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CUADERNO DE TRABAJO MATEMATICAS III AGOSTO – DICIEMBRE 2016

0

Ciclo escolar: Agosto – Diciembre 2016

Recopilado y Presentado por:

M.M. Carlos Hernández García

[email protected]

Ing. Kenninseb Lucía Ruiz Gamboa.

[email protected]

L.C.C. Azucena América Álvarez Montejo

[email protected]

Escuela Preparatoria Diurna.

Academia que presenta:

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS.

Cd. del Carmen, Campeche, 15 de Agosto de 2016.

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL CARMEN

CURSO AL QUE PERTENECE:

MATEMÁTICAS III

CUADERNO DE TRABAJO

TÍTULO DE LA PRESENTACIÓN:

“CUADERNO DE TRABAJO DE MATEMÁTICAS III“

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]


1

INDICE INTRODUCCION …………………………………………………………………………………………………………………………4

PROPÓSITO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE .............................................................................. 5

OBJETIVO ................................................................................................................................... 5

Competencias genéricas ............................................................................................................. 6

Competencias disciplinares básicas ............................................................................................ 6

PRIMERA SECUENCIA DIDACTICA ............................................................................................... 7

BLOQUE I: Conceptos Básicos de Geometría Analítica ................................................................. 7

EJERCICIO 1 .......................................................................................................................... 8

EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA. ...................................................................................................... 8

1.2 Distancia entre dos puntos ................................................................................................. 10

1.2.1. Sistema Unidimensional (Lineal). ................................................................................ 10

EJERCICIO 2. ........................................................................................................................ 12

1.2.2. Sistema Bidimensional (Plano Cartesiano). ..................................................................... 13

EJERCICIO 3. ........................................................................................................................ 16

1.3.- Clasifica los triángulos por sus lados y ángulos .................................................................. 18

1.4.- Division de un segmento en una razón dada .................................................................... 21

EJERCICIO 4.- ...................................................................................................................... 21

EJERCICIO 5.- ...................................................................................................................... 25

EJERCICIO 6.- ...................................................................................................................... 28

1.5.- Punto medio .................................................................................................................... 30

EJERCICIO 7.- ..................................................................................................................... 30

1.6.- Pendiente y Ángulo de Inclinación .................................................................................... 31

EJERCICIO 8.- ....................................................................................................................... 31

EJERCICIO 9.- ....................................................................................................................... 32

1.7.- Angulo entre dos rectas .................................................................................................... 33

EJERCICIO 10.- ..................................................................................................................... 33

EJERCICIO 11.- ..................................................................................................................... 35

1.8.- Perímetro y áreas de figuras geométricas ......................................................................... 37

ACTIVIDADES I – 1. ............................................................................................................... 37

ACTIVIDADES I – 2. ............................................................................................................... 38

SEGUNDA SECUENCIA DIDACTICA............................................................................................. 45

BLOQUE II: Ecuación de la Recta ............................................................................................... 45

CRITERIOS DE EVALUACION ...................................................................................................... 46


2

EJERCICIO 12. ....................................................................................................................... 47

EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA ..................................................................................................... 47

2.1 Lugar geométrico de la recta. ............................................................................................. 49

EJERCICIO 13. ..................................................................................................................... 50

2.2 Ecuación de una recta en su forma ..................................................................................... 52

2.2.1 Punto pendiente .............................................................................................................. 52

2.2.2 Pendiente ordenada en el Origen..................................................................................... 53

2.2.3 Simétrica. ........................................................................................................................ 54

2.2.4 General. .......................................................................................................................... 56

EJERCICIO 14. .................................................................................................................... 58

CASO ESPECIAL: ....................................................................................................................... 63

EJERCICIO 15. ..................................................................................................................... 65

2.2.5 Distancia de un punto a una recta. ................................................................................... 66

EJERCICIO 16. ..................................................................................................................... 67

2.2.6 Condición de paralelismo y perpendicularidad. ................................................................ 68

EJERCICIO 17. ..................................................................................................................... 72

2.2.7 Aplicación en problemas reales........................................................................................ 74

ACTIVIDADES II - 1 ………………………………………………..……………………………………………….……………77 ACTIVIDADES II – 2. .............................................................................................................. 79

TERCERA SECUENCIA DIDACTICA .............................................................................................. 84

BLOQUE III: Las Ecuaciones de las Cónicas ................................................................................ 84

CRITERIOS DE EVALUACION ...................................................................................................... 84

EJERCICIO 18. ..................................................................................................................... 85

EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA. .............................................................................................. 85

3.1. ECUACIONES DE LA PARÁBOLA. ......................................................................................... 87

Ecuación de la parábola como lugar geométrico. .................................................................. 87

Ecuación de la parábola con vértice en: V (h, k). .................................................................... 89

Ecuación la parábola en forma general ................................................................................. 93

EJERCICIO 19. ..................................................................................................................... 96

3.2 ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA. ................................................................................ 98

Ecuación de la circunferencia como lugar geométrico: .......................................................... 98

Ecuación de la circunferencia con centro en: C (h , k) ............................................................ 99

Ecuación general de la circunferencia. ................................................................................ 102

EJERCICIO 20. ..................................................................................................................... 103


3

ACTIVIDAD III-1………………………………………………………………………………………………………………..105 3.3 ECUACIONES DE LA ELIPSE. ............................................................................................... 107

Ecuación de la elipse como lugar geométrico: ..................................................................... 107

Ecuación de la elipse con centro en C ( h , k ): ..................................................................... 109

Ecuación de la elipse en forma general. .............................................................................. 111

EJERCICIO 21. ................................................................................................................... 114

3.5 ECUACIONES DE LA HIPÉRBOLA. ....................................................................................... 115

Ecuación de la hipérbola como lugar geométrico: ............................................................... 115

Ecuación de la hipérbola con centro en C ( h, k ): ................................................................. 118

EJERCICIO 22. ................................................................................................................... 122

EJERCICIO 23. ACTIVIDAD TRANSVERSAL. ......................................................................... 123

BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................................ 127


4

INTRODUCCIÓN

El estudio de la Unidad de Aprendizaje Curricular (UAC) de Matemáticas III, permite al estudiante la

obtención de herramientas analíticas y geométricas, para el desarrollo de competencias genéricas

como la del pensamiento crítico y reflexivo, el trabajo colaborativo y se autodetermina. Así como el

desarrollo de competencias disciplinares, que le ayuden a resolver problemas de su entorno,

estableciendo un modelo matemático de su realidad para realizar un análisis numérico y gráfico, de

las variables involucradas en la misma.

La Unidad de Aprendizaje Curricular (UAC) de Matemáticas III (Geometría Analítica), es el resultado

de la combinación de las UAC de Matemáticas I (Álgebra) y Matemáticas II (Geometría Plana), ya

que dada una ecuación esta se interpreta gráficamente y viceversa; se encuentra ubicado en el

tercer semestre dentro del curriculum, se relaciona directamente con la UAC de Física III y Química

II, y sirve de base para LA UAC de matemáticas IV (Introducción al Cálculo). Además, contribuye al

perfil de egreso del estudiante de bachillerato, promoviendo el pensamiento crítico y reflexivo, el

trabajo colaborativo y se autodetermina.

La UAC de Matemáticas III (Geometría Analítica), forma parte de la formación básica que pertenece

al campo disciplinar de MATEMÁTICAS, está conformado por tres bloques:

BLOQUE I: Conceptos Básicos de Geometría Analítica.

BLOQUE II: Ecuación de la Recta.

BLOQUE III: Las Ecuaciones de las Cónicas.

Debemos precisar que el cuaderno de trabajo de Matemáticas III, está dirigido a estudiantes de

Educación Media Superior y esperamos que las propuestas de enseñanza-aprendizaje a lo largo de

todo el trabajo, sean de utilidad para los facilitadores o guías que se enfrentan con la tarea de

planear su clase.


5

PROPÓSITO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE

Analiza el comportamiento planteado entre dos variables, y lo representara mediante una

modelación matemática, con el fin de determinar la ecuación que generan y reflejando estas

gráficamente, en el plano cartesiano.

OBJETIVO

El alumno aplicará los conocimientos de Álgebra, Geometría y trigonometría en la

resolución de ejercicios en Geometría Analítica, a través del desarrollo de la habilidad del

pensamiento deductivo y analítico matemático para utilizarlo en su vida cotidiana a través de la

demostración y resolución de ejercicios en Geometría Analítica y así lograr el dominio de las

competencias genéricas y disciplinares.


6

Todas las actividades de este Cuaderno de Trabajo están diseñadas con el propósito de desarrollar competencias genéricas y disciplinares en el alumno, por ello hemos puesto especial interés en que identifiques fácilmente éstas a lo largo del texto. A continuación se enlistan:

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.

3. Elige y practica estilos de vida saludables. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la

utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando

otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el

mundo. 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias,

valores, ideas y prácticas sociales. 11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los

contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos,

analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.

8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Competencias genéricas

Competencias disciplinares básicas


7

PRIMERA SECUENCIA DIDACTICA

BLOQUE I: Conceptos Básicos de Geometría Analítica.

Propósito de la secuencia didáctica: Construye e interpreta modelos geométricos que le permitan calcular distancias, perímetros y áreas de figuras planas; para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

CONTENIDOS DE LA SECUENCIA DIDACTICA

DECLARATIVOS PROCEDIMENTALES ACTITUDINALES Describe los elementos que componen los sistemas unidimensional y bidimensional o plano cartesiano. Relaciona la distancia dirigida entre dos puntos (plano cartesiano), con la aplicación del teorema de Pitágoras. Identifica el punto medio de un segmento, como un caso particular de la división de un segmento en una razón dada. Interpreta la relación entre la pendiente y ángulo de inclinación de una recta. Relaciona el ángulo entre dos rectas con sus pendientes.

Construye figuras geométricas en el plano cartesiano, de forma manual y con ayuda de un software, para apoyar su conocimiento en las figuras Aplica los conceptos de distancia entre dos puntos, pendiente y ángulo de inclinación, ángulo entre dos rectas; para el cálculo de perímetros y áreas de figuras geométricas planas. Calcula el valor de la razón en que se divide un segmento, a partir de las medidas de los segmentos resultantes; o de las coordenadas de los extremos de dichos segmentos. Calcula el punto medio de un segmento en el plano cartesiano. Analiza el concepto de pendiente, como una razón de cambio entre dos variables. Clasifica los diferentes tipos de ángulos que se encuentran entre dos rectas. Construye e interpreta modelos relacionados con segmentos y polígonos, al resolver problemas derivados de situaciones reales, hipotéticas o teóricas.

Valora la importancia de la geometría analítica, para la modelación de problemas de su entorno, de manera analítica y gráfica. Valora el trabajo colaborativo. Presta atención a las explicaciones del profesor, dentro y fuera del salón de clases. Actúa de manera positiva para realizar las actividades planteadas en el programa de la UAC. Participa de manera activa en clase, realizando sus ejercicios, preguntando, exponiendo.

CRITERIOS DE EVALUACION 1ERA. SECEUNCIA DIDACTICA

EVALUACION

Evidencia Porcentaje

Manual de prácticas y Antología comentada 10%

Cuaderno de trabajo 10%

Examen escrito. 15 %

TOTAL: 35 %


8

Nombre del alumno: Grupo:

EJERCICIO 1. Fecha:

Objetivo: Conocerá el nivel de conocimientos que tiene al comienzo de la secuencia.

Competencias Genéricas a desarrollar:

4.- Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

Competencias Disciplinares Básicas a desarrollar:

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA. Este ejercicio tiene la intención de conocer cuál es el nivel de conocimientos que tienes al comenzar el estudio del bloque I. Le permite a tu maestro tener información relevante para dirigir la adquisición de los conocimientos que se

presentan en este primer bloque. Contesta lo que se te pide.

1) Desarrolla el siguiente binomio al cuadrado: (𝟑𝒙 − 𝟓𝒚)𝟐.

2) Factoriza el siguiente trinomio: 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔.

3) Menciona los elementos de una circunferencia. 4) Enlista la clasificación de triángulos de acuerdo a sus lados.


9

5) Recta que se traza desde el vértice de un triángulo hasta llegar al punto medio del lado opuesto. 6) Recta que es perpendicular a un lado del triángulo y además pasa por el punto medio.

7) Hallar el valor de X en la ecuación: 6−2𝑥

1+𝑥= 2

8) En el siguiente triángulo rectángulo, hallar el lado faltante, utilizando el teorema de Pitágoras.

9) Reduce la siguiente expresión: 1 −

2

3

1 + 2

3

10.- Localiza en el plano cartesiano los puntos: C 5.2,2.1 , D 75.3,75.3 , E

5

2,

3

2

5

3

x


10

1.2 Distancia entre dos puntos. 1.2.1. Sistema Unidimensional (Lineal).

En este sistema o plano unidimensional cada punto cuenta con una sola coordenada, como

se indicará más adelante. La distancia entre dos puntos en un plano unidimensional es igual a restarle a la coordenada

final la coordenada inicial, es decir:

1a. DEMOSTRACIÓN: Sean P1(x1) y P2(x2) dos puntos que pertenecen a una misma recta horizontal (paralela al eje X), la distancia entre los dos puntos es: la diferencia del valor absoluto de la abscisa del punto de la derecha menos el valor de la abscisa del punto de la izquierda, o viceversa.

P1P2̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = x2 - x1 = x1 - x2

Si la distancia se toma de izquierda a derecha 21PP , el valor tendrá signo positivo.

Si la distancia se toma de derecha a izquierda 21PP , el valor tendrá signo negativo

2a. DEMOSTRACIÓN: Sean P1 (y1) y P2 (y2) dos puntos pertenecientes a una misma recta vertical (paralela al eje Y), la distancia entre los dos puntos es: la diferencia del valor absoluto de la ordenada del punto superior menos el valor de la ordenada del punto inferior, o viceversa.

P1P2̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = y2 - y1 = y1 - y2

Si la distancia se toma de abajo hacia arriba 2

1

P

P , el valor tendrá signo positivo.

Si la distancia se toma de arriba hacia abajo 2

1

P

P , el valor tendrá signo negativo

Observa y Recuerda que las distancias se indican solamente con el número por eso se debe tener en cuenta que a las barras de valor absoluto, harán que los signos no sean tomados en cuenta.

P1(x1) P2(x2)

Figura 1. Sistema Unidimensional (Lineal) Posición horizontal.

Figura 2. Sistema Unidimensional (Lineal) Posición vertical.

P2(y2)

P1(y1)


11

Ejemplo.- Hallar la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: P1 (- 7) y P2 (8) y están ubicados en el sistema unidimensional horizontal.

Se utiliza la fórmula para calcular distancia entre dos puntos de una recta horizontal.

P1P2̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = x2 - x1

P1P2̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = )7(8

P1P2̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ 78

P1P2̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ u1515

La longitud de esta recta horizontal es de 15 unidades. Ejemplo.- Hallar la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: P1( 4 ) y P2 ( - 6 ) y están ubicados en el sistema unidimensional vertical.

La longitud de esta recta vertical es de 10 unidades.

Se utiliza la fórmula para calcular distancia entre dos puntos

de una recta vertical.

|𝐏𝟏𝐏𝟐|̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = 𝐲𝟐 – 𝐲𝟏

|𝐏𝟏𝐏𝟐|̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = |−𝟔 − 𝟒|

|𝐏𝟏𝐏𝟐|̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = |−𝟏𝟎|

|𝐏𝟏𝐏𝟐|̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = 𝟏𝟎𝒖

Figura 3. Sistema Unidimensional (Lineal) Segmento P1P2.

Figura 4. Sistema

Unidimensional (Lineal)

Segmento P1P2.


12


EJERCICIO 2. Fecha:

Objetivo: Identificará el sistema unidimensional (lineal) en su posición horizontal o vertical para encontrar la distancia entre los dos puntos que forman un segmento de línea.



Encuentra la distancia de los segmentos e indique la figura en el sistema unidimensional los puntos.

1.- P1 (-8) y P2 (12). Sistema unidimensional horizontal

PROCEDIMIENTO GRAFICA

2.- P1 (7) y P2 (- 5). Sistema unidimensional vertical.



13

1.2.2. Sistema Bidimensional (Plano Cartesiano). 3ª. DEMOSTRACIÓN: Sean P1(x1, y1) y P2(x2, y2) la distancia entre los dos puntos se calcula relacionando el (formula) teorema de Pitágoras, por lo tanto:

Lo primero es tomar (visualizar) la recta inclinada como la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Trazando los catetos del triángulo rectángulo, a partir de los extremos de la recta inclinada con líneas paralelas una al eje x y la otra al eje y quedando este como se observa abajo en la figura 5:

En segundo paso, se calculan las distancias horizontales y verticales con la formulas ya estudiadas anteriormente y con el apoyo de un punto más, llamado Q(x2, y1), que es el punto donde se cruzan los dos catetos que forman el ángulo de 90º.

