unidad ii, graficos. su importancia en fisica

GR

UES, FACULTAD DE QUIMICA Y FARMACIA. SECCION FISICA. ING.RIGOBERTO VARGAS SAAVEDRA.

GRAFICOS. SU IMPORTANCIA EN FISICA. 2014

ANÁLISIS, INTERPRETACIÓN Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE

MAGNITUDES FÍSICAS.

En esta parte estudiaremos la utilidad de las tablas de datos y los gráficos

para presentar la información obtenida al efectuar mediciones en el

laboratorio experimental y cómo pueden emplearse éstos para obtener las

relaciones entre las variables a estudiar. Además, se demostrará la

importancia de los gráficos para encontrar las expresiones matemáticas que

describen la relación entre dos magnitudes físicas. Estas relaciones

constituyen una ley cuantitativa entre las magnitudes involucradas, a las que

se les denomina variables. Una de estas variables se conoce como variable

independiente, la cual se escoge por facilidad de manipularla al medir,

variándola a voluntad. Y la otra es la variable dependiente, llamada así

porque su valor depende del efecto de cambio que se produce en la variable

independiente.

CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICOS

Para la obtención de cualquier gráfico, se acostumbra colocar la variable

independiente en el eje horizontal (eje X o eje de las abscisas) y la variable

dependiente en el eje vertical (eje Y o eje de las ordenadas); aunque en

algunos casos podría convenir lo contrario. Las escalas en cada eje se

escogen de modo que el tamaño de la gráfica permita hacer una impresión y

lectura fácil de los datos experimentales que han sido tabulados.

Dependiendo del fenómeno en particular, así debe escogerse la mínima

división de la escala. Se sugiere que al construir los gráficos la mínima

división de la escala sea múltiplo de 2, 5 ó 10, etc.

Ejemplos de gráficas:

GR



X = 4t + 2R² = 1

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

PO

SIC

ION

X (

m)

TIEMPO t (s)

POSICIÓN CONTRA TIEMPO

V = 2.5t2

R² = 1

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

VEL

OC

IDA

D (

m/s

)

TIEMPO t(s)

VELOCIDAD CONTRA TIEMPO

GR



PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA ENTRE LAS VARIABLES

PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Dos magnitudes Y y X son directamente proporcionales, cuando al multiplicar

una de ellas por un número, la otra queda multiplicada por el mismo número.

Existen cuatro formas de representar la relación de proporcionalidad directa:

Y X: y se lee “Y es proporcional a X”

𝒀 = 𝑲𝑿 o 𝒀

𝑿= 𝑲, donde K es la constante de proporcionalidad entre

las variables.

𝑌1

𝑋1=

𝑌2

𝑋2 o

𝑌1

𝑌2=

𝑋1

𝑋2

A través de un gráfico:

Y

𝒀 ∝ 𝑿

𝒀 = 𝑲𝑿

X

Y

∆𝒀 ∝ ∆𝑿 o ∆𝒀 = 𝑲∆𝑿

𝒀 = 𝑲𝑿 + 𝒃

b

X

GR



Ejemplo: Los datos siguientes corresponden a masas y volúmenes de alcohol etílico.

Masa: m (g) Volumen: V (cm3)

7.60 10.0

19.0 25.0

30.4 40.0

45.6 60.0

57.0 75.0

68.4 90.0

76.0 100

Elabore un gráfico masa contra volumen y a partir de éste determine la relación entre las magnitudes masa y volumen. R/ m = 0.760 V

PROPORCIONALIDAD INVERSA

Dos magnitudes Y y X son inversamente proporcionales cuando al multiplicar una de ellas por cierto número, la otra queda dividida entre ese número.

Esta relación la podemos expresar también de cuatro formas:

𝑌 ∝ 1

𝑋 , y se lee: “Y es inversamente proporcional a X”

𝑌 = 𝐾

𝑋 o 𝑌 𝑋 = 𝐾.

𝑌1 𝑋1 = 𝑌2 𝑋2 o 𝑌1

𝑌2=

𝑋2

𝑋1.

