unidad iv apuntes nov12

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Unidad IV Espacios Vectoriales ALGEBRA LINEAL VECTORES Todas las Carreras

Las cantidades como longitud, área, volumen, temperatura, masa y potencial se pueden determinar sólo con su magnitud. Sin embargo, pensemos en el desplazamiento, la velocidad y la fuerza. Con ellas necesitamos la magnitud y también la dirección para definirlas por completo. El desplazamiento, la velocidad y la fuerza son ejemplos de vectores libres. Nos interesan principalmente los vectores libres que comienzan en el origen. A ellos simplemente los llamaremos vectores. Estudiaremos los vectores, su aritmética y su geometría, porque desempeñan un papel importante en matemáticas, física, ingeniería, procesamiento de imágenes, gráficas computarizadas y en muchos otros campos de la ciencia y de la vida cotidiana.En el plano y en el espacio los vectores tienen existencia doble: son a la vez objetos algebraicos y geométricos.Definición geométrica de un vector. El conjunto de todos los segmentos de recta dirigidos equivalentes a un segmento de recta dirigido dado se llama vector. Cualquier segmento de recta en ese conjunto se denomina una representación del vector.

Definición algebraica de un vector. Un vector v en el plano xy es un par ordenado de números reales ( ),a b . Los

números a y b se denominan elementos o componentes del vector v. El vector cero es el vector ( )0,0 . La magnitud del

vector es 2 2v a b v= + =r r

= magnitud.

Se define la dirección del vector ( ),v a b=r

como el ángulo θ , medido en radianes, que forma el vector con el lado

positivo del eje x, Por convención, se escoge θ tal que 0 2θ π≤ ≤ entonces tanb

aθ =

Existen dos vectores especiales en 2¡ que nos permiten representar otros vectores en el plano de una forma

conveniente. Se denota el vector ( )1,0 con el símbolo i y el vector ( )0,1 por el símbolo j . Si ( ),v a b=r

es cualquier

vector en plano, entonces como ( ) ( ) ( ) ( ), 1,0 0,1 ,v a b a b v a b ai bj= = + = = = +r r

Definición. Vector Unitario. Un vector unitario es un vector con longitud 1. Sea vr

un vector unitario diferente de cero.

Entonces v

uv

=r

rr es un vector unitario que tiene la misma dirección que v

r.Representación de un vector unitario

( ) ( )cosu i sen jθ θ= +r

.

Producto escalar de dos vectores. Si ( )1 1,u a b=r

y ( )2 2,v a b=r

, entonces

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2, ,u v a b a b a i b j a i b j a a b b= = + + = +r rg g g . También se puede definir como sigue: cosu v u v ϕ=

r r r rg

Teorema. Sea vr

un vector. Entonces 2

v v v=r r r

g

Teorema. Sean ur

y vr

dos vectores diferentes de cero. Si ϕ es el ángulo entre ellos, entonces cosu v

u vϕ =

r rg

r r

Definición. Dos vectores diferentes de cero ur

y vr

son paralelos si el ángulo entre ellos es cero o π . Los vectores

paralelos tienen la misma dirección o direcciones opuestas.

Teorema. Si 0u ≠r

, entonces v uα=r r

para alguna constante α si y solo si ur

y vr

son paralelos

Definición. Vectores Ortogonales. Los vectores ur

y vr

diferentes de cero son ortogonales (o perpendiculares) si el

ángulo entre ellos es de 2

π.

Teorema. Los vectores ur

y vr

diferentes de cero son ortogonales si y solo si 0u v =r rg

Agosto-Diciembre 2012 M.I. Maria Griselda Pámanes Aguilar

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Teorema. Sea vr

un vector diferente de cero. Entonces para cualquier otro vector ur

el vector ( )

2

u vw u v

v= −

r rgur r rr

Teorema. Sean ( )1 1 1, ,P x y z= y ( )2 2 2, ,Q x y z= dos puntos en el espacio. Entonces PQuuur

entre P y Q está dada por

( ) ( ) ( )2 2 2

1 2 1 2 1 2PQ x x y y z z= − + − + −uuur

Operaciones Vectoriales: Suma de vectores y multiplicación por un escalar en 3¡Sea ( )1 1 1, ,u x y z=

r y ( )2 2 2, ,v x y z=

r dos vectores y sea α un numero real (escalar) Entonces se define

( )1 2 1 2 1 2, ,u v x x y y z z+ = + + +r r

y ( )1 1 1, ,u x y zα α α α=r

Vamos a definir la dirección de un vector vr en términos de algunos ángulos. Sea v

r el vector OP

uuur descrito en la figura

3.22. Definimos α como el ángulo entre vr

y el eje x positivo, β el ángulo entre vr

y el eje y positivo, y γ el ángulo

entre vr

y el eje z positivo. Los ángulos , ,α β γ y se denominan ángulos directores (cosenos directores) del vector vr

0 0 0cos , cos , cosx y z

v v vα β γ= = =r r r

El producto cruz de dos vectores. Definición. Sean 1 1 1u a i b j c k= + +r

y 2 2 2v a i b j c k= + +r

Entonces el producto

cruz (cruz vectorial) de ur

y vr

, denotado por u v×r r

, es un vector definido por

( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 11 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 22 2 2

i j kb c a c a b

u v a b c i j k b c c b i c a a c j a b b a kb c a c a b

a b c

× = = − + = − + − + −r r

Teorema. Si ϕ es un ángulo entre ur

y vr

, entonces u v u v senϕ× =r r r r

Un vector es una matriz de una columna. Un vector-n o n-vector es una matriz de n x 1. Por ejemplo,

0.51

1 1, 2 ,

1 03

0.2

u v w

= = = − −

r r ur son vectores 2, 3, y 4, respectivamente. El valor n suele llamársele tamaño

del vector. Los elementos de un vector se llaman componentes. Los componentes de w son 0.5, 1, 0 y -0.2. El conjunto

de todos los vectores n se representan con nR . { },nR x x esunvector n= −r r

u, v y w son los elementos

correspondientes de 2 3,R R y 4R .


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Los vectores 2 y 3 pueden interpretarse geométricamente como puntos en el plano o en el espacio. Cualquier vector 2

por ejemplo, 1

2

xx

x

=

r, puede representarse gráficamente con el punto cuyas coordenadas son ( )1 2,x x en un plano de

coordenadas cartesianas. Con frecuencia, x se considera como la flecha que comienza en el origen ( )0,0 cuya punta

tiene las coordenadas ( )1 2,x x . La figura 2.1 (a), (b) muestra los vectores 1 2,

1 2u v

= = −

r r,y

2

1w

− =

ur en forma

de puntos y de flechas que comienzan en el origen. Como es posible representar todos los vectores 2 de esta manera, 2R es el plano total. Los vectores 3 pueden graficarse en forma parecida, fig. 2.1 (c), y 3R constituye entonces el

espacio tridimensional total. Se dice que dos vectores son iguales u y v del mismo tamaño son iguales, y se expresa u= v si sus componentes respectivas son iguales. Pero los vectores de tamaño distintos nunca lo son.

Ejemplo1. La ecuación 1

1

a

a b

= + −

sólo es válida si a = 1 y b = -2

Los vectores del mismo tamaño pueden sumarse componente por componente: 1 4 3

1 2 1

− − + = −

,

1 4 5

2 2 0

3 7 4

+ − = − −

A esta operación se le llama suma vectorial. La suma u + v de dos vectores 2 o de vectores 3, u

y v, se representan en forma geométrica como la flecha diagonal del paralelogramo cuyos lados son u y v, figura 2.2. (a). A esta regla se le denomina Ley del paralelogramo para la suma. Un vector n puede multiplicarse por un escalar,

componente por componente:

1 22 14

7 , 2 2 41 7

3 6

− = − = − − − −

A esta operación se le llama multiplicación por escalar. El vector ( )1 v−r

se llama opuesto de v y se representa con –v

( )1 v v− = −r r


Fig 2.1

Ley del Paralelogramode la suma

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Se acostumbra a escribir u – v para representar u +(-1)v, y al resultado de esta operación se le denomina diferencia

entre u y v. ( )1u v u v− = + −r r r r

. Si todos los elementos de un vector son cero, se dice que es un vector cero y se

representa por 0r

. [ ]0

00 0 0 0 0

00

= = =

r r r

Geométricamente, el producto por escalar, cu, es la flecha u escalada por un factor de c. Si c > 0, entonces cu tiene la

misma dirección que u. Si c < 0, cu tiene dirección contraria. Si 1c > entonces cu se extiende en un factor de c. Si

1c < , entonces cu es una contracción de u, fig. 2.3 (a) y (b)

Observe que la diferencia u – v puede representarse como la suma de ( )1u v+ −r r

, fig 2.3 (c) .

Al vector n que tiene 1 como i-ésimo componente y todos los demás componentes 0 se denota mediante ie . Los

vectores 1 2, ,......., ne e e se llaman vectores de base estándar de nR , o simplemente la base de nR .Por ejemplo, los

vectores de base estándar de 2R son 1 2

1 0

0 1e y e

= =

mientras que los de 3R son

1 2 3

1 0 0

0 , 1 , 0

0 0 1

e e e

= = =

Fig. 2.4

Matrices como sucesiones de vectores. Con frecuencia se considera que las matrices son sucesiones de vectores.

