Unidad 13 – Combinatoria PÁGINA 216

SOLUCIONES_________________________________________________________________ Fracciones. Simplifica las siguientes fracciones:

8 4 32 1 72 3 1350 25a) b) c) d) 6 3 128 4 120 5 216 4= = = =

Opera y simplifica:

23 3 2 3 1 6 15 5 85a) 2 b) c)3: d) 34 2 3 4 2 5 6 2 15

4

⋅ = ⋅ = = = =

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SOLUCIONES_________________________________________________________________ 1.a) Por el principio fundamental de enumeración puede vestirse de 5·4 = 20 formas diferentes. b) Podría vestirse de 20·4 = 80 formas diferentes. 2.Existen 5·3·2 = 30 menús diferentes. 3.Un dado tiene 6 posibilidades diferentes, y una baraja española 40 cartas distintas, luego podrán producirse 6·40 = 240 resultados diferentes. 4.En realidad tiene tres clases diferentes, de dos, tres y dos ejemplares cada una, así, puede realizar 2·3·2 = 12 combinaciones distintas.

PÁGINA 219

SOLUCIONES_________________________________________________________________ 5. a) P5 = 120 b) P6 = 720 c) P3 = 6 d) P2 = 2 e) P10 = 3 628 800 6. La manera de sentarse es una permutación de seis elementos, luego pueden sentarse de P6 = 720 maneras diferentes. 7. Si tener en cuenta el orden pude colocarlos de P16 = 16! = 2’0923 · 1013 maneras diferentes. Si no los quiere mezclar, entonces tiene 80 640 formas distintas. P8 = 8! = 40320 P8 · P8 = 80 640. 8. Se pueden formar tantas palabras como combinaciones de cinco letras sean posibles, es decir P5 = 5! = 120.

PÁGINA 220

SOLUCIONES_________________________________________________________________ 9.

4,3 8,4 7,4

10,3 12,6

4! 8! 7!a) 24 b) 1 680 c) 210(4 3)! (8 4)! (7 4)!

10! 12!d) 5 040 e) 665 280(10 3)! (12 6)!

V V V

V V

= = = = = =− − −

= = = =− −

10.

9,5

Estamos hablando de variaciones de nueve elementos tomados de cinco en cinco sin repetirninguno, es decir:

9! 24.(9 5)!

Tendríamos 24 posibilidades.

V = =−

11.

5,3

Serían variaciones de 5 elementos tomados de 3 en 3 sin repetir ninguno, es decir:5! 20.

(5 3)!Tendrían 20 posibilidades diferentes.

V = =−

PÁGINA 221

SOLUCIONES_________________________________________________________________ 12.

3 6 44,3 2,6 3,4

2 55,2 10,5

a) 4 64 b) 2 64 c) 3 81

d) 5 25 e) 10 100 000

VR VR VR

VR VR

= = = = = =

= = = =

13.

47,4

Estamos hablando de variaciones con repetición de 7 elementos tomados de 4 en 4, es decir:7 2 401

Tendríamos 2 401 posibilidades. VR = =

14.

6,2

En cada tirada hay 6 posibilidades, pero necesitamos que los resutados sean distintos, luego estamos hablando de variaciones de 6 elementos tomados de 2 en 2, es decir:

6! 30(6 2)!

Tendríamos 30 re

V = =−

sultados posibles.

15.

26,2

Estamos hablando de variaciones con repetición de 6 elementos tomados de 2 en 2, es decir:6 36

Tendríamos 36 números diferentes. VR = =

PÁGINA 222

SOLUCIONES_________________________________________________________________ 16. a)

b)

c)

17.

PÁGINA 223

SOLUCIONES_________________________________________________________________ 18.

3,2 7,2 10,5

4,3 10,10

3! 7! 10!a) 3 b) 21 c) 252 2! (3 2)! 2! (7 2)! 5! (10 5)!

4! 10!d) 4 e) 1 3! (4 3)! 10! (10 10)!

C C C

C C

= = = = = =⋅ − ⋅ − ⋅ −

= = = =⋅ − ⋅ −

19.

6,4

Estaríamos hablando de combinaciones de 6 elementos tomados de 4 en 4, es decir:6! 15.

