+

+

=

casootroen,0

,2

,2

,2

)(

2212

2112

1112

bxmmb

xb

mmab

mxmmmab

mxaam

ax

mmab

xf (I.21)

La representacin grfica de tal funcin de densidad es:

El nombre trapezoidal refleja la forma del grfico de la funcin de densidad. Tal y como

se aprecia en las grficas anteriores la distribucin ser asimtrica a la derecha,

simtrica o asimtrica a la izquierda respectivamente si: )()( 12 ammb > ,

)()( 12 ammb = )()( 12 ammb


Captulo I

38

Ntese que tal funcin de distribucin es fcilmente invertible al ser cuadrtica y lineal.

En efecto, se denota por )()( 12 mmabL += a la suma de las amplitudes de los dos

intervalos y se obtiene:

++

+

=

11,)1)((

1,2

0,)(

22

211

11

L

mbmbLb

L

mb

L

ammaLL

amamLa

x (I.23)

Siendo x un cuantil de F(x) tal que =)(xF . Vase Palacios, Prez, Herreras y

Callejn (1999). Siendo esta propiedad muy interesante para la aplicacin del MDFD.

Para la aplicacin de esta distribucin en la estimacin de los flujos de caja vase

Herreras y Calvete (1987) y Herreras y Miguel (1988). Puede observarse que si

am =1 y bm =2 la distribucin coincide con la distribucin uniforme, y que si

mmm == 21 la distribucin se convierte en la distribucin triangular. Las expresiones

del coeficiente de asimetra y el coeficiente de curtosis se recogern solamente en el

caso de la variable estandarizada aprovechando que ambos son invariables a cambios de

origen y de escala.

Las principales caractersticas de esta distribucin se recogen en el cuadro (I.8):

Funcin generatriz de momentos

( )( )[ ]2

1221

21

))()((

)((2)(

12

tmmabmbam

eembeeamxG

tmattmbt

++=

Esperanza matemtica

+

+++=12

12213

1)(

mmab

ambmammbxE

Varianza

( )[

+

++=

212

1212

122

22

1

)(

))()()((2

))(()(18

1)(

mmab

mbammmab

ammbammbxVar

Cuadro I.8. Principales caractersticas estocsticas de la distribucin trapezoidal


Captulo I

39

La distribucin trapezoidal estandarizada

Las expresiones (I.21) y (I.22) pueden simplificarse usando la variable estandarizada

ab

axt

= resultando las siguientes expresiones para la funcin de densidad y la funcin

de distribucin respectivamente:


Captulo I

40

Notando por:

51

52

42

32

2225

41

42

32

2224

31

32

2223

21

222

1

121

1

1

1

1

2

1

2

MMMMMMP

MMMMMP

MMMMP

MMMP

Ph

MMP

+++++=

++++=

+++=

++=

=

+=

(I.26)

se obtienen los coeficientes de asimetra y curtosis recogidos en el cuadro (I.10):

Coeficiente de asimetra de Fisher

Coeficiente de curtosis de Fisher

( ) 23223432

32

2

1

35

544510

hPPh

PPhPPhg

+=

2223

422

332

24

22

52 )3(5

)72456010(3216

hPPh

PPPPhPPhhPg

++

=

Cuadro I.10. Coeficientes de asimetra y curtosis de la distribucin trapezoidal estandarizada

La distribucin trapezoidal en el PERT

Debido a que muchos procesos fsicos de la naturaleza y del cuerpo humano en general

se ajustan, o reflejan la forma, de la distribucin trapezoidal se ha generado un gran

inters alrededor de ella. En este contexto, la distribucin trapezoidal ha sido usada en el

estudio y la deteccin del cncer, (Flehinger y Kimmel 1987) (Brown 1999). Tambin

ha sido utilizada en el anlisis del riesgo por Pouliquen (1970) y ms recientemente por