Por ejemplo, la matriz 1 3 1

2 4 2

puede considerarse como igual a 1 2 3v v v r r r

, siendo

1 32

1 3 1, ,

2 4 2v v v

= = =

r r r.Dijimos sucesión y no conjunto por dos motivos: a diferencia de los conjuntos, (1)

los elementos de una sucesión tienen un orden definido, y (2) se permite que el mismo elemento se repita en posiciones distintas. Es claro que una matriz puede tener columnas repetidas, y el orden de ellas es importante. Si se toma en cuenta lo anterior, por lo general no hay problema en decir conjunto en lugar de sucesión.


Fig 2.3 Productos por escalar

Fig. 2.4 Los vectores de base normal

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Combinación Lineal. Definición. Sean 1 2, ,......., kv v vr r uur

vectores n, y sean 1 2, ,......., kc c c escalares. El vector n de la

forma 1 21 2 .......... kkc v c v c v+ + +r r r

se llama combinación lineal de 1 2, ,......., kv v vr r uur

. Los escalares 1 2, ,......., kc c c se

llaman coeficientes de la combinación lineal.

Ejemplo. Calcular y dibujar la combinación lineal 1 21

32v v−r r

, siendo 1 2

2 1,

4 1v v

− = =

r r.

Solución: 2 1 1 3 41

34 1 2 3 12

− − = + = − −

Espacios Vectoriales. El espacio vectorial nR es un conjunto de elementos llamados vectores en los que se definen

dos operaciones, la adición y la multiplicación por un escalar. El espacio vectorial nR es cerrado bajo estas

operaciones, la suma de dos vectores en nR pertenece a nR y la multiplicación por un escalar de un vector en nR

también pertenece a nR . El espacio vectorial nR también posee otras propiedades algebraicas. Los vectores en nR

son conmutativos y asociativos bajo la adición: ( ) ( )u v v u

u v w u v w

+ = ++ + = + +

DEFINICION: Un espacio vectorial es un conjunto V de elementos llamados vectores, cuyas operaciones de adición y multiplicación por un escalar se encuentran definidas en él y satisfacen las siguientes condiciones (u, v y w son elementos cualesquiera de V, y c y d son escalares).

Axiomas de cerradura1. La suma u + v existe y es un elemento de V. (V es cerrado bajo la adición)2. cu es un elemento de V. (V es cerrado bajo la multiplicación por un escalar).

Axiomas de la adición3. u + v = v +u (propiedad conmutativa)4. u + (v + w) = (u + v) + w (propiedad asociativa)5. Existe un elemento de V, denominado vector cero, que se denota cero, tal que u + 0 = u6. Para todo elemento u de V, existe un elemento llamado el negativo de u, que se denota –u, tal que u + (-u) = 0

Axiomas de la multiplicación por un escalar7. c(u + v) = cu + cv8. (c + d)u = cu + du9. c(du) = (cd) u10. 1u = u

Los dos conjuntos de escalares utilizados con más frecuencia en los espacios vectoriales son el conjunto de los números reales y el conjunto de los números complejos.Espacios Vectoriales de matrices.

Considere el conjunto de matrices reales de 2 x 2.Denote este conjunto con 22M . Ya se definieron las operaciones de

adición y multiplicación por un escalar en este conjunto. Este conjunto forma un espacio vectorial. Se analizaran los


Fig. 2.5 La combinación lineal

1 21

32v v−r r

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axiomas 1, 3, 4, 5 y 6. Utilizando la notación vectorial para indicar los elementos de 22M . Sean

a b e fu y v

c d g h

= =

r r dos matrices de 2 x 2 cualesquiera. Se tiene

Axioma 1.

a b e f a e b fu v

c d g h c g d h

+ + + = + = + +

r r u + v es una matriz de 2 x 2. Por consiguiente 22M es cerrada bajo la

adición.

Axioma 3 y 4:Las matrices de 2 x 2 son conmutativas y asociativas bajo la adición. (Teorema 2.2)Teorema 2.2 Sean A, B y C matrices y a, b y c escalares. Suponga que las matrices son de tamaños tales que se pueden realizar las operacionesPropiedades de la adición de matrices y de la multiplicación por un escalar1. A B B A+ = + Propiedad conmutativa de la adición

2. ( ) ( )A B C A B C+ + = + + Propiedad asociativa de la adición

3. 0 0A A A+ = + = (donde 0 es la matriz cero de tamaño adecuado)

4. ( )c A B cA cB+ = + Propiedad distributiva de la adición

5 ( )a b C aC bC+ = + Propiedad distributiva de la adición

6. ( ) ( )ab C a bC= Propiedad asociativa del producto por escalares

Propiedades de la multiplicación de Matrices

1. ( ) ( )A BC AB C= Propiedad asociativa de la multiplicación

2. ( )A B C AB AC+ = + Propiedad distributiva de la multiplicación

3. ( )A B C AC BC+ = + Propiedad distributiva de la multiplicación

4. n nAI I A A= = (donde nI es la matriz identidad adecuada)

5. ( ) ( ) ( )c AB cA B A cB= = Propiedad asociativa del producto por un escalar

Axioma 5:

La matriz cero de 2 x 2 es 0 0

00 0

=

r, puesto que

0 00

0 0

a b a bu u

c d c d

+ = + = =

r r r

Axioma 6:

Si a b

uc d

=

r, entonces

a bu

c d

− − − = − −

r, ya que ( ) 0 0

00 0

a b a b a a b bu u

c d c d c c d d

− − − − + − = + = = = − − − −

r r r

El conjunto de matrices 22M de 2 x 2 constituye un espacio vectorial. Las propiedades algebraicas de 22M son

similares a las de nR . Así mismo se tiene que mnM , es el conjunto de matrices de m x n es un espacio vectorial.

Espacios vectoriales de funciones. Sea V el conjunto de funciones cuyo dominio está formado por los números reales. Cada elemento de V, como f, transformará la recta real en la recta real. Ahora se introducirán las operaciones de la adición y la multiplicación por un escalar en V para un espacio vectorial.Sean f y g elementos cualesquiera de V. Se define la adición de f + g como una función tal que

( ) ( ) ( ) ( )f g x f x g x+ = + está expresión define a f + g como una función cuyo dominio es el conjunto de los números

reales. Para determinar el valor de f + g para cualquier número real x, se suma el valor de f en x y el valor de g en x. Esta operación recibe el nombre de adición punto por punto.En seguida se definirá la multiplicación por un escalar de los elementos de V. Sea c un escalar cualesquiera. La

multiplicación escalar de f, cf es la función ( ) ( ) ( )cf x c f x= . Esta expresión define a cf como una función cuyo


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dominio es el conjunto de los números reales. Para determinar el valor de cf para cualquier número real x, se multiplica el valor de f en x por c. Esta operación recibe el nombre de multiplicación por un escalar punto por punto.

Para visualizar de forma geométrica esas dos operaciones sobre funciones, considere dos funciones específicas:

( ) ( ) 2f x x y g x x= = . Entonces , f + g es la función definida por ( ) ( ) 2f g x x x+ = + . La multiplicación de f

por un escalar, como por ejemplo 3, es la función 3f definida por ( ) ( )3 3f x x= Una vez definidas las operaciones de

adición y multiplicación por un escalar en este espacio de funciones, V, compruebe que V es un espacio vectorial.

Axioma 1: f + g se encuentran definida por ( ) ( ) ( ) ( )f g x f x g x+ = + , f + g es una función cuyo dominio es el

conjunto de los números reales. f + g es un elemento de V; por lo tanto, V es cerrada bajo la adición.

Axioma 2: cf está definida por ( ) ( ) ( )cf x c f x= , por lo tanto, cf es una función cuyo dominio es el conjunto de

números reales. cf es un elemento de V; por consiguiente, V es cerrada bajo la multiplicación escalar.

Axioma 5: Sea 0r

la función tal que ( )0 0x =r

para todo número real x. 0r

recibe el nombre de función cero. Se tiene

que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0f x f x x f x f x+ = + = + =r r

para todo número real x. El valor de la función f + 0r

es el

mismo que el valor de f en cada x. Así, f + 0r

= f , 0r

es el vector cero.

Axioma 6: Considere la función –f definida por ( ) ( ) ( )f x f x− = − . Se demuestra que -f es la negativa de f.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )0

0

f f x f x f x

f x f x

x

+ − = + − = − =

=r

El valor de la función ( )f f+ − es el mismo que el valor de 0r

en cada x. Por

lo tanto ( ) 0f f+ − = r

. Así, -f es la negativa de f.

El espacio vectorial Complejo nC . Ahora se extenderá el concepto del espacio vectorial real nR al espacio vectorial

complejo nC . Sea ( )1,......., nu u una sucesión de n números complejos. El conjunto de dichas sucesiones se denota nC

.Por ejemplo, ( )2 3 ,4 6i i+ − es un elemento de 2 ,C mientras que ( )3 ,1 5 ,2i i− es un elemento de 3C .