Y por último se aplica el teorema de Pitágoras, el cual dice: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Fórmula que se utiliza en geometría plana.

222 bac

Figura 5. Sistema Bidimensional (Plano Cartesiano) Triangulo rectángulo formado con la recta inclinada

P1 (x1, y1 )

=Hipotenusa

Cateto

P2 ( x2, y2 )

Cateto

Q


14

La fórmula de distancia a utilizar en este curso de geometría analítica, no se diferencia mucho a la anterior, ya que para hallar la distancia entre dos puntos: súmese el cuadrado de la diferencia de las abscisas (cateto horizontal) con el cuadrado de la diferencia de las ordenadas (cateto

vertical) y extraiga la raíz cuadrada de dicha suma (hipotenusa= 21

PP = distancia entre dos puntos) 222 bac

222 catetocatetohip

212

2

12

2

21yyxxPP

2

12

2

12

2

21)yy()xx(PP

2

12

2

1221)yy()xx(PPd

Esta fórmula se puede utilizar para demostraciones de triángulos equiláteros, isósceles o

escálenos, triángulos rectángulos, paralelogramos, perímetros, demostración de puntos colineales

(tres o más puntos que deben estar sobre la misma recta), distancias importantes de rectas, de un

triángulo, circunferencia, etc.

Ejemplo.- Encuentra la distancia entre los puntos )3,2(A y )2,1(B e indícalos en el plano

cartesiano.

Primero consideraremos que las coordenadas del punto A son

1x y 1y respectivamente, y las

coordenadas de B son 2x y

2y , ahora

sustituimos en la fórmula 2

1 2 2

1 2 2 1 ) ( ) ( ) ( y y x x P P

22

21 ))3(2()21( PP

2222

21 )5()3()32()21( PP 34259PP

21

y esta es la longitud del segmento AB .

34AB u = 5.839 u

Figura 7. Plano Cartesiano


15

Ejemplo.- Demuestre que los puntos )2,4(A , )0,4(B y )1,0(C son colíndales (que están sobre la

misma recta).

Ahora observamos que la distancia mayor es AB luego entonces:

ACBCAB

171768

Ahora descomponemos el radical de la izquierda, para igualarlo a la suma de los de la derecha, de tal manera que los números multiplicados den como respuesta 68 y que uno de ellos sea 17, ya que del lado derecho el 17 es un número primo y no tiene raíz cuadrada exacta.

17x117x117x4

17x117x117x4

171171172

172172

Con este ejercicio comprobamos la definición que dice: si B está entre A y C, si A, B y C son puntos distintos de una misma recta, y AB + BC = AC. Esto significa que los tres puntos están en una misma recta (son colineales). A continuación se presenta un ejercicio en donde apliques la fórmula de distancia en distintos casos.

Primero sacamos la distancia de AB , BC y AC . Y verificamos que la distancia del segmento mayor sea igual a la suma de los segmentos menores

2

12

2

1221 )()( yyxxPP

464)20()44( 22 AB = 68 u

17116)01())4(0 22 BC u

17116)21()40( 22 AC u

Figura 8. Plano Cartesiano


16


EJERCICIO 3. Fecha:

Objetivo: Demostrará por medio de distancia las dimensiones de cada segmento de línea, así como, hallar si los triángulos son isósceles y rectángulos con la aplicación del teorema de Pitágoras y encontrar el área de dicho triangulo, y si tres puntos que forman un segmento de línea son colineales, es decir, que estén sobre una misma línea.



5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus

pasos contribuye al alcance de un objetivo.



1.- Hallar la distancia entre los puntos e indique la figura en el plano cartesiano.

a) A( - 6, 3) y B (2, -3) b) A (6, 1) y B (- 4, - 2)

PROCEDIMIENTO PROCEDIMIENTO

GRAFICA GRAFICA


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2.- Demuestra que los puntos dados son colineales, es decir, que están sobre una misma línea recta.

a) M (12, 1), P (–3, –2) y R (2, –1).

a).- Las distancias de los segmentos son: b) Comprobación de las distancias de los segmentos: c) Los puntos representan una recta (decir sí o no y el porqué)


18

1.3.- Clasifica los triángulos por sus lados y ángulos

NOTA: Para la resolución de los siguientes ejercicios se recomiendo leer el ejemplo 1 y 2 del MANUAL DE PRACTICAS DE MATEMATICAS III.

3.- Demuestre que los siguientes puntos son los vértices de un triángulo isósceles. b) A ( -2 , 2 ), B ( 3 , 1 ), C ( -1 , -6 )

c) A ( -2 , -4 ), B ( -5 , -1 ), C ( -6 , -5 )

a).- El triángulo es:



19

4.- Demuestre que el triángulo es rectángulo y calcula el área del mismo.

d) A (-3 , 1), B (-3 , -4 ), C ( 5 , -4 )

a).- Las distancias de los lados son:

b).- Determina que el triángulo es rectángulo Usa el Teorema de Pitágoras

c).- Encuentra su Área.


20

e) P (-2 , -8 ), Q (-6 , -1 ), R ( 0 , -4)

a).- Las distancias de los lados son:

b).- Determina que el triángulo es rectángulo Usa el Teorema de Pitágoras

c).- Encuentra su Área.


21

1.4.- División de un segmento en una razón dada. Leer de la Antología Comentada la lectura “DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA” con la finalidad de lograr una mejor comprensión de los ejemplos y ejercicios que a continuación se presentan.

Nombre de los integrantes del Equipo:

1.-

2.-

3.-

4.-

Grupo:

Fecha:

EJERCICIO 4.-

Objetivo: Interpretará por medio de distancias las fórmulas para encontrar la razón de un segmento.


4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

5.- Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos

contribuye al alcance de un objetivo.

8.- Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.


1.- Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

2.- Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

EJERCICIO 4.En equipo, analicen la información y contesten lo que se pide. Letty, Sandra, Carmen, Nilsa y Alma participarán en una competencia de relevos en el orden dado, la salida está ubicada en el punto S (1,2) y la meta en el punto M (16,12), cada una de ellas debe de correr la misma distancia en una pista recta; elabora la gráfica de los puntos en los que se deben ubicar cada una de las corredoras para el cambio de estafeta.


22

a) ¿Cuánto mide la distancia que recorre cada una de ellas? b) ¿Qué razón le corresponde a la ubicación de cada una de las corredoras con respecto a la distancia

para llegar a la meta?

Letty.

Sandra.

Carmen.

Nilsa.

y Alma.


23

Razón aritmética: es la relación entre dos cantidades representada en una resta.

Razón geométrica o razón por cociente: indica las veces que una cantidad contiene a la otra.

La razón que utilizaremos en geometría analítica: está representada con un cociente, en donde el

numerador y el denominador sumados resultaran ser las partes en que está dividido el segmento.

El numerador indicara el número de partes elegidas.

El denominador representa el número de partes no elegidas.

División de un segmento en una razón dada. Para determinar las coordenadas de un punto P que divide a un segmento cuyos extremos son P1(x1,

y1) y P2(x2, y2) en la razón dada ,2

1

PP

PPr se representa en la siguiente figura:

Por los puntos 1

P , P y 2

P se trazan perpendiculares a los ejes coordenados; como las rectas

paralelas 11

QP , PQ y 22

QP así como 11

RP , PR y 22

RP interceptan segmentos proporcionales

sobre las dos transversales 21

PP , 21

QQ y 21

RR se establece que 2

1

2

1

2

1

RR

RR

QQ

QQ

PP

PP .

Las coordenadas de los puntos trazados sobre el eje x son: 0,xQ,0,xQ11

y 0,xQ22

y sobre

el eje y son: y,0R,y,0R11

y 22

y,0R .

La distancia dirigida de cada segmento 11

xxQQ y xxQQ22 , así como

11yyRR y

yyRR22 a ecuación de la razón y resulta:

,yy

yyr

xx

xxr

2

1

2

1

Figura 9. Plano Cartesiano División de un segmento en una razón dada.


24

Ejemplo.- Los extremos de un segmento son los puntos )4,7(1P y )4,1(2 P . Halla la razón

2

1

PP

PPr en que el punto )2,1( P divide al segmento.

Sustituimos directamente en la fórmula de la razón, ya sea con x ó y:

xx

xxr

2

1 32

6

11

71

r

También se puede deducir sustituyendo el valor de las ordenadas

yy

yyr

2

1 32

6

24

6

)2(4

42

r

Con ambas operaciones se obtiene la misma razón, 3r

Para demostrar el resultado del ejercicio anterior, podemos sacar la distancia de 721 PP y

82 PP , mediante la fórmula de la distancia entre dos puntos, y posteriormente sustituir en la de

la razón: ,2

1

PP

PPr si 3r y conocemos los valores de las distancia, entonces sustituimos:

8

72r

)2)(4(

)2)(36(3 Descomponiendo los radicales para poder simplificar, tenemos que:

22

263 Simplificando radicales y dividiendo 6 entre 2 igual a 3,

33 Lo cual demuestra el concepto de razón que nos pide el problema.



25

Nombre del Alumno: Grupo:

EJERCICIO 5.- Fecha:

Objetivo: Encontrará la razón de un segmento dado el punto que divida dicho segmento.





Encuentra la razón de los siguientes ejercicios. TRAZA LAS GRAFICAS EN HOJAS MILIMETRICAS.

1.- Los extremos de un segmento son los puntos A (- 9, -4 ) y B ( 1, 6 ); halla la razón 2

1

PP

PPr en el

punto P ( -3 , 2 ) que divide al segmento.

2.- Los extremos de un segmento son los puntos A ( -2 , -4 ) y B ( 3 , 1 ); halla la razón 2

1

PP

PPr en

el punto P ( -5 , -7 ) que divide al segmento.


26

TEOREMA: Las coordenadas de un punto P que divide a un segmento cuyos extremos son P1(x1, y1)

y P2(x2, y2) en la razón dada ,2

1

PP

PPr son:

; r

ryyy

1

21 .1: rSiendo

Los siguientes criterios nos ayudarán a comprender la posición del punto buscado en el segmento dado.

1. Cuando la razón es positiva, el punto buscado estará situado entre los puntos dados del segmento. Por ejemplo:

Segmento AB . P punto buscado. La razón es positiva.

2. Cuando la razón es negativa, el punto buscado estará situado fuera de los puntos dados del segmento. Por ejemplo:

Segmento AB . P punto buscado. La razón es negativa.

Ejemplo: Los puntos )3,4(1 P y )1,3(2P son los extremos de un segmento. Determinar las

coordenadas del punto ),( yxP que divide al segmento en dos partes tales que 2

1

2

1 PP

PPr .

Sustituir los valores de los extremos del segmento y la razón en cada uno de las fórmulas y calcular el valor de la abscisa y ordenada del punto que divide al segmento.

r

rxxx

1

2

r

ryyy

1

21

Puesto que 2

1r , el punto P debe ser externo al segmento 21PP

r

rxxx

1

21

2P 2

1

2

1 PP

PPr



27

2

11

)3(2

14

x P

2

11

)1(2

13

yP

11

2

12

11

2

12

3

2

8

2

1

2

22

34

2

11

)3(2

14

Px

7

2

12

7

2

12

1

2

6

2

1

2

22

13

2

11

)1(2

13

Py

Entonces )7,11(),( PyxP

Determinación de la razón cuando un segmento se divide en n partes iguales

Si un segmento se divide en n partes iguales, la razón para determinar las coordenadas de cada

punto que divide a dicho segmento, se calcula de la siguiente manera:

Si el segmento AB se triseca (dividir en tres partes iguales), la razón para cada punto es:

2

2

1 1

Figura 12. Plano Cartesiano División de un segmento en 3 partes iguales.

Para el punto P1, tenemos:

.2

1

1

1

segmentosdos

segmentoun

BP

APr

Para el punto P2, tenemos:

.1

2

2

2

segmentoun

segmentosdos

BP

APr


28

Si el segmento AB se divide en cuatro partes iguales, la razón para cada punto es:

Para el punto P1, tenemos:3

1

1

1 BP

APr

Para el punto P2, tenemos: 12

2

2

2 BP

APr

Para el punto P3, tenemos: 31

3

3

3 BP

APr



Objetivo: Determinará cuál es el punto que divide a un segmento de línea cuando se conoce la razón, así como los puntos que divide a un segmento de línea en tres partes iguales.





1.- Encuentra la coordenada del punto (x, y) que divide al segmento AB, dada la una razón “r “. Graficar en HOJAS MILIMETRICAS.

1.- A ( 1 , -4 ), B ( -3 , 2 ), r = 2

1 ; P ( ) 2.- P1 (-2, 5) y P2 (10, -2) r =

3

2 ; P ( )

3.- )4,2(1P y )4,8(2 P 2PP

PPr

1

2 ; P ( )

4.- P1 (7, 4) y P2 (-1, -4) r = P2P:PP1 = - 3 ; P ( )

Figura 13. Plano Cartesiano División de un segmento en 4 partes iguales.


29

2.- Encuentra en cada uno de los siguientes casos, los puntos de trisección P1 y P2 del segmento AB. Graficar en HOJAS MILIMETRICAS. 1.- A ( 6, -2 ), B ( 4 , 1 ) P1 ( ) r = _ _ P2 ( ) r = ____

2.- A ( 6 , 12 ), B ( -2 , 3 ) P1 ( ) r =_____ P2 ( ) r = ___


30

1.5.- Punto medio

Si P(x, y) es el punto medio del segmento P1P2, la razón es igual a la unidad (1), es decir:

Si 2

1

PP

PPr

y como

21PPPP , resulta 1

PP

PP

PP

PP

PP

PPr

2

2

1

1

2

1 .

COROLARIO: Las coordenadas de un punto P que es el punto medio de un segmento cuyos

extremos son 111

y,xP y 222

y,xP , son:

r1

rxxx

2

11

x)1(x 2

r1

ryyy 21

11

y)1(y 21

2

xxx 21

m

2

yyy 21

m



Objetivo: Determinará cuál el punto que se localiza con exactitud en la mitad de un segmento de línea



Encuentra las coordenadas ( xm , ym ) del punto medio de los segmentos PQ. Graficar en HOJAS MILIMETRICAS. 1.- P ( 6, 3 ), Q ( -2 , -5 ) Pm ( ) 2.- P ( 6 , -2 ), Q ( 5 , 6 ) Pm ( )

Figura 14. Plano Cartesiano Punto medio.


31

1.6.- Pendiente y Ángulo de Inclinación.



Objetivo: Investigará los términos que se necesitan para conocer el ángulo de inclinación, así como la pendiente de un línea recta.



Ejercicio 8. Actividad para realizar en casa. Contesta el siguiente cuestionario, dada la imagen.

a) ¿Con cuántos puntos mínimos trazas una línea recta?

b) ¿Qué es un plano cartesiano?

c) ¿Qué es una recta?

d) ¿Qué es una pendiente?

e) ¿Qué es un ángulo de inclinación?

f) ¿Cuál es la relación entre pendiente y ángulo de inclinación?

g) ¿Qué valor tiene la pendiente de la pared de tu cuarto (recta vertical)?

h) ¿Qué valor tiene la pendiente del techo de tu casa (horizontal)?

NOTA: En clase el docente realizará preguntas para generar una lluvia de ideas y se obtendrá una conclusión dando respuestas a todas las preguntas anteriores.


32

Ejemplo.- Hallar la pendiente y ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos A (2,-3) y B(-1,2)

Y el ángulo de inclinación mtg por lo tanto

03624.593

5tanarc

Como la medida del ángulo de inclinación dio negativo, se aplica una simple resta a 180 , siendo la diferencia el ángulo de inclinación:

"52.49'571209637.12003624.59180



Objetivo: Encontrará el valor de la pendiente y la medida del ángulo de inclinación de una línea recta.



1.- Resolver los siguientes ejercicios y grafica en hojas milimétricas. Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos A (- 6, - 4) y B (8, 3). Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que une a los puntos A (12, - 5) y B (2, 1).

Sabemos que al igual que los temas

anteriores, 2x1 , 31 y , 1x2 y

2y2 , sustituyendo en la fórmula:

12

12

xx

yym

tenemos:

3

5

3

5

3

32

21

)3(2m

Debemos mencionar que es indistinto tomar el orden de la fórmula ya que

21

21

xx

yym

Figura 15. Plano Cartesiano Punto

medio.


33

1.7.- Ángulo entre dos rectas



Objetivo: Identificará por medio de un video los puntos clave que se necesitan para encontrar el ángulo entre dos rectas.



