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UPC

Ecuaciones Diferencialesy Álgebra Lineal

nidad 3

EDOL DE ORDEN SUPERIOR

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Como ya se mencionó, una EDO de orden n es lineal, si se puede escribir de la forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 0... ( )n n

n na x y a x y a x y g x−−+ + + =donde:

( ) 0)(;,...0; ≠= xank xa nk son funciones de x.

Una ecuación diferencial ordinaria que nose pueda expresar de esta forma, es nolineal.

EDO LINEAL DE ORDEN SUPERIOR

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Coeficientes ConstantesVariables

f (x) ≡ 0 Homo!nea

EDOL HOMOGÉNEA

y NO-HOMOGÉNEA

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EJEMPLO

Lineal

Or"en #No $omo!nea Coeficientes %ariables xxyysen

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EJEMPLO x xyysenLineal

Or"en &No $omo!nea Coeficientes constantes

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EJEMPLO

Lineal

Or"en &Homo!nea Coeficientes %ariables

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EJEMPLO

No lineal

Or"en #

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EJEMPLO

No linealOr"en #

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PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN EDOL HOMOGÉNEA

Si 'y y #*** y + , son sol-ciones "e -na EDOL$omo!nea entonces

es tambi!n -na sol-ci.n "e la EDOL*

Es decir, la C.L. de k soluciones deuna EDOL también es solución.

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SOLUCIÓN GENERAL

EDOL HOMOGÉNEA

Si {y 1, y 2,..., y n } es un conjunto L.I. desoluciones de una EDOL homoénea deorden n, entonces la solución general de la EDOL es!

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CONJUNTO FUNDAMENTAL(BASE)

/l con-nto 'y y #*** y n , "e n sol-ciones L*I*se le llama Conjunto Fun!"#nt!$ #So$u%&on#' "e la EDOL*

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INDEPENDENCIA LINEAL (RONSIANO)

Si y y #*** y n son sol-ciones "e -na EDOL

$omo!nea entonces 'y y #*** y n , es L*I*

si 1 s.lo si2 ......−3rons+iano

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USO DE CLASSPAD

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USO DE CLASSPAD

Entonces elconjunto es L.I.

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ECUACIÓN AU*ILIAR (EDOL)

Sea la EDOL $omo!nea "ecoeficientes %on't!nt#'2

Se llama Ec-aci.n /-xiliar "e la EDOL ala ec-aci.n 4olin.mica2

1

1 0... 0n n

n na m a m a−

−+ + + =C!'o # EDOL +o o,#n 001

2

2 =++ amama

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es la sol-ci.n eneral "e la EDOL

m 1 m# reales

son sol-ciones L*I*

Caso 2 RA.CES REALES DIFERENTES DE LA ECUACIÓN AU*ILIAR DE +O ORDEN

eyxececy+

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Caso #2 RA.CES REALES IGUALES DE LA ECUACIÓN AU*ILIAR DE +O ORDEN m2 ra56 real "obleey

es otra sol-ci.n LI*

es -na sol-ci.n*

es la sol-ci.n eneral

xececy+ ( )

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m 7 a ± bi

son sol-ciones L*I*

La sol-ci.n eneral 4-e"e transformarse en2

La sol-ci.n eneral es2( )Caso &2 RA.CES COMPLEJAS DE LA ECUACIÓN AU*ILIAR DE +O ORDEN

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EDOL NO-HOMOGÉNEA

DE ORDEN SUPERIOR

#E%u!%&/n

0o"o12n#!!'o%&!! ! (3)

Ec-aci.n aresol%er

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 0... ( )

n n

n na x y a x y a x y g x

−

−+ + + =

0)(...)()( 0

)1(

1

)(=+++

−

− y xa y xa y xa

n

n

n

n

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SOLUCIÓN EDOL NO HOMOGÉNEA

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN

Si 14 es -na sol-ci.n "e () 11c es -na sol-ci.n "e (#)

entonces214 8 1c es sol-ci.n "e ()

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EDOL DE ORDEN SUPERIOR (9OR:/ ES;<ND/R)

Una EDOL est= en FORMA ESTÁNDAR c-an"o la ex4resamos as52

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M2too #COEFICIENTES INDETERMINADOS

Para resol%er la EDOL2

tenemos >-e $allar2

)(01)1(

1)( x g ya ya ya ya n

nn

n =+′+++ −

−

Como 1a sabemos $allar la sol-ci.n "e la EDOLH

asocia"a 1c n-estro 4roblema ra"ica en la

"eterminar -na sol-ci.n 4artic-lar "e la EDOL 14*

Veremos c.mo $acerlo me"iante el m!to"o "eCoeficientes Indeterminados*

1 7 1c 8 14

2

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El m!to"o se restrine a casos en >-e (x) seaun polinomio, un seno ó coseno, un exponencial,un produco ó una combinación lineal de ellos!

