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Curvas cnicas y tcnicas4UNIDAD

as curvas cnicas y las curvas tcnicas son empleadas por arquitectos, ingenierosy diseadores en la configuracin de edificios, obras pblicas y objetos de uso.Esta Unidad se ocupa de ambos tipos de curvas, con diferentes objetivos. En las

cnicas se estudia su construccin, el trazado de tangentes, la interseccin con rectasy la obtencin de los elementos que las definen, sin dibujar la curva. En las tcnicas eltrazado de la curva es el objetivo principal.

En las curvas cnicas se recomienda la comprensin y posterior memorizacin de lasrelaciones grficas y conceptuales entre tangentes, circunferencias focales y circunferenciaprincipal, como paso necesario para la resolucin de las aplicaciones. stas persiguenla profundizacin en el conocimiento de las relaciones geomtricas entre los elementosde las cnicas. Si se desea trazar las curvas se pueden utilizar las construcciones porpuntos, o afinidad .

En las curvas tcnicas se definen algunos tipos de curvas cclicas y uno de transicin,facilitndose los mtodos necesarios para obtener una serie de puntos lo suficientementeprximos para poder unirlos a mano alzada.

Con el estudio de esta Unidad nos proponemos alcanzar los siguientes objetivos:

1. Construir las curvas cnicas y trazar tangentes a ellas desde un punto o paralelasa una direccin.

2. Obtener la interseccin de las curvas cnicas con rectas.

3. Obtener los elementos de una cnica a partir de datos tales como: puntos, ejes,constante, tangentes, focos, vrtices.

4. Rectificar circunferencias y arcos.

5. Trazar curvas tcnicas a lpiz y mano alzada, previa obtencin de una serie depuntos.

L

O pera y puente del puerto de Sidney, Australia (ISFTIC. Banco de imgenes).

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1. ELIPSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 901.1. Definicin y elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 901.2. Construccin de la elipse por puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911.3. Construccin de la elipse por afinidad a partir de los ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 921.4. Construccin de la elipse por afinidad a partir de dos dimetros conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931.5. Circunferencias focales y tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931.6. Tangente a la elipse en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 941.7. Tangentes a la elipse paralelas a una direccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 951.8. Tangentes a la elipse desde un punto exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 961.9. Interseccin de la elipse con una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

2. PARBOLA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982.1. Definicin y elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982.2. Construccin de la parbola por puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982.3. Construccin de la parbola mediante haces proyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992.4. Propiedades de las tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012.5. Tangente a la parbola en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1022.6. Tangente a la parbola paralela a una direccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1022.7. Tangentes a la parbola desde un punto exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032.8. Interseccin de la parbola con una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3. HIPRBOLA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.1. Definicin y elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.2. Construccin de la hiprbola por puntos. Obtencin de ejes y asntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.3. Circunferencias focales y tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.4. Tangente a la hiprbola en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.5. Tangentes a la hiprbola paralelas a una direccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093.6. Tangentes a la hiprbola desde un punto exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093.7. Interseccin de la hiprbola con una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4. CURVAS TCNICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.1. Curvas cclicas: cicloide normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.2 Curvas cclicas: cicloide acortada y alargada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.3. Curvas cclicas: epicicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.4. Curvas cclicas: hipocicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.5. Curvas cclicas: evolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.6. Curvas de transicin: lemniscata de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

N D I C E D E C O N T E N I D O S

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CURVAS CNICAS Y TCNICAS

4UNIDAD

1. Elipse1.1. Definicin y elementos

Si una recta g gira alrededor de un eje e que tiene un punto comn con ella V genera unasuperficie de revolucin llamada superficie cnica [Ilustracin 1 a]. Dicha superficie estformada por las sucesivas posiciones de la recta generatriz g y se extiende indefinidamenteen ambos sentidos desde el vrtice V, que es centro de simetra de las dos hojas de que secompone. Las lneas obtenidas al cortar la superficie cnica por planos que no pasan por el

vrtice se llaman curvas cnicas.

Al seccionar una superficie cnica por un plano perpendicular al eje se obtiene unacircunferencia [Ilustracin 1 b].

Al seccionar una superficie cnica por un plano oblicuo que corte a todas las generatricesse obtiene una elipse [Ilustracin 1 b].

Ilustracin 1 Animaciones a y b Animaciones c,d y e

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La elipse es el lugar geomtrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntosfijos llamados focos es constante. As pues una elipse est determinada dando la distanciaentre los focos 2c y la constante 2a. Para un punto genrico P ser GPGF + GPGF = 2a siendo F yF' los focos [Ilustracin 1 c].

