Unidad I. Fundamentos de Optimización Subespacios.

Norma de un Vector. Vectores Ortogonales.

Base Ortogonal. Matrices.

Autovalores y Autovectores.

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA. NÚCLEO MÉRIDA

INGENIERÍA DE SISTEMASOPTIMIZACIÓN NO LINEAL

Espacio vectorial

• Es aquel formado por un conjunto de vectores y un conjunto de escalares (Números reales), que además está dotado por dos operaciones:– Suma de vectores A,B,C Є V A+B Є V– Multiplicación por un escalar c,d,e Є K cA Є V

• Se denota por {V,K,+,.}

Subespacios

• Sea un espacio vectorial V, un subespacio U es un subconjunto no vacío de V, que satisface las siguientes propiedades:– Suma de vectores B,C Є U B+C Є U– Multiplicación por un escalar d Є K dB Є U

Norma de un vector

• Dado un espacio vectorial V, con x1,x2,…xn las coordenadas de un vector.

• Ejemplo: Hallar ||w||2 de (0,1,2)

Producto interno

• Es la suma y multiplicación de las coordenadas de dos vectores entre sí.

• Ejemplo: A=(2,3) B=(-3,2)

Vectores ortogonales

• Dos vectores son ortogonales si su Producto Interno es igual a cero.

Base

• Dos vectores con distinta dirección sobre un plano forman una base, pues existe un vector del plano que puede expresarse como combinación lineal de ellos.

• Ejemplo: Dos vectores u=(2,0) y v=(0,2) y un tercer vector w=(1,1)

Base ortogonal

• Es aquella donde los dos vectores que conforman la base son perpendiculares entre sí; es decir su producto interno es igual a cero.

Matrices

• Es una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones y n incognitas.

• Ejemplo: Dos familias van a una heladería y compran lo siguiente:– Familia 1: 2 barquillas, 1 helado de tina y 3

granizados, gastando 42 BsF.– Familia 2: 1 barquilla, 2 helados de tina y 1

granizado, gastando 51BsF.

Autovalores y Autovectores

• Sea A una matriz, X un vector no nulo y c un escalar.– X es un autovector (vector propio) si AX=cX– c se llama autovalor (valor propio)

• Para hallar los autovalores se debe encontrar el Polinomio Característico |A-cI|=0

• Para hallar los autovectores, se buscan todos aquellos vectores tales que (A-cI)X=0