Powell y Wilson (1997) y Garvey (2000). Van Dorp y Kotz (2003.a) desarrollan una

generalizacin de la distribucin trapezoidal utilizando tcnicas de mixtura de

distribuciones y resultando la siguiente expresin para la funcin de densidad de la

distribucin trapezoidal generalizada:


Captulo I

41

( )


Captulo I

42

Se demuestra, (Callejn, Prez y Ramos 1998), que si 21 2m

bacm


Captulo I

43

La figura (I.5) ofrece ejemplos de la funcin de densidad de distribuciones TSP

simtricas (M=0,5) para distintos valores de n y para los valores a=0, b=1, entre las que

se incluyen la distribucin uniforme (n=1) la triangular (n=2) y otras distribuciones con

forma de U.

Esta distribucin, notada por TSP (a,m,b,n), con bma y 0>n verifica las

siguientes propiedades:

i. Si 1>n , entonces la moda de esta distribucin es m y el valor asignado por

su funcin de densidad es ab

n

.

ii. Si 10 n y bma


Captulo I

44

=

bxmmb

xb

ab

mb

mxaam

ax

ab

am

nbmaxFn

n

1

),,,(1

(I.29)

Sus caractersticas principales vienen recogidas en el cuadro (I.11).


)1()(

+++=

n

bmnaxE

Varianza 22

)1)(2(

)/())(/())(1(2)()(

++=

nn

abmbabamnnabxVar

Cuadro I.11. Principales caractersticas estocsticas de la distribucin two-sided power Dada la complejidad de las expresiones correspondientes al coeficiente de asimetra y

curtosis solo se presenta, para el caso estandarizado, la expresin del momento de orden

k.

La distribucin two-sided power estandarizada (STSP)

Si se realiza el cambio de variableab

axt

= , la variable t toma valores en el intervalo

[0,1], se distribuye segn una distribucin standard two-sided power (STSP) y su

funcin de densidad viene dada por:


Captulo I

45

=

1 ,1

1)1(1

0 ,

),(

1

tMM

tM

MtM

tM

nMtFn

n

(I.31)

En Van Dorp y Kotz (2002.b) se obtienen los valores de la media y la varianza de una

distribucin ),( nMSTSP que vienen dados por:


1)1()(

++=

n

MntE

Varianza 2)1)(2(

)1()1(2)(

++=

nn

MMnntVar

Momento de orden k [ ] ( ) 10

1

1)

)1( +=

+

+

+

+= i

k

i

ik

k Min

n

ik

k

kn

nMtE

Cuadro I.12. Principales caractersticas de la distribucin standard two-sided power

En la figura (I.6) se recogen grficos de la funcin de densidad y la funcin de

distribucin para diferentes valores de los parmetros n y M. Obsrvese que para n=2 y

M=0,5 se obtiene la representacin grfica de la funcin de densidad de la distribucin

triangular simtrica.

n=0,2;M=0,1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

00,

060,

120,

180,

24 0,3

0,36

0,42

0,48

0,54 0,

60,

660,

720,

780,

84 0,9

0,96

n=2;M=0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0

0,06

0,12

0,18

0,24 0,3

0,36

0,42

0,48

0,54 0,6

0,66

0,72

0,78

0,84 0,9

0,96

n=3;M=0,2

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0

0,06

0,12

0,18

0,24 0,3

0,36

0,42

0,48

0,54 0,6

0,66

0,72

0,78

0,84 0,9

0,96

n=4;M=0,99

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0

0,06

0,12

0,18

0,24 0,3

0,36

0,42

0,48

0,54 0,6

0,66

0,72

0,78

0,84 0,9

0,96

Figura I.6. Representacin de la funcin de densidad y de la funcin de distribucin de la distribucin STSP para diferentes valores de n y M.


