unidad 4 mate3 - unam

Matemáticas III Unidad 4. Elipse, Circunferencia y sus Ecuaciones Cartesianas

138

MATEMÁTICAS III

UNIDAD 4

ELIPSE, CIRCUNFERENCIA

Y

SUS ECUACIONES

CARTESIANAS

Trazado de la órbita de Marte según Kepler en Astronomia Nova

Johannes Kepler después de tres años de cálculos con los datos de Tycho Brahe creyó haber

encontrado los valores correctos de una órbita circular de Marte, que coincidía con diez de las

observaciones de Tycho con un error de 2 minutos de arco, una cantidad despreciable si se

considera que las observaciones de Tycho fueron realizadas sin telescopio. Sin embargo, dos

observaciones adicionales de Tycho diferían en 8 minutos de arco, una cantidad demasiado

grande. Probó otras curvas y después de varios meses de intenso trabajo descubrió que la

Elipse encajaba perfectamente con las observaciones de Tycho. Kepler comprendió al final que

su fascinación por la orbita circular había sido un engaño.


139

UNIDAD 4 ELIPSE, CIRCUNFERENCIA Y SUS ECUACIONES CARTESIANAS

4.1. Propósitos de la Unidad y los diferentes Conocimientos

Conceptuales, Procedimentales y Actitudinales 140

4.2. Diagrama Estructural 141

4.3 Nota Histórica 142

Estudio de la Circunferencia

4.4 La circunferencia como lugar geométrico 143.

Definición geométrica de la Circunferencia.

Elementos que definen a la Circunferencia.

4.5 Ecuación Ordinaria de la Circunferencia, con centro en el origen. 143

4.6 Ejercicios propuestos. 148

4.7 Ecuación Ordinaria de la Circunferencia, con centro fuera del origen. 149

Ecuación General de la Circunferencia.

4.8 Ejercicios propuestos 156

4.9 Recta tangente a una circunferencia. 157


4.11 Intersección de una recta con una Circunferencia. 159


4.13 Ejercicios diversos sobre Circunferencia. 162

Estudio de la Elipse

4.14 La Elipse como lugar geométrico. 165

a) Trazo de la Elipse.

b) Definición geométrica de la Elipse.

c) Elementos que definen a la Elipse: distancia focal, eje mayor y eje menor.

4.15 Ecuación Ordinaria de la Elipse con centro en el origen. 167


4.17 Ecuación Ordinaria de la Elipse con centro fuera del origen. 172

a) Ecuación General de la Elipse.


4.19 Ejercicios Propuestos con solución de Elipse y Circunferencia. 179

4.20 Respuestas a los ejercicios de la sección 4.19 181

4.21 Propuesta de Evaluación 182

4.22 Glosario 183

4.23 Bibliografía 183


140

UNIDAD 4.

ELIPSE, CIRCUNFERENCIA Y SUS ECUACIONES CARTESIANAS .

4.1 PROPÓSITOS: Reafirmar el Método Analítico al obtener las ecuaciones de la

Elipse y la Circunferencia y avanzar en el reconocimiento de formas, estructuras, en la

formulación de conjeturas y la resolución de problemas de corte euclideano.

Sobre los diferentes conocimientos el alumno debe ser capaz de:

Conocimiento Conceptual.

• Comprender el Concepto de las Cónicas: Circunferencia y Elipse como lugar Geométrico, así como los elementos que las definen.

• Conocer las Ecuaciones ordinarias con centro en el origen de la Circunferencia y la Elipse.

• Conocer las Ecuaciones Ordinarias con centro fuera del origen de la Circunferencia y la Elipse.

• Conocer las ecuaciones Generales de la Circunferencia y la Elipse.

• Identificar cuando una ecuación cuadrática, representa una Elipse o una

Circunferencia.

• Conocer la importancia histórica del estudio de la Elipse y la Circunferencia.

Conocimiento Procedimental.

• Trazar una Circunferencia con compás.

• Trazar una Elipse utilizando el Método del jardinero.

• Pasar de la Ecuación General de la Elipse o la Circunferencia a la Ecuación Ordinaria de la misma, para identificar sus elementos principales y graficar.

• Identificar los problemas que se pueden resolver mediante ecuaciones de la Circunferencia o la Elipse.

• Resolver problemas de corte euclideano utilizando la Elipse o la Circunferencia.

Conocimiento Actitudinal.

• Tener confianza en sus propias capacidades, fomentando la autoestima.

• Curiosidad del alumno por el planteamiento y resolución de problemas que se resuelven utilizando Circunferencias o Elipses.

• Gusto por la sistematización y secuenciación de la resolución de un problema geométrico que involucre Circunferencias o Elipses.

• Disciplina y cumplimiento del trabajo en clase y de las tareas en casa.


141

4.2 DIAGRAMA ESTRUCTURAL

MATEMÁTICAS III.

UNIDAD 4. ELIPSE, CIRCUNFERENCIA Y SUS ECUACIONES CARTESIANAS.

Cónicas

La Circunferencia como lugar Geométrico

La Elipse como lugar Geométrico

La Ecuación Cartesiana de la Circunferencia

La Ecuación Cartesiana de la

Elipse

Problemas diversos de corte Euclideano, que se resuelven con la Circunferencia y la Elipse.


142

4.3 NOTA HISTÓRICA: El estudio de las cónicas tiene su origen en el libro de Apolonio

de Perga, Cónicas, en el cual se estudian las figuras que pueden obtenerse al cortar un

cono cualquiera por diversos planos. En este trabajo existen estudios elementales sobre

determinadas intersecciones de un plano y un cono, obteniéndose círculos, elipses,

parábolas o hipérbolas según que el ángulo de corte. Si bien no disponía de la

Geometría Analítica todavía, los resultados obtenidos por Apolonio fueron los únicos

que existieron hasta que Fermat y Descartes, en una de las primeras aplicaciones de la

Geometría Analítica, retomaron el problema.

La importancia fundamental de las cónicas radica en su constante aparición en

situaciones reales, por ejemplo:

• La primera Ley de Kepler sobre el movimiento de los planetas, dice que éstos

siguen órbitas Elípticas, en uno de cuyos focos se encuentra el Sol. Es muy

posible que Newton no hubiese podido descubrir su famosa Ley de la Gravitación

Universal de no haber conocido ampliamente la Geometría de las Elipses.

• Las aplicaciones de la circunferencia y el círculo son bastantes, el invento de la

rueda, la circunferencia es la curva cerrada que con un perímetro dado, mayor

área encierra, etc.

La Circunferencia y la Elipse como el resultado de cortar un cono con un plano

horizontal e inclinado respectivamente.


143

4.4 LA CIRCUNFERENCIA COMO LUGAR GEOMÉTRICO

¿Circunferencia o Círculo? Es importante aclarar la diferencia entre estos dos

conceptos. Se llama circunferencia al conjunto de puntos cuya distancia a un punto fijo

llamado centro es constante. Los puntos de la circunferencia y los que se encuentran

dentro de ella forman una superficie llamada círculo. La circunferencia es la frontera del

círculo.

En esta unidad estudiaremos la Circunferencia como lugar Geométrico y su Ecuación

Cartesiana.

4.5 ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN

Considere los siguientes problemas en contexto:

1. Un jardinero debe trazar un círculo de radio 3 metros, para colocar pasto en el

mismo. ¿Cómo puede trazar dicho círculo?

Solución: Utilizar un compás no sería conveniente, ya que tendría que construir un

compás muy grande. Pero si amarra el extremo de una cuerda de 3 metros de largo a

una estaca fija en el piso, y al otro extremo de la cuerda le coloca una segunda estaca,

manteniendo tensa la cuerda, si desliza de manera continua la segunda estaca hasta

completar la curva, obtendrá la circunferencia que delimita al circulo buscado.