5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones



Ejercicio 10. El alumno tomara apuntes durante la proyección del video “Angulo entre dos rectas” y posteriormente contestará las siguientes preguntas. 1.- Explica con tus propias palabras que es el ángulo formado entre dos rectas.

2.- Si dos rectas son paralelas como son sus pendientes. 3.- Si dos rectas son perpendiculares el producto de sus pendientes da ________. 4.- ¿Qué significa que dos números sean recíprocos entre sí? Ejemplifica tu respuesta.


34

Ángulo entre dos rectas: Es el ángulo formado entre dos rectas que se intersectan en un punto.

Sean las rectas l1y l2 que cortan a la parte positiva del eje x formando los ángulos 1 y

2 ,

respectivamente. Sea el ángulo que forman entre si las rectas. En la figura 23 se tiene que

12

así que 12 .

Al aplicar la formula trigonométrica:

12

12

12tantan1

tantantan

Resulta:

12

12

tantan1

tantantan

Si se sustituye 11

tanm y 22

tanm , queda:

21

12

12

12

mm1

mm

mm1

mmtan

si 1mm

12

TEOREMA: Sean l1y l2dos rectas que tienen pendientes m1y m2, respectivamente; si es el ángulo dirigido de l1a l2, se establece que:

21

12

mm1

mmtan.arc

A esta fórmula se le conoce como fórmula de la tangente del ángulo comprendido entre dos rectas que se intersecan en función de sus pendientes. NOTA: Es interesante observar que si el numerador m2 - m1 = 0 entonces m2 = m1 la recta l1 es paralela a l2 y si el denominador 1+ m1m2 = 0 entonces m1m2 = -1 la recta l1 es perpendicular a la recta l2. También es interesante observar que si en el numerador tomamos m1 - m2 en lugar de

m2 - m1, entonces obtenemos la Tan (suplemento).

x

Recta final

Recta inicial

y

L2 L1

O

Figura 16. Plano cartesiano. Ángulo entre dos rectas.


35



Objetivo: Encontrará las medidas de los ángulos interiores de un triángulo por medio de la fórmula de ángulo entre dos rectas.





EJERCICIO 11. Busca las medidas de los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son. 1.- A ( -6 , 4 ), B ( -5 , -3 ), C ( -1 , -1 )

Encuentra las pendientes de los lados del triángulo:

Pendiente AB: 𝑚𝐴𝐵 Pendiente BC: 𝑚𝐵𝐶 Pendiente AC: 𝑚𝐴𝐶


36

Encuentra las medidas de cada ángulo interior.

ÁNGULO A ÁNGULO B ÁNGULO C

Ángulo A =

Ángulo B= Ángulo C=

2.- )2,4(E , )1,0(F y )1,6(G . REALIZAR EN HOJAS BLANCAS.


37

1.8.- Perímetro y áreas de figuras geométricas.

La siguiente fórmula se utiliza para calcular el área de cualquier polígono (adecuando las coordenadas de acuerdo al polígono).

A =

))(())(())(())(())(())((2

1

2

1312312133221

1

3

2

1

1

3

2

1

yxyxyxyxyxyx

y

y

y

y

x

x

x

x

Se hace notar que el primer renglón se hace repetir al final con el fin de facilitar la operación.

Si los vértices se ordenan en la fórmula en sentido contrario al de las manecillas del reloj, el área resultante es de signo positivo; en caso contrario será negativa.

De la Antología Comentada Leer la lectura “PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS GEOMÉTRICAS” para poder recordar algunas de las formas ya conocidas en semestres anteriores.

ACTIVIDADES I – 1. RESUELVE EN TU HOJAS BLANCAS Y GRAFICAR EN HOJA MILIMÉTRICA.

Nombre de los Integrantes del Equipo:

1.-

2.-

3.-

4.-

Grupo:

Fecha:

Objetivo: Aplicará las fórmulas para encontrar el perímetro, así como el área de cualquier polígono.



5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo



1) Hallar el perímetro y área del triángulo cuyos vértices son los puntos.

a) A(3,-4), B(5,2) y C(-7,-3) b) A(4,9), B(-2,1) y C(-5,3)

c) L (–2, 5), M (4, 3) y N (7, –2) d) H (–1, –2), J (4, 2) y K (–3, 5)


38

ACTIVIDADES I – 2. RESUELVE EN HOJAS BLANCAS Y GRAFICAR EN HOJA MILIMÉTRICA.

Nombre de los integrantes del Equipo:

1.-

2.-

3.-

4.-

Grupo: Fecha:

Objetivo: Aplicará los conocimientos obtenidos en esta primera secuencia, con ejercicios con un grado de complejidad superior a los vistos en clases.



5.- Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta

dentro de distintos equipos de trabajo.




1. Sobre el plano cartesiano, un punto se desplaza partiendo de H 1,3 , avanzando 3

unidades hacia el Norte, 5 hacia el Este, 1 hacia el Sur, 2 hacia el Oeste, 1 hacia el Sur, 4 hacia el Sur, 7 hacia el Este, 3 hacia el Norte y 10 hacia el Oeste.

a) Da las coordenadas de todos a los que llegó. b) ¿A qué punto llegó al final de su recorrido?


39

2. Uno de los extremos de un segmento de longitud 13 es A (2, 3) si la ordenada del otro

punto es 5 halla su abscisa.

3. Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud igual a 13 es el punto A(-1, -

5); si la abscisa del otro extremo es 2, hallar su ordenada (dos soluciones).

4. ¿Cuál es el valor del radio del círculo de centro 1,2Q y que pasa por el punto 2,5S ?

5. Para el polígono ABCDE da:

a) Su perímetro P = __________________________

b) El área total. A = __________________________

c) Comprueba que los lados AE y ED son perpendiculares.

6. Los extremos de un segmento son los puntos A (-3, -1) y B (5, 7); halla el punto P (x, y) que divide a este segmento en dos partes tales que 2: PABP .

Respuesta: ______________________________

7. El extremo del diámetro de una circunferencia de centro P (7, -6) es P2 (2, 2); halla las coordenadas P1 (x, y) del otro extremo.

Respuesta: ______________________________

8. Si el segmento AB está cortado por el punto )2,5(P en la razón 7

3

PB

APr y las

coordenadas de A son )6,5( encuentra las coordenadas de B .

Respuesta: ______________________________


40

9. Demuestra que el punto medio de la hipotenusa del triángulo de vértices )2,2( A , )4,8(B

y )3,5(C equidista de los tres vértices.

Respuesta: ______________________________

10. Los vértices de un triángulo son )3,1(A , )5,3(B y )1,7( C , si D es el punto medio del lado

AB y E es el punto medio del lado BC , demostrar que la longitud del segmento DE es la

mitad de la longitud del lado AC .

Respuesta: ______________________________

11. Una recta de pendiente (-2) pasa por el punto A (5, - 2); la abscisa de otro punto de la recta es (1); hallar su ordenada.

Respuesta: ______________________________

12. Una recta pasa por los dos puntos )3,2( , )1,4( . Si un punto de abscisa 10 pertenece a la

recta, ¿cuál es su ordenada?

Respuesta: ______________________________

13. Un Camión con carga de madera va cuesta arriba por un tramo de carretera. Partió a 150

metros del muelle que está a una altura de 525 metros sobre el nivel del mar. Al llegar al lugar de descarga, 1056 metros adelante del punto de carga se tiene conocimiento de que está a 815 metros sobre el nivel del mar. ¿Cuál es la pendiente del tramo de carretera que tuvo que subir el camión entre el punto de carga y el de descarga?

Respuesta: ______________________________

14. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45º, la recta final tiene una pendiente de 3 , calcula la pendiente de la recta inicial.

Respuesta: ______________________________

15. El ángulo formado por la recta que pasa por los puntos )5,4(A y ),3( yB con la que pasa

por )4,2(L y )1,9(M es de 135º. Halla el valor de y.

Respuesta: ______________________________


41

16. La figura muestra una casa vista de frente. El tejado de dos aguas está formado por la

intersección de las rectas AB y CD , que se cortan en el punto 6,4P . Determina:

a) la pendiente de las rectas AB y CD .

Respuesta: ______________________________

b) El ángulo que forma el tejado en dos aguas.

Respuesta: ______________________________

c) La medida del ángulo . FIGURA SIGUIENTE.

Figura 17. Plano Cartesiano. Fachada de casa.


42

Universidad Autónoma del Carmen Dirección General Académica

Unidad Académica del Campus II Escuela Preparatoria Diurna

Instrumento de evaluación:

Lista de cotejo Tipo de evaluación:

Coevaluación

Departamento: Matemáticas Academia: Matemáticas

Unidad de Aprendizaje Curricular:

Matemáticas III (Geometría Analítica)

Semestre: 3 Grupo: Número de

secuencia: 1/3 Porcentaje: 4%

Bloque: I.- Conceptos Básicos de Geometría Analítica.

Evidencia: Cuaderno de trabajo (Individual)

Competencias Genéricas 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

Atributos 4.1Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.

Competencia disciplinar: 1.- Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 2.- Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

Nombre del Alumno:

Indicadores

Cumple

Observaciones

Si No

1.- Construye y desarrolla el procedimiento de cada ejercicio correctamente de forma lógica, congruente, ordenada, limpia y a tiempo.

2.- Llega y expresa el resultado correctamente, anexando un procedimiento que lo justifique.

3.- En forma excelente organiza, tabula y construye las gráficas

4.- Contiene el total de ejercicios marcados.

5.- Comprende cada uno de los pasos de cada ejercicio.

6.- Aplica correctamente la jerarquía de operaciones.

Escala de calificación Escala Tipo Semáforo Acciones a tomar

Rango Calificación

De 6 a 5 4% El estudiante desarrolla las competencias

De 4 a 3 3% a 2% El estudiante está en proceso de desarrollar las competencias. Corregirlo

De 2 a 1 1% El estudiante no ha desarrollado las competencias. Asesoría semanal

Rango obtenido: Porcentaje total: Nombre y firma de quien evaluó:

Fecha:


43

Universidad Autónoma del Carmen

Dirección General Académica Unidad Académica del Campus II

Escuela Preparatoria Diurna

Instrumento de evaluación: Lista de cotejo Tipo de evaluación: Heteroevaluación




Semestre: 3 Grupo: Número de secuencia: 1/3 Porcentaje: 1%


Evidencia: Cuestionario (Cuaderno de trabajo Indivudual)


Atributos 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.

Competencia disciplinar: 1.- Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

Nombre del Alumno:

Indicadores Cumple

Observaciones Si No

1.- Contiene el total de preguntas contestadas.

2.- La respuesta es coherente a lo que se pregunta.

3.- Ejemplifica su respuesta de acuerdo a lo que se pide.


Rango Calificación

3 1% a 0.5% El estudiante desarrolla las competencias

2 0.4% a 0.2% El estudiante está en proceso de desarrollar las competencias. Corregirlo

1 0.1% El estudiante no ha desarrollado loas competencias. Asesoría semanal


Fecha:


44







Semestre: 3 Grupo:

Número de secuencia: 1/3

Porcentaje: 5%


Evidencia: Cuaderno de trabajo (Equipo)

Competencias Genéricas 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Atributos 4.1Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.


Nombre de los integrantes del equipo: 1.- 2.- 3.- 4.-

Indicadores Cumple

Observaciones Si No





5.- Colabora con los integrantes de su equipo para la realización de ejercicios que se les asigna.




Rango Calificación


De 5 a 3 4 a 3% El estudiante está en proceso de desarrollar las competencias. Corregirlo

De 2 a 1 2 a 1% El estudiante no ha desarrollado loas competencias. Asesoría semanal


Fecha:


45

SEGUNDA SECUENCIA DIDACTICA BLOQUE II: Ecuación de la Recta

Propósito de la secuencia didáctica: Analiza la relación lineal entre dos variables de manera geométrica y analítica, en las distintas formas de la ecuación de la recta.

CONTENIDOS DE LA SECUENCIA DIDACTICA

DECLARATIVOS PROCEDIMENTALES ACTITUDINALES Describe el concepto de lugar geométrico, y los pasos necesarios para encontrar la ecuación de la recta. Interpreta la razón de cambio de las ordenadas respecto a las abscisas Interpreta la relación entre la pendiente de dos rectas con las condiciones de paralelismo y perpendicularidad. Identifica la ecuación de una recta, de acuerdo a su forma, punto pendiente, pendiente ordenada en el origen, simétrica, general. Identifica los parámetros que presenta cada una de las ecuaciones de la recta. Reconoce los parámetros dados en la ecuación de la recta y gráfica. Identifica la fórmula de distancia de un punto a una recta. Conoce las rectas notables (mediana, altura, mediatriz y bisectriz) y puntos notables (Baricentro, ortocentro, circuncentro e incentro) de un triángulo.

Modela un procedimiento matemático adecuado para encontrar la ecuación del lugar geométrico, llamado recta. Aplica el modelo para obtener la ecuación del lugar geométrico llamada recta, dadas ciertas condiciones. Utiliza la pendiente y un punto para obtener la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente. Utiliza los puntos de intersección con el eje X, para determinar la ecuación de la recta en su forma simétrica. Utiliza la pendiente y la ordenada del punto de intersección con el eje Y, para encontrar la ecuación de la recta en su forma pendiente - ordenada en el origen. Transita entre las diferentes formas de la ecuación de la recta a otra forma. Analiza los cambios en la variable dependiente a partir de la variación de la variable independiente, para determinar su proporcionalidad. Grafica la recta en un plano cartesiano, de forma manual y con ayuda de un software, para apoyar el conocimiento de la recta. Calcula la distancia de un punto a una recta y entre dos rectas. Demuestra que dos rectas son paralelas o perpendiculares, por medio de las condiciones de paralelismo y perpendicularidad.

Valora la importancia de la geometría analítica, para la modelación de problemas de su entorno, de manera analítica y gráfica. Valora el trabajo colaborativo. Presta atención a las explicaciones del profesor, dentro y fuera del salón de clases. Actúa de manera positiva para realizar las actividades planteadas en el programa de la UAC. Participa de manera activa en clase, realizando sus ejercicios, preguntando, exponiendo.


46

Resuelve problemas verbales representándolos con ecuaciones lineales. Aplica las formas de la ecuación de la recta, para resolver problemas que impliquen la relación entre dos variables. Analiza los resultados obtenidos, al encontrar los puntos de intersección de una recta con los ejes coordenados, en la solución de un problema. Determina las ecuaciones de las rectas notables de un triángulo y las grafica en el plano cartesiano. Encuentra los puntos de intersección de las rectas notables de un triángulo, (solución de un sistema de ecuaciones) y las grafica en el plano cartesiano.

CRITERIOS DE EVALUACION 2DA. SECEUNCIA DIDACTICA

EVALUACION Evidencia Porcentaje

Manual de Prácticas y Antología Comentada 10%


Examen escrito. 15 %

TOTAL: 35%


47


EJERCICIO 12. Fecha:






EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA. Este ejercicio tiene la intención de conocer cuál es el nivel de

conocimientos que tienes al comenzar el estudio del bloque I. Le permite a tu maestro tener información relevante para dirigir la adquisición de los conocimientos que se presentan en

este primer bloque. EJERCICIO 12. Contesta lo que se te pide. 1.- La distancia entre los puntos A (2,3) y B (5,-6) es de: a) 9.4 unidades b) 4.2 unidades c) 7.6 unidades d) 3.4 unidades 2.- La distancia del origen del plano cartesiano al punto M (3,-4) es de: a) 7 unidades b) 3 unidades c) 4 unidades d) 5 unidades 3.- Los puntos A (3,2), B (4,0) y C (6,-4): a) Forman un ángulo b) Son equidistantes c) Están alineados d) Son simétricos

4.- P (2,3) y Q (11,3) son los extremos del segmento PQ. El punto R (5,3) divide al PQ en la razón:

a) 3

1r b)

2

1r c)

5

3r d)

9

1r


48

5.- Las coordenadas del punto medio entre los extremos del segmento cuyos puntos son A ( 3 , 2 ) y B(9 , 0) son:

a) (6,0)mP b) (4,1)mP c) (6,1)mP d) (5,2)mP

6.- La pendiente de la recta que une a los puntos A (12, - 5) y B (2, 1) es:

a) 10

6m b)

5

3m c)

5

3m d)

6

10-m

7.- La medida del ángulo interior B del triángulo cuyos vértices A ( -6 , 4 ), B ( -5 , -3 ), C ( -1 , -1 ) es: 8.- Si una recta de pendiente (-2) pasa por el punto A (5, - 2) y si la abscisa de otro punto de la recta es (1); cuál será su ordenada.