Vrtices V, V' son los puntos alineados con los focos F, F' y la distancia entre ellos es2a. Los puntos W, W', que equidistan de los focos, tambin se llaman vrtices. La distanciaentre ellos es 2b y la distancia a los focos a. Se puede formar un tringulo rectngulocon las distancias b, c como catetos y a de hipotenusa.

Cuerda es cualquier segmento cuyos extremos son dos de sus puntos (MN). Dimetro es el lugar geomtrico de los puntos medios de las cuerdas paralelas a una

direccin (dimetro AB para las cuerdas paralelas a MN). Centro O es el punto medio de todos los dimetros y centro de simetra de la elipse. Ejes son los dimetros mximo VV' y mnimo WW ' y sus longitudes son 2a y 2b. Son

ejes de simetra de la elipse.

Dimetros conjugados son un dimetro CD y el dimetro AB definido por los puntosmedios de las cuerdas paralelas a l.

Circunferencia principal es la que tiene como radio a y centro el de la elipse. Circunferencia focal es la que tiene como radio 2a y centro en un foco.

1.2. Construccin de la elipse por puntosSea a el semieje mayor y c la semidistancia focal [Ilustracin 2].

Se elige el centro O de la elipse sobre una recta cualquiera y con centro en l, se trazanarcos de radios a y c que la cortan en los vrtices V, V' y en los focos F, F' respectivamente.En OF

__se eligen y numeran algunos puntos.

Las intersecciones de los arcos de centros F y F' y radios 1V__

y 1V__

son los puntos A y A'de la elipse. Intercambiando los radios se obtienen A'' y A'''.

Se procede anlogamente con los puntos 2, 3,... y con O que permite determinar los vrticesW y W '. Se traza la curva que pasa por los puntos obtenidos a mano alzada o con plantilla.

Ilustracin 2 Animacin

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1.3. Construccin de la elipse por afinidad a partirde los ejes

Se parte de los ejes VV ' y WW ' [Ilustracin 3].

Se trazan la circunferencia principal y la de dimetro 2b. Cualquier semirrecta con origenen O corta a las dos circunferencias en 1 y 2. Las paralelas a los ejes que pasan por 1 y 2determinan un punto genrico P.

Obtenidos suficientes puntos por este procedimiento se traza la curva que pasa por ellos.


4UNIDAD

En la figura se ha dibujado

la construccin de la Ilustra-

cin 3 situada sobre un plano

visto en perspectiva. Se haaadido un plano quecontiene una circunferencia,

cuya proyeccin sobre esla elipse. Al girar alrededorde VV', dicha circunferenciacoincide con la principal.

Los puntos C, B se giran hasta D, 2 y se proyectan en W, P de modo que OD__

/ OW__

= A2__

/ AP__

,

ya que los tringulos rectngulos OCW, ABP son semejantes.

Al girar los puntos D, W alrededor de O describen las circunferencias principal y de dimetro 2bhasta situarse en 1, 2. La proporcin anterior se convierte en O2

__

/O1__

= A2__

/AP__

, y debe ser la recta

1P paralela a OA para que se cumpla el teorema de Thales. Esto justifica la construccin empleada.

V

V

O

P

B

2

W

C

W

1

A

D


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1.4. Construccin de la elipse por afinidad a partirde dos dimetros conjugados

Se parte de los dimetros conjugados AB y CD [Ilustracin 4].

Se traza la circunferencia que tiene como dimetro uno de los conjugados, por ejemplo CD,y su dimetro perpendicular A'B'.

Elegido un punto cualquiera M de CD, se obtienen dos puntos P y Q genricos de la elipseconstruyendo los tringulos MP'P y MQ'Q semejantes a OA'A y OB'B.

Obtenidos suficientes puntos por este procedimiento se traza la curva que pasa por ellos.

1.5. Circunferencias focales y tangentesEn la Ilustracin 5 se ha dibujado una elipse de focos F, F y constante 2a, un punto cual-

quiera de ella P, la circunferencia focal de radio 2a y centro F, y la circunferencia principalde radio a y centro O.

La suma de distancias de P a los focos es GPGF + GPGF = 2a y el punto P divide al radio FM = 2a,de modo que GPGM + GPGF = 2a. Al comparar ambas expresiones, se observa que GPGM = GPGF ; son losdos lados iguales del tringulo issceles PFM. Esta relacin da lugar a las siguientes propiedades:

La construccin se basa en la afinidad existente entre la circunferencia de dimetro

CD y la elipse. sta queda determinada por el eje de afinidad CD y los dimetros afinesA'B' y AB. La direccin de afinidad es la definida por la recta AA.

