unidad 5 analisis numerico

7/24/2019 Unidad 5 Analisis Numerico

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UNIDAD 5ANALISIS NUMERICO

DERIVACIN E INTEGRACINNUMRICA

alumno:lzaro rojas romero


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10 DE NOVIEMBRE DEL

2014

UNIDAD 5: DERIVACIN E INTEGRACINNUMRICA

5.1 DERIVACIN NUMRICA.

Consideremos una funcin f(x) de la cual se conoce un conjunto discreto de

valores (x0, f0), (x1, f1),...,(xn, fn). El problema que vamos a abordar es el de

calcular la derivada de la funcin en un punto x que en principio no tiene por qu

coincidir con aluno de los que !uran en los datos de que disponemos. "a forma

m#s sencilla de resolver el problema de la diferenciacin numrica consiste en

estimar la derivada utili$ando frmulas obtenidas mediante la aproximacin de

%a&lor, que se denominan frmulas de diferencias !nitas. Es importante tener en

cuenta que el proceso de diferenciacin numrica es inestable. "os errores que

tenan los datos, por ejemplo los cometidos en la adquisicin de los mismos o los

debidos al redondeo aumentan en el proceso de diferenciacin como veremos a lo

laro de ste cap'tulo.

rmulas de diferencias de dos puntos

Este proceso de paso al l'mite presenta distintos problemas para ser reali$ado en

situaciones pr#cticas donde no se cono$ca la forma expl'cita de f(x). En primer

luar un l'mite no puede calcularse de modo aproximado en un computador donde

los n*meros que se manejan son !nitos. + pesar de todo es de esperar que si la

funcin f(x) no se comporta mal & 0 es un n*mero !nito pero peque-o se cumpla

Es m#s, la misma definicin de la derivada implica que si f(x) existe, entonces

a& al*n 0 a partir del cual nuestra aproximacin dista menos de una cantidad /

del valor real para la derivada. El problema es que esto slo es cierto con


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precisin in!nita &a que 0 puede ser tan peque-o que no pueda representarse en

el ordenador o que la diferencia f(x 0) f(x) est seriamente afectada por el

error de redondeo.

"a ecuacin (2.1) es la forma m#s sencilla de aproximar una derivada conocidas

f(x) & f(x0). El siuiente teorema nos proporciona informacin sobre la precisin

de esta aproximacin.

%eorema. 3ea f(x) C1 (a, b) & existe f(x) en (a, b), entonces se cumple que

4emostracin. Escribamos la aproximacin de %a&lor para la funcin en un punto

x

5eordenando la expresin anterior queda demostrado el teorema.

El teorema anterior nos indica que el error cometido al aproximar la derivada

primera por su frmula de diferencia adelantada es una funcin lineal de . Cuanto

menor sea (o sea al tomar valores de f(x) m#s cercanos) la derivada numrica

ser# m#s precisa. Este error se denomina error de truncacin o discreti$acin &

puede acotarse f#cilmente, obtenindose que E 6 m#x(x,x) 7f($)7. En realidad,

para datos obtenidos a partir de una tabla esta acotacin no es de ran utilidad

directa &a que si no se conoce la derivada primera menos a*n se conocer# la

seunda pero al menos nos permite conocer el orden de aproximacin de la

frmula.


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8eomtricamente el error 9() procede del eco de aproximar la derivada por la

pendiente de la cuerda que une los puntos f(x) & f(x ), :or otro lado, si existe la

derivada deben existir las derivadas laterales & entonces

;n problema que presenta esta frmula es que la precisin de la misma es baja &

por lo tanto en situaciones donde slo disponamos de un muestreo de baja

precisin de f(x), como ocurre en ensa&os, datos experimentales, etc., ser#

conveniente utili$ar otras frmulas de derivacin m#s precisas.

rmulas de orden superior

El error de truncacin de la frmula de diferencia adelantada de dos puntos var'a

linealmente con , de manera que es necesario usar valores de mu& peque-os

para reducir suficientemente los errores de truncacin. Es posible deducir frmulas

para las derivadas con errores de truncacin m#s peque-os. :or ejemplo,

tomemos

donde $1 (x, x ) & $2 (x , x). 5estando (2.1a) & (2.1a) obtenemos

que nos proporciona una siuiente aproximacin para la derivada con un trmino

de error de truncacin que depende cuadr#ticamente de . ;sando el teorema del


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valor intermedio f($) < (f($1) f($2))=2, & entonces, si f es suficientemente

derivable.

;sando los desarrollos de %a&lor de f(x) & f(x2) se encuentra la llamada

frmula de diferencia adelantada de tres puntos que es

5eempla$ando por en (2.>) obtenemos una frmula de diferencias retrasadas

de tres puntos

4e todas estas, la frmula de diferencia centrada es la que tiene, en principio,

menor error de truncacin & la que requiere menos evaluaciones de la funcin,

siendo por lo tanto m#s e!ciente desde el punto de vista computacional.

;tili$ando el valor de la funcin en m#s puntos se constru&en frmulas m#s

precisas para las derivadas. +luna de ellas se muestra en la tabla siuiente junto

con las que emos deducido &a.