49

2.1 Lugar geométrico de la recta.

Lugar geométrico: Conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen ciertas condiciones.

Ecuación de un lugar geométrico: Cualquier ecuación que es satisfecha por todos los puntos del lugar

geométrico y solamente por ellos.

Línea recta: Geométricamente se define como la distancia más corta entre dos puntos. Analíticamente

es una ecuación de primer grado con dos variables. Gráficamente se define como el lugar geométrico

de los puntos y) P(x, que se mueven de tal manera que siempre equidista (que están a la misma

distancia) de dos puntos fijos en el plano )y(xPy )y,(xP22,2111

. También se le denomina mediatriz

de un segmento.

Ejemplo. Halla la ecuación de la recta que está situada 3 unidades a la derecha del eje y .

Las ecuaciones de los ejes son: para el eje x 0y , y para el eje y 0x , esto es porque cada uno de

los ejes toca el origen, es decir en el punto 0) (0, , y sabemos que las rectas horizontales y verticales

siempre se representan con una sola variable (literal).

Entonces si queremos una recta a la derecha y a 3 unidades del eje y solo le sumamos a la ecuación

del eje y

3x

30x

0x :y Eje

pero como las ecuaciones deben representarse como una igualdad a cero, entonces pasamos el 3 a la

izquierda de la igualdad

03x y esta es la ecuación pedida.

Ejemplo. Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos y) P(x, que se mueven de tal

manera que siempre equidistan del punto 1) Q(3, y de 2) R(1,

Usamos la fórmula de la distancia entre dos puntos, para encontrar la distancia del punto y) P(x,

tanto a M como a P, e igualamos ambas distancias

La distancia de P a Q y la de P a R la podemos sacar con la siguiente fórmula

2

12

2

1221 )()( yyxxPP

PRPQ


50

2222 )2()1()1()3( yxyx

elevamos al cuadrado ambas partes de la igualdad para eliminar los radicales:

2222 )2y()1x()1y()3x(

desarrollamos los binomios al cuadrado:

4y4y1x2x1y2y9x6x 2222

agrupando en un lado de la igualdad y sumando términos semejantes:

04y4y1x2x1y2y9x6x 2222

0564 yx

multiplicando por 1 toda la ecuación: 0564 yx

0564 yx

y obtenemos la ecuación pedida, que como podemos observar es una ecuación de primer grado por

lo cual se trata de una recta (mediatriz de un segmento).



Objetivo: Encontrará la ecuación de la recta utilizando las ecuaciones de los ejes coordenados o la fórmula de distancia entre dos puntos.



Resuelve los siguientes problemas y su grafica en los espacios indicados. 1. Halla la ecuación de la recta que está situada 5 unidades por debajo del eje x.


51

2. Halla la ecuación de la recta que es paralela al eje “ y ” y a 7 unidades del punto P (–2, 2).

3. Halla la ecuación de la recta que pase por el punto (3, –1) y sea paralela a la recta 03 y

4. Halla la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que está a la misma

distancia del punto L (-2, -3) que del punto K (3, 1). Hacer la gráfica en hojas milimétricas.


52

2.2 Ecuación de una recta en su forma 2.2.1 Punto pendiente

Por geometría, la recta se determina perfectamente cuando se conoce uno de sus puntos y su

dirección. Analíticamente la ecuación de la recta se determina perfectamente cuando se conocen las

coordenadas de uno de sus puntos y su ángulo de inclinación o pendiente.

Teorema: La ecuación de la recta que pasa por el punto )y,(xP111

y tiene la pendiente dada m, es:

)x -(x m yy 11

Demostración: Sean y) P(x, y )y,(xP111

un punto cualquiera y el punto dado respectivamente,

de una recta. Gráficamente, se tiene: La pendiente de la recta PP1 es:

1

1

xx

yym

al quitar el denominador, resulta: )x -(x m y-y 11

y

x

O Figura18. Plano Cartesiano.

Punto - Pendiente


53

Ejemplo. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,-4) A y tiene una pendiente de

3

1-

Primero definiremos la forma de la recta a utilizar y esta es la de ecuación punto pendiente

)( 11 xxmyy

Se sustituyen los valores que tenemos, es decir, el punto (2,-4) A y la pendiente m de 3

1-

)2x(3

14y

)2x(3

14y

Suprimiendo el denominador: )2x(1)4y(3

2x12y3

Ordenando los términos de la ecuación:

0212y3x

Reduciendo términos y obtenemos la Ecuación de la recta:

010y3x

2.2.2 Pendiente ordenada en el Origen.

Al aplicar la ecuación punto - pendiente para una recta l cuya pendiente dada es m y pasa por el

punto dado b),B(0, tenemos que:

mx b-y

0) - m(x b-y

)x - m(x y -y 11

y

x O

l Figura 19. Plano Cartesiano. Pendiente – ordenada al origen


54

A esta forma de la ecuación de la recta, también se le denomina común. Una recta paralela al eje y no

tiene ordenada en el origen; por lo anterior la ecuación obtenida no se aplica; en este caso, su

ecuación es: a x .

Se hace notar que la recta l tiene su ordenada en el origen, intersectando al eje y en b.

Teorema: La ecuación de la recta cuya pendiente es m y tiene su ordenada en el origen (b), es:

b mx y

Ejemplo. Hallar la ecuación de la recta que tiene de pendiente (-2/7) y su intersección con el eje y es (3).

Primero definiremos la forma de la recta a utilizar y esta es la de ecuación pendiente ordenada al origen:

bmxy

Se sustituyen los valores en la forma seleccionada:

)3x7

2y(7

3x7

2y

Se suprime el denominar y se ordenan los términos de la ecuación:

21x2y7

Quedando la ecuación de la recta como: 021y7x2

2.2.3 Simétrica.

Sea l una recta que intersecta a los ejes coordenados x y y en los puntos A(a,0) y b)B(0,

respectivamente:

Al sustituir los valores de las coordenadas de las intersecciones de la recta con los ejes coordenados en la fórmula de pendiente, se determina la pendiente dicha recta, teniendo que:

y

B ( 0 , b )

A ( a , 0 )

x

O

Figura 20. Plano Cartesiano. Forma Simétrica


55

12

12

xx

yym

0a

bom

a

bm

Al sustituir los datos en la ecuación, punto A ( a , 0 ) y la pendiente a

bm de la recta que se

encuentro, resulta:

)x m(x yy 11

) a - x ( a

b- = 0 -y

ab bx- ay

Ordenando la ecuación: ab ay bx

Al dividir la ecuación por ab ab

ab

ab

ay

ab

bx

TEOREMA: La ecuación de la recta que intercepta los ejes coordenados x & y en los puntos (𝑎, 0)𝑦(0, 𝑏)respectivamente es:

∴𝑥

𝑎+𝑦

𝑏= 1; 𝑎 ≠ 0 𝑦 𝑏 ≠ 0

A esta ecuación también se le llama Canónica o reducida o de abscisa y ordenada en el origen. NOTA: Si 0a , y también 0b la ecuación de la forma simétrica no se puede aplicar, en este caso, se conoce un punto (origen del sistema coordenado) por lo que no es suficiente para determinar una recta. Ejemplo. Los segmentos que una recta determina sobre los ejes x e y son (-6) y (-2), respectivamente.

Hallar su ecuación.

Seleccionando la forma simétrica de la ecuación de la recta, se sustituyen los valores o datos:

1b

y

a

x

2. - by 6- a

126

yx

Multiplicando por – 6 a la fracción:

)6(12

)6(

6

)6(

yx

Resolviendo: 63 yx

Ordenando términos de la ecuación: 063 yx

Ecuación de la recta en su forma general: 063 yx


56

2.2.4 General.

La ecuación lineal en dos variables x y y de la forma General:

0 C By Ax

Se denomina forma general de la ecuación de la recta, en donde los coeficientes A, B y C son

número reales cualesquiera, con la condición de que A o B debe ser diferente de cero.

Para saber si la ecuación 0 C By Ax representa siempre una línea recta, es necesario

analizar su comportamiento para cuando el coeficiente de y es igual o diferente de cero.

1. Caso : Si B=0, entonces A0, por lo que la ecuación 0 C By Ax , se reduce a:

0 CByAx

00 CyAx

0CAx

Esta forma corresponde a la ecuación de una recta paralela al eje y ; es decir:

0CAx CAx

A

Cx

cuando x es la abscisa al origen o sea el punto de intersección con el eje x se dice que a x

a x A

Ca

abscisa en el origen A ( a , 0 )

2. Caso: Si A = 0, y B 0, por lo que la ecuación 0 C By Ax resulta:

0 CByAx

00 CByx

0CBy

Esta forma corresponde a la ecuación de una recta paralela al eje x ; es decir: CBy

B

Cy

cuando y es la ordenada origen o sea con el punto de intersección con el eje y se dice que

b y B

Cb

ordenada en el origen B ( 0 , b )

Para encontrar la pendiente de la recta Ax +By + C = 0, se transforma la ecuación general a la forma pendiente ordenada al origen:

0 CByAx

B

CAxy

bmxy B

Am

pendiente de la recta.


57

Ejemplo. Hallar las puntos de intersección con los ejes coordenados (a y b) así como la pendiente ( m ) de la ecuación 01232 yx

Dada la ecuación general, tomamos los valores correspondientes a los coeficientes A, B y C, para sustituirlos en sus fórmulas:

01232 yx

A = 2, B = 3 y C = -12

A

Ca

6 a 6

2

12

2

)12(

A

Ca

B

Cb

4 b 4

3

12

3

)12(

B

Cb

B

Am

3

2 m

3

2

3

)2(

B

Am

Ejemplo. Transforma la ecuación de la recta 0113 yx a la forma pendiente – ordenada al

origen (común) y Simétrica o canónica.

***Se utiliza la ecuación general de la recta y se identifica la forma pendiente, ordenada al origen (común):

0113 yx

Forma común: bmxy

Ahora que se identificó la forma común, se despeja la y de la ecuación dada:

113 xy

Se divide la ecuación en – 3:

3

11

33

3

xy

Resolviendo:

3

11

3

1 xy

Ecuación en su forma pendiente – ordenada al origen (común):

3

11x

3

1y

***Se utiliza la ecuación general de la recta y se identifica la forma simétrica o canónica

0113 yx

Forma simétrica o canónica 1b

y

a

x


58

Ahora que se identificó la forma simétrica, movemos o pasamos el término independiente a lado derecho de la ecuación:

11y3x

Dividimos a la ecuación entre el término independiente:

11

11

11

y3

11

x

Simplificamos la división:

1

3

11

y

1

11

x

Ecuación en su forma simétrica o canónica:

1

3

11

y

11

x



Objetivo: Aplicará las fórmulas de las formas de la ecuación de la recta y la graficará en el plano cartesiano.



5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de

sus pasos contribuye al alcance de un objetivo 5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.

Competencias disciplinar a desarrollar:


1.- Deduce la ecuación de la recta indicada en los siguientes problemas y grafíca.

1) Pasa por (2,-4), m = 2



59

2) Pasa por (5,3), m = - 4


3) Pasa por (2,2), m = - 3/4


4) P(2, - 7) y θ = 135°



60

2.- Halla la ecuación de la recta que tiene la pendiente dada y su intersección con el eje y como se

indica. Trazar las gráficas.

5) m = - 3/5, intersección con el eje y (- 3)

PROCEDIMIENTO GRÁFICA

6) m = 5/6, intersección con el eje y (-8/3)

PROCEDIMIENTO GRÁFICA

3.- Hallar la ecuación de la recta en su forma simétrica (canónica) y general, si sus intersecciones con

los ejes x y y son los que a continuación se presentan respectivamente. Realizar las gráficas.

7) – 5 y – 2



61

8) 3 y 1


9) −𝟓

𝟑 𝒚

𝟐

𝟑


4.- Hallar los puntos de intersección con los ejes coordenados (a) y (b) así como la pendiente ( m ) de las siguientes ecuaciones. Traza las gráficas (en HOJAS MILIMÉTRICAS).

10) 06y3x2


11) 024y8x3



62

5.- Transforma las ecuaciones de las rectas dada, en su forma pendiente – ordenada (común) y simétrica o canónica

12) 0 24-6y - 4x

General – Pendiente ordenada al origen General – Simétrica o Canónica

13) 0 5-2y 3x


14) 0y3x7


15) 06y3x4



63

CASO ESPECIAL:

DETERMINANCIÓN DE LAS TRES RECTAS PRINCIPALES DE UN TRIÁNGULO (MEDIANA, ALTURA Y MEDIATRIZ)

Ejemplo. Dado el triángulo 7) ,4 ( L ), 5 ,6 ( K ), 3 ,2- ( J , encontrar:

a) La ecuación de la mediana del lado JK

b) La ecuación de la altura, considerando como base el lado JK

c) La ecuación de la mediatriz del lado KL

d) La ecuación del lado LJ

a) Recuérdese que la mediana es la recta que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.

Entonces se determinan las coordenadas del punto medio del lado JK:

xm = 2

62 =

2

4 = 2 ym =

2

53 =

2

8 = 4

Por lo tanto las coordenadas del punto medio es: Pmjk (2 , 4)

En seguida se calcula la pendiente de la mediana pues ya sabemos que pasa por

Pmjk ( 2 , 4 ) y por L ( 4 , 7 ):

mJk = 24

47

=

2

3

Con este valor de m y usando cualquiera de los puntos, por ejemplo L, queda:

y – 7 = 2

3 ( x – 4)

12- 3x 14-2y

1412-2y- 3x 0

0 22y- 3x Ecuación de la mediana del lado .

b) La altura es perpendicular a la base y pasa por el vértice opuesto. Así, tenemos que encontrar la

ecuación de la recta por el punto L ( 4 , 7 ) y es perpendicular a la recta JK. Entonces se calcula la

pendiente del lado JK:

mJK = 26

35

=

8

2 =

4

1

La pendiente de la altura es recíproca y de signo contrario: maltura = - 4

Con este valor de m y usando el punto L, queda:

16 4x - 7 y -

)4 (x -4 = - 7 y -

alturala de ecuación0 = 23y - +4x

016-7-y4x

JK


64

c) La mediatriz pasa por el punto medio y es perpendicular a la base (lado). Para encontrar la ecuación de la mediatriz de KL se determina el punto medio:

xm = 2

46 =

2

10 = 5 ym =

2

75 =

2

12 = 6

Pm ( 5 , 6 )

Se calcula la pendiente de KL:

MKL = 64

57

=

2

2

= -1

La pendiente de la mediatriz es recíproca y de signo contrario: m = 1, Con este valor de m y usando el punto medio Pm, queda:

mediatriz la de ecuación0 = 1 +y x -

65-y-x0

5 x -= 6 y -

)5 x - ( 1= 6 y -

d) Para encontrar la ecuación del lado LJ se calcula su pendiente:

MLJ = 24

37

=

6

4 =

3

2

Y utilizando cualquier punto L o J, por ejemplo con el punto L (4 , 7 ), la ecuación es:

lado del ecuación0 = 13 + 3y 2x -

218-3y-2x0

8 = 2x - 213y -

4) x - ( 3

2= 7 y -

NOTA: De acuerdo a la clasificación de triángulos por medio de sus ángulos, están los:

𝒕𝒓𝒊á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐𝒔

{

𝑬𝑸𝑼𝑰𝑳𝑨𝑻𝑬𝑹𝑶:𝑨𝒄𝒖𝒕á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐

𝑰𝑺𝑶𝑺𝑪𝑬𝑳𝑬𝑺{

𝑨𝒄𝒖𝒕á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐𝑶𝒃𝒕𝒖𝒔á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐𝑹𝒆𝒄𝒕á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐

𝑬𝑺𝑪𝑨𝑳𝑬𝑵𝑶{

𝑨𝒄𝒖𝒕á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐𝑶𝒃𝒕𝒖𝒔á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐𝑹𝒆𝒄𝒕á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐

Esto quiere decir que por cada triángulo antes mencionado, podemos encontrar las tres rectas principales de un triángulo.


65

Nombre de los integrantes del equipo:

1.-

2.-

3.-

4.-

Grupo:


Objetivo: Determinar las ecuaciones de las tres rectas principales de un triángulo, utilizando las formas de la ecuación de la recta.

Competencias genéricas a desarrollar:



sus pasos contribuye al alcance de un objetivo

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 8.2. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.