P!,! #'to4 ! 5!,t&, # 1(6)4 '# 0!%# un!%onj#tu,! 'o7,# $! 8o,"! # $! 'o$u%&/n5!,t&%u$!,9

En el /V il-straremos el m!to"o con los eem4los # 1 & "e las 4= ?@?& "el texto

"e Aill*

M2too #COEFICIENTES INDETERMINADOS

"conin#a$

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USO DE CLASSPAD

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UNA FALLA IMPRE:ISTA

Determine -na sol-ci.n 4artic-lar "e la EDOL2

x

e y y y 84'5" =+−

Solución:

La sol-ci.n "e la EDOLH es2 x x

c ecec y

4

21 +=

Pro4onemos x

p Aey =

L-eo "e "eri%ar 1 reem4la6ar obtenemos2

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UNA FALLA IMPRE:ISTA"conin#a$

xe80 = ;P,o5u#'t! &n%o,,#%t!<

El 4roblema ra"ica en >-e la sol-ci.n "e la EDOLH

asocia"a 1 la forma "e la sol-ci.n 4artic-lar >-e se4ro4-so tienen -na 4arte en comBn*

Si a$ora 4ro4-si!semos2 x

p Axey =

L-eo "e "eri%ar 1 reem4la6ar sale23

8A −=

En consec-encia2 x2

p xe

3

8y −=

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EJEMPLO

Vamos a il-strar la falla con el eem4lo "e

la 4= ? "el libro "e Aill*

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REGLA PRACTICA

Si la solución particular propuesta, en base

a g(x), contuviese términos en común con

los de la solución de la E!"# asociada,

entonces ser$ necesario multiplicarlos por

x n, donde %n& es el entero positivo m$s

pe'ueo 'ue elimina esta parte común

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EJEMPLOS

Vamos a il-strar la REL/ con los eem4los F G0 1 "el texto Aill*

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:ARIACIÓN DE PAR=METROS %ASO &ART'%()AR* EDOL # ORDEN

Para $allar -na sol-ci.n 4artic-lar "e-na EDOL "e # or"en 4-e"e a4licarse

-n m!to"o llama"o :ARIACIÓN DEPAR=METROS*

Noa* Ese m+odo se enerali-a para EDO)de orden .n/!

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M2too #

:ARIACIÓN DE PAR=METROS

S-4onamos >-e la sol-ci.n "e la EDOLH asocia"a

a es2 )()( 2211 x yc x yc yc +=

El m!to"o consiste en 0ariar los par1meros c 3 1 c + 4or o' 8un%&on#' !,7&t,!,&!' u(x) 1 u#(x) 4ara

con ellas b-scar la sol-ci.n 4artic-lar * P y

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Hacien"o este cambio la sol-ci.n 4artic-lar"e la EDOL >-e"a2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) p y u x y x u x y x= +

Como se ex4lica en el texto "p1 2345262$ siem4re es 4osible encontrar -n sistema "e"os ec-aciones sim-lt=neas con inc.nitas2

1 2

´ ( ) ´ ( )u x y u x

M2too #

:ARIACIÓN DE PAR=METROS (continúa)

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0'' 2211 =+ u yu y

1 1 2 2´ ' ´ ' ( ) y u y u g x+ =

La sol-ci.n "el sistema es2

W

x g y

xu

)(

)(´ 2

1 −=

1

2

( )

´ ( )

y g x

u x W =

"on"e221

21

´´ y y

y yW =

M2too #

:ARIACIÓN DE PAR=METROS (continúa)

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Por interaci.n 4o"emos $allar u(x) 1 u#(x) 1

con ellas la sol-ci.n 4artic-lar b-sca"a*

La sol-ci.n eneral "e la EDOL ser=2

P c y y y +=

M2too #

:ARIACIÓN DE PAR=METROS(final)

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S#1u&, !$ $&7,o # t#6to #n $!'5>1&n!' 3?+ ! 3@34 'o$o 5!,!#$ %!'o # "o&"&#nto $&7,#9

SISTEMA CUERPO - RESORTE - AMORTIGADOR

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EJEMPLO 3

Un obeto "e F + "e masa estira -nresorte 0# m sobre s- lonit-" nat-ral*

Si el resorte se estira $asta me"ir 0 mm=s >-e s- lonit-" en el e>-ilibrio 1l-eo el obeto se s-elta con %eloci"a"inicial "e 0 mJs $acia arriba enc-entre la4osici.n "el obeto en el tiem4o *

%onsidere 7ue no 8ay fuer-as amori9adoras!

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EJEMPLO +

S-4ona >-e el sistema "el Eem4lo se s-mere en -n fl-i"o con constante"e amorti-amiento 7 0* Halle la4osici.n "el obeto en el instante sieste 4arte "e la 4osici.n "e e>-ilibrio 1

recibe -n em4-.n $acia abao >-e leim4arte -na %eloci"a" inicial "e 0 mJs*

β

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EJEMPLO

Un obeto "e 0 + "e masa se -ne a -nresorte "e F0 m "e lonit-" nat-ral >-e enel e>-ilibrio mi"e m* Si el resorte se

com4rime $asta me"ir 0 m 1 l-eo elobeto se s-elta a -na %eloci"a" "e mJs$acia abao enc-entre la 4osici.n "el obeto

en c-al>-ier tiem4o * Consi"ere >-e elresorte se enc-entra en -n me"io >-e ofrece-na resistencia n-m!ricamente i-al a G0

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