Unidad 9 – Introducción a la trigonometría PÁGINA 148

SOLUCIONES El sistema sexagesimal.

Realiza las siguientes operaciones.

a) b) c) Pasa a grados, minutos y segundos. a) b) c) Pasa a segundos.

a) b) c)

Expresa en grados, minutos y segundos.

a) b) c)

PÁGINA 150

SOLUCIONES

1. El lado que falta se calcula por teorema de Pitágoras

a)

b)

c)

PÁGINA 150

SOLUCIONES

2. a)

b)

c)

3. a)

b)

c)

PÁGINA 152

SOLUCIONES

4. La hipotenusa del triángulo vale:

5. La altura del triángulo vale:

6. Ver apartado 3.1 de la página 152 del libro de texto.

PÁGINA 153

SOLUCIONES

7. a) b) c)

8. a)

b)

PÁGINA 154

SOLUCIONES

9. a) b) c) d) e)

10. a) b) c) d) e)

11. A aquéllos cuyo coseno sea 0 , es decir,

PÁGINA 155

SOLUCIONES

12. a)

b) (mismo caso que el anterior)

13. a)

b)

14. a)

b)

PÁGINA 156

SOLUCIONES

15. a)

b)

c)

d)

e)

f)

16. a)

b)

c)

d)

e)

f)

PÁGINA 157

SOLUCIONES

17. a)

b)

c)

d)

e)

f)

18. Realizado en el anterior (ver valores numéricos)

19. a)

b)

c)

PÁGINA 160

SOLUCIONES Razones trigonométricas de ángulos agudos.

20. a) Al tener los dos lados iguales, seno y coseno valen lo mismo: y la tangente

b)

c)

d)

e)

f)

21. Tomaremos por ejemplo como cateto opuesto 1 y como hipotenusa 4. El otro lado lo hallamos aplicando el teorema de Pitágoras:

Propiedades de las razones trigonométricas.

22. a)

b)

c)

d)

23. a)

b)

24. a)

b)

c)

d)

25. a)

b)

c)

d)

26. No, pues si

27. No, pues el coseno valdrá 0 y dividiríamos entre 0, luego la tangente no existe si el seno vale

28. En ningún caso el seno o el coseno pueden ser mayores que la unidad, puesto que, por definición, son un cociente entre catetos e hipotenusa, siendo siempre la hipotenusa mayor que cualquiera de los catetos.

29. Ver ejercicio 28.

30. no obstante, el coseno únicamente vale uno en

luego la condición entre parámetros: es decir, sólo se cumple para ángulos

Razones trigonométricas sencillas.

31. Los cuadrados tienen ángulos de 90º, luego el ángulo que forma la diagonal con uno de los lados es justamente la mitad, 45º. Utilizamos, por ejemplo, el seno:

32. Trabajamos sobre ángulos de 60, luego analizando el triángulo formado por altura, un lado y la

mitad de otro y aplicando el seno al ángulo que forman el lado y el semilado:

33.

a) 0’54 0’84 0’63

b) 0’22 0’98 0’22

c) 0’31 0’95 0’32

d) 0’71 0’71 1

e) 0’84 0’55 1’53

f) 0’22 0’98 0’22

34. a) 18’67º

b) 55’41º c) 45º d) 60º e) 60º f) 45º

35. a)

b)

c)

d)

36. Ver ejercicio 28.

37. Ver ejercicio 28 38. Sí existen, todos aquellos que se encuentren en el intervalo:

PÁGINA 161

SOLUCIONES Razones trigonométricas de ángulos orientados.

39. a) b) c) d)

40. a) b) c) d) e) f)

41. a) º b) º c) º d) -2 345 + 6·360 = -185º⇒360 – 185 = 175º e) º

f)

42.

Coseno Seno Tan

0 1 0 0

90 0 1 180 -1 0 0

270 0 -1 360 1 0 0

43.

Coseno Seno Tan

-90 0 1 -180 -1 0 0

-270 0 -1 -360 1 0 0

44.

El objetivo es normalizar el ángulo de tal manera que quede en los márgenes de la circunferencia goniométrica. Para normalizarlo iteramos sobre el valor de hasta que encontremos un el primero que sea mayor o igual que le ángulo. Tomamos el valor de y se lo restamos al ángulo. La diferencia es el ángulo normalizado.