Ejercicio 15. Determina lo que se te pide y realizar las gráficas en HOJAS MILIMÉTRICAS. 1.- Dado el triángulo A(6, 2), B(4, 7) y C(1,1), encuentra:

a) La ecuación de la mediana del lado .AB Respuesta: ________________________________

b) La ecuación de la altura, si se considera como base el lado .AB Respuesta: _________________

c) La ecuación de la mediatriz del lado .BC Respuesta: ________________________________


66

2.- Dado el triángulo A (-2, -3), B (5, 1) y C (0, 4), encuentra:

a) Determina la ecuación de cada mediana del triángulo

Respuesta: ________________________________

Respuesta: ________________________________

Respuesta: ________________________________

b) Determina la ecuación de cada altura del triángulo

Respuesta: ________________________________

Respuesta: ________________________________

Respuesta: ________________________________

c) Determina la ecuación de la mediatriz de cada lado del triángulo

Respuesta: ________________________________

Respuesta: ________________________________

Respuesta: ________________________________

2.2.5 Distancia de un punto a una recta.

La distancia de un punto P(x,y) a una recta l , se obtiene mediante la fórmula:

22 BA

CByAxd

Donde A, B y C son los coeficientes de la ecuación general de la recta l : Ax + By + C = 0

los valores de “x” y “y” son las coordenadas del punto P(x,y).

NOTA: Recuerda que las barras del numerador son de valor absoluto, por lo que la cantidad

negativa se considera como positiva.


67

Ejemplo. Hallar la distancia del punto P( –2, 3 ) a la recta l , 0843 yx .

Sustituyendo los datos: Donde A = 3, B = –4 y C = 8 estos valores son tomados de la recta l , ecuación

general de la recta es Ax + By + C = 0 y los valores de X = –2 e Y = 3 son las coordenadas del punto.

25

10

25

10

169

8126

)4()3(

8)3(4)2(3

22

d

Por lo tanto la distancia del punto a la recta l es 2.



Objetivo: Determinar la medida o distancia que se encuentra entre una recta y un punto dado.



1. Hallar la distancia del punto P( –2, 3 ) a la recta l 01232 yx .

2. Las coordenadas de un punto son P son (2, 6) y la ecuación de una recta l es 4x + 3y = 12. Hallar la

distancia del punto P a la recta l .


68

2.2.6 Condición de paralelismo y perpendicularidad.

1. Dos rectas que son paralelas: sus pendientes son iguales. Dos rectas, 1l y

2l , son paralelas sólo si

sus inclinaciones son idénticas; si las pendientes de las rectas son 1m y

2m , la condición de

paralelismo establece que 1m =

2m

Como 1l y

2l son paralelas, sus inclinaciones 1 y

2 son iguales, es decir, 1 =

2 y en consecuencia

tan 1 = tan

2 , por lo tanto 1m =

2m .

2. Rectas perpendiculares: Cuando dos rectas son perpendiculares, el ángulo que se forma entre ellas

es de 90°; es decir, dos rectas son perpendiculares entre sí cuando el producto de sus pendientes es igual a – 1, tenemos:

121 mm

Y da lugar a lo siguiente: Dos rectas son perpendiculares entre sí, cuando la pendiente de una de las rectas es recíproca y de signo contrario de la pendiente de la otra recta.

2

1

1

mm y/o

1

2

1

mm

Sean 1l y 2l dos rectas perpendiculares, la inclinación de una excede de la otra en 90°; es decir, en

cualquiera de los casos 1 =

2 + 90° o 2 =

1 +90°; por lo tanto:

Figura 21. Plano Cartesiano. Rectas Paralelas

Figura 22. Plano Cartesiano. Angulo entre dos rectas.


69

3. Toda recta perpendicular al eje x no tiene pendiente, es decir, la pendiente de una recta paralela al eje y no existe.

Dos rectas paralelas respectivamente a los ejes x y y , que son, por supuesto, perpendiculares, se

hace notar que la pendiente de la recta paralela al eje x es cero, pues que tan 0° = tan 180° = 0; en

tanto que la pendiente de la otra recta paralela al eje y es indefinida, puesto que tan 90° = .

Ejemplo. Demuestra que los puntos )4,3(A , )1,2( B y )1,4(C son los vértices de un triángulo

rectángulo.

En este ejercicio se cumple la condición que dos rectas perpendiculares, tienen pendientes recíprocas y de signo contrario

𝑚 =𝑦2 − 𝑦1𝑥2 − 𝑥1

𝑚𝐴𝐵 =−1 − 4

−2 − 3=−5

−5= +1

𝑚𝐵𝐶 =1 + 1

4 + 2=+2

+6=1

3

𝑚𝐴𝐶 =1 − 4

4 − 3=−3

+1= −3

Y queda demostrado que

𝑚𝐵𝐶 ⊥ 𝑚𝐴𝐶

Es decir, −3 es recíproca y de signo contrario a 1

3

Figura 23. Plano Cartesiano. Angulo entre dos rectas.

Figura 24. Plano Cartesiano.


70

Ejemplo. Encuentra las ecuaciones de las rectas que pasen a través del punto 3,2P y sean tanto

paralela como perpendicular a la recta que pasa por los puntos 2,16,1 ByA .

Solución: PARALELAS Datos: Sabemos que esta recta.

1. Pasa por el punto 3,2P

2. Es paralela a la recta que pasa por los puntos 2,16,1 ByA

Conclusión: Antes de usar una determinada forma de las ecuaciones de la recta, deberá obtenerse la

pendiente m del segmento de recta AB .

12

12

ABxx

yym

Una vez obtenida la m pendiente AB que es igual a la de la recta que pasa por el punto 3,2P se

selecciona la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente.

Forma punto-pendiente............... )xx(myy 11

Entonces:

1. Sustituimos las coordenadas de los puntos del AB en: 12

12

xx

yym

2. Sustituimos en:

)xx(myy 11 y se realizan las operaciones pertinentes:

)2x(23y

2x23y

4x23y

034yx2

3. Se reducen términos semejantes. 01yx2

Y se obtiene la ecuación de la recta en su forma general.

22

4

11

62m


71

Solución: PERPENDICULARES Datos: Sabemos que esta recta.

1. Pasa por el punto 3,2P

2. Es perpendicular a la recta que pasa por los puntos 2,16,1 ByA

Conclusión: Antes de usar una determinada forma de las ecuaciones de la recta, deberá obtenerse la pendiente m del segmento de recta AB .

12

12

ABxx

yym

Una vez obtenida la m pendiente AB que es recíproca y de signo contrario a la de la recta que pasa

por el punto 3,2P se selecciona la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente.

Forma punto-pendiente............... )xx(myy 11

1. Sustituimos las coordenadas de los puntos del AB en: 12

12

xx

yym

; 2

1m

2. Sustituimos en la forma: )( 11 xxmyy

)2(

2

13 xy

3. Se realizan las operaciones. 262 xy

0262 yx

4. Reduciendo términos. 082 yx Ecuación general.

22

4

11

62m

AB


72



Objetivo: Determinar con las condiciones de paralelismo y perpendicularidad si las figuras son lo que piden.




sus pasos contribuye al alcance de un objetivo



1.- Demuestra que los puntos son los vértices de un triángulo rectángulo. A (-5 , 3), B (-1 , -2), C (-1 , 3)

2.- Demostrar si los puntos siguientes son los vértices de un paralelogramo: A (1, 1), B (3, 5), C (11, 6) y D (9, 2)



73

3.- Encuentra la ecuación de la recta que pase a través del punto ) 3 ,5 ( P y es paralela a la recta

que pasa por los puntos ). 4 ,3 - ( By ) 2 - ,5 ( A

4.- Encuentra la ecuación de la recta que pase a través del punto ,4 ( P y es perpendicular a la

recta que pasa por los puntos ). 8 ,6 ( By ) 4 ,2 - ( A


74

2.2.7 Aplicación en problemas reales.

Una situación simple relativa a compras en una tienda departamental, puede ser modelada por una forma de la ecuación de la recta.

A continuación, se presentan ejemplos con situaciones que pueden aparecer en tu vida cotidiana:

Ejemplo. Se han comprado tres faldas del mismo precio, por las que se han pagado con un billete de $500.00 y la cajera ha dado $21.00 de cambio. ¿Cuál es el precio de cada falda? Para poder modelar esta compra, se necesita, conocer los datos, los cuales estarán representados por letras: f para las faldas, g para el cambio y h para los $500.00.

Si el planteamiento dice que compraron 3 faldas serian: 3f y si dio la cajera $21.00 de cambio, así que

la parte izquierda de la ecuación seria:

g3f

Si las 3 faldas y el cambio en total son $500.00, la ecuación quedaría:

hg3f

A esta ecuación solo queda sustituirle los valores para conocer el precio de las faldas:

66.159f

3

479f

21-5003f

500213f

Así que el precio de cada falda es de $159.66 Ejemplo. Por la temporada de rebajas de una tienda departamental, en la oferta una cliente ha comprado blusas y pantalones por las que en caja pago $1000.00 y le devolvieron $76.25. Si el precio de cada blusa es de $78.00, el de cada pantalón es de $106.75, y se han comprado 5 blusas, ¿Cuántos pantalones se compraron? Para modelar esta compra representamos por x al precio de las blusas, por y al de los pantalones y

por C al cambio que se da como vuelto de los $1000.00.

Así que la ecuación que podemos utilizar es:

1000.00 CByAx

En la ecuación A es el número de blusas igual compradas y B el número de pantalones iguales comprados. Si el precio de cada blusa es de $78.00 y de los pantalones de $106.75, la ecuación quedaría:


75

Esto indica que fueron 5 pantalones comprados.

Ejemplo. En una academia de lenguas, la colegiatura es de $250.00 al mes, y la inscripción de $1500.00. No siempre fue así. El siguiente cuadro muestra la variación de colegiaturas e inscripciones:

Colegiaturas $500.00 $400.00 $350.00 $300.00 $250.00

Inscripción $1,000.00 $1,250.00 $1,500.00

Con estos datos, ¿Cuál será el monto de la inscripción cuando la colegiatura aumente a $400 y a $500?

Llevados estos datos al plano cartesiano y manejando las parejas ordenadas de valores en columna

tenemos que las parejas yx, como 250,1500 y 300,1250 podemos determinar la pendiente, la

ordenada al origen y dar la ecuación de la recta que modela el enunciado del problema. Así que la pendiente es:

5m

50

250m

250300

15001250

xx

yym

12

12

Por otro lado:

2750yx5

15001250yx5

1250x51500y

250x51500y

xxmyy 11

Para buscar los valores de las inscripciones correspondientes a las colegiaturas de $400 y $500, se sustituyen en la ecuación obtenida:

100076.25B(106.75)5(78)

1000CBy5x

1000 CByAx

100076.25106.75B390

5B

106.75

533.75B

533.75106.75B

466.25-1000106.75B

1000466.25106.75B


76

x52750y

2750yx5

Para la colegiatura de $400 tenemos:

750y

20002750y

40052750y

x52750y

En la colegiatura de $400.00, se paga una inscripción de $750.0 Para la colegiatura de $500 tenemos:

250y

25002750y

50052750y

x52750y

En la colegiatura de $500.00, se paga una inscripción de $250.00


77

ACTIVIDADES II – 1. Resuelve en hojas en blanco y grafica en HOJAS MILIMÉTRICAS.


1.-

2.-

3.-

4.-

Grupo:

Objetivo: Fecha:

Aplicará los conocimientos obtenidos en la tercera parte de la segunda secuencia, con ejercicios con un grado de complejidad superior a los vistos en clase.



5.- Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo

8.-Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 8.2Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo





1.- El precio de cada lata con sopa de lentejas es de $6.50, y el de la sopa de hongos $8.50. Se deben

comprar todas las que se puedan con $100.00, sin que haya cambio. ¿Cuántas es posible comprar de

cada tipo?

2.- Un móvil se desplaza con una velocidad constante de h/km75 .

a. ¿A qué distancia se encuentra del punto de partida después de 34 min de haberse puesto

en movimiento?

b. Haz una tabla de valores para el desarrollo de este movimiento


78

c. Haz una gráfica en la que se muestre que es una recta la que expresa el desarrollo de

este movimiento.

d. Di cuál es la ecuación que lo expresa.

3.- Representa en el plano cartesiano a la recta definida por las parejas ordenadas (puntos) de la

tabla. Da la pendiente y la ecuación de esa recta.

x 3 6

4

3

9 -3

y 2 4

2

1

6 -2

4.- Recuerda que la velocidad media de un móvil es el cociente de la distancia total recorrida entre el

tiempo empleado en el recorrido.

Un automóvil recorre los 315 km que aproximadamente hay entre la Ciudad de México a la Ciudad de

Jalapa en 2 horas y media.

a) ¿Cuál es la velocidad media a la que se hizo el recorrido?

b) ¿Qué expresión algebraica representa esta situación?

c) Haz una gráfica que represente el enunciado del problema cada 50 km?

d) ¿A qué distancia estaría de la Ciudad de Jalapa a los 90 min de haber salido?

e) Si se han recorrido 125 km, ¿cuál es el tiempo estimado que se ha empleado?


79

ACTIVIDADES II – 2. RESUELVE EN HOJAS EN BLANCO Y GRAFICA EN HOJA MILIMÉTRICA.


1.-

2.-

3.-

4.-

Grupo:

Fecha:

Objetivo: Aplicará los conocimientos obtenidos en la segunda secuencia, con ejercicios con un grado de complejidad superior a los vistos en clase.



5.- Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 5.1.- Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo 5.2.- Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.

8.-Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 8.3. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.

8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.





1.- Una recta pasa por los puntos 2) -, I(-2e )4 , 1 ( H y corta al eje y en 0,2) B( . Dar su

expresión algebraica (ecuación). Respuesta: ________________________________

2.- Deduce las ecuaciones de cada uno de los lados del triángulo, cuyos vértices están en

) 2- ,1- ( Cy ) 0 ,3 ( B ), 4 ,1 A(

Respuesta: ________________________________


80

3.- Calcula el área de los triángulos cuyos vértices son los puntos que a continuación se te presenta,

usando la fórmula de área: 2

h*bA .

a) 4) C(0,y 1) B(5, 3),- A(-2, b) 1) C(1,y 7) B(4, 2), A(6,

Respuesta: ________________________ Respuesta: ________________________

4.- Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es 3

7- y que pasa por el punto de intersección de las

rectas 0 9-5y - 11xy 0 45 -y- 13x ; escribirla en la forma general y común.

Respuesta: ________________________________

Respuesta: ________________________________

5.- Demostrar, por medio de pendientes, que los puntos A (3, -6), B (11, -5), C (9, 2) y D (1, 1) son vértices de un paralelogramo.

Respuesta: ________________________

6.- Demuestra que los puntos )4,2(A , )3,7(B , )2,6( C y )1,1( D son vértices de un cuadrado y que sus

diagonales son perpendiculares y se dividen mutuamente en partes iguales

Respuesta: ________________________

7.- Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto ) 2 - ,3 ( P y es paralela a la recta 0. 5-3y 2x

Respuesta: ________________________


81

8.- Halla la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta 0 15-3y - 5x y que pasa por el punto

2). A(-3,

Respuesta: ________________________

9.- Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas 0 2 3y -xy 0 4-6y 5x y que es paralela a la recta 0 7 y 4x

Respuesta: ________________________

10.- Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas0 2-y - 3xy 0 5-3y 2x , y que es perpendicular a la recta 0 7-y 4x .

Respuesta: ________________________

11.- Una recta pasa por el punto 2). Q(-3, y es paralela a otra recta que tiene una pendiente 2m .

¿Cuál es la ecuación de esa recta?

Respuesta: ________________________

12.- Dos rectas son perpendiculares: una pasa por el punto 2).- R(-7, y la otra tiene una pendiente

3

4m . ¿Cuál es la ecuación que representa a la primera recta?

Respuesta: ________________________


82



Instrumento de evaluación: Lista de cotejo Tipo de evaluación: Coevaluación




Semestre: 3 Grupo:

Número de

secuencia: 2/3

Porcentaje:

5%

Bloque: II.- Ecuación de la Recta. Evidencia: Cuaderno de trabajo (Individual)



Competencia disciplinar: 1.- Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

Nombre del Alumno:

Indicadores

Cumple

Observaciones

Si No








Rango Calificación



De 2 a 1 2% a 1% El estudiante no ha desarrollado las competencias. Asesoría semanal


Fecha:


83







Semestre: 3 Grupo: Número de secuencia: 2/3 Porcentaje: 5%

Bloque: II.- Ecuación de la Recta. Evidencia: Cuaderno de trabajo (Equipo)



Competencia disciplinar: 1.- Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.


Indicadores Cumple

Observaciones Si No









Rango Calificación



De 2 a 1 2 a 1% El estudiante no ha desarrollado loas competencias. Asesoría semanal


Fecha:


84

TERCERA SECUENCIA DIDACTICA BLOQUE III: Las Ecuaciones de las Cónicas

Propósito de la secuencia didáctica Analiza la relación no lineal entre dos variables de manera geométrica y analítica, con el fin de deducir las ecuaciones de las curvas cónicas; de acuerdo a las características que las describen.