Se definen las operaciones de adición y multiplicación por un escalar (por un escalar complejo c) en nC de la siguiente

manera: ( ) ( ) ( )

( ) ( )1 1 1 1

1 1

,....... ,..... ,......,

,..... ,......,

n n n n

n n

u u v v u v u v

c u u cu cu

+ = + +

=

Por ejemplo, considere los dos vectores ( ) ( )2 ,3 4 1 3 ,5 3u i i y v i i= + − = − +r r

de 2C y el escalar 4 3c i= +

.Entonces, ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2 ,3 4 1 3 ,5 3 3 2 ,8

4 3 2 ,3 4 5 10 ,24 7

u v i i i i i i

cu i i i i i

+ = + − + − + = − −

= + + − = + −

r r

r

nC con estas dos operaciones constituye un espacio vectorial complejo.

TEOREMA: Sea V un espacio vectorial, v un vector en V, 0 el vector cero de V, c un escalar y 0 el escalarCero, entonces.

a) 0v = 0b) c0 = 0c) (-1)v = -vd) Si cv = 0, entonces c = 0 o v = 0

Subespacios. Ciertos subconjuntos de espacios vectoriales forman espacios vectoriales ellos mismos. El espacio nR es


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.un conjunto de vectores en el que se ha definido las operaciones de adición y multiplicación por un escalar. nR es

cerrado bajo estas operaciones. Si suma dos vectores en nR , obtiene un elemento de nR .Si multiplica un elemento de nR por un escalar obtiene un elemento de nR . Por ejemplo, en 3R

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,2,5 3,1,7 4,3,12 3 1, 2,5 3, 6 15y+ = − = − −Considere ahora ciertos subconjuntos de nR que tienen las mismas características de cerradura.

Considere el subconjunto V de 3R , que consta de los vectores de la forma ( ), ,a a b . V consta de todos los elementos

de 3R que tienen las primeras dos componentes iguales. Por ejemplo ( ) ( )2,2,3 1, 1,5y − − que se encuentran

en V; (1,2,3) no pertenece a V. Observe que si suma dos elementos de V, obtiene un elemento de V y si multiplica un

elemento de V por un escalar, obtiene un elemento de V. Sean ( ) ( ), , , ,a a b y c c d elementos de V y sea k un

escalar. Así ( ) ( ) ( )

( ) ( ), , , , , ,

, , , ,

a a b c c d a c a c b d V

k a a b ka ka kb V

+ = + + + ∈

= ∈En V se definen las operaciones de adición y multiplicación por un escalar. V es cerrado bajo estas operaciones y posee las características algebraicas del espacio vectorial 3R . Se define como un espacio vectorial contenido en 3R . Se llama a dicho espacio vectorial un subespacio del espacio mayor.Analice la interpretación geométrica de V, en 3R es el conjunto de puntos en el espacio de 3 dimensiones. V será el subconjunto de puntos donde las componentes x y y son iguales. Estas forman un plano perpendicular al plano xy, a través de la recta y =x, z = 0. Fig. 5.1 La suma de cualquiera de los vectores de posición en el plano permanecerá en el plano. La multiplicación por un escalar de cualquier vector que se localiza en el plano también se encuentra en el plano.

Definición: Sea V un espacio vectorial y U un subconjunto no vacío de V. Se dice que U es un subespacio de V si es cerrado bajo la adición y la multiplicación por un escalar.

Ejemplo 1. Sea U el subconjunto de 3R que consta de todos los vectores de la forma ( ), 0,0a (son ceros en la

segunda y tercera componentes). Demuestre que U es un subespacio de 3R .

Solución: Sean ( ) ( ),0,0 ,0,0a y b dos elementos de U y sea k un escalar. Se tiene

( ) ( ) ( )( ) ( ),0,0 ,0,0 ,0,0

,0,0 ,0,0

a b a b U

k a ka U

+ = + ∈

= ∈La suma y el producto de un escalar pertenecen a U. Por lo tanto, U es un subespacio de 3R . Desde el punto de vista geométrico, U es el conjunto de vectores que se encuentran en el eje x. Note que la suma de los vectores se encuentra en el eje x y también la multiplicación por un escalar de cualquiera de estos vectores.

Ejemplo 2. Sea W el conjunto de vectores de la forma ( )2, ,a a b Demuestre que W no es un subespacio de 3R .

Solución: W consta de todos los elementos de 3R en los que la segunda componente es el cuadrado de la primera. Así,

por ejemplo, el vector ( )2, 4,3 se encuentra en W, mientras que el vector ( )2,5,3 no.


Fig. 5.1

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Sean ( ) ( )2 2, , , ,a a b y c c d elementos de W. Se obtiene ( ) ( ) ( )

( )( )2 2 2 2

2

, , , , , ,

, ,

a a b c c d a c a c b d

a c a c b d

+ = + + +

≠ + + +

Por consiguiente, ( ) ( )2 2, , , ,a a b c c d+ no es un elemento de W, W no se encuentra cerrado bajo la adición. W no es un

subespacio.

Ejemplo 3. Demuestre que el conjunto U de matrices diagonales de 2 x 2 es un subespacio del espacio vectorial 22M

de matrices de 2 x 2.Solución: Se debe demostrar que U es cerrado bajo la adición y la multiplicación por un escalar. Considere los dos

elementos de U siguientes: 0 0

0 0

a pu y v

b q

= =

r r se tiene que

0 0 0

0 0 0

a p a pu v

b q b q

+ + = + = +

r r

Observe que u v+r r

es una matriz diagonal de 2 x 2, por lo tanto, un elemento de U. U es cerrado bajo la adición.

Sea c un escalar. Se tiene que 0 0

,0 0

a cacu c cu

b cb

= =

r r es una matriz diagonal de 2 x 2. Así U es cerrado

bajo la multiplicación por un escalar. U es un subespacio de 22M . Este es un espacio vectorial de atrices contenido en

22M .

Teorema. Sea U un subespacio de un espacio vectorial V. U contiene el vector cero de V.

Este teorema indica por ejemplo, que todos los subespacios de 3R contienen a ( )0,0,0 .Esto significa que todos los

subespacios del espacio tridimensional pasan por el origen. Este teorema a veces se puede utilizar para comprobar con rapidez que ciertos subconjuntos no pueden ser subespacios. Si un subconjunto dado no contiene al vector cero, no puede ser un subespacio.

Ejemplo. Sea W el conjunto de vectores de la forma ( ), , 2a a a + demuestre que W no es un subespacio de 3R .

Solución: Vea si ( )0,0,0 se encuentra en W. ¿Hay algún valor de a para el cual ( ), , 2a a a + sea igual a ( )0,0,0 ?

Se iguala ( ), , 2a a a + con ( )0,0,0 , se obtiene: ( ) ( ), , 2 0,0,0a a a + = Al igualar las componentes

correspondientes, se tiene que 0 2 0a y a= + = Este sistema de ecuaciones no tiene solución. De esta

manera, ( )0,0,0 no es un elemento de W, W no es un subespacio.

Combinaciones Lineales de vectores.

Se analizó el subespacio de 3R que consta de todos los vectores de la forma ( ), ,a a b . Observe que cualquier vector de

este espacio se puede expresar de la siguiente manera: ( ) ( ) ( ), , 1,1,0 0,0,1a a b a b= + . La consecuencia de este

hecho consiste en que cada vector del subespacio se puede expresar en términos de ( ) ( )1,1,0 0,0,1y Por

ejemplo, ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2,2,3 2 1,1,0 3 0,0,1

1, 1,7 1 1,1,0 7 0,0,1

= +

− − = − + Los vectores ( ) ( )1,1,0 0,0,1y caracterizan en algún sentido

al subespacio.

Definición. Sean 1 2, ,......, mv v vr r r

vectores en un espacio vectorial V. Se dice que vr

, un vector en V, es una combinación

lineal de 1 2, ,......, mv v vr r r

si existen escalares 1 2, ,......, mc c c tales que vr

pueda expresarse de la siguiente manera:

1 21 2 ...... mmv c v c v c v= + + +r r r r

Ejemplo 1. El vector ( )5,4,2 es una combinación lineal de los vectores ( ) ( ) ( )1,2,0 , 3,1,4 1,0,3y ya que se

puede expresar de la manera siguiente: ( ) ( ) ( ) ( )5,4,2 1,2,0 2 3,1,4 2 1,0,3= + − .


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El problema de determinar si un vector es una combinación lineal de otros vectores se convierte en resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Ejemplo 2. Determine si el vector ( )1,1,5− es una combinación lineal de los vectores ( ) ( ) ( )1,2,3 , 0,1,4 2,3,6y

Solución: Analice la identidad ( ) ( ) ( ) ( )1 2 31,2,3 0,1,4 2,3,6 1,1,5c c c+ + = − ¿Se pueden encontrar escalares

1 2 3,c c y c para los cuales se cumpla esta identidad? Al aplicar las operaciones de adición y multiplicación por

un escalar, se obtiene ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 1 2 2 3 3 3

1 3 1 2 3 1 2 3

, 2 ,3 0, , 4 2 ,3 ,6 1,1,5

2 ,2 3 ,3 4 6 1,1,5

c c c c c c c c

c c c c c c c c

+ + = −

+ + + + + = −

Igualando las componentes, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

1 3

1 2 3

1 2 3

2 1

2 3 1

3 4 6 5

c c

c c c

c c c

+ = −+ + =+ + =

Se puede demostrar que este sistema de ecuaciones tiene solución única, 1 2 31, 2, 1c c c= = = −

Por lo tanto, el vector ( )1,1,5− es la combinación lineal siguiente de los vectores ( ) ( ) ( )1,2,3 , 0,1,4 2,3,6y :

( ) ( ) ( ) ( )1,2,3 2 0,1,4 1 2,3,6 1,1,5+ − = − .

