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PROBABILIDAD:
.- Terminología Básica.
.- Técnicas de Conteo de Puntos Muestrales.
.- Enfoques para el cálculo de probabilidades:
1.-Enfoque Clásico.
2.-Enfoque Frecuencial Limitante.
3.-Enfoque de Suma de los Pesos.
4.-Enfoque Subjetivo.
.-Probabilidad Condicional.
.-Eventos Independientes.
.-Teorema de Bayes.
Contenido del Capitulo:
OBJETIVOS DE
APRENDIZAJE:
1.-Identificar la
terminología básica de
introducción a la teoría
de probabilidades
2.-Identificar las
técnicas de conteo de
puntos muestrales.
3.-Identificar los
distintos enfoques para
el calculo de
probabilidades
4.-Evidenciar la
aplicación del teorema
de Bayes en situaciones
reales
Capitulo III. Muestreo
2
CAPITULO II: PROBABILIDAD
2.1 Terminología Básica.
Sistemas Determinísticos: Sistemas que interactúan de forma
predecible, de modo que podemos describir con certeza, de manera
apriorística su comportamiento. Ejemplo: En el vacío se puede asegurar
al dejar caer un objeto su velocidad será 98m/s transcurridos 10 s de viaje
Sistemas Probabilísticas: Son sistemas con un comportamiento no
predecible, sujetos a incertidumbre. Ejemplos: La Inflación, El Sistema
Económico Mundial, el Clima Organizacional.
Nota: La mayoría de los sistemas son de naturaleza probabilística, allí
radica la importancia del conocimiento de la Teoría de Probabilidades y el
manejo apropiado de la Estadística.
Experimento Estadístico: Proceso del cual se derivan una serie de
resultados de naturaleza aleatoria. Ejemplos:
a) Observar el número de personas que hablan por el celular mientras
manejan, en la Av. Lara.
b) Lanzar un dado y observar el resultado que se presentan en la cara
superior
.
Una de las definiciones básicas en un curso de introducción a la teoría de
probabilidades, es la de espacio muestral y se presenta a continuación.
Capitulo III. Muestreo
3
Definición
Espacio Muestral: Conjunto de todos los resultados posible de un
experimento estadístico. Se representa por el símbolo “S”
A cada resultado del espacio muestra se le denomina punto muestral.
Ejemplo 1:
En referencia al experimento que consiste en lanzar un dado y observar el
resultado que se presenta en la cara superior, el espacio muestral S de
resultados posibles es:
S = {1, 2, 3, 4, 5,6}
Si “S” finito o infinito contable, se le denomina Espacio Muestral Discreto
Si “S” constituye un intervalo real o unión de intervalos reales, se le denomina
Espacio Muestral Continuo
Ejemplo 2:
Al lanzar un dado y observar el resultado que se presenta en la cara
superior, el espacio muestral “S” es discreto finito, pues:
S = {1, 2, 3, 4, 5,6}
Ejemplo 3:
Lanzar una moneda hasta que salga cara, el espacio muestral “S” es
discreto infinito, pues:
S = {c, sc, ssc, sssc, ssssc…}.
Ejemplo 4:
Capitulo III. Muestreo
4
Si medimos el tiempo que transcurre hasta que falla un componente
electrónico, el espacio muestral “S” es continuo, pues:
S = {0, ∞}.
Para un número considerable de puntos Muestrales, resulta práctico expresar
el espacio muestral como una regla o enunciado:
Ejemplo 5:
El número de puntos internos en una circunferencia de radio 3 con
centro en el origen
S = {(x,y / x2 + y2 <= 9; x>=0, y>=0}
En experimentos de muestreo, que implican la selección artículos de un lote
debemos considerar si la selección se lleva a cabo:
Sin Reemplazo: El artículo seleccionado no se coloca de nuevo en el lote,
antes de seleccionar el siguiente.
Con Reemplazo: El artículo seleccionado se coloca de nuevo en el lote,
antes de seleccionar el siguiente.
Ejemplo 6: Un lote contiene tres artículos {1, 2,3}.el experimento consiste en
seleccionar dos de ellos
Si el experimento se lleva a cabo Sin Reemplazo:
S = {12, 13, 21, 23, 31,32}
Si el experimento se lleva a cabo Con Reemplazo:
S = {12, 13, 21, 23, 31, 32, 11, 22,33}
Definición
Capitulo III. Muestreo
5
Evento: De manera frecuente, el interés recae en un conjunto particular de
resultados, así un evento constituye un subconjunto del espacio muestral en
un experimento estadístico. El evento se simboliza con una letra mayúscula
distinta de la “S” que la utilizamos para simbolizar el espacio muestral
Ejemplo 7:
Al lanzar un dado y observar el resultado que se presenta en la cara superior
y verificar que el mismo sea un número par:
A = {2, 4, 6}
Complemento: El complemento de un evento A, denotado por A’ es el
conjunto formado por todos aquellos elementos (puntos muestrales)
pertenecientes a “S” que no están en A.
Ejemplo 8: En referencia al ejemplo anterior el evento complementario se
verifica si sucede un número impar:
A’ = {1, 3, 5}
En algunos casos expresaremos eventos a través de operaciones básicas de
conjunto, tales como intersecciones, uniones y complementos. A continuación
se definen de manera sencilla algunas de las operaciones básicas con
conjuntos, a saber:
La Unión de dos eventos A y B (A B) es el evento formado por los
resultados que están en A o están en B o en ambos.
Para visualizar de manera rápida el conjunto de relaciones entre eventos
haremos uso de una herramienta gráfica denominada Diagrama de Venn
Gráfico 1. Diagrama de Venn
Capitulo III. Muestreo
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Fuente: Elaboración Propia
La Intersección de dos eventos A y B (A B) es el evento formado por los
resultados que están en A y están en B.
Gráfico 2.Diagrama de Venn. Intersección de Eventos
A B
)( BA
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Fuente: Elaboración Propia
Ejemplo 9
1) En las últimas 10 rondas semifinales en las cuales han participado
Caracas y Magallanes, al menos uno de los equipos ha accedido a la
final Caracas en 8 oportunidades y Magallanes en 4 de ellas dibuje el
Diagrama de Venn donde se muestren el conjunto de relaciones entre
los eventos.
En primer término se definen los siguientes eventos
C: Evento que corresponde a que Caracas acceda a la final.
M: Evento que corresponde a que el Magallanes acceda a la final
A continuación se muestra un sencillo Diagrama de Venn en el que se
visualizan el conjunto de relaciones entre los eventos que se definieron
anteriormente
Gráfico 3. Diagrama de Venn para las finales en que han participado
Caracas y Magallanes
A B
)( BA
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Fuente: Elaboración Propia
Puede visualizarse que en las últimas 10 oportunidades en las cuales los
equipos Caracas y Magallanes han accedido al ROUND ROBIN:
En 2 oportunidades ambos equipos han pasado a la final.
En 6 oportunidades el Caracas ha pasado con un equipo diferente de
Magallanes a la final.
En 2 oportunidades el Magallanes ha pasado con un equipo diferente
del Caracas a la final.
2.2 Técnicas de Conteo de Puntos Muestrales.
Antes de aprender a cuantificar la probabilidad de un evento, es
importante desarrollar destrezas en el conteo de los puntos muestrales
asociados a un suceso. A continuación se presentan una serie de Técnicas
que facilitan el conteo de los elementos asociados al espacio muestral.
REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN O PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE
CONTEO.
2 C M
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Capitulo III. Muestreo
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Esta Regla se aplica cuando el espacio muestral se construye por
etapas, o el experimento se conforma de varias operaciones.
Hagamos las siguientes consideraciones:
Cada etapa (j) del experimento puede tener nj resultados posibles
j=1,2,….k
Cada uno de los resultados puede ocurrir independientemente de los
resultados que se presente en las otras etapas.
Luego el número total de puntos muestrales de este espacio muestral
conformado por etapas es viene dado por:
nknnnn ....3.2.1
NOTA: Al aplicar la regla hay que tomar en cuenta, si el experimento
se efectúa considerando una serie de restricciones.
Ejemplo 10:
Se lanza una moneda y posteriormente un dado. Calcular el tamaño del
espacio muestral.
Solución
Observamos que en este experimento el espacio muestral se construye en
dos etapas, fase u operaciones.
Etapa 1: Lanzamiento de la moneda. Con n1= 2 resultados posibles
Etapa 2: Lanzamiento del dado Con n2= 6 resultados posibles.
Luego la ocurrencia simultánea de ambas operaciones viene dada por:
126.22.1 nnn Así el espacio está constituido por 12 puntos muestrales.
A través de un diagrama de árbol se puede visualizar cada uno de los puntos
muestrales, y realizar el conteo en experimentos que no den como resultado
un número muy grande de puntos muestrales
En este Caso:
Capitulo III. Muestreo
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Gráfico 4. Diagrama de Árbol para el Experimento de Lanzar una moneda
y posteriormente un dado
Fuente: Eduardo Pinto
Luego para la construcción del espacio muestral comenzamos a formar los
puntos leyendo de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo.
6,5,4,3,2,1,6,5,4,3,2,1 ssssssccccccS
Cara
( C)
Sello
( S )
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
Capitulo III. Muestreo
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* Queda propuesto al lector resolver este problema con la siguiente
restricción: Lanzar el dado únicamente si cae cara.
Definición
Permutación
Una permutación es un arreglo u ordenamiento de un conjunto de
elementos.
NOTA: En las permutaciones importa el orden en el que se
constituyen los arreglos, así una modificación en la posición relativa de
un elemento genera un arreglo distinto
Definición
Permutación de n objetos distintos
El número de permutaciones de n objetos diferentes viene dado por
n !
Ejemplo11:
La abuela María manda a su nieto gollo a jugarle la “permuta” del número 965
por 100 Bs. ¿Cuánto debe gastar Gollo?
Solución:
Tenemos tres elementos distintos el número de permutaciones viene dado
por:
n!
En este caso el número de arreglos distintos es 3! = 6
¡Aquí están los 6 arreglos diferentes!:
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965
956
596
569
695
659
El problema puede ser resuelto a través de la regla de la multiplicación de la
siguiente manera:
Consideremos el número de opciones de posicionamiento en los lugares
correspondientes a las centenas, decenas y unidades respectivamente con la
condición de que número utilizado en el arreglo no se repita.
centenas Decenas Unidades
3 2 1
n1 n2 n3
Luego n =n1.n2.n3=3.2.1=6 posibles números
Así la Abuela María debe darle 600 Bs. a Gollo para realizar la apuesta.
Definición
Permutación de n objetos distintos tomando “r” a la vez (Variaciones)
El número de permutaciones de un subconjunto de “r” objetos seccionados de
un conjunto de “n” elementos diferentes viene dado por:
)!(
!)1)...(2).(1(Pr
rn
nrnnnn
Ejemplo12: En referencia al problema anterior, ahora la abuela María le pide
a Gollo le juegue todos los “terminales” posibles para el triple 965. Nota: El
terminal se constituye por los dos últimos dígitos de la tríada formada.
Sol:
Capitulo III. Muestreo
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En este caso debemos buscar todas aquellas permutaciones o variaciones
distintas de dos dígitos que se pueden formar con los dígitos 9,6 y 5.
61
6
)!23(
!323
P
En este caso Gollo debe comprar 6 terminales diferentes:
65
56
96
69
95
59
NOTA: En los casos anteriores los “n” elementos ha “acomodar”
eran distintos. Vamos a analizar que sucede cuando “no todos” los
elementos son diferentes.
Definición
Permutación de n objetos de los cuales n1 son de un tipo, n2 de otra
categoría hasta nk
El número de permutaciones n = n1 +n2+…+nk objetos es:
!!...3!.2!.1
!
nknnn
n
En los casos en los que no importe el orden sino las distintas selecciones
diferentes posibles utilizaremos las combinaciones
Capitulo III. Muestreo
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Definición
Combinación
El número de combinaciones de n objetos diferentes tomando r a la vez: es:
)!(!
!
rnr
nnCr
Las siguientes interrogantes se responden haciendo uso de una combinación::
De cuantas maneras distintas se pueden seleccionar 5 estudiantes
de una sección de 40?
Cuántas muestras diferentes de 15 ejes pueden seleccionarse de
un lote de tamaño 50?
Cuantos cartones diferentes de Kino pueden imprimirse en un
sorteo semanal cualquiera?
En Resumen
Gráfico Nº 5. Diferencia entre Permutación y Combinación
Fuente: Elaboración Propia
NO IMPORTA EL
ORDEN
ARREGLO IMPORTA EL
ORDEN PERMUTACION
SELECCIONAR COMBINACION
Capitulo III. Muestreo
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Ejemplo 13:
1) El apretón de manos
Las personas que asistieron a una fiesta se estrecharon la mano. Uno de ellos
advirtió que los apretones de mano fueron 66. ¿Cuantas personas
concurrieron a la fiesta?
SOLUCIÓN
Este interesante problema está propuesto en la sección denominada
“Matemática Recreativa” de la colección de fascículos titulada “El Mundo de
las Matemáticas”, se sugiere resolverlo en un fascículo dedicado a las
aplicaciones de las ecuaciones, en este caso se obtendrá una solución a
través de una de las técnicas de conteo (Combinación), y se le deja al lector el
encontrar otras formas de solucionar el acertijo.
Es fácil visualizar con un pequeño ejemplo que el número de apretones viene
dado por n C 2. Supóngase que los profesores Roger, Noel, Edgar y
Víctor se encuentran en la mañana a la hora en que Deyanira sirve el café
¿cuantos apretones de mano son posibles?
Roger – Noel; Roger – Edgar; Roger – Víctor; Noel – Edgar; Noel –Víctor;
Edgar – Víctor
Fácilmente podemos percatarnos que el apretón de manos Roger – Noel es el
mismo Noel – Roger, dado que no importa el orden el número de apretones
podemos encontrarlo rápidamente a través del combinatorio de 4 en 2
4C2 = 6
Capitulo III. Muestreo
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Ahora en este problema desconocemos el valor de n, sin embargo sabemos
que:
66
!2!2
!2
n
nnC
Resolviendo
66
)!2!.(2
!21
n
nnn
Luego tenemos la siguiente ecuación de 2º Grado
n2 - n - 132 = 0
Resolviendo la ecuación:
n = 12.
Así asistieron 12 personas a la fiesta.
Ejemplo 14:
La jugada hípica exótica conocida como exacta consiste en acertar, las dos
primeros lugares en el orden correcto en una carrera de caballos; es decir si
Ud. jugó la exacta 7-8 el número 7 debe figurar en el primer lugar y el 8
ocupar la segunda posición. En una hipotética carrera con 10 caballos
participando cuantas apuestas debe realizar para tener la absoluta seguridad
de acertar la exacta
Solución
En esta caso importa el orden en que se formen las posibles “duplas”,
por lo tanto, el problema consiste en encontrar el número de permutaciones
de “n” objetos tomando “r” a la vez; en este caso, 10 objetos en grupos de
tamaño 2:
Capitulo III. Muestreo
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909.10)!210(
!10210
P
El jugador tiene que realizar 90 apuestas para la que exacta constituyese un
evento seguro, obviamente esto implicaría una inversión de:
Bsexactas
Bsexactas 180000
200090
Capitulo III. Muestreo
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Técnicas de Conteo de Puntos Muestrales.
Ejercicios Propuestos
1) ¿Cuántos números de 4 dígitos pueden formarse con los dígitos 0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7,8?
a. Sí cada uno puede utilizarse una sola vez.
b. ¿Cuántos de estos números son impares?
c. ¿Cuántos de estos números son pares?
Nota: Para que el número formado sea considerado de 4 dígitos en la
posición correspondiente a las unidades de mil debe aparecer un número
distinto de 0?
2) Pedro y su esposa Ofelia están decidiendo el nombre de su primer hijo
como buenos maracuchos el nombre debe contener las iniciales de los
nombres de sus padres y abuelos. Los abuelos son Maria y Eduardo y Pablo
y Ana. ¿Cuántos nombres contiene la lista de la cual harán la selección?
3) ¿De cuantas maneras puede finalizar la temporada el equipo REAL
MADRID FC. Con 25 victorias 10 empates y cinco derrotas?
4) Un Comité Paritario de Higiene y Seguridad (CPHS) es un equipo de
trabajo, formado por representantes de la dirección y de los trabajadores,
quienes se integran con el propósito de encontrar soluciones y mejoras
efectivas en diversos ámbitos tales como: La Protección de las Personas y la
Seguridad de toda Empresa. En toda empresa, faena, sucursal o agencia en
que trabajen más de 25 personas se organizarán Comités Paritarios de
Higiene y Seguridad. Un Comité Paritario de Higiene y Seguridad se
constituye de por tres representantes patronales y tres representantes de los
trabajadores. Si una empresa se constituye de 60 trabajadores y la Junta
Capitulo III. Muestreo
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Directiva la conforman 5 miembros ¿Cuántos Comités de Higiene y
Seguridad diferentes se pueden constituir?
5) En una planta química se utilizan 20 tanques para almacenar el producto
final. Se escogen cuatro tanques, sin reemplazo, al azar. Suponga que seis
tanques contienen material en el que la viscosidad excede los requerimientos
del cliente ¿Cuántas muestras distintas de tamaño cuatro contienen al menos
un tanque con material de viscosidad alta?
6) Del 1 al 775 ¿Cuántas veces aparece el número siete?
7) Un restaurante ofrece cebolla, salsa, mostaza y picante como condimento
para su agregado a una hamburguesa simples. ¿Cuántas clases de
hamburguesas puede preparar si los sabores se clasifican en: sin sabor,
con uno, con dos, tres o cuatro condimentos a la vez?
8) En la primera fase del Campeonato Mundial de Fútbol Alemania 2006
participan 32 Equipos, distribuidos en 8 Grupos constituidos por 4 Equipos
cada uno. En el Grupo cada equipo debe jugar una vez con sus tres
contrincantes restantes clasificando los dos mejores de cada grupo. ¿Cuál
es el total de partidos a efectuar en la primera ronda?
9) La jugada Hípica denominada superfecta consiste en acertar en una
carrera cualquiera, los ejemplares que arriben en los cuatros primeros
lugares en ese estricto orden; es decir si compramos un boleto sencillo con
los números (7-5-2-4) el número 7 debe finalizar primero, el 5 concluir
segundo, el 2 arribar en el tercero y el 4 ocupar la cuarta casilla. En una
carrera en la que participen 14 ejemplares ¿Cuántas Superfectas son
posibles?
10) Del 1 al 1998 cuantas veces aparece el número 9
Capitulo III. Muestreo
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2.3 Definición De Probabilidad. Enfoques Para Su Cálculo
PROBABILIDAD
La probabilidad es una medida para cuantificar el grado de
incertidumbre respecto a un suceso. Esta medida suministra información
en torno a la posibilidad de que un hecho o evento se presente. Sus orígenes
se remontan al siglo XVI cuando los reyes contrataban a los matemáticos
famosos para idear métodos para incrementar sus ganancias en los juegos de
azar, por eso algunos afirman que “La Probabilidad nació en el juego y es
jugando como se aprende probabilidad.”Hoy día la Teoría de Probabilidades
constituye el fundamento de la Estadística Inferencial, la cual es ampliamente
utilizada por los ingenieros para sacar conclusiones de diversos procesos en
base a evidencias muestrales
ENFOQUES PARA EL CÁLCULO DE PROBABILIDADES.
Para calcular la probabilidad de un evento es necesario reunir
información relevante en torno a dicho suceso, dependiendo de dicha
información se utilizarán diferentes reglas o enfoques para su cuantificación.
ENFOQUE I: METODO DE LAS FRECUENCIAS RELATIVAS.
Esta definición fue dada en 1921 por Richard Von Nisses y ampliada y
convertida en teoría por Kolmogorov en 1933.
Capitulo III. Muestreo
21
Definición:
Al repetir u observar un procedimiento un gran número de veces, cuente las
ocasiones en las que el suceso A ocurre en la realidad. En base a estos
resultados, la P(A) se estima de la siguiente forma:
N
n
esrepeticiondeNúmero
AocurrequevecesdeNúmeroAP )(
En su forma límite la definición frecuencial es la siguiente:
N
nAP Lim
N
)(
Es a partir de este enfoque que se considera que cuando una moneda es
“legal” o no “cargada” la probabilidad de obtener una cara tiende al valor 50%
luego de un número considerable de ensayos
Gráfico Nº6. Definición Frecuencial
Capitulo III. Muestreo
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Fuente: Elaboración Propia
ENFOQUE II: METODO CLÁSICO (requiere un espacio muestral
equiprobable)
La primera definición formal fue postulada por el médico y matemático
Girolamo Cardano (1501-1576) y la forma que aún sigue vigente fue
presentada por Laplace quien la enuncia de la siguiente manera.
Definición
Si un experimento dado tiene N resultados simples distintos, cada uno de los
cuales tiene la misma probabilidad de ocurrir. Si el evento A puede ocurrir en
n de estas N formas, entonces la probabilidad del evento A viene dada por:
N
n
posiblesresultadosnúmero
AafavorablesresultadosdenúmeroAP )(
DEFINICION FRECUENCIAL LIMITANTE
¡Es poco probable que el Real
Mallorca le gane al REAL MADRID¡
La probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda es 50%
El experimento se repite un gran número de veces bajo condiciones
similares
Según este enfoque la probabilidad es el cociente entre las veces que ocurre el evento y el número de veces que se repite el
experimento
Capitulo III. Muestreo
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Nota: “N” representa el tamaño del espacio muestral, y para
su cálculo se debe hacer uso de las técnicas de conteo de puntos
muestrales aprendidas.
ENFOQUE III: Suma de Pesos
La probabilidad de un evento A es la suma de los pesos de los puntos
muestrales asociados al evento A.
Axiomas de Probabilidad.
1)(0 AP
0)( P
1)( SP
ENFOQUE IV: Probabilidades Subjetivas
En algunos casos la probabilidad de un suceso es estimada según el nivel de
información o conocimiento acerca de un tema por parte de un experto. Según
Henry Kyburg:”En la visión subjetiva, la probabilidad representa una relación
entre una proposición y un cuerpo de evidencia, pero no es una relación
puramente lógica. Es una relación cuasilógica y el valor numérico asociado a
ella representa un grado de creencia” Por ejemplo: La probabilidad de que
el caballo Polo Grounds gane el clásico Simón Bolívar del 2006 es 80 %,
en esta afirmación el experto debe considerar variables tales como peso del
ejemplar, efectividad del jinete, efectividad del entrenador, efectividad del
puesto de pista, dosage (razón entre la velocidad y stamina (resistencia)del
ejemplar), centro de distribución, pedigree, estado físico del ejemplar,
condición en cancha, y obviamente la experiencia y el feeling del
Capitulo III. Muestreo
24
Handicapper. Asimismo cuando un comentarista deportivo afirma que los
Leones del Caracas serán campeones de la temporada 2005 - 2006 lo hace
en base al conocimiento de una serie de circunstancias relevantes del suceso
de análisis
Ejemplo 15:
1) Una moneda se construye da tal forma que la probabilidad de obtener una
cara es el triple de obtener como resultado un sello. a) Si la moneda se lanza
una vez cual es la probabilidad de obtener una cara. b) Si la moneda se lanza
dos veces cual es la probabilidad de obtener un sello.
Solución:
Para resolver este problema se usará el enfoque de suma de los pesos
dado que no se trata de un experimento en el que todos los resultados son
igualmente probables.
a) En primer término se define el evento siguiente:
A: Evento que corresponde a obtener una cara en un lanzamiento.
Dado que la probabilidad de obtener una cara es el triple de la de obtener un
sello tenemos:
13 pp (Por Axioma de probabilidad P(S) = 1)
Resolviendo esta sencilla ecuación se tiene que:
4
1p (Probabilidad de obtener sello)
Luego la probabilidad de obtener cara es:
4
33)( pAP . Así la probabilidad de obtener cara es 75 %.
b) Al realizar dos lanzamientos el espacio muestral queda de la siguiente
manera:
sssccsccS ,,,
Capitulo III. Muestreo
25
Sea B: el evento que corresponde a obtener un sello.
)()()( SCPCSPBP
8
3
4
3.
4
1
4
1.
4
3)( BP
Reglas Aditivas
En algunas ocasiones nos interesa calcular la probabilidad de la Unión de dos
o más o eventos, o hacer el cálculo de la probabilidad de un evento a partir de
su complemento, con una serie de operaciones sencillas fundamentadas en la
teoría de conjunto se pueden obtener dichas probabilidades
Teorema
Sean un A y B un par de eventos cualesquiera:
)()()()( BAPBPAPAUBP
Corolario
Sí A y B son mutuamente excluyente:
)()()( BPAPBAP
Corolario
Para n eventos mutuamente excluyentes:
)(...)3()2()1()....321( AnPAPAPAPAnAAAP
Para 3 eventos A,B,C cualesquiera:
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPCBAP
Regla para los sucesos complementarios
Teorema
)'(1)(1)'()( APAPAPAP
)''(1)( BAPBAP
Capitulo III. Muestreo
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Gráfico Nº 7. Esquema de Reglas Aditivas
Fuente: Triola.M
REGLAS ADITIVAS
P(AUB)
¿A y B son mutuamente
Excluyentes?
P(AUB)= P(A) + P(B) – P(A B)
P (AUB)= P(A) + P(B)
SÍ
NO
Capitulo III. Muestreo
27
Gráfico Nº8. Regla del Suceso Complementario
Fuente: Elaboración Propia
2.4 Probabilidad Condicional. Eventos Independientes
La probabilidad condicional de un evento se obtiene en base a la luz de
información adicional de otro suceso que ya ocurrió.
Definición
La probabilidad de que el evento “B” ocurra dado que el evento “A” ocurrió
)/( ABP viene dada por:
0)(,)(
)()/( AP
AP
ABPABP
Nota: Cuando plantee la expresión condicional coloque en el
“denominador” el evento que ya se presentó.
P(A)
P (A’) = 1-P(A)
Capitulo III. Muestreo
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Ejemplo: A continuación se muestra la siguiente información obtenida de una
muestra de 100 estudiantes de Ingeniería de la UNEXPO
Tabla Nº
Fuma No Fuma
Hombre 18 22
Mujer 20 40
Si se selecciona una persona que tiene el hábito de fumar. ¿Cuál es la
Probabilidad de que sea una Mujer?