Ilustracin 4

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La tangente a la elipse en un punto es la mediatriz del segmento definido por unfoco y el extremo del radio de la circunferencia focal del otro, que pasa por dichopunto. Efectivamente, si dicha mediatriz no fuera la tangente tendra otro punto P encomn con la elipse siendo GPGF = GPGM y GPGF + GPGF = 2a, de donde GPGM + GPGF = 2a, lo cuales imposible.

El centro de la circunferencia que pasa por un foco y es tangente a la circunferen-cia focal del otro es un punto de la elipse. La tangencia entre ambas circunferenciasasegura que GPGM + GPGF = 2a, por estar los radios alineados y adems los radios GPGM = GPGF,de donde GPGF + GPGF = 2a, que es la condicin que satisface cualquier punto P de la elipse.

El pie de la perpendicular trazada desde un foco a cualquier tangente a la elipseest en la circunferencia principal. El pie de dicha perpendicular es el punto N, queal equidistar de M y F es homottico de M en la homotecia de centro F y razn 1/2 defi-nida entre la circunferencia focal y la principal.

1.6. Tangente a la elipse en un puntoSea A el punto, F, F los focos y V, V los vrtices [Ilustracin 6]. Se presenta la curva dibu-

jada aunque no es necesaria para la construccin.

Se traza la circunferencia focal de uno de los focos, por ejemplo de F y el radio FM quepasa por A. La mediatriz t del segmento GFGM es la tangente a la elipse en el punto A.


4UNIDAD


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1.7. Tangentes a la elipse paralelas a una direccinSea s la direccin de las tangentes, F, F los focos y V, V los vrtices [Ilustracin 7]. Se

presenta la curva dibujada aunque no es necesaria para la construccin.

Se traza la circunferencia focal de uno de los focos, por ejemplo de F y la perpendicular a ladireccin s por el otro foco F, que la corta en los puntos M, M. Las mediatrices t, t de los segmentosGFGM , GFGM son las tangentes a la elipse paralelas a s. Los puntos T, T de tangencia con la elipseson los de corte de las tangentes t, t con los radios FM, FM de la circunferencia focal.

Ilustracin 6


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4UNIDAD1.8. Tangentes a la elipse desde un punto exterior

Sea A el punto, F, F los focos y V, V los vrtices [Ilustracin 8]. Se presenta la curva dibu-jada aunque no es necesaria para la construccin.

Se traza la circunferencia focal de uno de los focos, por ejemplo de F y el arco, de centro A,que pasa por el otro foco F y que la corta en los puntos M, M. Las mediatrices t, t de los segmentosGFGM , GFGM son las tangentes a la elipse que pasan por A. Los puntos T, T de tangencia con la elipseson los de corte de las tangentes t, t con los radios FM, FM de la circunferencia focal.

1.9. Interseccin de la elipse con una rectaSea r la recta, F, F los focos y V, V los vrtices [Ilustracin 9]. Se presenta la curva dibujada

aunque no se utiliza en la construccin.

Se traza la circunferencia focal de uno de los focos, por ejemplo de F y se halla el simtricoFS del otro foco F, respecto de la recta r. La construccin se reduce as a la de los centros delas circunferencias tangentes a la focal que pasan por F y FS.

Todas las circunferencias que pasan por F y FS comparten el eje radical e. Una de ellasca, secante a la focal, comparte con sta el eje radical ea que corta al eje del haz e en el centroradical CR. Las rectas tangentes desde CR a la circunferencia focal son ejes radicales quedeterminan los puntos de tangencia T, T de las circunferencias cuyos centros I, I son puntosde corte de la recta con la elipse. stos estn en las alineaciones de F con T y Trespectivamente.

Ilustracin 8

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Ilustracin 9

Aplicacin

Se desea obtener los elementos de la elipse dadas tres tangentes cualquiera t, t, t y un foco F.

Los puntos de corte N, N, N de las tangentes t, t, t con sus perpendiculares trazadas desde Fpertenecen a la circunferencia principal. Obtenido su centro O en la interseccin de las mediatricesde las cuerdas NN y NN se traza con radio GOGN = a. Sus puntos de corte con la recta OF son los vrticesV, V y el simtrico de F respecto de O es F.

Los vrtices W, W son los puntos de corte de arcos de radio a y centros F, F.

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4UNIDAD

2. Parbola

2.1. Definicin y elementos

Al seccionar la superficie cnica por un plano paralelo a una de las generatrices se obtiene

una parbola. En la Ilustracin 10 a, la generatriz a es paralela al eje e de la parbola, quetiene un punto en el infinito. Se define as:

La parbola es el lugar geomtrico de los puntos que equidistan de un punto fijollamado foco y de una recta llamada directriz. La curva queda determinada dando la distanciaDF__

entre el foco y la directriz. Para un punto genrico P ser PF__

= PM__

siendo F el foco, d ladirectriz y M el pie de la perpendicular trazada desde P a sta.

Los elementos caractersticos de la parbola, que pueden verse en la Ilustracin 10 b, son:

Directriz d y foco F.

Vrtice V, equidistante de la directriz y el foco.

Eje e, que contiene al foco y al vrtice, y es perpendicular a la directriz. Es eje de sime-tra de la parbola.

La tangente en el vrtice v. Es perpendicular al eje.

2.2. Construccin de la parbola por puntosSea VF

__la distancia entre el vrtice y el foco [Ilustracin 11].

Se trazan la directriz y el eje perpendiculares entre s, llevando sobre ste DV__

y VF__

iguales,

a partir de D.

Ilustracin 10 Animacin (a) Animacin (b)

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Se traza una paralela al eje, eligiendo y numerando puntos de ella a partir de la directriz,

cuidando de que la primera divisin sea mayor que DV__

.

Dos puntos genricos P y P' se obtienen en las intersecciones de la circunferencia de centroF y radio 02 con la paralela a la directriz por la divisin 2. Obtenidos suficientes puntos por esteprocedimiento se traza la curva que pasa por ellos, a mano alzada o con plantilla.

2.3. Construccin de la parbola mediante hacesproyectivos

Sea P un punto de la parbola, V su vrtice y e el eje. [Ilustracin 12]

Se traza la paralela al eje por P y su perpendicular por V, que se cortan en A. Se dividenAP__

y AV__

en el mismo nmero de partes iguales, numerando las divisiones de AP__

a partir

de A y las de AV__

desde V.

Se obtienen puntos del arco PV en las intersecciones del rayo V1 con la paralela al ejedesde 1', del rayo V2 con la paralela desde 2'... Se procede anlogamente con el arco VP',siendo P' el simtrico de P respecto al eje.

La parbola se traza a mano alzada o con plantilla, uniendo los puntos obtenidos.


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4UNIDAD

Aplicacin

Se desea obtener el eje y la directriz de la

parbola conocido su foco F y los puntos P y Q.

Con centro en los puntos P y Q y radios PF__

y QF__

, se trazan dos circunferencias. Las

tangentes comunes a ambas son las dos

directrices posibles d1 y d2. Se obtienen mediantela homotecia de centro O, definida por los radiosparalelos r y r', hallando las tangentes desdeO a la circunferencia de centro Q, que tambinlo sern a la de centro P.

Los dos ejes posibles sern las perpen-

diculares desde F a d1 o d2.


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2.4. Propiedades de las tangentesEn la ilustracin 13 se ha dibujado una parbola de foco F y distancia entre foco y vrtice

GVGF, la directriz d y un punto cualquiera de la parbola P.

La distancia de P respecto del foco y de la directriz es la misma, as GP GM = GP GF sonlos dos lados iguales del tringulo issceles PFM. Esta relacin da lugar a las siguien-tes propiedades:

La tangente en un punto de la parbola es la mediatriz del segmento definido porel foco y el pie de la perpendicular a la directriz trazada desde l. Efectivamente,si dicha mediatriz t no fuera la tangente tendra otro punto P en comn con la elipse.Por pertenecer P a ella sera GPGF = GPGM , y al ser P un punto de la mediatriz de GFGM tam-bin , de donde GPGM = GPGM ; lo cual es imposible.

El centro de la circunferencia tangente a la directriz, que pasa por el foco, es unpunto de la parbola. Al ser los radios GP GM = GP GF y GP GF la distancia de P al foco, basta-r que GP GM sea la distancia de P a la directriz para que ste sea un punto de la parbo-la. La tangencia entre circunferencia y directriz asegura que el radio GP GM es perpendicu-lar a sta, por lo que coincidir con dicha distancia.

El pie de la perpendicular trazada desde el foco a cualquier tangente a la parbola

est en la tangente en el vrtice. La proporcin , deducida de las igualdades

GMGI = GI GF y GD GV = GV GF establece, segn el teorema de Thales, el paralelismo de la recta VIcon la directriz, luego sta debe ser la tangente v en el vrtice V.