Ejemplo 3. Exprese el vector ( )4,4,5 como una combinación lineal de los vectores

( ) ( ) ( )1,2,3 , 1,1,4 3,3,2y−

Solución: Analice la siguiente identidad para los valores de 1 2 3,c c y c .

( ) ( ) ( ) ( )1 2 31,2,3 1,1,4 3,3,2 4,5,5c c c+ − + = Se tiene que ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 1 2 2 2 3 3 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

, 2 ,3 , , 4 3 ,3 ,2 4,5,5

3 ,2 3 ,3 4 2 4,5,5

c c c c c c c c c

c c c c c c c c c

+ − + =

− + + + + + =

Al igualar los componentes se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 4

2 3 5

3 4 2 5

c c c

c c c

c c c

− + =+ + =+ + =

Este sistema de ecuaciones tiene muchas soluciones, 1 2 32 3, 1,c r c r c r= − + = − =

Por lo tanto, el vector ( )4,4,5 se puede expresar de muchas formas como una combinación lineal de los vectores

( ) ( ) ( )1,2,3 , 1,1,4 3,3,2y− ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 1,2,3 1 1,1,4 3,3,2 4,5,5r r r− + + − − + = Por ejemplo

Si ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

3 3 1,2,3 2 1,1,4 3 3,3,2 4,5,5

1 5 1,2,3 2 1,1,4 3,3,2 4,5,5

r

r

= ⇒ − + − + =

= − ⇒ − − − =

Ejemplo 4. Demuestre que el vector ( )3, 4, 6− − no se puede expresar como una combinación lineal de los vectores

( ) ( ) ( )1,2,3 , 1, 1, 2 1,4,5y− − − .

Solución: Considere la identidad ( ) ( ) ( ) ( )1 2 31,2,3 1, 1, 2 1,4,5 3, 4, 6c c c+ − − − + = − − Esta identidad lleva al sistema

de ecuaciones lineales siguientes:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3

2 4 4

3 2 5 6

c c c

c c c

c c c

− + =− + = −− + = −

Este sistema no tiene solución. Por consiguiente, ( )3, 4, 6− −

No es una combinación lineal de los vectores ( ) ( ) ( )1,2,3 , 1, 1, 2 1,4,5y− − −


de 26

Ejemplo 5. Determine si la matriz 1 7

8 1

− −

es una combinación lineal de las matrices

1 0 2 3 0 1,

2 1 0 2 2 0y

−

en el espacio vectorial 22M de matrices de 2 x 2.

Solución: Analice la siguiente identidad 1 2 3

1 0 2 3 0 1 1 7

2 1 0 2 2 0 8 1c c c

− − + + = −

¿Puede encontrar escalares 1 2 3,c c y c para los cuales se cumpla esta identidad? Al aplicar las operaciones de

adición y multiplicación por un escalar de matrices, se obtiene

1 2 2 3

1 2 1 2

2 3 1 7

2 2 2 8 1

c c c c

c c c c

+ − + − = + + −

Al igualar los elementos correspondientes, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales,

1 2

2 3

1 3

1 2

2 1

3 7

2 2 8

2 1

c c

c c

c c

c c

+ = −− + =

+ =+ = −

Se puede demostrar que este sistema tiene una solución única 1 2 33, 2 1c c y c= = − =

La matriz dada es, por lo tanto, la siguiente combinación lineal de las otras tres matrices,

1 0 2 3 0 1 1 73 22 1 0 2 2 0 8 1

− − − + = −

Si el sistema anterior no tuviera solución, es obvio que la matriz dada no sería una combinación lineal de las otras matrices.

Definición: Se dice que los vectores 1 2, ,......, mv v vr r r

generan un espacio vectorial si todo vector en el espacio se puede

expresar como una combinación lineal de estos vectores.Un conjunto generador de vectores define, de alguna forma, el espacio vectorial puesto que cada vector del espacio se puede obtener a partir de este conjunto.

Ejemplo 6. Demuestre que los vectores ( ) ( ) ( )1,2,0 , 0,1, 1 1,1,2y− generan 3R

Solución: Sean ( ), ,x y z un elemento cualquiera de 3R . Se tiene que determinar lo siguiente:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3, , 1, 2,0 0,1, 1 1,1,2x y z c c c= + − + Multiplique y sume los vectores para obtener:

( ) ( )31 3 1 2 3 2, , , 2 , 2x y z c c c c c c c= + + + − + Por consiguiente,

1 3

1 2 3

2 3

2

2

c c x

c c c y

c c z

+ =+ + =− + =

Este sistema de ecuaciones con las incógnitas 1 2 3,c c y c se resuelve por el método de eliminación de Gauss-

Jordan. Su solución es: 1 2 33 , 4 2 , 2c x y z c x y z c x y z= − − = − + + = − + +

Los vectores ( ) ( ) ( )1,2,0 , 0,1, 1 1,1,2y− generan 3R . Pede escribir un vector cualquiera de 3R como una

combinación lineal de estos vectores de la manera siguiente:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , 3 1,2,0 4 2 0,1, 1 2 1,1,2x y z x y z x y z x y z= − − + − + + − + − + +Esta fórmula vectorial permite expresar de inmediato un vector en 3R como combinación lineal de

( ) ( ) ( )1,2,0 , 0,1, 1 1,1,2y− .Por ejemplo si se quiere saber cómo se expresa ( )2,4, 1− en términos de estos

vectores, sustituya 2, 4, 1x y z= = = − en esta fórmula para obtener ( ) ( ) ( ) ( )2,4, 1 3 1,2,0 0,1, 1 1,1,2− = − − −


de 26

Ejemplo 7. Demuestre que las siguientes matrices generan el espacio vectorial 22M de matrices de 2 x 2

1 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 1

Solución: Sea a b

c d

un elemento cualesquiera de 22M . Se puede expresar esta matriz de la manera siguiente.

1 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 1

a ba b c d

c d

= + + +

es el resultado.

Teorema. Sean 1 2, ,......, mv v vr r r

vectores en un espacio vectorial V. Sean U el conjunto que consta de las combinaciones

lineales de 1 2, ,......, mv v vr r r

. U es un subespacio de V generado por los vectores 1 2, ,......, mv v vr r r

. Se dice que U es el

espacio vectorial generado por 1 2, ,......, mv v vr r r

Ejemplo 8. Considere el espacio vectorial 3R . Los vectores ( ) ( )1,5,3 2, 3,4y− − se encuentran en 3R . Sea U un

subconjunto de 3R . Que consta de todos los vectores de la forma ( ) ( )1 21,5,3 2, 3,4c c− + − .De esta manera, U es un

subespacio de 3R generado por ( ) ( )1,5,3 2, 3,4y− − . Los siguientes ejemplos de vectores en U, se obtuvieron dando

a 1 2c y c diversos valores.

( )( )( )( )

1 2

1 2

1 2

1 2

1, 0; 1,5,3

0, 1; 2, 3,4

0, 0; 0,0,0

2, 3; 4,1,18

c c vector

c c vector

c c vector

c c vector

= = −

= = −

= =

= =

Se puede visualizar U. U está formado por todos los vectores en el plano, definido por los vectores ( ) ( )1,5,3 2, 3,4y− −fig. 5.2

Fig. 5.2 Fig. 5.3 Fig. 5.4

Generalizando este resultado. Sean 1 2v y vr r

vectores en el espacio vectorial 3R .El subespacio U generado por

1 2v y vr r

es el conjunto de vectores de la forma 1 21 2c v c v+r r

. Si 1 2v y vr r

no son colineales U es el plano

definido por 1 2v y vr r

. Fig. 5.3

Ejemplo 9. Sean 1 2v y vr r

vectores que generan un subespacio U de un espacio vectorial V. Sean 1 2k y k

escalares distintos de cero. Demuestre que 11 2 2k v y k vr r

también generan a U.


de 26

Solución: Sea vr

un vector en U. Ya que 1 2v y vr r

generan U, existen escalares a y b, tales que 1 2v av bv= +r r r

Se puede escribir ( ) ( )1 21 21 2

a bv k v k v

k k= +

r r r así los vectores 11 2 2k v y k v

r r generan U.

Si son vectores en 3R no colineales, puede visualizar U como un plano en tres dimensiones 11 2 2k v y k vr r

serán

vectores sobre las mismas rectas que 1 2v y vr r

. Fig. 5.4

Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. Un método tradicional para demostrar que dos conjuntos A y B son iguales consiste en demostrar que cada elemento de A pertenece a B, y que cada elemento de B pertenece a A.

Ejemplo 10. Sea U el subespacio de 3R generado por los vectores ( ) ( )1,2,0 3,1,2y − . Sea V el subespacio de 3R

generado por los vectores ( ) ( )1,5,2 4,1, 2y− − Demuestre que U = V

Solución: Sea ur

un vector en U. Demuestre que ur

pertenece a V. Ya que ur

se encuentra en U, existen escalares a y b,

tales que ( ) ( ) ( )1,2,0 3,1,2 3 ,2 ,2u a b a b a b b= + − = − +r

vea si es posible expresar ur

como una combinación lineal

de ( ) ( )1,5,2 4,1, 2y− − . ( ) ( ) ( )1,5,2 4,1, 2 4 ,5 ,2 2u p q p q p q p q= − + − = − + + −r

tal que p y q deben satisfacer

4 3

5 2

2 2 2

p q a b

p q a b

p q b

− + = −+ = +− =

Este sistema de ecuaciones tiene una solución única, 2

,3 3

a b a bp q

+ −= =

De esta manera, ur

se puede expresar como ( ) ( )21,5,2 4,1, 2

3 3

a b a bu

+ −= − + −r

Por lo tanto, ur

es un vector que

pertenece a V. De la misma manera, sea ( ) ( ) ( ) ( )2 1,2,0 3,1,2v c d c d= + + − −r

Por consiguiente, vr

es un vector que

pertenece a U. Por lo tanto, U = V. Este subespacio es el plano que pasa por el origen definido por los vectores

( ) ( )1,2,0 , 3,1,2− Fig. 5.5

Fig. 5.5 Fig. 5.6 Dependencia e independencia lineal de { } 31 2,v v Rr r

Ejemplo 11. Sea U el espacio vectorial generado por las funciones ( ) ( ) 21 2 2 3f x x y g x x x= + = − + ,

demuestre que la función ( ) 26 10 5h x x x= − + se encuentra en U.

Solución: h estará en el espacio generado por f y g si existen escalares a y b, tales que

( ) ( )2 21 2 2 3 6 10 5a x b x x x x+ + − + = − + Esto da como resultado ( )2 22 2 3 6 10 5bx a b x a b x x+ − + + = − +


de 26

Si se igualan los coeficientes correspondientes, se obtiene:

2 6

2 10

3 5

b

a b

a b

=− = −+ =

Este sistema tiene una solución única a = -4,

b = -3. Así, ( ) ( )2 24 1 3 2 2 3 6 10 5x x x x x− + + − + = − + . La función ( ) 26 10 5h x x x= − + se encuentran en el

espacio generado por ( ) ( ) 21 2 2 3f x x y g x x x= + = − + .

Dependencia e Independencia Lineal. Continuamos con el desarrollo de la estructura del espacio vectorial. Se introducirán los conceptos de dependencia e independencia lineal de vectores. Estos conceptos serán herramientas útiles para construir conjuntos generadores “eficientes” de espacios vectoriales- conjuntos en los que no hay vectores de más -.

Se ilustra la idea de dependencia de vectores. Observe que el vector ( )4, 1,0− es una combinación lineal de los vectores

( ) ( )2,1,3 0,1,2y ,ya que se puede expresar de la siguiente manera ( ) ( ) ( )4, 1,0 2 2,1,3 3 0,1,2− = − Esta ecuación

se puede volver a escribir de una gran cantidad de formas. Cada vector puede expresarse en términos de los demás

vectores:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 32,1,3 4, 1,0 0,1,2

2 2

2 10,1,2 2,1,3 4, 1,0

3 3

= − + ÷ ÷ = − − ÷ ÷

cada uno de estos tres vectores depende de los otros dos. Se

expresa esta al escribir: ( ) ( ) ( ) ( )4, 1,0 2 2,1,3 3 0,1,2 0,0,0− − + = La siguiente definición precisa este concepto de

dependencia de vectores.

Definición: (a) El conjunto de vectores { }1,........ mv vr r

en un espacio vectorial V se dice que es linealmente

dependiente si existen escalares 1,......, mc c , no todos iguales a 0, tales que 11 ......... 0mmc v c v+ + =r r r

(b) El conjunto de vectores { }1,........ mv vr r

es linealmente independiente si 11 ......... 0mmc v c v+ + =r r r

sólo se puede

satisfacer cuando 1 0,......, 0mc c= =

Ejemplo 1. Demuestre que el conjunto ( ) ( ) ( ){ }1,2,3 , 2,1,1 , 8,6,10− es linealmente dependiente en 3R .

Solución: Analice la identidad 1 2 3(1,2,3) ( 2,1,1) (8,6,10) 0c c c+ − + =r

Quiere demostrar que por lo menos uno de los valores de c puede ser diferente de cero. Así, tenemos que

1 1 2 2 2 3 3 3( , 2 ,3 ) ( 2 , , ) (8 ,6 ,10 ) 0c c c c c c c c c+ − + =r

1 2 3 1 2 3 1 2 3( 2 8 ,2 6 ,3 10 ) 0c c c c c c c c c− + + + + + =r

Si iguala cada componente de este vector a cero, obtiene el sistema de ecuaciones

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 8 0

2 6 0

3 10 0

c c c

c c c

c c c

− + =+ + =+ + =

Este sistema tiene la solución 1 2 34, 2, 1c c c= = − = − . Como por lo menos uno de los valore de c es distinto de cero, el

conjunto de vectores es linealmente dependiente. La dependencia lineal se expresa por medio de la ecuación.

4(1,2,3) 2( 2,1,1) (8,6,10) 0− − − =r

Ejemplo 2. Demuestre que el conjunto { }(3, 2,2), (3, 1,4), (1,0,5)− − es linealmente independiente de 3R .

Solución: Analice la identidad 1 2 3(3, 2,2) (3, 1,4) (1,0,5) 0c c c− + − + =r

Quiere demostrar que esta identidad se cumple sólo si 1 2,c c y 3c son todos iguales a cero. Así,


de 26

1 1 1 2 2 2 3 3

1 2 3 1 2 1 2 3

(3 , 2 ,2 ) (3 , , 4 ) ( ,0,5 ) 0

(3 3 , 2 ,2 4 5 ) 0

c c c c c c c c

c c c c c c c c

− + − + =

+ + − − + + =

r

r

Al igualar los componentes a cero, se obtiene

1 2 3

1 2

1 2 3

3 3 0

2 0

2 4 5 0

c c c

c c

c c c

+ + =− − =

+ + =Este sistema tiene una solución única 1 2 30, 0, 0c c c= = = . En consecuencia, el conjunto es linealmente independiente.

Ejemplo 3. Considere las funciones 2( ) 1, ( ) 3 1, ( ) 4 1f x x g x x h x x= + = − = − + , del espacio vectorial 2P de polinomios

de grado ≤ 2. Demuestre que el conjunto de función { }, ,f g h es linealmente independiente.

Solución: Analice la identidad 1 2 3 0c f c g c h+ + =r

{ }, ,f g h es linealmente independiente si puede demostrar que esta identidad implica que 1 2 30, 0, 0c c c= = = . Puede

expresar esta identidad como2

1 2 3( 1) (3 1) ( 4 1) 0c x c x c x+ + − + − + =r

Donde x es cualquier número real. Considere tres valores convenientes de x. Se obtiene

1 2 3

1 2 3

1 2 3

0 : 0

1: 2 2 3 0

1: 2 4 5 0

x c c c

x c c c

x c c c

= − + == + − == − − + =

Se puede demostrar que este sistema de tres ecuaciones tiene la solución única 1 2 30, 0, 0c c c= = =

Por consiguiente, 1 2 3 0c f c g c h+ + =r

implica que 1 2 30, 0, 0c c c= = = . El conjunto { }, ,f g h es linealmente

independiente.

Teorema. Un conjunto que consta de dos o más vectores en un espacio vectorial es linealmente dependiente si y sólo si es posible expresar uno de los vectores como combinación lineal de los demás vectores.

Dependencia lineal de { }1 2,v vr r

. El conjunto { }1 2,v vr r

es linealmente dependiente si y sólo si es posible expresar un

vector como un múltiplo escalar del otro vector. Sea 2 1v cv=r r

. Esto implica que 1vr

y 2vr

son colineales. Fig. 5.6

Dependencia lineal de { }1 2 3, ,v v vr r r

. El conjunto { }1 2 3, ,v v vr r r

es linealmente dependiente si y sólo si es posible expresar

uno de los vectores, por ejemplo 3vr

, como combinación lineal de los otros dos vectores 1vr

, 2vr

. Sea 3 1 21 2v c v c v= +r r r

.

En general, cuando 1vr

y 2vr

son linealmente independientes, esto significa que 3vr

se encuentra ubicado en el plano

generado por 1vr

y 2vr

. Véase la figura 5.7 para 3R . Si 1vr

y 2vr

son linealmente dependientes, entonces 3vr

se localiza en

la recta que contiene a 1vr

y 2vr

.


de 26

Fig. 5.7 Dependencia e independencia lineal de { }1 2 3, ,v v vr r r

en 3R

Teorema. Sea V un espacio vectorial. Cualquier conjunto de vectores V que contenga al vector cero es linealmente independiente.

Teorema. Sea el conjunto { }1,..., mv vr r

linealmente dependiente en un espacio vectorial V. Cualquier conjunto de vectores

en V que contenga estos vectores también será linealmente dependiente.

Ejemplo 4. Sea el conjunto { }1 2,v vr r

linealmente independiente. Demuestre que { }1 2 1 2,v v v v+ −r r r r

también es linealmente

independiente.

Solución: Analice la identidad 1 2 1 2( ) ( ) 0a v v b v v+ + − =r r r r

(1)

Si puede demostrar que esta identidad implica que a=0 y b=0, entonces { }1 2 1 2,v v v v+ −r r r r

será linealmente

independiente. Así, 1 2 1 2

1 2

0

( ) ( ) 0

av av bv bv

a b v a b v

+ + − =

+ + − =

r r r r

r r

Ya que { }1 2,v vr r

es linealmente independiente, 0

0

a b

a b

+ =− =

. Este sistema tiene una solución única, a=0, b=0.

Al volver a la identidad (1), se tiene que { }1 2 1 2,v v v v+ −r r r r

es linealmente independiente.

Bases y dimensión. Se dice que una recta tiene una dimensión y que un plano tiene dos dimensiones. En esta sección se dará la definición matemática de dimensión. Dicha definición será congruente con las ideas intuitivas. A partir de los conceptos de conjunto generador e independencia lineal.

Definición. Un conjunto finito de vectores { }1,..., mv vr r

recibe el nombre de base de un espacio vectorial V si el conjunto

genera V y es linealmente independiente.Desde un punto de vista intuitivo, una base es un conjunto eficiente para representar un espacio vectorial, en el sentido de que cualquier vector se puede expresar como una combinación lineal de los vectores de la base; además, los vectores de la base son independientes unos de otros. Se introdujo el concepto de base canónica para nR al analizar las transformaciones matriciales. Ahora se verá que este conjunto de vectores satisface las condiciones de una base.

Definición. El conjunto de n vectores { }(1,0,...,0), (0,1,...,0),..., (0,...,1) es una base para nR . Esta base recibe el

nombre de base canónica para nR .

Verifique este resultado. Tiene que demostrar que este conjunto genera a nR y que es linealmente independiente. Sea

1 2( , ,..., )nx x x un elemento cualquiera de nR . Puede escribir

1 2 1 2( , ,..., ) (1,0,...,0) (0,1,...,0) ... (0,...,1)n nx x x x x x= + + + Entonces, el conjunto genera nR .

Además, cuando se analiza este conjunto para establecer la independencia lineal, se obtiene que

1 2

1 2

1 2

(1,0,...,0) (0,1,..., 0) ... (0,...,1) (0,0,...,0)

( ,0,...,0) (0, ,...,0) ... (0,..., ) (0,0,..., 0)

( , ,..., ) (0,0,..., 0)

n

n

n

c c c

c c c

c c c

+ + + =+ + + =

=


de 26

Por lo que, 1 20, 0,........ 0nc c c= = = . En conjunto es linealmente independiente. Por lo tanto, el conjunto

( ) ( ) ( ){ }1,0,....0 , 0,1,.....0 ,..... 0,0,.....1 es una base para nR . La base canónica es la más importante.

Ejemplo 1. Demuestre que el conjunto ( ) ( ) ( ){ }1,0, 1 , 1,1,1 , 1,2,4− es una base para 3R

Solución: Demuestre primero que el conjunto genera 3R . Sea ( )1 2 3, ,x x x un elemento cualquiera de 3R . Trate de

encontrar escalares 1 2 3, ,a a a tales que ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3, , 1,0, 1 1,1,1 1,2,4x x x a a a= − + + esta identidad lleva al

sistema de ecuaciones

1 2 3 1

2 3 2

1 2 3 3

2

4

a a a x

a a x

a a a x

+ + =+ =

− + + =Este sistema de ecuaciones tiene la solución 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 32 3 , 2 5 2 , 2a x x x a x x x a x x x= − + = − + − = − +Así, el conjunto genera el espacio. Ahora demuestre que el conjunto es linealmente independiente. Considere la

identidad ( ) ( ) ( ) ( )1 2 31,0, 1 1,1,1 1,2,4 0,0,0b b b− + + =Esta identidad da como resultado el siguiente sistema de ecuaciones

1

1 2 3

2 3

2 3

0

2 0

4 0

b b b

b b

b b b

+ + =+ =

− + + =

Este sistema tiene solución única, 1 2 30, 0, 0b b b= = = Por lo tanto el conjunto es linealmente independiente. Se ha

demostrado que el conjunto ( ) ( ) ( ){ }1,0, 1 , 1,1,1 , 1,2,4− genera a 3R y es linealmente independiente. Por consiguiente,

es una base para 3R .

Teorema. Sea { }1 2,.....v vr r

una base para el espacio vectorial V. Si { }1,..... mw wur ur

es un conjunto de más de n vectores en

V, entonces este conjunto es linealmente dependiente.Teorema. Dos bases cualesquiera de un espacio vectorial V consta del mismo número de vectores.Definición. Si un espacio vectorial V tiene una base que consta de n vectores, entonces la dimensión de V es n, que se

denota como ( )dim V . El conjunto de n vectores ( ) ( ){ }1,0,....0 ,..... 0,0,.....1 constituye una base (la base canónica) de

nR . Por lo que la dimensión de nR es n.

Ejemplo 2. Demuestre que { }, ,f g h donde ( ) ( ) ( )2 1, 3 1 4 1f x x g x x y h x x= + = − = − + constituyen una

base para 2P .

Solución: { }, ,f g h será una base para 2P si estas funciones generan a 2P y son linealmente independientes. Estas

funciones son linealmente independientes. Resta demostrar que generan a 2P . Sea p una función cualesquiera en 2P .

Así p es un polinomio de la forma ( ) 2p x bx cx d= + + . Las funciones f, g y h generarán a 2P si existen escalares

1 2 3, ,a a a tales que se pueden escribir ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3p x a f x a g x a h x= + + Esto da como resultado

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 21 2 3

21 2 3 1 2 3

1 3 1 4 1

3 4

bx cx d a x a x a x

a x a a x a a a

+ + = + + − + − +

= + − + − +Si compara los coeficientes, obtiene el siguiente sistema de ecuaciones.

1

2 3

1 2 3

3 4

a b

a a c

a a a d

=− =

− + =


de 26

Se puede mostrar que este sistema de ecuaciones tiene la solución 1 2 3, 4 4 , 3 3a b a b d c a b d c= = − − = − − Por lo

tanto el polinomio p se puede expresar de la manera siguiente: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3p x a f x a g x a h x= + + las funciones f, g y

h generan a 2P . Estas funciones generan a 2P y son linealmente independientes. Constituyen una base para 2P .

Ejemplo 3. Considere el conjunto ( ) ( ){ }1,2,3 , 2,4,1− de vectores en 3R . Estos vectores generan un subespacio V de

3R que consta de todos los vectores de la forma ( ) ( )1 21,2,3 2,4,1v c c= + −r

los vectores ( ){ }(1,2,3) 2,4,1y − generan

este subespacio. Además, ya que el segundo vector no es un múltiplo escalar del primero, los vectores son linealmente

independientes. Por consiguiente, ( ) ( ){ }1,2,3 , 2,4,1− constituyen una base para V. Por lo tanto, dim(V) = 2. Se sabe

que V es, de hecho, un plano que pasa por el origen.Hemos visto que cierto plano que pasa por el origen era un subespcio de dos dimensiones de 3R .

Teorema. Subespacios de 3R y sus dimensiones.

(a) El origen es un subespacio de 3R . La dimensión de este subespacio es cero.

(b) Los subespacios de una dimensión de 3R son rectas que pasan por el origen

(c) Los subespacios de dos dimensiones de 3R son planos que pasan por el origen. Fig 5.8

Fig. 5.8

Se ha dicho que un conjunto de vectores que generan un espacio vectorial caracteriza al espacio en el sentido de que cada vector en el espacio se puede expresar como una combinación lineal del conjunto generador. Puede haber más de

una combinación lineal. Por ejemplo, considere el espacio generado por el conjunto ( ) ( ) ( ){ }1,2,3 , 1,1,4 , 3,3,2− . El

vector ( )4,5,5 se puede expresar de la siguiente manera: ( ) ( ) ( ) ( )4,5,5 1,2,3 1,1,4 2 3,3,2= − + − + y

( ) ( ) ( ) ( )4,5,5 5 1,2,3 2 1,1,4 3,3,2= − − −El siguiente teorema indica que si el conjunto generador es una base, cada combinación es única. Por lo tanto, una base representa a un espacio vectorial con más exactitud que un conjunto generador.

Teorema: Sea { }1,....., nv vr r

una base del espacio vectorial V. Entonces, cada vector en V se puede expresar de forma

única como una combinación lineal de estos vectores.Suponga que un espacio vectorial es de dimensión n. El teorema siguiente, dice que no es necesario verificar la dependencia lineal ni la condición relativa a la generación de un espacio vectorial para determinar si un conjunto constituye una base.Teorema: Sea V un espacio vectorial de dimensión n.

(a) Si { }1,......, mS v v=r r

es el conjunto de n vectores linealmente independientes en V, entonces S es una base de

V.

(b) Si { }1,......, mS v v=r r

es un conjunto de n vectores que generan a V, entonces S es una base de V


de 26

Ejemplo 4. Demuestre que el conjunto ( ) ( ) ( ){ }1,3, 1 , 2,1,0 , 4,2,1− es una base de 3R .

Solución: La dimensión de 3R es tres. Una base, de 3R consta de tres vectores. Se tiene el número exacto de vectores

para una base. Normalmente, tendría que mostrar que este conjunto es linealmente independiente y que genera a 3R .(El teorema anterior) dice que es necesario verificar sólo una de estas condiciones. Compruebe la independencia lineal.

( ) ( ) ( ) ( )1 2 31,3, 1 2,1,0 4,2,1 0,0,0c c c− + + = Esta identidad da como resultado el sistema de ecuaciones

1 2 3

1 2 3

1 3

2 4 0

3 2 0

0

c c c

c c c

c c

+ + =+ + =

− + =

Este sistema tiene una solución única, 1 2 30, 0, 0c c c= = = Por consiguiente, los vectores son linealmente

independientes. El conjunto ( ) ( ) ( ){ }1,3, 1 , 2,1,0 , 4,2,1− es por lo tanto, una base de 3R .

Considere el espacio vectorial 22M de matrices de 2 x 2. Las matrices 1 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 1

Generan 22M y son linealmente independientes. Constituyen una base par 22M . La dimensión del espacio vectorial

22M es 4. La dimensión del espacio vectorial mnM es mn .

Considere el espacio vectorial de polinomios de grado 2≤ , 2P .Las funciones 2 , 1x x y generan 2P ya que

cualquier polinomio ( ) ( ) ( )2 2 1ax bx c a x b x c+ + = + + 2 , 1x x y son linealmente independientes y que

2 0ax bx c+ + = para todo valor de x. Implica que { }20, 0, 0. , ,1a b c x x= = = constituye, por lo tanto, una base para

2P . La dimensión de espacio vectorial 2P es 3. El conjunto { }1, ,......, ,1n nx x x− es una base para nP , cuya dimensión e

n+1. Esta base recibe el nombre de base canónica para nP .

Considere el espacio vectorial 2C . Los vectores ( ) ( )1,0 0,1y generan 2C en virtud de que cualquier vector

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 1,0 0,1a bi c di a bi c di+ + = + + +

( ) ( )1,0 0,1y son linealmente independientes en 2C . Por lo tanto ( ) ( ){ }1,0 , 0,1 constituyen una base para 2C , cuya

dimensión e 2. Asimismo, ( ) ( ){ }1,.......,0 ,...., 0,......,1 es una base de nC cuya dimensión es n. Esta base recibe el

nombre de base canónica de nC .Ejemplo 5. Determine (con una breve explicación) si los enunciados siguientes son verdaderos o falsos.

(a) Los vectores ( ) ( ) ( )1,2 , 1, 3 , 5,2− son linealmente dependientes en 2R

(b) Los vectores ( ) ( ) ( )1,0,0 , 0,2,0 , 1,2,0 generan 3R

(c) { }(1,0,2), (0,1, 3)− constituye una base para el subespacio de 3R que consta de los vectores ( , , 2 3 )a b a b− .

(d) Cualquier conjunto de dos vectores se puede utilizar para generar un subespacio de dos dimensiones de 3R .

Solución: (a) Verdadero: la dimensión de 2R es dos. Por consiguiente, tres vectores cualesquiera son linealmente

dependientes.(b) Falso: los tres vectores son linealmente dependientes. Por lo tanto, no pueden generar un espacio de tres

dimensiones.(c) Verdadero: los vectores generan el subespacio, ya que ( , , 2 3 ) (1,0,2) (0,1, 3)a b a b a b− = + − . Los vectores

también son linealmente independientes porque no son colineales.(d) Falso: los dos vectores deben ser linealmente independientes.


de 26

Rango de una matriz: El rango permite relacionar matrices con vectores, y viceversa. El rango es una herramienta que permite unificar muchos conceptos analizados en el curso. Las soluciones de ciertos sistemas de ecuaciones lineales, la singularidad de una matriz y la invertibilidad de una matriz están relacionados con el rango.

Definición: Sea A una matriz de m X n. Los renglones de A se pueden considerar como vectores renglón 1,..., mr r , y las

columnas como vectores columna 1,..., nc c . Cada vector renglón tiene n componentes y cada vector columna tiene m

componentes. Los vectores renglón generan un subespacio de nR llamado espacio renglón de A, y los vectores

columna generan un subespacio de mR llamado espacio columna de A.

Ejemplo 1. Considere la matriz

1 2 1 2

3 4 1 6

5 4 1 0

− Los vectores renglón de A son 1 2 3(1,2, 1,2) (3,4,1,6) (5,4,1,0)r r r= − = =Estos vectores generan un subespacio de 4R llamado espacio renglón de A. Los vectores columna A son

1

1

3

5

c

=

2

2

4

4

c

=

3

1

1

1

c

− =

4

2

6

0

c

=

Estos vectores generan un subespacio de 3R llamado espacio columna de A.

Teorema. El espacio renglón y el espacio columna de una matriz A tienen la misma dimensión.

Definición. La dimensión del espacio renglón y del espacio columna de una matriz A recibe el nombre de rango de A. El rango de A se denota como rango (A).

Ejemplo 2. Determine el rango de la matriz

1 2 3

0 1 2

2 5 8

A

=

Solución: A simple vista se tiene que el tercer renglón de A es una combinación lineal de los dos primeros renglones. (2,5,8) 2(1,2,3) (0,1,2)= + Por consiguiente, los tres renglones de A son linealmente dependientes. El rango de A

debe ser menor que 3. Ya que (1,2,3) no es un múltiplo escalar de (0,1,2) , estos dos vectores son linealmente independientes y forman una base para el espacio renglón de A. Por lo tanto, rango (A)=2.

Teorema. Los vectores renglón diferentes de cero de una matriz A de forma escalonada reducida constituyen una base para el espacio renglón de A. El rango de A es el número de vectores renglón diferentes de cero.

Ejemplo 3. Determine al rango de la matriz

1 2 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

A

=

Esta matriz se encuentra reducida a su forma escalonada. Hay tres vectores renglón diferentes de cero, a saber (1,2,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1). De acuerdo con el teorema anterior, estos tres vectores constituyen una base para el espacio renglón de A. Rango (A)=3.

Teorema. Sean A y B matrices renglón equivalentes. Entonces A y B tiene el mismo espacio renglón. Rango(A)=rango(B).


de 26

Teorema. Sea E la forma escalonada reducida de una matriz A. Los vectores renglón diferentes de cero de E constituyen una base del espacio renglón de A. El rango de A es el número de vectores renglón diferentes de cero en E.

Ejemplo 4. Encuentre una base para el equipo renglón de la siguiente matriz A y determine su rango.

1 2 3

2 5 4

1 1 5

A

=

Solución: Aplique las operaciones elementales con los renglones para encontrar la forma escalonada reducida de la

matriz A. Así,

1 2 3 1 2 3 1 0 7

2 5 4 0 1 2 0 1 2

1 1 5 0 1 2 0 0 0

≈ − ≈ − −

Los dos vectores (1,0,7), (0,1,-2) constituyen una base para el espacio renglón de A. Rango(A)=2.

Ejemplo 5. Determine una base para el espacio columna de la siguiente matriz A.

1 1 0

2 3 2

1 4 6

A

= − − −

Solución: La matriz transpuesta de A es

1 2 1

1 3 4

1 2 6

tA

− = − − −

El espacio columna de A se convierte en el espacio renglón de tA . Busque una base para el espacio renglón de tA .

Calque la matriz escalonada reducida de tA .

1 2 1 1 2 1 1 0 5

1 3 4 0 1 3 0 1 3

0 2 6 0 2 6 0 0 0

− − ≈ − ≈ − − −

Los vectores renglón diferentes de cero de esta matriz escalonada reducida, (1,0,5), (0,1,-3), son una base para el espacio renglón de tA . Exprese estos vectores en forma de columna para obtener una base del espacio columna de A. Los siguientes vectores constituyen una base del espacio columna de A.

1 0

0 , 1

5 3

−

Ejemplo 6. Determine una base para el subespacio V de 4R generado por los vectores

(1,2,3,4), ( 1, 1, 4, 2), (3,4,11,8)− − − −

Solución: Construya una matriz A cuyos renglones estén formados por los vectores anteriores.

1 2 3 4

1 1 4 2

3 4 11 8

A

= − − − −

Determine la forma escalonada reducida de A. Se tiene


de 26

1 2 3 4 1 2 3 4 1 0 5 0

1 1 4 2 0 1 1 2 0 1 1 2

3 4 11 8 0 2 2 4 0 0 0 0

− − − − ≈ − ≈ − − − Estos vectores distintos de cero de la matriz escalonada, (1 0,5,0) y (0,1,-1,2), son una base para el subespacio V.

Teorema. Sea A una matriz de n X n. Los siguientes enunciados son equivalentes.(a) A es invertible.

(b) 0A ≠ (A es no singular).

(c) El sistema de ecuaciones AX=B tiene una solución única.(d) Rango(A) = n.

Teorema. Considere un sistema de m ecuaciones con n variables. (a) Si la matriz aumentada y la matriz de coeficientes tienen el mismo rango r y r = n, entonces la solución es única. (b) Si la matriz aumentada y la matriz de coeficientes tienen el mismo rango r y r < n, entonces hay muchas

soluciones.(c) Si la matriz aumentada y la matriz de coeficientes no tienen el mismo rango, entonces no existe solución.

Vectores ortonormales y proyecciones en nR

Definición. Un conjunto de vectores en un espacio vectorial V se dice que es un conjunto ortogonal si cada par de vectores en el conjunto es ortogonal. Se dice que el conjunto es un conjunto ortonormal si es ortogonal y cada vector es unitario.

Ejemplo 1. Demuestre que el conjunto 3 4 4 3

(1,0,0), 0, , , 0, ,5 5 5 5

− ÷ ÷ es un conjunto ortonormal.

Solución: Primero muestre que cada par de vectores del conjunto es ortogonal.

3 4(1,0,0) 0, , 0

5 5 × = ÷

; 4 3

(1,0,0) 0, , 05 5

× − = ÷ ;

3 4 4 30, , 0, , 05 5 5 5

× − = ÷ ÷

Así, los vectores son mutuamente ortogonales. Resta mostrar que cada vector es unitario. Se tiene que 2 2 2

2 22

2 22

(1,0,0) 1 0 0 1

3 4 3 40, , 0 15 5 5 5

4 3 4 30, , 0 15 5 5 5

= + + =

= + + = ÷ ÷ ÷

− = + + − = ÷ ÷ ÷

Los vectores son unitarios y ortogonales. Por lo tanto, este conjunto es ortonormal.

Teorema. Un conjunto ortogonal de vectores diferentes de cero en un espacio vectorial es linealmente independiente.

Definición. Una base que es un conjunto ortogonal se dice que es una base ortogonal. Una base que es un conjunto ortonormal se dice que es una base ortonormal.

Bases canónicas


de 26

}Bases ortonormales

Teorema. Sea 1{ ,..., }nu u una base ortonormal del espacio vectorial nR . Sea v un vector en V. v se puede espresar

como una combinación lineal de los vectores de la base, de la manera siguiente:

1 1 2 2( ) ( ) ... ( )n nv v u u v u u v u u= × + × + + × .

Ejemplo 2. Los siguientes vectores 1 2,u u y 3u , constituyen una base ortonormal para 3R . Exprese al vector v=(7,-5,10)

Como una combinación lineal de estos vectores.

1 2 3

3 4 4 3(1,0,0), 0, , , 0, ,

5 5 5 5u u u = = = − ÷ ÷

Solución: Se tiene que

1

2

3

(7, 5,10) (1,0,0) 7

3 4(7, 5,10) 0, , 5

5 5

4 3(7, 5,10) 0, , 10

5 5

v u

v u

v u

× = − × =

× = − × = ÷ × = − × − = − ÷

Por consiguiente, 3 4 4 3

(7, 5,10) 7(1,0,0) 5 0, , 10 0, ,5 5 5 5

− = + − − ÷ ÷

Proyección de un vector sobre otro vector

Sean v y u vectores de nR con un ángulo α entre ellos. Véase la figura 5.9(a). El vector OAuuur

indica “qué cantidad” de v

apunta en la dirección de u. Se llamaOAuuur

a la proyección de v sobre u. Determine una expresión para OAuuur

. Ahora

bien,

cosOA OB α=uuur

La dirección del vector OAuuur

queda definida por el vector unitario /u u . Así, u u v u

OA v uu u u u

×= × = ÷ ÷ ×

uuur

Esta expresión para la proyección también se cumple si 90α > ° . Véase la figura 5.9(b). En este caso, la proyección

apunta en sentido opuesto a u. Y el signo de ( ) /( )v u u u× × es negativo.


{ }{ }{ }

2

3

4

: (1,0), (0,1)

: (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)

: (1,...,0),..., (0,...,1)

R

R

R

cosv

v uv

v u

uvu

α=

= × ÷ ÷

= ×

de 26

Definición. La proyección de un vector v sobre un vector distinto de cero u en nR se denota uproy v y se define como

u

v uproy v u

u u

×=×

Ejemplo 3. Determine la proyección del vector v = (6,7) sobre el vector u = (1,4).

Solución: En el caso de estos vectores, se tiene que (6,7) (1,4) 6 28 34

(1,4) (1,4) 1 16 17

v u

v u

× = × = + =× = × = + =

Por consiguiente, 34(1,4) (2,8)

17u

v uproy v u

u u

×= = =×

La proyección de v sobre u es (2,8).Suponga que el vector v = (6,7) representa una fuerza que actúa sobre un cuerpo localizado en el origen. Así

(2,8)uproy v = , como el componente de la fuerza en la dirección del vector u = (1,4). Desde un punto de vista físico,

(2,8) es el efecto de la fuerza en dicha dirección.

Teorema. Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt

Sea { }1,..., nv v una base para el espacio vectorial V. El conjunto de vectores { }1,..., nu u definido de la manera siguiente

es ortogonal. Para obtener una base ortonormal de V, se normaliza cada uno de los vectores 1,..., nu u .

1

1 2

1 2 1

1 1

2 2 2

3 3 3 3

...

...n

u

u u

n n u n u n u n

u v

u v proy v

u v proy v proy v

u v proy v proy v proy v−

== −

= − −

= − − − −

Ejemplo 4. El conjunto de {(1,2,0,3),(4,0,5,8),(8,1,5,6)} es linealmente independiente 4R . Los vectores forman una base

para el subespacio de tres dimensiones V de 4R . Construya una base ortonormal para V.

Solución: Sea 1 2 3(1,2,0,3), (4,0,5,8), (8,1,5,6)v v v= = = . Ahora aplique el proceso de Gram-Schmidt para construir

un conjunto ortogonal 1 2 3{ , , }u u u a partir de estos vectores.

Sea 1 1 (1,2,0,3)u v= =Sea

1

2 22 2 2 2 1

1 1

( )

( )u

v uu v proy v v u

u u

×= − = −×


(4,0,5,8) (1,2,0,3)(4,0,5,8) (1,2,0,3)

(1,2,0,3) (1,2,0,3)

(4,0,5,8) 2(1,2,0,3)

(2, 4,5,2)

×= −×

= −= −

de 26

Sea 1 2

3 1 3 23 3 3 3 3 1 2

1 1 2 2u u

v u v uu v proy v proy v v u u

u u u u

× ×= − − = − −× ×

(8,1,5,6) (1,2,0,3) (8,1,5,6) (2, 4,5,2)(8,1,5,6) (1,2,0,3) (2, 4,5,2)

(1,2,0,3) (1,2,0,3) (2, 4,5,2) (2, 4,5,2)

(8,1,5,6) 2(1,2,0,3) 1(2, 4,5,2)

(4,1,0, 2)

× × −= − − −× − × −

= − − −= −

El conjunto {(1,2,0,3),(2,-4,5,2),(4,1,0,-2)} es una base ortogonal para V. (Compruebe que el producto punto de cada par de vectores es igual a cero.)Calcule ahora la norma de cada vector y normalice los vectores para obtener una base ortonormal. Así,

2 3 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

(1,2,0,3) 1 2 0 3 14

(2, 4,5,2) 2 ( 4) 5 2 7

(4,1,0, 2) 4 1 0 ( 2) 21

= + + + =

− = + − + + =

− = + + + − =

Utilice estos valores para normalizar los vectores y llegue a la siguiente base ortonormal para V.

1 2 3 2 4 5 2 4 1 2, ,0, , , , , , , ,0,

7 7 7 714 14 14 21 21 21

− − ÷ ÷ ÷

Teorema. Sea W un subespacio de nR . Cada vector v en nR se puede expresar de forma única de la siguiente manera

v w w⊥= + .

Matrices ortogonales

Definición. Una matriz cuadrada cuyos vectores columna forman un conjunto ortonormal recibe el nombre de matriz ortogonal.

Ejemplo 7. Demuestre que la siguiente matriz A es una matriz ortogonal.

1 1

2 21 1

2 2

A

= −

Solución: Los vectores columna de A son 1

1

21

2

a

= −

y 2

1

21

2

a

=


de 26

Observe que

2 2 2 2

1 2

1 2

1 1 1 11, 1,

2 2 2 2

1 1 1 10

2 2 2 2

a a

a a

= + − = = + = ÷ ÷ ÷ ÷ × = − + = ÷ ÷ ÷ ÷

Los vectores columna A son, por lo tanto, vectores unitarios y, además, ortogonales. Por consiguiente, A s una matriz ortogonal.

Teorema. Sea A una matriz ortogonal. Entonces(a) Los vectores renglón de A forman un conjunto ortonormal.(b) A es invertible, con 1 tA A− = .

(c) 1A− es una matriz ortogonal.

(d) 1A = o -1 (que se escribe 1A = ± ).


unidad iv apuntes nov12

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