Captulo I

46

La distribucin two-sided power (TSP) en el PERT

Fue introducida por van Dorp y Kotz (2002.a) con un doble objetivo: extender las

aplicaciones de la distribucin triangular a los problemas asociados al riesgo y la

incertidumbre, esta puede considerarse la motivacin original, y en segundo lugar servir

como una alternativa verstil y flexible a la beta de dos y cuatro parmetros.

Los autores demuestran que la distribucin STSP tiene importantes ventajas sobre las

anteriores, entre las que se pueden citar:

Cuantiles de clculo ms fcil.

Un estimador de mxima verosimilitud que es algortmicamente eficiente.

Parmetros con interpretacin ms clara y significativa.

La estimacin de los parmetros M y n la realizan Van Dorp y Kotz (2002.b) de la

siguiente forma. En primer lugar n se estima resolviendo la ecuacin

023 =+++ fendncn (I.32) donde:

22

1=c ; 2=d ;

++

=4

1

2

1

2

1'( 2

2

xe ; 22

2

1'

4

1

= xf (I.33)

y 'x y son respectivamente la media y la desviacin tpica estimada.

Una vez que n es estimada, la estimacin de M es como sigue teniendo en cuenta que

10 M y n :

++=

2

1'

1

1

2

1x

n

nM (I.34)

En el mbito del PERT y partiendo de los tres valores habituales (a, m y b) cuyo

significado es conocido, sera imposible determinar una nica distribucin STSP, puesto

que se trata de una distribucin tetraparamtrica de parmetros a, b, m y n. Por tanto, es


Captulo I

47

necesario restringir la eleccin de una nica distribucin STSP a alguna de sus

subfamilias.

Los momentos ordinarios de orden k, van Dorp y Kotz (2002.b), son:

=

++

+

+

+==

k

i

iik

kk Min

n

ik

k

kn

nMTE

0

11

)1()1()( (I.35)

Utilizando las relaciones entre los momentos centrales:

[ ]kk TETE )(= (I.36) y los momentos ordinarios :

+=

+=

=

41

2121344

311233

2122

364

23

(I.37)

el coeficiente de curtosis, 2, de la variable aleatoria estandarizada puede calcularse en

funcin de M y n, vase Garca, Cruz y Garca (2005). Dicho coeficiente viene dado

por la siguiente expresin 3:

[ ] 2223242234

2

)1(4)1(4)1(4)1(8)1(4

)4)(3(

2

nMnnMnnnMnMn

EDMCMBMAM

nn

n

+++

++++++

+= (I.38)

siendo A, B, C, D y E polinomios en n de la siguiente forma:

+=

++=

+=

++=

+=

nnnE

nnnD

nnnC

nnnB

nnnA

639

24364836

9615612060

14424014448

721207224

23

23

23

23

23

(I.39)

3 Recurdese que 22

42

= mientras que 3

22

42

=g .


Captulo I

48

Puede demostrarse fcilmente que, en el caso de que n=1 (distribucin uniforme),

partiendo de la expresin (I.38), el coeficiente de curtosis es 5

9 y que, en el caso de que

n=2 (distribucin triangular clsica), el coeficiente de curtosis es5

12 .

Se define la familia de varianza constante como el conjunto formado por las

distribuciones STSP con la misma varianza que la distribucin normal (esto es,36

1 ), en

caso de trabajar con variables aleatorias estandarizadas, se cumple la siguiente ecuacin:

0)27272()317272(4 2223 =+++++ MMnMMnn (I.40)

Esta ecuacin permite obtener, para cada valor de M (0,1), un nico valor de 1>n .

Por tanto, se puede afirmar que, dados los tres valores habituales (a, m y b), queda

determinada una nica distribucin STSP unimodal de varianza constante. Este

resultado permite el uso de esta familia en el mbito del PERT.