CONTENIDOS DE LA SECUENCIA DE APRENDIZAJE

DECLARATIVOS PROCEDIMENTALES ACTITUDINALES

Describe el concepto de los lugares geométricos de las figuras conocidas como cónicas y los algoritmos necesarios para encontrar sus ecuaciones. Identifica las figuras (cónicas) que se forman, de la intersección entre un cono y un plano. Identifica la ecuación de los lugares geométricos (cónicas), y lo relaciona con su posición en el plano cartesiano. Identifica la ecuación del lugar geométrico, y lo relaciona con su gráfica. Relaciona el concepto de los lugares geométricos llamados cónicas, con su concepto analítico.

Obtiene los elementos de las curvas cónicas (parábola, circunferencia, elipse, hipérbola), a partir de su ecuación. Usa los elementos de las curvas cónicas (parábola, circunferencia, elipse, hipérbola), para trazar su gráfica; de manera manual y con apoyo de un software. Aplica el método adecuado, para transformar la ecuación de una curva cónica (parábola, circunferencia, elipse, hipérbola), de su forma ordinaria a su forma general y viceversa. Aplica la modelación matemática en cada una de las curvas cónicas (parábola, circunferencia, elipse), para resolver problemas de su entorno.

Valora la importancia de la geometría analítica, para la modelación de problemas de su entorno, de manera analítica y gráfica. Valora el trabajo colaborativo.

Presta atención a las explicaciones del profesor, dentro y fuera del salón de clases. Actúa de manera positiva para realizar las actividades planteadas en el programa de la UAC. Participa de manera activa en clase, realizando sus ejercicios, preguntando, exponiendo. .

CRITERIOS DE EVALUACION 2DA. SECEUNCIA DIDACTICA

CRITERIOS DE EVALUACION Evidencia Porcentaje

Manual de Prácticas 6%


Examen escrito. 10%

Antología Comentada y actividad transversal 6%

TOTAL: 30%


85








EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA. Este ejercicio tiene la intención de conocer cuál es el nivel de

conocimientos que tienes al comenzar el estudio del bloque II. Le permite a tu maestro tener información relevante para dirigir la adquisición de los conocimientos que se presentan en

este primer bloque. Contesta lo que se te pide. | 1.- ¿Es la distancia que existe entre dos puntos de una circunferencia, tales que uno de ellos es un punto fijo llamado centro y el otro es parte de la circunferencia? 2.- ¿Es la recta que paso o toca en un punto de la circunferencia? 3.- ¿Cómo es la forma de nuestro Planeta Tierra? 4.- Resuelve el siguiente producto notable: (3𝑥 − 2𝑦)2


86

5.- Resuelve la siguiente expresión algebraica: (𝑥−3)

2+(𝑦−1)

4= 1

6.- ¿Qué forma tiene La laguna de Términos, en Ciudad del Carmen? 7.- Menciona algunos ejemplos, cosas, objetos o construcciones en donde se aprecie la cónica llamada elipse


87

3.1. ECUACIONES DE LA PARÁBOLA.

Ecuación de la parábola como lugar geométrico.

Definimos la parábola como el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano, de tal manera

que está siempre a la misma distancia (equidistan) de un punto fijo llamado foco y a una recta fija

llamada directriz (dicha distancia debe medirse perpendicularmente), situados tanto el foco como la

directriz en el mismo plano de la parábola.

Antes de comenzar con la determinación de la ecuación de la parábola, es necesario conocer Los

elementos característicos de una parábola, que se presentan a continuación:

Vértice Punto de la parábola simbolizado por la letra “V” y que encuentra en el punto medio

entre el foco y la directriz.

Foco Punto de la parábola simbolizado por la letra “F” y se encuentra sobre el eje.

Lado recto Recta perpendicular al eje de la parábola que pasa por el foco

Directriz Recta perpendicular al eje de la parábola, a igual distancia del vértice que del foco.

VFp La distancia del segmento del vértice al foco se simboliza con la letra “p”

Radio focal o vector Distancia que hay entre el foco de una parábola y cualquier punto de la misma.

Cuerda Recta formada por los puntos B y B’.

Cuerda Focal Recta formada por los puntos C y C’.


88

Ejemplo. Halla la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera

que está siempre a la misma distancia del punto F(6, 0) que del eje de las .y

SOLUCIÓN: Datos del problema. ),0(),0,6(),,( yGFyxP

Condición: PGPF dd

Utilizando distancia entre dos puntos.

22)0(6 yxdPF 22

)(0 yyxdPG

Igualando: ( PGPF dd ) y elevando ambos miembros al cuadrado y resolviendo.

PGPF dd

22)0(6 yx = 22

)(0 yyx

222 )0y(6x = 222

)yy(0x

222

x y36x12x

Reduciendo términos y ordenando.

036x12y2

Parábola horizontal, abriéndose hacia la derecha.


89

Ecuación de la parábola con vértice en: V (h, k).

Las parábolas tienen como punto principal al vértice, el cual puede estar situado en el origen o fuera del origen. Para ambas se tomará una sola forma ordinaria la cual se demuestra a continuación.

Si Consideremos la parábola de vértice fuera del origen, con su eje horizontal, tenemos:

Por definición:

|𝑭𝑷̅̅ ̅̅ | = |𝑷𝑨̅̅ ̅̅ |

√(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 = |𝑥 − 𝑥1|

√(𝑥 − (ℎ + 𝑝))2+ (𝑦 − 𝑘)2 = |𝑥 − (ℎ − 𝑝)|

(𝑥 − (ℎ + 𝑝))2+ (𝑦 − 𝑘)2 = [(𝑥 − (ℎ − 𝑝))]

2

𝑥2 − 2ℎ𝑥 − 2𝑝𝑥 + ℎ2 + 2ℎ𝑝 + 𝑝2 + 𝑦2 − 2𝑘𝑦 + 𝑘2 = 𝑥2 − 2ℎ𝑥 + 2𝑝𝑥 + ℎ2 − 2ℎ𝑝 + 𝑝2

−2𝑝𝑥 + 2ℎ𝑝 + 𝑦2 − 2𝑘𝑦 + 𝑘2 = +2𝑝𝑥 − 2ℎ𝑝

+𝑦2 − 2𝑘𝑦 + 𝑘2 = +2𝑝𝑥 − 2ℎ𝑝 + 2𝑝𝑥 − 2ℎ𝑝

𝑦2 − 2𝑘𝑦 + 𝑘2 = 4𝑝𝑥 − 4𝑝ℎ

(𝒚 − 𝒌)𝟐 = 𝟒𝒑(𝒙 − 𝒉)

Forma ordinaria de la ecuación de la parábola horizontal.

En forma análoga, si consideremos la parábola de vértice fuera del origen con su eje vertical, la ecuación ordinaria vertical queda definida por:

(𝒙 − 𝒉)𝟐 = 𝟒𝒑(𝒚 − 𝒌)

P (x , y)

F V


90

Los parámetros de cada uno de los elementos de la parábola con vértice (h , k) son:

Parábola Eje horizontal Eje vertical

Ecuación Ordinaria

)(42

hxpky )(4)( 2 kyphx

Ecuación General

02 FEyDxy 02 FEyDxx

Parábola Eje horizontal Eje vertical

Vértices

),( khV ),( khV

Focos

),( kphF ),( pkhF

Directriz

phx pky

Lado recto

plr 4 plr 4

Eje de la parábola y = k x =h


91

Ejemplo.-Halla la ecuación de la parábola en su forma General de vértice 0,0V y foco 0,4F .

SOLUCION. Por los datos sabemos qué:

Las coordenadas del foco son 0,4F

El foco está sobre el eje “x” pues la ordenada es cero.

La parábola es horizontal, pxy 42

Las coordenadas del vértice son 0,0V

La ecuación que se buscara de esta parábola será de la forma:

pxy 42

Como el valor de “p” es la distancia del vértice al foco tenemos:

VF XXVFp

Sustituimos las coordenadas (abscisa) de los puntos:

04 pVF

4p

Se sustituye este valor en la ecuación de la parábola:

pxy 42

xy 442

xy 162

Y se obtiene la ecuación pedida es:

0x16y2

Parábola horizontal abriéndose a la derecha.

V (0, 0)

A (4, 8)

A´ (4, - 8)

F (4, 0)

LR = 16

Para una Graficación más exacta, se necesita buscar las parejas ordenadas, por medio de la tabulación. Despejando la ecuación: Los valores de x se asignan de acuerdo con la posición de la Parábola.

𝑦2 − 16𝑥 = 0 𝑦2 = 16𝑥

√𝑦2 = ξ16𝑥

𝑦 = ±ξ16𝑥

x y

0 0

1 ±ξ16 = ±4

2 ±ξ32 = ±5.65

3 ±ξ48 = ±6.92

4 ±ξ64 = ±8

5 ±ξ80 = ±8.94

6 ±ξ96 = ±9.97


92

Ejemplo.- Halla la ecuación de la parábola con vértice en 3,2V y foco 3,7F

SOLUCION: Al observar los datos sabemos que:

Tanto el vértice como el foco tienen la misma ordenada.

Es una parábola horizontal.

Se abre hacia la derecha porque VFp se mide hacia la derecha positivamente

La ecuación que se busca de la parábola será de la forma:

)(42

hxpky

Se conocen los valores de las coordenadas del vértice h y k:

2 hxv3 kyv

Como el valor de “p” es la distancia del vértice al foco tenemos:

VF XXVF

Sustituimos las coordenadas (abscisa) de los puntos:

27 pVF

5p

Se sustituye estos valores en la ecuación de la parábola:

)(42

hxpky

)2)(5(4)3( 2 xy

Y se obtiene la ecuación en forma ordinaria:

)2(20)3( 2 xy Se desarrolla el binomio al cuadrado y efectuamos la multiplicación:

)2(20962 xyy

4020962 xyy

Se ordena y se iguala a cero, obteniéndose la Ec. General:

049y6x20y2

Nota: Si deseamos trazar la gráfica de esta parábola, puedes hacer una tabla de valores. Se calculan los elementos básicos de la parábola usamos la tabla antes mencionados.


93

Ecuación la parábola en forma general

Si Desarrollamos la forma ordinaria de la ecuación de la Parábola Vertical, tenemos:

)ky(phx 42

pk4py4hhx2x 22

0pk4hhx2py4x 22

0pk4hpy4hx2x22

Forma general de la ecuación de la parábola vertical:

02 FEyDxx

donde: h2D p4E pk4hF 2

En forma análoga, desarrollando la forma ordinaria de la ecuación de la Parábola Horizontal.

)(42

hxpky

ph4px4kky2y 22

0ph4kky2px4y22

Forma general de la ecuación de la parábola horizontal:

02 FEyDxy

donde : k2E px4D phkF 42

Ejemplo.- Encuentra los elementos de la parábola 041862 yxx

SOLUCION. Por la ecuación dada sabemos que:

Es una parábola vertical porque la variable “x” es la de segundo grado.

Tenemos que transformar la ecuación a su forma ordinaria. De la Ec, en su forma ordinaria obtenemos los parámetros de los que están formados los elementos y así determinarlos. La ecuación de la parábola dada es:

041862 yxx


94

Para transformar la ecuación se agrupan en ambos lados del signo de igualdad los términos. En el primer miembro los términos de variables semejantes y en el segundo miembro los demás término:

41862 yxx

En el primer miembro completamos un trinomio cuadrado perfecto (el valor que se agrega para formar el trinomio cuadrado perfecto, se incluye en el segundo miembro para que la ecuación no se altere):

41862 yxx

9)3(32

6 2

9418962 yxx

Factorizamos el trinomio en el primer miembro:

328)3( 2 yx

Factorizamos el binomio en el segundo miembro:

)4(8)3( 2 yx

Y se a obtenido la ecuación en su forma ordinaria y las coordenadas del centro Son:

C (h , k) 43; kh

Buscando el valor de “ p “:

4p = - 8 así p = - 2 Para encontrar los elementos de la parábola sustituye en cada elemento los valores correspondientes.

Eje vertical Sustituye

Ecuación General 02 FEyDxx 041862 yxx

Ecuación Ordinaria )(4)( 2 kyphx )4(8)3( 2 yx

Vértices ),( khV )4,3( V

Focos ),( pkhF )24,3( F )6,3( F

Directriz pky 2242)(4y

2y y/o 02y

Lado recto

pLr 4 8)2(4 lr ulr 8


95

Ejemplo.- Encuentra todo los elementos de la parábola cuya ecuación es: .122 xy

SOLUCIÓN: 𝑦2 = 12𝑥

𝑦2 + 0𝑦 = 12𝑥

𝑜

2= 0 ∴ (0)2 = 0

𝑦2 + 0𝑦 + 0 = 12𝑥 + 0

(𝑦 + 0)2 = 12(𝑥 + 0)

En la Ecuación es C (h , k) 0k;0h y por lo tanto 4p = 12 ;

3p4

12p

Una vez encontrado el valor de p, podemos encontrar los elementos faltantes:

PARABOLA Eje Vertical Sustitución Elemento Queda

Ecuación de la Parábola

)(42

hxpky

x12y2

xy2 12

Vértices

),( khV

0

0

ky

hx

v

v

),(V 00

Focos

),( kphF

0ky

330phx

v

f

),(F 03

Ec. de la Directriz

phx 30x 3x

Lado recto plr 4

12lr )3(4p4 124 p

Segmento VF

y = k VFp VF 0 3 3VFp

A (3, 6)

A´ (3, - 6)

F (3, 0)

V (0, 0)

Dir: x = -3

Eje de la parábola: y = 0


96



Objetivo: Encontrará la ecuación de la parábola utilizando diferentes formas de ecuaciones.



5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo 5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.




1.- Resuelve los siguientes problemas en hojas blancas y realiza la gráfica en HOJAS MILIMÉTRICAS. 1. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que está

siempre a la misma distancia del punto A ( 5 , 4 ) que del eje de las x .

2. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que está

siempre la misma distancia del punto K ( - 8 , 0 ) que del eje .y

3. Un punto se mueve de tal manera que su distancia del eje y es siempre igual a su distancia del

punto A (4, 0). Hallar la ecuación de su lugar geométrico.

2.- Encuentra en los siguientes ejercicios la ecuación en forma ordinara y general, así como las gráficas en HOJAS MILIMÉTRICAS. 4. Vértice en el origen y con foco en 8,0F

5. Vértice en el origen y con foco en 4,0F .

6. Vértice V (2, 5), y foco F (-1, 5) 7. Vértice V (-3, -1) y Foco F (-3, 1) 8. Vértice V (0, -1) y Foco F (3, -1)


97

3.-Dada la ecuación de la parábola, encuentra los elementos que faltan para poder trazarla en HOJAS MILIMÉTRICAS 9. .x8y

2

10. x2 + 12y = 0 11. x2 – 12x + 4y + 12 = 0 12. y2 – 2y – 4x – 11 = 0 13. y2 – 6y – 8x = 23 4.- Encuentra la ecuación general de la parábola, así como los elementos cuya ecuación es:

a) )1x(165y

2

b)

)4y(203x2

c) )4x(323y

2

d)

)4y(242x2


98

3.2 ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA.

Ecuación de la circunferencia como lugar geométrico:

Geométricamente, la circunferencia es una curva plana y cerrada cuyos puntos equidistan de

otro punto fijo interior llamado centro; se denomina radio a los segmentos que unen al centro con

cualquier punto de la curva.

Analíticamente, se representa por una ecuación de segundo grado con dos variables; sin

embargo, no toda ecuación cuadrática da lugar a una circunferencia, sólo bajo determinadas

condiciones. Una circunferencia queda perfectamente determinada si se conocen su centro y la

longitud de su radio.

Definiremos a la Circunferencia como lugar geométrica, la cual es: el lugar geométrico de los

puntos P(x, y) que se mueven de tal manera que siempre se encuentran a una distancia constante

(radio) de un punto fijo (centro) en el plano.

Ejemplo.- Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos que se mueven de tal manera que siempre se encuentran a 4 unidades del punto fijo C (2, –3).

SOLUCIÓN: Por definición sabemos que se trata de una circunferencia, si la distancia siempre es constante entonces podemos establecer lo siguiente a partir de la fórmula de la distancia entre dos puntos

2

12

2

1221 )()( yyxxPP

si la distancia es constante entonces tenemos que

4PC

4)3()2( 2

2

2

2 yx

elevando al cuadrado ambas partes de la igualdad, y desarrollando los binomios al cuadrado:

222

2

2

2 )4())3()2(( yx

169644 22 yyxx

016136422 yxyx

036422 yxyx

y lo que obtenemos es una ecuación de 2º grado por lo que estamos hablando de una circunferencia ya que las variables al cuadrado tiene el mismo coeficiente y están separados por un signo positivo.