Círculo

Circunferencia


144

2. ¿Cuál es el lugar geométrico descrito por la trayectoria de un avión que se mantiene

sobrevolando la Ciudad de México a una distancia constante de 6 Km. de la torre del

aeropuerto, esperando instrucciones para su aterrizaje?, ¿Cuántos Kilómetros recorre

durante 4 vueltas de espera?

Solución:

El lugar geométrico es una Circunferencia de radio 6 Km., con centro en la torre del

aeropuerto. Dado que la longitud de una Circunferencia es:

2 (6) 12 37.69Perímetro π π= = = Por lo tanto en 4 vueltas el avión recorrió

(37.69)(4)=158.76 Km.

Generalizando el problema anterior considere el lugar Geométrico del conjunto de

puntos ( , )P x y , en el Plano Cartesiano, cuya distancia al centro (0, 0) es constante e

igual a r.


145

Según el Teorema de Pitágoras se cumple la relación algebraica:

2 2 2x y r+ = ………….(Ecuación 4.1)

La Ecuación 4.1 se conoce como la Ecuación Ordinaria de la Circunferencia con

Centro en el Origen y radio r, es decir, cualquier punto ( , )P x y que satisfaga la

ecuación: 2 2 2x y r+ = , pertenece a la circunferencia.

Por lo anterior, se puede entonces afirmar que los dos elementos que definen una

Circunferencia son el centro y el radio.

EJEMPLO 1. Encontrar la Ecuación Ordinaria de la Circunferencia con centro en el

origen y radio 10r = .

Solución: En este caso 10r = , sustituyendo este valor en la Ecuación 4.1, se obtiene:

22 2 10x y+ = , es decir 2 2 10x y+ = EJEMPLO 2. Determinar el centro y radio de la Circunferencia con Ecuación

2 2 16x y+ =

Solución: De acuerdo con la Ecuación 4.1 el centro es (0, 0), y 2 16 4r r= ⇒ =

Es importante aclarar que el radio debe ser un número no negativo, por esa razón se

consideró la raíz positiva de 16. ¿Qué ocurre si el radio es cero?

EJEMPLO 3. Considerando la siguiente figura:

a) Determinar la Ecuación Ordinaria de la Circunferencia, indicar centro y radio.

b) Localizar un punto dentro, sobre y fuera de la circunferencia. Verificar que las

distancias de dichos puntos al origen son, respectivamente: menor, igual y mayor que

el radio.


146

Solución:

a) Se observa que el centro es (0, 0) y el radio 5r = , así la Ecuación Ordinaria de la

Circunferencia resulta: 2 2 25x y+ =

b) El punto (2,2)P es un punto que se localiza dentro de la circunferencia, utilizando

la fórmula de distancia entre dos puntos se tiene:

2 2( , ) (2 0) (2 0) 8 2.82 5d C P = − + − = = ≺

El punto (5,0)Q es un punto que se localiza sobre la Circunferencia, ocurre:

2 2( , ) (5 0) (0 0) 25 5d C Q = − + − = = = radio

El punto (5,4)R es un punto que se localiza fuera de la Circunferencia, ocurre:

2 2( , ) (5 0) (4 0) 25 16 41 6.40 5d C R = − + − = + = = ≻

EJEMPLO 4. Encuentra la Ecuación Ordinaria de la Circunferencia con centro en el

origen, que pasa por el punto (2.5,7)P


147

Solución:

Se sabe que el centro es (0, 0), falta conocer el radio. Utilizando la fórmula de distancia

entre dos puntos:

El radio 2 2( , ) (2.5 0) (7 0) 55.25 7.34r d C P= = − + − = =

Luego la Ecuación Ordinaria buscada es: 2 2 55.25x y+ =

EJEMPLO 5. Encuentra la Ecuación Ordinaria de la Circunferencia cuyos extremos de

un diámetro son los puntos ( 3, 5)P − − y (3,5)Q

Solución:

Observando la gráfica se tiene que el centro es (0, 0), lo cual se verifica calculando el

punto medio del diámetro = PQ, es decir.

Centro = ( )1

2

3 3 5 5, 0,0

2 2PQP

− + − + =

El radio se calcula como:

2 2( , ) ( 3 0) ( 5 0) 34 5.83r d C P= = − − + − − = = ,

Luego la Ecuación Ordinaria de la Circunferencia resulta:

2 2 54x y+ =


148

4.6 EJERCICIOS PROPUESTOS

(Ecuación de la Circunferencia con centro en el ori gen) 1. Encuentra la Ecuación Ordinaria de la Circunferencia con centro en el origen y radio dado:

a) 1r = b) 5r = c) 12r = d) 1

2r = e) 121r =

2. Encuentra el radio de la circunferencia dada y grafica.

a) 2 2 81x y+ = b) 2 2 36x y+ = c) 2 2 4 0x y+ − =

d) 2 22 2 200x y+ = e) 2 24 4 64 0x y+ − = f) 2 23 3 27 0x y+ − = )

3. Considerando la figura: a) Determinar la Ecuación Ordinaria de la Circunferencia, indicar centro y radio.

b) Localizar un punto dentro, sobre y fuera de la circunferencia. Verificar que las

distancias de dichos puntos al origen son, respectivamente: menor, igual y mayor que el

radio.

4. Encuentra la Ecuación Ordinaria de la Circunferencia con centro en el origen, que

pasa por el punto dado:

a) (2.5,10)P b) ( 4,3.5)P − c) (5.5,8)P d) ( 6, 4)P − − e) (7, 9.5)P −

5. Encuentra la Ecuación Ordinaria de la Circunferencia cuyos extremos de un diámetro

son los puntos P, Q.

a) ( 2, 5)P − − y (2,5)Q b) ( 4, 4)P − − y (4,4)Q c) ( 3,2.5)P − y (3, 2.5)Q − d) (0, 1)P − y (0,1)Q


149

6. Encuentra la Ecuación Ordinaria de la Circunferencia con centro en el origen, que

pasa por los puntos ( 3,4)P − y (0,5)Q .

4.7 ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN

Considere ahora el problema de hallar el lugar geométrico de los puntos ( , )P x y que

equidistan 4 unidades del punto (2,3)Q

Solución:

El problema es equivalente a plantear la siguiente ecuación en términos de distancia

entre dos puntos:

( , ) 4d P Q = 2 2( 2) ( 3) 4x y⇒ − + − =

2 2( 2) ( 3) 16x y− + − =

Esta ecuación representa una circunferencia con centro (2,3) y radio 4.


150

Generalizando el problema anterior, hallar el lugar geométrico de los puntos ( , )P x y que

equidistan r unidades del punto de coordenadas ( , )h k

El problema es equivalente a plantear la siguiente ecuación en términos de distancia

entre dos puntos: ( , )d P Q r=

2 2( ) ( )x h y k r⇒ − + − =

2 2 2( ) ( )x h y k r− + − = ………(Ecuación 4.2)

Esta ecuación, se conoce como la Ecuación Ordinaria de la Circunferencia

Con centro ( , )h k y radio r .

Si desarrollamos los términos de la Ecuación 4.2 obtenemos:

2 2 2 2 22 2x hx h y ky k r− + + − + =

2 2 2 2 2( 2 ) ( 2 ) 0x y h x k y h k r+ + − + − + + − =


151

Si 2D h= − , 2E k= − y 2 2 2F h k r= + −

Se obtiene la que se conoce como La Ecuación General de la Circunferencia:

2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = …………(Ecuación 4.3)

EJEMPLO 1. Encontrar la Ecuación General de la Circunferencia con centro (-2, 3) y

radio 5, hacer la gráfica.

Solución:

Sustituyendo directamente las coordenadas del centro y el radio en la Ecuación

Ordinaria 4.2 se obtiene:

2 2 2( ( 2)) ( 3) 5x y− − + − =

Desarrollamos para obtener la Ecuación General pedida:

2 24 4 6 9 25x x y y+ + + − + =

2 2 4 6 4 9 25 0x y x y+ + − + + − =

2 2 4 6 12 0x y x y+ + − − =

Su gráfica es:


152

EJEMPLO 2. Encontrar la Ecuación General de la Circunferencia que tiene como

extremos de un diámetro los puntos P(-1,3) y Q(11,3), hacer la gráfica.