MFIF

DFVF

=


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2.5. Tangente a la parbola en un punto

Sea A el punto, F el foco y d la directriz [Ilustracin 14]. Se presenta la curva dibujada aunqueno es necesaria para la construccin.

Se traza la perpendicular a la directriz que pasa por A y la corta en M. La mediatriz t delsegmento GFGM es la tangente a la parbola en el punto A.

2.6. Tangente a la parbola paralela a una direccin

Sea s la direccin, F el foco y d la directriz [Ilustracin 15]. En la ilustracin aparecen lacurva y su eje, aunque no son necesarios para la construccin.

Se traza la perpendicular a la direccin s que pasa por el foco F y corta a la directriz enM. La mediatriz t del segmento GFGM es la tangente a la parbola. El punto T de tangencia esel de corte con la tangente t de la perpendicular a la directriz trazada desde M.

Ilustracin 15

F

M A

d

t

Ilustracin 14


4UNIDAD

103

2.7. Tangentes a la parbola desde un punto exterior

Sea A el punto, F el foco y d la directriz [Ilustracin 16]. En la ilustracin aparecen la curvay su eje, aunque no son necesarios para la construccin.

Se traza el arco de centro A que pasa por el foco F y corta a la directriz en M, M. Las mediatricest, t de los segmentos GF GM , GF GM son las tangentes a la parbola. Los puntos T, T de tangencia son losde corte con las tangentes t, t de las perpendiculares a la directriz trazadas desde M y M.

2.8. Interseccin de la parbola con una rectaSea r la recta, F el foco y d la directriz [Ilustracin 17]. En la ilustracin aparecen la curva

y su eje, aunque no son necesarios para la construccin.

Se obtiene el simtrico Fs del foco F, reducindose la construccin a la de los centros delas circunferencias tangentes a la directriz que pasan por F y Fs.

Ilustracin 17

Ilustracin 16

104

Todas las circunferencias que pasan por F y Fs comparten el eje radical e, que corta en Pa la directriz d. La recta tangente desde P a cualquier circunferencia que pase por F y Fs esel segmento representativo de la potencia, que trasladado sobre la directriz d, en ambos sentidosa partir de P, determina los puntos de tangencia T y T de las circunferencias cuyos centrosI, I son puntos de corte de la recta con la parbola. Estos estn en las perpendiculares a ladirectriz d trazadas desde T y T respectivamente.

Aplicacin

Se desean obtener los elementos de la parbola dadas dos tangentes cualesquiera t, ty la tangente en el vrtice v.Se trazan dos perpendiculares a las tangentes t, t por los puntos de corte de stas con latangente en el vrtice v, que se cortan en el foco F. La perpendicular por el foco a la tan-gente v es el eje e de la parbola, que la corta en el vrtice V. Llevando GVGD = GV GF sobre eleje e mediante un arco se obtiene D. La directriz d pasa por D y es perpendicular al eje.


4UNIDAD

105

3. Hiprbola 3.1. Definicin y elementos

Al seccionar la superficie cnica por un plano paralelo a dos generatrices se obtiene una

hiprbola. En la Ilustracin 18 b el plano es paralelo a las generatrices a y b, la curva presentados ramas, una en cada hoja de la superficie. Las tangentes a la hiprbola en los puntos del

infinito t y t', llamadas asntotas, son las paralelas a las generatrices a y b. La curva se defineas:

La hiprbola es el lugar geomtrico de los puntos cuya diferencia de distancias a dospuntos fijos llamados focos es constante. As pues, una hiprbola est determinada porla distancia entre los focos 2c y la constante 2a. Para un punto genrico P [Ilustracin 18 a]ser PF

__-- PF

__= 2a siendo F y F' los focos.

Los elementos caractersticos de la hiprbola [Ilustracin 18 a, c, d] son:

Ilustracin 18 Animacin a Animacin b Animaciones c y d

106


4UNIDAD Los vrtices V, V', que estn alineados con F y F'. La distancia entre ellos es 2a ya que

VF__

-- VF__

= VV__

= 2a.

La hiprbola tiene dos ejes, el real VV' de longitud 2a y el imaginario WW' de longitud2b, que son ejes de simetra de la hiprbola y se cortan en su centro O, que a su vezes centro de simetra.

En la Ilustracin 18 d, puede verse el tringulo rectngulo formado con las distanciasa, b como catetos y c de hipotenusa. Esta se superpone a la asntota t, por lo que esun buen mtodo para obtenerla.

Circunferencia principal es la que tiene como radio a y centro el de la hiprbola.

Circunferencia focal es la que tiene como radio 2a y centro en un foco.

3.2. Construccin de la hiprbola por puntos.Obtencin de ejes y asntotas

Sea a el semieje mayor y c la semidistancia focal [Ilustracin 19].

Se elige el centro O de la hiprbola sobre una recta cualquiera y con centro en l se trazanarcos de radios a y c que la cortan en los vrtices y focos. Sobre el eje real, a la izquierda deF, se eligen y numeran algunos puntos.

Las intersecciones de los arcos de centros F y F' y radios 1V__

y 1V__

son los puntos A y A'de la hiprbola. Intercambiando los radios se obtienen A'' y A'''. Se procede anlogamente conlos puntos 2, 3... y se traza la curva que pasa por los puntos obtenidos, a mano alzada o con

plantilla.



107

Para obtener las asntotas [Ilustracin 20] se trazan dos arcos de centro O y radio c, quecortan a la perpendicular al eje real por V' en los puntos A y B. Las asntotas son las rectas OAy OB.

El eje real es VV' y el eje imaginario WW' es perpendicular a l y pasa por O. Sus extremosse determinan trazando los arcos de radio VB

__y centro O.

3.3. Circunferencias focales y tangentesEn la ilustracin 21 se ha dibujado una hiprbola de focos F, F y constante 2a, un punto

cualquiera de ella P, la circunferencia focal de radio 2a y centro F, y la circunferencia principalde radio a y centro O.

Aplicacin

Se desean obtener los ejes y focos de la hiprbola conocidas

sus asntotas t, t' y el vrtice V'.

La perpendicular por V' a la recta OV' corta a t' en B. Se trazala circunferencia de centro O y radio OB que corta al eje en losfocos F y F'.

V' es simtrico de V respecto a O.

El eje real es VV' y el eje imaginario WW' se determina cortandoa la perpendicular a VV' por O mediante los arcos de radioVB__

y centro O.


108


4UNIDADLa diferencia de distancias de P a los focos es GPGF - GGPGF = 2a y al ser GFGM =2a un radio de la

circunferencia focal, ser GPGF - GGPGM = 2a. Al comparar ambas expresiones se observa que GGPGM = GGPGFson los dos lados iguales del tringulo issceles PFM. Esta relacin da lugar a las siguientespropiedades:

La tangente a la hiprbola en un punto es la mediatriz del segmento definido porun foco y el extremo del radio de la circunferencia focal del otro, cuya prolongacinpasa por dicho punto. Efectivamente, si dicha mediatriz no fuera la tangente tendraotro punto P en comn con la hiprbola siendo GPGF = GGPGM y GPGF - GGPGF = 2a, de dondeGPGF - GGPGM = 2a, o bien GPGF = GGPGM + 2a, lo cual es imposible.

El centro de la circunferencia que pasa por un foco y es tangente a la circunferenciafocal del otro es un punto de la hiprbola. La tangencia entre ambas circunferenciasasegura que GPGF = GGPGM + 2a por estar los radios alineados y adems los radios GGPGM = GPGF ,de donde GPGF = GPGF + 2a, expresin que conduce a la condicin GPGF - GPGF = 2a, que satisfacecualquier punto P de la hiprbola.

El pie de la perpendicular trazada desde un foco a cualquier tangente a la hiprbolaest en la circunferencia principal. El pie de dicha perpendicular es el punto N, que alequidistar de M y F es homottico de M en la homotecia de centro F y razn 1/2 definidaentre la circunferencia focal y la principal.

3.4. Tangente a la hiprbola en un punto

Sea A el punto, F, F los focos y V, V los vrtices [Ilustracin 22]. Se presenta la curvadibujada aunque no es necesaria para la construccin.

Se traza la circunferencia focal de uno de los focos, por ejemplo de F y el radio FM quepasa por A. La mediatriz t del segmento GFGM es la tangente a la hiprbola en el punto A.

Ilustracin 22

109

3.5. Tangentes a la hiprbola paralelas a una direccinSea s la direccin de las tangentes, F, F los focos y V, V los vrtices [Ilustracin 23]. Se

presenta la curva dibujada aunque no es necesaria para la construccin.

Se traza la circunferencia focal de uno de los focos, por ejemplo de F y la perpendicular ala direccin s por el otro foco F, que la corta en los puntos M, M. Las mediatrices t, t de lossegmentos GFGM , GFGM son las tangentes a la elipse paralelas a s. Los puntos T, T, de tangen-cia con la hiprbola, son los de corte de las tangentes t, t con los radios FM, FM de la cir-cunferencia focal.

3.6. Tangentes a la hiprbola desde un punto exteriorSea A el punto, F, F los focos y V, V los vrtices [Ilustracin 24]. Se presenta la curva

dibujada aunque no es necesaria para la construccin.

Se traza la circunferencia focal de uno de los focos, por ejemplo de F, y el arco de centroA que pasa por el otro foco F y que la corta en los puntos M y M. Las mediatrices t, t de lossegmentos GFGM , GFGM son las tangentes a la hiprbola que pasan por A. Los puntos T, T detangencia con la hiprbola son los de corte de las tangentes t, t con los radios FM, FM de lacircunferencia focal.

Ilustracin 23

110

3.7. Interseccin de la hiprbola con una recta

Ilustracin 25

Ilustracin 24


4UNIDAD

111

Sea r la recta, F, F los focos y V, V los vrtices [Ilustracin 25]. Se presenta la curva dibujadaaunque no se utiliza en la construccin.

Se traza la circunferencia focal de uno de los focos, por ejemplo de F y se halla el simtricoFS del otro foco F respecto de la recta r. La construccin se reduce a la de los centros delas circunferencias tangentes a la focal que pasan por F y FS.

Todas las circunferencias que pasan por F y FS comparten el eje radical e. Una de ellas ca,secante a la focal, comparte con sta el eje radical ea que corta al eje del haz e en el centro radicalCR. Las rectas tangentes desde CR a la circunferencia focal, son ejes radicales que determinanlos puntos de tangencia T, T de las circunferencias cuyos centros I, I son puntos de corte de larecta con la hiprbola. stos estn en las alineaciones de F con T y T respectivamente.

Se desean obtener los elementos de la hiprbola dada una tangente t, su punto de tangenciaT, un foco F y la constante 2a.

El punto de corte N de la tangente t con su perpendicular trazada desde F pertenece a lacircunferencia principal. El simtrico de F respecto de t es un punto M de la circunferenciafocal, cuyo centro F est en la interseccin del radio que pasa por M y T con el arco decentro M y radio 2a. La mediatriz de GGFGF permite obtener el centro O de la hiprbola,cuya circunferencia principal de radio ON corta al eje de simetra FF en los vrtices V, V.

Los vrtices W, W son los puntos de corte de arcos de radio GGOGF y centros V, V.

Aplicacin

FV

FV

t

T

2a

M

N

O

W

W

F

t

T

2a

112

4. Curvas tcnicas4.1. Curvas cclicas: cicloide normal

Las curvas cclicas son generadas por un punto de una recta o circunferencia querueda, sin resbalar, sobre otra recta o circunferencia. La recta o circunferencia mvil sellama ruleta o generatriz y rueda sobre una lnea llamada base.

Cicloide normal es la curva que describe un punto de una circunferencia que rueda,sin resbalar, sobre una recta.

Sea d el dimetro de la circunferencia ruleta de una cicloide normal [Ilustracin 26].Se traza una recta base r y la circunferencia ruleta c tangente en uno de sus puntos A.

Se rectifica la circunferencia ruleta, es decir, se obtiene grficamente el segmento que

tiene la misma longitud que la circunferencia de dimetro d [Ilustracin 26 abajo]. sta esy, llevada sobre la recta base r, define el segmento GAl , que

rene todos los puntos de contacto con la ruleta en una vuelta.

Se divide la ruleta en 8 arcos mediante dimetros perpendiculares, paralelos y que formen

45 con la recta base r, numerndose los puntos de divisin en sentido contrario al de giro.Si se deseara mayor precisin en el trazado de la curva se elegira un nmero de partes

mayor. Se divide GAl en el mismo nmero de partes en que hemos dividido la ruleta, nombran-do los puntos de divisin con las letras A, B, C,

2 3 14 3 17

r d d d d= +,


4UNIDAD


113

Al rodar la ruleta los puntos 2, 3 entran en contacto con B, C dibujndose las 8posiciones sucesivas de la ruleta mediante circunferencias tangentes en B, C, En cada unade ellas se sita el punto 1, que describe la cicloide normal mediante paralelas a r trazadasdesde las posiciones iniciales 1, 2 de los puntos de divisin.

Por ltimo, se traza una curva que pase por las 9 posiciones del punto 1, a lpiz y mano

alzada o con plantilla de curvas.