Por otra parte, se define la familia mesocrtica como el conjunto de distribuciones

STSP cuyo coeficiente de curtosis ( 2 ) es igual a 3. Entonces, haciendo que la

expresin (I.38) valga 3 y reordenando algunos trminos, se obtiene la siguiente

ecuacin:

0234 =++++ edncnbnan (I.41) siendo a, b, c, d y e polinomios en M de la siguiente forma:

++=

++=

++=

++=

++=

MMMMMe

MMMMMd

MMMMMc

MMMMMb

MMMMMa

8569648)(

2329412462)(

6202242)(

18222814)(

14642)(

234

234

234

234

234

(I.42)


Captulo I

49

Se demuestra, Garca, Cruz y Garca (2005), que, para todo M (0,1), la ecuacin

(I.41) tiene una nica solucin que verifica la condicin 1>n , por lo que se puede

afirmar que siempre existe una distribucin STSP perteneciente a la familia

mesocrtica. Este resultado mejora el obtenido por la familia mesocrtica de

distribuciones beta en la cual es imposible obtener una solucin para los valores de M

(0,2763933;0,7236067).

I.1.6. Distribucin Topp-Leone

La distribucin Topp-Leone es una distribucin unimodal continua acotada cuyo origen

se encuentran en el artculo de Topp y Leone (1955) publicado en Journal Statistical

Association (JASA) que en un principio recibi poca atencin pero que ha sido

recientemente redescubierta por Nadarajah y Kotz (2003), Ghitany, Kotz, y Xie (2005)

dedican un reciente artculo a las medidas de bondad y las caractersticas estocsticas de

dicha distribucin.

Se dice que una variable aleatoria X sigue una distribucin Topp Leone de parmetros

10 b si su funcin de densidad es:

0;10;0,212

)(11

>


Captulo I

50

En las figuras (I.7) y (I.8) se representan la funcin de densidad y la funcin de

distribucin respectivamente de la distribucin Topp-Leone para diferentes valores de v

(0,1;0,5;0,9) y 1=b .

Tngase en cuenta que se utiliza la distribucin triangular con asimetra a la izquierda

como funcin de densidad generadora de la misma manera que la distribucin Weibull

es generada a partir de la distribucin exponencial.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0,01

0,08

0,15

0,22

0,29

0,36

0,43 0,5

0,57

0,64

0,71

0,78

0,85

0,92

0,99

v=0,1;b=1

v=0,5;b=1

v=0,9;b=1

Figura I.7. Funcin de densidad de las distribuciones: TL(0,1;1), TL(0,5;1) y TL(0,9;1)

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9 1

v=0,1

v=0,5

v=0,9

Figura I.8. Funcin de distribucin de las distribuciones: TL(0,1;1), TL(0,5;1) y TL(0,9;1)


Captulo I

51

Tambin se le conoce como la distribucin J-Shaped, forma de jota, ya que 0)( >xf ,

0)( xf para todo bx


Captulo I

52

que queda representada en la figura (I.9) para diferentes valores de v (0,1;0,5;0,9) y

1=b .

La figura (I.9) refleja una evidente forma de baera para la tasa de fallo de la

distribucin Topp-Leone. Considerando, adems, la sencillez de la expresin (I.45) y el

hecho de que ninguna de las distribuciones univariantes comnmente conocidas tiene

una tasa de fallo con forma de baera para el rango completo de los valores, se puede

afirmar que la distribucin Topp-Leone es la ms adecuada para ajustar fenmenos de

tiempo, Nadarajah y Kotz (2003).

I.1.7. Distribucin parablica

Parece ser que la primera referencia que se conoce de la distribucin parablica en un

libro de estadstica esta en Harold (1939, 1961). Este autor obtiene la distribucin

triangular como suma de dos distribuciones uniformes y una distribucin parablica

como suma de tres distribuciones uniformes. La intencin del autor era justificar el

teorema central del lmite demostrando que, a medida que se suman ms variables, la

distribucin se va pareciendo cada vez ms a la distribucin normal. Partiendo de una

nica variable uniforme cuya funcin de densidad es:

0

5

10

15

20

0,99

0,92

0,85

0,78

0,71

0,64

0,57 0,5

0,43

0,36

0,29

0,22

0,15

0,08

0,01

v=0,1;b=1

v=0,5;b=1

v=0,9;b=1

Figura I.9. Tasa de fallo de las distribuciones: TL(0,1;1), TL(0,5;1) y TL(0,9;1)


Captulo I

53


Captulo I

54

La distribucin parablica con la moda centrada en el origen y un rango (-a, a) viene

dada por la expresin:


Captulo I

55

construccin de un modelo del precio de opciones. Este trabajo es posterior a la tesis

doctoral de Bachelier (1900), que es considerado el trabajo seminal en Teora de precios

de opciones y anterior al de Merton (1973) y Black y Scholes (1973). Recientemente los

profesores Wolfgang. y Zimmermann (2004) han reivindicado la figura del profesor

Brozin obteniendo una expresin de la conocida frmula de Black-Scholes a partir de

las frmulas de Bronzin.

La distribucin parablica ha tenido numerosas aplicaciones entre las que destacan, en

el mbito de la economa, la simulacin del comportamiento del consumidor (Shavitt,

Winkler y Wool 2004), el anlisis de los planes de las empresas con produccin y

objetivos mltiples (Keren 1979) y trabajos sobre la distribucin de la renta (Kuznets

1955 y 1963). Existen, por otra parte, aplicaciones de la distribucin parablica en el

tratamiento de la incertidumbre, (Castrup 2002). Finalmente esta distribucin encuentra

numerosas aplicaciones en el mbito de la Fsica y de la Hidrogeologa, Wilson y

Paxson (2002) entre otros.

La distribucin parablica parece no haber sido utilizada hasta ahora en el mbito del

PERT, cuando lo cierto es que sus parmetros se podran determinar con los dos valores

habituales del PERT, para la distribucin uniforme, es decir el mnimo (a) y el mximo

(b).

A partir de la siguiente ecuacin cuadrtica recogida en la expresin (I.50):

CBxAxxf ++= 2)( (I.50)

Y conocidos a y b se determina (I.50) con las siguientes condiciones: i. 0)( =af , ii.

0)( =bf , iii. 0)2

(' =+ baf , iv. 00)2

(''


Captulo I

56

Siendo 3)(

6

baA

=

Por tanto, la expresin final de la funcin de densidad de la distribucin parablica para

su aplicacin en la metodologa PERT es:

( )

++=

casootroen,0

),(,)()(

6

)(2

3baxabxbax

baxf

(I.52)

As pues, la distribucin parablica seria una estupenda alternativa a la distribucin

uniforme, pero con el inconveniente de que esta distribucin es simtrica respecto de la

moda. La distribucin Normal tiene este mismo inconveniente, recurdese que la

distribucin beta surge como alternativa a la distribucin normal, entre otras razones,

para superar el problema de la simetra y el de no acotacin de los extremos. En la

figura (I.12) se representan las funciones de densidad para la distribucin rectangular, la

distribucin triangular y la distribucin parablica para [ ]2,2x .

A lo largo de esta memoria se estudiaran las caractersticas de la distribucin parablica

como un caso particular de la distribucin biparablica que ser presentada en el

segundo captulo. En el prximo captulo se tratar de construir una distribucin

parablica que pueda ser asimtrica.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

-2 -1,5 -1 -0

,5 0 0,5 1 1,

5 2

Rectangular

Triangular

Parabolica

Figura I.12. Representacin de la funcion de densidad de las distribuciones rectangular, triangular y parablica para 2


Captulo I

57

I.1.8. Otras distribuciones para el tratamiento de la

incertidumbre

Adems de las distribuciones presentadas hasta ahora y comnmente empleadas en la

metodologa PERT y en la teora de valoracin, se han encontrado en la bibliografa

revisada otras distribuciones con aplicacin en el tratamiento de la incertidumbre.

