DIDÁCTICA C.E.D. REPUBLICA DE MEXICO, GRADO DÉCIMO

“RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS”

YURY JOHANNA DIAZ GOMEZ 20071145050 YENNY ROCIO GAVIRIA 20071145011 PAOLA ANDREA VASQUEZ 20071145049 ALEJANDRO SANTOS 20071145039

MARCELA ROJAS Docente

UNIVERSIDAD DISTRITAL “FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS” FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN

LICENCIATURA EN EDUCACIÓN BÁSICA CON ÉNFASIS EN MAT EMÁTICAS EJE PRACTICA, “PRACTICA INTERMEDIA IV”

BOGOTÁ D.C. 2010

TABLA DE CONTENIDO

1. RESUMEN

2. JUSTIFICACIÓN

3. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA

3.1 Selección, delimitación e Identificación. 3.2 Diseño de la situación fundamental 3.3 Objetivos

4. METODOLOGÍA 4.1 Fases de la Situación Fundamental. 4.2 Mapa conceptual del marco Teórico. 4.3 Marco Teórico.

4.3.1 Modelo de Evaluación.

5. RESULTADOS: ACTIVIDADES Y PROTOCOLOS

6. CONCLUSIONES 7. BIBLIOGRAFÍA 8. ANEXOS

1. RESUMEN

El objetivo principal de este trabajo es analizar los cuatro aspectos fundamentales dentro del aprendizaje: docente, estudiante, saber, medio; esto teniendo en cuenta la Teoría de las Situaciones Didácticas de Brousseau (1986); este análisis se dará utilizando los siguientes análisis: de actuación, cognitivo, de contenido, de instrucción.

La secuencia de actividades se desarrolló en el C.E.D. Republica de México, en el grado decimo; teniendo como objetivo principal: Que los estudiantes identifiquen y relacionen los elementos de un triángulo rectángulo, estableciendo las relaciones trigonométricas y utilizándolas en la resolución de problemas.

La temática de las actividades gira entonces a tratar de que los estudiantes lleguen a este conocimiento bajo el enfoque de la Teoría de las Situaciones Didácticas de Brousseau, reconociendo en primera instancia una justificación del trabajo que se realizó desde las consideraciones de los lineamientos y estándares curriculares, los resultados y el análisis realizado en la actividad de diagnostico, y desde investigaciones y teoría relacionadas.

Las actividades están enfocadas desde la TSD, dado esto se planteo una situación fundamental en donde se encontrará el diseño de la situación fundamental y los objetivos a los cuales queríamos llegar con esta. Posteriormente se describe la secuencia de actividades que se utilizaría para llegara al objetivo general la cual está orientada por la TSD y sus cuatro fases: acción, formulación, validación e institucionalización; además de esto ubicamos un mapa conceptual en base a nuestra finalidad (resolución de triángulos rectángulos) con una integración a la TSD. Finalmente se evidencian las actividades que planeamos y diseñamos para trabajar la noción que nos interesaba con su respectivo protocolo para poder generar las conclusiones en torno a toda a la planeación, diseño y gestión en torno a una intervención de aula orientada por la TSD.

2. JUSTIFICACIÓN

Para generar en nosotros una formación pertinente como docentes para la educación de hoy, se fundamenta el eje de práctica con el fin de acercarnos a la realidad en la que se dará nuestro campo de acción. Es por esta razón que la siguiente unidad didáctica se presenta, la cual se llevo a cabo en el grado decimo con el fin que los estudiantes identifiquen y relacionen los elementos de un triángulo rectángulo, estableciendo las relaciones trigonométricas y utilizándolas en la resolución de problemas; así mismo para que nosotros docentes en formación implementemos una teoría que se enfoca en dar a los estudiantes una construcción del conocimiento verdadera, pues esta teoría se dirige hacia la construcción del conocimiento por parte de los estudiantes, esto se ve reflejado en cada una de las fases que nos presenta Brousseau.

Para lograr tales fines, fue necesario una amplia consulta teórica que permitiera comprender y emplear la TSD para desarrollar una secuencia didáctica, que le posibilitara a los estudiantes de este grado comprender la noción descrita anteriormente, ya que en los resultados obtenidos en la actividad diagnostico implementada en el aula, se evidenció que los estudiantes no establece una razón entre dos magnitudes, no opera adecuadamente la parte instrumental generando un resultado incoherente con la situación, lo cual no le permite realizar un análisis entre resultados del problema planteado inicialmente. Generando una oposición a lo que plantean los lineamientos y estándares curriculares, puesto que estos estipulan que los estudiantes deben estar en la capacidad de: “Reconocer y contrastar propiedades y relaciones geométricas utilizadas en demostración de teoremas básicos (Pitágoras y Tales), aplica y justifica criterios de congruencia y semejanza entre triángulos en la resolución y formulación de problemas”1. Es por esta razón que se estableció dicha temática como el objeto matemático a abordar en la secuencia, en búsqueda de proporcionarles a los estudiantes un aprendizaje significativo con relación a la noción descrita.

Ahora bien, para lograr dicho aprendizaje significativo se acudió al uso de la teoría de las situaciones didácticas de Brousseau, de donde hace parte la situación la cual es un eje fundamental en la teoría de las situaciones didácticas; en la práctica y en el trabajo con los estudiantes de este colegio se ve la importancia de producir una situación que permita generar la comprensión en los estudiantes, en este caso de la trigonometría, pues el docente debe producir problemas o ejercicios adaptados al saber que queremos llevar al

1 Ministerio de Educación Nacional. (2002). Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas. Pág. 84

aula, además tal situación debe estar relacionada al contexto del estudiante, en el cual esta “situación” va a tener su campo de acción, llamado esto como el “medio”, pues:

El sujeto produce conocimiento como resultado de la adaptación a un “medio” resistente con el que interactúa; “el alumno aprende adaptándose a un medio que es el factor de contradicciones, de dificultades, de desequilibrios, un poco como lo ha hecho la sociedad humana. Este saber, fruto de la adaptación del alumno, se manifiesta por respuestas nuevas que son la prueba del aprendizaje” (1986)2

Es por esta razón que se diseño una situación fundamental la cual estuviera en relación con el medio en el que interactúa el estudiante; además como esta estaba enfocada en la TSD esta situación fundamental debía cumplir todas las características para poder ser llevada al aula desde esta teoría. De tal forma que esta unidad didáctica que se presenta enmarca todos los aspectos que intervienen en la enseñanza-aprendizaje de la noción que queremos llevara al aula.

2 Brousseau, G.; (1986) fundamentos y métodos de la didáctica de la matemática. Facultad de la matemática, astronomía y física. Universidad de córdoba.

3. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA

3.1 Delimitación, selección y elaboración

La delimitación de las temáticas que íbamos a tratar en esta unidad estuvo dada en primera instancia con lo pedido por el Colegio República de México, ya que se habían establecidos acuerdos previos sobre el trabajo que realizaríamos nosotros. El indicador de logro sobre el cual trabajaríamos es el siguiente: “Identifica y Relaciona los elementos de un triangulo, establece las relaciones trigonométricas y las utiliza en la resolución de problemas”, específicamente la petición se centro en el trabajos con las razones trigonométricas, teorema de Pitágoras y teorema de seno y coseno.

Posteriormente iniciamos nuestra búsqueda sobre qué situación sería adecuada para el trabajo con estas nociones, pensamos al principio en el trabajo con una ruta que llevara al estudiante a la necesidad de la utilización de estas nociones, sin embargo nos dimos cuenta que esta actividad era demasiado direccionada y se le especificaba al estudiante que tenía que hacer y cómo debía proceder, saliéndose de los objetivos en una situación fundamental donde se busca que el estudiante construya las nociones mediante el manejo y resolución de la situación, es por esto que esta ruta y demostrando que no era una situación fundamental fue planteada como actividad diagnostico(ver actividad diagnostico).

En nuestra búsqueda en el marco teórico encontramos que estas nociones deben tener un orden y para trabajar con ellas se deben manejar algunas nociones previas como tipos de triángulos según sus lados y lados, entre otras (Flores, 2008). Observamos que implicaba trabajar con una situación fundamental, entrando que se tenían que cumplir no se viera la intencionalidad del docente descartando la ruta mencionada anteriormente, que el estuante actuar sobre el medio teniendo que hacer una experimentación, entre otros requisitos abordados en el marco teórico.

Por lo cual al continuar en la búsqueda de una situación que cumpliera con los requisitos necesarios encontramos un problema en el cual se planteaba un tanque en forma de cono circular recto que estaba pasando su contenido sobre un tanque en forma de paralelepípedo el objetivo de este era llegar al tiempo que tarda en llenarse el segundo tanque, esta situación la reacomodamos ya que se manejaban elementos que eran innecesarios para el planteamiento de la situación y pensamos que solo con tener la primera parte de esta situación era suficiente para cubrir aspectos como: que la figura fuera triangulo (en segunda dimensión), se podría manejar nociones cono relaciones entre lados, razones trigonométricas y teorema de Pitágoras. Debido a que en el tiempo en que se estaba haciendo la situación se estaba presentando incendios en los cerros de Bogotá podríamos tener en cuenta esto para la elaboración de nuestra situación disponiendo que el tanque en forma de cono circular recto esté suspendido de un helicóptero por tres soportes, recorriera cierta distancia y observara el nivel del agua en su recorrido, sin embargo todavía teníamos que tener en cuenta que nos hacían falta nociones por cubrir

como era la semejanza de triángulos puesto que si solo era trasladar agua no se observaría entonces observamos un defecto como era que había un escape de agua, pero también faltaba mirar el teorema de seno y coseno por lo cual agregamos que uno de los soportes se rompía para poder tener diferentes triángulos observando el nivel del agua.

3.2 Delimitación de la situación fundamental

Para observar si la situación que habíamos planteado era apropiada o no para llevar al aula decidimos aplicarla con nuestros compañeros de práctica tomando dos grupos con situaciones similares solo que con algunos de los datos proporcionados eran diferentes3, en la primera propuesta tuvo discusión ya que proporcionaba muchos datos que algunos eran innecesarios para el desarrollo de la situación y si bien tenía un amplio campo sobre el cual trabajar era tan amplio que no conducía hacia los fines que necesitábamos, en la segunda hubo problemas con algunas funciones que proporcionaba el problema ya que se confundían sobre la manera de cómo debían proceder y a pesar de que hubieran preguntas orientadoras la manera de abordar la situación no era adecuada. Con esto observamos como si bien la falta de información influye en la falta de elementos para proceder, el exceso de información también imposibilita ya que el estudiante podría pensar que es lo que quiere el docente que piense mas no como podría utilizar los datos que me están proporcionando y si las preguntas orientadoras son muy abiertas se puede confundir mas al estudiante ocasionando que los objetivos no se cumplan.

Por lo cual nuestra situación fundamental fue planteada de la siguiente manera:

Dado que Bogotá está pasando por una onda de calor bastante fuerte, al oriente de la ciudad, donde está ubicado Monserrate y la virgen de Guadalupe se están ocasionando incendios de gran magnitud, el gobierno ha decidido intervenir creando un plan, que consiste en usar los helicópteros de la fuerza armada para transportar agua con el fin de controlar los incendios. El agua será transportada desde el parque Simón Bolívar hasta la zona en incendio, en unos tanques de forma de cono circular recto que serán amarrados a cada helicóptero por tres cuerdas de 4 metros, se sabe que los tanques tienen 10 metros de altura y 5 metros de radio.

Al salir del parque cada helicóptero llenará a su totalidad el tanque con el fin de transportar la mayor cantidad de agua posible al incendio, pero uno de los helicópteros tiene dos defectos en su mecanismo de transporte de agua, uno consiste en un orificio en su punta donde el agua se va escapando. El segundo defecto consiste en las cuerdas que lo sostienen, una de ellas, por su antigüedad se empieza a estira a los 20 segundos de empezar a sostener el tanque lleno de agua.

¿Con que cantidad de agua llegara el tanque al lugar del incendio si del parque Simón Bolívar al sitio del incendio hay 2 minutos y 14 segundos en helicóptero? 3 Ver anexo 1

3.3 OBJETIVOS

� Objetivo general

Realizar una secuencia de actividades teniendo en cuenta la Teoría de las Situaciones Didácticas con la cual se desarrolle las nociones que implica la resolución de triángulos con estudiantes de grado decimo.

� Objetivos específicos:

• Diseñar, gestionar y aplicar una situación fundamental que permita realizar una secuencia de actividades con los momentos sugeridos por Brousseau (1986).

• Observar las representaciones y toma de datos realizada por los estudiantes revisando las nociones puestas en juego.

• Guiar las discusiones o intervenciones de manera que se pueda develar el conocimiento adquirido por el estudiante.

• Fomentar discusiones permanentes sobre las conjeturas establecidas por ellos con fin que siempre se esté en una constante búsqueda de argumentos para sostener o realizar nuevas conjeturas.

• Llevar a los estuantes a que pongan en juego sus conocimientos previos y busque nuevos argumentos sobre los cuales sostener sus posibles conjeturas, además de la utilización de conocimientos y apuntes obtenidos en la clase de matemáticas dictada por la profesora titular.

• Disponer los diferentes momentos en las clases, estableciendo un dialogo continuo en torno al saber teniendo en cuenta los planteamientos y sugerencias de la TSD respecto el proceso de enseñanza-aprendizaje.

4. METODOLOGÍA

Situación Fundamental:

Dado que Bogotá está pasando por una onda de calor bastante fuerte se están ocasionando incendios de gran magnitud. El agua será transportada desde el parque Simón Bolívar hasta la zona en incendio, en unos tanques de forma de cono circular recto.

4.1 fases de la situación:

INTENCIONALIDAD

ORGANIZACIÓN

ROLES

MATERIALES

NIVELES DE EVALUACIÓN

AC

CIÓ

N

Reconoce las características y propiedades de los diferentes triángulos. Asimila semejanza y proporcionalidad en triángulos.

Individual y Grupal.

Del profesor: Guía al estudiante en la solución del problema. Observa e interpreta los procesos que realizan los estudiantes. Del estudiante: Observa las características y propiedades de los triángulos. Realiza la actividad participando e indagando.

Hojas, lápiz, cono hecho en acetato sostenido con cuerdas, agua, pintura y canecas.

Nivel 0: No reconoce las características y propiedades de los diferentes triángulos. Nivel 1: Reconoce las características de los triángulos, pero no asimila la proporcionalidad y la semejanza en estos. Nivel 2: Reconoce propiedades de los triángulos y encuentra la semejanza y la proporcionalidad con otros triángulos.

FO

RM

ULA

CIÒ

N

Identifica, ingenia y comunica estrategias sobre comparaciones entre lados y ángulos de triángulos.

Grupal.

Del profesor: Observar los procesos desarrollados por el estudiante guiando el aprendizaje de los estudiantes. Del estudiante: Investigador y formulador de estrategias para la solución de la situación.

Lápiz, regla, borrador, hojas.

Nivel 0: Comunica las estrategias de forma verbal de las comparaciones que realiza entre lados y ángulos de los triángulos. Nivel 1: Comunica las estrategias de forma verbal y realiza una representación grafica de estas, respecto a las comparaciones entre lados y ángulos de los triángulos. Nivel 2: Comunica y hace uso de diferentes representaciones de las comparaciones entre ángulos y lados del triangulo.

VA

LID

AC

IÓN

Construye solución adecuada del problema; relaciona las estrategias con los conceptos implícitos en la situación fundamental. Argumenta y sustenta teoremas aplicables a la resolución de triángulos: teorema de Thales y Pitágoras; teorema de seno y coseno.

Grupal.

Del profesor: Observa las estrategias de los estudiantes y orienta el trabajo. Del estudiante: Valida estrategia encontrando una que se adecue a la situación planteada.

Consulta de libros que ayuden a la solución de la situación planteada.

Nivel 0: Construye una solución a la situación planteada, pero se le dificulta reconocer donde debe utilizar los diferentes teoremas. Nivel 1: Construye una solución a la situación planteada, pero no identifica adecuadamente el teorema de seno y coseno. Nivel 2: Construye una solución a la situación planteada reconociendo todos los teoremas que se utilizaron en el proceso.

INS

TIT

UC

ION

ALI

ZA

CIÓ

N

Los estudiantes establecen una conexión entre las estrategias utilizadas y el saber matemático.

Grupal.

Del profesor: Realiza una socialización a la solución del problema, describiendo los conceptos utilizados. Del estudiante: Establece relaciones con las diferentes respuestas dadas.

Carteleras, y trabajo realizado en dar cuenta de la solución a la situación.

Nivel 0: presenta dificultades para comprender los conceptos presentados, ya que no presenta el uso de estos en el desarrollo del trabajo realizado. Nivel 1: Demuestra la comprensión de los conceptos involucrados en la situación, ya que realiza actividades de justificación, ejemplificación y exposición de conceptos relacionados con las razones trigonométricas. Pero al establecer las conclusiones presenta confusiones.

Nivel 2: Evidencia en su proceso realizado el uso de conceptos relacionados con las razones trigonométricas y establece conclusiones claras.

4.2 Mapa Conceptual Del Marco Teórico A continuación realizamos un esquema, en el cual se resume el camino a seguir y las conexiones realizadas desde la teoría en búsqueda de la comprensión de las razones trigonométricas.

Para generar una comprensión adecuada en los estudiantes de las razones trigonométricas es necesario que la planeación, diseño y gestión del docente este bien fundamentada y guiada, es por esta razón que se realiza este esquema.

4.3 Marco Teórico: Para el desarrollo de nuestra secuencia de actividades, nosotros como profesores creemos necesario un referente histórico que nos permita entender y contextualizar el objeto matemático que escogimos para realizar esta práctica, ya que en las historia se ve cómo surgió este objeto frente a las necesidades que los seres humanos fuimos teniendo al transcurrir del tiempo. Ya que esto nos permite contextualizar el problema en situaciones que se presentan en estos tiempos, esto para que los estudiantes puedan tener un antecedente que los pueda llevar a tener en cuenta ciertos conceptos que los puedan guiar a una solución del problema y además para reflexionar sobre el diseño general del proceso a desarrollar con los estudiantes. También necesitaremos un referente legal para saber que temas debemos incluir en el desarrollo de nuestras clases, además como esta sugerido didácticamente desde los campos legales, para ello hemos consultado los lineamientos curriculares y los estándares curriculares.

Para entender cómo surgió la trigonometría debemos tener en cuenta que esta no se desarrollo por una sola nación, ni por una sola necesidad ya que cada una de las necesidades de los pueblos antiguos era diferente, por lo mismo no solo utilizadas en una sola área de conocimientos, es por ello que vamos a enunciar algunas de las aplicaciones que tuvo la trigonometría.

Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la trigonometría se pueden encontrar en la física, química y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el sonido o el flujo de corriente alterna. Para establecer una Situación Fundamental que será llevada en la práctica con este grado discutimos cada una de las aplicaciones de la trigonometría pues es necesario entender que tipos de fenómenos son resueltos gracias a la trigonometría.

Una de las aplicaciones como podemos ver es la de distancias para ello se utiliza el teorema de Pitágoras el cual dice lo siguiente:

“en un triangulo rectángulo, el cuadrado de la longitud del lado opuesto al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros lados”

Este teorema se aplicaría en caso de desconocer alguna de las distancias de los lados.

También la trigonometría es utilizada para las distancias inaccesibles en el cual se hizo el uso de triángulos congruentes, este fue uno de los métodos utilizados por Tales para hallar la distancia de un barco hacia una persona ubicada en línea recta

El problema plantado es este: suponga que desea encontrar la distancia en línea recta existente entre un barco que está en la posición B y usted, que se encuentra en la orilla, en la posición A.

Thales utiliza la congruencia de triángulos de la siguiente forma:

A partir de A camine cualquier distancia a lo largo de la orilla en dirección perpendicular a AB. Ponga una marca en el punto S (que es la distancia que se acabo de recorrer perpendicularmente a AB) lo suficientemente alta para que se vea desde cierta distancia. A continuación camine la misma distancia hasta un punto c. Gire ahora 90grados y camine alejándose de la orilla del mar es exactamente la misma que la distancia AB desde el barco hasta la orilla.

Desde aquí Tales empieza a hacer un razonamiento de congruencia de triángulos, para demostrar que la distancia AB es igual a la distancia CE.

También fue necesario el uso de triángulos semejantes para hallar la altura de una de las pirámides de Egipto que también utiliza tales usando un palo y construyendo uno de los triángulos a escala, en este problema tales empieza a hallar razones entre los lados del triangulo, de esta manera se utilizan las razones trigonométricas para poder hallar la altura de la pirámide.

Mirando esto desde el marco teórico y los temas que escogimos para enseñar en grado décimo fuimos a consultar lo legal y en los estándares curriculares en el pensamiento espacial y sistemas geométricos dice uno de los puntos “Utiliza relaciones trigonométricas para determinar longitudes y medidas de ángulos.” Que hasta lo que hemos descrito en este momento hace caso a lo referente a lo que hizo Tales en la distancia del barco y lo que hizo en lo de la pirámide de Egipto. También se utilizo la trigonometría para hallar otras distancias como la de la tierra a las estrellas y otras medidas astronómicas en donde se utiliza la trigonometría

Aristarco observó la Luna moviéndose a través de la sombra de la Tierra durante un eclipse lunar de máxima duración, con el fin de que la Luna pasase por el centro de la sombra de la Tierra. Aristarco determinó por primera vez el tamaño lunar comparado con el de la Tierra y la distancia a la Luna.

Como observamos esta medición de tamaño y la distancia de la luna se utiliza por el método de semejanza de triángulos, es por ello que como dijimos el referente histórico que nosotros consultamos nos ayuda a entender y a contextualizar nuestra situación problema, por ello en nuestra situación problema nosotros decidimos utilizar la semejanza y congruencia de triángulos en el desarrollo de la solución a nuestra situación fundamental, pues a partir de la semejanza de triángulos se puede llegar a las razones trigonométricas (Carl, B, Boyer (2001)), y a la de teorema de Pitágoras, utilizando las comparaciones de medidas entre los lados de los triángulos encontrando una proporción entre ellos (criterios de semejanza), de esta forma llegaríamos al concepto de razones entre lados de los triángulos teniendo como referencia uno de sus ángulos, haciendo esto llegaríamos a la concepción de razones trigonométricas.

Para llegar a formalizar esta parte de la semejanza y congruencia de triángulos los estudiantes deberán tener unos conocimientos básicos (conocimientos previos) para arrancar con el problema y otros los cuales no conocen pero que necesitan para llegar a la solución del problema, es por ello que como lo mencionamos antes nosotros debemos tener un conocimiento claro del objeto matemático para poder guiar a los estudiantes en el desarrollo del problema, planteando devoluciones (estas nos permiten darle a los estudiantes una responsabilidad frente al conocimiento), .planteando variables didácticas (que nos permiten transformar la situación para crear un nuevo aprendizaje en el estudiante ) (Brousseau G. (1999)

La congruencia de triángulos viene planteada de la siguiente forma:

Los triángulos semejantes son aquellos que tienen los ángulos correspondientes iguales y los lados correspondientes proporcionales.

La semejanza de triángulos viene planteada de la siguiente forma

Triángulos congruentes

Criterios de congruencia Igualdad entre ángulos y lados

Teorema de Tales

Triángulos rectángulos

Según esto nosotros estructuramos nuestra situación fundamental, basados en lo histórico, lo legal y lo matemático, pero también desde lo didáctico ya que para nuestra situación debemos tener una estructura practica para el avance de los estudiantes en lo que respecta a la trigonometría, empezando con la congruencia y semejanza de triángulos.

Durante todo el proceso de aprendizaje es necesario ver si los estudiantes tuvieron una buena comprensión de los temas vistos o de los conceptos que se trabajaron en una sesión de clase, esto se puede ver mediante las actividades de comprensión que se deben dar en las diferentes fases, formulación y validación, vamos a ver qué actividades se pueden ver en las diferentes fases.

Actividad de explicación: el estudiante es capaz de explicar con sus palabras a sus compañeros los diferentes conocimientos adquiridos, esto se puede ver en la fase de acción donde casi todo el tiempo los estudiantes están comunicando sus saberes previos, pero también se puede ver en el momento de formulación cuando al ver la necesidad de conocimientos nuevos los busca y los explica con sus palabras a sus compañeros.

Actividad de ejemplificación: se ve en la de formulación cuando los estudiantes al tratar de resolver el ejercicio y al comunicarlo a sus compañeros busca ejemplos para poder hacerlo.

Actividad de aplicación: se ve en la de formulación cuando los estudiantes al tratan de resolver el ejercicio.

Actividad de justificación: esta se ve en la fase de validación donde los estudiantes a través de lo teórico justifican sus actuaciones y sus estrategias.

Actividad de comparación y contraste: se puede hacer en la fase de institucionalización cuidando el estudiante relaciona sus estrategias de solución con las que presenta el profesor.

Triángulos semejantes

Criterios de semejanza

Triángulos rectángulos

Teorema de Pitágoras

Teoremas de la altura y el cateto

Pero además estas actividades exigen unos niveles de comprensión propuestos por Perkins

Nivel de contenido: ese solo se ve el conocimiento, sin importar nada mas solo el conocimiento del tema.

Nivel de resolución de problemas: el estudiante interpreta las actividades que está haciendo referente a los ejercicios que está desarrollando.

Nivel epistémico: en este nivel los estudiantes justifican sus interpretaciones.

Nivel de investigador: se plantean cosas propias frente al problema.

Estos niveles son los que nos van a estar guiando para ver si en el desarrollo de las clases los estudiantes están comprendiendo o solo están haciendo uso de los conceptos sin interpretarlos, justificar y crear,

Es por ello que la construcción desde la semejanza va hacia la comprensión ya que la construcción del conocimientos debe ser guiado, desde lo histórico, lo didáctico y lo legal, que son los factores que ayudan en la tarea de enseñanza.

4.3.1 Modelo de Evaluación: Con el fin de identificar el tipo de evaluación que implementamos en nuestra practica, primero se debe conocer el concepto de evaluación planteado por el ministerio de educación nacional4, el cual menciona que la evaluación vista desde un enfoque educativo, es la acción permanente por medio de la cual se busca apreciar, estimar y emitir juicios sobre los procesos de desarrollo del estudiante o sobre los procesos pedagógicos o administrativos. Además de este concepto se debe tener en cuenta el modelo pedagógico y la metodología puesta en el aula, con el fin que la teoría de situaciones didácticas propuesta por Brousseau5 y el modelo constructivista en el que se mueve, esté en estrecha relación con el modelo de evaluación que se implementó en el aula. La evaluación es entonces entendida como parte del proceso de enseñanza-aprendizaje, la cual debe permitir analizar los aspectos que intervienen directa e indirectamente en el aula y las relaciones que se pueden generar en estos.

Ya nombrado la concepción de evolución que se quiere implementar en el aula, se debe aclarar a ¿Qué nos permita este tipo de evaluación?, como primer aspecto nos debe permitir analizar mas allá de lo cuantitativo, es decir nuestra evolución no nos debe limitar a simples pruebas de los conceptos, esto se puede analizar como el cambio de enfoque que sufre la evaluación al pasar del modelo tradicional al constructivista “pasar de comprobar el rendimiento de los estudiantes” (García, 2003)6. Como segundo aspecto esta tiene en cuenta los procesos que se evidenciaron de los estudiantes respecto al trabajo realizado en el aula. Por último la evaluación debe ser 4 Tomado de: “Fundamentaciones conceptuales y orientaciones pedagógicas para la implementación del Decreto 1290 del 16 de abril de 2009” 5 Brousseau, G.; (1986) fundamentos y métodos de la didáctica de la matemática. Facultad de la matemática, astronomía y física. Universidad de córdoba. 6 García, G. (2003).Currículo y evaluación en matemáticas. Editorial Magisterio: Bogotá D.C.

vista desde múltiples procedimientos, es decir, que busque analizar en forma global los logros, dificultades o limitaciones del alumno y las causas y circunstancias que, como factores asociables, inciden en un proceso de formación, la evaluación se constituye entonces como una guía u orientación para el proceso pedagógico. Es decir, debemos tener diferentes tipos de evaluación7 que nos permitan observar y analizar todo tipo de información que se pueda evidenciar durante el proceso de enseñanza-aprendizaje, estos son:

• Continua: se valora el proceso de aprendizaje del estudiante a partir del seguimiento continuo del trabajo que realiza y de los conocimientos que va adquiriendo.

• Integral: busca una valoración continua y permanente de las características y rendimiento académicos del estudiante en su proceso de formación.

• Sistemática: este tipo de evaluación contribuye al mejoramiento de la educación permitiendo, introducir reajustes, revisar estrategias metodológicas, mejorar el desempeño docente.

• Flexible: la cual debe contemplar los diferentes ritmos de trabajo de los estudiantes en sus diferentes aspectos.

• Interpretativa: interpretativa implica asumir unas relaciones y confrontaciones de los sentidos y significados que se generan en el aula.

• Formativa: Consideraciones Generales, y su aplicación en el aula de clase como una herramienta para el logro de una mayor eficiencia en el proceso de enseñanza aprendizaje.

La presencia de este tipo de evaluaciones tanto desde el análisis de los agentes que intervienen directamente (estudiantes, maestro) como de los aspectos que posibilitan el proceso de enseñanza-aprendizaje es de gran importancia, puesto que si tomamos en cuenta el modelo pedagógico usado, es pertinente tener en cuenta los factores nombrados, ya que posibilitan determinar las falencias del proceso que se está siguiendo o las conexiones o modificaciones en las estructuras cognitivas iníciales y secuenciales del estudiante y las acciones necesarias a comprender y por último, los resultados del proceso seguido, en cuanto a un análisis comparativo que permita ver el punto de partida, el proceso recorrido y el punto de llegada, pues, es en este momento donde podemos realizar una evaluación acerca de planeación general, la pertinencia y el manejo que se le dio a esta en el aula, pues es al final de este proceso cuando podemos emitir juicios acerca del avance ganado del conocimiento en el alumno.

Tomando lo anterior se enmarca que nuestro tipo de evaluación no solo tiene en cuenta al estudiante, sino también al maestro, el saber y el medio, estos relacionados entre sí, por generarse de manera conjunta en el aula alrededor de la metodología implementada (teoría de situaciones didácticas).

7 Serie de documentos de trabajo.; (1997) la evolución en el aula y mas allá de ella. Lineamientos para la educación preescolar, básica y media, magisterio de educación nacional.

Al estar estos cuatro aspectos a analizar dentro de la evaluación y estando estos estrechamente relacionados, se evidencia su importancia, porque esta constituye una guía u orientación para el proceso pedagógico, además por ser interpretativa y critica frente al contexto y los factores que inciden en el proceso pedagógico, y porque es integral y cubre las habilidades y destrezas además de lo cognoscitivo.

Este tipo de evaluación que estamos usando para nuestra practica tiene varios objetivos, primero el diagnosticar el estado de los procesos de desarrollo del estudiante y pronosticar sus tendencias, este aspecto se evidencia en el aula como la actividad de diagnostico, en la cual se buscaba identificar los conocimiento previos de los estudiantes y sus gustos, para así crear una situación fundamental que fuera de interés para los estudiantes y que además generara la comprensión de los conceptos que se querían. Como segundo objetivo se tiene el identificar las dificultades, deficiencias y limitaciones, con el fin de propiciar acciones que permitan superar las dificultades, reorientar las actividades con el fin de lograr comprensión y crear nuevas estrategias que permitan concepciones diferentes de los temas.