4! (6 4)!Habría 15 combinaciones posibles.

C = =⋅ −

PÁGINA 224

SOLUCIONES_________________________________________________________________ 20.

7,3

7,4

8,1

7,4 7,3

8,4

7,4 7,3 8,4

7!a) 35 3! (7 3)!

7! 354! (7 4)!

8!b) 81! (8 1)!

7! 7!c) 35 35 4! (7 4)! 3! (7 3)!

8! 704! (8 4)!

C

C

C

C C

C

C C C

= =⋅ −

= =⋅ −

= =⋅ −

= = = =⋅ − ⋅ −

= =⋅ −

+ =

21.

12 12! 12 11 10!a) 10 10!(12 10)!⎛ ⎞ ⋅ ⋅

= =⎜ ⎟ −⎝ ⎠ 10!6 11 66

210 10! 10 9 8 7 6!b) 4 4!(10 4)!

= ⋅ =⋅

⎛ ⎞ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= =⎜ ⎟ −⎝ ⎠ 4 3 2 6!⋅ ⋅ ⋅

210

8 8! 8 7 6!c) 2 2!(8 2)!

=

⎛ ⎞ ⋅ ⋅= =⎜ ⎟ −⎝ ⎠ 2 6!⋅

28

40 40! 40 39 38!d) 38 38!(40 38)!

=

⎛ ⎞ ⋅ ⋅= =⎜ ⎟ −⎝ ⎠ 38!

7802

=⋅

PÁGINA 225

SOLUCIONES_________________________________________________________________ 22.

1 2 2 2 2 1

1 2 2 2 2

Binomio de Newton:

( ) ...

0 1 2 2 1

( ) ...

0 1 2 2 1

n n n n n n n

n n n n n

n n n n n na b a a b a b a b ab b

n n n

n n n n na b a a b a b a b

n n

− − − −

− − −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

1

5 5 5 1 5 2 2 5 3 3 5 4 4 5 5 5

5 4 3 2 2 3 4 5

6 6 6 1 6 2 2

5 5 5 5 5 5a) ( )

0 1 2 3 4 5

5 10 10 5

6 6 6 6b) ( )

0 1 2 3

n

n nab b

n

a b a a b a b a b a b a b

a a b a b a b ab b

a b a a b a b

−

− − − − −

− −

⎛ ⎞+⎟ ⎜ ⎟

⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ + + + +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠6 3 3 6 4 4 6 5 5 6 6 6

6 5 4 2 3 3 2 4 5 6

5 5 5 1 5 2 2 5 3 3 5 4 4 5 5 5

5 4 3 2

6 6 64 5 6

6 15 20 15 6

5 5 5 5 5 5c) ( )

0 1 2 3 4 5

5 10 10

a b a b a b a b

a a b a b a b a b ab b

a b a a b a b a b a b a b

a a b a b

− − − −

− − − − −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ + + + + +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − + − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠− + − 2 3 4 55a b ab b+ −

23.

4 4 4 1 4 2 2 4 3 3 4 4 4

4 3 2

4 4 4 4 4a) ( 1) 1 1 1 1

0 1 2 3 4

4 6 4 1

x x x x x x

x x x x

− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ + + +

3 3 3 1 3 2 2 3 3 3

3 2

3 3 3 3b) ( 2) 2 2 2

0 1 2 3

6 12 8

x x x x x

x x x

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠− + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 4 1 4 2 4 3 4 44 2 3 4

4 3 2

4 4 4 4 4c) (2 1) 2 2 1 2 1 2 1 2 1

0 1 2 3 4

16 32 24 8 1

x x x x x x

x x x x

− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ + + +

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SOLUCIONES_________________________________________________________________ Utilización del producto para contar. 24. Por el principio fundamental de enumeración podemos obtener 5·3·2 = 30 enchufes diferentes. 25. Puede montar el móvil de 5·3 = 15 formas distintas. 26. Puede hacer 10·7·5 = 350 muñecos diferentes. Permutaciones. Factorial de un número. 27. a) P8 = 8! = 40 320 b) P15 = 15! = 1’3077·1012 c) P10 = 3 628 800 28. a) P5 = 5! = 120 b) P9 = 9! = 362 880 c) P1 = 1 d) P11 = 11! = 39916800 29. a) 5! = 120 b) 2· 3! = 8 c) 6! = 720 d) 3· 3! = 18 30. Si no tenemos en cuenta el orden, entonces, estamos hablando de permutaciones de cinco elementos, es decir, existen 5! = 120 maneras de colocar los libros. 31. Hablamos de permutaciones de cinco elementos, esto es, 5! = 120 números distintos con dichos dígitos. 32. Corresponderían a permutaciones de ocho elementos, es decir, 8! = 40 320 palabras diferentes. 33. Supongamos que las palabras pueden tener sentido o no tenerlo. Como la primera letra es fija, entonces, el problema se reduce a calcular el número de permutaciones de seis elementos. 6! = 720. Existen 720 palabras diferentes, con o sin sentido.

Variaciones. 34.

7,4 10,6

15,3 10,8

7! 10!a) 840 b) 151 200 (7 4)! (10 6)!

15! 10!c) 2730 d) 1 814 400 (15 3)! (10 8)!

V V

V V

= = = =− −

= = = =− −

35.

2 34,2 5,3

5 42,5 3,4

a) 4 16 b) 5 125

c) 2 32 d) 3 81

VR VR

VR VR

= = = =

= = = =

36.

6,4 16,1

20,7 25,2

9,2 1

6! 16!a) 360 d) 16 (6 4)! (16 1)!

20! 25!b) 390700800 e) 600 (20 7)! (25 2)!

9!c) 72 f) (9 2)!

V V

V V

V V

= = = =− −

= = = =− −

= =− 5,5

15! 36036 (15 5)!

= =−

37.

2 24,2 7,2

12 42,12 5,4

6 64,6 3,6

a) 4 16 d) 7 49

b) 2 4096 e) 5 625

c) 4 4096 f) 3 729

VR VR

VR VR

VR VR

= = = =

= = = =

= = = =

38. Trabajamos con variaciones de 7 elementos tomados de 3 en 3, puesto que necesitamos que sean números distintos, luego importa el orden.

7,37! 210

(7 3)!V = =

−

Existen 210 números diferentes. 39. Serían variaciones de 7 elementos tomados de cuatro en cuatro, es decir,

7,47! 840

(7 4)!V = =

−

Existen 840 palabras, con o sin sentido.

40. Que no empiecen por N necesariamente existirían 360 palabras.

6,46! 360

(6 4)!V = =

−

Si queremos que empiecen por N, entonces, estamos fijando uno de los elementos y trabajaríamos con variaciones de 5 elementos tomados de cuatro en cuatro.

5,45! 120

(5 4)!V = =

−

Es decir, 120 palabras que empiecen por N. 41. Existirían 2401 números diferentes.

47,4 7 2401VR = =

42. Mantenemos el último dígito fijo, siendo un número par, luego tenemos cinco posibilidades diferentes. El resto de número los combinamos de cuatro en cuatro

9,49! 3 024

(9 4)!V = =

−

Por el principio fundamental de la enumeración, tenemos existirían 3 024·5 = 15 120 números diferentes. 43. Mantenemos el último dígito fijo, siendo 0 ò 5, luego tenemos dos posibilidades diferentes. El resto de número los combinamos de cuatro en cuatro

6,46! 360

(6 4)!V = =

−

Por el principio fundamental de la enumeración, tenemos existirían 360·2 = 720 números diferentes. 44. Como los números tienen que ser menores que 10 000, y no podemos repetir cifras, el problema se reduce a calcular el número de variaciones de 10 elementos tomados de 4 en 4.

10,410! 5 040

(10 4)!V = =

−

Existen 5 040 números menores de 10 000, con cifras diferentes. 45.

7,57! 2 520

(7 5)!V = =

−

Existen 2 520 palabras distintas, no necesariamente con sentido.

46. En este caso tenemos que tener en cuenta las palabras de 4, 5, 6, 7 y 8 letras, es decir:

46,4

56,5

66,6

76,7

86,8

6 1 296

6 7 776

6 46 656

6 279 936

6 1 679 616

VR

VR

VR

VR

VR

= =

= =

= =

= =

= =

En total 2 015 280 palabras diferentes.