En Castrup (2002) se presenta un resumen de algunas de estas distribuciones aunque

con un enfoque distinto en cuanto al concepto de incertidumbre. Se desea destacar la

distribucin coseno, la distribucin medio coseno y la distribucin U, y por ello son, a

continuacin, brevemente presentadas.

La distribucin coseno

La distribucin parablica elimina el salto brusco en la moda pero sin embargo no

presenta ninguna flexibilidad cuando se acerca a sus extremos. As pues, aunque la

distribucin parablica tiene aplicaciones extensas, incluso mayores que la distribucin

uniforme, lo cierto es que este inconveniente disminuye sus aplicaciones materiales.

Una distribucin que supera esta deficiencia, presenta una tendencia central y puede ser

determinada a partir de los valores extremos es la distribucin coseno que viene

determinada por la siguiente funcin de densidad, siendo su representacin grfica la

recogida en la figura (I.13):

+=

casootroen,0

,cos12

1)(

axaa

x

axf (I.53)


Captulo I

58

La distribucin medio coseno

Esta distribucin es de aplicacin cuando la tendencia central no es tan pronunciada y

por tanto la distribucin normal o la coseno no son apropiadas. Esto se debe a que,

aunque la distribucin coseno presenta tambin una tendencia central, posee una

probabilidad de ocurrencia cerca de los valores extremos mayor que la presentada por

las distribuciones normal o coseno.

As pues, se trata de una distribucin similar a la distribucin parablica pero sin la

perdida de flexibilidad en los extremos de la distribucin.

Su funcin de densidad es:

=casootroen,0

,2

cos4)(

axaa

x

axf

(I.54)

Su representacin grfica es la presentada en la figura (I.14) que si se compara con la

figura (I.11) se observa fcilmente como la distribucin medio coseno supera el

inconveniente de la distribucin parablica al no presentar una terminacin brusca en

los extremos de la distribucin.

La distribucin U

Su funcin de densidad tiene la siguiente expresin:

=

casootroen0

1

)( 22axa

xaxf (I.55)

Siendo su representacin grfica, a la que debe su nombre, la recogida en la figura

(I.15).

Es posible que estas distribuciones se puedan utilizar, en el futuro, como generadoras de

otras distribuciones ms complejas utilizando el sistema generador de van Dorp y Kotz

(2003.b).


Captulo I

59

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

-2

-1,7

-1,4

-1,1

-0,8

-0,5

-0,2 0,1

0,4

0,7 1

1,3

1,6

Figura (I.15). Funcin de densidad de la distribucin U para -2


Captulo I

60

I.2. DISTRIBUCIONES BIVARIANTES EN EL MTODO DE LAS

DOS FUNCIONES DE DISTRIBUCIN

I.2.0. Introduccin

Cuando se disponen de dos ndices de calidad para valorar un bien en el mtodo de las

dos funciones de distribucin es conveniente usar distribuciones bivariantes. En este

apartado se recogen algunas de las distribuciones presentadas en la tesis de Herreras

(2002). En Herreras (2005) pueden verse distintas aplicaciones de estas distribuciones

bivariantes utilizando el mtodo de las dos funciones de distribucin.

I.2.1. Distribucin cbica

Se dice que una variable z(x,y) sigue una distribucin cbica:


Captulo I

61

Puede comprobarse que: i) 0),( 21 =aaF ; ii) 1),( 21 =bbF ; iii) hyxyxF =

),(2

, que es la

forma funcional de la funcin de densidad. Ntese que si )()( 2211 abab = el ortoedro

se convierte en un hexaedro o cubo. En particular, esto se cumple cuando aaa == 21 y

bbb == 21 .

Teniendo en cuenta los resultados i) y ii) la determinacin de las caractersticas

estocsticas de las distribuciones del ortoedro y cbica se hacen a partir de las

densidades rectangulares correspondientes.

Es interesante sealar que la independencia es debida a que la funcin de densidad de la

distribucin uniforme no depende de la variable. Por ello, siempre que una de las

variables, que componga el caso bidimensional, se distribuya segn una distribucin

uniforme se va a poder expresar la funcin de densidad conjunta como el producto de

las marginales.

I.2.2. Distribucin piramidal

La funcin de densidad de la distribucin piramidal es la siguiente:

=

caso otroen , 0

),( si , ))((

3

),( si , ))((

3

),( si , ))((

3

),( si , ))((

3

),(

4112211

1

3112222

2

2112211

1

1112222

2

Tyxababam

ax

Tyxababmb

yb

Tyxababmb

xb

Tyxababam

ay

yxz (I.58)


Captulo I

62

Donde los recintos Ti (i = 1,2,3,4) son los diferentes tringulos que conforman los

recorridos de las variables X e Y, figura (I.16):

Se observa, figura (I.17), que la representacin grfica de la superficie de probabilidad

z(x,y) es una pirmide, de ah el nombre que se ha dado a la distribucin.

Se puede comprobar fcilmente, vase Herreras (2002 y 2005) que la funcin as

definida es una verdadera funcin de densidad, ya que:

1) 0),( yxz si


Captulo I

63

En cuanto a la funcin de distribucin habr que distinguir distintos casos:

Si 100 ),( Tyx se tiene que:

( )( )( )

( )320220

11

22

22010

00 62),( ay

am

amh

am

ayaxhyxF

= (I.59)

Si 200 ),( Tyx hay que distinguir los dos casos siguientes:

- Si 20 my , se tiene que:

( )( )

( )( )

( ) ( )( )( )

11

201202

2022

11

3012

11

223022

22

1100

22

66),(

mb

xbayhay

am

abh

xbmb

mahya

am

abhyxF

+

=

(I.60)

- Si 20 my > , se tiene que:

( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

+

+

+

=

11

201203

01211

22

202

22

113022

22

1100

26

261),(

mb

xbayhxb

mb

mah

ybmb

abhyb

mb

bahyxF

(I.61)

Si 300 ),( Tyx hay que distinguir los dos casos siguientes:

- Si 10 mx , se tiene que:

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( )

22

202103

0222

11

210

11

223102

11

2200

26

26),(

mb

ybaxhyb

mb

amh

axam

abhax

am

bahyxF

+

+

=

(I.62)


Captulo I

64

- Si 10 mx > , se tiene que:

( )( )

( )( ) ( )

+

+

+

=

201

11

223012

11

22

22

202103

02222

1100

26

))((

261),(

xbmb

abhxb

mb

bah

bm

ybaxhyb

mb

mahyxF

(I.63)


( )( )( ) ( )

( )310211

22

11

21020

00 62),( ax

am

amh

am

axayhyxF

= (I.64)

De (I.58) se deducen las funciones de densidad marginales:


Captulo I

65

A partir de (I.65), (I.66) y (I.67) se obtienen las propiedades estocsticas siguientes:

Vector de medias

++++

=

222

111

323

323

8

1bma

bma (I.68)

Matriz de varianzas covarianzas

( ) ( )( ) ( )

=

))((12)(192 23

2 23))((12)(19

320

1

22222

22222111

22211111112

11

ammbabbambam

bambamammbab (I.69)

Obsrvese que la E(X) y E(Y) son medias ponderadas que asignan mayor peso a los

extremos (ai, bi) que al valor intermedio mi (i = 1,2) al contrario de lo que ocurre en el

mtodo PERT.

Coeficiente de correlacin lineal

( )( ))))((12)(19( )))((12)(19(

2 23

22222

2211112

11

222111

ammbabammbab

bambam

= (I.70)

Adems 0= si 111

2 bam += 222

2 bam += por lo que al menos un par de caras

de la pirmide son tringulos issceles.

Transformando los recorridos de las variables X e Y, ),( 11 baRX y ),( 22 baRY en

recorridos estandarizados )1,0(*XR y )1,0(*YR se simplifican las expresiones de las

propiedades estocsticas de la distribucin piramidal.