Como tercer objetivo se tiene el promover, certificar y acreditar a los estudiantes, puesto que al finalizar el proceso de enseñanza-aprendizaje, el estudiante debe mostrar si comprendió o no los conceptos trabajados en el aula, desde un análisis del proceso y muestra de niveles de comprensión que se reflejaron en el desarrollo de las actividades o no.

Como cuarto objetivo y quizá el más importante para nuestra práctica es el aprender de la experiencia, pues es este el objetivo principal del curso, pues desde la práctica como docentes de matemáticas logramos formarnos y obtener bases solidas que nos garanticen propiciar espacios de enseñanza para los estudiantes.

En cada uno de los aspectos que se pretende evaluar según nuestro modelo, los cuales fueron antes mencionados, se pretende evaluar cuatro específicos aspectos, los cuales están ligados uno a uno, esto lo podemos ver a continuación en el siguiente diagrama:

Estos cuatro análisis se muestran dando un giro hacia un mismo sentido ya que estos están relacionados concisamente en todas las evidencias que podamos obtener en el aula y además no es posible analizar a uno solo, ya que los cuatro se evidencian en todo momento y no es posible separarlos.

Nuestro modelo de evaluación está dirigido precisamente a analizar estos cuatros aspectos en conjunto a partir de instrumentos que nos permita obtener información acerca de las acciones relevantes dentro del proceso de enseñanza- aprendizaje que nos puedan ser útiles para analizar, estos son los protocolos de cada clase, guías, conversaciones, videos, socializaciones y quizz, este primero es quizá el principal instrumento de análisis en el aula y además contiene los demás instrumentos dentro, ya que este muestra lo realizado y analizado en cada clase, es decir la comparación entre lo planeado y lo acontecido, los roles que se esperaban y los generados, los conceptos que se querían tratar y los tratados, los avances que se querían dar y los obtenidos, las dificultades que se evidenciaron, las estrategias a las que se llegaron, la pertinencia o no de las intervenciones del maestro, la oportuna implementación de recursos, entre otros. Todos estos aspectos son motivo de análisis para futuras actividades y obviamente el mejoramiento de las mismas.

Los protocolos en nuestra practica están siendo considerados como el instrumento que nos permite evaluar los cuatro aspectos mencionados anteriormente (estudiante, docente, medio y saber), además han sido diseñados teniendo en cuenta la metodología usada (TSD), la cual nos permite realizar este tipo de análisis que valla relacionado con el modelo de evaluación implementado en el aula.

Tomado lo anterior se evidencia el sentido y/o importancia de los protocolos en nuestra practica y lo que nos permite estos para la evaluación, la cual no será vista desde momentos concretos dentro de nuestra practica, ya que esta será continua, es decir, se realizará de manera permanente con base en un seguimiento que permita apreciar el progreso y las dificultades que puedan presentarse en la planeación, diseño, gestión y aplicación de actividades (su pertinencia); además del proceso de formación de cada estudiante, ya que mediante los resultados que genere este

proceso de evaluación continua podemos tomar decisiones acerca de la planeación y diseño de actividades, intervención del maestro en el proceso de enseñanza-aprendizaje, implementación o modificación de recursos didácticos, creación o reforma de las variables didácticas, entre otras. Logrando así realizar un análisis desde cuatro enfoques, primero de los logros de los estudiantes, en cuanto a su proceso de formación y los factores asociables a los mismos, segundo del proceso curricular, tercero del desempeño docente y cuarto desde la eficacia de los métodos pedagógicos y los recursos utilizados, todo esto se realiza con el fin de mejorar el proceso de enseñanza- aprendizaje en el aula y formarnos desde la experiencia como futuros docentes en matemáticas.

5. RESULTADOS

5.1 ACTIVIDAD DIAGNÓSTICO

Encuentra el tesoro perdido

� PROPOSITOS

� PRACTICANTES:

• ACTITUDINAL

Ser orientador de apoyo de los estudiantes para aclarar dudas y dificultades que se le presenten en el momento de enfrentarse al ejercicio planteado.

• PROCEDIMENTAL

Organizar a los estudiantes y realizar un papel de observador controlando los distintos comportamientos que se dan en el aula.

• CONCEPTUAL

Identificar nociones previas en los estudiantes: cardinalidad, ordinalidad, fracciones, proporcionalidad, semejanza, operaciones aritméticas, raíz cuadrada y potencias

� ESTUDIANTES:

• ACTITUDINAL Demuestra total disposición para desarrollar trabajo individual y grupal.

• PROCEDIMENTAL Desarrollar la actividad adecuadamente, atender a la intervención del profesor.

Establecer estrategias de solución enfocadas al cuento que se plantea; como la utilización de noción de ángulos, lados, razón, proporción, teorema de Pitágoras, seno, coseno y los procedimientos que se pueden realizar de acuerdo a la resolución de triángulos rectángulos.

• CONCEPTUAL

Dar cuenta de las fortalezas y dificultades que tienen los estudiantes respecto a los conocimientos previos cardinalidad, ordinalidad, fracciones,

proporcionalidad, semejanza, operaciones aritméticas, raíz cuadrada y potenciación.

� TEMATICA

Con el fin de desarrollar un buen trabajo con el grupo de alumnos de decimo, se propone la implementación de la actividad diagnostico, en esta se pretende encontrar características propias del proceso cognitivo como son: destrezas colectivas e individuales, organización y disposición del aula, cooperativismo, actitudes y aptitudes frente al ejercicio propuesto.

Así la actividad diagnostica nos permite el “diseño, formulación y ejecución de posteriores actividades, es decir el análisis y provocación de escenarios escolares en donde los estudiantes encuentren las herramientas y materiales que le permitan construir su propio conocimiento, de igual manera presenta la labor docente como una investigación permanente e indispensable en el ejercicio reflexivo de enseñar a aprender y de aprender a enseñar”. MASON, J. y otros (1988), Pensar Matemáticamente.

� METODOLOGÍA

Iinicialmente se organizará el grupo de estudiantes adecuadamente, es decir se ubicarán en los respectivos puestos, pues es una actividad de tipo individual para así dar las respectivas instrucciones y dejar claro lo que se pretende.

En la actividad se leerá un cuento relacionado con el barco: El Leviatán, con diferentes momentos o indicaciones, las cuales llevaran al estudiante a realizar operaciones y representaciones que permitan establecer los conocimientos previos.

� SITUACIÓN PLANTEADA

Cuentan que el capitán J, Flint uno de los piratas más despiadados antes de dirigir su barco Walrus, dirigió un barco llamado el Leviatán, el cual había sido maldecido por los dioses y destinado a ser seguido por el monstruo que tenía el mismo nombre.

Flint sabiendo esto dirigió este barco junto con la tripulación: William (Billy) Bones; su contramaestre John Silver El Largo; su artillero Israel Hands y entre sus otros marineros Benn Gunn, Pew (Sacristán) y Perronegro (Black Dog, dado que ellos debían estar navegando constantemente por la maldición del barco se hicieron muchos asaltos a varios barcos, dada la importancia de estos asaltos y de que no cabían mas cofres en el barco decidieron enterrar el oro en una isla, pero antes de ellos el capitán J. Flint debía hablar con los dioses para poder pisar tierra sin que el barco fuera destruido por el monstruo que lo perseguía, los dioses dieron permiso al capitán pero con la condición de que sacrificara en su nombre a cada uno de los hombres que lo acompañara, es así como el capitán J. Flint deja a William (Billy) Bones y a John Silver, a cargo del barco explicándoles que los otros marineros van a morir, es así como empiezan el camino para enterrar el tesoro.

Pero como los marineros que acompañaban al capitán se habían dado cuenta que algo raro pasaba uno de ellos dejo una pista estratégica para encontrar el tesoro, pero el capitán se dio cuenta y como no quería que nadie solo el supiera la ubicación del tesoro, mando llamar al marinero Israel Hands para tener una cita a solas y este dejo enterrada la pista en un lugar estratégico, entonces el capitán mato al marinero y lo acusándolo de traición.

Luego siguiendo el recorrido el marinero Benn Gunn se dio cuenta que el capitán estaba algo raro así que él había anotado el camino recorrido desde la muerte de su compañero y su capitán lo mando llamar y este enterró la pista en otro punto estratégico, pero para su sorpresa su capitán lo invito a tomar ron y así el marinero Benn Gunn se quedo dormido y se perdió del camino muriendo de sed y hambre.

Pero el gran amigo de Benn Gunn , Pew (Sacristán), decidió seguir con la labor de su compañero anotando el recorrido aunque no sabía con exactitud el recorrido anterior y al notar esto el capitán convenció al último marinero para atentar contra Pew (Sacristán) y el escondió su pequeño mapa y desapareció.

El último de los marineros Perronegro (Black Dog),anoto el recorrido desde el momento que su ultimo compañero había desaparecido, hasta cuando el capitán decidió vigilarlo todo el tiempo eso fue casi llegando a su barco y cuando llegaron al barco el corrió a decirles a sus compañeros pero antes de pronunciar palabra el capitán Flint le había disparado y sus compañeros vieron caer una notan en la que decía “el capitán no quiere que nadie sepa dónde está el tesoro enterrado hace un día no he podido seguir el mapa que deje enterrado, pero si siguen las huellas frescas podrán saber cual es lugar donde deje mi mapa” los dos tripulantes miraron al capitán y este dio la orden de partir enseguida y ellos la noche antes de partir lograron medir el camino hasta donde las huellas eran frescas.

¿Dónde está el tesoro?

� RUTA DEL TESORO8

Encontramos pistas que conducen al tesoro por lo tanto cada vez que vayas encontrando una, ve realizando un grafico para que puedas encontrar el retorno de lo contrario te perderás en esta isla.

1. Encontraste el punto de partida que realizamos nosotros junto con el Capitán J. Flint para esconder el tesoro, sin embargo de los que iniciamos ya solo quedamos una pequeña parte de la tripulación ya que nuestro compañero Perronegro (Black Dog) el Capitán lo ha fusilado, sabemos cómo regresar hasta el punto donde desapareció otro de nuestros compañeros, sabemos que allí el dejo una pista hasta un nuevo punto, quien encuentre el tesoro no deberá volver a preocuparse por nada en la vida sigue la ruta descrita a continuación:

Desembarcamos al sur de la isla, debes mirar donde hay pintada una flor en un árbol, de allí busca la dirección para aclarar la mente y después avanza tantos metros como hojas tiene un trébol de la suerte después busca donde sale el sol y camina un metro. Allí tendrás que encontrar la distancia que hay entre el punto que ahora estas y el inicio de la ruta en la mitad del camino abra una pista para continuar.

2. Al este hay tres cuartos de la distancia inicial que recorrer y después toma a donde se aclaran los pensamientos, sin embargo no podemos tomar por allí ya que hay trampas puestas por el capitán entonces toma hacia el noreste el numero perfecto de metros que puedas avanzar hasta llegar al punto donde se encontraría la claridad de los pensamientos y el número perfecto. Continúa tu dirección dos metros más encontraras una piedra, en la piedra un árbol, en el árbol una rama y en la rama una pista.

3. Aquí toma en contra de la corriente al este, hasta donde hay una piedra en forma de cabra que está a 12 metros del la pista anterior, después da un cuarto de vuelta y avanza tres metros.

4. Debes tener cuidado, hay una trampa, no sabemos donde, por lo que deberás devolverte hasta la piedra y recorrer la misma distancia que recorriste hasta aquí pero ahora devolviéndote al occidente. Encuentra la distancia que hay entre el lugar de la ultima pista y donde llegaste, gira al sur este y avanza dos veces la distancia inicial.

5. Antes de devolverte tenias una posición, encuentra la distancia que hay hasta aquí y recórrela hacia el sur este a 110° la distan cia del inicio de la pista anterior con la nueva posición, recórrela al oeste y sorpresa, al atardecer si partiste con la mañana encontraras una vista plena de cuantas cosas puedes

8 Ver anexo 2

hacer por encontrar un tesoro, y efectivamente quien persevera alcanza allí lo veras.

� RECURSOS Y MATERIAL DIDÁCTICO

RECURSO UTILIZADO

FUNCION

Un cuento referido a un barco

Mediante este cuento y las indicaciones dadas a los estudiantes se pretende establecer los conocimientos previos del estudiante.

� BIBLIOGRAFIA

• MARIANO, E. y otros. Educación secundaria en trigonometría. • Trigonometría Cap. III relaciones métricas en triángulos rectángulos

5.1.1 PROTOCOLO ACTIVIDAD DIAGNOSTICA (10-1) SIGUE LA RUTA DEL TESORO

La clase inicia con la presentación de las practicantes por parte de la Docente titular a los estudiantes, posterior a esto, las practicantes hacen la presentación de sí mismas a los estudiantes y establecen algunos acuerdos con los cuales se va a manejar el curso en el trascurso del semestre, lo cuales son los siguientes:

• en lo posible asistir a todas las sesiones programadas de clase ya que se va a llevar una continuidad en las clases debido a que daremos una situación en la que se seguirá proceso individual y grupal de los estudiantes.

• Seguir las indicaciones dadas por las practicantes para la clase, a lo cual la docente titular agrega “el trabajo realizado con las docentes (refiriéndose a las practicantes) tiene un valor en la nota del periodo bajo los parámetro de evaluación; como la revisión de tareas, asistencia, lo teórico visto en clase y lo práctico”. A lo cual los estudiantes estuvieron atentos y no realizaron ningún comentario.

• El manejo respetuoso entre docentes y estudiantes, mencionando que según se presentaran las circunstancias se agregarían más acuerdos.

Procedimos a entregar la actividad preparada para el desarrollo de la clase, esta consistía en seguir la ruta de un tesoro la cual nos permitiría identificar los conocimientos previos de los estudiantes al igual que algunas percepciones sus comportamientos en clase al tener un trabajo a seguir.

Para hacer un poco mas entendible el ejercicio se pidió a un estudiante que voluntariamente leyera la primera pista, la intencionalidad de buscar alguien voluntario era observar el interés de los estudiantes ante el desarrollo de la actividad para observar a lo cual la respuesta fue buena ya que una persona inicio la lectura. Posterior a esta, tuvimos que dar un poco mas de indicaciones ya que algunas de las pistas no eran muy entendibles para ellos.

Una vez aclarada la interpretación de las pistas, observamos que se les dificulto encontrar la primera distancia, ya que tenían nociones de que había un procedimiento el cual les permitía hallarla sin embargo se lanzaron algunas propuestas:

Representaban los dos segmentos que conocían.

1.

2.

3. )2

A la primera opción se trato de observar que era lo que estaban interpretando realizando en el tablero la siguiente representación, sabiendo que se tenían dos cosas que se conocían:

A lo que los estudiantes decidieron no tener en cuenta. En la segunda opción la docente titular intervino para dar a conocer la tercera ya que algunos de los estudiantes la habían expuesto pero no se había tenido en cuenta, por lo cual decidimos abordar primero la tercera opción de la siguiente manera: Preguntamos a los estudiantes que si era igual tener la segunda que la tercera opción, a lo que ellos respondieron que no, guiando a una de las practicantes que se encontraba en el tablero a que solucionara la tercera ecuación dictándole los valores que debía escribir, con lo cual se concluyo que lo más indicado era tomar la segunda ecuación. Sin embargo, hubo una “discusión” sobre cómo debía ser solucionada ya que algunos tomaron los valores y reemplazaron en la ecuación pero no sabían si elevar a la raíz al número obtenido, encontrando que algunos estudiantes comenzaron a sacar sus apuntes con la docente titular y dijeron en acuerdo con las practicantes que como lac todavía estaba elevada al cuadrado para mantener la igualdad y como se tenía que tomar un solo lado no el cuadrado, se necesitaba hallar la raíz de la sumas de cada lado elevados al cuadrado.

Posterior a esto ya cada estudiante debía realizar la ruta individualmente, sin embargo, poco a poco fueron haciendo grupos en los puestos y subiendo el tono de voz entre ellos, teniendo que pedir que volvieran a sus puestos, como también se fueron identificando algunos estudiantes que no realizaban la actividad sino que se realizaban otras actividades que no tenían nada que ver con la clase, teniendo que pedir que retomaran la actividad en algunas ocasiones y al ver la falta de interés optamos por dar a escoger la solución de la actividad o una guía que se había preparado con preguntas y múltiples respuestas en caso de alguna eventualidad, prefiriendo retomar la actividad sin prestar mucha atención a lo que se venía desarrollando con el resto del grupo.

Encontramos algunos estudiantes con algunos inconvenientes a la hora de tener que despejar la ecuación cuando no tenían que hallar la hipotenusa sino uno de los cateto, por lo que después de dejar que analizaran un poco, decidimos poner el caso en común y solucionarlo entre todos.

Al mismo tiempo que se iba desarrollando la clase en la parte exterior se realizaba una formación, con lo cual observamos que en el salón se concentra bastante ruido teniendo que esforzar la voz para poder hacer que los estudiantes nos escucharan, hubo un momento en el que no solo era el ruido que se escuchaba de afuera sino también los estudiantes se pusieron de pie y conversaban entre ellos, escuchándose también ruido desde dentro del salón, tuvimos que pedir tomaran asiento y si había

inquietudes levantaran la mano y nosotras responderíamos las dudas, en el caso de hablar con sus compañeros para la solución de la actividad lo hicieran en tono de voz más bajo.

Para esta actividad tratamos de que fuera solucionada al mismo tiempo entre todos, aunque algunos esperaban hasta que sus compañeros terminaran cada pista y luego si copiaban, estuvimos pendientes para que esto no sucediera, pero aun así se presentaron algunos casos.

Lo observamos a nivel general del curso es que son buenos trabajando en grupo, sin embargo se debe tener cuidado en la conformación de los mismos ya que no todos trabajan, se puede realizar trabajos individuales, debemos de preparar las actividades de tal forma que a la hora en que hay descanso de los estudiantes de primaria no se tengan socializaciones ya que el ruido no permitiría llevar la clase con fluidez, se debe estar atentas con el trabajo y desarrollo de algunos estudiantes que usualmente se encuentran en la parte trasera del curso provocando desorden.

PROFESOR.

Lo que se esperaba Lo encontrado

• Presentar una situación problema que nos permitiera encontrar características propias del proceso cognitivo como son: destrezas colectivas e individuales, organización y disposición del aula, cooperativismo y actitudes frente al ejercicio propuesto.

Presentamos la situación problema en la que pudimos encontrar que:

Los estudiantes tienen una buena disposición del aula en la cual se pueden realizar grupos de trabajo contando con un espacio amplio para ello.

Las destrezas colectivas son muy buenas pues hay una buena comunicación de los estudiantes entre ellos para dar la solución al problema, mientras las destrezas individuales son muy pocas debido a que la mayoría de ellos se sienten más seguros al socializar sus puntos de vista.

El cooperativismo entre ellos es muy fuerte, llegando al extremo en que si alguien no había resuelto nada entonces puede contar con que algunos de sus compañeros para copiar los ejercicios resueltos.

En la mayoría de ellos se ve un interés por desarrollar el ejercicio propuesto, pero unos pocos no tienen interés de desarrollar nada de lo propuesto es por ello que se presentan copias en el salón.

• Observar las diferentes estrategias que utilizan los estudiantes para resolver problemas tipo icfes en los cuales se ponen en juego los conocimientos previos de los estudiantes.

Esta solo se logro con un grupo reducido de estudiantes ya que por falta de tiempo no la implementamos para los demás, pero pudimos observar que a los estudiantes que se la implementamos, no presentaron ningún interés en dar solución a ninguno de los puntos, por lo tanto no pudimos ver ninguna estrategia utilizada.

ESTUDIANTES

Lo que se esperaba Lo encontrado

• Mantener un interés por participar en cada uno de los problemas y ejercicios plantados para la clase, proponiendo diferentes soluciones a los problemas y socializándolo con los compañeros de grupo.

En la mayoría de los estudiantes se vio un interés por participar en el desarrollo del problema de la búsqueda del tesoro, presentándose discusiones entre las diferentes propuestas. Aunque fueron muy pocos los casos en los que se presento un desinterés no pudimos conocer las propuestas de estos estudiantes ya que estos optaron por copiarse de los compañeros.

• Establecer estrategias de solución enfocadas al cuento que se plantea; como la utilización de noción de ángulos, lados, razón, proporción, teorema de Pitágoras, seno, coseno y los procedimientos que se pueden realizar de acuerdo a la resolución de triángulos rectángulos.

Se establece estrategias de solución como: nociones del teorema de Pitágoras, pero no saben muy bien cuando aplicar este teorema menos de que el caso sea muy explicito. Nociones de ángulos, razones y proporciones no son muy claras para los estudiantes, y las de seno coseno no son conocidas para ellos. Los procedimientos que ellos utilizaron para la resolución de triángulos rectángulos no fue muy amplia y optaron por tratar de proponer soluciones para hallar áreas de rectángulos y el teorema de Pitágoras pero no se presento ningún otro.

5.1.2 PROTOCOLO ACTIVIDAD DIAGNOSTICA (10-2)

DESCRIPCION

Iniciamos la clase a las 7:40 a.m la docente titular se encontraba en el salón, la docente nos presento como docentes de matemáticas y les expuso que nosotros estaríamos realizando la clase todos los miércoles con una metodología un poco diferente la trabajada por ellos. Los estudiantes estaban organizados cada uno en su puesto.

Nosotros nos presentamos a los estudiantes y les indicamos que se realizaría una actividad diagnostica, explicándoles que con esta pretendíamos saber que saben ellos acerca del tema que se trabajara a lo largo del semestre (resolución de triángulos, razones trigonométricas, teorema del seno y coseno).

Los recursos a utilizar en la actividad diagnostica consistía en dos copias en la que se encontraba un cuento sobre un tesoro perdido y las instrucciones a realizar para encontrar dicho tesoro, en estas instrucciones se encontraban aspectos importantes de trigonometría básicos como el teorema de Pitágoras, semejanza de triángulos, teorema de seno y coseno.

Empezamos así con la realización de la actividad, el trabajo se realizaría individualmente, pero los estudiantes estaban ubicados de a parejas, por consiguiente creímos conveniente dejar a los estudiantes así.

Los estudiantes iniciaron leyendo el cuento, lo encontraron un poco divertido por los nombres que allí se encontraban (“perro loco”), luego de esto continuaron con la lectura de las instrucciones. Al leer las instrucciones ellos iniciaron a realizar preguntas acerca de los ítems, pues en ocasiones no comprendían los párrafos.

Los estudiantes al terminar de leer las instrucciones realizaron preguntas como ¿Qué tenemos que hacer? ¿Para qué es el cuento? ¿Qué hacemos con las instrucciones?

Dado esto les expusimos que deberían recrear en un gráfico las instrucciones. Los estudiantes iniciaron a recrear las instrucciones pero en ocasiones no entendían los procedimientos que debían realizar. “Allí tendrás que encontrar la distancia que hay entre el punto donde estas ahora y el inicio de la ruta”.

Al ver esta indicación los estudiantes no sabían cómo resolver esto, ellos realizaron el grafico pero no encontraban como hallar la distancia, nosotros les dimos una pista de cómo podrían encontrarla y cuando hablamos con la docente titular ella nos indico que el teorema de Pitágoras lo habían estado trabajando, pero los estudiantes no comprenden en que situaciones utilizar este teorema; con las pistas dadas ellos manejan el teorema y saben su definición.

5.2 ACTIVIDAD 1 DIAGNOSTICA PRUEBA ABC. UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS

FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACION COLEGIO: C.E.D. REPUBLICA DE MEXICO

GRADO: DECIMO

1) halla las longitudes de los lados a y b

A. a = 21 b = 16.8

B. a = 0.47 b = 0.11

C. a = 0.41666 b = 0.33333

D. a = 17 b = 14

2) ¿Cuánto vale el ángulo α ?

36 36

α

5

12

15 7

a

b

A) 25 B) 54 C) 44 D) 49

3) Encuentra el valor de AB del siguiente triangulo CAB. Si AC=5 y CB= 3. Explica tu respuesta

.

4) Responde las siguientes preguntas y justifica tu respuesta mostrando el procedimiento realizado.

Si sabemos que el AB= 4 y CD= 3

a. ¿Qué podrías decir de los ángulos ACB y DCE?

b. ¿Cómo podrías hallar cuánto vale el lado AC?

c. ¿Cuál es el valor del ángulo CAB?

5) Representa y resuelve el siguiente problema:

6) Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?

7) En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 4 y 9 metros. Calcular la altura relativa a la hipotenusa.

5.2.1 PROTOCOLO ACTIVIDAD 1 (10-1) En esta actividad decidimos aplicar una prueba en la que se pudieran identificar algunos conocimientos que no se identificaron en la anterior prueba diagnostico, pues al proponer la situación fundamental debemos observar conocimientos base para empezar a abordar la situación.

Al comenzar con esta prueba los estudiantes presentaron dificultades al realizar la primera pregunta ya que ninguno pudo identificar que eran triángulos semejantes, es por ello que nosotros mostramos ejemplos de semejanza para que ellos establecieran sus conclusiones y pudieran iniciar, esta pregunta y la segunda pretendíamos ver si los estudiantes podían identificar triángulos semejantes y algunos de sus criterios, las preguntas fueron las siguientes:

8) halla las longitudes de los lados a y b

5

12

15

7

a

b

A) a = 21 b = 16.8 C) a = 0.41666 b = 0.33333

B) a = 0.47 b = 0.11 D) a = 17 b = 14

La respuesta A de la primera pregunta era la correcta, esta identificaba si los estudiantes conocían el criterio de semejanza donde se identificaba la proporcionalidad entre los tres pares de lados.

La respuesta B daba cuenta que ellos conocían la proporción entre los triángulos pero podían operar mal.

La respuesta C daba cuenta de que ellos conocían la proporcionalidad entre los triángulos pero no relacionaban lo que pasaba en uno con lo que pasaba en el otro.

La repuesta D daba cuenta que los estudiantes conocían que los triángulos estaban relacionados con un cambio pero en cuanto a la medida de los lados de los triángulos y no en cuanto a la proporción.

Las respuestas que se dieron fueron A y D, lo que quiere decir que los estudiantes identifican un cambio en uno de los triángulos, pero algunos no relacionaban este cambio de la forma correcta, esto nos indica que los estudiantes pueden estar confundidos en los criterios de semejanza entre triángulos, es por ello que nosotros como profesores creemos que se debe dar algunas aclaraciones frente a este tema pues es de mucha importancia para nuestra situación ya que trabajamos todo el tiempo con triángulos semejantes.

2) cuánto vale el ángulo α

36

36

α

E) 25 C) 44

F) 54 D) 49 En la pregunta 2 se hacen relaciones entre los ángulos de dos triángulos semejantes y se pregunta por el valor de uno de ellos, pero en el ejercicio se hace muy explícita esta relación y además no se necesita del otro triangulo para encontrar la respuesta, es por ello que los estudiantes hacen relaciones como “1800 = 360 + 900 + α 0, entonces α 0= 1800 – (900 +360), entonces α 0= 1800– 1260, ósea que α 0=540”, lo que nos indica que los estudiantes tiene claro que la suma de los ángulos internos de un triangulo es 1800, pero acerca de las relaciones entre los ángulos de dos triángulos semejantes no nos se esclarece nada, esto nos sirve para tener mayor cuidado al formular las preguntas hacia los estudiantes y sobre todo cuando se estén haciendo en el planteamiento de la situación pues por una pregunta mal formulada los estudiantes pueden tomar otros caminos.

3. Encuentra el valor de AB del siguiente triangulo CAB. Si AC=5 y CB= 3. Explica tu respuesta

La tercera pregunta era abierta pues queríamos ver las estrategias que los estudiantes utilizaban para responderlas, era una pregunta que se podía responder con el teorema del coseno si se dieran los elementos suficientes, pero como no había ningún ángulo se quería que argumentaran el por qué si o no se podía realizar.

Se había contemplado el hecho de que este teorema no había sido trabajado con ellos lo cual ratificamos, ya que utilizaron estrategias diferentes para resolverlo, pero entre las estrategias que utilizaron le dieron solución por teorema de Pitágoras, lo cual fue no se esperaba pues es un tema no muy claro en su escritura como se vio en la anterior clase, pero en esta oportunidad la debilidad fue que creen pueden utilizar este método para cualquier triangulo, de modo que para la solución a nuestra situación al cambiar los triángulos van a emplear la misma estrategia por lo tanto no van a cuestionarse por otras, es por ello que creemos prudente aclarar y evidenciar que este teorema no se puede utilizar para otros triángulos que no sean rectángulos.

4. Si sabemos que el AB= 4 y CD= 3

d. Que podrías decir de los ángulos ACB y DCE

e. Podrías decir cuánto vale el lado AC

f.Cuánto vale el ángulo CAB

El cuarto punto tenía que dar cuenta a tres preguntas en las cuales identificábamos congruencia de triángulos, teorema de Pitágoras y teorema de coseno, en el cual pudimos observar que los estudiantes tienen buen manejo de congruencia de triángulos, en cuanto al teorema de Pitágoras la parte de operaciones es buena, pero nuestra preocupación radica en su parte analítica ya que no tienen en cuenta cuando se debe aplicar este y lo referente al teorema del coseno los estudiantes no conocen ni tienen manejo de este teorema, por esto ellos respondieron que el valor de este ángulo era de 30 grados debido a que eran triángulos especiales.

Debido a las respuestas de nuestros estudiantes podemos decir que: ya que tienen un buen manejo de congruencia de triángulos será más fácil llegar a la semejanza de triángulos, que debemos profundizar en cuanto a la parte analítica del teorema de Pitágoras ya que la parte operativa es clara y que debemos hacer un contra ejemplo en donde la solución de triángulos especiales no sirva para que ellos busquen otras estrategias, pues si no buscan otras estrategias no podrán construir nuevos conocimientos, ni llegaran a la respuesta de la situación planteada.

5) representa y resuelve

La sombra que proyecta una torre mide 20 m. Calcular su altura si el ángulo que forman los rayos del sol en la mitad del que forma con la torre.

Con esta pregunta queríamos identificar los conocimientos de los estudiantes frente al teorema del seno y las representaciones que los estudiantes pudieran hacer frente a esta pregunta, los estudiantes representaron la torre con dibujos y dejaron expresada una ecuación con la que según ellos se puede dar respuesta a este punto, esto nos indica que pueden hacer buenas representaciones lo cual es necesario para poder dar inicio a la solución de nuestra situación.

6) una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?

7) en un triangulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 4 y 9 metros. Calcular la altura relativa de la hipotenusa.

Los dos últimos puntos no se pudieron realizar debido a la falta de tiempo, pero los dos

preextendía que los estudiantes dieran algunas representaciones de lo que se estaba planteando

en el problema y la solución dada con el teorema de Pitágoras.

5.2.2 PROTOCOLO ACTIVIDAD 1 (10-2)

DESCRIPCION DE LA SESION:

Para esta sesión continuamos con una prueba que teníamos propuesta para la clase anterior (prueba actividad diagnostica), como estrategia de organización decidimos realizar la actividad por parejas, seguidamente entregamos las preguntas que los estudiantes debían realizar.