47.

7,57! 2 520

(7 5)!V = =

−

Pueden formarse 2 520 números diferentes.

PÁGINA 229

SOLUCIONES_________________________________________________________________ 48. Mantenemos el último dígito fijo, siendo un número par, luego tenemos tres posibilidades diferentes: 2, 4, 6. El resto de número los combinamos de cuatro en cuatro

6,46! 360

(6 4)!V = =

−

Por el principio fundamental de la enumeración, tenemos existirían 360·3 = 1 080 números diferentes. 49.

6,36! 120

(6 3)!V = =

−

Existen 120 números distintos, suponiendo que no podemos repetir los dígitos. Si pudiéramos repetir los dígitos habría 3

6,3 6 216VR = = números distintos. 50. Mantenemos el último dígito fijo, siendo un número par, luego tenemos cinco posibilidades diferentes: 0, 2, 4, 6, 8. El resto de número los combinamos de tres en tres

9,39! 720

(9 3)!V = =

−

Por el principio fundamental de la enumeración, tenemos existirían 720·5 = 3 600 números diferentes. 51. En este caso tenemos que tener en cuenta los números de 1, 2, 3, 4 y 5 dígitos, es decir:

14,1

24,2

34,3

44,4

54,5

4 4

4 16

4 64

4 256

4 1 024

VR

VR

VR

VR

VR

= =

= =

= =

= =

= =

En total 1 364 números diferentes.

Diagramas de árbol. 52.

53.

54. Existen 12 opciones distintas. Las cuatro primeras serían:

Las ocho restantes:

Combinaciones. Número combinatorio. 55.

7,2 10,3 50,2

6,3 8,5

7! 10! 50!a) 21 b) 120 c) 1 225 2! (7 2)! 3! (10 3)! 2! (50 2)!

6! 8!d) 20 e) 56 3! (6 3)! 5! (8 5)!

C C C

C C

= = = = = =⋅ − ⋅ − ⋅ −

= = = =⋅ − ⋅ −

56.

5 18 100a) 5 c) 3 060 e) 1

4 14 100

20 50 27b) 4 845 d) 1 f) 17 550

16 0 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

57.

18,16 12,3

9,2 1 000,998

18 1218! 12!a) 153 d) 22016 316! (18 16)! 3! (12 3)!

9 1 0009! 1 000!b) 36 e) 2 9982! (9 2)! 998! (1 000 998)!

C C

C C

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ − ⋅ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ − ⋅ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

10,7 1 250,2

499 50010 1 25010! 1 250!c) 120 f) 7 27! (10 7)! 2! (1 250 2)!

C C

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ − ⋅ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

780 625=

58.

10,310! 120

3! (10 3)!C = =

⋅ − Podemos elegirlos de 120 formas diferentes.

59.

9,59! 126

5! (9 5)!C = =

⋅ − Puede confeccionar 126 equipos distintos.

60.

10,610! 210

6! (10 6)!C = =

⋅ − Puede hacer 210 exámenes diferentes.

61.

15,415! 1 365

4! (15 4)!C = =

⋅ − Pueden elegirlas de 1 365 formas diferentes.

62.

6,36! 20

3! (6 3)!C = =

⋅ − Pueden sentarse de 20 formas diferentes.

Propiedades de los números combinatorios. 63.

10 1 000a) 1 d) 1 000

10 1

100 15 15 16 16! 16 15 14 13!b) 1 e) 0 12 13 13 13! (16 13)!

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⋅ ⋅ ⋅= + = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⋅ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 13!

5603 2

50 50 20 20 20 20! 20 19 18!c) 50 f) 20 2049 1 18 1 18 18! (20 18)!

=⋅ ⋅

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⋅ ⋅= = + = + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⋅ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 18!

20 2102

+ =⋅

El binomio de Newton. 64.

3 3 3 1 3 2 2 3 3 3 3 2 2 3

3 3 3 1 3 2 2 3 3 3 3 2 2 3

3 3 3 3a) ( ) 3 3

0 1 2 3

3 3 3 3b) ( ) 3 3

0 1 2 3

a b a a b a b a b a a b ab b

a b a a b a b a b a a b ab b

− − −

− − −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + + = + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − + − = − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

65.