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4erivadas de orden superior

El mismo procedimiento que se a seuido al deducir frmulas para calcular

numrica? mente las derivadas primeras puede usarse para construir derivadas

de orden superior partiendo del desarrollo de %a&lor & eliminando las derivadas

primeras. Consideremos por ejemplo las expresiones

3umando las ecuaciones anteriores & despejando se encuentra que


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:rocediendo de la misma forma es posible encontrar aproximaciones que usen

diferentes puntos & aproximaciones para derivadas de orden superior. "a tabla

siuiente presenta alunas de las frmulas m#s comunes para calcular derivadas

de orden superior.

5.2 INTEGRACIN NUMRICA: MTODO DEL TRAPECIO,

MTODOS DE SIMPSON 1/3 Y 3/8.

En los cursos de C#lculo @nteral, nos ense-an como calcular una interal definida

de una funcin continua mediante una aplicacin del %eorema undamental del

C#lculo


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Teoe!" #$%&"!e%'"( &e( C)(*$(o

3ea f(x) una funcin continua en el intervalo Aa,bB & sea (x) una anti derivada def(x). Entonces

El problema en la pr#ctica, se presenta cuando nos vemos imposibilitados de

encontrar la antiderivada requerida, a*n para interales aparentemente sencillas

como

la cual simplemente es imposible de resolver con el %eorema undamental del

C#lculo.

REGLA DEL TRAPECIO

Corresponde al caso donde n


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ue es la conocida 5ela del %rapecio. Este nombre se debe a la interpretacin

eomtrica que le podemos dar a la frmula. El polinomio de interpolacin parauna tabla que contiene dos datos, es una l'nea recta. "a interal, corresponde al

#rea bajo la l'nea recta en el intervalo Aa,bB, que es precisamente el #rea del

trapecio que se forma.

REGLA DE SIMPSON DE UN TERCIO

3uponemos que tenemos los datos

a xm b

f(a) f(xm) f(b)

donde xm es el punto medio entre a & b.

En este caso se tiene que

4onde f2(x) es el polinomio de interpolacin para los datos en la tabla anterior.

;saremos el polinomio de "a8rane. +s', tenemos que


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3i denotamos < (b?a)=2 < xm?a < b?xm, entonces

3implificando trminos

Demos que cada uno de los trminos anteriores, es esencialmente de la misma

forma, es decir, una constante por (x?)(x?F).

+s', calculamos la siuiente interal por partes

9bteniendo, por lo tanto,

;samos esta frmula para calcular la interal de cada uno de los tres trminos de

f2(x) & obteniendo como resultado final

4ebido al factor => se le conoce como la rela de 3impson de un tercio.

En la pr#ctica, sustituimos el valor de < (b?a)= 2 para obtener nuestra frmula

final


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REGLA DE SIMPSON DE TRES OCTAVOS

Este caso corresponde a n , es decir,

donde f>(x) es un polinomio de interpolacin para los siuientes datos

x0 x1 x2 x>

f(x0) f(x1) f(x2) f(x>)

G donde a< x0, b< x> & x1, x2 son los puntos que dividen en tres partes iuales

al intervalo Aa,bB.

@ual que en el caso anterior, se usa el polinomio de interpolacin de "arane, &

usando el mtodo de interacin por partes se llea a la siuiente frmula

donde < (b?a) = > . 4ebido al factor > = H es que se le dio el nombre de

5ela de 3impson de >=H. En la pr#ctica, se sustitu&e el valor de para obtener


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5.3 INTEGRACIN CON INTERVALOS DESIGUALES.

Cuando la lonitud de los subintervalos no es iual, se usa una combinacin de la

rela %rape$oidal & las relas de 3impson, procurando seuir el siuiente orden

jer#rquico

1 .? 3impson >=H

Esta se aplica, si contamos con I puntos iualmente espaciados.

2 .? 3impson 1=>

Esta se aplica si falla (1) & contamos con > puntos iualmente

espaciados.

> .? 5ela %rape$oidal

3olo se aplica si no se cumple (1) & (2)

Ejemplo

Evaluar

1


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usando la siuiente tabla

x 0 0.1 0.> 0.J 0.K 0.LJ 1.2

f(x) 0 M.HI I I.2 J.J1 J.KK 1

3olucin.

Demos que en el intervalo A0,0.01B podemos aplicar la rela del trapecio, en el

intervalo A0.1,0.KB la rela de 3impson de >=H & en el intervalo A0.K,1.2B la rela de

3impson de 1=>. +s', tenemos las siuientes interales

inalmente, la interal buscada es la suma de las tres interales anteriores

5.+ APLICACIONES.

N Otodo del trapecio


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Ejemplo 1

;tili$ar la rela del trapecio para aproximar la interal

3olucin.

;samos la frmula directamente con los siuientes datos

:or lo tanto tenemos que

N Otodo de 3impson 1=>

Ejemplo 1.

;sar la rela de 3impson de 1=> para aproximar la siuiente interal

3olucin.

+plicamos la frmula directamente, con los siuientes datos


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:or lo tanto, tenemos que

N Otodo de 3impson >=H

Ejemplo 1.

+proximar la siuiente interal

aplicando la rela de 3impson de >=H, & subdiviendo en > intervalos.

3olucin

@dentificamos n & la particin correspondiente

+l considerar los puntos que dividen en tres partes iuales a cada subintervalo,

tenemos los siuientes datos

3ustitu&endo todos los datos en la frmula, obtenemos


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