Los estudiantes iniciaron con las preguntas que allí se planteaban; la primera pregunta se realizó con la finalidad de reconocer la semejanza de triángulos, pero lo que paso en este punto era que los estudiantes no evidenciaban la semejanza que existía en los dos triángulos presentes, llevándonos así a cometer una paradoja de los fenómenos de la didáctica como es el efecto topaze (brousseau 1986), pues disimuladamente estábamos dando una respuesta; ahora bien frente a las respuestas o mecanismos que dieron los estudiantes a la solución de esta pregunta podemos tener en cuenta lo que nos sugiere Van Hiele (1957):

“A lo largo del proceso de aprendizaje, el razonamiento de los estudiantes pasa por una serie niveles de razonamiento que son secuenciales, ordenados y de tal manera que no se puede saltar ninguno”

Dado esto nosotros vemos claramente que la mayoría de los estudiantes se encuentran en estas fases o en estos niveles que presenta Van Hiele, desde un análisis de lo realizado por los estudiantes definimos que los estudiantes se encuentran en un nivel básico como es el nivel de reconocimiento (nivel 1):

“los estudiantes razonan sobre conceptos geométricos básicos, tales como formas simples, principalmente por medio de consideraciones visuales del concepto como un todo sin considerar explícitamente las propiedades matemáticas de sus componentes”.

Los estudiantes solo observan los dibujos pero no consideran las relaciones existentes entre los objetos.

El primer punto básicamente era el siguiente encontrar las longitudes a y b.

Desde nuestro análisis creemos que los estudiantes respecto a la semejanza de triángulos se encuentran en este primer nivel puesto que:

E: Profe pero que tenemos que hacer en el primer punto.

P: Lean bien el punto y traten de interpretar.

E: Profe pero no sabemos cómo encontrar los dos lados, porque solo conocemos uno.

P: Miren los triángulos…..como son esos triángulos.

E: Uhhhhh esos dos triángulos son….. “especiales”

P: Semejantes (efecto topaze ). Intenten encontrar las semejanzas que hay entre los dos.

E: Si no nos explican no podemos hacerlo.

Como se evidencia los estudiantes entienden vocabulario geométrico, pero esos términos tienen un significado visual más que matemático (Van Hiele, 1957). Los estudiantes intentaron buscar las similitudes y así intentar dar una respuesta. Muchos de los estudiantes dieron una respuesta utilizando el teorema de Pitágoras, donde pensamos que no tienen la adecuada significación del teorema como tal.

Ahora bien continuando con las preguntas propuestas en la pregunta número dos, la finalidad era encontrar el valor de un ángulo en un triangulo rectángulo, sabiendo que uno de ellos era de 36°, en esta pregunta los estudiant es no comprendían la pregunta, de nuevo no sabían cómo buscar el ángulo α:

E: Profe tenemos que encontrar el valor del ángulo.

P: Si efectivamente tienen que encontrar el valor de α (alfa).

E: Profe pero como hacemos eso.

P: Busquen un mecanismo de cómo hacerlo.

P: Que saben ustedes de triángulos, de sus ángulos.

E: Este es un triangulo rectángulo,

5

12

15

7

a

b

P: Si….cuanto debe ser la suma de los ángulos de un triangulo.

E: Debe ser 180° ahhhh ya ya sabemos cómo hacer….

Desde nuestro análisis pensamos que la mayoría de los estudiantes respecto a esto se encuentran en el nivel 1 pues los estudiantes en este punto “Razonan sobre conceptos geométricos básicos”.

En las preguntas tres, cuatro, seis y siete que se relacionan al teorema de Pitágoras los estudiantes tenían un manejo adecuado de este y lograron encontrar con facilidad las respuestas, pero hay estudiantes que no saben ubicar los catetos que interfieren en este teorema como el opuesto y el adyacente, pues algunos estudiantes realizaron la siguiente pregunta: ¿El adyacente es el más pequeño?, creemos que esto se da en los estudiantes porque a nosotros como docentes tendemos a caer en los fenómenos de la didáctica, en este caso en el fenómeno del envejecimiento de las situaciones, pues creemos que siempre se le presenta a un estudiante un mismo triangulo llevándolo a pensar que el cateto adyacente siempre será el más pequeño.

Respecto a estas preguntas creemos que los estudiantes en este tema (teorema de Pitágoras) se encuentran en un nivel mayor, se podría decir que en el nivel 2 de los que presenta Van Hiele; pues la mayoría de los estudiantes “Razonan sobre conceptos geométricos por medio de un análisis informal de las partes componentes y atributos”.

Finalmente en la pregunta cinco sobre el teorema del seno, los estudiantes miraban apuntes pero no sabían cómo dar una respuesta, preguntándonos así que ecuación podrían utilizar.

Desde nuestra perspectiva los niveles que propone Van Hiele son adecuados para analizar el aprendizaje de los estudiantes, es así como nosotros intentamos generalizar el comportamiento de los estudiantes en:

• Intentando dar respuesta: Los estudiantes buscan la solución mirando apuntes y analizando datos.

• Recursividad: Buscan soluciones pero no identifican una estrategia útil.

• Probando: Tienen momentos de dispersión y atacan los problemas en ocasiones sin entender la finalidad.

• Los teóricos o tradicionales: Buscan la solución en una explicación del tema sin buscar estrategias por sí mismos. Se indisponen al no encontrarlos u obtenerlos.

Finalmente en esta sesión aprendimos o nos dimos cuenta que los errores o fenómenos de la didáctica son cometidos intentando que los estudiantes lleguen a una respuesta sin darnos cuenta que no debemos intervenir de esta manera, para siguientes actividades

entendemos que debemos realizar preguntas que no sean respuestas o indicaciones a las respuestas dadas por nosotros a los estudiantes.

5.3 ACTIVIDAD 2 (FASE DE ACCIÓN)

Explorando y aprendiendo.

� JUSTIFICACIÓN La siguiente actividad se establece con el fin que el estudiante emplee material tangible el cual pueda relacionar directamente con la situación fundamental, de esta forma se pretende inducir al grupo de estudiantes, a animar la situación fundamental planteada con el fin de darle sentido y correspondencia con el medio y generar en el estudiante interrogantes acerca de esta.

� DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD FASE 1: retomar la actividad anterior en la cual se había entregado la situación fundamental anexo2 y se habían dejado las siguientes preguntas:

1. Lea y analice el problema planteado. 2. Realice un dibujo respecto al problema 3. ¿Qué necesita para resolver el problema? 4. ¿Los datos dados en este son suficientes? ¿por qué?

Estas preguntas tenían como fin introducir al estudiante a la situación problema y para ello se busca que este realice un dibujo en el cual, el deberá identificar los aspectos más relevantes de la situación los cuales serán objeto de análisis futuros. Estas preguntas debían ser respondidas en el cuaderno y el dibujo en una hoja para entregar, en este se deberá resaltar la forma del tanque del agua, las cuerdas que lo sostienen y la posición de este. Se comenzará la clase socializando las respuestas y los dibujos de la terea, en grupos de 3 a 4 estudiantes, estos grupos estarán destinados a trabajar las actividades futuras hechas en la práctica para este grado. Cada grupo deberá comparar lo hecho por cada integrante y llegar a una sola respuesta construida en el grupo, así como el dibujo, estos se recogerán acabada esta socialización. FASE 2: se le entregara a cada grupo un cono similar al de tomado en la situación fundamental anexo 1, con este deberán simular los hechos que nombra tal situación, pero estos estarán diseñados de tal forma que al trasladar el cono lleno de agua de una posición a otra el agua se riegue ligeramente, escapándose por la punta del cono, esto estará hecho con el fin de generar la primera situación problema en la situación fundamental, además generar espacios dentro del agua donde se le pregunte al estudiante cosas como.

1. ¿Si se riega el agua del tanque que transporta el helicóptero, habrá diferencia en

la cantidad de agua que se llenó en el parque y la llegará al sitio del incendio?

� Con esta pregunta se busca que el estudiante evidencie que si las condiciones del problema cambian generaran resultados y situaciones diferentes en el problema.

2. ¿Habrá forma de averiguar la cantidad de agua que llegara al sitio del incendio, teniendo en cuenta que el tempo que se tarde el helicóptero desde el parque al sitio del incendio será el mismo tiempo que tendrá la punta del tanque en regar agua de este?

� Esta pregunta busca que el estudiante encuentre la forma de medir el agua que sale del tanque de alguna forma empírica ayudado de las medidas que cada cono trae dibujadas relacionando sus conocimientos previos.

3. ¿La forma que tiene el agua en el tanque, tendrá importancia en el la cantidad de agua que hay en el cono?

� Con esta pregunta se busca que el estudiante identifique el triangulo forma con el agua respecto del cono, además de encontrar las características que este tiene, como lo son (es un triangulo isósceles, los ángulos que se encuentran dentro del triangulo se mantienen independientemente de la cantidad de agua que sale del cono)

� OBJETIVO GENERAL:

• Generar una situación didáctica que le permita al estudiante reconocer los

diferentes elementos que intervienen en el problema (situación didáctica) que le permita al estudiante establecer estrategias para la solución de este.

� OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

• Identificar el análisis que efectúa el estudiante ante un problema planteado • Evidenciar los aspectos que el estudiante encuentra como relevantes en la

situación problema que usa para intentar dar solución • Generar la necesidad de encontrar datos que le permitan dar continuidad a la

solución del problema • escuchar las conversaciones de grupo donde se generen discusiones acerca de

los caminos de solución que encuentren los estudiantes. • Usar la información recogida para orientar al estudiante al tema principal de la

situación fundamental (trigonometría)

� METODOLOGÍA

ORGANIZACIÓN DEL GRUPO ROLES Fase 1: trabajo de análisis de grupos de Estudiante

trabajo conformados de 3 a 4 estudiantes, para un máximo de 14 grupos en el aula. 30 minutos Fase 2: se trabajará en los grupos de trabajo destinados a la solución de la situación problema, reunidos en los costados del salón para que logren realizar la animación de la situación problema. 50 minutos

Abordar la situación problema mediante el análisis y la animación de esta. Reflexionar a partir de socializar con compañeros acerca de los aspectos que influyen directamente en el problema. Profesor Organizador de la metodología usada. Observador de los análisis que hacen los estudiantes respecto del problema. Interrogador en los grupos de trabajo respecto de los aspectos que influyen en el problema.

� NIVELES

• Nivel 0: El estudiante no realiza un análisis de la situación planteada, solo intentan comprender el problema.

• Nivel 1: El estudiante realiza un análisis de la situación planteada, pero no logra establecer estrategias a una posible solución de la situación fundamental.

• Nivel 2: El estudiante realiza un análisis de la situación planteada, y logra establecer estrategias para dar una posible solución de la situación fundamental.

� INDICADORES DE LOGROS

• Conceptual: identifica los elementos de estudio matemático que se encuentran en

el problema. • Procedimental: encuentra estrategias individuales y grupales que le permitan dar

una solución al problema. • Actitudinal: cumple con las tereas propuestas, trabaja y participa en grupo en

relación con la clase.

� GESTIÓN Y CONTROL DE LAS VARIABLES DIDÁCTICAS

• El tiempo para cada fase de la actividad • La identificación de los elementos que hacen parte del problema puede llevar a

confusión por la cantidad de datos. • La conformación de los estudiantes para el trabajo en grupo puede ocasionar

desorden y discusiones.

� HIPÓTESIS DE APRENDIZAJE

• Los estudiantes empiezan a identificar los aspectos que influyen en el problema

planteado como: • El tanque de forma de cono recto. • Las cuerdas que sostienen al tanque. • La forma del agua en el tanque

Los estudiantes empiezan a intentar dar solución al problema planteado a partir de la animación de esta efectuada en el aula y la socialización en cada grupo.

5.3.1 PROTOCOLO ACTIVIDAD 2 (10-1)

En esta sesión se tenía programado realizar la presentación de la situación fundamental (apagando el incendio en los cerros de Bogotá) a los estudiantes mediante la presentación de un modelo a escala de los tanques que serian utilizados para apagar en el incendio, sin embargo, debido a una actividad programada por el colegio; la cual consistía en solucionar pruebas tipo ICFES de cada materia por grado, no fue posible realizar la clase.

Para esta oportunidad realizamos el acompañamiento en las pruebas, debido a que los estudiantes terminaron veinte minutos antes y como habíamos acordado que se entregarían los ejercicios realizados en las clases anteriores (en busca del tesoro y una prueba con preguntas de selección múltiple y preguntas abiertas), con la autorización de la docente titular tomamos este tiempo para realizar la entrega y escuchar las aclaraciones a diferentes puntos.

En la segunda prueba hubo bastante confusión en el primer punto en el cual se tenía que realizar una proporcionalidad entre triángulos en donde ninguno de los estudiantes lo realizaron correctamente ya que realizaron fue la suma de dos unidades a cada cateto y no observaron la razón que tiene haber entre los lados, motivo por el cual se tomo la respuesta que ellos dieron y aplicamos el teorema de Pitágoras que ya se había trabajado en otras ocasiones y se observo que lo obtenido con el no era coherente con la respuesta dada.

• • •

Por lo cual ellos evidenciaron que esta respuesta no es correcta, uno de ellos menciono junto con la docente titular que el tema de proporcionalidad la habían visto en noveno pero no recordaban muy bien el tema. El hecho de que la docente titular estuviera presente y fuera la misma docente que estuvo con ellos en noveno dio como resultado que al principio los estudiantes dijeran que no sabían sobre el tema y después reconocieran el haberlo visto, puede ser que reconocieran el haberlo visto pero no

realizaron ningún comentario si estaba claro o no, por lo cual las docentes mencionaron la correspondencia que debía haber entre los lados, pero cuando se les dice que realicen un despeje en las ecuaciones se confunden de cómo hacer este despeje sino hasta cuando nosotras escribimos en el tablero:

Entonces empezamos a despejar la incógnita, podemos ver un caso similar en el punto cinco en el que los estudiantes no supieron cómo hacer el ejercicio sino hasta cuando nosotras hicimos la representación grafica del problema y la siguiente ecuación:

180902

=++ σσ

Podemos ver que los estudiantes no identifican las ecuaciones planteadas en una situación problema si no que logran realizarla cuando esta ya está escrita, también se presentaron problemas algorítmicos (volviendo a la primera ecuación), ya que ellos cometían errores como: pasar a sumar la b o a dividir.

Esta confusión se presentaba debido a que la incógnita estaba acompañada de un número, ósea estaba dividiendo uno de los números al otro lado de la igualdad y no se encontraba sola.

Volviendo al punto cinco a la segunda ecuación los estudiantes creían tener dos incógnitas, pues aunque fueran diferentes resultados los que íbamos a obtener sabíamos en cuanto se diferenciaba una de la otra, además no veían una asociación entre las dos expresiones.

Posterior a esto observamos el segundo punto en el cual se observo que la mayoría de estudiantes argumentaron para este punto que para hallar el valor del ángulo se tenía que sumar el ángulo de noventa grados con el otro ángulo dado y después de obtenido el resultado a ciento ochenta grados restar el resultado obtenido, siendo así como encontraron que el ángulo era de cincuenta y cuatro grados.

Algunos de los siguientes puntos debemos reconocer que no fueron apropiados para la implementación de la prueba diagnostico, porque las nociones requeridas para estos puntos no son suficientes, nos lo manifestaron y así lo comprobamos con las respuestas o lo que pudieron contestar y con la docente titular. Con las respuestas encontramos que el presentarles triángulos que no fueran rectángulos condujeron que ellos al tratar de dar una respuesta utilizaran lo que conocían de resolución de triángulos, como era el teorema de Pitágoras omitiendo el uso de este para solo triángulos rectángulos.

En el punto tres se presento que teníamos un triangulo escaleno en el cual no podíamos utilizar el teorema de Pitágoras, pero que la mayoría utilizo para este caso, si tener en cuenta que para esta clase de triángulos no se puede utilizar el teorema de Pitágoras,

Por parte intentamos darle otra orientación sobre la marcha, es decir, mientras desarrollamos el ejercicio con ellos pues como podemos ver en el dibujo el triangulo estaba dentro de un rectángulo que tenia cuadriculas, y cada una de ellas era un centímetro y el lado AB resultaba ser la diagonal del rectángulo y la hipotenusa de dos triángulos rectángulos, debido a esto teníamos la medida de los catetos de ambos triángulos rectángulos y como se estaba preguntando por el lado AB, entonces los estudiantes podían realizar Pitágoras para cualquiera de los triángulos y obtener así el lado AB, pero al momento de desarrollarlo de esta forma en el tablero y haberlo sugerido en el desarrollo de la prueba, varios estudiantes defendieron que para el primer triangulo se utilizaba teorema de Pitágoras y por lo tanto el ejercicio evidenciaba que los estudiantes aun no comprendían que el teorema de Pitágoras se utiliza solo en triángulos rectángulos.

Con estos puntos nos dimos cuenta que en el afán de dar una respuesta podíamos lograr que ellos trataran de dar una respuesta desde lo que conocen, pero esto no es suficiente ya que esto puede tener un efecto contraproducente ya que podíamos caer en el efecto Jourdain en el cual por no desmeritar los esfuerzos de los estudiantes ellos asimilen falsas nociones o en el efecto Topaze ya que para llegar a una respuesta debíamos de nosotras darla y pues allí no habría ningún conocimiento desarrollado por los estudiantes ya que les estaríamos dando una respuesta donde ellos asimilan como verdadera pero no saben porque lo es.

Lo anterior fue de provecho para nosotras ya que nos sirvió para tenerlo en cuenta en el desarrollo de nuestra situación fundamental ya que debemos tener en cuenta muchas variables en el problema que pueden no haber sido contempladas por nosotras como por ejemplo que debemos tener cuidado en el paso de la utilización de el Teorema de Pitágoras al Teorema de Seno o coseno, estar pendientes de las conversaciones entre ellos ya que por los argumentos dados por algunos estudiantes pueden llegar a una respuesta errónea ya que puede tener razón en parte de sus argumentos pero también puede no tenerlos lo suficiente

Debemos tener claras las preguntas sobre las cuales nosotras realizaremos para guiar a los estudiantes hacia el objetivo que nosotras pretendemos ver (trigonometría), porque

entre más preguntas hagamos podemos estar dado la respuesta o por el contrario confundiéndolos más y hemos identificado que algunos estudiantes en particular tienden a ser líderes en el curso donde algunos dependiendo de lo que realice este comenzaran a su trabajo y si hay algo diferente lo cambian, dudando de su trabajo. A pesar de que tratamos de que el trabajo sea individual por la misma posición de los pupitres esto no ha sido posible ya que siempre terminan hablando con el compañero y aunque nosotros tratamos de atender las inquietudes se mantiene el orden pero cuando ven que no nos dirigimos a ellos inicia la conversación con los demás, por lo que en ocasiones optamos por realizar pequeñas socializaciones en la que ellos pongan sus preguntas en común que pueden ser semejantes a las de otra persona.

Debido a que la primera parte de nuestra situación fundamental se basa en representaciones de la misma, establecimos niveles de complejidad sobre los cuales observamos el desempeño de los estudiantes en las pruebas realizadas para saber cómo presentar y realizar el trabajo durante las próximas clases.

Niveles de complejidad Lo encontrado

Nivel 0

Es necesario un grafico para que se realice una representación analítica de relaciones trigonométricas y entre triángulos.

Como lo habíamos anunciado anteriormente algunos de los estudiantes realizan la interpretación de un problema solo si se les presenta un grafico.

Nivel 1

Realiza a través de un enunciado una representación grafica de triángulos de un problema planteado.

Algunos de los estudiantes encontraron o partieron de una representación, sin embrago, se les complejiza encontrar procedimientos por los cuales ellos puedan transcribir lo que tienen gráficamente a lo escrito. Un ejemplo de esto fue en el segunda prueba en el punto cinco donde tenían que realizar una ecuación para encontrar el valor de dos ángulos, encontraron solo la representación.

Nivel 2

Los estudiantes reconocieron algunas propiedades de los triángulos como es que la suma de los triángulos internos es de ciento ochenta grados o por ejemplo

A través de un enunciado representan y caracterizan los diferentes gráficos obtenidos.

que los ángulos opuestos a un vértice son iguales.

Nivel 3

a través de un enunciado represen, caracterizan y expresan algebraicamente los gráficos obtenidos, encontrando una solución al problema.

En este nivel encontramos a dos estudiantes, ya que reconocen que hay procedimientos que no pueden utilizarse para cuales quiera triangulo, partiendo de un enunciado, realizando representaciones en las cuales se encuentran características que le permiten proceder analíticamente con lo dado.

De acuerdo a lo observado en estas sesiones de clase debemos tener en cuenta lo siguiente:

• a partir de lo trabajado con los estudiantes, hay que observar y tener un control adecuado de nuestra situación fundamental, debido a que puede presentarse deslizamientos meta-cognitivos ya que al observar alguna debilidad en los conocimientos previos de los estudiantes, e bueno hacer aclaraciones pero no desviarnos hacia otro tema que pueda cambiar lo que se pretende trabajar.

• Si bien, se establecieron algunos acuerdos al inicio de la práctica, se debe mantener siempre la disposición al dialogo y si es necesario establecer nuevos acuerdos, fomentando un ambiente de clase propicio en la relación profesor-estudiante y estudiante-profesor.

• En el desarrollo de nuestra situación realizar socializaciones que permitan un tratamiento uniforme hacia el objetivo planteado.

5.3.2 PROTOCOLO ACTIVIDAD 3 (10-1) Teniendo en cuenta que la clase anterior nosotros habíamos dejado la situación para que ellos la leyeran y con respecto a la lectura del problema planteado resolvieran las siguientes preguntas;

1. lea y analicé el problema planteado 2. realice un dibujo respecto al problema 3. ¿Qué necesita para resolver el problema? 4. ¿los datos dados en este son suficientes? ¿por qué?

Pero no realizaron este ejercicio así que lo hicimos en la clase socializándolo de manera grupal de cuatro personas, haciendo el primer punto en general.

Así que uno de los estudiantes leyó el problema, al terminar la lectura de este hicimos una serie de preguntas, a las que algunos respondieron, unas de las preguntas y respuestas fueron:

¿Qué elementos se presentan en el problema? E: un cono, un incendio, un helicóptero y agua. P: ¿pero qué tipo de cono?, ¿todos los conos son rectos? E: pues… dice que es recto, pero… no todos los conos son iguales (una estudiante muestra un cono circular recto que había realizado, para ver si le podía ayudar en algo para encontrar una respuesta al problema). Otros estudiantes ejemplifican: no todos los conos son circulares y rectos ya que se encuentran algunos de base ovalada y otros son: E: los soportes uno está roto. P: ¿qué pasa con el cono y el agua? E: se inclina, E: se riega. E: el helicóptero. P: ¿qué tiene que ver el helicóptero en el problema? E: el recorrido… no va a llegar agua al lugar del incendio.

1. ¿Qué características tiene los elementos que influyen dentro del problema?

E: Que los conos están rotos por abajo y tienen una de las cuerdas rotas P: el cono ¿tiene la cuerda rota desde el principio? E: no después de un tiempo En este instante caracterizamos los momentos que se van a analizar de la situación, es por ellos que después de caracterizar este momento se hace la siguiente pregunta. ¿Qué pasa cuando se rompe la cuerda? E: Se riega toda el agua P: ¿Seguros? E: Si por que el cono se voltea P: ¿El cono se voltea por completo? E: No, porque se inclina un poco. P: ¿Entonces si se riega toda el agua? E: No.

P ¿entonces qué pasa cuando se rompe toda la cuerda?

E: que el agua se riega más rápido. P: ¿seguros? E: es que tocaría mirar con un cono haber que pasa.

Los estudiantes al ver que no podían responder esta pregunta, optaron por responder que necesitaban un modelo en donde se pudiera ver si el cono se volteaba completamente, pues sus concepciones no les daban los datos suficientes para estar seguros de lo que pasaba con el cono cuando se rompía una cuerda que lo sostenía.

2. ¿alcanza a llegar el agua al lugar del incendio?

E: no P: ¿Por qué no? E: porque el cono tiene dos defectos P: ¿si tuviera solo uno llegaría? E: eso depende del tiempo que se demore el helicóptero. Luego de que hicimos esta socialización, procedimos a realizar los grupos para que socializaran las demás preguntas, pidiéndoles que anotaran todo en el cuaderno y nos estregaran una hoja por grupo.

Estando en este momento uno de los estudiantes pidió permiso para ir al baño y al ver que nosotras no lo dejábamos ir, salió del salón aunque nosotras le explicamos que no lo dejaríamos entrar si el salía, cuando regreso no lo dejamos entrar razón por la cual los demás estudiantes empezaron a protestar, entonces nosotras hicimos un acuerdo con ellos, nosotras los dejábamos salir al baño, a cambio de que ellos no se la pasaran saliendo y entrando al salón con esa excusa y que salieran de uno en uno, con esto queremos ver cómo podemos cambiar algunas de las normas impuestas al llegar un acuerdo (un contrato didáctico), el cual permite una mejor relación entre profesores y estudiantes pero que se rompe si llega a fallar alguna de las partes, por esta razón debemos mantener una buena disposición para el acuerdo mutuo pero también hacer que los acuerdos planteados se respeten por las dos partes.

Al pedirles en el segundo punto que hicieron un dibujo representaron la situación lo hicieron con respecto al helicóptero y al cono, sin tener en cuenta el origen del incendio y el lugar de donde viene el helicóptero, y representando solo uno de los momentos que es en el que el cono esta sostenido de todas las cuerdas, pasando por alto la situación en la que se rompe una de las cuerdas que sostiene el cono, por ello intervenimos diciéndoles que tenían que hacer dos graficas una en donde se viera cuando el cono estaba sujeto por las cuatro cuerdas y la segunda en donde se viera que una de las cuerdas estuviera rota, pero aunque les hicimos esta aclaración algunos no hicieron el segundo dibujo, otros hicieron los dos pero cuando dibujaron los dos momentos o defectos como los llamamos, dibujaron los conos en la misma posición sin inclinar uno de los conos, aunque se había hecho esta diferencia en la socialización de la situación.

Frente a esto podemos decir que reconocemos que al hacer una actividad practica al dibujar la situación que se presenta en este momento los estudiantes habrían encontrado una mayor importancia a hacer los dos gráficos y en uno de esos gráficos el cono inclinado, pues en el trabajo practico que realicen los estudiantes se puede ver mucho mas lo importancia de que el cono este inclinado aunque este se hubiera especificado en el primer momento de la clase ósea cuando se hizo el análisis del problema, en el cual se dijo que el cono a causa de que se había roto una de las cuerdas se había inclinado , aunque en este punto los estudiantes también resaltaron la necesidad de experimentar con un cono de verdad. , este punto es muy importante pues es esta inclinación del cono nuestra variable didáctica y es la que nos va permitir que los estudiantes desarrollen un análisis diferente y un conocimiento diferente al que se desarrolla en el primer momento.

Cuando respondieron la pregunta de que se necesita para responder el problema, la mayoría centro su atención en la capacidad del cono, el agua que se sale con respecto al tiempo (segundos), el diámetro del cono y cuánta agua lleva el cono.

Aunque en este momento también aceptamos que nos hubiera servido de mucho que los estudiantes hicieran la actividad práctica pues hubieran podido ver más factores que influyen sobre el problema, como el volumen del cono, aunque muchos de ellos se acercaron, pero también reconocemos que esta actividad puede hacer que los estudiantes hagan una mejor reflexión y tengan en cuenta algunos aspectos que no hubieran tenido en cuanta al hacer la representación practica del problema.

Al responder si los datos eran suficientes para responder este problema dijeron que no, porque los necesitaban para poder resolver el problema.

Este punto no se hizo un análisis de la falta de algunos datos, en donde se viera la importancia estos para resolver el problema ni las relaciones entre ellos, pero esto se podrá hacer de una mejor manera en la próxima actividad

Niveles de complejidad en cuanto a la representación por medio de dibujos de la situación

Niveles de complejidad Lo encontrado

Analiza el problema de modo que puede representar por medio de un dibujo los triángulos estableciendo las características más importantes en la situación problema (cuando el cono tiene solo el primer defecto).

Según las hojas que nos entregaron, todos los estudiantes pudieron representar una de las características más importantes del problema ya que dibujaron el primer defecto del cono

Analiza el problema de modo que puede representar por medio de un dibujo las

Algunos de los estudiantes dibujaron correctamente los dos defectos del cono

características más importantes en la situación problema (la representación del cono con los dos defectos, estableciendo lo que eso implica con el nivel de agua).-triángulos diferentes.

identificando que el segundo defecto del cono hacían que este se inclinara.

Niveles de complejidad en cuanto al reconocimiento de los datos que nos pueden llevar a resolver el problema y él para que sirven.

Niveles de complejidad Lo encontrado

A partir del análisis del problema establece que datos se necesitan para poder resolver el problema.

Todos los estudiantes pudieron establecer datos que los ayudaran a resolver el problema.

A partir del análisis del problema establece que datos se necesitan para poder resolver el problema y explica el porqué y él para que los necesite.

Los estudiantes presentan solo los datos que hacen falta para la solución del problema.

5.3.2 PROTOCOLO ACTIVIDAD 2 (10-2) DESCRIPCION DE LA SESION:

En esta sesión iniciamos con la fase de acción que propone Brousseau, en el cual el estudiante debe conjeturar, anticipar, establecer conexiones lógicas entre los datos e informaciones dadas. En esta fase es muy importante tener en cuenta que nosotros como docentes no debemos tener alguna influencia en el desarrollo del estudiante respecto a la solución de la situación fundamental. Como estrategia y utilización de recursos (conos de acetato), decidimos que los estudiantes realizarán grupos de dos personas, donde con anterioridad les habíamos entregado la situación fundamental para qué ellos leyeran el problema y así lo analizarán. Con el grupo organizado continuamos preguntándole a los estudiantes conceptos que creemos pueden ayudar a la situación, así mismo generar en el estudiante interrogantes y dar sentido al problema planteado. Es así como iniciamos proponiendo a los estudiantes que intentarán dibujar la situación planteada ya que por motivos de espacio y recursos no teníamos un sitio donde realizar el experimento con los conos y el agua.

Los estudiantes cada uno inició intentando dibujar la situación y entendiendo cada una de las características del problema (defectos del avión y de las cuerdas), en algunos dibujos que analizamos los estudiantes dibujan el avión con un recipiente circular y no un cono circular, pero cuando les hacíamos las observaciones volvían a leer el enunciado y corregían inmediatamente, los estudiantes intentan simular el problema dibujando una cuerda rota, pero no logran realizar el dibujo como pretendíamos. Algunos estudiantes intentan simular adecuadamente la situación y verifican como se podría observar el agua en el recipiente. Continuamos con la proposición de las preguntas las cuales eran:

1. Lea y analice el problema planteado. 2. Realice un dibujo respecto al problema 3. ¿Qué necesita para resolver el problema? 4. ¿Los datos dados en este son suficientes? ¿por qué?