5 5 5 1 5 2 2 5 3 3 5 4 4 5 5 5

2 3 4 5

5 5 5 1 5 2 2 5 3 3 5 4 4

5 5 5 5 5 5a) (1 ) 1 1 1 1 1 1

0 1 2 3 4 5

1 5 10 10 5

5 5 5 5 5 5b) ( 1) 1 1 1 1

0 1 2 3 4 5

x x x x x x

x x x x x

x x x x x x

− − − − −

− − − −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= + + + + +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛− = − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( )

5 5 5

5 4 3 2

4 4 4 1 4 2 2 4 3 3 4 4 4

4 3 2

4 4 1 4 2 4 32 4 2 2 2 2 2

1

5 10 10 5 1

4 4 4 4 4c) ( 2) 2 2 2 2

0 1 2 3 4

8 24 32 16

4 4 4 4d) ( 1) 1 1

0 1 2 3

x

x x x x x

x x x x x x

x x x x

x x x x x

−

− − − −

− − −

⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠= − + − + −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= + + + +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠( )4 43 2 4

8 6 4 2

41 1

4

4 6 4 1

x

x x x x

−⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

= + + + + 66.

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 3 1 3 2 3 33 2 3 3 2

4 4 1 4 2 4 3 4 44 2 3 4

4 3 2

3

3 3 3 3a) (2 1) 2 2 1 2 1 2 1 8 12 6 1

0 1 2 3

4 4 4 4 4b) ( 3) 3 3 3 3

0 1 2 3 4

12 54 108 81

c) (2 3)

x x x x x x x x

x x x x x x

x x x x

x

− − −

− − − −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − + − = − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− + = − + − + − + − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= − + − +

− ( ) ( ) ( ) ( )3 3 1 3 2 3 33 3 3 3 2 3 3

9 6 3

3 3 3 32 2 3 2 3 2 3

0 1 2 3

8 36 54 27

x x x x

x x x

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 4 1 4 2 4 3 4 44 2 3 4

4 3 2

4 4 4 4 4d) ( 2 3) 2 2 3 2 3 2 3 2 3

0 1 2 3 4

16 96 216 72 81

x x x x x x

x x x x

− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − = − − − + − − − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= + + + +

67.

3 3 3 1 3 2 3 32 3 2 3

3 3 3 1 3 2

3 3 3 31 1 1 1 1 1 3 3a) 0 1 2 35 5 5 5 5 125 25 5

3 3 31 1 1 1b) 0 1 22 3 2 2 3 2 3

x x x x x x x

x x x

− − −

− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − + − = − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛− = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 3 3 3 2 3

3 2 3 2 33 3 1 3 2 3 3

33 3 1

3 1 13 2 3 8 4 6 27

3 3 3 3 27 9c) 3 3 3 3 3 270 1 2 32 2 2 2 2 4 8

3 33 3d) 0 12 2

x x x x

x x x x x x x

x x x

−

− − −

−

⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = − + − = − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛− + = − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( )2 3

3 2 3 3

3 2

3 33 32 32 2

9 27 272 4 8

x x

x x x

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− + − +

PÁGINA 230

SOLUCIONES_________________________________________________________________ 68. Queremos relacionar 5 elementos, sin repetirlos, tomados de dos en dos, es decir:

5,25! 10

2!(5 2)!Solución: Pueden repartirse los premios de 10 formas diferentes.

C = =−

69. Queremos repartir 3 elementos entre seis personas, pero nadie nos dice que no podamos darle dos artículos a una misma personas, luego:

63,6

6,3

3 729Solución: Pueden repartirse los artículos de 729 maneras diferentes.Si suponemos que no podemos dar dos artículos a una misma persona, entonces

6! 120(6 3)!

Solución: Pueden repartirse

VR

V

= =

= =−

los artículos de 120 maneras diferentes.

70. Queremos repartir 3 elementos entre cinco personas, luego:

5,35! 10

3!(5 3)!Solución: Pueden repartirse las entradas de 10 maneras diferentes.

: .

C

Observación Suponemos que las entradas no están numeradas

= =−

71. Por el principio fundamental de enumeración puede elegirse el coche de 5·4·2 = 40 formas diferentes. 72. Si por cada pregunta hay que mandar un mensaje y son cinco preguntas, entonces, necesitamos enviar 5·3 = 15 mensajes para acertar con seguridad. Si cada mensaje cuesta 20 ctm, los 15 costarán 30 €. Frente a los 1 000€ del premio, compensa mandar todos los mensajes. 73. Como no podemos repetir letras y queremos hacer grupos de 4, hay que calcular el número de variaciones de 7 elementos que tenemos tomados de cuatro en cuatro.

7,47! 840

(7 4)!Solución: Pueden construirse 840 palabras diferentes.

V = =−

Si queremos que las palabras empiecen por B, estamos fijando uno de los elementos, y por lo tanto, sólo podemos variar los tres restantes:

6,36! 120

(6 3)!Solución: Pueden construirse 120 palabras diferentes que empiecen por B.

V = =−

74. Queremos hacer grupos de tres sabores con los 12 que tenemos. El orden no nos interesa, luego estamos trabajando con combinaciones de 12 elementos tomados de 3 en 3.

12,312! 220

3!(12 3)!Solución: Pueden hacerse 220 helados diferentes.

C = =−

75. No estamos trabajando con todos los dígitos a la vez, y al ordenar números tenemos que tener en cuenta el orden, luego, suponiendo que no podemos repetir ningún dígito, hay que calcular el número de variaciones de 6 elementos tomados de 4 en 4.

6,4

1

6! 30(6 4)!

Solución : Pueden construirse 30 números diferentes.

V = =−

Si suponemos que podemos repetir el mismo dígito, entonces, habría que contar el número de variaciones con repetición de 6 elementos tomados de 4 en 4.

46,4

2

6 1 296Solución : Pueden formarse 1 296 distintos.VR = =

76. Estudiamos las letras primero. Tenemos 21 letras para combinar (no contamos LL, Ñ ni vocales). Importa el orden y podemos repetirlas, luego hay que calcular el número de variaciones con repetición de 21 elementos tomados de 3 en 3.

321,3 21 9 261VR = =

Por otra parte, tenemos 10 dígitos combinables de cuatro en cuatro, que también podemos repetir, y en los que hay que tener en cuenta el orden, es decir

410,4 10 10 000VR = =

Por el principio fundamental de la enumeración tenemos: 9 261·10 000 = 92 610 000 Solución: Existen 92 610 000 de matrículas diferentes.

77. a) La manera de sentarse las siete personas coincide con el número de permutaciones de siete elementos, es decir 7! = 5 040 maneras diferentes. b) Contemos a Ana y a Alberto como una única persona, entonces, habría que ver las distintas formas de colocar a 6 personas, es decir, permutaciones de 6 elementos (720 maneras diferentes). Por otra parte, Ana y Alberto pueden cambiarse de sitio, luego, sus posiciones coincidirían con el número de permutaciones de 2 elementos (2 formas diferentes). Por el principio fundamental de la enumeración: P6 · P2 = 1 440. Solución: Existen 1 440 maneras de colocar a todos los amigos, estando Ana y Alberto juntos. c) A todas las posibilidades de colocar a los siete amigos (7! = 5 040) hay que quitarle las veces que coinciden Ana y Alberto (2!), es decir, quedarían: P7 - P6 · P2 = 3 600. Solución: 3 600 formas diferentes. 78. P10 = 10! = 3 628 800 formas diferentes. 79. Cada uno de los bloques se ordenaría, respectivamente de las siguientes formas posibles: Álgebra: P5 = 5! = 120 Análisis: P4 = 4! = 24 Geometría: P6 = 6! = 720 Estadística: P3 = 3! = 6 Como además podemos permutar los cuatro bloques entre sí, el producto de todas ellas por P4 nos da todas las posibilidades. Solución: Existen 298 598 400 de posibilidades diferentes. 80.

4,34! 4

3!(4 3)!Solución: Puede hacerse de cuatro formas diferentes.

C = =−

81.

7,47! 840

(7 4)!Solución: Pueden sentarse de 840 formas diferentes.

V = =−

82. El número de pesas coincide con el número de permutaciones de 6 elementos: 6! = 720 formas diferentes de pesar.

6,2 6,3 6,4 6,56 1 63Solución: Puede elegir los libros de 63 formas diferentes.