Ángulo

normalizado

Coseno Seno Tan

1800º 0 0 1 1980º 180 -1 0 0

990º 270 0 -1 1530º 90 0 1

45.

Igualmente debemos normalizar el ángulo de tal manera que quede en los márgenes de la circunferencia goniométrica. Para normalizar en este caso seguiremos los mismos pasos que en el ejercicio anterior pero sumaremos el ángulo al valor de

Ángulo

normalizado

Coseno Seno Tan

-1440º 0 1 0 -990º 90 0 1 -1620º 180 -1 0 -1170º 270 0 -1

Valores máximo y mínimo del seno y el coseno.

46.

luego no existe ningún ángulo que lo verifique

47.

luego existen infinitos ángulos que lo verifican

48. a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h) 190º sn ( 190º ) 0III g sen∈ ⇒ <

i)

49. a)

b) c) d) e) f) g)

50. a)

b)

c)

d)

51. En el segundo cuadrante el seno es positivo y el coseno es negativo.

a)

b)

c)

d)

52. En el tercer cuadrante ambos seno y coseno son negativos.

a)

b)

c)

d)

53. En el cuarto cuadrante el seno es negativo y el coseno positivo.

a)

b)

c)

d)

54. No, pues incumple la relación fundamental de la trigonometría:

PÁGINA 162

SOLUCIONES Radianes y sistema sexagesimal.

55. a)

b)

c)

d)

e)

f)

56. a)

b)

c)

d)

e)

f)

57.

Coseno Seno Tan

0 1

-1 0 0

0 -1

1 0 0

58. a) 0’71

b) -0’71 c) 0’92 d) -2’41 e) 0’59 f) 0’20

59.

>0 >0 >0

>0 <0 <0

<0 >0 <0

<0 <0 >0

<0 <0 >0

<0 <0 >0

60.

Ángulo

normalizado

Coseno Seno Tan

0 -1

1 0 0

0 1

0 -1 0 0

61.

I y III tienen seno y coseno del mismo signo, en I positivos y en III negativos. En II y IV están alternados, estando en II positivo el seno. (Véase circunferencia goniométrica, pág 154 del libro de texto)

Cuadrante

-0’35 -0’93 0’37 III

0’84 0’54 1’56 I

0’75 -0’67 -1’12 II

-0’95 0’28 -3’38 IV

-0’99 -0’06 16’00 III

0’12 0’99 0’11 I

62.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

63. a)

b)

c)

d)

e)

f)

Reducción de ángulos al primer cuadrante.

64.

Ángulo en I

cuadrante

Coseno Seno Tan

65.

Ángulo en I

cuadrante

Coseno Seno Tan

66.

a) b) c)

PÁGINA 163

SOLUCIONES

67.

68.

69.

70.

h

25

h 7

h

20

d 65

71.

72. Vuelve a mirar al frente, pues

73. vueltas

74.

75.

76. Pedro ha recorrido menos distancia que Juan

Posición de Juan: , es decir, está a 210º

Posición de Pedro: es decir, está en la posición -150º (210º), la misma que Juán

77.

Podemos calcularlas sin hacer uso de la calculadora, pues que es un ángulo del que conocemos las razones. En cambio, 150 pertenece al segundo cuadrante, por lo que el coseno será opuesto:

h

23

1. a) En primer lugar calculamos la hipotenusa del triángulo mediante el teorema de Pitágoras:

b) Calculamos el valor del otro cateto usando el teorema de Pitágoras:

2. Ver página 152 del libro de texto.

3. a)

Por teorema de Pitágoras, obtenemos la hipotenusa:

b)

4. a) Usando el teorema del coseno:

b) Usando el teorema del seno:

5. a) b) c)

6. a)

b)

7. En el cuarto cuadrante el seno es negativo, luego:

8. a)

b)

9. a)

b)

c)

10. Calculamos las vueltas que ha dado:

Estableciendo una proporción entre la esfera completa y el sector recorrido encontramos la posición de la manecilla que indica los minutos:

PÁGINA 164

Vamos a hallar el área de la circunferencia y posteriormente restarle las 4 partes que no están sombreadas: