soluciones mate3

8/10/2019 soluciones mate3

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PRCTICA N2

Una partcula seguidora de calor parte del origen. Su ladistribucin de temperatura viene dad por la funcin escalardefinida por entonces Cul es la ecuacin de la trayectoriadescrita por la partcula?

SOLUCIN

Sea:

Entonces seala la mayor variacin de temperatura

=> Sea la ecuacin de la trayectoria

=>

=>

Para

=>

Entonces al igualar:

Suponga que una cierta regin del espacio el potencial elctrico Vesta definido por la funcin escalar tal que

Determine la razn de cambio del potencial en el puntoP=(3,4,5) en la direccin del vector

Cul es la razn mxima de cambio en el punto P?

SOLUCIN

De la definicin de la derivada direccional:


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Entonces evaluando en el punto P=(3;4,5):

De la definicin del producto escalar:

Ahora, para que la derivada direccional sea mxima

=>

Un cilindro cuya ecuacin es es tangente a la superficie en todoslos puntos comunes a las dos superficies. Calcule

SOLUCIN

Sea

En que puntos de la superficie el plano tangente es paralelo al plano ?

SOLUCIN

Sea la superficie:


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Ahora reemplazando en la superficie obtenemos los puntos:

Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones,justificando su respuesta.

I. Si es una funcin escalar, entonces

II. Si es la funcin escalare definida por , entonces

III. Si para todo en alguna vecindad del origen, entonces para todo en esa vecindad

SOLUCIN

I.FALSO

El lmite no necesariamente cumple ya que solo cumple en polinomios y la

funcin tendra que ser continua en ese punto. Comprobemos con un

contraejemplo:

Sea:

Por trayectorias:


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Para

Para

Como no es continua en (2,5)

II. VERDADERO

Partimos de la definicin de la derivada direccional y sea

Como:

Tenemos que:

Tomando modulo:

Pero:

Entonces concluimos que:

III.VERDADERO

De la expresin:

Sea la funcin escalar definida por. Es diferenciable en ? Justifique su respuesta.


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SOLUCIN

Por trayectorias, se demuestra que es continua:

Para

Para

Para

Por trayectorias, se demuestra que es continua:

Para

Para

Para

Por lo tanto, si es diferenciable en

Determine todos los valores extremos absolutos y relativos y los puntos de

silla para la funcin escalar definida por de la regin cuadrada

SOLUCIN

Para hallar los puntos crticos:


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Obtenemos el punto:

Ahora, hallamos:

Por el criterio de la segunda derivada:

Entonces, 8 es su mximo relativo y no existe un punto de ensilladura.

Suponer que una montaa tiene forma de un paraboloide elpticosiendo a, b y c constantes positivas, x e y son las coordenadaseste-oeste y norte-sur, y z es la altitud sobre el nivel del mar (x, y, z

estn medidas en metros). a) En el punto (1;1), en que direccinaumenta mas rpido la altitud? b) Si se suelta una canica en (1;1),en que direccin comenzara a rodar?

SOLUCIN

a) Al momento de tomar la gradiente negativa obtenemos la direccin de

aumento de la altitud evaluando en el punto (1;1):

b)Ahora la direccin en que comienza a rodar solo es la gradiente evaluada en elpunto (1;1):


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Sea la curva suave que es la solucin de la ecuacin diferencial .Calcule la curvatura de la curva .

SOLUCIN

Sea:

Despejando de la ecuacin dada:

Grafique mediante las curvas de nivel, la superficie cuyas ecuacionesparamtricas son:

SOLUCIN

Elevando al cuadrado hallamos una relacin:

Entonces para hallar sus curvas de nivel hacemos


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La cual es una familia de elipses

Entonces, su grafica en el espacio ser:

Hiperboloide de una hoja

PRCTICA N3 Calcule

SOLUCIN

Entonces transformando la integral doble:

Deducir la ecuacin del cono circular recto cuya altura mide H y elradio de la base mide R, y luego calcule su momento de inercia.

SOLUCIN

Calculando el momento de inercia del cono, como es simtrico al plano XY soloactuaria en el eje Z:

Ahora, transformamos a coordenadas cilndricas:


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Grafique la regin de integracin y evale en coordenadas

cilndricas

SOLUCIN

De la expresin obtenemos el dominio:

Ahora hallamos las superficies:

Como:

De la definicin:

Entonces, transformamos a cilndricas:

Resolver

a) Demuestre que la ecuacin de Euler para la funcional se puede escribir de lasiguiente manera:

b) Calcule la funcin estacionaria para

SOLUCIN

a) De la ecuacin de Euler:


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b) de la integral:

La ecuacin de Euler seria:

Calcule

SOLUCIN

Del grafico obtenemos:

Entonces, transformando a polares:


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Evale

SOLUCIN

Redefiniendo la integral iterada:

La carga se distribuye sobre el disco de modo que la densidad decarga es . Calcule la carga total sobre el disco.

SOLUCIN

De la definicin de carga elctrica:

Transformando a polares tenemos:

Complete los espacios en blanco, justificando sus respectivasrespuestas:

a) asume la forma _____________ en coordenadas cilndricas y la

forma ________________ en coordenadas esfricas.

b) se convierte en _________________ en coordenadas cilndricas.

c) Si S es la bola unitaria con centro en el origen, entonces , escritacomo integral iterada en coordenadas esfricas se convierte en

_______________.


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d) El valor de la integral de la pregunta (c) es ___________________.

SOLUCIN

a) asume la forma en coordenadas cilndricas y la forma en coordenadas

esfricas.

Para las coordenadas cartesianas:

Para coordenadas cilndricas:

Para coordenadas esfricas:

se convierte en en coordenadas cilndricas.