Solución:
Se definen los siguientes eventos:
F: La persona seleccionada es fumador.
NF: La persona seleccionada no fuma
H: La persona seleccionada es un hombre
M: La persona seleccionada es una mujer.
Se debe calcular la probabilidad de que la persona seleccionada sea una
mujer dado que se sabe que tiene el nocivo hábito de fumar; es decir:
P (M/F)=?
Por Definición de Probabilidad Condicional:
)(
)()/(
FP
FMPFMP
Capitulo III. Muestreo
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Completando la información de la Tabla Nº
Fuma No Fuma Total
Hombre 18 22 40
Mujer 20 40 60
Total 38 62 100
De forma análoga la Probabilidad de seleccionar un fumador es:
Fuma No Fuma Total
Hombre 18 22 40
Mujer 20 40 60
Total 38 62 100
Luego 5263,038
20
100
38100
20
)/( FMP
100
20)( FMP
100
38)( FP
Capitulo III. Muestreo
30
Hay un 52,63 % de probabilidad de que la persona seleccionada sea una
mujer
Eventos Independientes.
Uno de los conceptos de mayor importancia en la teoría de
probabilidades es el de eventos independientes, y será de gran utilidad para
entender aquellos procesos que se adapten a la Distribución Binomial y sus
variaciones, y en casos de muestreo cuando el parámetro de interés sea la
proporción de una población.(Las Distribuciones de Probabilidad y los
procesos de inferencias no serán desarrollados en este libro)
A partir del concepto de probabilidad condicional se puede definir
eventos independientes:
Definición
Dos eventos A y B son independientes
)()/(
)()/(
APBAP
y
BPABP
Así los Eventos A y B son independientes dado que la ocurrencia del evento A
no afecta la probabilidad de ocurrencia de B, y del mismo modo la
probabilidad de ocurrencia de B no se ve condicionada por la ocurrencia de A.
Por ejemplo, si lanzamos una moneda en par de oportunidades, la
probabilidad de obtener una cara en el segundo lanzamiento es exactamente
igual a la probabilidad de obtener una cara el segundo intento si en el primero
dio como resultado una cara.
Capitulo III. Muestreo
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En situaciones asociadas a extracción de elementos de un lote el proceso de
muestreo debe llevarse a cabo con reemplazo, es decir reponiendo el
elemento extraído en el lote para garantizar que la probabilidad asociada a la
extracción de dicho objeto permanezca constante. En situaciones asociadas
con juegos de cartas si extraemos una carta del paquete para garantizar que
la segunda extracción sea independiente de la primera debemos colocar
nuevamente la carta seleccionada en el paquete y barajar antes de efectuar la
próxima selección.
Reglas Multiplicativas.
Los Teoremas que a continuación se enuncian sirven para cuantificar la
probabilidad de Intersecciones de Eventos
Teorema
Sí A y B son un par de eventos cualesquiera:
)/().()( ABPAPBAP
)/().()( BAPBPABP
*Queda como ejercicio al lector demostrar que )()( BAPABP
Corolario
Dos eventos A y B son independientes
)().()( APBPABP
y
)().()( BPAPBAP
Corolario
Para n Eventos Independientes:
)()...3().2().1()...321( AnPAPAPAPAnAAAP
Ejemplo16:
Capitulo III. Muestreo
32
Uno de los supuestos sobre los que se fundamenta la teoría de gráficas de
control es que los puntos sucesivos graficados son independientes entre sí.
Consideramos que cada punto graficado puede indicar que un proceso está
trabajando dentro de las especificaciones o que por el contrario hay una
situación no deseada. Aun cuando un proceso trabaje de manera correcta
existe una pequeña probabilidad de que determinado punto indique un
problema en el proceso. Si dicha probabilidad es 0,05 ¿Cuál es la probabilidad
de que al menos uno de 10 puntos consecutivos indique un problema cuando
en realidad, el proceso trabaja de manera correcta?
Solución:
En primer término definamos los siguientes eventos:
A1: El punto de control 1 indica problema aun cuando el proceso está
funcionando correctamente.
A2: El punto de control 2 indica problema aun cuando el proceso está
funcionando correctamente.
A3: El punto de control 3 indica problema aun cuando el proceso está
funcionando correctamente
A4: El punto de control 4 indica problema aun cuando el proceso está
funcionando correctamente
A5: El punto de control 5 indica problema aun cuando el proceso está
funcionando correctamente
A6: El punto de control 6 indica problema aun cuando el proceso está
funcionando correctamente
A7: El punto de control 7 indica problema aun cuando el proceso está
funcionando correctamente
A8: El punto de control 8 indica problema aun cuando el proceso está
funcionando correctamente
A9: El punto de control 9 indica problema aun cuando el proceso está
funcionando correctamente.
Capitulo III. Muestreo
33
A10: El punto de control 10 indica problema aun cuando el proceso está
funcionando correctamente.
A1’: El punto 1 indica que el proceso esta trabajando bien y el mismo está
funcionando correctamente.
A2’: El punto 2 indica que el proceso esta trabajando bien y el mismo está
funcionando correctamente.
De forma análoga para A2’, A3’, A4’…A10’
Se pide calcular la probabilidad de que al menos uno de los puntos indique un
problema cuando realmente el proceso está bajo control
?)10....4321( AAAAAP
Considerando que cada punto es independiente y aplicando la regla aditiva
correspondiente al evento complementario tenemos que:
)'10'....4'3'2'1(1)10....4321( AAAAAPAAAAAP
)'10()...'3().'2()'1(1)10....4321( APAPAPAPAAAAAP
40126,0)95.0(1)10....4321(10
AAAAAP
Así la probabilidad de que al menos uno de los puntos indique una situación
anómala aun cuando el proceso está bajo control es 40,126%
Capitulo III. Muestreo
34
2.5 Regla de la Probabilidad Total
Si los eventos A1, A2,…,An (mutuamente excluyentes y complementarios)
constituyen una partición del espacio muestral S.
Entonces:
)(...)3()2()1()( AkBPABPABPABPBP
)()./(...)3().3/()2().2/()1().1/( AkPAkBPAPABPAPABPAPABP
Gráfico Nº9 . Partición del evento “A” en varios subconjuntos de Eventos
Mutuamente Excluyentes y Complementarios
2.6 Teorema de Bayes
Fuente: Elaboración Propia
2.5 Teorema de Bayes
El reverendo inglés Thomas Bayes (1702 – 1761), proporcionó una expresión
matemática muy valiosa para el cálculo de probabilidades de un suceso a la
luz de información previa concerniente a dicho evento. El enunciado de dicho
teorema se presenta a continuación.
B
A1
A2
A3
Ak
An
A4
Capitulo III. Muestreo
35
Teorema
Si los eventos A1, A2,…,An (mutuamente excluyentes) constituyen una
partición del espacio muestral S, donde 0)( AiP , para i = 1,2,…n, entonces
para cualquier evento B en S tal que 0)( BP ,
)/().(...)2/().2()1/().1(
)().()/(
AnBPAnPABPAPABPAP
AiPBAiPBAiP
El lector puede demostrar este teorema a partir de la definición de
Probabilidad Condicional y la Regla Eliminación Total o Probabilidad Total
Ejemplo 17:
Caja I Caja II Caja III
La figura muestra tres cajas de idéntico tamaño, cada caja contiene un
número de pelotas de color rojo y blanco respectivamente. Si una persona al
azar selecciona una pelota de una de las cajas y resulta de color rojo ¿Cuál es
la probabilidad de que la pelota provenga de la caja I?
Capitulo III. Muestreo
36
Solución
En primer término consideremos los siguientes eventos.
R: La pelota seleccionada sea de color rojo.
B: La pelota seleccionada sea de color blanco
C1: La caja seleccionada sea la Nº 1
C2: La caja seleccionada sea la Nº 2
C3: La caja seleccionada sea la Nº 3
En el proceso de solución de un problema que implica el manejo del teorema
de Bayes, podemos definir una serie de probabilidades previas o “a priori”, y
con está información procederemos a calcular las probabilidades finales o “a
posteriori”.
Probabilidades a Priori
6
5)3/(
6
1)3/(
3
1)2/(
3
2)2/(
5
3)1/(
5
2)1/(
CBPCRP
CBPCRP
CBPCRP
Como las tres cajas son de idéntico tamaño y la selección se hace al azar las
probabilidades de selección de las cajas se consideran iguales; es decir:
3
1)3()2()1( CPCPCP
Probabilidades a posteriori
En este caso sabiendo que la pelota resultó de color rojo, vamos a calcular la
probabilidad de que provenga de la caja 1; es decir:
?)/1( RCP
Aplicando el Teorema de Bayes, se tiene:
Capitulo III. Muestreo
37
)3().3/()2().2/()1().1/(
)1().1/(
)(
)1()/1(
CPCRPCPCRPCPCRP
CPCRP
RP
CRPRCP
3243,0
3
1
6
1
3
1
3
2
3
1
5
23
1.
5
2
)/1(
RCP
Hay un 32,43% de probabilidad de que la pelota seleccionada provenga de la
Caja Nº I dado que resultó de color rojo.
Ejemplo 18:
Según la apreciación de una serie de observadores políticos la probabilidad
de triunfo del candidato “caraotica” es 0,30.Sus asesores quieren tener mayor
información y deciden contratar a la encuestadora “CONSULTORES UNEXPO
C.A”. Dicha encuestadora es una empresa de gran credibilidad.. La
confiabilidad de dicha empresa al dar como probable ganador a un candidato
es del 90 %, asimismo la confiabilidad de “CONSULTORES UNEXPO C.A” al
afirmar que un candidato fracasará es 85 %. Si la encuestadora le asegura
que no será elegido ¿Cómo cambia la percepción de la probabilidad de triunfo
del candidato “Caraotica”?. ¿Qué le deben sugerir a dicho candidato sus
asesores?
Solución
En primer término consideremos los siguientes eventos.
G: El candidato resulte electo.
g : La encuestadora lo dio como probable ganador.
Probabilidades a Priori:
Las confiabilidades de la encuestadora constituyen las probabilidades previas
que conocemos antes de que se efectúe la elección. En este caso:
Capitulo III. Muestreo
38
90,0)/( GgP 10,0)/'( GgP
15,0)'/(85,0)'/'( GgPGgP
A su vez la información que tiene la empresa respecto a la probabilidad de
éxito del candidato es otra probabilidad a priori.
70,0)'(30,0)( GPGP
En base a esta información y utilizando el teorema de Bayes calcularemos la
probabilidad de que el candidato resulte ganador dado que la encuestadora le
pronosticó una derrota:
?)'/( gGP (Probabilidad a posteriori)
Aplicando el Teorema de Bayes.
)'()'/'()()./'(
)()./'(
)'(
)'()'/(
GPGgPGPGgP
GPGgP
gP
gGPgGP
048,0)70,0)(85.0()30.0).(10,0(
)30.0)(10,0()'/(
gGP
Así la probabilidad de triunfo del candidato “caraotica” es 4,8 %.
Por lo tanto los asesores deberían recomendarle el retiro debido a que la
percepción de triunfo se modificó de manera negativa y sus probabilidades d
éxito son muy bajas.
Nota: Para la resolución de problemas relacionados con el teorema de
Bayes, se aconseja construir un Diagrama de árbol para visualizar claramente
las relaciones entre el sistema completo de eventos en este caso se tiene el
siguiente diagrama
Capitulo III. Muestreo
39
Gráfico 9. Diagrama de Árbol para el problema de las elecciones
Luego )''()'()'( GgPGgPgP
Nota: El Diagrama permite aplicar la Regla de Probabilidad Total sin
necesidad de recurrir a la fórmula. Se debe tener en cuenta que cuando se va
en la misma rama se multiplican las Probabilidades (Reglas Multiplicativas
para encontrar intersecciones) y cuando se mueva por ramas diferentes se
suman las probabilidades (Dado que estos eventos son mutuamente
excluyentes)
P(G)
P(G’)
P(g/G)
P (g’/G)
P(g/G’)
P(g’/G’)
P (G). P (g’/G)
P (G’) P (g’/G’)
P(g’/G’)
.
)'( GgP
)''( GgP
Capitulo III. Muestreo
40
Ejemplo 19:
Aplicación del Teorema de Bayes en el análisis de los resultados de un
test de embarazo.
Una mujer seleccionada de un grupo de 100 personas se aplica un
determinado test de embarazo, y la prueba indicó un resultado positivo ¿Cuál
es la probabilidad de que la misma no este embarazada?
Los resultados de la prueba se muestran en la siguiente tabla.
Tabla Nº 1. Resultados de un Test de embarazo
Resultados del test de embarazo
Prueba indicó (+) Prueba indicó
( - )
Mujer Embarazada 81 4
Mujer No
Embarazada
3 12
Solución:
Definamos los siguientes eventos:
+: La prueba indicó que la mujer está embarazada.
- : La prueba indicó que la mujer no está embarazada
E: La mujer está embarazada.
E’: La mujer está embarazada.
Probabilidades a priori
Podemos definir las siguientes probabilidades que determinan la confiabilidad
del test de embarazo
Confiabilidad de la Prueba
9529,085
81)/( EP (Sensibilidad de la Prueba)
Capitulo III. Muestreo
41
Cuando la prueba indica de manera correcta que la mujer está embarazada
se denomina verdadero positivo, y la probabilidad de un verdadero positivo
se define como sensibilidad de la prueba.