Solución:

El centro de la circunferencia buscada esta dado por el punto medio entre los puntos P

y Q, es decir:

( )1

2

1 11 3 3, 5,3 ( , )

2 2PQcentro P h k

− + + = = =

Para calcular el radio utilizamos la fórmula de distancia entre dos puntos:

2 2( , ) ( 1 5) (3 3) 6radio d C P= = − − + − =

Sustituyendo en la Ecuación Ordinaria 4.2 tenemos:

2 2 2( 5) ( 3) 6x y− + − =

2 210 25 6 9 36x x y y− + + − + =

La Ecuación general buscada resulta: 2 2 10 6 2 0x y x y+ − − − =

Su gráfica es:


153

EJEMPLO 3. Dada la Ecuación General de la Circunferencia encontrar Centro, radio y

graficar. 2 2 4 6 4 0x y x y+ + − + =

Solución 1: Usando los coeficientes de la Ecuación General Recordamos que en La Ecuación General de la Circunferencia:

2 2 0x y Dx Ey F+ + + + =

2D h= − , 2E k= − y 2 2 2F h k r= + −

Luego en nuestro ejemplo:

4 2 2D h h= = − ⇒ = −

6 2 3E k k= − = − ⇒ =

2 2 2 2 24 4 4 9 4 3F h k r r h k= = + − ⇒ = + − = + − =

Por lo tanto el centro es (-2, 3) y el radio 3.

Solución 2:

Completando el Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP)

De la Ecuación general dada

2 2 4 6 4 0x y x y+ + − + =

1er. Paso, ordenar los Términos: 2 24 6 4x x y y+ + − = −

2do. Paso, Completar el TCP, (el término que se agrega es, la mitad del coeficiente del

término lineal al cuadrado, para la variable x, y también para la variable y) 2 24 4 6 9 4 4 9x x y y+ + + − + = − + +

(Observe que los sumandos +4+9, se agregan en ambos lados de la ecuación, lo que

permite que la igualdad siga siendo válida)

Simplificando: 2 24 4 6 9 9x x y y+ + + − + =

3er.Paso, se factoriza el TCP: 2 2( 2) ( 3) 9x y+ + − =


154

4to. Paso, se deduce el centro y el radio: Utilizando la Ecuación 4.1 se obtiene:

Centro (-2,3) y radio 3

5to. Paso, trazar la gráfica.

EJEMPLO 4. . Determinar la Ecuación General de la Circunferencia que tiene como

Centro (4, 6.5) y que pasa por el punto P (2, 4), graficar.

Solución:

Para utilizar la Ecuación Ordinaria 2 2 2( ) ( )x h y k r− + − =

Se necesitan dos condiciones, el centro y el radio. El centro es dato.

¿Cómo calcular el radio?

El radio es la distancia entre el centro y el punto P.

Así utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos,

d( P, Q ) = 2 22 1 2 1( ) ( )x x y y− + −

Calculamos la distancia entre el centro C y el punto P,

radio = d (C, P ) = 2 2(2 4) (4 6.5)− + − = 3.20

Así las cosas sustituyendo el centro y radio en la Ecuación Ordinaria se tiene, 2 2 2( 4) ( 6.5) 3.20x y− + − =

Desarrollando los binomios e igualando a cero, llegamos a la Ecuación General,

2 2 8 13 48.01 0x y x y+ − − + =


155

La gráfica es:

EJEMPLO 5. Hallar la Ecuación Ordinaria, el centro y radio de la Circunferencia que

pasa por los puntos P(0,6), Q(4,-2) y R(9,3), graficar.

Solución:

Como los puntos P, Q y R, no están alineados, existe una circunferencia que pasa por

ellos. Sustituyendo cada uno de los tres puntos en la Ecuación General

2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = Formaremos un Sistema de 3X3.

Sustituyendo P(0, 6) 2 20 6 (0) (6) 0 1: 0 6 36D E F Ecuación D E F⇒ + + + + = ⇒ + + = −

Sustituyendo Q(4,-2) 2 24 ( 2) (4) ( 2) 0 2: 4 2 20D E F Ecuacion D E F⇒ + − + + − + = ⇒ − + = −

Sustituyendo R(9, 3) 2 29 3 (9) (3) 0 3: 9D+3E+F= 90D E F Ecuación⇒ + + + + = ⇒ −

Es decir debemos resolver el Sistema de Ecuaciones:

0 6 36

4 2 20

9 3 90

D E F

D E F

D E F

+ + = −− + = −+ + = −


156

Utilizando alguno de los Métodos estudiados en la Unidad 1, se resuelve el Sistema y

obtenemos los siguientes valores 8 = 6 =0D E F= − −

Por lo tanto la Ecuación General es: 2 2 8 6 0 0x y x y+ − − + =

Completando el TCP, para obtener la Ecuación Ordinaria se tiene:

2 2 2 2 2 28 4 6 3 4 3x x y y− + + − + = +

2 2( 4) ( 3) 25x y− + − =

Luego el Centro es (4, 3) y el radio 5 lo cual se verifica geométricamente:


(Ecuación de la Circunferencia con centro fuera del origen) 1. Encontrar la Ecuación General de la Circunferencia con centro y radio indicados,

graficar.

a) Centro(-1, 3) y radio =6 b) Centro(5, -7) y radio =2 a) Centro(9, -2) y radio =1

2. Encontrar la Ecuación General de la Circunferencia que tiene como extremos de un

diámetro los puntos P y Q, hacer la gráfica.

a) P(-1,-2) y Q(5,4) b) P(-6,7) y Q(2, 3) c) P(8, -4) y Q(-2, 4) d) P(-5,-3) y Q(-1,-1)


157

3. Determinar la Ecuación General de la Circunferencia con centro dado, que pasa por

el punto indicado, graficar.

a) Centro(-7, -4) pasa por P(-2, -2) b) Centro(-5, -2) pasa por P(-8,2)

c) Centro(0.5, 3) pasa por P(1, 5) d) Centro(-4, -3) pasa por P(-2, -4)

4. Dada la Ecuación General de la Circunferencia encontrar Centro, radio y graficar.

a) 2 2 10 6 30 0x y x y+ − − − = b) 2 22 2 4 8 8 0x y x y+ + − − = c) 2 2 8 6 0x y x y+ + + =

d) 2 2 2 15 0x y x+ − − = e) 2 2 14 6 30 0x y x y+ + − + = f) 2 23 3 6 6 6 0x y x y+ + − − =

5. Hallar la Ecuación Ordinaria, el centro y radio de la Circunferencia que pasa por los

puntos P, Q y R, graficar.

a) P(1,-1), Q(5, 6) y R(-2,1) b) P(2,1), Q(-4,3) y R(-6,5)

c) P(4,-3), Q(2,11) y R(-4,-7) d) P(1, -4), Q(5, 4) y R(10, -11)

6. Dado el cuadrado de vértices P(-3,2), Q(-7,2),R(-7, -2) y S(-3,-2), encuentra la

Ecuación General de la Circunferencia Inscrita y de la Circunferencia Circunscrita,

hacer la grafica.

4.9 RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA

Una recta es tangente a una Circunferencia si toca a ésta en un solo punto y además es

perpendicular al radio que une el centro de la Circunferencia con el punto de tangencia.

Esta propiedad es la que nos permite encontrar la Ecuación de la recta tangente.

EJEMPLO 1. Encontrar la Ecuación de la Recta tangente a la Circunferencia: 2 2( 3) ( 12) 100x y− + − = en el punto P(-5,6).