99

Ejemplo.- Halla la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que la suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos A (2, 3) y B(6, 7) es igual a 100. SOLUCIÓN: Dato: 100)7,6(),3,2(),,( dyBAyxP

Condiciones: 100)()( 22 PBPA dd

Utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos:

)7()6(

)3()2(

2

2

yxd

yxd

PB

PA

Aplicando la condición.

100))7()6(())3()2(( 2222 yxyx

Suprimiendo radical y resolviendo:

100491436129644 2222 yyxxyyxx

Reduciendo términos:

02201622 22 yxyx

Dividiendo entre dos: 0110822 yxyx

y lo que obtenemos es una ecuación de 2º grado por lo que estamos hablando de una circunferencia ya que las variables al cuadrado tiene el mismo coeficiente y están separados por un signo positivo.

Ecuación de la circunferencia con centro en: C (h , k)

La circunferencia con centro en el punto C (h, k) que se ubica en cualquier lugar del plano coordenado y que tiene como radio la constante ,r se representa por la ecuación en Forma ordinaria.

Definiremos que radio es la distancia el punto P al centro de la circunferencia C, para demostrar la forma ordinaria de la circunferencia:

2

12

2

12 )yy()xx(CP

22)ky()hx(r

2222)ky()hx(r

222)ky()hx(r

222r)ky()hx(

x

P(x,y)

C (h,k)

r

y


100

Ejemplo.- Halla la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto C (5, 1) y cuyo radio es igual a 3.

Procedimientos:

222)() rkyhx

Se sustituye las coordenadas del centro y la longitud del radio en la fórmula:

2223)1()5 yx

La ecuación resultante en Forma Ordinaria es: 9)1y(5x22

Desarrollando los binomios y trasladando el término del lado derecho al lado izquierdo:

𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟓 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒚 + 𝟏 − 𝟗 = 𝟎 Reduciendo términos semejante, la ecuación resultante en Forma General es:

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟏𝟕 = 𝟎

Ejemplo.- Encuentra la ecuación de la circunferencia cuyo centro se halle en el origen y que pase por el punto A (3, 4).

Datos:

Circunferencia con centro: C (5, 1).

Con Radio: r = 3.

Formula:

222)() rkyhx

Datos: Circunferencia con

centro en el origen. P. ( h ,k ) o sea h = 0 y k = 0

Pasa por el punto dado: A (3, 4).

Formula:

222)() rkyhx

Procedimientos: Se calcula el radio sustituyendo

el punto dado en la formula.

222r)0y()0x

222r)04()03

222r)4()3(

Se resuelve las potencias. 9 + 16 = r2 Se resuelve la operación

resultante.

25 = r2 r = 5 Se sustituye el radio en la

formula.

2225)0y(0x

222 5 yx

025yx22


101

Ejemplo.- Determina la ecuación de la circunferencia de radio 3 unidades y su centro es el punto de intersección de las rectas 052 yx y 0123 yx .

SOLUCIÓN: Este ejercicio lo podemos resolver utilizando un sistema de ecuaciones simultaneas, con ello

obtenemos el valor de x y de y respectivamente, que serían h y k respectivamente, que son las

coordenadas del centro de la circunferencia pedida, y como ya tenemos el radio procedemos a sustituir

en la fórmula.

Por lo tanto las coordenadas del centro en C (1, -2), y el radio de 3u. Sustituimos en la ecuación:

222rkyhx

222)3(21 yx

92122 yx

94412 22 yyxx

044222 yxyx

Entonces eliminando a la variable

“y” sumando términos semejantes.

0123

052

yx

yx

044 x

44 x

4

4x 1x

Sustituyendo el valor de x en cualquiera de las dos

ecuaciones obtenemos el valor de “ y”

052)1( y

42

042

y

y

2

4

y 2y


102

Ecuación general de la circunferencia.

La ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria es:

.)()( 222 rkyhx

Si se desarrollan los binomios cuadráticos del primer miembro, e igualar a cero la ecuación, obtenemos:

022 22222 rkhkyhxyx ,

Si establecemos las siguientes igualdades:

D = -2h, E = -2k F = h2 + k2 – r2, tenemos:

022 FEyDxyx

Ejemplo.- Encuentra el centro y radio de la circunferencia dada Ec. .01012822 22 yxyx

Ecuación de la circunferencia. .01012822 22 yxyx

Dividiendo entre dos toda la ecuación. .056422 yxyx

Ordenando la ecuación. .5)y6y()x4x( 22

Para a completando los trinomios cuadrados

perfectos. 4)2(2

2

4 2 9)3(32

6 2

A completando el trinomio.

.945)96()44( 22 yyxx Factorizando.

18)3()2( 22 yx

Quedo de la forma: 222 )()( rkyhx

Determinando el centro. )3,2(C

Determinando el radio. 222 u23ryu18r


103



Objetivo: Encontrará la ecuación de la circunferencia utilizando diferentes formas de ecuaciones






2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques

1.- Resuelve los siguientes ejercicios en hojas blancas y traza las gráficas en HOJAS MILIMÉTRICAS. 1. Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos que están a 2 unidades del origen de las

coordenadas. 2. Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos que se mueven de tal manera que siempre se

encuentran a 6 unidades del punto fijo L (3, –1). 3. Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos que se mueven de tal manera que siempre se

encuentran a 8 unidades del punto fijo C (0, –3). 4. Halla la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que está a 6

unidades de distancia del punto C ( -2 , 3 ). 5. Halla la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que la suma de los

cuadrados de sus distancias a los puntos A ( -1 , -2 ) y B ( 3 , 1 ) es igual a 25.


104

2.- Resuelve los ejercicios en los espacios indicados y traza las gráficas en HOJAS MILIMETRICAS.

Encuentra la ecuación ordinaria y general de cada una de las circunferencias de acuerdo con los

siguientes datos:

6. C ( 0 , 0) r = 7.

7. C ( 0 , 0) r = 3.

8. C ( 4 , 2 ) y r = 3

9. C ( - 1 , - 3 ) y r = 7

10. C ( 0 , 0) y pasa por 5 , 4 P

11. C ( 0 , 0) y pasa por 3,5P

3.- Resuelve los ejercicios en los espacios indicados y traza las gráficas en HOJAS MILIMETRICAS.

12. Halla la ecuación de la circunferencia de radio 5 unidades y cuyo centro es el punto de intersección

de las rectas 02423 yx y 0972 yx .

13. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A(7, –5)y cuyo centro es el punto de

intersección de las rectas 01097 yx con la recta 0252 yx

4.- Encuentra el centro y radio de la circunferencia en cada ecuación y traza las gráficas en HOJAS MILIMETRICAS.

14. .029y6x8yx22

15. .011y8x6yx22


105

ACTIVIDADES III – 1. Resuelve en hojas blanca y traza las GRAFICAS EN HOJA MILIMÉTRICA.


1.-

2.-

3.-

4.-

Grupo:

Fecha:

Objetivo: Aplicará los conocimientos obtenidos en la tercera secuencia, con ejercicios con un grado de complejidad superior a los vistos en clase.



5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.




5.- Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento

1. Determina la ecuación de la parábola con vértice en el origen y que tiene como directriz la recta dada:

a) x -5 = 0

b) y = 5

2. Encuentra la ecuación de la parábola que tiene su vértice en

a) V (5, 4) Directriz x = 7.

b) V (3, 1), Directriz: y = 3.

3. Encuentra la ecuación de la parábola con foco F (-2, -1), directriz y = 5.


106

4. Una antena de microondas se encuentra colocada en lo alto de una torre de 30m de altura, punto donde se encuentra ubicado el vértice de su sección parabólico. La antena tiene un radio de 1m, su eje es paralelo al suelo y el dispositivo emisor/receptor (foco) se localiza a 50 cm a la

izquierda del vértice de la sección parabólica. Si se considera que al nivel del suelo se ubica la ordenada 0 y 3m a la derecha de la torre se ubica la abscisa 0, ¿Cuál es la ecuación que caracteriza la sección parabólica de la antena?, ¿Cuáles son las coordenadas de su vértice?, ¿Cuáles son las coordenadas del foco?, ¿Cuál es la ecuación de la directriz?, ¿Cuál es la ecuación de su eje de simetría?, ¿Hacia dónde abre la parábola?

5. Determinar las ecuaciones de las circunferencias de las monedas de uso en México, tomando

en cuenta que el centro de las circunferencias está en el punto 𝑪 (−𝟐

𝟓,𝟏

𝟓).

6. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos L(1, -4) y M(5, 2) y tiene su

centro en la recta 09y2x

7. Encuentra en la forma ordinaria y en la forma general la ecuación de la circunferencia que pasa

por los puntos A (3, 2) y B (7, 8), si la recta x – y – 5 = 0 pasa por el centro de la circunferencia.

8. Si la recta cuya ecuación es 5x + 2y – 8 = 0 pasa por el centro de una circunferencia y tenemos

los puntos J (1, -2) y K (5, 0) que pertenecen a la circunferencia, encuentra la ecuación de esa

circunferencia en la forma ordinaria y en la forma general.

9. Encuentra la ecuación de la circunferencia si se conoce su centro la recta tangente a la

circunferencia.

a) 014y2x;50,0C b) C (4, -3) y 3x – 2y – 5 = 0


107

3.3 ECUACIONES DE LA ELIPSE.

Ecuación de la elipse como lugar geométrico:

Elipse: Es el lugar geométrico de los puntos P(x, y) que se mueven de tal manera que la suma de las distancias a dos puntos fijos en el plano es siempre igual a una constante, 2a. (esta constante es la distancia que hay entre los vértices). Antes de comenzar con la determinación de la ecuación de la elipse es necesario conocer Los elementos característicos de una elipse, que se presentan a continuación: Focos. Son los puntos fijos a que alude la definición de elipse (F y F´).

Eje focal. Recta que pasa por los focos,

2c. Longitud del segmento que une los focos .´FF .

Centro. El punto medio del segmento de recta que une los focos (c) y a los vértices (a)

Vértices. Intersecciones en el segmento de recta que contiene al centro y los focos,

Eje mayor. Segmento de recta cuyos extremos son los vértices de la elipse.

2a: Longitud del eje mayor .´VV

Eje menor. Segmento de recta perpendicular al eje mayor en el centro de la elipse. .´AA

2b. Longitud del eje menor.

Cuerda. Es el segmento que une dos puntos distintos cualesquiera de la elipse .´BB

Cuerda focal. Es la cuerda que pasa por uno de los focos. .´EE

Eje normal. Recta que pasa por el centro (c) de la elipse y que es perpendicular al eje focal .l .

Diámetro de la elipse. Cuerda que pasa por el centro de la elipse. .´DD

Lado recto. Segmento .´LL de recta perpendicular al eje mayor, pasa por un foco y sus extremos

son puntos de la curva (Lr).

Excentricidad. Cociente que resulta de dividir la distancia de centro a foco entre la longitud del

semi-eje mayor.

Nota: Si P es un punto cualquiera de la elipse, los segmentos FP y PF´ que une los focos con el

punto P se denominan radios vectores de P. Ahora vamos a definir estos conceptos con más detalle y

aclararlos de acuerdo a la siguiente gráfica.


108

Ejemplo.- Encuentra la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que la suma de sus distancias a los puntos A(0, 3), B(0, -3) es igual a 10. SOLUCIÓN: Datos: P(x, y), A(0, 3), B(0, -3) y d = 10

Condiciones. 10 PBPA dd

Usando la fórmula de distancia

entre dos puntos. 22

22

)3()0(

)3()0(

yxd

yxd

PB

PA

Sumando ambas distancias. 10)3()0()3()0( 2222 yxyx

Trasladando términos. 2222 )3()0(10)3()0( yxyx

Elevando ambos miembros al

cuadrado y resolviendo.

96)3(2010096 222222 yyxyxyyx

Reduciendo términos y

trasladando.

22 )3(2010012 yxy

Dividiendo entre – 4 a ambos

miembros.

22 )3(5253 yxy

Elevando ambos miembros al

cuadrado y resolviendo.

22515025256251509 222 yyxyy

Reduciendo y ordenando términos. 04001625 22 yx

Multiplicando por – 1 a toda la

ecuación:

04001625 22 yx


109

Nombre del lugar geométrico. Elipse con centro en el origen.

Ecuación de la elipse con centro en C ( h , k ): Ecuación de la elipse con centro en C ( h , k ), cuyos ejes coinciden con los ejes coordenados.

Elipse vertical

1

a

ky

b

hx2

2

2

2

LR = a

b22

e = 1e;a

c

a2 = b2 + c2

Directriz: e

aky

Elipse horizontal

1b

)ky(

a

)hx(2

2

2

2

LR = a

b22

; e = 1e;a

c

a2 = b2 + c2

Directriz: e

ahx


110

Ejemplo.- Encuentra la ecuación de la elipse en su forma Ordinaria y General, cuyos vértices son los puntos )0,5(1V y )0,5(2 V y cuyas coordenadas de los focos son )0,4(1F y )0,4(2 F

SOLUCIÓN: (sabemos que tenemos) Se determina las Coordenadas del centro de la elipse, ya que este se encuentra en el punto medio de los vértices y de focos:

𝒉 =𝒙𝒗𝟏 + 𝒙𝒗𝟐

𝟐= 𝟓 − 𝟓

𝟐=𝟎

𝟐= 𝟎

𝒌 =𝒚𝒗𝟏 + 𝒚𝒗𝟐

𝟐= 𝟎 + 𝟎

𝟐=𝟎

𝟐= 𝟎

𝑪 (𝒉, 𝒌) = 𝑪 (𝟎, 𝟎) Si )0,5(1V ; se sabe que: )0,(1 aV ; entonces:

a = 5 y Eje Mayor 2a = 10. Si )0,4(1F ; se sabe que: )0,(1 cF ; entonces:

c = 4 y Eje Focal 2c = 8. Calcular b, con la fórmula a2 = b2 + c2; sabiendo que a = 5 y c = 4. Sustituyendo a y c queda:

52 = b2 + 42

Despejando b2 y resolviendo:

b2 = 25 – 16 b2 = 9.

Entonces la ecuación en su forma Ordinaria:

1

b

ky

a

hx2

2

2

2

19

)0y(

25

)0x(22

19

y

25

x925

22

9251

9

y925

25

x92522

9251y25x922

225y25x9 22

y tenemos la ecuación en su forma General 0225y25x922

Para graficar, necesitamos las coordenadas de los extremos del eje menor: )3,0(́)3,0( AyA .


111

Ecuación de la elipse en forma general.

Elipse Horizontal en forma ordinaria:

1b

)ky(

a

)hx(2

2

2

2

Ecuación general:

𝑨𝒙𝟐 + 𝑪𝒚𝟐 +𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎 Donde:

𝑨 = 𝒃𝟐 ; 𝑪 = 𝒂𝟐 ; 𝑫 = −𝟐𝒃𝟐𝒉 ; 𝑬 = −𝟐𝒂𝟐𝒌 ; 𝑭 = 𝒃𝟐𝒉𝟐 + 𝒂𝟐𝒌𝟐 − 𝒂𝟐𝒃𝟐 Elipse vertical en forma ordinaria:

1

a

ky

b

hx2

2

2

2

Ecuación general:

𝑨𝒙𝟐 + 𝑪𝒚𝟐 +𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎 Donde:

𝑨 = 𝒂𝟐 ; 𝑪 = 𝒃𝟐 ; 𝑫 = −𝟐𝒂𝟐𝒉 ; 𝑬 = −𝟐𝒃𝟐𝒌 ; 𝑭 = 𝒂𝟐𝒉𝟐 + 𝒃𝟐𝒌𝟐 − 𝒂𝟐𝒃𝟐

Ejemplo.-Dada la ecuación: 141

22

yx

. Encuentra todos los elementos de la elipse

SOLUCIÓN: Recuerda que los valores de la forma ordinaria de la elipse son a y b, donde a es mayor que b,

esto hace que 1 = b2 y 4 = a2.

Se recuerda que esta ecuación es de la forma 12

2

2

2

a

y

b

x y se hace de la siguiente manera.

Se utiliza el 4 para multiplicar los términos de la ecuación 4 ( 141

22

yx

)

y se transforma en la ecuación general: 4x2 + y2 – 4 = 0. Se determina que es una elipse vertical con centro en el origen, Por lo tanto

a2 = 4 a = 2; y b2 = 1 b = 1; Calcular el valor de c, aplicando la fórmula a2 = b2 + c2, se sustituyen los valores de a y de b en la

fórmula: 22 = 12 + c2.