C C C C+ + + + + =

83.

15,315! 455

3!(15 3)!Solución: Puede elegir los libros de 455 formas diferentes.

C = =−

84.

310,3

510,5

a) 10 1 000Solución: Podemos formar 1 000 números diferentes.

b) 10 100 000Solución: Podemos formar 100 000 números diferentes.

c) Si queremos que sean pares, mantemos fija la última cif

VR

VR

= =

= =

ra, que tiene que ser par: 0, 2, 4, 6 u 8, esdecir, cinco opciones diferentes. Por otra parte, cuento con 10 cifras para formar números de 4 dígitos, luego son tantas opciones comovariaciones con repe 4

310,3

tición de 10 elementos tomados de cuatro en cuatro, es decir, 10 . En total cuento con 10 000 5 50 000.Solución: Existen 50 000 posibilidades diferentes.

d) 3 primeros dígitos: 10 1 000.

Últi

VR

⋅ =

= =

mo dígito: 0 ò 5.Solución: 2 000 números diferentes. 85. Un número PIN tiene cuatro cifras, luego hay tantas posibilidades como permutaciones de 4 elementos, P4 = 4! = 240 posibilidades distintas. 86. Tenemos dos posibilidades:

a) Elegir tres colores diferentes: 11,311! 990

(11 3)!V = =

−.

b) Elegir dos colores y colocar uno en medio: 11,211! 110

(11 2)!V = =

−

Existen 1 100 posibilidades distintas. 87.

36,3a) 6 216

Solución: Podemos formar 216 palabras diferentes.VR = =

46,4

26,2

6,2 6,3 6,4

6,2 6

b) 6 1 296Solución: Podemos formar 1 296 palabras diferentes.

c) 6 361 548

Solución: Existen 1 548 posibilidades diferentes.

d) 6! 720Solución: 720 palabras dife

VR

VRVR VR VR

VR P

= =

= =

+ + =

= = =

36,3

rentes.

e) Fijamos la primera letra y estudiamos las combinaciones posibles de las 3 siguientes:6 216

Solución: Podemos formar 216 palabras diferentes.

f) Fijamos la primera y la última letra y e

VR = =

46,4

6,2 6,3 6,4 6,5 6,6

studiamos las combinaciones posibles de las 4 restantes:6 1 296

Solución: Podemos formar 1 296 palabras diferentes.

6! 6! 6! 6! 6!g) V V V V V 30 120 360 720 720 19504! 3! 2! 1! 0!

Sol

VR = =

+ + + + = + + + + = + + + + =

ución: Podemos formar 1 950 palabras diferentes.

88. Nos da igual el orden, luego, trabajamos con combinaciones de 12 elementos cogidos de 4 en 4.

12,412! 495

4!(12 4)!Solución: Puede elegir las chapas de 495 formas diferentes.

C = =−

PÁGINA 231

SOLUCIONES_________________________________________________________________ 89. Tenemos que ver las distintas posibilidades de elegir cada tipo de jugador y luego combinarlas:

3,1

7,4

5,3

6,3

Porteros: 3Defensas: 35Centrocampistas: 10Delanteros: 203 35 10 20 21 000Solución: Puede constituir el equipo de 21 000 formas diferentes.

CC

CC

=

=

=

=

⋅ ⋅ ⋅ =

90.

62,6 2 64

Solución: Podemos formar 64 números diferentes.VR = =

91.

6,3

5,3

6!a) 203!(6 3)!

Solución: Tengo 20 opciones.

5!b) 103!(5 3)!

Solución: Tengo 10 opciones.

C

C

= =−

= =−

92. Como no importa el orden, estamos hablando de combinaciones.

10,2 15,210! 15!45 105

2!(10 2)! 2!(15 2)!Solución: Un polígono de 10 vértices tiene 45 diagonales y uno de 15 tiene 105 diagonales.

C C= = = =− −

93.

8,38! 56

3!(8 3)!Solución: Pueden construirse 56 triángulos.