A través de un gráfico:

Y

𝒀 ∝ 𝟏

𝑿

𝒀 = 𝑲

𝑿

X

GR



Ejemplo: La relación entre la velocidad de un objeto y el tiempo que tarda en recorrer cierta distancia es inversamente proporcional. Demuestre dicha relación a través de un gráfico velocidad contra tiempo utilizando los datos de la tabla siguiente,

V (m/s) t (s)

50.0 10.0

20.0 25.0

10.0 50.0

6.67 75.0

5.00 100

3.33 150

2.50 200

R/ V t = 500

GR



PENDIENTE DE UNA CURVA EN DOS DE SUS PUNTOS

Está pendiente se define como la pendiente de la recta secante que pasa por dichos puntos. Se calcula como una pendiente media, así

𝑚 = ∆𝑌

∆𝑋=

𝑌2 − 𝑌1

𝑋2 − 𝑋1

(Tópico suplementario)

Derivada de funciones algebraicas de una sola función.

Sea Y una variable dependiente, es decir, Y = f(X), donde X es la variable independiente.

Sea f(X) una función continua; la derivada de esta función se denota así,

𝐷𝑋 = 𝑑𝑌

𝑑𝑋= 𝑓´(𝑋)

Propiedades generales de la derivada.

i) Si f(X) = C, donde C es una constante, entonces f´(X) = 0.

ii) Si f(X) = X, entonces f´(X) = 1.

iii) Si f(X) = CX, entonces f´(X) = C.

iv) Si f(X) = Xn, entonces f´(X) = nXn – 1.

v) Si f(X) = CXn, entonces f´(X) = nCXn – 1.

Y

Y2 P2

Y

Y1 P1

X

X1 X2 X

GR



PENDIENTE DE UNA CURVA EN UNO DE SUS PUNTOS

La pendiente de una curva en uno de sus puntos se define como la pendiente de la recta tangente que pasa por dicho punto. Se calcula así,

𝑚𝑡𝑔 = 𝑑𝑌

𝑑𝑋

Ejemplo: Y varia con X de acuerdo a la expresión Y = 2X2 + 3X – 3.

(a) Haga una tabla de valores de Y para valores de X tales que

– 3 X 2. (b) Haga el grafico Y contra X. (c) Encuentre la pendiente media entre los puntos (– 1, – 4) y (1, 2). (d) Encuentre la pendiente en el punto (– 3, 6).

PROPORCIONALIDAD DIRECTA Y Xn.

Esta relación se puede expresar como:

𝑌 = 𝐾 𝑋𝑛

Donde K es la constante de proporcionalidad y n es otra constante que

representa el exponente al cual se eleva la variable independiente. Para

estas constantes, se debe determinar su valor.

Y

Recta tangente

Yo Po

X

Xo

GR



Cuando se estudia este tipo de relación es necesario diferenciar los

siguientes casos, dependiendo el valor que toma n.

DETERMINACION DE LAS CONSTANTES K Y n.

Si Y Xn, entonces Y = K Xn ó 𝑌

𝑋𝑛= 𝐾 , de tal manera que se puede

expresar:

𝑌1

𝑋1𝑛 =

𝑌2

𝑋2𝑛 =

𝑌3

𝑋3𝑛 = ⋯ = 𝐾

Si tomamos esta expresión para dos puntos cualesquiera P1 (X1 , Y1) y

P2 (X2 , Y2), podemos escribir lo siguiente:

𝑌1

𝑌2=

𝑋1𝑛

𝑋2𝑛

𝑌1

𝑌2= [

𝑋1

𝑋2]

𝑛

Aplicando logaritmos a ambos miembros de la ecuación se tiene:

𝐿𝑜𝑔 (𝑌1

𝑌2) = 𝐿𝑜𝑔 (

𝑋1

𝑋2)

𝑛

𝐿𝑜𝑔 (𝑌1

𝑌2) = 𝑛𝐿𝑜𝑔 (

𝑋1

𝑋2)

Por lo tanto, podemos encontrar n con la siguiente expresión:

Y Y Y

X X X

n 1 n 0 0 n 1

GR



𝑛 = 𝐿𝑜𝑔 (

𝑌1

𝑌2)

𝐿𝑜𝑔 (𝑋1

𝑋2)

Y el valor de K lo encontramos con cualquiera de las dos expresiones

siguientes:

𝐾 = 𝑌1

𝑋1𝑛 ó 𝐾 =

𝑌2

𝑋2𝑛

Ejemplo: Determine la ecuación que mejor relaciona a las variables Y y X

utilizando los valores que aparecen en la tabla siguiente,

Y 0 0.300 2.40 8.10 19.2 37.5

X 0 1 2 3 4 5

Ejemplo: Determine la ecuación que mejor relaciona a las variables V y t


V 3.50 0.875 0.389 0.219 0.140 0.097

t 1 2 3 4 5 6

Ejemplo: Determine la ecuación que mejor relaciona a las variables F y t


F 0 4.00 6.73 9.12 11.3 13.4

t 0 1 2 3 4 5

GR



RELACIÓN EXPONENCIAL DEL TIPO Y = A C± X

Cuando dos magnitudes cumplen una relación del tipo Y = A C± X, la

problemática consiste en determinar los valores de las constantes A y C.