De la grafica obtenemos que es un cilindro:

c)Si S es la bola unitaria con centro en el origen, entonces , escrita como integral

iterada en coordenadas esfricas se convierte en

d)

Responda verdadero o falso a cada una de las siguientesafirmaciones. Preprese para justificar sus respuestas.

a) Si , entonces .b) Hay tres posible ordenes de integracin para una integral triple.

c) Si , entonces

d)


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SOLUCIN

a) VERDADERO

Si en una regin R, entonces grficamente se cumple:

b)FALSO

Dependiendo de las condiciones a las que se adecue el problema, existen 6

posibles ordenes de integracin:

c) VERDEDERO

d)VERDADERO

10) Considere el solido acotado en el primer octante superiormentepor el plano , los planos . Calcule su volumen de dos maneras:

a) mediante una integracin

b) mediante una integracin

SOLUCIN

=4


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EXAMENPARCIAL Existe el siguiente limite ? Justifique su respuesta.

SOLUCIN

Reduciendo para

Entonces el lmite seria:

Ahora demostrando la existencia del lmite por trayectorias:

Para

Para

Para

Por lo que obtenemos que:

Entonces, generalizando:

Determine, si existe una funcin armnica tal que , sies una funcin real de variable real diferencial.

SOLUCIN

Para que sea una funcin armnica se tendra que cumplir:

Sea


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Entonces, de la ecuacin de Laplace:

Se nota que no se puede expresar con una funcin que dependa de t

=> no es una funcin armnica.

Enuncie y demuestre la segunda ley de Kepler.

SOLUCIN

La segunda Ley de Kepler nos dice:

Una recta imaginaria (radio vector) que une el so, con el planeta barre reas

iguales en tiempos iguales.

Ahora para demostrarla tendremos que:

Sea:

Obtenemos:


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Indique el valor de verdad de las siguientes preposiciones:

a) Si una funcin es diferenciable, entonces es un vector unitario.Fundamente su respuesta.

b) Existe una funcin tal que . Fundamente su respuesta.

SOLUCIN

Sean los puntos de la recta que pasa por en direccin del vector :

Como:

b) Por teora, la gradiente de una funcin es un vector y se puede expresar en unaforma cartesiana.


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Sea la funcin escalar definida por Si es diferenciable en el punto, entonces demuestre:

SOLUCIN

De la definicin de diferenciabilidad:

Luego hacemos:

Reemplazando:

Despejando la ecuacin y tomando lmite tenemos:

Determine la ecuacin del plano tangente a las superficies en elpunto que contiene al punto de tangencia de las dos superficies:

SOLUCIN

De las superficies obtenemos:

Operando:


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Entonces, para el plano tangente:

Demuestre que la evoluta de la curva ; a>0 y b>0, es una espirallogartmica.

SOLUCIN

Sea la evoluta:

Una partcula se desplaza en con vector de posicin

En el instante la posicin de la partcula es y su velocidad es . En cada instantela aceleracin de la partcula es . Encuentre la curvatura de la curva descrita

por el vector de la posicin en cualquier instante t.

SOLUCIN

De los datos del problema tenemos:


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Sea la funcin escalar definida por la siguiente regla decorrespondencia

Analice la derivada direccional de en el punto , en la direccin delvector segn los valores de

SOLUCIN

De la definicin de la derivada direccional:

Para:

Para:

Transformar la ecuacin pasando a las coordenadas polares

SOLUCIN

Sea:

Reemplazando:


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PRACTICA N5 Determine el flujo del campo (x;y;z)=(y;-x;z) a travs de la

superficie de la esfera de centro en el origen y radio R.

x2+y2+z2=R2

Use el teorema de Stokes, para calcular el rea de la reginacotada por el polgono convexo cuyos vrtices son(x1;y1),(x2;y2),,(xn;yn)

y-y1=()x+c

dy=()dx

+

=dx+dx++dx

=

Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones,fundamente su respuesta.

I)Existe un campo vectorial tal que

II)Sean los campos vectoriales =(x;y;z), (x;y;z)=(x;y-1;z).

Calcule div()

I)Si existe


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II)

=(x;y;z), (x;y;z)=(x;y-1;z)

div()=div()

=div()=+

=div()=+

Sean H: x2+y2+z2=4, T:z=4-y2-x2,z0.Calcule.(x;y;z)=(x;y;z)

=ds

=0-

=-24

Si F y G son funciones escalares de clase C2, entonces demuestreque

(FG)=F

Sugerencia: use notacin de ndices

(FG)=F

Evalue la integral de superficie , siendo S la superficie delparaboloide z= x2+y2 que esta debajo del plano z=4.


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ds=

ds=

I=

Haciendo r=

dr=

I=()

evalue la integral de lnea , siendo C una curva suave por tramossimple y cerrada que encierra al origen de coordenadas y el campovectorial es .

Como F no es continua en el origen

Tomando una circunferencia que encierra el origen

x2+y2=a2

entonces

x=a

y=a

t

=(acost,asent)

=(-asent,acost)

)dt

Calcule el rea de la superficie dada. L a parte del paraboloide

hiperblico z= y2-x2 que esta entre los cilindros y x2+y2=4

A=

ds=secdA


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ds=

A=

A=d

A=

Evalue usando el teorema de Stokes y el teorema de la divergencia,siendo el campo vectorial =(x2+y-4;3xy;2xz+z2) y S la superficiez=4- (x2+y2) por encima del plano xy.

ds=

=-4

=-4

Demuestre que , S es una superficie regular orientada y C es unacurva suave simple y cerrada. Fundamente su demostracin.

Usando el teorema de Stokes

y haciendo F=

Entonces


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