Solución:

Calcularemos primero la pendiente del radio que une el punto P con el centro de la

Circunferencia, llamémosle 1m El Centro tiene coordenadas C(3, 12). Utilizando la

fórmula de pendiente se tiene:

2 11

2 1

6 12 30.75

5 3 4

y ym

x x

− −= = = =− − −


158

Recordando la condición de perpendicularidad en las pendientes 21

1m

m

−= , la pendiente

de la recta tangente a la Circunferencia en P es:

2

1 41.33

3 34

m− −= = = −

Usando la fórmula de Punto-Pendiente: 1 1( )y y m x x− = −

6 1.33( ( 5))y x− = − − −

Es decir, la Ecuación de la recta tangente resulta:

1.33 0.65y x= − −


1. Encontrar la Ecuación de la Recta tangente a la Circunferencia dada en el punto P

indicado, graficar.

a) Circunferencia con centro (1,7), radio 13 y P(13,12). b) Circunferencia 2 24 4 20 24 41 0x y x y+ + + + = y P(-0.5, -2)

c) Circunferencia con centro (12,0), radio 37 y P(6,1) d) Circunferencia 2 2 10 2 3 0x y x y+ − − − = y P(0, -3)

e) Circunferencia 2 2( 1) ( 1) 20x y+ + − = y P(3, 3)


159

2. Encuentra las Ecuaciones de las rectas tangentes a la Circunferencia 2 2 8 4 80 0x y x y+ + + − = en los puntos P(4,-8) y Q(2,6). Después encuentra el punto

donde se cortan dichas tangentes, graficar.

4.11 INTERSECCIÓN DE UNA RECTA CON UNA CIRCUNFERENC IA

La siguiente figura nos muestra las tres posibilidades que pueden ocurrir en la

intersección de una recta con una Circunferencia.

Estas tres posibilidades, en términos algebraicos se traducen en resolver el Sistema de

Ecuaciones, formado por las Ecuaciones de la Recta y la Circunferencia. Sí el Sistema

cumple que:

1. Hay dos soluciones, entonces se cortan en dos puntos.

2. Hay una solución, entonces son tangentes, es decir, se cortan en un

sólo punto.

3. No hay solución, entonces no se cortan o son ajenos.


160

EJEMPLO 1. Encontrar la intersección de la recta 5y x= − − con la circunferencia

2 2 2 4 4 0x y x y+ − − − = , graficar.

Solución:

Debemos resolver simultáneamente el Sistema de Ecuaciones:

Ecuación1: 5y x= − −

Ecuación 2: 2 2 2 4 4 0x y x y+ − − − =

Sustituyendo Ec.1 en Ec. 2 se tiene: 2 2( 5) 2 4( 5) 4 0x x x x+ − − − − − − − =

Desarrollando, simplificando y ordenando, se obtiene la siguiente Ecuación Cuadrática:

22 12 41 0x x+ + =

Aplicando la Fórmula General para resolver la Ecuación Cuadrática se tiene:

212 12 4(2)(41) 12 184

2(2) 4x

− ± − − ± −= =

Como el discriminante es negativo, la ecuación cuadrática no tiene soluciones reales, lo

que significa que ocurre el CASO 3, es decir la recta y la Circunferencia no se cortan o

son ajenas, como se observa en la siguiente gráfica.


161

EJEMPLO 2. Encontrar la intersección de la recta 2 3y x= + con la circunferencia

2 2 2 4 4 0x y x y+ − − − = , graficar.

Solución:

Debemos resolver simultáneamente el Sistema de Ecuaciones:

Ecuación1: 2 3y x= +

Ecuación 2: 2 2 2 4 4 0x y x y+ − − − =

Sustituyendo Ec.1 en Ec. 2 se tiene: 2 2(2 3) 2 4(2 3) 4 0x x x x+ + − − + − =

Desarrollando, simplificando y ordenando, se obtiene la siguiente Ecuación Cuadrática:

25 2 7 0x x+ − =

Aplicando la Fórmula General para resolver la Ecuación Cuadrática se obtienen las

siguientes soluciones: 1 1.4x = − y 2 1x = por lo que los respectivos valores de la

segunda coordenada son:

1 2( 1.4) 3 0.2y = − + = , y 2 2(1) 3 5y = + =

Como hay dos soluciones, ocurre CASO 1, los puntos de intersección de la recta con la

circunferencia son:

1 1( , ) ( 1.4,0.2)P x y = − y 2 2( , ) (1,5)Q x y =

Lo anterior se confirma en la siguiente gráfica:


162


1. En cada ejercicios encuentra la intersección de la recta y la circunferencia, graficar.

a) 2 22 14 , + +10 4 25 0 y x x y x y= + − + = b) 2 23 , + 12 8 43 0y x x y x y= − + − − + =

c) 2 23 4 , + 16 24 0 y x x y x= − − + = d)

2 22 5 , + +8 12 3 0 y x x y x y= − + + =

e) 4 , círculo con centro(-4, -2), radio 4x y+ = f) 2 22 1 , ( 1) +( 2) =25 y x x y= + − −

4.13 EJERCICIOS DIVERSOS SOBRE CIRCUNFERENCIA

1. Determinar la ecuación general de la circunferencia cuyos extremos de un diámetro

son los puntos:

a) A=(-8,3) B=(10,8) b)A=(-2,3) B=(6,-12) c) A=(-1,-1) B=(12,6)

2. Determinar la ecuación general de la circunferencia con centro en C y tangente a la

recta L1. a) C=(0.5,0.5) L1: y=10x+12 b) C=(-3,-8) L1: y=-x+5

3. Determinar centro y radio de la circunferencia que pasa por los puntos:

a)P=(2,-2) Q=(-1,4) R=(4,6) b)P=(4,-1) Q=(0,-7) R=(-2,-3)

c)P=(-2,-4) Q=(8,2) R=(1,10) d) P= (0,0) Q=(5,5) R=(1,8)

4. Determinar la longitud de la banda que ajusta perfectamente a los círculos cuyas

ecuaciones son:

a) x2+y2-4x-10y+28=0, x2+y2-20x-10y+109=0

b) x2+y2-10x-2y+25.75=0, x2+y2-2x-2y+1=0

5. Determinar la ecuación general de la circunferencia inscrita y circunscrita al

cuadrado determinado por los vértices:

a) A=(2,2) B=(10,2) C=(10,10) D=(2,10)

b) A=(-3,-3) B=(2,-3) C=(2,2) D=(-3,2)

6. Hallar la ecuación general de la circunferencia cuyo centro es la solución del

sistema , y radio igual a la distancia del centro a la recta dada:

a) 5x-6y=20 L:y=5x+8 b) x+y=5 L: y=-5x+10

7x-8y=22 5x+2y=13

7. Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro en la recta L, que pasa por

los puntos indicados:

a) L: y=-2x-6 P=(1,5) Q=(6,2) b) L: y=x-3 P=(-6, 6) Q=(-1,9)


163

8. Dada la ecuación de la circunferencia determinar un punto dentro del círculo, otro

sobre la circunferencia y otro fuera del círculo:

a) x2+y2-6x+8y-11=0 b) x2+y2+4x+6y-29=0 c) x2+y2+10x-20=0

9. Determinar si las siguientes circunferencias, son concéntricas, tangentes o no se

cruzan, comparar d(C1,C2) y r1+r2 graficar:

a) 2x2+2y2-4x-4y+2=0, x2+y2-14x-2y+25=0

b)3x2+3y2+6x-24y+39=0, 4x2+4y2-40x+8y+79=0

10. Sombrear la región en el plano determinada por la desigualdad dada:

a)5x2+5y2+50x-45y-100 0≤ b) 2 2 10 40 0x y y+ − − >

c) 2 2 14 14 25 0x y x y+ − + − ≥ d) 2 2 7 12 0x y x y+ − − <

11. Encuentra la ecuación de la recta tangente en el punto P, a la circunferencia dada: a)

P=(3,3) , 2 2( 1) ( 1) 20x y+ + − = b) P=(-0.5,-2) 2 24 4 20 24 41 0x y x y+ + + + =

c) P=(13,12), 2 2( 1) ( 7) 169x y− + − =

12. Encuentra la intersección de la recta y la circunferencia:

a) x+y-2=0 , x2+y2-12x-8y+43=0

b) 4x-y-4=0, x2+y2-16x+24=0

c) 2x+y-1=0, circunferencia con centro=(-4,-2) y radio 4.