Dichas constantes se pueden calcular gráficamente o analíticamente.

Si C 1, A 0 con X 0 entonces la función es creciente tal como se

muestra en la figura siguiente

Para el caso en que X 0 entonces la función es decreciente tal como se

muestra en la figura siguiente

Una característica de este tipo de gráficos es de que cortan al eje Y, valor

que se lee en dicho gráfico para X = 0. Este intercepto representa el valor de

A en la ecuación.

Y

Y = AC+X

A

X

Y

A Y = AC X

X

GR



CÁLCULO ANALÍTICO DE LAS CONSTANTES A Y C.

Para determinar los valores de las constantes se plantean inicialmente las

ecuaciones:

𝑌1 = 𝐴𝐶𝑋1

𝑌2 = 𝐴𝐶𝑋2

Dividiendo ambas ecuaciones

𝑌1

𝑌2=

𝐴𝐶𝑋1

𝐴𝐶𝑋2

𝑌1

𝑌2=

𝐶𝑋1

𝐶𝑋2= 𝐶𝑋1𝐶𝑋2

𝑌1

𝑌2= 𝐶(𝑋1𝑋2)

Aplicando logaritmos a la expresión anterior

𝐿𝑜𝑔 (𝑌1

𝑌2) = 𝐿𝑜𝑔𝐶(𝑋1𝑋2) = (𝑋1 − 𝑋2)𝐿𝑜𝑔𝐶

De donde obtenemos

𝐿𝑜𝑔𝐶 = 𝐿𝑜𝑔 (

𝑌1

𝑌2)

(𝑋1 − 𝑋2)

Luego para determinar C

𝐶 = 10[𝐿𝑜𝑔(

𝑌1𝑌2

)

𝑋1−𝑋2]

Conocido el valor de C, se calcula A así:

𝐴 = 𝑌1

𝐶𝑋1=

𝑌2

𝐶𝑋2

GR



Son ejemplos de este tipo de relación:

(a) Exponencial creciente: Tamaño de una colonia de bacterias en función

del tiempo.

(b) Exponencial decreciente: Evaporación de una masa de agua en

función del tiempo, decaimiento de un material radiactivo, variación de

la presión atmosférica con la altitud.

Ejemplo: La siguiente tabla de valores representa el crecimiento de bacterias

en cierto cultivo en función del tiempo

t (horas) 0 1 2 3 4 5

N (número de bacterias) 1 000 2 000 4 000 8 000 16 000 32 000

(a) Determine la función N (t) que describe el crecimiento bacteriano.

(b) Calcule cuantas bacterias habrá al cabo de 25 horas.

(c) Calcule el tiempo que se necesita para lograr que la población alcance

el número de 28 000 bacterias.

GR



PAPEL LOGARÍTMICO DE 2 CICLOS X 2 CICLOS

2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9

2

3

4

5

6

7

8

9

2

3

4

5

6

7

8

9

1 1 11

1

1

GR



PAPEL LOGARÍTMICO DE 3 CICLOS X 2 CICLOS

2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9

2

3

4

5

6

7

8

9

2

3

4

5

6

7

8

9

2

3

4

5

6

7

8

9

1 1 11

1

1

1

GR



PAPEL SEMILOGARÍTMICO DE 2 CICLOS X ESCALA MÉTRICA

2

3

4

5

6

7

8

9

2

3

4

5

6

7

8

9

1

1

1

GR



PAPEL SEMILOGARÍTMICO DE 3 CICLOS X ESCALA MÉTRICA

2

3

4

5

6

7

8

9

2

3

4

5

6

7

8

9

2

3

4

5

6

7

8

9

1

1

1

1

unidad ii, graficos. su importancia en fisica

Engineering