Teniendo en cuenta que ii

iii ab

amm

=* (i = 1,2) se tiene:


Captulo I

66

Vector de medias

++

=

32

32

8

1*2

*1

m

m (I.71)

Matriz de varianzas covarianzas

++=

191212)21)(21( 3

)21)(21( 3191212320

1*2

2*2

*2

*1

*2

*1

*1

2*1

mmmm

mmmm (I.72)

Coeficiente de correlacin lineal

)191212( )191212(

)21( )213(

*2

2*2

*1

2*1

*2

*1

++

=mmmm

mm (I.73)

Ntese que el mayor valor del coeficiente de correlacin lineal es 0,1578947, lo cual

indica que la distribucin piramidal ser un modelo probabilstico adecuado cuando

entre las variables X e Y exista una correlacin lineal moderadamente dbil.

I.2.3. Distribucin troncopiramidal

Se dice que una variable z(x,y) sigue una distribucin troncopiramidal si su funcin de

densidad viene dada por:

=

casootroen0

),(

),(

),(

),(

),(

),(

5

411

1

322

2

221

1

121

2

Tyxsih

Tyxsihax

ax

Tyxsihyb

yb

Tyxsihxb

xb

Tyxsihay

ay

yxz (I.74)


Captulo I

67

Donde la constante normalizadora h tiene la siguiente expresin:

))(())(())((

6

1212221112111222 yyxxababxxabyyabh

++++= (I.75)

Se denotan por Ti (i=1,2,3,4,5) las diferentes regiones que conforman los recorridos de

(X, Y) tal y como se aprecia en la figura (I.18).

As pues, la distribucin troncopiramidal surge de considerar en los ejes cartesianos

sendas distribuciones trapezoidales que generan en el espacio un tronco de pirmide.

Las caras del tronco de pirmide pueden determinarse por planos determinados por tres

puntos: dos en la base y el tercero correspondiente a uno de los dos vrtices del tronco

de pirmide, donde la cota de estos puntos o altura del tronco de pirmide servir de

constante normalizadora para la distribucin bivariante. Su representacin grfica es:

Figura I.19. Funcin de densidad de la distribucin troncopiramidal.

Figura I.18 Recorridos de las variables X e Y

T4

T3

T2 T5

T1

x1 x2

y1

y2


Captulo I

68

En cuanto a la funcin de distribucin habr que distinguir distintos casos:


( )( )( )

( )320221

11

21

22010

00 62),( ay

ay

axh

ay

ayaxhyxF

= (I.76)

Si 200 ),( Tyx hay que distinguir los tres casos siguientes:

- Si 10 yy , se tiene que:

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

21

201203

01221

21

3202

21

1211220

21

1100

26

)(

62),(

xb

xbayhxb

xb

ayh

ayay

xxabhay

ay

abhyxF

+

=

(I.77)

- Si 201 yyy , se tiene que:

( ) ( ) ( )( )

( )( )

+

=

21

01203012

21

21

3022

22

1211202

22

1100

))((

26

)(

621),(

xb

xbayhxb

xb

ayh

ybyb

xxabhyb

yb

abhyxF

(I.79)

Si 300 ),( Tyx hay que distinguir los tres casos siguientes:


Captulo I

69

- Si 10 xx , se tiene que:

( )( )

( )

( )( ) ( )( )

22

202103

02222

11

3102

11

1222210

11

2200

26

)(

62),(

yb

ybaxhyb

yb

axh

axax

yyabhax

ax

abhyxF

+

=

(I.80)

- Si 201 xxx , se tiene que:

( )( )( )

( )

( )( ) ( )

+

=

201

21

223022

22

11

3012

21

1222

22

20210

00

26

)(

621),(

xbxb

abhyb

yb

axh

xbxb

yyabh

yb

ybaxhyxF

(I.82)

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