Resolviendo las potencias y despejando c2:

c2 = 4 – 1. Resolviendo la operación resultante y extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros obtenemos.


112

c2 = 3 c = 3

Sabiendo que a = 2, b = 1 y c = 3 . Determinar las coordenadas de los vértices, focos, los

extremos del eje menor, los valores del Lr y e.

V (0, 2), V´(0, -2), F (0, 3 ), F´(0, - 3 ), A (1, 0), A´(-1, 0), Lr = 2(1)/ 3= 2/3 y e = 3 /2.

Ejemplo.-Halla los elementos de la elipse cuya ecuación es 4x2 + 9y2 – 36 = 0

SOLUCIÓN:

Se transforma esta ecuación a la forma Ordinaria 1b

y

a

x2

2

2

2

se hace de la siguiente manera.

Se traslada el 36 al segundo miembro y se divide todos los términos de la ecuación

4x2

36+

9y2

36 =

36

36 y resulta: 1

49

22

yx

.

Se determina que es una elipse horizontal con centro en el origen, por lo tanto a2 = 9 a = 3;

b2 = 4 b = 2;

Calcular el valor de c, aplicando la fórmula a2 = b2 + c2 y se sustituyen los valores de a y de b en la fórmula:

32 = 22 + c2.


113

Resolviendo las potencias y despejando c2:

c2 = 9 – 4.

Resolviendo la operación resultante y extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros obtenemos.

c 2 = 5 c = 5

Sabiendo que a = 3, b = 2 y c = 5 . Determinar las coordenadas de los vértices, focos, los extremos

del eje menor, los valores del Lr y e.

V (3, 0), V´(-3, 0), F ( 5 , 0), F´(- 5 , 0), A (0, 2), A´(0, -2), Lr = 2(4)/3 = 8/3 y e = 5 /3.

Graficar.


114



Objetivo: Encontrará la ecuación de la elipse utilizando las diferentes formas de ecuaciones






2.- Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques

1.- Resuelve el ejercicio en hojas blancas y traza la gráfica en HOJAS MILIMÉTRICAS. 1.- Encuentra la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que la suma de sus distancias a los puntos J ( 2 , 0 ) y K ( -2 , 0 ) es igual a 6u unidades

2.- Halla la ecuación de la elipse, en su forma Ordinaria y General, dados los datos y graficar en hojas milimétricas: 2.- V ( 0, 3 ) y V´ ( 0, -3 ); F ( 0 , 2 ) y F´( 0 , - 2 )

3.- V (5, 0) V´(-5, 0); F (3, 0) F´(-3, 0).

3.- Hallar la forma ordinaria de la elipse, así como los siguientes elementos: vértices, focos, longitud de los lados rectos, excentricidad y centro de la elipse cuyas ecuaciones son las siguientes. Traza las gráficas en HOJAS MILIMÉTRICAS.

4.- 018y9x222

5.- 036y4x922

6.- 020y4x522

7.- 12y3x222

8.- 196y4x4922

9.- 048y16x322


115

3.5 ECUACIONES DE LA HIPÉRBOLA.

Ecuación de la hipérbola como lugar geométrico:

Es la gráfica descrita en un plano por un punto que se mueve en el de forma tal que: la diferencia de

sus distancias a dos puntos fijos permanece constante.

Ecuación de hipérbola. Representación algebraica de la característica común a los puntos de una

hipérbola y sólo a esos puntos.

Antes de comenzar con la determinación de la ecuación de la hipérbola es necesario conocer Los

elementos característicos de una hipérbola, que se presentan a continuación:

Focos de la hipérbola. Los puntos fijo a que alude la descripción de la hipérbola (F y F´).

Eje focal o eje de la hipérbola. Recta ( l ) que pasa por los focos y es perpendicular a las directrices y

además intercepta a la hipérbola en dos puntos, V y V´.

Directrices. Las directrices de la cónica son los segmentos ´´ddydd .

Centro de la hipérbola. Punto medio (C) del segmento de recta que une los focos y vértices.

a. = Distancia del centro al vértice en una hipérbola.

c. = Distancia del centro al foco en una hipérbola.

Vértices de la hipérbola. Intersecciones entre la hipérbola y el segmento de recta que contiene al

centro y a los focos.

Eje normal. Recta ´l que pasa por C y es perpendicular al eje focal.

Eje transverso ´VV . Segmento de recta cuyos extremos son los vértices de la hipérbola.

2a. = Longitud del eje transverso.

Eje conjugado ´AA . Segmento de recta perpendicular al eje transverso y pasa por el centro de la hipérbola.

2b. = Longitud del eje conjugado de la hipérbola.

Cuerda ´BB . Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera diferentes de la hipérbola.

Cuerda focal ´EE . Cuerda que pasa por el foco.

Excentricidad de la hipérbola. .a

ce

Lado recto de una hipérbola ´LL . Segmento de recta que pasa por un foco perpendicular al eje

transverso y cuyos extremos pertenecen a la curva.. a

bLr

22

Diámetro de la hipérbola ´DD . Cuerda que pasa por C.


116

Asíntotas de la hipérbola. Un par de rectas que pasa por el centro de la hipérbola, a las que se

aproxima la gráfica de la curva.

Hipérbola conjugada. Hipérbola cuyos ejes, transverso y conjugado tiene la misma longitud.

Nota: Sea P un punto cualquiera de la hipérbola; los segmentos PFyFP ´ que unen los focos con

dicho punto, se denominan radios vectores de P.


117

Ejemplo.- Halla la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que la

diferencia de sus distancias a los puntos A ( 0 , 4 ) y B ( 0 , - 4 ) es igual a 6.

SOLUCIÓN:

Datos: P(x, y), A(0, 4), B(0, -4) y d = 6

Condiciones. 10dd PBPA

Usando la fórmula de distancia entre dos puntos.

22

PB

22

PA

)4y()0x(d

)4y()0x(d

Sumando ambas distancias. 6)4y()0x()4y()0x( 2222

Trasladando términos. 2222 )4y()0x(6)4y()0x(

Elevando ambos miembros al cuadrado y resolviendo.

16y8yx)4y(x123616y8yx 222222

Reduciendo términos y trasladando.

22 )4y(x1236y16

Dividiendo entre – 4 a ambos miembros.

22 )4y(x39y4

Elevando ambos miembros al cuadrado y resolviendo.

144y72y9x981y72y16 222

Reduciendo y ordenando términos. 063y7x9 22

Multiplicando por – 1 a toda la ecuación:

063y7x9 22

Nombre del lugar geométrico. Hipérbola con centro en el origen.


118

Ecuación de la hipérbola con centro en C ( h, k ):

Hipérbola Hipérbola con Eje Transverso Horizontal Hipérbola con Eje transverso Vertical

Ecuación Ordinaria

1

b

)ky(

a

hx2

2

2

2

1b

)hx(

a

)ky(2

2

2

2

Ecuación General

0FEyDxCyAx22

0FEyDxAxCy22

Centro )k,h(C

Vértices )k,ah(V )ak,h(V

Focos )k,ch(F )ck,h(F

Extremos del eje Conjugado

),( bkhA ),( kbhA

Asíntotas:

𝒙 − 𝒉

𝒂±𝒚 − 𝒌

𝒃= 𝟎

𝒚 = −𝒌 ±𝒃

𝒂(𝒙 − 𝒉)

𝒚 − 𝒌

𝒂±𝒙 − 𝒉

𝒃= 𝟎

𝒚 = −𝒌 ±𝒂

𝒃(𝒙 − 𝒉)

Relación Pitagórica

222bac

Lado recto a

blr

22

Excentricidad a

ce

Semieje Transverso. a (distancia del centro a uno de los vértices)

Semieje Conjugado.

b (distancia del centro a uno de los extremos de los puntos A)

Semieje Focal c (distancia del centro a uno de los focos)


119

Ejemplo.- Halla la ecuación de la hipérbola cuyos vértices son V ( 3, 0 ) y V´( -3, 0 ) y cuyos focos son F ( 5, 0 ) y F´ ( -5, 0 ). Así como el resto de los elementos y la gráfica de la hipérbola. SOLUCIÓN: De acuerdo a los datos proporcionados, se trata de una hipérbola horizontal, con centro en el origen:

C (0, 0). Cuya ecuación es:

1b

)ky(

a

)hx(2

2

2

2

.

Vértice: V( a, 0 ). Por lo tanto a = 3 y Foco: F( c, 0 ). Por lo tanto c = 5.

Teniendo los valores de a y de c, ahora falta b; como 222 bac . Por lo tanto 22 acb .

Sustituyendo datos en la fórmula, resulta:

416b

925b

35b22

Sustituyendo los valores en la ecuación de la hipérbola es:

14

)0y(

3

)0x(2

2

2

2

.

Resultando:

0144y9x16

)144(116

y144

9

x144

116

y

9

x

22

22

22

.

Determinando el lado recto: 3

32

3

)16(2

a

b2Lr

2

.

Determinando la excentricidad: 3

5

a

ce .

Determinando las ecuaciones de las asíntotas:

0b

y

a

x y 0

b

y

a

x.

Sustituyendo valores en l):

043

yx y 0

43

yx.


120

Resolviendo resulta: 4x +3y = 0 y 4x – 3y = 0.

Tabulando puntos para graficar la asíntota: 4x +3y = 0.

Cuando x = 0, y = 0. y Cuando x = 3, y = - 4.

Tabulando puntos para graficar la asíntota: 4x -3y = 0.

Cuando x = 0, y = 0. y Cuando x = 3, y = 4.

Graficar de la hipérbola.

Ejemplo.- Encuentra las coordenadas del centro, los vértices y los focos, la longitud de cada lado recto, el valor de la excentricidad, longitud del eje transverso y las ecuaciones de las asíntotas de la

hipérbola cuya ecuación es: 4y2 – 16x2 = 64 Solución:

a) Transformar la ecuación general a una forma ordinaria de la siguiente manera: en primer lugar dividir a ambos lados de la expresión entre 64 para logar que ese número se transforme en 1 en la parte derecha:

64

64

64

x16y4 22

; 164

x16

64

y4 22

; para que finalmente quede: 14

x

16

y 22

b) Debemos saber que el valor de a siempre se encontrará debajo de la variable positiva, así que

podemos decir que a2 = 16 y b2 = 4. Entonces a = 4 y b = 2.

c) Solo falta encontrar el valor de c y lo podemos hallar con la relación: 222 bac , donde nos

quedará: c2 = 16 + 4 = 20, es decir que el valor de c es 20c

Lado recto (LR)


121

d) Empezamos a deducir todos los elementos, y primero será el decir que tipo de hipérbola es. En

este caso es una hipérbola vertical y en el origen, ya que no aparecen paréntesis en el

numerador de la formula.

e) Entones el centro es C ( 0 , 0 ), los vértices será V( 0 , a ), es decir V( 0 , 4 ) y V’( 0 , - 4 ).

Los focos son F( 0 , c ), es decir F( 0, 20 ) y F’( 0 , - 20 )

f) Los lados rectos serán: 24

8

4

)4(2

a

b2Lr

2

y la excentricidad será de: 4

20

a

ce .

g) La longitud del eje transverso es 2a, es decir 2a=2(4)=8

h) Las ecuaciones de las asíntotas:

0b

y

a

x y 0

b

y

a

x.

Sustituyendo valores en

02

y

4

x y 0

2

y

4

x

Resolviendo resulta: 2x +4y = 0 y 2x – 4y = 0


122



Objetivo: Encuentra la ecuación de la hipérbola con los datos que se proporcionan.







1.- Resuelve en hojas blancas y traza la gráfica en HOJAS MILIMÉTRICAS. 1.- Halla la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que el valor absoluto

de la diferencia de sus distancias a los puntos A ( 3 , 0 ) y B ( -3, 0) es igual a 4.

2.- Halla la ecuación de la hipérbola, en su forma Ordinaria y General dado los datos y traza las gráficas en HOJAS MILIMÉTRICAS

2.- V ( 0, 3 ) y V´( 0, -3 ) ; F ( 0, 4 ) y F´( 0, -4 ).

3.- V ( 2, 0 ) y V´( -2, 0 ) ; F ( 3, 0 ) y F´( -3, 0 ).

3.- Encuentra los elementos de la hipérbola, así como la ecuación ordinaria, cuando la ecuación general es:

4.- 0180454 22 yx

5.- 03649 22 yx

6.- 04922 yx

7.- 01892 22 yx

8.- 3y2 – 4x2 – 12 = 0

9.- 02045 22 xy


123


1.-

2.-

3.-

4.-

Grupo:

EJERCICIO 23. ACTIVIDAD TRANSVERSAL. Fecha:

Objetivo: Aplicará los conocimientos obtenidos en el semestre para crear una página web.






1.- El Profesor te asignara por orden de lista una ecuación la cual desarrollaras de acuerdo a los temas vistos en esta secuencia (ecuaciones ordinarias y generales, tabulación y Graficación), para posteriormente realizarlas con tu maestro de informática en la paquetería de Excel. El reporte impreso lo entregaras de acuerdo a los indicadores que se presentan en la lista de cotejo, los cuales son los siguientes: 1.-Entrego la lista de cotejo firmado y evaluado por el profesor de informática III, en caso contrario no se aceptará el reporte, será invalidado. 2.- Entrego impreso, limpio, puntual, en la hora y fecha acordada. 3.- Contiene la ecuación de la cónica a graficar 4.- La fórmula que se utilizó en Excel para encontrar la variable dependiente “y” es correcta. 5.- Los valores de la variable dependiente “y” y variable independiente “x” en la tabla son correctos. 6.- La elaboración de la gráfica va de acuerdo con los valores de la tabla. 7.- El reporte está impreso a color.


124



Instrumento de evaluación: Lista de cotejo Tipo de evaluación: Coevaluación




Semestre: 3 Grupo:

Número de

secuencia: 3/3

Porcentaje:

4%

Bloque: III.- Las Ecuaciones de las cónicas.

Evidencia: Cuaderno de trabajo (Individual)




Nombre del Alumno:

Indicadores Cumple

Observaciones Si No







Escala de calificación

Escala Tipo Semáforo Acciones a tomar

Rango Calificación



De 2 a 1 1% El estudiante no ha desarrollado las competencias. Asesoría semanal


Fecha:


125







Semestre: 3 Grupo:


Porcentaje: 4%


Evidencia: Cuaderno de trabajo (Equipo)



Competencia disciplinar: 1.- Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 2.- Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.


Indicadores Cumple

Observaciones Si No









Rango Calificación



De 2 a 1 1% El estudiante no ha desarrollado loas competencias. Asesoría semanal


Fecha:


126







Semestre: 3 Grupo:


Porcentaje: 3%


Evidencia: Reporte de practica (Actividad Transversal)

Competencias Genéricas 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

Atributos 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

Competencia disciplinar:



Nombre del Alumno:

Indicadores Cumple

Observaciones Si No

1.-Entrego la lista de cotejo firmado y evaluado por el profesor de informática III, en caso contrario no se aceptará el reporte, será invalidado.

2.- Entrego impreso, limpio, puntual, en la hora y fecha acordada.

3.- Contiene la ecuación de la cónica a graficar

4.- La fórmula que se utilizó en Excel para encontrar la variable dependiente “y” es correcta.

5.- Los valores de la variable dependiente “y” y variable independiente “x” en la tabla son correctos.

6.- La elaboración de la gráfica va de acuerdo con los valores de la tabla.

7.- El reporte está impreso a color.


Rango Calificación


De 4 a 3 2% El estudiante está en proceso de desarrollar las competencias. Corregirlo

De 2 a 1 1% El estudiante no ha desarrollado loas competencias. Asesoría semanal


Fecha:


127

BIBLIOGRAFIA

Fuentes de información

Básicas:

Hernández, C., Ruiz, K.L. y Álvarez, A.A. (2016) Cuaderno de trabajo Matemáticas III. México

Hernández, C., Ruiz, K.L. y Álvarez, A.A. (2016) Manual de prácticas de Matemáticas III. México

Hernández, C., Ruiz, K.L. y Álvarez, A.A. (2016) Antología comentada de Matemáticas III. México

Complementarias:

Ruíz, J. (2011). Geometría Analítica. D.F. México: Grupo Editorial Patria.

Mata, P. (2012). Matemáticas 3 (Desarrolla competencias). D.F. México: ST EDITORIAL.

Navarro, M.E., Preciado, A. Matemáticas 3 (Enfoque por Competencias genéricas y disciplinares)

(2011). D.F. México: Fernández Editores.

Mesografía: (información de fuentes Informáticas)

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/

http://www.sectormatematica.cl/

http://matedelfin.es.tl

http://matedelfin.es.tl/

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