8,015
12)'/( EP (Especificidad de la Prueba)
Cuando la prueba indica de manera correcta que la mujer no está
embarazada se denomina verdadero negativo, y la probabilidad de un
verdadero positivo se define como especificidad de la prueba.
Ambas probabilidades representan la confiabilidad del Test
Cuando la prueba indica de manera incorrecta que la mujer está embarazada
estamos en presencia de un falso positivo.
Cuando la prueba indica de manera incorrecta que la mujer está embarazada
estamos en presencia de un falso negativo.
Asimismo 15,0)(1)'(85,0)( EPEPEP
En este problema la prueba de embarazo arrojó un resultado positivo
queremos determinar la probabilidad de que la mujer no esté embarazada
realmente, es decir:
?)/'( EP
Aplicando el Teorema de Bayes se tiene:
)()./()'().'/(
)'()./(
)(
)'()/'(
EPEPEPEP
EPEP
P
EPEP
Capitulo III. Muestreo
42
Por Complemento
2,08,01)'/(1)'/( EPEP
Luego:
0357,0085.9529,015,0.2,0
15,0.2,0)/'(
EP
Hay un 3,57% de probabilidad de que la mujer no esté embarazada.
Términos Claves:
Espacio Muestral, Permutación, Combinación Evento, Probabilidad,
Probabilidad Condicional Eventos Independientes, Teorema de
Bayes.
Capitulo III. Muestreo
43
Problemas Propuestos
PROBABILIDAD.
1) Un dado “cargado” se arregla de tal forma que la probabilidad de ocurrencia
del número 2 o un 3 es el doble que la del 4, a su vez este se presenta tres
veces más frecuentemente que un 1, un 5 o un 6. Si el dado se lanza una vez,
encuentre la probabilidad de que:
a) El número sea impar.
b) El número sea mayor que 3.
c) Si el dado se lanza dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que
la suma de los dígitos sea 7?
2) El Departamento de Compras de EJ Corporation cuenta con 25 motores
eléctricos, de los cuales 15 presentan fallas. Si entrega un lote de 11 motores
seleccionados aleatoriamente, cuál es la probabilidad de que:
a. Todos resulten con fallas?.
b. A lo sumo 6 motores presenten fallas?
c. Cómo mínimo 2 motores estén en buenas condiciones?
3) En una escuela se graduaron 100 estudiantes:
54 Estudiaron Álgebra
60 Estudiaron Física.
30 Ambas Materias.
SI se selecciona una persona al azar. Calcule la probabilidad de
que:
a.- Se haya dedicado a Álgebra o Física?.
b.- No haya cursado ninguna de estas materias?
c.- Haya estudiado Álgebra pero no Física?
4) En una encuesta realizada a jóvenes estudiantes con respecto a sus
preferencias respecto a los deportes:
69 prefieren el fútbol.
Capitulo III. Muestreo
44
46 prefieren el béisbol.
32 el Básquet.
18 el fútbol y el básquet.
9 el béisbol y el fútbol.
12 el béisbol y el básquet.
3 los tres deportes.
15 no le gustan estos 3 deportes.
a) ¿Cuántos jóvenes se encuestaron?
b) Probabilidad de seleccionar uno que prefiera exactamente uno de estos
3 deportes.
c) Probabilidad de encontrar uno que juegue básquet pero no fútbol
5) El problema de los cumpleaños. Determinar la probabilidad de que en
un grupo de 25 personas que asisten a una fiesta al menos dos de los
invitados tenga la misma fecha de cumpleaños.
6) En la película “SAW II (Juegos Macabros II) el protagonistas es un
psicópata que colocaba complicadas pruebas a sus victimas a manera de
juego, el pasar la prueba o ganar el juego marcaba la diferencia entre
sobrevivir o morir. Una de las pruebas consistía en que un grupo de 8
personas acertase la combinación de una puerta que les permitiría salir del
sitio en el cual que se encontraban encerrados y sometidos a los efectos
de un gas venenoso. Cada victima tenía impreso un código en el cuello,
dicho código era un número que constaba de dos cifras como máximo. La
clave venía dada por uno de los posibles arreglos a formar con cada uno
de los códigos de las 8 personas ¿Qué probabilidad tenían estas
personas de acertar la clave para abrir la puerta? Notas: Las victimas
tenían un máximo de tres oportunidades para acertar la clave. El psicópata
marcó a las víctimas con los números (08, 09, 11, 13,16, 18, 10, 05)
Capitulo III. Muestreo
45
PROBABILIDAD CONDICIONAL
1) La probabilidad de que un hombre casado vea un cierto programa de TV es
0,4 y la de que una mujer del mismo estado civil lo haga es 0,5. La
probabilidad de que un hombre vea un programa dado que su esposa lo hace
es 0,7. Encuentre:
Probabilidad de que una pareja de casados no vea el programa.
Probabilidad de que una esposa vea el programa dado que su esposo
lo hace.
EVENTOS INDEPENDIENTES
1) Un profesor de Ingeniería Económica hace un examen sorpresa que
contiene 10 preguntas de verdadero/falso. Establece que para aprobar
se requieren al menos 7 respuestas correctas. Suponga que un
estudiante que no se preparó adopta la estrategia de adivinar.
a) Calcular la probabilidad de que las 7 primeras sean correctas y las tres
últimas sean incorrectas.
b) ¿La probabilidad del inciso a es igual a la de aprobar el examen? ¿Por
qué? De contestar NO ¿Cuál es la probabilidad de aprobar?
2) En una zona se cuenta con dos Plantas que operan independientemente.
La probabilidad de que la Planta 1 este disponible en caso de falla es 0,96, la
probabilidad de que la Planta 2 no este disponible es 0,10?
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna este disponible en caso
necesario?
b) ¿Cual es la probabilidad de que alguna funcione cuando se le
necesita?
Capitulo III. Muestreo
46
3) Una máquina robótica esta conformada de 5 componentes primarios.
La probabilidad de que cualquier componente falle en el período de garantía
es 0,01. Suponga que los componentes están conectados en serie y fallan de
manera independiente. La máquina falla cuando alguno de sus componentes
falla. ¿Cuál es la probabilidad de que la máquina falle durante el período de
garantía
4 La Planta generadora de energía trabaja sí, y solo, existe una
trayectoria de dispositivos en funcionamiento, de izquierda a derecha.
Suponga que los dispositivos fallan de manera independiente y que la
probabilidad de falla de cada uno de ellos es la que se muestra en la Fig.
¿Cuál es la probabilidad de que la Planta trabaje? ¿Plantee un arreglo distinto
para mejorar la confiabilidad de la misma?