13. Dadas las circunferencias x2+y2+6x-4y-51=0, x2+y2-10x+14y+49=0 encuentra la

ecuación de la recta que une los centros de las mismas.

14. Dadas las circunferencias x2+y2-8x-2y+8=0,x2+y2+4x+2y+1=0, encontrar la ecuación

de la recta que es perpendicular a la recta que une los centros de las circunferencias y

que pasa por el centro de la primera circunferencia.

15. Encuentra:

a) Los puntos de intersección de las circunferencias

x2+y2+2x-4y-8=0, x2+y2-2x-6y=0,

b) La ecuación de la recta que une los centros de las circunferencias,

c) La ecuación de la recta que une los puntos de intersección de las circunferencias.

16. Escribe la ecuación general de la circunferencia con centro=(4,-6), radio 4

Considera el punto P=(4,-4.75), ¿está el punto P dentro de la circunferencia?


164

17. Encuentra las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia x2+y2+8x+4y-

80=0 en los puntos P=(4,-8),Q=(2,6) después encuentra el punto donde se cruzan

dichas rectas tangentes.

18. Encuentra la ecuación general de la circunferencia con centro en el punto C=(-2,-1)

que pasa por el punto P=(1,3).

19. Dibuja la región del plano que se ubica debajo de la recta –5x+y-12=0 y en el

exterior de la circunferencia 2x2+2y2+12x-20y-40=0.

20. El segmento que une los puntos P=(1,1) Q=(5,3) es un diámetro de una

circunferencia. Escribe la ecuación de dicha circunferencia. Dibuja la región que se

encuentra dentro de la circunferencia y arriba de la recta 3x+y-11=0.

21. Dibuja la región que se encuentra dentro de la circunferencia 2 2 8 6 16 0,x y x y+ + − + = fuera de la circunferencia 2 2 2 4 1 0,x y x y+ + − + = arriba de la

recta x+3y=0 y debajo de la recta x-y+5=0.

22. Encuentre la ecuación de la circunferencia de radio 5,con centro en el primer

cuadrante, y que pasa por P=(3,0) y Q=(0,1).

23. Encuéntrese la ecuación general de la circunferencia con centro en (5,-7) que es

tangente al eje X.

24. Encuéntrese la ecuación de la circunferencia con centro en la recta y=x, que es

tangente al eje Y en P=(0,5).

25. La Tierra está representada sobre un mapa de una parte del Sistema Solar de

manera que su superficie es la circunferencia dada por la ecuación:

x2+y2+2x+4y-4091=0.

Un satélite gire alrededor de la Tierra a una altura, medida desde su superficie de ésta,

de 0.6 unidades con el centro de su órbita circular localizada en el centro del planeta.

Encuentre la ecuación de la órbita del satélite en éste mapa.

26. Dimensiones de la tierra. La intersección de un plano y una esfera es una

circunferencia. Ésta es máxima cuando su diámetro coincide con el de la esfera.

a) ¿Cuál es el diámetro de la tierra, si el radio de la circunferencia máxima terrestre es

de 6378.5 Km.?

b) ¿Cuánto mide la Circunferencia Ecuatorial?

c) Considerando el centro (0,0), determinar la ecuación de la Circunferencia Ecuatorial.


165

4.14 LA ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO

Trazo de una Elipse utilizando un hilo, un lápiz y un par de tachuelas.

En una superficie plana se fijan dos tachuelas como focos de una Elipse. Cun un hilo

más largo que la distancia entre las tachuelas, atado por sus extremoa a éstas, se

desliza la punta de un lápiz de un extremo a otro del hilo, manteniendo tenso éste. La

punta del lápiz describe en cada momento del trazo un punto de la Elipse, ya que la

suma de las distancias a los focos es siempre constante e igual al largo del hilo atado.

El siguiente problema histórico en contexto es muy importante para la astronomía:

El astrónomo alemán Johannes Kepler (1571-1630) formuló las tres famosas leyes que

llevan su nombre después de analizar un gran número de observaciones realizadas por

Tycho Brahe (1546-1601) de los movimientos de los planetas, sobre todo de Marte.

Kepler, haciendo cálculos sumamente largos, encontró que había discrepancias entre la

trayectoria calculada para Marte y las observaciones de Tycho, diferencias que

alcanzaban en ocasiones los 8 minutos de arco (las observaciones de Tycho poseían

una exactitud de alrededor de 2 minutos de arco). Estas diferencias lo llevaron a

descubrir cual era la verdadera órbita de Marte y los demás planetas del Sistema Solar.

En seguida enunciamos la tres Leyes de Kepler:


166

1. Las órbitas de los planetas son elipses que presentan una pequeña excentricidad y

en donde el Sol se localiza en uno de sus focos.

2. Las áreas barridas por el radio vector que une a los planetas al centro del Sol son

iguales a tiempos iguales.

3. Los cuadrados de los períodos orbitales de los planetas son proporcionales a los

cubos de sus distancias medias al Sol.

Interpretación Geométrica de la Primera Ley de Kepl er

Los planetas describen órbitas elípticas estando el Sol en uno de sus focos

r1 es la distancia más cercana al foco (cuando θ=0º, conocido como el Perihelio)

r2 es la distancia más alejada del foco (cuando θ=180º, conocido como afelio)

Una elipse es una figura geométrica que tiene las siguientes características:

• Semieje mayor a=(r2+r1)/2 • Semieje menor b • Semidistancia focal c=(r2-r1)/2 • La relación Pitagórica entre los semiejes es a2=b2+c2 • La excentricidad se define como el cociente e=c/a=(r2-r1)/(r2+r1)


167

Una Elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a

dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.

Una Elipse es básicamente un círculo ligeramente aplastado. Técnicamente se

denomina Elipse a una curva plana y cerrada en donde la suma de la distancia a los

focos (puntos fijos, F1 y F2) desde uno cualquiera de los puntos P que la forman es

constante e igual a la longitud del eje mayor de la elipse (segmento V1V2). El eje menor

de la elipse es el segmento W1W2, es perpendicular al segmento V1V2 y corta a este

por el centro de la Elipse.

4.15 ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE CON CENTRO (0 ,0) Ecuación analítica de la elipse: para simplificar la explicación ubiquemos a los focos

sobre el eje de las x, situados en los puntos F1 (-c,0) y F2 ( c,0). Tomemos un punto

cualquiera P de la elipse cuyas coordenadas son (x, y). En el caso de la elipse la suma

de las distancias entre PF1 y PF2 es igual al doble del radio sobre el eje x. Entonces:

PF1 + PF2 = 2a. Utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos, tenemos:

2 2 2 2( ) ( 0) ( ) ( 0) 2x c y x c y a− + − + + + − =

Elevamos al cuadrado ambos miembros para eliminar las raíces, desarrollamos los

cuadrados y después de simplificar resulta finalmente:

2 2

2 21

x y

a b+ = …………(.Ec.4.4)

Esta se conoce como la Ecuación Ordinaria de la Elipse Horizontal con centro (0,0)


168

Si la Elipse fuera vertical con centro (0,0), entonces los focos serían F1(0,c) y F”(0,-c)

Entonces: PF1 + PF2 = 2a. Utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos,

tenemos:

2 2 2 2( 0) ( ) ( 0) ( ) 2x y c x y c a− + − + − + + =

Elevamos al cuadrado ambos miembros para eliminar las raíces, desarrollamos los

cuadrados y después de simplificar resulta finalmente:

2 2

2 21

x y

b a+ = …………(.Ec.4.5)

Esta se conoce como la Ecuación Ordinaria de la Elipse Vertical con centro (0,0)

Elementos Básicos de la Elipse con Centro (0,0)

1. Centro (0,0)

2. Parámetros: , , ,a b c donde " "a es siempre el mayor y se cumple la relación Pitagórica

importante 2 2 2a b c= +

3. El eje mayor es la distancia entre los vértices, tal que el segmento 1 2 2VV a=


169

4. Los extremos del eje menor, les llamaremos 1 2,W W y son tales que el segmento

1 2 2WW b=

5. El eje focal es colineal con el eje mayor, se cumple que el segmento 1 2 2F F c=

6. Lado recto = 22b

a

(El lado recto es un segmento perpendicular a los focos, determina el “ancho “de la

elipse)

7. Para medir cuán distinta de un círculo es una elipse dada se utiliza la noción de

excentricidad, c

ea

= .La excentricidad corresponde a la relación existente entre la

distancia c, de un foco al centro de la elipse y el semieje mayor a. Para comprender

cómo se usa esta cantidad, la excentricidad, como característica de la forma de una

elipse, nótese que como los focos de una elipse están situados en el eje mayor entre

los vértices y el centro, se sigue: 0 < c < a. Para una elipse casi circular, los focos están

muy cerca del centro y el cociente c/a es muy pequeño (0 para una circunferencia).

Para una elipse alargada, los focos están cerca de los vértices y el cociente c/a es

próximo a 1. Por tanto todas las elipses cumplen que:

0 < e < 1.

8. Ecuación Ordinaria:

a) Elipse Horizontal: 2 2

2 21

x y

a b+ = b) Elipse Vertical:

2 2

2 21

x y

b a+ =

9. Ecuación General: 2 2 0Ax By C+ + =

10. Trazar la grafica.

Las órbitas de los planetas son elípticas, presentando una pequeña excentricidad. En el

caso de la Tierra el valor de la excentricidad es de 0.017, el planeta de mayor

excentricidad es Plutón con 0.248, y le sigue de cerca Mercurio con 0.206, unidades

astronómicas.

EJEMPLO. Determinar la Ecuación Ordinaria y General de la Elipse con centro (0,0), si

un vértice se localiza en (6, 0) y el eje focal tiene longitud igual a 10, graficar.


170

Solución:

Dadas las coordenadas del vértice, se deduce que el parámetro mayor, 6a = . La

longitud del eje focal, 1 2 2F F c= , es decir 10 2c= , por lo que 5c = .

Todos los problemas de Elipse son de tal naturaleza que siempre los datos o

condiciones nos permiten deducir fácilmente dos parámetros, el tercero faltante se

obtiene de la relación; 2 2 2a b c= +

En nuestro caso nos falta el parámetro b , despejando se tiene que:

2 2 2 26 5 11b a c= − = − = . Si graficamos los datos se observa que se trata de una

Elipse horizontal con centro en el origen.

Así la ecuación ordinaria que utilizamos es 2 2

2 21

x y

a b+ = ,

Por lo tanto la Ecuación Ordinaria de la Elipse es:

2 2

136 11

x y+ =

Observe que en la ecuación ordinaria no aparece el parámetro c .


171

Para obtener la Ecuación General, es decir, la ecuación sin denominadores e igualada

a cero.

Partimos de 2 2

136 11

x y+ = , multiplicando ambos lados por el producto 36X11=396

Se tiene 2 211 36 396x y+ = , por lo que finalmente la Ecuación General es:

2 211 36 396 0x y+ − =


ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO (0,0) 1. Para las siguientes elipses con centro en el origen hallar todos sus elementos y

graficar:

a)2 2

125 9

x y+ = b) 2 2

1169 25

x y+ = c) 2 2

19 4

x y+ = d) 2 2

1169 144

x y+ = e) 2 2

164 100

x y+ =

f) 2 2

116 25

x y+ = g) 2 216 25 400 0x y+ − = h) 2 225 4 100 0x y+ − =

i) 2 216 9 144 0x y+ − = j) 2 22 3 12 0x y+ − = k) 2 220 25 1000 0x y+ − =

l) Un vértice en (6,0) y eje menor igual a 10.

m) Un vértice en (4,0) y un extremo del eje menor en (0,3).

n) Un foco en (2,0) y un vértice en (5,0).

ñ) Vértices en (20,0) y (-20,0) y 3

5e= .

o) Un foco en (0,-4) y eje menor igual a 4.

p) Focos en (6,0) y (-6,0) y 3

5e=

q) Un foco en (0,3) y la longitud del lado recto igual a 9.

r) Focos en (4,0) y (-4,0) y la longitud del lado recto igual a 12.


172

APLICACIONES DE LA ELIPSE

En estos ejercicios considere la Elipse con centro (0,0) Horizontal

2. La distancia media de la Tierra al sol es de 149600 Km. Esta distancia es el semieje

mayor de la elipse descrita por su trayectoria orbital ardedor del Sol. La excentricidad

de la órbita, calculada por los astrónomos, es de 0.02. Como ese valor es cercano a

cero, indica que la órbita tiene forma de una elipse no muy alargada, parecida a una

circunferencia.

a) ¿Cuál es la distancia mínima a la que se acerca la Tierra al Sol, durante su

trayectoria alrededor de éste?

b) ¿Cuál es la máxima distancia a la que se aleja del Sol?

c) Escribir la ecuación de una elipse que describa la trayectoria de la Tierra en su

viaje alrededor del Sol.

d) Hallar todos los elementos de la Elipse y graficarla.

3. El Sistema Solar. En la tabla siguiente se proporcionan las excentricidades de las

órbitas de los planetas que giran alrededor del Sol.

Mercurio Venus Tierra Marte Júpiter Saturno Urano Neptuno Plutón

0.21 0.01 0.02 0.09 0.05 0.06 0.05 0.01 0.25

Suponiendo que todas las elipses horizontales con centro en el origen. Para cada uno

de los planetas, hallar todos sus elementos y graficar.

4. La Luna y la Tierra. La máxima distancia a la que se le aleja la Luna de la Tierra es

de 403,200Km. y la mínima es de 364,800 Km.

Escribir la ecuación que describe dicha trayectoria, hallar todos sus elementos y graficar.

4.17 ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE CON CENTRO (h ,k)

Para obtener la Ecuación Ordinaria de la Elipse Horizontal con centro (h,k), se realiza

un procedimiento de cambio de coordenadas, es decir, en la Ecuación Ordinaria básica

de la Elipse con centro en el origen, reemplazamos x y y por x-h y y-k

respectivamente, lo que significa cambiar el Centro de la Elipse (0,0) por (h,k).


173

Ecuación Ordinaria Básica de Ecuación Buscada de

La Elipse Horizontal con Centro (0,0) La Elipse Horizontal con Centro (h, k)

2 2

2 21

x y

a b+ =

2 2

2 2

( ) ( )1

x h y k

a b

− −+ = …(Ec.4.6)

A la Ecuación 4.6 se le conoce como la Ecuación Ordinaria de la Elipse Horizontal con

Centro (h, k)

EJEMPLO 1. Determinar la Ecuación Ordinaria de la Elipse con centro (-2,4), si uno de

sus vértices es (3,4), y uno de los extremos del eje menor es (-2,7)

Solución:

Graficando los datos nos damos cuenta que el parámetro 5a = y el parámetro 3b = , y

dado que el centro es dato, utilizando la Ec.4.6 se obtiene la siguiente Ecuación

Ordinaria Buscada:

2 2( 2) ( 4)1

25 9

x y+ −+ =

La gráfica es:

Con el procedimiento de cambio de coordenadas, es decir, reemplazar x y y por x-h

y y-k respectivamente, obtenemos:


174

Ecuación Ordinaria Básica de Ecuación Buscada de

La Elipse Vertical con Centro (0,0) La Elipse Vertical con Centro (h, k)

2 2

2 21

x y

b a+ =

2 2

2 2

( ) ( )1

x h y k

b a

− −+ = …. .(Ec.4.7)

A la Ecuación 4.7 se le conoce como la Ecuación Ordinaria de la Elipse Vertical con

Centro (h, k)

EJEMPLO 2. Determinar la Ecuación General de la Elipse con centro ( 2,-1), el eje

mayor paralelo al eje Y de longitud 10, y la longitud del eje menor igual a 8.

Solución:

Por los datos del problema se tiene una elipse vertical con centro (h, k) es decir se debe

utilizar la Ecuación Ordinaria 4.7

2 2

2 2

( ) ( )1

y k x h

a b

− −+ =

El centro (2, -1) se deduce que h = 2, y k = -1, como el eje mayor es igual a 10 el

parámetro mayor 5a = , el eje menor mide 8 luego 4b = , el parámetro c , no aparece

en la ecuación ordinaria, no obstante se calcula con el despeje

2 2 3c a b= − = .

La ecuación ordinaria que se obtiene es 2 2( 1) ( 2)

125 16

y x+ −+ =

El problema pide la Ecuación General, es decir la ecuación sin denominadores e

igualada a cero. Entonces multiplicando por el producto 25X16=400 en ambos lados de

la igualdad, 2 216( 1) 25( 2) 400y x+ + − =

Desarrollando los binomios,

2 216( 2 1) 25( 4 4) 400y y x x+ + + − + =


175

Multiplicando, agrupando términos e igualando a cero obtenemos la Ecuación General

pedida:

2 216 25 32 100 284 0y x y x+ + − − =

Cuya gráfica es la siguiente:

EJEMPLO 3 . Obtener el centro, el valor de los parámetros , , ,a b c y graficar la Elipse

con Ecuación General: 2 29 4 90 24 225 0x y x y+ − − + =

Solución:

Debemos transformar la ecuación general a la forma ordinaria, utilizando el Método de

Completar el Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP).

Primero ordenando términos, 2 29 90 4 24 225x x y y− + − = −

Factorizando el coeficiente del término cuadrático,

2 29( 10 ) 4( 6 ) 225x x y y− + − = −

Para completar el TCP, recuerde se agrega la mitad del coeficiente del término lineal al

cuadrado, en el problema que nos ocupa la mitad de –10 al cuadrado es 25, y la mitad

de –6 al cuadrado es 9

2 29( 10 25) 4( 6 9) 225 (9)(25) (4)(9)x x y y− + + − + = − + +


176

Factorizamos el trinomio y efectuamos la suma: 2 29( 5) 4( 3) 36x y− + − =

Dividimos la igualdad entre 36:

2 2( 5) ( 3)1

4 9

x y− −+ =

Escribimos de manera equivalente la ecuación como:

2 2( 3) ( 5)1

9 4

y x− −+ =

Que corresponde a una Elipse con centro (5,3) vertical, ya que el parámetro mayor esta

como denominador en el binomio que contiene a la variable “y”, es decir 2 9a = , 2 4b =

luego 3, 2a b= = para determinar el valor del parámetro c, utilizamos la relación

2 2 2a b c= + y despejamos 2 2 9 4 5 2.23c a b= − = − = = .

La gráfica es:

Elementos Básicos de la Elipse con Centro (h,k)

1. Centro ( , )h k

2. Parámetros: , , ,a b c donde " "a es siempre el mayor y se cumple la relación Pitagórica

importante 2 2 2a b c= +


177

3. El eje mayor es la distancia entre los vértices, tal que el segmento 1 2 2VV a=

4. Los extremos del eje menor, les llamaremos 1 2,W W y son tales que el segmento

1 2 2WW b=

5. El eje focal es colineal con el eje mayor, se cumple que el segmento 1 2 2F F c=

6. Lado recto = 22b

a

(El lado recto es un segmento perpendicular a los focos, determina el “ancho “de la

elipse)

7. Excentricidad, c

ea

= .

8. Ecuación Ordinaria:

a) Elipse Horizontal: 2 2

2 2

( ) ( )1

x h y k

a b

− −+ = b) Elipse Vertical: 2 2

2 2

( ) ( )1

x h y k

b a

− −+ =

9. Ecuación General: 2 2 0Ax By Cx Dy E+ + + + =

10. Trazar la grafica.


ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO (h,k)

1. Para las siguientes elipses con centro fuera del origen hallar todos los elementos y

graficar:

a) Centro (2,-1), el eje mayor es paralelo al eje X su longitud es 12 y su eje menor

es 10.

b) Centro (5,1), un vértice en (5,4) y uno de los extremos del eje menor es (3,1).

c) Sus vértices están en (8,2) y (-2,2) y uno de sus focos se encuentra en (6,2).

d) Un vértice está en (6,3) y sus focos en (-4,3) y (4,3).

e) Un foco en (1,-1) y su eje menor tiene sus extremos en (-1,2) y (-1,-4).

f) La longitud de su eje menor es 4, y sus vértices son (-1,3) y (5,3).

g) Su excentricidad es 15

17, los extremos del eje menor son (-3,-2) y (13,-2).


178

h) Sus vértices están en (8,-1) y (-4,-1) y la longitud del lado recto es 3.

i) Los vértices son (1,1) y (7,1) y su excentricidad es 1

3.

j) Los focos son (-4.-2) y (-4,-6), y la longitud del lado recto es 6.

k) Centro en (1,1), horizontal, eje mayor =10, eje focal =6

l) 2 29 25 36 189 0x y x+ − − = m) 2 216 25 64 50 311 0x y x y+ + + − =

n) 2 23 2 24 12 60 0x y x y+ − + + = ñ) 2 225 9 200 90 400 0x y x y+ − + + =

o) 2 22 3 8 18 29 0x y x y+ − − + = p) 2 225( 1) 169( 2) 4225x y− + + =

q) 2 2225( 2) 289( 3) 65025x y+ + + = r) 2 2169( 1) 144( 3) 24336x y− + − =

s) 2 216 25 96 50 169 0x y x y+ + − + = t) 2 22 5 8 20 48 0x y x y+ + − + =

u) 2 2( 3) ( 5)

1144 169

x y+ −+ = v) 2 2( 1) ( 8)

125 16

y x− ++ = w)2 2( 7) ( 9)

14 25

x y− ++ =

x)2 2( 5) ( 5)

1100 64

x y+ −+ = y)2 2( 3)

19 25

x y+ + = z)2 2( 1)

164 100

y x− + =

2. En una compañía constructora te encargan diseñar un arco semielíptico para el

toldo de entrada de un restaurante. El toldo estará colocado a 2 m. de altura sobre el

piso, tendrá un claro de 4 m. y, por razones estructurales, a 1 m. de distancia de un

extremo deberá alcanzar una altura de 1 m.

a) ¿Cuál es la altura máxima que tendrá el toldo?

b) ¿Cuánto costará cubrir el frente con una cubierta de material plástico cuyo precio

es de $850 por m2?

c) ¿Cómo dibujarías a escala la forma del toldo?

d) Hallar todos sus elementos y graficar.

3. En ciertas construcciones antiguas, y en otras recientes, el diseño del espacio en

algunos salones permite escuchar en un sitio especial lo que se habla en otro lugar del

mismo recinto, sin que en otros puntos se escuche la plática. Debido a esta peculiaridad

estas salas están conocidas como Cámara de los Secretos.

Cerca de la ciudad de México, en uno de los patios del antiguo Convento del Desierto

de los Leones, podemos apreciar una de estas cámaras construida en el siglo XVII.

Aprovechando una particularidad de las elipses, tales construcciones poseen una


179

bóveda elíptica y sitúan los focos justamente en los puntos desde los cuales se

transmite o escucha el mensaje.

La ecuación: 2 216 41 131.20 551.04 0x y y+ − − = describe la sección elíptica de un salón

con Cámara de secretos.

a) ¿A qué distancia del centro deben estar situadas dos personas para que una

escuche lo que habla la otra?

b) ¿A qué altura en ese punto debe hablar una persona para que sea escuchada en el

otro punto?

c) Hallar todos sus elementos y graficar.