C = =−

94. Si los tres números que tenemos están ordenados, actúan como si fueran uno solo. Para el número que me falta tengo 10 opciones: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Y uno de estos dígitos con los

tres anteriores puede combinarse de dos formas diferentes, luego, existen 2 ·10 = 20 alternativas distintas. 95. a) La manera de sentarse las diez personas coincide con el número de permutaciones de diez elementos, es decir 10! =3 628 800 maneras diferentes. b) Contemos a los tres hermanos como una única persona, entonces, habría que ver las distintas formas de colocar a 8 personas, es decir, permutaciones de 8 elementos (40 320 maneras diferentes). Por otra parte, los tres hermanos pueden cambiarse de sitio, luego, sus posiciones coincidirían con el número de permutaciones de 3 elementos (6 formas diferentes). Por el principio fundamental de la enumeración: P8 · P3 = 241 920. Solución: Existen 241 920 maneras de colocar a todos los amigos, estando los tres hermanos juntos. c) A todas las posibilidades de colocar a los diez amigos (10! = 3 628 800) hay que quitarle las veces que coinciden los tres hermanos (3!), es decir, quedarían: P10 / P3 = 604 800. Solución: 604 800 formas diferentes.

1.

53,5 15,5

6 5,2

15 15!a) 3 243 b) 3 003 5 5!(15 5)!5!c) 6! 720 d) 20

(5 2)!

VR C

P V

⎛ ⎞= = = = =⎜ ⎟ −⎝ ⎠

= = = =−

2.

150 150 150! 150 149 148!a) 2 148 148!2!⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⋅ ⋅

= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 148!

75 149 11 1752

200 200! 200 198 197!b) 197 197!(200 197)!

= ⋅ =⋅

⎛ ⎞ ⋅ ⋅= =⎜ ⎟ −⎝ ⎠ 3 2 197!⋅ ⋅

5,3 3

6 600

1000 1000c) 1000

999 1

5! 5 4 3 2 3 2d) 3!(5 3)!

V P

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ = ⋅ =− 2

360=

3. Por el principio fundamental de enumeración puede hacer el regalo de 7·10·4 = 280 formas diferentes. 4.

36,3 6 216 VR = = números diferentes.

5. P5 = 5! = 120 palabras diferentes. 6.

7,47! 840

4!(7 4)!Solución: Pueden sentarse de 840 formas diferentes.

C = =−

7. P10 = 10! = 3 628 800 formas diferentes. 8.

4,34! 4

3!(4 3)!Solución: Pueden formarse 4 grupos distintos.

C = =−

9. Contamos a Roberto y a Alicia como una única persona, entonces, habría que ver las distintas formas de colocar a 5 personas, es decir, permutaciones de 5 elementos (120 maneras diferentes). Por otra parte, los Roberto y Alicia pueden cambiarse de sitio, luego, sus posiciones coincidirían con el número de permutaciones de 2 elementos (2 formas diferentes). Por el principio fundamental de la enumeración: P5 · P2 = 240. Solución: Existen 240 maneras de colocar a todos los amigos, estando Roberto y Alicia juntos. 10. Tenemos que ver las distintas posibilidades de elegir cada tipo de trabajador para combinarlas:

7,2

5,3

4,2

8,3

Mecánicos: 21Aprendices: 10Soldadores: 6Torneros: 5621 10 6 56 70 560Solución: Puede constituir el equipo de trabajo de 70 560 formas diferentes.

CCC

C

=

=

=

=

⋅ ⋅ ⋅ =

PÁGINA 232

SOLUCIONES_________________________________________________________________

2 2 2 2

2

2 2

2

Sustituyendo la tercera ecuación en la segunda tenemos: ( )Luego, .Despejando de la primera tenemos:Igualando la primera y la tercera llegamos a la

x y z ax y z bxy z

x y bb x y

a x y z z a b

+ + = ⎫⎪+ + = ⎬⎪= ⎭

+ == +

− − = ⇒ = −

2 22 2

2 2

ecuación de segundo grado:

2( )2 2 ( ) 0, que tiene como soluciones

2Las soluciones a nuestro sistemas son:

2( )2

b b a by by a b y

x b y

b b a by

z a b

± − −− + − = =

= − ⎫⎪

± − − ⎪= ⎬⎪

= − ⎪⎭