Eventos Independientes y la Apuesta Hípica
5) La jugada exótica conocida como Loto hípico o “Macuare” consiste en
acertar un ejemplar que figure en los tres primeros lugares del marcador
durante 10 carreras consecutivas. Si el apostador juega 1 caballo por carrera.
Calcular la probabilidad de acertar el “Macuare”. Sabiendo que el número
promedio de ejemplares por carrera es 10
Eventos Independientes en la elección de una sede deportiva.
6) San Felipe y Valencia están compitiendo para la sede de los próximos
juegos deportivos. Cada uno ofrece sus servicios de instalaciones deportivas,
alojamiento y alimentación .Las probabilidades de que San Felipe le gane la
sede a Valencia son 0.6 en Instalaciones Deportivas, 0,3 en Hospedaje y 0,3
0.9 0.9 0.8
0.9
5
0.9
5
0.9
Capitulo III. Muestreo
47
en alimentación. Para obtener la sede las ciudades deben ser sometidas a
pruebas de servicios y ganar al menos dos de ellas. Las probabilidades de
empate en estos renglones son 0,1; 0,2 y 0,2 en Instalaciones Deportivas,
Hospedaje y alimentación respectivamente ¿San Felipe tendrá la mayor
probabilidad de ganar la sede? ¿Cuantifique dicha probabilidad?
Eventos Independientes en el pronóstico Deportivo
7). Los LEONES DEL CARACAS y el Cardenales de Lara se han
enfrentado en 47 oportunidades en finales. El balance general favorece a los
felinos con 27 victorias. En una hipotética final de la Temporada 2005 – 2006,
entre los “Eternos Campeones” y los “Pájaros Rojos”. En base a la
información suministrada. Calcular:
a) La Probabilidad de que el Caracas “barra” la serie. (Gane los 4
primeros partidos)
b) La probabilidad de que la final se extienda a 7 juegos y Caracas
resulte Campeón.
c) Probabilidad de que Caracas gane el campeonato en el quinto juego.
d) Probabilidad de que gane la serie en el sexto juego.
e) Probabilidad de que los “Eternos campeones” ganen el campeonato
2005-2006.
Nota: La final del Béisbol profesional venezolano se disputa a un máximo de 7
encuentros y resulta campeón el que gane 4 de ellos.
8) Omar Vizquel es el Short-Stop con el mayor porcentaje de fildeo en toda la
historia del Béisbol de Grandes Ligas. Este futuro Salón de la Fama jugó 17
Temporadas en la Liga Americana, en la cual participan 14 equipos, en ese
tiempo Vizquel obtuvo 9 Guantes de Oro (Premio concedido al mejor campo-
corto defensivo de la Liga). Su Guante de Oro número 10 lo consiguió en la
Liga Nacional el año pasado, en dicha Liga participan 16 equipos. Suponiendo
que los campocortos titulares de todos esos conjuntos tienen la misma
Capitulo III. Muestreo
48
probabilidad de obtener el Guante de Oro. ¿Cuantifique la probabilidad de
lograr la hazaña de Vizquel; es decir conseguir 10 Guantes de Oro en el
número de temporadas que tiene jugando?
TEOREMA DE BAYES
1). La fábrica de zapatos NIKEMAN piensa lanzar al mercado un nuevo
modelo de calzado casual. Por experiencia sabe que el 75% de las veces ha
tenido éxito cuando el estudio de mercado ha sido bien realizado y 20% si la
investigación estuvo mal orientada. Además, estima que el estudio de
mercado está bien elaborado en el 80% de los casos. Si resultó que el
calzado tuvo éxito, a) ¿cuál es la probabilidad de que el estudio de mercado
haya sido bien realizado? A propósito, b) ¿cuál es la probabilidad de que el
nuevo calzado tenga éxito?
2) Los circuitos Integrados para computadoras de una compañía se
producen en 2 fábricas. El 60% de los circuitos se producen en la fábrica I. Ud
se entera que un circuito integrado está defectuoso. Sabiendo que la tasa de
defectos para las dos fábricas es 35 % para I y 25% para II. ¿Cómo Gerente
General de la compañía, en base a un estudio de probabilidades a quién
despediría? (Al Gerente de I o de II)
3) Se sabe que un polígrafo (Máquina de la verdad) que se aplica a un
sospechoso es 85 % confiable cuando la persona es culpable y 90 % cuando
es inocente. Si se selecciona un individuo de un grupo de 5000 sospechosos,
de los cuales solo 100 han cometido un delito, y el polígrafo indica que es
culpable, ¿Cuál es la probabilidad de que sea inocente?
4.) De cada 10 juegos en los cuales ha participado Ronaldo Brasil ha
obtenido la victoria en 8 de ellos. Por otra parte el scratch ha fracasado en el
Capitulo III. Muestreo
49
10% de los partidos en que el astro no ha participado. Si en el último
enfrentamiento de la escuadra “auriverde” resultaron victoriosos. Calcular: La
probabilidad de que Ronaldo no haya participado en el encuentro.
Nota: Históricamente Ronaldo ha participado en el 70 % de los partidos
efectuados por la selección brasileña producto de sus lesiones.
5) En la elección del Alcalde de un Municipio compiten dos candidatos.
Según apreciación de los observadores políticos las probabilidades de triunfo
de los candidatos son 0,60 para Eduardo Álvarez y 0,4 para Pedro Guillen.
Los asesores del Sr. Guillen recurren a la encuestadora ULTRANALISIS para
tener mayor información en cuanto a las posibilidades de éxito de su
candidato. Dicha empresa basa su prestigio en los siguientes resultados:
El 95 % de las veces en que las encuestas han dado como ganador a un
candidato este efectivamente ha ganado.
El 10 % de las veces en que las encuestas han dado como ganador a un
candidato este ha perdido.
Si una vez concluida la encuesta, esta considera ganador al Sr. Álvarez. a)
¿Cómo cambia la probabilidad de triunfo que le habían asignado los analistas
al Sr. Guillen? b) Si UD fuera el Asesor del Sr. Guillen ¿Cuál estrategia de
campaña recomendaría?
Capitulo III. Muestreo
50
Referencias Bibliográficas.
DEPOOL, R (1999).Probabilidad y Estadística. (Trabajo de ASCENSO)
DEVORE,J.(2001) Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias.
Thomson, México
DIXON,W(1976)Introducción al análisis estadístico. McGraw Hill.New York
MONTGOMERY,D(1999)Probabilidad y Estadística aplicadas a la
Ingeniería
Fundación Polar. Ultimas Noticias .El Mundo de las Matemáticas.
Fasciculos disponibles en línea:http://www.fpolar.org.ve/matemática2
TRIOLA, M(2004).Probabilidad y estadística. Pearson, México.
WALPOLE, R (1999) Probabilidad y estadística para ingenieros. Pearson.
México