4.19 EJERCICIOS PROPUESTOS CON SOLUCIÓN DE ELIPSE Y

CIRCUNFERENCIA

Con relación a la Elipse

En los ejercicios del 1 al 5 el centro de la Elipse es el origen, centro (0,0)

1. Encuentra la ecuación general de la elipse con eje mayor vertical e igual a 10, y eje

menor igual a 8.

2. Encuentra la ecuación general de la elipse con eje mayor horizontal e igual a 8, y eje

focal igual a 6.

3. Encuentra la ecuación general de la elipse vertical, con excentricidad 7

9e=

4. Determinar los parámetros , , ,a b c de la elipse con ecuación general

2 23 4 48 0x y+ − =

5. Encuentra la ecuación general de la elipse, si un vértice se localiza en (0 ,10) y un

foco en (0, -8)

En los ejercicios del 6 al 10 el centro de la Elipse no es el origen, es decir:

centro ( , ) (0,0)h k= ≠

6. Encuentra La ecuación general de la elipse cuyo eje mayor es el segmento V1V2, y

cuyo eje menor es el segmento W1W2, si V1(4,6), V2(12,6), W1(8,3) y W2(8,9).

7. Dada la ecuación general de la elipse, determinar las coordenadas del centro, de los

vértices y de los focos.


180

2 29 4 90 24 225 0x y x y+ − − + =

8. Encuentra la ecuación ordinaria de la elipse con vértices V1 (1,4), V2(-5,4) y

excentricidad 1

4e=

9. Encuentra la ecuación ordinaria de la elipse con centro (1,4), un foco en (1,8) y

excentricidad 1

5e=

10. Encuentra La ecuación ordinaria de la elipse cuyo eje mayor es el segmento V1V2, y

cuyo eje focal es el segmento F1F2.

V1(12,2), V2(6,2), F1(11,2), F2(7,2)

Con relación a la Circunferencia

11. Encuentra la ecuación general de la circunferencia con centro en el origen

y radio 3r =

12. Encuentra la ecuación general de la circunferencia cuyo diámetro es el segmento

AB donde A (-2,-6) y B (2,6)

13. Encuentra la ecuación general de la circunferencia con centro (3,-1) que pasa por el

punto P (6,3)


AB donde A (-1,-2) y B (5,4)

15. Encuentra el centro y radio de la siguiente circunferencia,

2 2 4 2 2 0x y x y+ + − + =

16. Encuentra el centro y radio de la siguiente circunferencia,

2 24 4 12 12 14 0x y x y+ + − + =

17. Encuentra la ecuación general de la circunferencia con centro (-4,6) y radio =2

18. Dado el cuadrado con vértices V1 (-3,2), V2(-7,2), V3 (-7,-2), V4 (-3,-2) encontrar las

ecuaciones generales de las circunferencias inscrita y circunscrita a dicho cuadrado.


AB donde A (-6,7) y B (2,3)

20. Encuentra el centro y radio de la circunferencia que pasa por los tres puntos dados:

R (8,8), S (-1,5), T(1,9)


181

4.20 RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 4.1 9

Con relación a la Elipse

1. 2 216 25 400 0y x+ − =

2. 2 216 7 112 0y x+ − =

3. 2 232 81 2592 0y x+ − =

4. 4, 12, 2a b c= = =

5. 2 236 100 3600 0y x+ − =

6. 2 29 16 144 192 1008 0x y x y+ − − + =

7. Centro = (5,3), V1 (5,6), V2 (5,0), F1 (5, 5.23), F2 (5, 0.77)

8. 2 2( 2) ( 4)

1135916

x y+ −+ =

9. 2 2( 1) ( 4)

1400 384

x y− −+ =

10. 2 2( 9) ( 2)

19 5

x y− −+ =

Con relación a la Circunferencia

11. 2 2 3 0x y+ − =

12. 2 2 40 0x y+ − =

13. 2 2 6 2 15 0x y x y+ − + − =

14. 2 2 4 2 13 0x y x y+ − − − =

15. Centro (-2,1), 3r =

16. Centro(-1.5, 1.5), 1r =

17. 2 2 8 12 48 0x y x y+ + − + =

18. Circunferencia inscrita 2 2 10 21 0x y x+ + + =

Circunferencia circunscrita 2 2 10 17 0x y x+ + + =

19. 2 2 4 10 9 0x y x y+ + − + =

20. Centro (4,5), 5r =


182

4.21 PROPUESTA DE EVALUACIÓN

EXAMEN DE LA UNIDAD 4

ELIPSE, CIRCUNFERENCIA Y SUS ECUACIONES CARTESIANA S

Resolver los siguientes ejercicios:

1. Encuentra la ecuación general de la elipse con centro en el origen, eje mayor vertical

e igual a 10, y eje focal igual a 6. Graficar.

2. Encuentra las coordenadas de los vértices y los focos de la elipse con ecuación

general 2 24 25 100 0x y+ − = . Graficar.

3. Determina la ecuación general de la elipse con vértices V1 (-12,0), V2 (12,0), y

excentricidad 7

12e= . Graficar.

4. Hallar las coordenadas del centro, de los vértices y de los focos de la elipse con

ecuación general 2 29 16 144 192 1008 0x y x y+ − − + = . Graficar.

5. Encuentra la ecuación ordinaria de la elipse con centro (2,6), un foco en (5,6) y

excentricidad 3

5e= . Graficar.

6. Encuentra la ecuación general de la circunferencia con centro (3,-2) que pasa por el

punto P(6,8).Graficar.

7. Encuentra la ecuación general de la circunferencia con centro(5,7) y radio =9

Graficar.


AB donde A(1,3) y B (5,11).Graficar.

9. Encontrar el centro y radio de la circunferencia con ecuación general, 2 2 8 12 48 0x y x y+ + − + = .Graficar.

10. Dado el cuadrado con vértices V1 (1,2), V2 (6,2), V3 (6,7), V4 (1,7) encontrar las

ecuaciones generales de las circunferencias inscrita y circunscrita a dicho cuadrado.

Graficar.


183

4.22 GLOSARIO

Circunferencia: Es el conjunto de puntos cuya distancia a un punto fijo llamado centro

es constante. La circunferencia es la frontera del círculo.

Círculo: Es una superficie formada por los puntos de la circunferencia y los que se

encuentran dentro de ella.

Radio: Es la longitud del segmento que va del centro de una circunferencia a cualquier

punto de ella.

Cuerda: Es un segmento de recta que une dos puntos distintos de la circunferencia.

Diámetro: Es una cuerda que cruza por el centro de la circunferencia. Su longitud mide

el doble que la longitud del radio.

Elipse: Una Elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de

distancias a dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la

elipse.

Ecuación Ordinaria de la Circunferencia: 222 )()( rkyhx =−+−

Ecuación General de la Circunferencia: 022 =++++ EDyCxyx

Ecuación Ordinaria de la Elipse Horizontal: 1)()(

2

2

2

2

=−+−b

ky

a

hx

Ecuación Ordinaria de la Elipse Vertical: 1)()(

2

2

2

2

=−+−b

hx

a

ky

Ecuación General de la Elipse: 2 2 0Ax By Cx Dy E+ + + + = ,

( , , números reales, del mismo signo, diferentes de cero y distintos entre síA B )

Elementos relevantes en la Elipse: 222 cba += Lado recto = ab ÷22 e = c a÷ .

4.23 BIBLIOGRAFÍA

1. Oteyza, Lam. Geometría Analítica y Trigonometría. Ed. Pearson . México, 2001.

2. Ruiz Basto. Geometría Analítica. Publicaciones Cultural. México, 2002.

3. Fuenlabrada, Samuel. Geometría Analítica Ed. Mc. Graw Hill. México, 2000.

4. Cuevas,Mejia .Geometría Analítica Dinámica Ed. Oxford. México 2005.

5. Hernández, Landa,et.al. Lecciones de Matemáticas 3, CCH-NAUCALPAN, 2004.

unidad 4 mate3 - unam

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