Estas preguntas tenían como fin introducir al estudiante a la situación problema, los estudiantes leen el problema pero evidenciamos que la mayoría no lo comprendía claramente, como ya lo mencionamos los estudiantes realizaron el dibujo pero no logran realizar el dibujo con la posición que proponía la situación. En la siguiente pregunta realizada la mayoría de los estudiantes estaban de acuerdo en que la situación debía contener más datos, pues los datos dados no son suficientes, pero no tuvieron en cuenta temas trabajados en clase como la trigonometría o resolución de triángulos, pues no todos los estudiantes evidencian triángulos en el dibujo realizado; dado esto analizamos que cometemos una paradoja de los fenómenos de la didáctica como es el efecto topaze, pues intentando simular la situación con el cono nosotros estábamos haciendo que ellos evidenciaran que la forma del agua en el cono es una forma triangular. Ahora bien en la cuarta y última pregunta como ya lo hemos mencionado los estudiantes estuvieron de acuerdo en decir que los datos no son suficientes para resolver el problema pero no argumentan el porqué. Es importante mencionar que algunos estudiantes si logran evidenciar en el problema conceptos de trigonometría, pues alguno de los estudiantes hablaba de conceptos como el seno y el coseno pero no lograban identificaren el problema donde poder utilizarlo. Como bien sabemos Van Hiele propone unos niveles de aprendizaje los cuales se realizan hacia la geometría pero en este caso lo aplicaremos a la resolución de triángulos para así realizar un adecuado análisis de lo ocurrido en la sesión. Además de esto tenemos muy presente lo que hemos propuesto en protocolos anteriores como es lo sugerido por Van Hiele: “A lo largo del proceso de aprendizaje, el razonamiento de los estudiantes pasa por una serie niveles de razonamiento que son secuenciales, ordenados y de tal manera que no se puede saltar ninguno”.

Este proceso de aprendizaje creemos que se seguirá con nuestra situación fundamental es por esto que analizaremos en esta fase, la fase de acción en qué nivel se encuentran los estudiantes respecto a los de Van Hiele. Dado las observaciones hechas por nosotros estamos de acuerdo en que los estudiantes se encuentran en el nivel 1: VISUALIZACION O RECONOCIMIENTO9. La mayoría de los estudiantes se encuentran en este nivel pues: “Perciben los objetos como una unidad sin diferenciar sus atributos y componentes”10. Básicamente esto se puede verificar con el dibujo realizado por los estudiantes; al observar el dibujo evidenciamos que el cono circular no cambia de posición por el contrario el agua y el cono se encuentra en la misma posición, es decir al parecer ellos no tienen en cuenta la cuerda que se alargo, así mismo pensamos que no tienen en cuenta las propiedades o atributos que se debe tener en cuenta cuando un objeto cambia de posición. Por otro lado podríamos pensar que los estudiantes solo tienen en cuenta el todo y no la parte (o los componentes) pues solo ven el cono sin pensar en la forma que toma el agua dentro del cono (forma de triángulo). Así mismo la mayoría de los estudiantes: “Describen los objetos por su apariencia física mediante descripciones meramente visuales y asemejándoles a elementos familiares del entorno (parece una rueda, es como una ventana, etc.) No hay lenguaje geométrico básico para llamar a las figuras por su nombre correcto11”. Algunos de los estudiantes al realizar el dibujo dibujaron el recipiente como un semicírculo y no como un cono de forma circular, deducimos de esto que los estudiantes al ver los conos hechos de acetato reflejaron eso en su dibujo, pero no tienen la conciencia de reconocer un cono de forma circular y sus propiedades. Otra característica importante de este nivel es: “No reconocen de forma explícita componentes y propiedades de los objetos motivo de trabajo”12. Esto lo podemos observar en la siguiente conversación: E: Profe como se encuentra el área de un cono.

9 Niveles de Van Hiele 10 Características de los niveles de Van Hiele. 11 Características de los niveles de Van Hiele. 12 Características de los niveles de Van Hiele.

P: Que quieres encontrar con esto. E: Quiero encontrar cuánta agua le cabe al cono. P: Con el área no lo creo conveniente, recuerda que el cono esta en tres dimensiones. Es acá donde surge el efecto topaze pues le expusimos que debería buscar el volumen del cono. En esta fase de acción los estudiantes se enfrentan a la situación fundamental con los conocimientos previos que ellos tienen, pensamos que en la próxima sesión y con ayuda del material tangible los estudiantes experimenten de una mejor manera y así establecer nuevas propiedades y acciones que ayuden a dar solución a la situación fundamental. Finalmente se realizo una pequeña socialización de las preguntas planteadas por nosotros. Finalmente en esta sesión aprendimos o nos dimos cuenta que los errores o fenómenos de la didáctica son cometidos intentando que los estudiantes lleguen a una respuesta sin darnos cuenta que no debemos intervenir de esta manera, para siguientes actividades entendemos que debemos realizar preguntas que no sean respuestas o indicaciones a las respuestas dadas por nosotros a los estudiantes.

Es importante mencionar que en esta sesión no se realizo la fase dos por motivo de tiempo y recursos.

5.4 ACTIVIDAD 3 (FASE DE ACCIÓN)

� JUSTIFICACIÓN La siguiente actividad se establece con el fin que los estudiantes relacionen lo analizado en clases anteriores sobre la situación planteada con un material tangible que servirá para imitarla, de esta forma se pretende que cada estudiante evidencie de manera más clara sus conjeturas y los aspectos que realmente influyen en el problema y su solución.

� DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD FASE 1: se le entregara a cada grupo un cono similar al tomado en la situación fundamental anexo 1, el grupo deberá llenar este cono de agua y trasportarla simulando una trayectoria similar a la tomada por el helicóptero. En esta trayectoria los estudiantes deberán comparar las respuestas que dieron a las preguntas dadas en la clase anterior con lo que evidencian utilizando el cono llevado para la clase, para esto se llevarán las respuestas dadas por cada grupo y se realizarán las mismas pero ahora sobre el cono con el que se está interactuando. FASE 1: para esta fase se les pedirá a los integrantes de cada grupo que dibujen un instante donde el cono tenga en su interior agua, en esta acción se les preguntará.

• ¿Qué figura forma el agua en el cono?

Se busca que el estudiante identifique el triangulo en la silueta del agua contenida en el cono.

• ¿Qué características tiene?

Se busca que los estudiantes identifiquen los lados y ángulos que se contienen en esta figura, además del tipo de triangulo especifico que se forma (isósceles).

• ¿Si dibujamos de nuevo el cono pero pasado unos minutos, cambiará la figura

triangular que forma el agua en el cono? Y si además cambiamos el cono por uno más pequeño o más grande ¿cambiará dicha figura?

Se busca que el estudiante evidencie que la figura que forma el agua en el cono es constante y además es independiente del tamaño del cono.

• si comparamos los dos triángulos que dibujamos, ¿tendrán estos algo en común?

Se busca llevar al estudiante a un análisis más profundo donde deberán realizar mediciones de los lados de los triángulos con el fin de realizar comparaciones que comparaciones entre estos, y así lograr que inducir a los estudiantes a la proporcionalidad existente entre los triángulos analizados.

� OBJETIVO GENERAL:

Generar una situación didáctica que le permita al estudiante reconocer los diferentes elementos que intervienen en el problema (situación didáctica) además de llevar al estudiante a un análisis que le permitirá reconocer la proporcionalidad entre triángulos analizando estos en un mismo contexto.

� OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

• Evidenciar los aspectos que el estudiante encuentra como relevantes dentro del experimento llevado al agua utilizando los conos

• Generar la necesidad de encontrar datos que le permitan dar continuidad a la solución del problema

• escuchar las conversaciones de grupo donde se generen discusiones acerca de los caminos de análisis del problema.

• Usar la información recogida para orientar al estudiante al tema principal de la situación fundamental (trigonometría).

• Interrogar a los estudiantes con preguntas que le permitan reconocer la proporcionalidad entre triángulos.

� METODOLOGÍA

ORGANIZACIÓN DEL GRUPO ROLES Fase 1 y 2: se trabajará en los grupos de trabajo destinados a la solución de la situación problema, reunidos en los costados del salón para que logren realizar la animación de la situación utilizando los materiales que consideren importantes en la animación y los dibujos a realizar 75 minutos

Estudiante Abordar la situación problema mediante el análisis, animación y reflexión de esta. Comparar lo que se había pensado acerca del problema con lo evidenciado en la clase. Profesor Organizador de la metodología usada. Observador de los análisis que hacen los estudiantes respecto del problema. Interrogador en los grupos de trabajo respecto de los aspectos que influyen en el problema.

� NIVELES

• Nivel 0: El estudiante no diferencia proporcionalidad y semejanza en dos triángulos.

• Nivel 1: El estudiante comprende el concepto de proporcionalidad, y el de semejanza pero no tiene claro la diferencia entre estas.

• Nivel 2: El estudiante tienen claro el concepto de semejanza y el de proporcionalidad y tiene claro las diferencias entre estos dos conceptos.

� INDICADORES DE LOGROS

• Conceptual: identifica los elementos de estudio matemático que se encuentran en la figura que forma el agua en el cono (triángulos) y efectúa comparaciones entre ellos.

• Procedimental: encuentra estrategias grupales que le permitan justificar lo analizado en el problema.

• Actitudinal: cumple con las tereas propuestas, trabaja y participa en grupo en relación con la clase.

� GESTIÓN Y CONTROL DE LAS VARIABLES DIDÁCTICAS

• El tiempo para cada fase de la actividad

• La identificación de los elementos que hacen parte del problema puede llevar a confusión por la cantidad de datos.

• La conformación de los estudiantes para el trabajo en grupo puede ocasionar desorden y discusiones.

• Los elementos usados para la animación pueden llevar a generar indisciplina en el salón.

� HIPÓTESIS DE APRENDIZAJE

• Los estudiantes empiezan a identificar los aspectos que influyen en el problema

planteado como: o El tanque de forma de cono recto. o La forma del agua en el tanque. o Las medidas de la silueta del agua. o Conjeturar acerca de las medidas de los ángulos

• Los estudiantes empiezan a intentar dar solución al problema planteado, pero con un camino donde deberá justificar lo que haga respecto al problema

PROTOCOLO 4.1 (10-1) Para esta ocasión la clase la realizamos en el patio teniendo en cuenta que íbamos a trabajar con agua y que el espacio del salón es demasiado pequeño para la actividad, repartimos a los estudiantes los conos con los que pretendíamos representar la situación, esto lo hicimos por parejas, aunque algunos se hicieron en grupos de a cuatro, haciendo que ellos echaran agua (a la que le echamos pintura), para que pudieran reconocer más fácil la figura que se formaba en los conos, haciendo este trabajo surgieron algunas preguntas que se hicieron en general, pero se expusieron por grupos, estas preguntas son:

¿Qué figura forma el agua en el cono?

E: ¿cómo así?

P: si miran de manera frontal el cono ¿que figura se forma?

E: mmm, no se

P: si miran el cono solo por esta cara (señalando el frente del cono) y miran el agua dentro del cono ¿que figura se forma?, (trazando la superficie del cono)

E: ¿un triangulo?

P: ¿me preguntan o me responden?

E: un triangulo

Esta pregunta fue específica para los estudiantes y la hicimos para que ellos pudieran reconocer que en los conos se hace una figura de triangulo en ellos, de esta manera poder identificar otros triángulos que son semejantes al primero, pero con los que pueden saber la cantidad de agua que queda en el cono después de un tiempo.

Al hacer esta pregunta y ver que los estudiantes no hallaban una figura en el cono, decidimos trazar la superficie del cono para que los estudiantes pudieran reconocer la figura a la que nos referíamos (Efecto topaze).

Aunque llegamos a que la figura que estaba dentro del cono era un triangulo, nosotras fuimos las que dimos las respuesta y no dejamos que los estudiantes reconocieran las figuras, por lo tanto el que se haga una comprensión o un reconocimiento de lo que pasa con este triangulo dentro del cono pude ser más complicado.

¿Qué pasa con el triángulo si se ha caído agua del cono?

E: nada P: ¿seguros? E: si por que sigue siendo el mismo P: ósea que este triangulo es igual a este (llenando el cono y después vaciándolo un poco) E: pues es que es más pequeño después P: entonces es diferente E: no, solo es más pequeño P: y ¿solo hay un triangulo más pequeño que el primero? E. si P: y que pasa si yo voto más agua E. que tenemos otro triangulo más pequeño P: y si yo voto menos agua E. tenemos otro triangulo P. entonces ¿qué pasa con el triangulo? E. que se va volviendo más pequeño

En esta pregunta nosotros pretendíamos que los estudiantes reconocieran que la figura en el cono es constante. pero que su tamaño va cambiando a medida que el agua va saliendo por el agujero que tiene el cono.

Loa estudiantes lograron reconocer que la figura es constante, ósea que se sigue formando un triangulo aunque el agua salga del cono, pero no reconocen en un principio que el triangulo se va haciendo más pequeño cada vez que sale agua del cono, es por ello que llenamos y vaciamos el cono de modo que el cambio se viera de una forma notoria (efecto topaze), pues esta no fue una construcción desde su experiencia ni de lo

que observaron en el cono si no desde lo que nosotras insinuamos al vaciar el cono, por eso no les fue tampoco tan fácil reconocer que no solo se formaba uno pequeño, sino que cada que salía agua del cono se formaba otro triangulo más pequeño que el anterior.

Aunque se logro que los estudiantes reconocieran que la figura se mantenía, nosotras como profesoras caímos en uno de los efectos y les insinuamos que los triángulos cambiaban de tamaño, razón por la cual no se llego completamente al objetivo de la pregunta.

¿Qué características tiene la figura que se forma en el cono?

E: que es un triangulo P: si pero que ¿características tiene ese triangulo? E: que es alargado P: ¿Qué pasa con sus lados? E: que todos son iguales P: ¿todos los lados son iguales? E: si P: ¿este es igual a este? (señalando el lado que se forma con la base y otro que se forma con uno de los lados del cono) E: no, uno es más pequeño que el otro P: ¿entonces cuales son iguales? E. estos dos (señalando los dos lados del cono) P: y como se llama ese triangulo que tenemos E: ¿equilátero? P: ¿Cuál es el equilátero? E: el que tiene los lados iguales P: y ¿este tiene los lados iguales? E. no P: entonces ¿Cómo se llama? E: isósceles El objetivo de esta pregunta era que los estudiantes identificara el tipo de triangulo que era y lo que pasaba con sus lados y ángulos.

Como en las preguntas anteriores indujimos a los estudiantes a la respuesta al señalar los lados iguales del cono, pues el ver esto los estudiantes pudieron observar el tipo de triangulo que se formaba y que dos de sus lados eran iguales, mas lo hicieron debido a que nosotros señalamos los lados implicados.

Simultáneamente en otro grupo se estaba llevando otra discusión. P: ¿Qué pasa con el nivel del agua? E: que cambia cuando pasa el tiempo- disminuyen P: ¿Cómo pueden saber que cambia? E: pues midiendo

P: ¿pero cómo miden? E: pues con el metro o la regla medimos el nivel del agua por todos los lados P: pero… habría otro procedimiento por el cual poder saber el cambio, es decir, si miden la parte superior del cono ¿que estarían midiendo? E1: pues… no se… un lado E2: no es la base. P: ¿cual base? E2: pues el cono forma un triangulo (señalando la forma) P: y ¿Qué tipo de triangulo es? E1: rectángulo E2: isósceles, porque dos de los lados son iguales. P: observen el agua ¿Qué triangulo está formando? E: isósceles. P: entonces de este triangulo ¿Qué estamos mirando, la base o el lado? E: pues… (Mirando sus apuntes con la docente titular) es la base Interviniendo otra estudiante. E3: Pero podemos mirar la altura P: ¿Cómo puedes mirar la altura? E3: pues… si medimos (sobre la superficie del cono) de la punta hasta donde está el agua. P: ¿esa sería la altura? o si yo hago esto (tomando un lápiz y incrustándolo dentro del cono) ¿Qué me determinaría esto? Y ¿Qué diferencia hay con la medida anterior? E: la altura seria la del lápiz y el lado es lo que nosotros estamos midiendo. E2: pues es como si tuviéramos un triangulo isósceles y lo partimos por la mitad, tenemos dos triángulos rectángulos.

Con estas preguntas se pretendía que el estudiante observara algunas de las variables expuestas en el problema aunque el procedimiento de sumergir el lápiz fue apropiado para mostrar la diferencia entre lo que se estaba mirando, sin embargo, algunos estudiantes incurrieron en una falsa afirmación ya que midieron del lápiz cuanto se podía sumergir y asumieron como cierta esta altura, lo cual nos llevo a preguntar si este procedimiento para averiguar esta medida era o no valido.

En otro grupo

¿Qué pasa cuando se rompe alguna de las cuerdas del helicóptero y el cono solo queda sostenido por dos?

P: ustedes habían hecho la afirmación la clase pasada que si se rompía la cuerda el agua se regaba ¿es verdad la afirmación? E: no P: ¿Por qué? E: porque todavía lo están sosteniendo las otras dos cuerdas y el agua se ladea. P: ¿se inclina?

E. si P: ¿qué pasa con el triangulo cuando se inclina? E. que ya no es igual al otro P: ¿Cómo es? E. ya no tiene estos dos lados iguales (señalando los lados del cono) P. como se llama ese triangulo E: un triangulo escaleno

El objetivo para esta pregunta es que los estudiantes reconocieran que al romperse una de las cuerdas se formaba un triangulo diferente, el cual era escaleno.

Los estudiantes identificaron que al romperse una de las cuerdas que sostenían el cono el triangulo que se forma es escaleno.

Observando la actividad en general y la pertinencia del trabajo fuera del salón habitual, encontramos que los estudiantes en general se encontraron interesados por participar en la actividad, si bien, en un inicio se había planteado que el desarrollo se haría en dúos, fue pertinente que se llevaran las discusiones entre grupos ya que permitía que tuvieran en cuenta elementos o descartaran otros que en un inicio en la exploración del problema habían contemplado, por ejemplo las causas del los defectos sino observar que estaba pasando al interior del cono.

Algunos de los grupos observaron con mayor claridad y establecieron una mejor representación de la realizada en la clase anterior, lo cual los llevo a pensar en elementos como alturas, radios, diámetros, lados, tipos de triángulos según sus lados, etc.

Observamos que algunos de las nociones puestas en juego por los estudiantes no están claras ya que se confunden al dar una respuesta o intercambian el nombre, por ejemplo al preguntar sobre los triángulos algunos decían que era isósceles o rectángulo, al identificar la base o los lados ya que si se les presenta un triangulo rectángulo se reduce el error pero si tenemos isósceles o escaleno se confunden y dudan de su respuestas.

Nivel 0

El estudiante representa un triángulo y sus razones entre los lados o magnitudes tomadas al pasar del tiempo (cambio al salir el agua)

Un tercio de los estudiantes se encuentran en este nivel ya que una vez graficada la situación, se les dificultaba interpretarla y trasmitirla en términos tales que pudieran operar sobre ella.

Nivel 1

El estudiante representa un triángulo y sus razones entre los lados o

La mayoría de estudiantes se encuentran en este nivel, debido a que en sus representaciones reconocen alturas, radios y diámetros, enuncian que hay

magnitudes, identifica las variables implícitas en el problema enunciando el motivo por el cual la tuvo en cuenta.

relaciones de semejanza entre los triángulos formados al pasar el tiempo, sin embargo se les dificulta establecer las relaciones entre lados y puede deberse a que la noción sobre razón que deben guardar entre lados no es clara.

Nivel 2

El estudiante establece razones, el motivo por el cual las tomo y opera entre ellas con el fin de encontrar posibles formas de abordar el problema.

En este nivel encontramos a un grupo que establece algunas operaciones utilizando lo que conocen, como por ejemplo el teorema de Pitágoras para encontrar la altura y posteriormente realizan una razón entre lados, pero la forma de establecerla no es la correcta.

5.4.2 PROTOCOLO ACTIVIDAD 3 (10-2)

DESCRIPCION DEL DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD:

Esta actividad desde lo realizado en la clase y desde nuestro análisis, estuvo bien sustentada en cuanto a su diseño, pues como veremos en la descripción del desarrollo de la actividad se evidencia que los estudiantes reconocen los diferentes elementos que intervienen en el problema (situación didáctica), además lleva al estudiante a un análisis que le permita reconocer la proporcionalidad entre triángulos analizando estos en un mismo contexto. La actividad inicio con la organización de los grupos; a cada uno de estos grupos se les entregó un cono de forma circular, donde el estudiante llenaría el cono e intentaría representar lo que sucede con este. Cada grupo estaba reunido llenando el cono con agua e intentando analizar; aquí surge una variable didáctica la cual es la organización, cada grupo tenía su respectivo cono y estaba ubicado hacia los costados del salón (pues había unos grifos de agua), pero con el recurso del agua el grupo se desordena en un lapso de tiempo, es aquí donde vemos la importancia de la gestión del docente: organizar la metodología usada, observar los análisis que hacen los estudiantes respecto a la representación como a la situación fundamental planteada, así bien iniciamos con la segunda fase de la actividad con un rol de organizador, observador e interrogador en los grupos de trabajo respecto a los aspectos que influyen en el problema. Ahora bien en esta primera fase aunque hubo un poco de desorden con los recursos debemos tener en cuenta que estos fueron de gran ayuda para la realización de la

actividad pues con estos los estudiantes tenían una visualización de lo que pasa con la situación, es decir con el cono. En la primera fase la mayoría de los grupos realizó una toma de datos pues tomaron el tiempo que se demoraba el cono en desocuparse; ahora bien como lo mencionamos anteriormente por la variable didáctica dimos comienzo a la segunda fase en esta los estudiantes debían representar la situación y analizar lo siguiente:

• Que figura forma el agua dentro del cono. • Que características tiene esta figura. • Qué pasa con la figura pasados unos minutos (dibújala). • Qué pasa si cambiamos el cono por uno más grande o pequeño respecto al que

tenemos: la figura cambia. • Que tienen en común los dos triángulos dibujados.

Estas eran las preguntas básicas pero dentro de la actividad y su realización surgieron más preguntas respecto a la representación del cono. Con estas preguntas lo que buscábamos era que el estudiante identificará la figura que (el triangulo) que se forma teniendo en cuenta el agua dentro del cono, así mismo debían identificar las características de este triangulo (lados y ángulos de la figura) como el tipo de triangulo que se forma, los estudiantes también debían evidenciar que la figura que se forma en el agua es constante sin importar el tamaño del cono, además debían realizar un análisis más profundo al comparar los dos triángulos que debían dibujar para buscar la proporcionalidad existente. Ahora bien los estudiantes iniciaron dibujando el cono lleno de agua, cuando se realizó la primera pregunta; ¿Qué figura forma el agua dentro del cono? Ellos sin pensarlo mucho y viendo el dibujo expresaron que era un triángulo. La segunda pregunta (que características tiene esta figura) les costó un poco más de tiempo y de memorización pero finalmente la respuesta es un triángulo isósceles, entendiendo este como un triángulo con dos lados iguales; pero se evidencia que la mayoría de los estudiantes no tiene en cuenta características respecto a los ángulos pues no expresaron que los ángulos del triángulo isósceles, dos de ellos eran congruentes. Todos los estudiantes acertaron que no importe la modificación (de tamaño) que se realice del cono la figura siempre será un triángulo. Para realizar un análisis adecuado de la realización de esta actividad podemos remitirnos a un referente teórico que se realiza respecto a la comprensión que se da en los estudiantes. Según Boix Mansilla y Gardner (1999) señalan la existencia de cuatro dimensiones de la comprensión: el contenido, los métodos, los propósitos y las formas de comunicación. A su vez, dentro de cada una de éstas, el marco de la Enseñanza para la comprensión (EpC) recibe cuatro niveles: ingenua, de principiante, de Aprendiz y de maestría.

Al analizar cada uno de estos niveles encontramos que la mayoría de los estudiantes se encuentran en el nivel de comprensión ingenua pues están basados en el conocimiento intuitivo una conversación que puede evidenciar lo anterior es: El primer triangulo es dibujado con el cono casi lleno y el segundo triángulo es dibujado con el agua pasado unos minutos, es decir con pérdida de agua. P: ¿Que tienen en común los dos triángulos dibujados? E: Los dos triángulos tienen en común…..que son isósceles. P: Y porque son isósceles. E: Pues creemos que son isósceles, siempre tienen dos lados iguales. Vemos que los estudiantes no están seguros de la respuesta que dan, solo un estudiante se atreve a decir lo anterior. P: Si… muy bien. ¿Los ángulos de los dos triángulos son iguales o diferentes. E: Los del primer triángulo son mayores que los del segundo triángulo. P: Piensen mejor esa respuesta debatan y digan porque cada uno tiene la razón de lo que están diciendo. En este aspecto el grupo (cuatro personas) se ve dividido en dos los que dicen que es mayor y los que dicen que es menor; solo un estudiante dl grupo expuso que eran iguales, pero no muy convencido. Estos ángulos son iguales Esta es una de las evidencias que nos llevan a conjeturar que la mayoría de los estudiantes se encuentran en este nivel porque no tienen un conocimiento formal es mas inconsciente (intuitivo). P: Bueno después de analizar los ángulos, empiecen a analizar que proporcionalidad guarda el primer triángulo con el segundo.

La mayoría de los estudiantes inicia midiendo los lados de los dos triángulos, pero no logran encontrar la proporcionalidad existente. Otro error que cometen algunos de los estudiantes es confundir los tipos de triángulos, no reflejan con claridad la diferencia entre triángulos escalenos, isósceles, equiláteros, pero tienen la noción; podemos analizar esto desde lo que nos propone David Perkins, pues como sabemos estas temáticas deben estar comprendidas formalmente en grado decimo según los estándares de educación, este autor nos dice que las metas de la educación es la retención, la comprensión y el uso activo del conocimiento; respecto a la retención se evidencia que la mayoría de los estudiantes comprenden esto pero con el tiempo se deja de recordar. El análisis de aprendizaje luego de realizar la actividad realizada sin duda alguna es buena pues los estudiantes empiezan a identificar los aspectos que influyen en el problema; es decir identifican el tanque de forma de cono circular, la forma del agua e el tanque, las características de la figura formada, y empiezan a conjeturar las medidas de los ángulos y respecto a la realización como tal de la actividad cada uno de los estudiantes logran:

• encontrar estrategias grupales que le permitan justificar lo analizado en el problema.

• trabajar y participar en grupo en relación con la clase. Como se observa al inicio de este escrito la noción que estábamos trabajando es el reconocimiento de la proporcionalidad entre triángulos, analizando estos en un mismo contexto; la mayoría de los estudiantes no logra encontrar esa proporcionalidad dado esto las implicaciones que tiene para las próximas sesiones son importantes pues en la siguiente planeación de la actividad se pretende continuar hacia la búsqueda de esta proporcionalidad existente. Finalmente en esta sesión aprendimos o nos dimos cuenta que la gestión del docente en el aula es muy importante y trascendental pues si los estudiantes no hubiesen sido focalizados hacia un objetivo no se hubiese dado un aprendizaje por parte de ellos y por parte de nosotros, así mismo vemos cual importante es el adecuado diseño de una actividad ya que si la actividad se encuentra mal dirigida hacia los intereses de nuestra situación fundamental nunca se llegará con los estudiantes a un proceso adecuado para la solución a la situación.

5.5 ACTIVIDAD 4 Y 5 (FASE DE FORMULACIÓN)

� JUSTIFICACIÓN

La siguiente actividad la realizamos con el fin de dar continuidad a nuestra situación problema, mediante el uso de relaciones entre las dimensiones del cono y las “nuevas” alturas que genera el agua en el cono, para generar en el estudiante la necesidad de usar relaciones trigonométricas diferentes a las ya usadas, las cuales deberá usar de acuerdo a las condiciones del problema y las situaciones a los que los lleve la situación.

� DESCRIPCION DE LA ACTIVIDAD

FASE 1: continuaremos trabajando con el trabajo realizado en las clases anteriores por los estudiantes, sin embargo en esta oportunidad el trabajo se centrara analizando la cantidad de agua que contiene el cono en determinados momentos, para esto se pedirá a los estudiantes que representen tales situaciones en una hoja, trabajo que deberá ser realizado por los grupos de trabajo, tales representaciones deberán estar justificadas de acuerdo con una regla, la cual es que el nivel de agua observado en el cono como la altura, se disminuye constantemente en cada segundo, este dato será dado a cada grupo en diferente proporción, con el fin de garantizar al trabajo individual en cada grupo.

FASE 2: se pretende que los grupos de trabajo se interroguen acerca de cómo lograr encontrar el radio que forma el agua en el cono en determinados momentos, para esto se tienen preparadas unas preguntas y comentarios los cuales tienen como fin orientar a los estudiantes en la resolución del problema, estos son:

1. Que datos tienes que te sirven para hallar la cantidad de agua que hay en “x” segundos, cuales te hacen falta.

Esta intervención tiene como fin garantizar que el análisis que se está haciendo en la situación esté dentro de los parámetros que le permitan al estudiante salir óptimamente del problema que se le genera en la situación,

2. ¿Qué necesitas para encontrar la cantidad de agua en “x” segundos?

Con esta pregunta se busca que el estudiante encuentre una relación directa entre la formula que le permitió hallar el volumen del cono y la cantidad de agua que hay en un momento determinado en el cono.

3. ¿Qué datos necesitas para hallar la cantidad de agua?

Se busca que el estudiante evidencie el radio y la altura que forma el agua en el cono, los cuales son fundamentales para encontrar la cantidad de agua en determinado momento.

4. ¿si el nivel de agua baja, que datos disminuyen además de este dentro del problema?

Se busca que los estudiantes analicen este hecho a partir de imágenes mentales que formara a partir del experimento hecho en anteriores clases y que identifique que el radio que forma el agua en el cono cambia en relación directa con la altura que disminuye cada segundo.

5. ¿Cómo podemos averiguar el radio que forma el agua en el cono?

Se busca generar en el estudiante la necesidad de encontrar una forma optima de encontrar dicho dato, además se tiene como expectativa que los estudiantes traten de usar directamente el teorema de Pitágoras, el cual será ineficiente en la situación que están.

6. Si analizamos los ángulos que están presentes en el cono, ¿nos servirán de algo?

Con ellos se busca acercar a los estudiantes a la toma y manipulación de datos diferentes a los analizados en clases anteriores, además se busca que los estudiantes se interroguen acerca del ángulo inferior del cono, dato que será suministrado por los profesores de forma diferente en cada grupo.

7. ¿Qué ángulos se forman en la superficie del cono, observando este horizontalmente?

El estudiante deberá evidenciar que los ángulos son iguales y deberán relacionar este con el ángulo suministrado anteriormente, de forma que obtenga los tres ángulos que se forman en triángulo formado por el cono.

8. ¿Qué datos tenemos ahora?

Se busca que el estudiante analice sobre los datos obtenidos con los análisis antes hechos y sobre estos busque encontrar el dato que se necesita.

9. ¿habrá una forma de encontrar el lado que necesitamos utilizando los datos que tenemos?

Se busca crear en el estudiante la necesidad de usar los datos obtenidos en una operación que le garantice encontrar el dato que necesitan, la cual es las relaciones trigonométricas entre lados y ángulos.

� OBJETIVO GENERAL

Generar una situación didáctica mediante la cual los estudiantes establezcan relaciones entre triángulos y lados de los triángulos que se pueden obtener en la situación

fundamental anexo 1, con el fin de llevar a los estudiantes a la necesidad de usar operaciones trigonométricas que le permitan continuar con el desarrollo del problema.

� OBJETIVOS ESPECIFICOS

• Observar las representaciones y toma de datos realizada por los estudiantes revisando las nociones puestas en juego por ellos.

• Fomentar discusiones permanentes sobre las conjeturas establecidas por ellos con fin que siempre se esté en una constante búsqueda de argumentos para sostener o realizar nuevas conjeturas.

• Disponer los diferentes momentos de clase al dialogo continuo en la búsqueda de posibles formas de abordar una solución del problema (situación fundamental).

• Llevar a los estuantes a que pongan en juego sus conocimientos previos y busque nuevos argumentos sobre los cuales sostener sus posibles conjeturas, además de la utilización de conocimientos y apuntes obtenidos en la clase de matemáticas dictada por la profesora a cargo de la materia.

� METODOLOGÍA

ORGANIZACIÓN DEL GRUPO ROLES Fase 1 y 2: se trabajará en los grupos de trabajo organizados en la clase anterior los cuales tendrán que estar analizando el problema y los datos obtenidos con el fin de encontrar nuevos datos que le permitan continuar con el desarrollo de la actividad

75 minutos

Estudiante Abordar la situación problema mediante el análisis, animación y reflexión de esta. Realizar análisis de los diferentes triángulos obtenidos en la situación, buscando medios que les permitan trabajar con ellos, estableciendo relaciones entre lados, ángulos y triángulos

Profesor Dirigir la metodología usada. Observar de los análisis que hacen los estudiantes respecto del problema. Interrogador en los grupos de trabajo respecto a los triángulos y condiciones del problema.

� NIVELES Nivel 0:

No reconoce las características y propiedades de los diferentes triángulos. Nivel 1: Reconoce las características de los triángulos, pero no asimila la proporcionalidad y la semejanza en estos. Nivel 2: Reconoce propiedades de los triángulos y encuentra la semejanza y la proporcionalidad con otros triángulos.

� INDICADORES DE LOGROS

• Conceptual: relaciona los elementos de estudio matemático que se encuentran en la figura que forma el agua en el cono (triángulos) y establece relaciones entre ángulos y lados de triángulos.

• Procedimental: encuentra estrategias grupales que le permitan justificar lo analizado en el problema.

• Actitudinal: cumple con las tareas propuestas, trabaja y participa en grupo en relación con la clase.

� GESTIÓN Y CONTROL DE LAS VARIABLES DIDÁCTICAS

• El tiempo para cada fase de la actividad • La identificación de las características de los elementos y sus relaciones pueden

ser omitidas por los estudiantes o no parecerles de gran importancia. • La conformación de los estudiantes para el trabajo en grupo puede ocasionar

desorden y discusiones.

� HIPÓTESIS DE APRENDIZAJE

• Los estudiantes identifican las relaciones entre las figuras que se obtienen en el cono (triángulos), los cuales van a estar dados en el caso en que el cono este sujeto por todas las cuerdas y el caso en que una de ellas se rompe, relaciones como:

o Diferencias entre los triángulos que se presentan en un primer momento (cono sujeto por todas las cuerdas) y un segundo momento (cono sujeto por tres cuerdas).

o Semejanza entre triángulos a partir del análisis de los ángulos. o Conjeturas que se logren a partir de los lados de los triángulos que

resulten.

• Los estudiantes empiezan a reflexionar sobre la importancia del cono pero no solo por sus dimensiones, sino por las características que tiene la figura que se ven en el cono.

5.5.1 PROTOCOLO ACTIVIDAD 4 (10-1)

En esta clase se tenían programadas una serie de preguntas con respecto a los triángulos que se formaban, los que eran semejantes, con respecto a eso los estudiantes tenían que establecer la semejanza de los triángulos que se formaban y que sus lados tenían que ser proporcionales para que fueran semejantes.

Pero como para nosotras esta clase fue programada sin saber lo que sucedería en nuestro curso, y al igual que en las otras la hemos hecho teniendo en cuenta solo lo que se vio en el decimo de nuestros compañeros, resulto que varios de nuestros estudiantes no relacionaban la noción de triángulos semejantes con la situación, por lo tanto decidimos hacer una especie de clase en donde nosotras orientáramos los estudiantes hacia la semejanza y la aplicación de esta noción en los triángulos que se presentaban en el cono, como una especie de socialización.

P: ¿Qué pasa con los triángulos que ustedes observaron la clase anterior? E: ¿Cuáles? P: ¿se acuerdan que cuando el agua disminuía en el cono se iba haciendo más pequeño el triangulo dentro del cono? E: si P: entonces ¿qué pasa con estos triángulos? (dibujando la vista frontal de cuando el cono está lleno, cuando se ha salido un poco de agua, y cuando ha el cono esta casi vacío) E: que se vuelven más pequeños P: si, ¿pero qué relaciones podemos ver entre ellos? E: mmm, que son el mismo, pero más pequeño P: y ¿Cómo se le llama a esa relación? E: semejanza… o congruencia… P: ¿se acuerdan que en la prueba que les pusimos había dos triángulos parecidos en el primer punto? E. si P: ¿se acuerdan de que hecho partíamos? E: mmm, no… nos acordamos P: partíamos del hecho que eran semejantes, entonces estos triángulos (señalando los que habíamos dibujado) ¿son triángulos semejantes? E: si P: si son semejantes ¿Qué se tiene que cumplir para que sean triángulos semejantes? E: que los lados sean iguales. P: pero en los triángulos que tenemos no son iguales, ya que habíamos dicho que son de diferente tamaño E: no. Son congruentes. P: ¿Qué diferencia hay entre la congruencia y la semejanza? E: pues…- tomando los apuntes de la materia- los triángulos congruentes son los que tienen los lados y ángulos iguales, pero los semejantes… E2: los ángulos son iguales. P: si observamos nuestro problema si los triángulos son semejantes ¿Cómo se podría evidenciar esta semejanza?

En este momento la profesora titular interrumpió la conversación y les dijo que ellos habían visto ese tema en grado noveno y que debían saberlo, así que debían saber qué relaciones había entre los triángulos.

P: cuando nosotros les pusimos este problema en la prueba ¿Qué lados relacionábamos? E. es que nosotros no copiamos en el cuaderno y ustedes tienen la prueba P: bueno, entonces si tenemos estos triángulos (dibujando unos parecidos a los que habíamos hecho en la prueba) ¿la relación se debe hacer? E: no sabemos P: ¿qué relación debemos manifestar para poder decir que los triángulos son semejantes? E: tenemos que hallar una proporción P: ¿entre qué? E: no sabemos P: estos triángulos son semejantes (señalando los triángulos que dibujamos a partir de la vista frontal de triangulo: cuando el cono está lleno, cuando se ha salido un poco de agua, y cuando ha el cono esta casi vacío), y estos también (señalando los que habíamos dibujado similares a los que se habían planteado en la prueba diagnostico) y cuando hicimos la prueba preguntamos la relación que había entre la proporción de los lados de un triangulo y los lados del otro y que esta tenía que ser igual. En este momento nosotras hicimos explicita la proporción que debíamos encontrar para que los dos triángulos fueran semejantes y como se relacionaba con los triángulos que se encontraban en la situación, viendo la relación entre los lados de los triángulos y la proporción que debían tener entre ellos, además el cómo se debían encontrar los valores algunos de los triángulos que se formaban a medida que iba saliendo el agua del cono, pues ellos habían tomado los datos de cuando el cono estaba completamente lleno y debido a esta semejanza de triángulos podíamos establecer las nuevas medidas que tomaban los triángulos que se iban formando y del radio y la altura, pues ellos son los que nos ayudan a establecer el volumen del cono y de esta manera establecer regularidades (esto con el fin de no coger todos los triángulos que se forman cada vez que sale el agua), pues ellos también habían tomado en la clase anterior el tiempo en se demoraba en salir el agua, y algunos establecieron regularidades entre el tiempo y la salida de agua.

Nosotras sugerimos la semejanza entre ellos, al ver que los estudiantes no veían la relación entre triángulos, (a pesar que nosotras la sugerimos en ocasiones), pero aunque ellos establecieron que se debía hallar una proporción en los triángulos, ninguno nos pudo decir cual, es por ello que nosotras intervenimos y establecimos esta proporción, pues nosotras vimos que si seguíamos preguntando por ello se iba volver en un problema de ver cuando eran triángulos semejantes y podríamos provocar en las clases un deslizamiento meta cognitivo, pues llegaríamos a una noción que se supone los estudiantes deberían conocer antes y dejaríamos de lado el conocimiento que nosotros deseamos construir (en un primer momento el teorema de Pitágoras).

Al tener la semejanza entre triángulos clara, podemos utilizar el teorema de Pitágoras para hallar la altura y el radio de los triángulos que se forman a medida que va saliendo el

agua del cono, aunque para este paso se debe ver que la altura divide el triangulo isósceles en dos triángulos rectángulos, de esta manera pueden hallar la altura y el radio del cono.

Utilizar esta metodología de clase fue apropiada debido a que habían algunas confusiones en las nociones trabajadas y continuar trabajando sobre vacios conceptuales podría ocasionar que los estudiantes no logren una comprensión del por qué y para qué se utilizan estas nociones para llegar a la solución de la situación.

Aunque nosotras establecimos nociones de semejanza y proporcionalidad de triángulos, el aprendizaje obtenido por los estudiantes no podemos evidenciarlo de manera general ya que solo podríamos enunciarlos de algunos estudiantes que opinaron o los propusieron en el transcurso de la clase procedimientos a realizar. Es por esto que nos encontramos en un dualismo ya que se trabajaron los conocimientos pero no fueron evidenciados en todos los estudiantes por lo cual vemos la importancia del trabajo de los estudiantes en torno a un medio y la construcción de conocimientos mediante la interpretación de este medio, pero esta evidencia solo la podremos ver en la sesión que sigue pues se establecerán relaciones entre la semejanza de triángulos y la situación problema mediante la discusión por los grupos de trabajo.

5.5.2 PROTOCOLO ACTIVIDAD 4 (10-2)

Esta actividad se realizó con el fin de dar continuidad a nuestra situación fundamental, mediante el uso de relaciones entre las dimensiones del cono; desde nuestro análisis las preguntas que iban encaminadas a nuestro objetivo: proporcionalidad y semejanza de triángulos no nos ayudan a que los estudiantes alcancen el objetivo propuesto lo cual implica que lo estudiantes no puedan continuar con el análisis de nuestra situación fundamental, pues nuestra ruta de aprendizaje inicia con la semejanza y proporcionalidad de triángulos, llevando a los estudiantes a una segunda etapa donde deben encontrar las razones trigonométricas para la adecuada solución a nuestra situación; desde nuestro análisis si los estudiantes no logran comprender la proporcionalidad y la semejanza que se evidencia en los triángulos no podrán encontrar las razones trigonométricas existentes en estos; por esta razón se implementó una variable didáctica que nos ayude a reconocer este objetivo.

La variable didáctica que implementamos para el alcance de nuestro objetivo fue inicialmente que los estudiantes identificarán el volumen del cono y así realizar un análisis de la proporción existente de los triángulos de cada uno de los grupos.

En la anterior clase se les dejo una consulta a los estudiantes la cual era como encontrar el volumen del cono; los estudiantes iniciaron reconociendo esta fórmula.

Inicialmente se organiza a los estudiantes en su respectivos grupos y se les pregunta ¿Que se necesita para encontrar el volumen del cono que tienen? (se les dio a cada estudiante las dimensiones de un cono diferente), esto desde nuestro punto de vista es importante pues con esto haremos que los estudiantes encuentren la semejanza y proporcionalidad existente en los triángulos.

Evidenciamos que los estudiantes al analizar la fórmula del volumen del cono confunden el símbolo del radio con las unidades angulares como es el radian, donde se hizo la aclaración de cada uno de los símbolos que se encuentran en la formula, luego de esto los estudiantes responden que deben encontrar la altura y el radio del cono, pues no saben estos, así se dio inicio con la actividad.

Cuando los estudiantes responden que deben encontrar la altura y el radio, les decimos que ahora cada grupo debe encontrar el volumen de su cono, desde lo evidenciado este ejercicio necesito de conceptos previos que son también fundamentales para la resolución de nuestra situación fundamental como es la utilización del teorema de Pitágoras.

Los estudiantes inician así intentando encontrar el radio de sus conos; desde un análisis cognitivo, algunos estudiantes no diferencian el radio del diámetro; pues muchos enuncian que el radio de su cono es el dado por nosotros como dimensión del diámetro.

Seguidamente les preguntamos a los estudiantes cual es la diferencia entre radio y diámetro, los estudiantes tienen una confusión entre estos dos; algunos estudiantes no sabían a qué se refería estos, donde cometemos un fenómeno didáctico e cual es el efecto topase pues nosotros le damos la respuesta e indicamos a los estudiantes a que se refiere cada uno de estos conceptos.

Con la explicación del radio y el diámetro los estudiantes identificaron el radio de cada uno de los conos sin más complicaciones.

Ahora bien ellos debían encontrar la altura del triángulo, al preguntarle a los estudiantes cual era la altura de su cono algunos estudiantes respondieron que era uno de los lados del cono; donde les preguntamos que si estaban seguros de la respuesta, debían analizar y darnos una respuesta; el análisis que ellos realizaron fue tomar el cono e idear una manera de encontrar la altura donde utilizaron herramientas como el esfero para medir la altura del cono, y es allí donde evidencian que la altura del cono no es uno de los lados sino la siguiente.

Altura

Otros estudiantes al preguntarle sobre la altura del cono respondían que era analizamos que ellos al pensar sobre un triángulo tienen muy definida esta fórmula pero no tienen la conciencia de cómo utilizarla.

Intentamos que los estudiantes encontraran una herramienta para encontrar la altura del cono diferente a la del esfero:

P: Deben encontrar la altura del cono sin utilizar el esfero. E: Pero profe como hacemos eso. P: Bueno ya identificaron cual es la altura del cono a que se les parece esa nueva figura. E: El cono es un triangulo. P: Si pero, que más pueden analizar gráficamente. E: Encontramos el radio que es la mitad del diámetro. P: Si, pero que mas ven en el dibujo. E: Dos triángulos. P: Si, esos triángulos como son. E: Son semejantes. P: Si, que más tienen esos triángulos. E: Hummmm. P: Bueno que dimensiones tiene uno de los triángulos que se formo. E: Ahhh ya sabemos dos lados, uno es el diámetro, el otro es el lado que nos habían dado. P: Exacto, que pueden hacer con esa información, eso lo que hemos trabajado en clase. E: Ahhh ya se el teorema de Pitágoras, porque nos falta encontrar solo un lado.

Observamos que los estudiantes evidencian la misma necesidad que se evidencio en la historia de la trigonometría pues debemos recordar que las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa; además recordemos que una de las aplicaciones como podemos ver es la de las distancias para ello se utiliza el teorema de Pitágoras, este teorema se aplicaría en caso de desconocer alguna de las distancias de los lados. Analizamos que nuestros estudiantes ven la importancia del teorema de Pitágoras además de la función que tiene este.

Ahora bien los estudiantes evidencian la necesidad de utilizar el teorema de Pitágoras y así inician a encontrar la altura, observamos que hay estudiantes que no identifican todavía adecuadamente los catetos y la hipotenusa, pensamos que esto se debe al presentar solo un tipo de problema y de triangulo siempre, sin encontrar unas características generales para identificar catetos e hipotenusa:

P: ya saben que debemos utilizar el teorema de Pitágoras, como se resolvería.

E: El teorema de Pitágoras es P: si, que debemos encontrar. E: la hipotenusa. P: porque la hipotenusa. E: porque es lado que no sabemos, y es el más largo. P: no, identifiquen bien cual es cateto opuesto, adyacente y la hipotenusa tengan en cuenta el ángulo de 90°, para identificar esto. Los estudiantes ya tienen un mejor manejo del teorema de Pitágoras respecto a su solución, pero se evidencia que no todos los estudiantes reconocen adecuadamente los catetos y la hipotenusa. Cada uno de los grupos sabe cuál es la altura de cada uno de sus conos e inicia a encontrar el volumen de estos, vemos que realizan adecuadamente este ejercicio de sustituir en la fórmula del volumen el radio y la altura encontrada evidenciando cual es el volumen de los conos. Ahora bien, los estudiantes deben comparar los dos triángulos que se encuentran dentro del cono, ellos afirman que los dos triángulos son iguales, donde nosotros exponemos que son congruentes ellos parecen entender pero no tienen la conciencia de que significa esta palabra en realidad. Luego de esto los estudiantes deben comparar los triángulos que se forman dentro del cono con los demás grupos, ellos no encuentran la manera de compararlos dicen que son mas grandes o que son más pequeños, que tiene en común un ángulo de 90° pero en si no hay una comparación más concreta. En esta parte la gestión del docente es importante pues en este instante los estudiantes deben llegar a nuestro objetivo el cual es: que los estudiantes comprendan la proporcionalidad y semejanza de triángulos, pues implica que nuestra situación fundamental finalice adecuadamente. Tomamos dos triángulos de dos grupos y empezamos a analizar como son estos triángulos, los estudiantes todos evidencian que los triángulos tienen un ángulo de 90°, pero les preguntamos ¿qué tienen en común los dos lados restantes?, no comprenden la pregunta. De nuevo realizamos una pregunta comparen el cateto opuesto del triangulo 1 con el cateto opuesto del triangulo 2 ya así mismo el cateto adyacente y la hipotenusa ¿Cómo son estos dos lados? Los estudiantes comienzan a ver las dimensiones de los triángulos un estudiante evidencia que los lados del primer triangulo tienen una diferencia de dos con el segundo triangulo. Exacto eso era lo que queríamos que vieran hay una diferencia de dos en las dimensiones de los triángulos esto se llama razón y por ende los triángulos guardan una proporción, entonces decimos que los triángulos son semejantes porque los ángulos son iguales pero los lados guardan una proporción. Luego de esto analizamos la diferencia que existe entre semejanza y congruencia.

Los estudiantes así comprenden la proporcionalidad y semejanza que existe en los triángulos. El análisis de aprendizaje luego de realizar la actividad realizada sin duda alguna es bueno pues los estudiantes empiezan a identificar los aspectos que influyen en el problema; es decir identifican:

• Semejanza entre triángulos. • Congruencia entre triángulos. • empiezan a reflexionar sobre la importancia del cono pero no solo por sus

dimensiones, sino por las características que tienen las figuras que se ven en el cono.

Además del análisis de aprendizaje debemos evaluar los niveles en que se encuentran los estudiantes: para esta fase acción tenemos en cuenta los siguientes niveles: Nivel 0: No reconoce las características y propiedades de los diferentes triángulos. Nivel 1: Reconoce las características de los triángulos, pero no asimila la proporcionalidad y la semejanza en estos. Nivel 2: Reconoce propiedades de los triángulos y encuentra la semejanza y la proporcionalidad con otros triángulos. Como se evidencia a lo largo del escrito el objetivo se cumplió satisfactoriamente por ende podemos decir que la mayoría de los estudiantes se encuentran en el nivel 2, de nuestra fase de acción. Finalmente en esta sesión aprendimos que los docentes deben ser capaces de mostrar varias representaciones de una misma noción, en este caso debemos ser capaces de dar varias representaciones del teorema de Pitágoras y así mismo varias situaciones problemas donde no solo sea encontrar la hipotenusa sino uno de los catetos, pues así los estudiantes ven el verdadero significado del teorema; por otro lado aprendimos como diferenciar dos conceptos como son el de semejanza y congruencia que para nuestros estudiantes estas dos nociones son iguales.

5.5.1.1 PROTOCOLO ACTIVIDAD 5 (10-1)

Esta clase decidimos hacerla utilizando un cono a escala, hecho en papel (variable didáctica, Brousseau G. (1999)) pues nos dimos cuenta que esto ayudaba a una mejor

comprensión del estudiante pues “puede utilizar valores que permiten al alumno comprender y resolver la situación con sus conocimientos previos, y luego hacerle afrontar la construcción de un conocimiento nuevo fijando un nuevo valor de una variable” (Brousseau G. (1999)) este cono estaba hecho de la siguiente manera: doblamos por la mitad una hoja de papel, luego hicimos que unieran por una línea, la esquina superior derecha de la hoja con la esquina inferior izquierda de la mitad de la hoja a la que correspondía la primera esquina, luego la esquina superior izquierda unida por una línea con la esquina inferior derecha de la mitad de la hoja a la que correspondía la primera esquina, al construir este modelo de cono los estudiantes tenían que medir los lados del triangulo que se formaba al estar representado en el papel, haciendo la representación del cono cuando estaba lleno y no se había roto ninguna de las cuerdas y poco después la representación de cuando había bajado un poco el agua.

Primer momento:

Hablando en general

P: bueno vamos a medir el triangulo (señalando el cono a escala que habíamos hecho construir a los estudiantes con una hoja de cuaderno) E: que tenemos que medir P: los lados del triangulo Pasados algunos minutos

Refiriéndose a un estudiante

E1: ya P: ¿Qué pasa con el triangulo? E1: que sus lados son iguales P: ¿todos sus lados son iguales? E1: solo los de los lados, esto… la base es diferente. P: ¿Cómo se llama a estos triángulos?

E1: Isósceles P: ¿y que mas podríamos mirar en este triángulo? E: pues los ángulos P: ¿Qué podrías decir de los ángulos? E: que los ángulos de la base son iguales. (Revisando sus apuntes)

Con este primer momento se quería tener un reconocimiento de la figura en segunda dimensión de tal manera que el estudiante pudiera analizar y observar que está pasando dentro del cono, la representación en el papel permite que analicen y observen un poco mejor que está incidiendo sobre la situación, por ejemplo observar lados y ángulos, después de un momento iniciamos la segunda parte:

P: listo ahora vamos a doblar este triangulo así. Cogemos el triangulo y doblamos un poco el triangulo por la base haciendo que coincida.

P: ahora mide sus lados de nuevo.

Pasados algunos minutos

E1: profe ya medí los lados del otro triangulo P: ¿qué pasa con este triangulo? E1: que tiene dos de sus lados iguales P: ¿y la base es igual? En uno de los grupos una estudiante dijo que la base era igual- dirigiéndome a ella- P: ¿cómo se llama este triangulo? E1: Isósceles P: P: el otro triangulo ¿Qué triangulo era? E1: Isósceles P: ¿hay alguna diferencia entre el primer triangulo y el segundo? E: si que en el primero dos lados son iguales y en el segundo los tres lados son iguales. Por lo que se sugiere que vuelva a tomar las medidas, ya que era posible que los tres lados fueran iguales, pero en este caso había un error de medición y además presentaban

alguna confusión entre el tipo de triángulos según sus lados por lo cual se pregunto: ¿si los lados fuesen iguales que tipo de triángulos es?

Debido a la posición de los puestos intervienen más estudiantes

E1: escaleno E2: equilátero P: podrían decir cuál es la diferencia entre los dos triángulos E1: pues… el equilátero tiene los lados diferentes y el escaleno iguales. E2: no es al contrario. E3: en el equilátero los lados son iguales y en el escaleno son diferentes –mirando sus apuntes- Lo bueno que se realicen discusiones entre lo que se está trabajando es que tratan de desarrollar argumentación en las afirmaciones que hace, sin embargo, el único argumento válido para la mayoría es lo que llevan en sus cuadernos y asumen como cierto sin detenerse a mirar por que lo es, por lo cual podría afirmar que no apropian lo suficiente el concepto y como lo podría poner en juego. Por lo cual se sugiere descomponer la palabra equilátero en: equi- latero lo cual les puede contribuir para conocer el significado ya que el equi se refiere a igualdad y latero a lados teniendo una igualdad de lados.

Entro espacio se estaba pensado en que los triángulos obtenidos eran isósceles y en la posibilidad de seguir plegando de manera paralela a la base cual sería su posible comportamiento

P: ¿Qué pasa si yo sigo doblando el triangulo? E1: que se hace más pequeño P: si pero ¿qué pasa con el triángulo que se forma? E1: que es isósceles P: ¿Qué pasa con el triangulo que se forma si lo vuelvo más pequeño? E1: que es isósceles P: y si observas los ángulos ¿que podrías decir de ellos? E: que los ángulos de las bases son iguales, por que los lados del primer triangulo son iguales y los del segundo también, entonces los triángulos son isósceles y por eso los ángulos son iguales P: el hecho de que sean isósceles implica que sean iguales E: pues… Si bien tienen razón en que los triángulos son iguales, esta pregunta fue realizada con el ánimo de tener una argumentación un poco mas fuerte ya que si lo llevamos a cuales quiera par de triángulos isósceles, esto no se cumpliría por lo cual se pidió analizar la afirmación y como podían sustentar que los ángulos de la base de los dos triángulos son iguales.

Este ejercicio fue encaminado hacia experimentación del estudiante con el “cono” que hicimos a escala “la situación debe estar organizada de manera tal que el alumno interactúe con un medio que le ofrezca información sobre su producción. Que el alumno

pueda juzgar por sí mismo los resultados de su acción, y que tenga posibilidad de intentar nuevas resoluciones son criterios fundamentales para que -por sí mismo- establezca relaciones entre sus elecciones y los resultados que obtiene.”(Brousseau G. (1986)) esto se vio reflejado en las relaciones que se iban encontrando entre los lados del primer triángulo que se construyo, después se viendo a medida que el estudiante a partir de nuestras preguntas y de lo que sucedía con los triángulos que se iban formando iba haciendo conjeturas de lo que pasaba en realidad en los triángulos que se iban formando, “En efecto, no es el silencio del maestro lo que caracteriza las fases a-didácticas, sino lo que él dice.” (Brousseau G. (1994)) esta es una experimentación propia del alumno en el que va construyendo el conocimiento a partir de de los conocimientos previos, pero que al mismo tiempo va ligado a las “pistas” que da el profesor, en el camino de la construcción de este, con esto queremos decir que lo que nosotros hacemos preguntas sobre las nociones previas de los estudiantes aplicadas al conocimiento que vamos a trabajar es más significativo que ir diciendo a los estudiantes los conceptos explícitos sin ninguna construcción de parte del estudiante. Esto se ve reflejado en la conversación anterior.

Aunque no se documentaron todas las conversaciones que se tuvieron en el curso la mayoría de ellas trascurrieron de la misma forma, pues estábamos utilizando conocimientos básicos de los estudiantes como lo son: el uso de medidas, las clases de triángulos y la comparación entre ellos, con respecto al concepto de clases de triángulos algunos no sabían el “nombre” del triangulo que se formaba, pero tenían una noción de esto, esta cuestión fue resuelta inmediatamente por sus compañeros diciendo: “ hay, pues un triangulo isósceles por que tiene los lados iguales”, esta no fue una construcción propia del estudiante pues tenía nociones anteriores que no lograba conectar, pero al mismo tiempo no fue solucionada por el si no que fue una solución dada por sus compañeros.

En la clase quisimos que los estudiantes, se fijaran también en los ángulos de los triángulos, pero debido al tiempo vimos con algunos grupos las relaciones que tenían los triángulos con respecto al ángulo opuesto a la base pues este se mantenía igual en todos los triángulos y nos iba a permitir hallaran una relación entre este y los ángulos restantes, en los diferentes triángulos que se iban formando, estableciendo así una relación entre ángulos, como ya habíamos hecho con los lados al establecer que todos los triángulos que se formaban eran isósceles, con los grupos que se trabajo esto llegamos a que el ángulo no se modificaba pues la conversación se dio de esta manera:

P: miremos este ángulo (señalando el ángulo opuesto a la base) ¿Qué pasa con el ángulo cuando hacemos el triangulo más pequeño? E2: no pasa nada P: y ¿qué pasa si hacemos el triangulo más pequeño? E2: no pasa nada P: entonces ¿este ángulo es igual para todos los triángulos? E2: si En otro grupo

Bueno trata de observar que más podemos ver en estos triángulos, hemos hablado de ángulos y lados, hay algo más de lo que puedas hablar: E: Pues… la altura. P: y que podrías decir de la altura. E: pues que divide el triángulo isósceles en dos triángulos rectos. P: y si miramos el primer triangulo y segundo, ¿Qué podrías decir al trazar la altura? E: pues… Dejamos que analizaran un poco al respecto. De nuevo se hace una experimentación con el triangulo de papel haciendo de este modo un aprendizaje más significativo para el estudiante al interactuar en el medio y sacar sus conclusiones mediante la experimentación con el triangulo de papel (Brousseau G. (1986,)) aunque esta conclusión se vio interrumpida por nosotras pues en algunas preguntábamos específicamente lo que queríamos que nos respondieran (efecto topace), pues en cierto modo es complicado manejar la tensión del que los estudiantes van a salir de clases y que solo necesitan un pequeño empujón para llegar a la respuesta que nosotros queríamos “Al comienzo de la formación en didáctica, al docente puede resultarle difícil encontrar intervenciones que permitan esta relación del alumno con el problema, sin hacer indicaciones sobre cómo resolverlo.” (Mabel Panizza), pero a pesar de esto debemos admitir que se logra una mejor comprensión y es mas satisfactorio cuando los estudiantes construyen un conocimiento por si mismos y no es inducido por nosotros.

Con algunos de los grupos no alcanzamos a concluir las conversaciones que se estaban llevando a cabo, por lo cual las realizaremos la próxima sesión retomando lo trabajado y continuando con las discusiones.

Al trabajar casi individual (ya que por lo general ponen a discusión lo que realizan con su compañero de al lado o al frente) teniendo un material manipulable permitió que los estudiantes realizaran análisis de lo que se iba construyendo. Esto nos contribuyo para ver posibles estrategias con las cuales los estudiantes puedan poner en juego las temáticas que se están trabajando encontrando mayor interés por su desarrollo.

PRIMERA CATEGORÍA

Los estudiantes conocen una relación entre los lados de los triángulos.

Todos los estudiantes están en esta categoría ya que la actividad se enfatizo mucho en esto, al medir los lados de los triángulos y al hacer los dobleces para que el triangulo se hiciera más pequeño

NIVEL 0 Algunos estudiantes llegaron a que los

Los estudiantes enuncian relaciones entre lados de los triángulos, sin embargo se les dificulta hablar de relaciones entre los triángulos.

dos triángulos eran isósceles, pero no establecieron relaciones entre estos, esto se dio más por la falta de trabajo por parte de ellos.

NIVEL 1

Toma en cuenta relaciones entre triángulos, teniendo en cuenta lados, sin embargo se le dificulta establecer que pasaría en un tercer momento.

Algunos de los estudiantes llegaron a establecer la relación entre los triángulos, al ver que todos los triángulos que se formaban eran isósceles.

NIVEL 2

Establece posibles hipótesis de relación entre triángulos teniendo en cuenta un patrón de formación, con el cual se cumpla la afirmación dada.

Estos estudiantes además de establecer relaciones entre los triángulos que se formaban lograron ver que los demás triángulos que se iban a ir viendo dentro del triangulo grande iban a ser isósceles.

A partir de estos niveles que planteamos, podemos hacer algunas implicaciones para lo próxima sesión de clase, las cuales son que debemos prestar más atención a los grupos que se encuentran en el primer nivel, de manera que ellos se sienten en la obligación de trabajar.

SEGUNDA CATEGORÍA

Los estudiantes conocen la relación que existe frente entre los ángulos opuestos a la base ente los deferentes triángulos que se forman y además ven una relación con sus otros dos ángulos.

La mayoría de los estudiantes no se encuentran en esta categoría pues esta solo se trabajo con los grupos más avanzados.

NIVEL 0

los estudiantes ven que existe una relación de igualdad entre los ángulos opuestos a la base

Esta la trabajamos con algunos estudiantes, que pudieron establecer que los ángulos de la base de todos los triángulos eran iguales.

NIVEL 1

Los estudiantes ven que existe una relación de igualdad entre los ángulos opuestos a la base y los ángulos

opuestos a los lados opuestos son iguales.

NIVEL 2

Los estudiantes ven que existe una relación de igualdad entre los ángulos opuestos a la base y los ángulos opuestos a los lados opuestos son iguales, y también los relaciona con los diferentes triángulos viendo que son iguales también.

Ninguno de estos dos niveles se presento en los estudiantes ya que no llegamos a este punto en la clase.

A partir de estos niveles que planteamos, podemos hacer algunas implicaciones para lo próxima sesión de clase, debemos trabajar con los grupos que ya establecimos el primer nivel un trabajo sobre la suma de todos los ángulos de un triangulo, dándoles como información el ángulo opuesto a la base, con los que no se ha trabajado sobre ángulos, debemos empezar a preguntar sobre los ángulos iguales en el triangulo, empezando por el opuesto a la base.

5.5.1.2 PROTOCOLO ACTIVIDAD 5 (10-2)

Esta actividad se realizó con el fin de que mediante el uso de relaciones entre las dimensiones del cono y las “nuevas” alturas que genera el agua en el cono, el estudiante genere la necesidad de usar relaciones trigonométricas diferentes a las ya usadas, las cuales deberá usar de acuerdo a las condiciones del problema y las situaciones a los que los lleve la situación. Realizando un recuento de las actividades anteriores donde se ha trabajado la proporcionalidad y semejanza de triángulos, los estudiantes ya han alcanzado una comprensión de esta noción es por esta razón que continuamos con nuestra ruta de aprendizaje donde nos encontramos en la fase de formulación donde la intencionalidad es que debe Identificar y comunicar estrategias sobre comparaciones entre lados y ángulos de triángulos. Como bien sabemos continuamos con nuestra ruta de aprendizaje donde esta actividad iba encaminada a las razones trigonométricas noción importante para dar solución adecuada a nuestra situación fundamental y a la vez para que los estudiantes puedan seguir con nuestra ruta de aprendizaje en donde puedan implementar teoremas como el del seno y el coseno. En cuanto al análisis del diseño de la actividad, como se evidenciará en el contenido de este escrito la actividad fue adecuada para la introducción de las razones trigonométricas en los estudiantes pues los estudiantes deben relacionar los elementos de estudio matemático que se encuentran en la figura que forma el agua en el cono (triángulos) y establecer relaciones entre ángulos y lados de triángulos; además de esto el diseño esta en concordancia con nuestra ruta de aprendizaje pues como bien sabemos para elaborar

una comprensión de trigonometría en los estudiantes se deben definir las razones trigonométricas para lo cual la actividad responde a este objetivo. Iniciamos nuestra actividad organizando a los estudiantes en grupo de cuatro personas; seguidamente planteamos la siguiente pregunta: ¿Qué datos necesita para hallar la cantidad del cono pasados “x” segundos? Debemos aclarar que en la clase anterior los estudiantes venían trabajando con diferentes dimensiones del cono, en esta clase trabajamos con las dimensiones ya establecidas además los segundos pasados también fue diferente para cada uno de los grupos. P: Bueno ustedes ¿Qué datos necesitan para encontrar la cantidad de agua que queda en el cono? E: No no sabemos, creemos que necesitamos más datos. P:No la clase pasada encontramos el volumen del cono esta vez necesitamos encontrar el volumen del cono pero pasados unos segundos, que necesitamos saber para poder encontrar esto. E: Profe para encontrar el volumen del cono necesitábamos saber la altura del cono y el radio. P: si exacto, ahora para encontrar cuánta agua hay en el cono pasados unos segundos que necesitamos saber. E: el volumen de agua que queda en el cono. P: si y para saber esto que datos necesitamos. E: necesitamos la altura y el radio. Como se evidencia con el planteamiento anterior creamos contextos como propone (Brousseau) a los cuales los estudiantes atribuyan sus propios significados donde nosotros estamos proponiendo para ello la utilización de modelos de pensamiento que le permitan a los estudiantes investigar la situación a partir del cual fue creado y aplicarlo a otras.

Continuamos con la siguiente pregunta la cual era si el nivel del agua bajo (altura del cono) ¿Qué datos además de este disminuyen dentro del problema? En esta pregunta los estudiantes no estaban tan seguros al responder pues ellos entraban en la problemática de saber si el radio también disminuía. Algunos estudiantes iniciaron dibujando el agua en el cono y así mismo dibujaron el radio realizando una comparación encontraron que efectivamente el radio si disminuía, podemos analizar que los estudiantes encuentran estrategias validas para dar respuesta a una pregunta avanzando con anteriores actividades donde el estudiante no se atrevía a realizar una acción que le pudiera ayudar a razonar; donde vemos que el estudiante con la situación fundamental está en la capacidad de adquirir conocimientos, aptitudes y conceptos y aplicarlos en forma adecuada en nuevas situaciones. Gardner (1993). Por otra parte nosotros analizamos que el estudiante tiene un manejo mejor de lo que llamamos comprender y en esta pare podemos evidenciarlo pues como nos dice Perkins (1999):

“Se dirá que un estudiante comprende un objeto matemático según las secuencias de actos (explicar, justificar, extrapolar, vincular y aplicar de manera que van más allá del conocimiento y la habilidad rutinaria)”. Evidenciamos que el estudiante esta cada vez está más cerca de comprender el objeto matemático que queremos enseñar en esta práctica, pues está en el proceso de vincular el conocimiento previo, esto se observa que al intentar encontrar una solución a la pregunta el estudiante vincula conocimiento previo pues como se evidencia en la conversación anterior al encontrar el volumen del cono (trabajado en la clase anterior) y con esta nueva situación (es decir al pasar unos segundos) el estudiante reconoce que el trabajo realizado a través de las clases de alguna manera le puede ayudar para seguir construyendo conocimiento, es donde vemos la importancia de tener una ruta de aprendizaje establecida. Ahora bien el estudiante no solo vincula el conocimiento también realiza una explicación, pues cuando nosotros (docentes practicantes) pasábamos por los grupos de los estudiantes y al preguntarles qué datos disminuían sucedió lo siguiente: P: ¿Qué datos además de este disminuyen dentro del problema? E: Disminuye el agua del cono P: Si, pero que mas disminuye. E: Si disminuye el agua del cono disminuye la altura. P: Estamos de acuerdo. P: Además de disminuir el agua y por ende la altura, que podemos decir que disminuye también. E: Los ángulos. En esta parte otro estudiante responde que los ángulos no pueden disminuir porque en la clase anterior los ángulos sin importar que el agua bajara siempre eran los mismos. E: Disminuye el volumen. P: Si, porque el agua disminuye. E: Uhmmmm Otro estudiante dice que disminuye el radio del cono, donde nos todos los estudiantes están de acuerdo con esta propuesta. P: debatan y díganme si disminuye el radio o no. Al realizar una lectura sobre la comprensión de la trigonometría en los estudiantes evidenciamos además de lo que nos propone Perkins (1999) tres acercamientos a la noción de comprensión que son planteados por Johnson (1989), Van Hiele (1957) y Gardner (1993). El primero define comprensión como el modo en que estamos significativamente en nuestro mundo, utilizando para ello nuestras interacciones corporales, instituciones y contextos culturales y tradiciones lingüísticas. Como se evidencia Johnson (1989) nos dice que al encontrarnos en el mundo estamos en una interacción constante y donde nos encontramos en un contexto cultural donde

hacemos uso de unas tradiciones en este caso lingüísticas; analizamos que la propuesta de Brousseau al plantear la teoría de las situaciones didácticas adquiere un gran reconocimiento e importancia pues desde lo que hemos trabajado, es una propuesta que ayuda en realidad al estudiante a construir conocimiento, vemos que vital es la comunicación en la acción de comprender y observamos que en esta teoría (situaciones didácticas) esta planteada una fase de formulación donde se hace uso de la comunicación, pues el medio de aprendizaje comprende un sistema receptor y emisor donde se intercambian una serie de mensajes. Para que los estudiantes realicen uso de esta comunicación activamente las actividades de nuestra secuencia están diseñadas para que los estudiantes realicen el trabajo grupal y en este caso comuniquen y hagan uso de diferentes representaciones de las comparaciones entre ángulos y lados del triangulo, realicen discusiones permanentes sobre las conjeturas establecidas por ellos con el fin de que siempre se esté en una constante búsqueda de argumentos para sostener o realizar nuevas conjeturas, para llevar a una comprensión de las razones trigonométricas.

Luego de que los estudiantes discutieran y dieran argumentos validos sobre la pregunta llegaron a la respuesta de que el radio si disminuía. P: ¿El radio si disminuye o no? E: Profe el radio también disminuye. P: ¿Por qué? E: Porque cada vez que el agua baja el radio disminuye. (Me explican esto mediante la elaboración de un dibujo como el siguiente). Si ve profe el radio si disminuye

Continuamos con el análisis de lo que nos propone Perkins al decirnos que comprender significa: explicar, justificar, extrapolar, vincular y aplicar de manera que van más allá del conocimiento y la habilidad rutinaria. En el caso anterior observamos como el estudiante realiza una explicación y una justificación de la respuesta dada mediante una representación. Continuamos con la siguiente pregunta la cual era ¿Cómo podemos averiguar el radio que forma el agua con el cono? Esta pregunta fue un poco complicada porque aunque los estudiantes han trabajado razones trigonométricas no son capaces de evaluar en donde se deben utilizar; aunque algunos estudiantes respondieron que con las razones trigonométricas se podría dar respuesta a esta pregunta no tienen una conciencia de cómo utilizarlas o de saber donde se emplean.

La implicación que trae esto a nuestra situación fundamental es de gran relevancia pues al no comprender estas (razones trigonométricas), el estudiante se saldrá de nuestra ruta de aprendizaje con lo cual no podrá seguir con la solución a la situación, además nuestro objetivo general de la practica no se logrará alcanzar: identifica y relaciona los elementos de un triangulo rectángulo, establece las relaciones trigonométricas y las utiliza en la resolución de problemas. Esta pregunta ¿Cómo podemos averiguar el radio que forma el agua con el cono? va enfocada a una situación didáctica pues fue construida intencionalmente con el fin de hacer adquirir a los estudiantes un saber que en este caso es el de las razones trigonométricas. Brousseau 1982. Cuando los estudiantes se enfrentan a esta pregunta responden que las razones trigonométricas pueden ayudarle a resolver esta, pero no saben como utilizar las razones trigonométricas o cual utilizar. P: Bueno digamos que con las razones trigonométricas podemos resolver la pregunta. ¿Cómo lo harías? Los estudiantes muestran su cuaderno de apuntes en donde están las razones trigonométricas pero no saben cual utilizar. E: Profe cual nos sirve para encontrar el radio. E: La tangente cierto. P: Que razón guarda el triangulo. Los estudiantes no logran encontrar la razón que guarda el triangulo, ellos esperan impacientes a que nosotros le demos la respuesta, y es acá parte fundamental de lo que nos propone Brousseau que “La devolución es el acto por el cual el enseñante hace aceptar al alumno la responsabilidad de una situación de aprendizaje y acepta él mismo las consecuencias de esta transferencia”. Donde no podemos como docentes volvernos solo espectadores de lo que pasa y tampoco realizar una transferencia de conocimiento, es donde las preguntas se vuelven parte fundamental pues al guiarlos con preguntas el estudiante encuentra solo la manera de dar respuesta también es importante no solo las preguntas sino alentar a resolución (Mabel Panizza). Al responderles que es algo que ya han trabajado que miren las semejanza o proporción que guardan los triángulos los estudiantes observan el dibujo que tienen del cono y enuncian que es el cateto opuesto sobre el cateto adyacente; es decir la tangente. Debemos aclarar que fue una pequeña proporción de estudiantes que llego a encontrar esta respuesta esto implica que para sesiones posteriores debemos diseñar una actividad que ayude al aprendizaje en los estudiantes de las razones trigonométricas. El análisis de aprendizaje luego de realizar la actividad realizada sin duda alguna es bueno pues los estudiantes empiezan a identificar los aspectos que influyen en el problema empieza a identificar las razones trigonométricas.

Para la comprensión de las razones trigonométricas la revista electrónica “Actualidades Investigativas en Educación” se presentan tres niveles de comprensión los cuales son:

• Nivel instrumental: corresponde a un primer nivel de comprensión del tema, visto como una herramienta que le permite resolver problemas.

• Nivel relacional: puede vincular los contenidos matemáticos con otra área dentro y fuera de las matemáticas, es necesario adaptar los métodos a nuevos problemas.

• Nivel formal: en este nivel la persona es crítica, la construcción del conocimiento se ve como una tarea compleja y puede comunicar lo que sabe de manera crítica.

La mayoría de los estudiantes se encuentran en el nivel instrumental pues las definiciones, conceptos, algoritmos básicos que según este nivel son requeridos para resolver problemas pueden interpretarse presente en la mayoría de los estudiantes. Finalmente en esta sesión aprendimos que los docentes no solo son espectadores del aprendizaje ni tampoco transmisor de conocimiento sino por el contrario alentar el aprendizaje de los estudiantes en este caso en cuanto a las razones trigonométricas, además con la realización de este protocolo vemos diferentes interpretaciones que dan diversos autores sobre la comprensión cuestión importante para nuestra formación como docentes.

5.6 ACTIVIDAD 6 (FASE DE VALIDACION)

� JUSTIFICACIÓN Esta actividad es realizada con el fin de dar continuidad a nuestra ruta de aprendizaje en la cual una vez establecidas las relaciones entre las dimensiones de cono y la forma de encontrar la medida para cualquier dimensión, continuaremos con la observación de el comportamiento del agua que se encuentra dentro del cono (volumen en x tiempo, a determinada altura), para proseguir en la búsqueda de posibles soluciones a la situación.

� DESCRIPCION DE LA ACTIVIDAD

Fase 1: los estudiantes deberán elaborar una tabla en la cual se deben observar los diferentes tiempos antes de que se rompa el soporte ver anexo 1, las alturas y el radio. Para poder realizar esto deberán guardar registro sobre las estrategias utilizadas para hallar cada una de las dimensiones y los procedimientos realizados por cada grupo. Fase 2: teniendo en cuenta los datos tomados y encontrados, ahora se observara el agua que se conserva en el cono al pasar el tiempo mediante la utilización del volumen y la interpretación de las dimensiones que se tienen. Para esto se realizaran las siguientes preguntas:

10. ¿Qué necesitas observar para poder hallar la cantidad de agua que hay dentro del cono?

Se busca que los estudiantes analicen este hecho a partir de imágenes que formara a partir del experimento hecho en anteriores clases y que identifique las características principales del cono y las relacione hacia la tabla que les fue entregada en la fase 1.

11. ¿Qué datos necesitas para hallar la cantidad de agua?

Se busca que el estudiante evidencie el diámetro, la altura y el radio, que forma el agua en el cono, los cuales son fundamentales para encontrar la cantidad de agua en determinado momento.

12. ¿Qué datos tenemos ahora?

Se busca que el estudiante analice sobre los datos obtenidos con los análisis antes hechos y sobre estos busque encontrar el dato que se necesita.

13. ¿Cuál es la diferencia de que el cono sea un sólido tridimensional y no un sólido bidimensional?

Se busca que los estudiantes hagan una reflexión acerca de lo que necesitan para hallar la cantidad de agua, dándose cuenta que necesitan una magnitud diferente al área y al perímetro, al ver que están trabajando con sólidos tridimensionales.

14. de los datos que señalaste ¿Cuáles puedes usar en el cono?

Se busca que los estudiantes puedan llegar a una relación de los datos tomados anteriormente con la pregunta anterior, de esta manera pueden establecer una relación con el volumen del cono

15. si sabemos que el agua va disminuyendo y que los datos van cambiando ¿Qué harías para hallar esos cambios?

Esto es para llamar la atención de los estudiantes acerca de los cambios que se van presentando con la cantidad de agua dentro del cono ya que esta va disminuyendo y las dimensiones de este van cambiando.

16. de esta observación ¿Que datos tienes que te sirven para hallar la cantidad de agua que hay en “x” segundos?, ¿cuales te hacen falta?.

Esta intervención tiene como fin garantizar que el análisis que se está haciendo en la situación esté dentro de los parámetros que le permitan al estudiante salir óptimamente del problema que se le genera en la situación,

17. ¿habrá una forma de encontrar los cambios del cono que necesitamos utilizando los datos que tenemos?

Se busca crear en el estudiante la necesidad de usar los datos obtenidos en una operación que le garantice encontrar el dato que necesitan.

� OBJETIVO GENERAL

Generar una situación didáctica en la cual los estudiantes puedan establecer una relación entre las dimensiones y el volumen, permitiendo la culminación de una primera fase de exploración de los estudiantes en la situación observando el comportamiento de las diferentes variables (agua que se conserva en el cono, las diferentes alturas, los radios) ante un primer momento.

� OBJETIVO ESPECIFICO

• Observar las interpretaciones que dan los estudiantes ante los datos encontrados y los posibles pasos a seguir.

• Fomentar discusión sobre que representa el agua que se conserva en el agua y como se puede determinar los valores para los diferentes tiempos narrados en la situación.

• Guiar al estudiante a la interpretación de datos obtenidos con respecto a forma de obtenerlos mediante razones (para este caso tangente) y teorema de Pitágoras observando el uso en cada caso y su aplicación.

• Llevar al estudiante a argumentaciones sustentadas no solo en conocimientos previos, sino también con el entendimiento y manejo de nociones vistas o documentadas.

� METODOLOGÍA

ORGANIZACIÓN DEL GRUPO ROLES Fase 1 y 2: se trabajará en los grupos de trabajo destinados al análisis de la tabla que les vamos a dar hallando una relación entre esta, el problema y el volumen del cono.

75 minutos

Estudiante Abordar la situación problema mediante el análisis, animación y reflexión de esta. .

Profesor Organizador de la metodología usada. Observador de los análisis que hacen los estudiantes respecto del problema. Interrogador en los grupos de trabajo respecto de los aspectos que influyen en el problema.

� NIVELES

• Nivel 0: Establece una razón entre dos magnitudes, sin embargo estas no son adecuadas.

• Nivel 1: Establece una razón entre dos magnitudes pero no tiene claro la parte instrumental.

• Nivel 2: Establece una razón entre dos magnitudes, opera adecuadamente la parte instrumental generando un resultado coherente con la situación.

• Nivel 3: Establece una razón entre dos magnitudes, opera adecuadamente la parte

instrumental generando un resultado coherente con la situación que le permitan realizar un análisis entre resultados evidenciando los cambios de comportamiento que tiene la situación fundamental propuesta.

� HIPÓTESIS DE APRENDIZAJE

• Los estudiantes identifican los aspectos que influyen en el problema planteado como:

o el uso de estrategias para hallar el agua dentro del cono mientras el agua se riega

o Los cambios debido a que el agua se va regando o Las relaciones entre el volumen del cono y los datos que habíamos

entregado antes como las alturas y el radio. o El volumen del cono

5.6.1 PROTOCOLO ACTIVIDAD 6 (10-1)

Dando continuidad a nuestra ruta de aprendizaje continuamos con la observación de las razones trigonométricas como medio para encontrar algunas dimensiones en el cono, consideramos que no fue muy apropiado haber tratado primero semejanza entre triángulos y posteriormente razones ya que en la antigüedad en Babilonia y Egipto uno de sus primeros usos fue la medida de terrenos o espacios en los cuales no se podía medir con precisión. Esto implicaría ver en un inicio el triangulo y sus lados que lo componen, y posteriormente observar las relaciones entre estos.

Consideramos que es inconveniente el orden llevado, mas no implica que el trabajo no haya sido productivo, ya que se llevo al estudiante a pensar para cualquier par de triángulos encontrar diferentes relaciones que se pudieran establecer entre ellos, sin embargo, tenemos la reaparición del problema de la variable donde hay una insistencia por dar valor a las variables que se manejan ya que sin esto se les dificulta establecer una relación.

Esta actividad fue apropiada ya que nos permitió que nos remolcamos un poco en la historia y observamos algunas aplicación de la Razones trigonométricas para ver como

“durante su aprendizaje los alumnos van desarrollando su capacidad de reflexión lógica y su capacidad de pensamiento y abstracción” (Gil Francisco, 2008), puesto que permiten que observen que las nociones trabajadas no son solo para el cono y sus dimensiones, sino también el medir diferentes distancias de sombras, alturas, distancias, entre otros. Por esto llevamos una guía como variable didáctica con la cual puedan observar posibles estrategias para abordar el cono encontrar las dimensiones del cono al pasar el tiempo, observando lo que tienen que en un inicio seria el radio, la altura y el descenso del agua desde una vista lateral.

Por lo cual la organización fue en grupos para que observaran y analizaran en torno a las diferentes aplicaciones y maneras de proceder dependiendo de lo que se pida en el problema, uno de los grupos mostro interés por observar un problema en el cual debía medir la distancia en la que se encontraban dos personas que se encontraban a diferente nivel, pero se le dificultaba ver en qué consistía el ejercicio por lo cual se dio una analogía en la cual se dijo:

P: “supongamos que yo estoy en el segundo piso, usted (Ferney) está en el primer piso en el costado derecho y John esta en el primer piso pero en el costado izquierdo, de frente a usted y debajo de mi” (esto se hizo mostrando el espacio donde estaba cada uno) ¿a qué distancia estoy yo de Ferney?, si la distancia de Ferney a John hay aproximadamente dos metros y el ángulo formado entre John, Ferney y yo es de 65°.

E: pues…

P: observa lo datos que tienes.

E: realiza una representación así:

Ferney John

Jenny

2 m

65°

P: que necesitas hallar. E: la distancia en que está usted de mi. P: entonces ¿que podrías utilizar? E: -observando los apuntes sobre razones- pues… P: mira cual establece relación con los datos que tienes y el que te hace falta. E:- traduce a términos utilizados en clase con la docente titular- tengo el ángulo, el cateto adyacente y necesito la hipotenusa. E2: pues la razón de coseno. P: y ¿como la utilizarías? Como en el cuaderno tiene es ecuaciones remplaza en la respectiva a coseno, sin embargo a la hora de despejar el valor que necesita duda un poco. Por lo cual otro estudiante interviene y le muestra como realizarlo.

Con la analogía se pretendía mostrar en espacios que estuvieran en su entorno que se tenía y que era lo que se buscaba, mostrando el estudiante una devolución de lo deseado por el profesor que era la identificación de qué razón trigonométrica era apropiada para este caso y para ratificar que se había comprendido la identificación o poner en juego determinada función según lo requiera el ejercicio, se observo otro de los ejercicios en el cual se planteaba 19,5 metros la altura de un árbol y el ángulo que forma la sombra con el suelo correspondiente a 54°, entonces ¿cómo encont rarías la distancia que hay entre árbol y la caída de la sombra?

La grafican que realizan los estudiantes es la siguiente:

Como el valor que necesitan hallar.

P: ¿cómo puedes solucionar el ejercicio? ¿Qué utilizarías? Los estudiantes que integraban el grupo E: pues… razones. P: bueno en el caso de hallar la de ese modo, ¿cómo erigirías la que vas a utilizar? Observa cada una de las razones teniendo en cuenta los datos que tienen y cual se sirve para lo9s datos que tienen, enunciando E: pues tengo el cateto opuesto al ángulo y el ángulo, necesito el cateto adyacente. E1: podría utilizar la tangente o la cotangente. E: mmm, si bueno si tomamos la tangente- realizan el mismo procedimiento anterior remplazando los valores y despejando la incógnita que se deseaba encontrar.

Esto se realizo con el fin de poner al estudiante en situaciones problema que permitan evidenciar la devolución ante un ejercicio planteado por el docente, ya que al tener que reordenar e identificar con que elementos se está trabajando permite una apropiación y manipulación del objeto (noción: razones trigonométricas)

Las evidencias hasta el momento tomadas fueron tomadas en un solo grupo, sin embargo, se trato de realizar una revisión por cada grupo, encontrando discusiones internas sobre el cómo obtener los datos allí evidenciados, observando las diferentes relaciones (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante) que se pueden establecer y su aplicación, por lo cual tomaban datos y siempre había una tendencia a manejar los datos obtenidos en términos cateto opuesto (CO), cateto adyacente (CA) e hipotenusa (h), sin embargo si se les plantea un ejercicio en el que se tome la letra h como lado, algunos se confunden con el hecho de que si se tiene esta letra implica que sea la hipotenusa, por lo cual en los ejercicios planteados y al pasar por lo diferentes grupos se manejo un poco el problema de la variable, ya que hay una insistencia por asignación de valor especifica.

Para observar el análisis cognitivo teniendo en cuenta la manipulación dada por lo estudiante a los diferentes problemas utilizando las razones trigonometrías.

Los niveles propuestos por nosotros para intentar realizar este análisis son:

• Nivel 0: establece relaciones trigonométricas en diferentes problemas planteados, sin embargo estas no son adecuadas.

• Nivel 1: establece relaciones trigonométricas en diferentes problemas planteados pero no tiene claro la parte instrumental.

19 m

• Nivel 2: establece relaciones trigonométricas en diferentes problemas planteados, opera adecuadamente la parte instrumental generando un resultado coherente con la situación.

En el nivel cero encontramos a 15% de los estudiantes debido a que en las interacciones con los diferentes problemas reconocían la utilización de las razones, sin embargo al proponer nuevos ejercicios, se observa que se confunde al momento dar una afirmación respecto a un camino a tomar (cual relación utilizar) empleando la que conocen mas no analizan lo apropiado o no de la utilización.

Para el nivel uno se encuentran el 60% de los estudiantes, ya que han realizado trabajos previos con la docente titular, sin embargo al momento de realizar una contextualización de la noción (poner en juego en una situación), presenta dificultados sin embargo después de analizar y realizar discusiones con sus compañeros establecen razones con las cuales puedan abordar el problema.

Para el nivel dos encontramos a los estudiantes restantes quienes tienen manejo de la noción, evidenciándolo mediante el manejo e implementación de posibles procedimientos que los puedan llevar a respuestas coherentes a su problema, este proceso lo realizan de manera individual y proceden a exponer lo realizado ante sus compañeros de grupo, fomentando discusiones (en algunos) que lo llevan a reafirmar o modificar el resultado de lo obtenido.

Para tener mayores evidencias del trabajo realizado, la próxima sesión se trabajara en la relación que tiene lo trabajado con la situación mediante la obtención de las dimensiones el momentos diferentes con lo cual nos permita analizar el agua que se mantiene dentro del cono en un primer momento de la situación, esto lo podemos realizar ya que en los diferentes grupos de trabajo habían mencionado que para conocer el agua que se mantiene dentro del cono debían saber el volumen del agua, pero podían establecer hipótesis hasta este punto por que ellos consideraban que no se podían conocer o no tenían los elementos suficientes para obtener las diferentes dimensiones como el radio, la altura y el lado del cono.

La actividad que realizamos fue en donde se mostraron ejemplos de razones trigonométricas entre triángulos, esto desde ejemplos ajenos a la situación fundamental, ya que ninguno de ellos reflejaba las situaciones que planteamos en la situación fundamental, sino que se presentaban situaciones asociadas a otros medios, pues intentábamos hacer ejemplos “comunes”, desde situaciones didácticas, esto lo hicimos con el fin de que ellos pudieran relacionar más adelante lo que hicimos con estos ejemplos y las estrategias que podrían utilizar para abordar una solución a la situación fundamental.

En este aspecto esta fue una actividad que se hizo para seguir nuestra ruta de aprendizaje, aunque como mencionamos antes debimos hacer esta antes de hacer

relaciones entre lados, pues habría sido más adecuado en la manera de estructurar los conocimientos trabajados.

5.6.2 PROTOCOLO ACTIVIDAD 6 (10-2)

Esta actividad se realizó con el fin de que mediante el uso de relaciones entre las dimensiones del cono y las “nuevas” alturas que genera el agua en el cono, el estudiante generé la necesidad de usar relaciones trigonométricas (tangente), esta se abordará al tratar de encontrar el radio del cono, es decir los estudiantes tiene la altura del cono y además tienen un ángulo, para tratar de encontrar el radio con esta información deberán utilizar la razón tangente; pero ellos mismos deberán encontrar cal es la razón que se necesita utilizar para llegar a dar una respuesta adecuada. Como bien sabemos continuamos con nuestra ruta de aprendizaje donde esta actividad iba encaminada a las razones trigonométricas noción importante para dar solución adecuada a nuestra situación fundamental y a la vez para que los estudiantes puedan seguir con nuestra ruta de aprendizaje en donde puedan implementar teoremas como el del seno y el coseno. En cuanto al análisis del diseño de la actividad, como se evidenciará en el contenido de este escrito la actividad fue adecuada para la introducción de las razones trigonométricas en los estudiantes pues los estudiantes deben relacionar los elementos de estudio matemático que se encuentran en la figura que forma el agua en el cono (triángulos) y establecer relaciones entre ángulos y lados de triángulos; además de esto el diseño esta en concordancia con nuestra ruta de aprendizaje pues como bien sabemos para elaborar una comprensión de trigonometría en los estudiantes se deben definir las razones trigonométricas para lo cual la actividad responde a este objetivo. Iniciamos nuestra actividad organizando a los estudiantes en grupo de cuatro personas; seguidamente planteamos la siguiente pregunta: ¿Qué datos necesita para hallar la cantidad del cono pasados “x” segundos? Debemos aclarar que en la clase anterior los estudiantes venían trabajando con diferentes dimensiones del cono, en esta clase trabajamos con las dimensiones ya establecidas además los segundos pasados también fue diferente para cada uno de los grupos. P: Bueno ustedes ¿Qué datos necesitan para encontrar la cantidad de agua que queda en el cono? E: No no sabemos, creemos que necesitamos más datos. P:No la clase pasada encontramos el volumen del cono esta vez necesitamos encontrar el volumen del cono pero pasados unos segundos, que necesitamos saber para poder encontrar esto. E: Profe para encontrar el volumen del cono necesitábamos saber la altura del cono y el radio. P: Si exacto, ahora para encontrar cuánta agua hay en el cono pasados unos segundos que necesitamos saber. E: El volumen de agua que queda en el cono. P: Sí y para saber esto que datos necesitamos. E: Necesitamos la altura y el radio.

Como se evidencia con el planteamiento anterior el estudiante afirma que se necesita el radio y la altura, los cuales son fundamentales para encontrar la cantidad de agua en determinado momento, además esto es fundamental para seguir con la solución a nuestra situación fundamental. También se evidencia que la pregunta está bien sustentada hacia la noción que nosotros queremos que los estudiantes aprendan (razón tangente) pues esta será adecuada para continuar con la siguiente pregunta donde el estudiante evidenciará la necesidad de utilizar esta razón.

La pregunta ¿Cómo podemos averiguar el radio que forma el agua en el cono? Se busca generar en el estudiante la necesidad de encontrar una forma optima de encontrar dicho dato, además se tiene como expectativa que los estudiantes traten de usar directamente el teorema de Pitágoras, el cual será ineficiente en la situación que están.

La mayoría de los estudiantes dibuja el cono y las dimensiones que se saben acerca de este es decir altura y un ángulo estos son dadas por nosotros y es diferente a cada grupo de estudiantes.

Esta pregunta va enfocada a una situación didáctica pues fue construida intencionalmente con el fin de hacer adquirir a los estudiantes un saber que en este caso es el de la razón trigonométrica (tangente). Brousseau 1982. Cada grupo de estudiantes al tener el dibujo coloca las dimensiones y empieza a intentar buscar la dimensión del radio en la figura; pero llegan a un choque pues: P: ¿Como encontramos el radio de la figura cuando su altura es 8.5 cm y el ángulo que se forma en la parte de la punta del cono (ver figura 1) es de 24°? E: Podemos utilizar el teorema de Pitágoras. P: No se, intenten para ver si les funciona. Después de un tiempo de que los estudiantes intentan encontrar la solución mediante el teorema de Pitágoras realizan la siguiente pregunta; desde nuestra intención de la actividad es fundamental que los estudiantes realizarán esta pregunta y se dieran cuenta de la importancia de las razones trigonométrica y así mismo pudieran dar inferencias hacia porque nacieron estas razones trigonométricas. E: Profe como hacemos para encontrar la dimensión del radio, no podemos. P: ¿Por qué no pudieron encontrar la dimensión del radio? E: Porque no podemos utilizar el teorema de Pitágoras. P: ¿Y por qué no pudieron utilizar el teorema de Pitágoras? E: Porque solo tenemos un lado del triangulo y un ángulo; para poder utilizar el teorema de Pitágoras necesitamos por lo menos tener dos lados del triangulo. P: Si muy bien. Entonces que hacemos. El estudiante inicia a mirar en su cuaderno de apuntes en todo lo relacionado con la resolución de triángulos rectángulos.

En esta parte evidenciamos la importancia de plantear la situación fundamental de esta manera pues en esta se involucra el teorema de Pitágoras así como las razones trigonométricas (tangente) pues así los estudiantes podrán evidenciar las diferencias existentes de estas dos nociones, además ven la necesidad de utilizar las razones trigonométricas. Pues esta misma necesidad surgió en las primeras aplicaciones de la trigonometría pues estas se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa Esta es la misma necesidad que evidencian los estudiantes, es por esta razón que nosotros entregamos a los estudiantes una hoja con ejemplos de cómo utilizar las razones trigonométricas y para que nos sirven estas pues en esta ocasión los conocimientos previos no son suficientes para dar respuesta a la pregunta y no se avanza en la actividad y por ende en la solución a la situación fundamental. Cada estudiante debía leer la hoja y analizar cómo se desarrollan las razones trigonométricas en los ejemplos. E: Ahhhh ya profe debemos utilizar las razones trigonométricas. P: Si, pero ¿cual razón debemos utilizar? E: Ehhh. P: Primero identifiquen las partes del triangulo, es decir cual el cateto opuesto, el cateto adyacente y la hipotenusa. Los estudiantes identifican estas de manera rápida y sin complicaciones. P: Ahora qué razón trigonométrica debemos utilizar. P: ¿Cuales son las razones trigonométricas? E: Son el seno, el coseno, la tangente, cosecante, secante y cotangente. P: Si ¿cual utilizarían? En esta pregunta los estudiantes identifican que es la tangente. P: Porque la tangente y no el coseno. E: Porque queremos hallar el cateto adyacente y en el coseno no sabemos el valor de la hipotenusa en cambio en la tangente sabemos el valor del cateto opuesto, para poder despejar. P: Bien ahora resuelvan. Al realizar una lectura sobre la comprensión de la trigonometría en los estudiantes evidenciamos además de lo que nos propone Perkins (1999) tres acercamientos a la noción de comprensión que son planteados por Johnson (1989), Van Hiele (1957) y Gardner (1993). El primero define comprensión como el modo en que estamos significativamente en nuestro mundo, utilizando para ello nuestras interacciones corporales, instituciones y contextos culturales y tradiciones lingüísticas; esto se ha evidenciado en cada una de nuestras actividades pues los estudiantes están siempre en interacción con sus demás compañeros.

Ahora bien al realizar esta actividad realizaremos un análisis cognitivo de los estudiantes frente a esta noción (razones trigonométricas, tangente). Los niveles propuestos por nosotros para intentar realizar este análisis son:

• Nivel 0: establece una razón entre dos magnitudes, sin embargo estas no son adecuadas.

• Nivel 1: establece una razón entre dos magnitudes pero no tiene claro la parte instrumental.

• Nivel 2: establece una razón entre dos magnitudes, opera adecuadamente la parte instrumental generando un resultado coherente con la situación.

• Nivel 3: establece una razón entre dos magnitudes, opera adecuadamente la parte instrumental generando un resultado coherente con la situación que le permitan realizar un análisis entre resultados evidenciando los cambios de comportamiento que tiene la situación fundamental propuesta.

CLASIFICACIÓN

Nivel Porcentaje de estudiantes

Nivel 0 20%

Nivel 1 20%

Nivel 2 50%

Nivel 3 10%

Analizando estos datos observamos que los estudiantes que se encuentran en el nivel 0 comprende la razón existente entre dos lados de un triangulo sin embargo al intentar plasmar la razón trigonométrica no tienen claridad acerca de la definición de la tangente, pues como bien sabemos esta relación es entre el cateto opuesto y el adyacente, donde los estudiantes comprenden esta relación como cateto adyacente y opuesto, es decir, no tienen la conciencia del concepto de la tangente, a este grupo de estudiantes es necesario plantear estrategias que muestren los diferentes tipos de funciones y las diferencias entre estos en los casos en los que se utiliza, esto para que los estudiante logren comprender adecuadamente las razones trigonométricas.

Vemos que en el nivel 1 se ubican el 20% de los estudiantes los cuales cometieron errores instrumentales, es decir, encuentran la razón pero no saben usarla de una manera apropiada que le genere el resultado deseado, esto se puede entender como errores al momento de despejar una variable, puesto que los estudiantes no identifican el tipo de operación que están realizando los diferentes tipos de factores que se intervienen en la formula, ocasionándoles errores en su resultado.

Para los estudiantes que se encuentran en el nivel 2 los cuales establecen una razón entre dos magnitudes, opera adecuadamente la parte instrumental generando un resultado coherente con la situación; según los niveles de comprensión generales que propone Gardner los estudiantes están en la capacidad de seguir al siguiente nivel el cual es el epistémico donde deben dar una justificación y una explicación adecuada de lo realizado.

Finalmente para el nivel 3, donde el 10% ha llegado a una comprensión superior del tema trabajado, puesto que realizo de una manera adecuada lo que se pretendía, además realizo de una forma investigativa un estudio sobre el comportamiento en diferentes momentos de la situación, generando diversos tipos de datos que le permiten realizar comparaciones y generar hipótesis acerca de la situación.

Finalmente en esta sesión aprendimos que los docentes no solo son espectadores del aprendizaje ni tampoco transmisor de conocimiento sino por el contrario alentar el aprendizaje de los estudiantes en este caso en cuanto a las razones trigonométricas, además se podemos evidenciar como la adecuada planeación de una actividad es fundamental para la comprensión de una noción así mismo la importancia de diseñar adecuadamente los niveles nos llevan a realizar un mejor análisis de los ocurrido en clase como de la actuación de los estudiantes frente a un conocimiento.

5.7 ACTIVIDAD 7 (FASE DE VALIDACIÓN)

� JUSTIFICACIÓN

Continuando con el desarrollo de nuestra Situación fundamental y teniendo en cuenta el trabajo realizado con los estudiantes, para esta fase se hace necesario que los estudiantes estén en la capacidad de argumentar y sustentar el trabajo realizado para encontrar una posible solución a la situación (ver anexo 1). En el desarrollo se han trabajo bajo estrategias propias y algunas puestas en común, en este momento se debe tener mayor apropiación y argumentación sobre lo construido (posibles estrategias).

� DESCRIPCION DE LA ACTIVIDAD

FASE 1: en esta fase los estudiantes expondrán el trabajo realizado en los grupos poniéndolo a consideración de sus compañeros, amentando del por qué la utilización de algunos procedimientos matemáticos y para que les fueron útiles en la búsqueda de una posible solución a la situación.

FASE 2: después de la exposición de los grupos se podrá realizar rondas de preguntas dirigidas a los grupos expositores referentes al trabajo de cada uno, en esta se podrá tener intervención tanto de los docentes como de los estudiantes con el ánimo de llevar a los estudiantes a que presente argumentos desde lo que conocen y su trabajo, por lo cual se tendrán en cuenta las siguientes preguntas orientadores de la actividad:

� OBJETIVO GENERAL

Realizar una socialización sobre el trabajo realizado y argumentar los procedimientos utilizados en cada grupo de trabajo.

� OBJETIVO GENERAL

• Fomentar una socialización en la cual se puedan evidenciar el tipo de argumentos utilizado por los estudiantes para justificar los procedimientos realizados.

• Guiar las discusiones o intervenciones de manera que se pueda develar el conocimiento adquirido por el estudiante.

• Sustentar el trabajo realizado individual o por grupos mostrando los hallazgos encontrados y su importancia en la solución o posible uso en la situación.

• Validar teniendo en cuenta lo construido o trabajo en clase, los argumentos dados por los estudiantes discusiones propuestas en la sesión.

� METODOLOGÍA

ORGANIZACIÓN DEL GRUPO ROLES Fase 1: cada grupo expondrá el trabajo realizado en el transcurso de las sesiones de clase, argumentado el proceso realizado. De ser necesario se tendrá espacio para preguntas que puedan contribuir al desarrollo de la actividad.

60 minutos

Fase 2: socialización sobre lo desarrollo en la actividad, exposición de dudas, sugerencias a los grupos y comentarios.

15 minutos

Estudiante Exponer el trabajo realizado con la situación problema mediante el análisis, animación y reflexión de esta. .

Profesor Organizador de la metodología usada. Observador de los análisis que hacen los estudiantes respecto del problema. Interrogador en los grupos de trabajo respecto de los aspectos que influyen en el problema.

� NIVELES

Nivel 0: El estudiante construye una solución a la situación, identifica y relaciona los elementos del triangulo rectángulo pero no establece las relaciones trigonométricas adecuadamente. Nivel 1: El estudiante construye una solución a la situación planteada, identifica y relaciona los elementos de un triangulo rectángulo, establece las relaciones trigonométricas pero se le dificulta reconocer donde debe utilizar estas. Nivel 2: El estudiante argumenta de manera clara la construcción de la solución a la situación planteada, identifica y relaciona los elementos de un triangulo rectángulo, establece las relaciones trigonométricas y las utiliza adecuadamente, reconociendo y comprendiendo todos los teoremas que se utilizaron en el proceso.

� HIPÓTESIS DE APRENDIZAJE

• Los estudiantes argumenta y sustenta aspectos que influyen en el problema planteado como:

o el uso de razón y proporción para hallar el agua dentro del cono mientras el agua se riega

o forma de expresar que el agua se va regando o Las relaciones entre el volumen del cono y los datos que habíamos

entregado antes como las alturas y el radio. o El volumen del cono

5.7.1 PROTOCOLO ACTIVIDAD 7 (10-1)

Esta actividad se realizo con el fin de consolidar la argumentación de los estudiantes ante las situaciones en las que se tuvieran que enfrentar, por lo cual, en un inicio se había planteado se realizara una socialización del trabajo realizado por los diferentes grupos observando los procesos realizados por cada uno y teniendo en cuenta los argumentos dados que les permitieran sustentar el proceso en el desarrollo de la situación. Sin embargo, habíamos notado que se estaba dando un manejo instrumental a las nociones que se estaban trabajando (razones trigonométricas y teorema de Pitágoras) de ahí la razón de la necesidad de evidenciar que lo que nosotras creímos fuera o no cierto dado origen a la forma de planear la actividad.

Sin embargo, esta no fue adecuada porque mientras un grupo estaba exponiendo algunos se encontraban realizando otras actividades, además se presento que los estudiantes estaban realizando un proyecto de educación física y docente titular había dado permiso a algunos que salieran y lo realizaran, pero después de un tiempo la mayoría del grupo quería ir a la realización del proyecto, por lo cual se tuvo que hablar con la docente titular y los estudiantes para aclarar quienes tenían o no permiso para realizar el proyecto, los demás debían de prestar atención a las exposiciones pero esto no fue posible por lo cual se decidió implementar una variable sobre la actividad en la cual todos los estudiantes debían sacar una hoja sobre la cual debían realizar algunos triángulos que enunciaremos más adelante, establecer la forma de nombrar cada lado, las posibles relaciones que se podían obtener entre sus lados y la forma de poder hallar cada uno de sus lados.

En el desarrollo de esta clase como ya lo habíamos mencionado antes no fue el de una socialización, ya que los estudiantes no escucharon a sus compañeros exponer, quisimos que ellos a través de unos triángulos llegaran a establecer las razones entre los lados de los triángulos respecto a los ángulos, es por ello que pusimos unos triángulos repitiendo un ejercicio que había hecho la profesora Marcela con nosotras, teniendo más clara la ruta de aprendizaje.

Aunque esta era una clase de validación y se supone que los estudiantes debieron establecer estas relaciones en clases anteriores, nos pareció que esto también puede ser considerado como una clase de validación pues los estudiantes tenían los algoritmos claros y lo que queríamos nosotras era que pudieran a partir de sus conocimientos llegar a la construcción de estos algoritmos, sustentándolo desde la semejanza de los triángulos tema que habíamos trabajado en algunas de las clases anteriores, el cual había llegado solo al uso del algoritmo mas no de la utilización de los conceptos para llegar a una construcción, además de esto está el uso las razones trigonométricas solo para aplicarlas a un ejercicio y no a una situación en donde se requería su construcción y su uso, la aplicación de estas razones trigonométricas en problemas aislados fue una intervención

que consideramos indebida para un desarrollo de una situación fundamental, no porque la hayamos usado si no porque su uso fue en un momento indebido pues influyo mucho en la forma de actuar de los estudiantes, pues ellos solo aplicaban la formula que les era dada mas no analizaban los diferentes elementos presentados dentro de la situación problema, esta fue una falla en cuanto al diseño local, pues dentro del diseño global no se presentaban este tipo de problemas ni de situaciones, cosas que vamos a ir analizando desde los problemas expuestos en esta clase, es por ello que presentamos el siguiente ejercicio:

1. si al disminuir el agua en el cono se forman los siguientes triángulos ¿Qué pasa con los lados?

Después de hacer esta pregunta y ver que la mayoría de los estudiantes decía:

Entonces planteamos otra pregunta, que pasa si yo hago este dibujo

E: no se puede por que los triángulos son iguales P: ¿estos triángulos son iguales? E: si pero están en posición diferente P: entonces ¿cómo relacionan los lados? E: igual P: entonces escríbeme como se relacionan E: pues que el cateto opuesto aumenta 3 cm y el cateto adyacente aumentan 2 cm P: ¿cateto opuesto con respecto a qué?

E: ¿Como así? P: ¿ese cateto es opuesto a qué? E. a la hipotenusa P: muéstrame cual es el cateto opuesto a la hipotenusa E: este (señalando uno de los catetos) P: y este (señalando el otro cateto) E. ese también P: ¿entonces cual es cateto adyacente? E: mmm, ¿este? (señalando el segundo cateto) P: ¿ese no era opuesto? E: es que no se cual es opuesto y cual adyacente P. ¿qué es un cateto opuesto? E: es el que está al otro lado P. ¿al otro lado de qué? E. pues de esta parte del triangulo (señalando el ángulo) P: y ¿Cómo se llama esa parte? E: ángulo P: entonces ¿es el opuesto a qué? E: al ángulo P: el cateto adyacente cual es E: el que está cerca al ángulo P: ahora si yo quisiera hacer el triangulo numero 40 ¿cómo haría? E: pues 3 x 40 en el cateto adyacente y 2x 40 en el cateto opuesto P: ¿Por qué multiplicas por 40? E: es que los dos van aumentando, de a dos y de a tres y en el primero aumentan solo una vez, en el segundo dos y así. En esta conversación se logro llegar a la razón entre los lados del triangulo, desde conocimientos básicos de los estudiantes y las justificaciones que daban a su razonamiento frente a la situación, haciendo este momento una pequeña validación de su razonamiento. Esto hace referencia hacia la ruta de aprendizaje que estábamos manejando durante el desarrollo de nuestra situación fundamental, pues esta ruta de aprendizaje era coherente frente a lo que queríamos realizar pues se podía partir de conocimientos previos de los estudiantes, y plantear diferentes preguntas para que los estudiantes pudieran construir su propio conocimiento, pues partamos de semejanza que es lo que se ve cuando nosotros pedimos a los estudiantes que comparen los triángulos, luego de esto al hallar las proporciones entre los lados del triangulo habríamos llegado a la construcción de las razones trigonométricas y luego a la necesidad de utilizar el teorema de Pitágoras, al poner esto en práctica el resultado fue que la mayoría de los estudiantes llegaron a la construcción de una razón trigonométrica, evidenciando que esta ruta propuesta si era el camino para llegar a el conocimiento que queríamos.

Esto hace que nos cuestionemos el ¿Por qué si la ruta de aprendizaje era buena los estudiantes no llegaron a la construcción de este conocimiento? La respuesta a esta pregunta es la implementación de las actividades, pues nosotras a pesar que planeábamos una clase aplicábamos una diferente y no por qué no supiéramos lo que

debíamos hacer no porque no teníamos clara la implementación de devoluciones, además que veíamos la semejanza de triángulos completamente separada de las razones trigonométricas y esto nos dejaba sin una cantidad de opciones, es por eso que nosotras hicimos esta clase para que los estudiantes al justificar su análisis de la situación se viera forzado a utilizar sus conocimientos previos.

Esta clase ayudo a que los estudiantes entendieran un poco y construyeran a partir de sus conocimientos previos algunas de las razones trigonométricas, y se hiciera un pequeño recorrido por la ruta de aprendizaje de esta forma, pues la forma que nosotros habíamos desarrollado en el diseño local no logro una construcción del conocimiento.

Aunque pasamos por los grupos de trabajo no todos los estudiantes alcanzaron el mismo nivel, pues muchos de ellos se quedaron en la relación entre los lados del triangulo y algunos confundieron las funciones trigonométricas, esto se verá en los siguientes niveles.

Nivel 0

Los estudiantes establecen relaciones en cuanto al tamaño de los lados del triangulo.

En este nivel los estudiantes solo enuncian las relaciones en cuanto al tamaño de los lados del triangulo, diciendo que el cateto opuesto de los triángulos va aumentando de a 3 y el opuesto de a 2, este fue en el nivel que algunos se quedaron ya que no hicieron preguntas con respecto al ejercicio.

Nivel 1

Los estudiantes establecen relaciones en cuanto al tamaño de los lados del triangulo y a partir de esto establece razones y utiliza una función trigonométrica con la cual se identifique.

En este nivel los estudiantes además de identificar las relaciones en cuanto al tamaño de los lados del triangulo establecen razones e identifican una función trigonométrica con la cual se relacionen, pero esta no puede ser adecuada y solo la hacen relacionando dos lados del triangulo, en este nivel se quedaron algunos por falta de tiempo.

Nivel 2

Los estudiantes establecen relaciones en cuanto al tamaño de los lados del triangulo y a partir de esto establece razones y utiliza una función trigonométrica con la cual se identifique, sin presentar errores al asignar la función.

En este nivel llegaron muy pocos pues ellos tenían conocimientos claros de esto anteriormente ya que la profesora titular había pasado por este tema, mas no lo hicieron solo aplicando algoritmos si no que identificaron las funciones después de establecer las razones.

Para la próxima clase vamos a retomar las estrategias utilizadas por cada uno de los estudiantes organizándolos por los niveles y comenzando desde el cero, para así relacionar estas estrategias con la solución al problema que vamos

5.7.2 PROTOCOLO ACTIVIDAD 7 (10-2)

Esta actividad se realizó con el fin de continuar el desarrollo de nuestra situación fundamental; teniendo en cuenta el trabajo realizado con los estudiantes, para esta fase (fase de validación), se busca que el estudiante este en la capacidad de argumentar y sustentar el trabajo realizado para encontrar una posible solución a la situación. (Es adecuado mencionar que la noción que se trabajo en esta actividad explícitamente es concierne a todo lo que repercute a la solución del problema es decir: semejanza y proporcionalidad, relaciones entre lados del triangulo, teorema de Pitágoras, razones trigonométricas (tangente)). Nuestra ruta de aprendizaje por cuestiones de tiempo no se logro terminar pues en la solución al problema por parte de los estudiantes se llego a las razones trigonométricas (tangente) noción que era imprescindible para dar una solución adecuada a nuestra situación, pero no se logro llegar a la noción o implementación de teoremas como el del seno y el coseno, que era el objetivo final de la situación. En cuanto al análisis del diseño de la actividad, como se evidenciará en el contenido de este escrito la actividad no fue adecuada para que los estudiantes argumentarán y sustentarán el trabajo realizado sobre la construcción a la solución del problema; no fue adecuada en el sentido en que variables como el orden y el silencio frente a estas argumentaciones, teniendo como organización del aula exposiciones no fueron las más apropiadas por parte de los estudiantes, es importante mencionar que la gestión del docente en este tipo de actividades debe ser un factor predominante frente a los estudiantes y generar conciencia en ellos frente a que lo que expone el compañero es más importante que lo que expone el docente porque es allí donde se evidencia las diversas estrategias que utilizaron los demás compañeros quienes han tenido el mismo proceso de construcción de conocimiento. Frente a lo sucedido en el aula como docentes practicantes debemos tener en cuenta que en ocasiones este tipo de organización (exposiciones) en el aula para esta fase (de validación) no son las más adecuadas y por ende debemos estar en la capacidad de encontrar una diferente organización o socialización de lo trabajado; luego de esto y con la tutoría de la docente creemos que lo más conveniente para este tipo de fases es una organización grupal de los diferentes grupos que se formaron en el aula durante la resolución a la situación, es decir que cada grupo este conformado por integrantes de los diferentes grupos que se habían conformado en el aula. Ahora bien, la actividad se inicio con la organización de los diferente grupos en esta fase los estudiantes expondrán el trabajo realizado en los grupos poniéndolo a consideración de sus compañeros, argumentando del por qué la utilización de algunos procedimientos matemáticos y para que les fueron útiles en la búsqueda de la solución a la situación.

Como lo mencionamos anteriormente el tipo de organización no fue el adecuado, sin embargo dos grupos expusieron la argumentación y la sustentación de lo realizado para dar solución a la situación planteada; el primer grupo inicio su exposición colocando el dibujo del cono y en él las dimensiones con las cuales trabajaron: 4 m 9 m 10 m Inicialmente el grupo plantea que se debe encontrar el volumen del cono, ellos exponen que solo tenían las dimensiones del lado del cono y su diámetro, pero es allí donde encuentran el primer problema para encontrar el volumen del cono pues era necesario encontrar la altura del cono y el radio según la fórmula que cada uno de los estudiantes había averiguado ( , el análisis que realizamos de esta estrategia que tomaron los estudiantes es que ellos al realizar la lectura del problema y la pregunta que allí se realiza: ¿Con que cantidad de agua llegará el tanque al lugar del incendio si del parque Simón Bolívar al sitio del incendio hay 2 minutos 14 segundos en helicóptero? Es que ellos tienen la conciencia de que el cono tiene una capacidad de una cantidad determinada de agua y que al encontrar esta capacidad tienen la posibilidad de encontrar nuevas estrategias de cómo saber cuál será el volumen final con el que llegará el cono; seguido de esto realizamos la siguiente pregunta: P: ¿Como hicieron para encontrar la altura del cono? E: espere terminamos de colocar en el tablero y ya les explicamos. Después de un momento los estudiantes responden que para encontrar la altura del cono utilizaron el teorema de Pitágoras, (muestran en el tablero como fue su solución). P: ¿Por qué no utilizaron una razón trigonométrica? E: Porque teníamos dos lados: el radio y una dimensión del lado del cono. P: Muy bien, sigan. Aquí analizamos que los estudiantes ya tienen la conciencia de que teniendo dos lados del triángulo se puede utilizar sin ninguna complicación el teorema de Pitágoras; además observamos que los estudiantes tienen una adecuada comprensión de la parte instrumental como de lo analítico del teorema de Pitágoras, es decir ellos saben donde aplicar el teorema y además resolver su parte instrumental (despejar).

E: Bueno como veníamos explicando utilizamos el teorema de Pitágoras para encontrar la altura del cono pues teníamos la hipotenusa y un cateto. Después de esto reemplazamos en la fórmula del volumen para saber cuál era el volumen del cono total; ósea sin que se haya salido el agua. E: Bueno el problema decía 2 minutos y 14 segundos con cuánta agua llegaría entonces, lo que hacemos es…….. a cierto como el agua está disminuyendo entonces el radio también disminuye y la altura también……….todo disminuye …. Nosotros hicimos, ustedes nos preguntaron que si por cada minuto el agua bajaba 0.5 m/s, entonces nosotros calculamos eso en 1m, 2 m, 3 m, entonces ese valor es la nueva altura del agua en el cono si… después de eso vemos que tenemos un lado que es la altura, tenemos un ángulo que ya nos habían dado y no tenemos nada más. E: Porque el radio disminuye y también el lado del cono porque el agua se sale. P: Entonces como hacen para encontrar ese nuevo radio. E: Nosotros utilizamos la tangente. P: ¿Por qué utilizaron la tangente y no el coseno? E: Porque queremos hallar el cateto adyacente y en el coseno no sabemos el valor de la hipotenusa en cambio en la tangente sabemos el valor del cateto opuesto, para poder despejar. Analizamos que el estudiante evidencia que solo tiene un ángulo y un lado del cono (triángulo que se forma) y por esto se dan cuenta que el teorema de Pitágoras es insuficiente para encontrar el radio; ellos ubicaron que era la tangente porque en las actividades anteriores los estudiantes estudiaron una hoja con ejemplos donde se utilizaban las razones trigonométricas y allí sustentaron la utilización de la tangente; es preciso mencionar que los conocimientos de los estudiantes eran insuficientes para abordara la situación fundamental pues no reconocían las razones trigonométricas hasta que la analizaron en los ejemplos dados. Analizamos que los estudiantes establecen una razón entre dos magnitudes, opera adecuadamente la parte instrumental generando un resultado coherente con la situación. Los estudiantes como se evidencia en los párrafos anteriores inician tratando de buscar el volumen del cono en los diferentes momentos utilizando el teorema de Pitágoras previamente para encontrar la altura inicial del cono, después las razones trigonométricas (tangente) para encontrar el radio el cual va disminuyendo pero explícitamente los estudiantes no tienen en cuenta o no exponen que los triángulos que se forman cada vez que el agua desciende son semejantes o guardan una razón con el triángulo que se forma cuando el agua no ha descendido. Desde lo trabajado en las anteriores clases podemos decir que los estudiantes comprendieron esto (semejanza y proporcionalidad) pero no de una manera adecuada pues nosotros no realizamos una devolución apropiada cuando estábamos trabajando esta noción (semejanza y proporcionalidad), pero estamos conscientes de que los estudiantes deben comprender esta noción pues de lo contrario implica que los estudiantes no hubiesen podido continuar con el análisis de nuestra situación fundamental, pues nuestra ruta de aprendizaje inicia con la semejanza y proporcionalidad

de triángulos, desde nuestro análisis si los estudiantes no logran comprender la proporcionalidad y la semejanza que se evidencia en los triángulos no podrán encontrar las razones trigonométricas existentes en estos. Los estudiantes continúan con su exposición: listo con la tangente podemos encontrar le radio y ahora reemplazamos en la fórmula del volumen; y así hacemos con las diferentes alturas. Los estudiantes colocan un cuadro donde ubican el tiempo, la altura, el radio y el volumen que se encuentra con los diferentes radios y alturas despejando en la fórmula del volumen del cono. Analizamos que los estudiantes han llegado a una comprensión superior del tema trabajado, puesto que realizaron de una manera adecuada lo que se pretendía, además los estudiantes realizaron la solución al problema de una forma investigativa generando un estudio sobre el comportamiento en diferentes momentos de la situación, generando diversos tipos de datos que le permiten realizar comparaciones y generar hipótesis acerca de la situación. Ahora bien luego de que el grupo de estudiantes expuso el trabajo realizado durante las clases le correspondió al siguiente grupo exponer, implícitamente los dos grupos tenían casi el mismo argumento y sustentación del trabajo realizado pues en el desarrollo se han trabajo bajo estrategias propias y algunas puestas en común, en este momento la mayoría de los estudiantes tiene mayor apropiación y argumentación sobre lo construido (estrategias). Luego un tercer grupo debía exponer pero dado que los estudiantes estaban en desorden y ponían poca atención se vio en la necesidad de realizar un Quizz para terminar la clase y así generar un poco de organización; aspecto que molesto a algunos estudiantes generándose en el salón un conflicto entre el rol docente y rol estudiante; pero dado esto comprendimos que en ocasiones las metodología utilizada no es la más adecuada donde es necesario tener en cuenta el grupo de estudiantes en sus diferentes aspectos, es decir como es la mejor manera de estructurar la metodología teniendo en cuenta los diversos factores que influyen en el grupo. Como práctica docente analizamos cual importante es generar en el grupo el entendimiento de los roles que se da en un aula, es decir nosotros como docentes analizamos la importancia de formar en nosotros un rol de docente y así mismo una adecuada gestión docente en el aula por diversos aspectos o variables que surgen en el manejo de un grupo. Por lo expuesto anteriormente no se pudo realizar la segunda fase de la actividad en la cual cada grupo de estudiantes podía realizar preguntas, socializar sobre lo desarrollo en la actividad, exposición de dudas, sugerencias a los grupos y comentarios.

Esta segunda fase constituía 15 minutos de la clase donde como lo mencionamos anteriormente se planteo un Quizz sobre lo trabajado en las clases anteriores; este Quizz nos dio muestras de que la mayoría de los estudiantes reconoce el teorema de Pitágoras,

reconoce donde se debe aplicar y así mismo su parte instrumental, aunque algunos estudiantes no se encuentran en este nivel si tienen un mejor manejo de esta noción, en cuanto a las razones trigonométricas en algunos estudiantes todavía existe la dificultad de resolver la parte instrumental de la razón que se utiliza.

El objetivo general de esta actividad se cumplió no tan satisfactoriamente como lo habíamos diseñado sin embargo se realizó una socialización sobre el trabajo realizado y se argumentaron los procedimientos utilizados en algunos grupos de trabajo.

La finalidad de esta fase (fase de validación) es: Construye una solución adecuada del problema; relaciona las estrategias con los conceptos implícitos en la situación fundamental. Desde el análisis de los dos grupos que expusieron su trabajo podemos decir que casi todos los grupos llegaron a esta finalidad y no solo desde lo expuesto ya que nuestro seguimiento en las diferentes clases nos hace exponer que la mayoría de los estudiantes si alcanzaron esta finalidad. Los niveles propuestos para esta actividad son los siguientes: Nivel 0: El estudiante construye una solución a la situación, identifica y relaciona los elementos del triangulo rectángulo pero no establece las relaciones trigonométricas adecuadamente. Nivel 1: El estudiante construye una solución a la situación planteada, identifica y relaciona los elementos de un triangulo rectángulo, establece las relaciones trigonométricas pero se le dificulta reconocer donde debe utilizar estas. Nivel 2: El estudiante argumenta de manera clara la construcción de la solución a la situación planteada, identifica y relaciona los elementos de un triangulo rectángulo, establece las relaciones trigonométricas y las utiliza adecuadamente, reconociendo y comprendiendo todos los teoremas que se utilizaron en el proceso. Con el análisis a los dos grupos que expusieron su argumentación del trabajo realizado estos estudiantes se encuentran en el nivel 2 pues argumenta de manera clara la construcción de la solución a la situación planteada, identifica y relaciona los elementos de un triangulo rectángulo, establece las relaciones trigonométricas y las utiliza adecuadamente, reconociendo y comprendiendo todos los teoremas que se utilizaron en el proceso.

5.8 ACTIVIDAD 8 (FASE DE INSTITUCIONALIZACIÓN)

� JUSTIFICACIÓN

Finalizando con el desarrollo de nuestra Situación fundamental y analizando los trabajos realizados por los estudiantes se busca relacionarlos con los conceptos implícitos y explícitos que se dieron en el aula, para esta fase se hace necesario que los estudiantes evidencien el proceso que se genero desde las estrategias grupales en la resolución de la situación didáctica, con los conceptos que se trabajaron y que serán expuestos en el aula por los maestros practicantes.

� DESCRIPCION DE LA ACTIVIDAD

FASE 1: en esta fase se recordara la situación problema (ver anexo 1) y se hará una representación grafica en la que los estudiantes logren evidenciar los momentos más relevantes y que fueron estudio en el aula, iniciando por la llenada del tanque en la laguna del parque de Simón Bolívar, tomando datos aleatorios de las dimensiones del tanque (cono), seguido por la observación del primer defecto que se tenía en el tanque (orificio en la punta del cono), el cual generaba que la cantidad de agua que se encuentra en el cono cambiara (no se resaltara el momento en el que la cuerda que sostiene el cono se rompe, dado que el trabajo que se realizó con los estudiantes no llego hasta este punto), además se nombrara un tiempo de vuelo con el fin de encontrar la cantidad de agua que llegara al sitio en incendio.

FASE 2: se pegarán en el tablero una serie de carteleras las cuales contendrán las diferentes estrategias que los estudiantes realizaron para resolver la situación problema, se comenzará a analizar cada una de estas comenzando por los primeros pasos que se dieron, como lo era la obtención de datos en el cono, nombrando directamente la relación matemática que se dio para este momento, la cual fue el teorema de Pitágoras, realizando una explicación breve acerca de la utilidad y pertinencia de esta relación con la necesidad que surgió al inicio de la situación.

Luego se pasara a tomar una estrategia en la cual surgió la necesidad de hallar las longitudes de los lados que formaba el agua en el cono en determinados momentos, realizando una relación entre los datos que se tenían en un principio al estar el cono lleno de agua y los datos que se dan al bajar el nivel del agua, nombrando así datos de longitudes y ángulos, resaltando la permanencia de los ángulos por estar analizando el mismo cono siempre. Se nombrara la razón trigonométrica usada por todos los grupos (la tangente) y se resaltara el porqué de la utilización de esta y no de las otras, para esto se nombrarán las razones de seno y coseno, y los lados dentro del triangulo rectángulo que se usan para cada uno, esto ser vira para evidenciar la pertenecía de la razón que se uso para resolver el problema que se tenía para hallar el volumen del cono en determinado momento, los datos que se generen a partir de estas operaciones se anotaran en una

tabla en la cual se pueden ubicar de manera ordenada todos ellos y más aun que se puedan interpretar.

Generados los datos necesarios para hallar el volumen en determinado momento se resolverá la pregunta principal de la situación, la cual era ¿con que cantidad de agua llegará el tanque al sitio en incendio? Para esto se utilizaran los datos de la tabla y se complementaran con otros generándolos de la misma manera, utilizando la velocidad con la que sale el agua en el cono y la razón trigonométrica que nos permita conocer el radio. Para de esta manera buscar en el determinado momento en que llegue el helicóptero al sitio en incendio conocer exactamente la cantidad de agua dado que la haya.

� OBJETIVO GENERAL

Relacionar el trabajo hecho por los estudiantes con los conceptos tratados en las estrategias utilizadas por ellos en la resolución del problema.

� OBJETIVOS ESPECIFICOS

• Resaltar de una manera visual el trabajo hecho por los estudiantes en la situación problema.

• Sustentar el trabajo realizado individual o por grupos mostrando los hallazgos encontrados y su importancia en la solución, a partir de los conceptos que fueron evidentes en el aula.

• Validar teniendo en cuenta lo construido o trabajo en clase, los argumentos dados por los estudiantes con la puesta en escena de las relaciones matemáticas que se dieron en el proceso de resolución de la situación.

� METODOLOGÍA

ORGANIZACIÓN DEL GRUPO ROLES

Fase 1: se realizará una representación visual la cual permita evidenciar los momentos relevantes de la situación planteada.

15 minutos

Fase 2: relacionar las estrategias usadas por los estudiantes con los conceptos que fueron evidentes en esta.

60 minutos

Estudiante Observar la exposición del maestro.

Profesor Organizador de la metodología usada. Expositor de las estrategias evidenciadas en la resolución de los problemas en clases anteriores. Expositor de los conceptos tratados en clase.

� NIVELES

• Nivel 0: presenta dificultades para comprender los conceptos presentados, ya que no presenta el uso de estos en el desarrollo del trabajo realizado.

• Nivel 1: Demuestra la comprensión de los conceptos involucrados en la situación, ya que realiza actividades de justificación, ejemplificación y exposición de conceptos relacionados con las razones trigonométricas. Pero al establecer las conclusiones presenta confusiones.

• Nivel 2: Evidencia en su proceso realizado el uso de conceptos relacionados con las razones trigonométricas y establece conclusiones claras.

5.8.1 PROTOCOLO ACTIVIDAD 8 (10-1)

Ya que esta fue la última clase y según las fases de Brousseau esta clase era una institucionalización, en donde nosotros recolectábamos todos los aportes de los estudiantes y sus estrategias para solucionar la situación problema y desde nuestro conocimiento de la situación dábamos solución a esta, con la ayuda de las estrategias de los estudiantes, lo que nosotras como profesoras hicimos fue:

1. Recordar lo que se hizo en las primeras sesiones de clase en donde se habían trabajado semejanza y congruencia de triángulos, para relacionar estas estrategias con lo que nosotras íbamos a dar como respuesta.

2. recordar la anterior sesión de clase en donde implementamos otro tipo de estrategia, pues esta era una mas construida y no se trataba de solo aplicar formulas, pues en todo lo que habíamos trabajado no se había hecho una construcción de las razones trigonométricas.

Desde lo que habíamos realizado al principio de la secuencia de actividades se podía llegar a construir la noción de razones trigonométricas pues en el marco teórico que nosotros plantemos desde un principio podemos encontrar que la semejanza era un camino hacia las razones trigonométricas, por la relación que esta sugiere entre los lados de los triángulos, y es más la situación que planteamos era adecuada para seguir este procedimiento, esto lo sugiere Boyer en la historia de las matemáticas cuando en el capitulo diez habla de Menelao de Alejandría y de los lemas que los lemas para demostrar teoremas sobre transversales lo hace de esta manera “el lector fácilmente puede probar estos lemas fácilmente trazando los radios, las perpendiculares y utilizando semejanza” , es por eso que al hacer el repaso nos dimos cuenta que las proporciones que estábamos manejando sin construir eran las mismas razones que necesitábamos construir. Y que no tuvimos en cuanta al hacer cada una de las actividades.

Pero como esto se fue dando desde un principio de clases los estudiantes ya no estaban interesados por la situación y mucho menos por la solución de la situación, pues ellos habían trabajado muchas veces el mismo tema y esto se vuelve agotador, esto ocurre porque estamos utilizando demasiadas veces la implementación de una actividad (abuso de analogías) pues el tema se estaba volviendo muy repetitivo.

Es por este motivo que los estudiantes no prestaron casi atención a lo que los profesores estaban explicando en el tablero y se dispersaron en diferentes cosas, de modo que los estudiantes además de estar cansados del mismo tema también están distraídos, además este tipo de actividades como lo es la socialización de un tema, es casi imposible de realizar dado a que es muy grande el espacio en el que se encuentran, esta hora él a la hora de descanso de los niños de primaria y además se dispersan muy fácil, luego las socializaciones no son convenientes para este tipo de estudiantes, pues entre ellos mismos tampoco se respetan el turno.

Nosotras como profesoras tratamos de llegar a un acuerdo nuevo pero los estudiantes no dejaron hacer este acuerdo y no respetaban a sus compañeros, así que decidimos hacer un alto y esclarecer algunos de los acuerdos que habíamos adquirido en clases anteriores y de este modo los estudiantes fueron prestando más atención a lo que estábamos explicando.

Después de plantear las primeras actividades que ellos habían desarrollado tiempo atrás y haber comentado él como ellos aplicaban lo que veían con la profesora titular lo que estábamos haciendo con el cono sin una comprensión de lo que estaban haciendo pues ellos solo aplicaban en este espacio lo que veían con la profesora titular y no trataban de buscar otras formas de solucionarlo llegando según Perkins (1997) a el nivel de contenido, en donde solo conoce y practica lo referente a los datos y los procedimientos de rutina, ósea aquellos que se hacen e cualquier clase tradicional , esto fue culpa de nosotras también pues al implementar las actividades nosotros no sabíamos cómo manejar las devoluciones y darles a ellos la responsabilidad de su aprendizaje si no que

al ver que ellos no llegaban al conocimiento con nuestras preguntas terminamos por decirles a ellos las respuestas y haciendo que ellos solo aplicaran las formulas que la profesora titular ya les había dado, cayendo según Brousseau (1999) en dos efectos el de algoritmizaciòn y el efecto topaze, esto lo cometimos y tratamos de corregir la situación planteando una clase en la que empezamos desde la semejanza de triángulos llegar a razones trigonométricas, es por ello que nuestro momento de institucionalización consta de dos partes, pues a partir de lo que los estudiantes podían ver de la aplicación de formulas se podían explicar el cómo se habían construido y el por qué se utilizaba.

El relacionar lo que estábamos haciendo en un principio fue muy bueno pues llegamos a similitudes a través de la construcción del conocimiento y no del uso de los algoritmos, pues realizamos el ejercicio planteado la clase anterior con todos los estudiantes de tal manera que los grupos por los que no alcanzamos a pasar pudieran desarrollar esta construcción de conocimiento aunque solo fuera de una razón, pero no todos los estudiantes prestaron atención a la clase por más que tratamos de negociar con ellos.

Esta socialización ayudo a que los estudiantes entendieran un poco y construyeran a partir de sus conocimientos previos algunas de las razones trigonométricas, y se hiciera un pequeño recorrido por la ruta de aprendizaje de esta forma, pues la forma que nosotros habíamos desarrollado en el diseño local no logro una construcción del conocimiento.

Los niveles que planteamos en esta actividad se refieren a los estudiantes que participaron de la actividad que realizamos pues ellos lograron establecer alguna construcción de conocimiento frente al ejercicio planteado, estos niveles son:

Nivel 0

Los estudiantes establecen relaciones en cuanto al tamaño de los lados del triangulo.

En este nivel los estudiantes solo enuncian las relaciones en cuanto al tamaño de los lados del triangulo, diciendo que el cateto opuesto de los triángulos va aumentando de a 3 y el opuesto de a 2, este fue en el nivel que algunos se quedaron ya que no hicieron preguntas con respecto al ejercicio.

Estos son procesos en los que los estudiantes se encuentran según Perkins (1997) en un nivel de contenido donde los estudiantes solo desarrollos e identifican procedimientos de rutina mas no interactúan ni relacionan los conocimientos, esto se da por qué no ha habido un conocimiento significativo, ósea una construcción propia del estudiantes, ni una responsabilidad por el conocimiento que se está adquiriendo.

Nivel 1

Los estudiantes establecen relaciones en cuanto al tamaño de los lados del triangulo y a partir de esto establece razones y utiliza una función trigonométrica con la cual se identifique.

En este nivel los estudiantes además de identificar las relaciones en cuanto al tamaño de los lados del triangulo establecen razones e identifican una función trigonométrica con la cual se relacionen, pero esta no puede ser adecuada y solo la hacen relacionando dos lados del triangulo, en este nivel se quedaron algunos por falta de tiempo.

Estos procesos están en el nivel de resolución de problemas en donde el estudiante relaciona los conocimientos haciendo una construcción de las razones desde sus conocimientos, sin hacer un proceso mecánico o una aplicación de algoritmos, esto lo pone a justificar sus procesos ya que esta construcción fue dada respecto a preguntas que nosotras le hacíamos los estudiantes, pero sin embargo debe explicar a sus compañeros este procedimiento, pues era una construcción que estábamos realizando entre todos, sin embargo no encuentra una relación entre las funciones que se deben utilizar para cada razón entre los lados del triangulo, es por esto que ellos se encuentran en el nivel epistemológico.

Nivel 2

Los estudiantes establecen relaciones en cuanto al tamaño de los lados del triangulo y a partir de esto establece razones y utiliza una función trigonométrica con la cual se identifique, sin presentar errores al asignar la función.

En este nivel llegaron muy pocos pues ellos tenían conocimientos claros de esto anteriormente ya que la profesora titular había pasado por este tema, mas no lo hicieron solo aplicando algoritmos si no que identificaron las funciones después de establecer las razones.

Estos procesos están en el nivel de resolución de problemas en donde el estudiante relaciona los conocimientos haciendo una construcción de las razones desde sus conocimientos, sin hacer un proceso mecánico o una aplicación de algoritmos, esto lo pone a justificar sus procesos ya que esta construcción fue dada respecto a preguntas que nosotras le hacíamos los estudiantes, pero sin embargo debe explicar a sus compañeros este procedimiento, pues era una construcción que estábamos realizando entre todos, y saben aplicarlo de forma adecuada dando a entender una claridad sobre esto, es por esto que al construir a través de sus conocimientos previos estos estudiantes están en un nivel epistemológico.

5.8.2 PROTOCOLO ACTIVIDAD 8 (10-2) Esta actividad se realizó con el fin de finalizar el desarrollo de nuestra Situación fundamental y analizar los trabajos realizados por los estudiantes en busca de relacionarlos con los conceptos implícitos y explícitos que se dieron en el aula, para esta fase se hace necesario que los estudiantes evidencien el proceso que se genero desde las estrategias grupales en la resolución de la situación didáctica, con los conceptos que se trabajaron y que serán expuestos en el aula por los maestros practicantes. Nuestra ruta de aprendizaje por cuestiones de tiempo no se logro terminar pues en la solución al problema por parte de los estudiantes se llego a las razones trigonométricas (tangente) noción que era imprescindible para dar una solución adecuada a nuestra situación, pero no se logro llegar a la noción o implementación de teoremas como el del seno y el coseno, que era el objetivo final de la situación. En cuanto al análisis del diseño de la actividad, como se evidenciará en el contenido de este escrito la actividad fue adecuada para:

• Relacionar el trabajo hecho por los estudiantes con los conceptos tratados en las estrategias utilizadas por ellos en la resolución del problema.

• Resaltar de una manera visual el trabajo hecho por los estudiantes en la situación problema.

• Sustentar el trabajo realizado individual o por grupos mostrando los hallazgos encontrados y su importancia en la solución, a partir de los conceptos que fueron evidentes en el aula.

• Validar teniendo en cuenta lo construido o trabajo en clase, los argumentos dados por los estudiantes con la puesta en escena de las relaciones matemáticas que se dieron en el proceso de resolución de la situación.

Frente a lo sucedido en el aula como docentes practicantes debemos tener en cuenta que los estudiantes están acostumbrados a una educación tradicional y al ver a los docentes dando una exposición (clase magistral) se quedan atentos a la relación de las estrategias con el saber puesto en juego que se estaba dando. Ahora bien, la actividad se inicio con la organización de los diferentes grupos en esta fase se recordará la situación problema (ver anexo 1) y se hará una representación grafica en la que los estudiantes logren evidenciar los momentos más relevantes y que fueron estudio en el aula, iniciando por la llenada del tanque en la laguna del parque de Simón Bolívar, tomando datos aleatorios de las dimensiones del tanque (cono), seguido por la

observación del primer defecto que se tenía en el tanque (orificio en la punta del cono), el cual generaba que la cantidad de agua que se encuentra en el cono cambiara (no se resaltara el momento en el que la cuerda que sostiene el cono se rompe, dado que el trabajo que se realizó con los estudiantes no llego hasta este punto), además se nombrara un tiempo de vuelo con el fin de encontrar la cantidad de agua que llegara al sitio en incendio.

Posteriormente se pegarán en el tablero una serie de carteleras las cuales contendrán las diferentes estrategias que los estudiantes realizaron para resolver la situación problema, se comenzará a analizar cada una de estas comenzando por los primeros pasos que se dieron, como lo era la obtención de datos en el cono, nombrando directamente la relación matemática que se dio para este momento, la cual fue el teorema de Pitágoras, realizando una explicación breve acerca de la utilidad y pertinencia de esta relación con la necesidad que surgió al inicio de la situación.

Luego se pasara a tomar una estrategia en la cual surgió la necesidad de hallar las longitudes de los lados que formaba el agua en el cono en determinados momentos, realizando una relación entre los datos que se tenían en un principio al estar el cono lleno de agua y los datos que se dan al bajar el nivel del agua, nombrando así datos de longitudes y ángulos, resaltando la permanencia de los ángulos por estar analizando el mismo cono siempre. Se nombrara la razón trigonométrica usada por todos los grupos (la tangente) y se resaltara el porqué de la utilización de esta y no de las otras, para esto se nombrarán las razones de seno y coseno, y los lados dentro del triangulo rectángulo que se usan para cada uno, esto ser vira para evidenciar la pertenecía de la razón que se uso para resolver el problema que se tenía para hallar el volumen del cono en determinado momento, los datos que se generen a partir de estas operaciones se anotaran en una tabla en la cual se pueden ubicar de manera ordenada todos ellos y más aun que se puedan interpretar.

Generados los datos necesarios para hallar el volumen en determinado momento se resolverá la pregunta principal de la situación, la cual era ¿con que cantidad de agua llegará el tanque al sitio en incendio? Para esto se utilizaran los datos de la tabla y se complementaran con otros generándolos de la misma manera, utilizando la velocidad con la que sale el agua en el cono y la razón trigonométrica que nos permita conocer el radio. Para de esta manera buscar en el determinado momento en que llegue el helicóptero al sitio en incendio conocer exactamente la cantidad de agua dado que la haya.

Esto es básicamente lo que nosotros como docentes pretendíamos al plantear nuestra situación fundamental.

Inicialmente se plantea que se debe encontrar el volumen del cono, ellos exponen que solo tenían las dimensiones del lado del cono y su diámetro, pero es allí donde encuentran el primer problema para encontrar el volumen del cono pues era necesario encontrar la altura del cono y el radio según la fórmula que cada uno de los estudiantes

había averiguado ( , el análisis que realizamos de esta estrategia que tomaron los estudiantes es que ellos al realizar la lectura del problema y la pregunta que allí se realiza: ¿Con que cantidad de agua llegará el tanque al lugar del incendio si del parque Simón Bolívar al sitio del incendio hay 2 minutos 14 segundos en helicóptero? Es que ellos tienen la conciencia de que el cono tiene una capacidad de una cantidad determinada de agua y que al encontrar esta capacidad tienen la posibilidad de encontrar nuevas estrategias de cómo saber cuál será el volumen final con el que llegará el cono; seguido de esto realizamos la siguiente pregunta: P: ¿Como hicieron para encontrar la altura del cono? Después de un momento los estudiantes responden que para encontrar la altura del cono utilizaron el teorema de Pitágoras. P: ¿Por qué no utilizaron una razón trigonométrica? E: Porque teníamos dos lados: el radio y una dimensión del lado del cono. P: Muy bien. Aquí analizamos que los estudiantes ya tienen la conciencia de que teniendo dos lados del triángulo se puede utilizar sin ninguna complicación el teorema de Pitágoras; además observamos que los estudiantes tienen una adecuada comprensión de la parte instrumental como de lo analítico del teorema de Pitágoras, es decir ellos saben donde aplicar el teorema y además resolver su parte instrumental (despejar). P: Bueno como veníamos explicando utilizamos el teorema de Pitágoras para encontrar la altura del cono pues teníamos la hipotenusa y un cateto. Después de esto reemplazamos en la fórmula del volumen para saber cuál era el volumen del cono total; es decir sin que se haya salido el agua. El problema decía 2 minutos y 14 segundos con cuánta agua llegaría entonces, el agua está disminuyendo así mismo el radio también disminuye y la altura también. P: ¿Por qué utilizaron la tangente y no el coseno? E: Porque queremos hallar el cateto adyacente y en el coseno no sabemos el valor de la hipotenusa en cambio en la tangente sabemos el valor del cateto opuesto, para poder despejar. Analizamos que el estudiante evidencia que solo tiene un ángulo y un lado del cono (triángulo que se forma) y por esto se dan cuenta que el teorema de Pitágoras es insuficiente para encontrar el radio; ellos ubicaron que era la tangente porque en las actividades anteriores los estudiantes estudiaron una hoja con ejemplos donde se utilizaban las razones trigonométricas y allí sustentaron la utilización de la tangente; es preciso mencionar que los conocimientos de los estudiantes eran insuficientes para abordara la situación fundamental pues no reconocían las razones trigonométricas hasta que la analizaron en los ejemplos dados.

Analizamos que los estudiantes establecen una razón entre dos magnitudes, opera adecuadamente la parte instrumental generando un resultado coherente con la situación. Podemos decir que los estudiantes comprenden semejanza y proporcionalidad, pero no de una manera adecuada pues nosotros no realizamos una devolución apropiada cuando estábamos trabajando esta noción (semejanza y proporcionalidad), pero estamos conscientes de que los estudiantes deben comprender esta noción pues de lo contrario implica que los estudiantes no hubiesen podido continuar con el análisis de nuestra situación fundamental, pues nuestra ruta de aprendizaje inicia con la semejanza y proporcionalidad de triángulos, desde nuestro análisis si los estudiantes no logran comprender la proporcionalidad y la semejanza que se evidencia en los triángulos no podrán encontrar las razones trigonométricas existentes en estos. Luego de esto colocamos en el tablero un cuadro donde se ubican el tiempo, la altura, el radio y el volumen que se encuentra con los diferentes radios y alturas despejando en la fórmula del volumen del cono. Analizamos que los estudiantes han llegado a una comprensión superior del tema trabajado, puesto que realizaron de una manera adecuada lo que se pretendía, además los estudiantes realizaron la solución al problema de una forma investigativa generando un estudio sobre el comportamiento en diferentes momentos de la situación, generando diversos tipos de datos que le permiten realizar comparaciones y generar hipótesis acerca de la situación. Como práctica docente analizamos cual importante es generar en el grupo el entendimiento de los roles que se da en un aula, es decir nosotros como docentes analizamos la importancia de formar en nosotros un rol de docente y así mismo una adecuada gestión docente en el aula por diversos aspectos o variables que surgen en el manejo de un grupo. El objetivo general de esta actividad se cumplió satisfactoriamente como lo habíamos diseñado pues se relacionó el trabajo hecho por los estudiantes con los conceptos tratados en las estrategias utilizadas por ellos en la resolución del problema.

Los niveles propuestos para esta actividad son los siguientes: • Nivel 0: Presenta dificultades para comprender los conceptos presentados, ya que no

presenta el uso de estos en el desarrollo del trabajo realizado.

• Nivel 1: Demuestra la comprensión de los conceptos involucrados en la situación, ya que realiza actividades de justificación, ejemplificación y exposición de conceptos relacionados con las razones trigonométricas. Pero al establecer las conclusiones presenta confusiones.

• Nivel 2: Evidencia en su proceso realizado el uso de conceptos relacionados con las razones trigonométricas y establece conclusiones claras.

Con lo evidenciado en la exposición dada por nosotros y las respuestas a las preguntas que se planteaban dentro de esta se evidencia que la mayoría de los estudiantes Demuestra la comprensión de los conceptos involucrados en la situación, ya que realiza actividades de justificación, ejemplificación y exposición de conceptos relacionados con las razones trigonométricas. Pero al establecer las conclusiones presenta confusiones.

6. CONCLUSIONES

Después de haber llevado a cabo esta experiencia didáctica, podemos concluir que:

• El diseño, la planeación del docente es imprescindible en la implementación de esta teoría, nos damos cuenta desde la experiencia cual importante es diseñar inicialmente la situación fundamental adecuadamente pues esta debe cumplir características importantes para poder ser llevada al aula, además diseñar y planear apropiadamente cada una de las actividades que se dan en el aula, pues gracias al enfoque que se les dé a estas el estudiante podrá llegar a construir el conocimiento.

• La gestión del docente en aspectos como devoluciones y variables didácticas son de vital importancia para que los estudiantes lleguen a la construcción del conocimiento.

• Cada una de las fases de TSD son propicias para contribuir al avance de los estudiantes respecto a la noción trabajada.

• La adecuada implementación de TSD permite el desarrollo de la comprensión en este caso de las razones trigonométricas en los estudiantes de decimo grado; esto lo concluimos luego de las observaciones realizadas en el aula y de las continuas evaluaciones que realizamos del grupo de estudiantes frente a cuatro análisis: análisis de actuación, análisis cognitivo, análisis de contenido y análisis de instrucción.

7. BIBLIOGRAFÍA

• Brousseau, G.; (1986) Fundamentos y métodos de la didáctica de la matemática. Facultad de la matemática, astronomía y física. Universidad de córdoba.

• Brousseau, (1986, citado por Panizza, S.F.). II Conceptos Básicos de la Teoría de Situaciones Didácticas. Pág. 3

• Brousseau, G.; (1994) “Los diferentes roles del maestro” en didáctica de la matemática. Aportes y reflexiones, c. Parra; I. Saiz (comp.)Buenos Aires, Paidos Educador.

• Garcia, G. (2003).Currículo y evaluación en matemáticas. Editorial Magisterio: Bogotá D.C.

• Geometría, Trigonometría Cap. III triángulos Editorial CULTURAL, L. Galdós. • Greg J Neimeyer, (compilador).Evaluación constructivista. Paidos (1996) • MARIANO, E. y otros. Educación secundaria en trigonometría. • Mason, J, Burton L, Stacey K. (1982,1985) Pensar Matemáticamente. Ed. Labor,

S.A. • Ministerio de Educación Nacional. (2002). Estándares Básicos de Competencias

en Matemáticas. Pág. 84 • Perkins, D. (1992) La escuela inteligente. Del adiestramiento de la memoria a la

educación de la mente. Tercera reimpresión. Barcelona: Gedisa, 2003. • Trigonometría Cap. III relaciones métricas en triángulos rectángulos Editorial

Síntesis.

8. ANEXOS

ANEXO 1

PROBLEMA 1

Dado que Bogotá está pasando por una onda de calor bastante fuerte, al oriente de la ciudad, donde está ubicado Monserrate y la virgen de Guadalupe se están ocasionando incendios de gran magnitud, el gobierno ha decidido intervenir creando un plan, que consiste en usar los helicópteros de la fuerza armada para transportar agua con el fin de controlar el incendio. El agua será transportada desde el parque Simón Bolívar hasta la zona en incendio, en unos tanques de forma de cono circular recto que serán amarrados a cada helicóptero por tres cuerdas de 4 metros, se sabe que los tanques tienen 10 metros de altura y 5 metros de radio.

Al salir del parque cada helicóptero llenará a su totalidad el tanque con el fin de transportar la mayor cantidad de agua posible al incendio, pero uno de los helicópteros tiene dos defectos en su mecanismo de transporte de agua, uno consiste en un orificio en

su punta donde el agua se va escapando 2 cada segundo. El segundo defecto consiste en las cuerdas que lo sostienen, una de ellas, por su antigüedad se empieza a estira a los 20 segundos de empezar a sostener el tanque lleno de agua, esta se estira en 0.5 metros cada segundo hasta estirar 4.5 metros donde se rompe, además desde el momento que la cuerda empieza a estirar el orificio del tanque crece aumentando la salida

de agua en cada segundo.

Se sabe que al estirarse la cuerda esta afecta directamente la posición del tanque, donde este, al sostenerlo las tres cuerdas; la punta con el horizonte crea un ángulo de 90º, pero al empezarse a estirar la cuerda este ángulo cambia, disminuyendo cada segundo en 7º, además el lado que sostiene las restantes cuerdas ven disminuido su nivel de agua en

desde el rompimiento de la cuerda

¿Con que cantidad de agua llegara el tanque al lugar del incendio si del parque Simón Bolívar al sitio del incendio hay 2 minutos y 14 segundos en helicóptero?

PROBLEMA 2

Dado que Bogotá está pasando por una onda de calor bastante fuerte, al oriente de la ciudad, donde está ubicado Monserrate y la virgen de Guadalupe se están ocasionando incendios de gran magnitud, el gobierno ha decidido intervenir creando un plan, que consiste en usar los helicópteros de la fuerza armada para transportar agua con el fin de controlar el incendio. El agua será transportada desde el parque Simón Bolívar hasta la zona en incendio, en unos tanques de forma de cono circular recto que serán amarrados

a cada helicóptero por tres cuerdas de 4 metros, se sabe que los tanques tienen 10 metros de altura y 5 metros de radio.

Al salir del parque cada helicóptero llenará a su totalidad el tanque con el fin de transportar la mayor cantidad de agua posible al incendio, pero uno de los helicópteros tiene dos defectos en su mecanismo de transporte de agua, uno consiste en un orificio en

su punta donde el agua se va escapando según la función . El segundo defecto consiste en las cuerdas que lo sostienen, una de ellas, por su antigüedad se empieza a estira a los 20 segundos de empezar a sostener el tanque lleno de agua, esta

se estira en función de hasta estirar 4.5 metros donde se rompe, además desde el instante que la cuerda empieza a estirar el orificio del tanque crece aumentando

la salida de agua dependiendo de la función en cada segundo.

Se sabe que al estirarse la cuerda esta afecta directamente la posición del tanque, donde este, al sostenerlo las tres cuerdas; la punta con el horizonte crea un ángulo de 90º, pero al empezarse a estirar la cuerda este ángulo cambia, disminuyendo cada segundo según

la función , además el lado que sostiene las restantes cuerdas ven

disminuido su nivel de agua en desde el rompimiento de la cuerda

¿Con que cantidad de agua llegara el tanque al lugar del incendio si del parque Simón Bolívar al sitio del incendio hay 2 minutos y 14 segundos en helicóptero?

ANEXO 2