4.2 Curvas cclicas: cicloide acortada y alargadaCicloide acortada o alargada es la curva que describe un punto interior o exterior a

una circunferencia que rueda, sin resbalar, sobre una recta y que est solidariamenteunido a ella.

En la construccin de la cicloide, consideremos que en lugar del punto 1 es un punto Pcualquiera de su radio el que genera la curva [Ilustracin 27].

Se dibuja sobre la ruleta, para que la acompae en su movimiento, una circunferencia con-

cntrica que pasa por P y corta a los radios de los puntos de divisin 1, 2 en puntos P, 2,3 , que proporcionan las alturas respecto a la recta base r de las posiciones intermedias.Dibujadas las 8 posiciones sucesivas de la ruleta y su circunferencia concntrica, los puntosde corte de sta con las paralelas trazadas por P, 2, 3 sitan las 8 posiciones sucesivasde P. La curva que pasa por P y por ellas es una cicloide acortada.

Considrese, por ltimo, que el punto P est situado en la prolongacin del radio del puntode divisin 1 de la ruleta y, por tanto, en el exterior de sta [Ilustracin 28].



114

Procediendo de forma similar a lo expuesto para la cicloide acortada se obtendran las

sucesivas posiciones de P. La curva que pasa por ellas es una cicloide alargada.

4.3. Curvas cclicas: epicicloideEpicicloide es la curva que describe un punto solidariamente unido a una circunferencia

que rueda, sin resbalar, sobre otra circunferencia, exteriormente a ella. Se llamar normal,

acortada o alargada segn el punto est en, dentro o fuera de la circunferencia ruleta.

Sea d el dimetro de la circunferencia ruleta y d el de la circunferencia base de una epicicloidenormal [Ilustracin 29].

Se trazan tangentes exteriores la circunferencia base c y la circunferencia ruleta c.


4UNIDAD


115

Se divide la ruleta en 8 arcos mediante un dimetro que pase por el centro de la circunferencia

base, otro perpendicular a l y otros dos trazados a 45, numerndose los puntos de divisinen sentido contrario al de giro. Si se deseara mayor precisin en el trazado de la curva se

elegira un nmero de partes mayor.

Se rectifica uno de los 8 arcos de la circunferencia ruleta, es decir, se obtiene grficamente

el segmento que tiene aproximadamente su misma longitud. Para ello se dibuja aparte una

circunferencia de dimetro d = GAGB y su tangente t en A [Ilustracin 29 abajo]. Se prolonga

GAGB una longitud y se traza el arco AF que se desea rectificar y que corresponde

a un ngulo ACF = 45. La recta DF, que corta a la tangente t en el punto G, determina elsegmento GAGG buscado.

Se realiza la construccin inversa a la rectificacin de un arco para obtener el arco AH dela circunferencia base, que tiene una longitud aproximadamente igual a la del segmento GAGG [ala derecha de la anterior construccin]. Se transporta el arco AH 8 veces sobre la circunferenciabase a partir del punto de contacto 1 con la ruleta numerndose en el sentido de avance de

sta.

Al rodar la ruleta, los puntos 2, 3, entran en contacto con 2, 3 dibujndose sus 8

posiciones sucesivas mediante circunferencias tangentes en 2, 3 En cada una de ellas

se sita el punto 1, que describe la epicicloide, mediante arcos concntricos con la circunferenciabase que pasen por las posiciones iniciales 1, 2 de los puntos de divisin.

Por ltimo, se traza una curva que pase por las 9 posiciones del punto 1, a lpiz y mano


4.4. Curvas cclicas: hipocicloideHipocicloide es la curva que describe un punto solidariamente unido a una

circunferencia que rueda, sin resbalar, sobre otra circunferencia, interiormente a ella.

Se llamar normal, acortada o alargada segn que el punto est en, dentro o fuera de la

circunferencia ruleta.

Sea d el dimetro de la circunferencia ruleta y d el de la circunferencia base de unahipocicloide normal [Ilustracin 30].

Se trazan tangentes interiores la circunferencia base c y la circunferencia ruleta c.

Se divide la ruleta en 8 arcos mediante un dimetro que pase por el centro de la circunferencia

base, otro perpendicular a l y otros dos trazados a 45, numerndose los puntos de divisinen sentido contrario al de giro. Si se deseara mayor precisin en el trazado de la curva, se

elegira un nmero de partes mayor.

As el arco AF se rectifica en el segmento GAGG [Ilustracin 30 abajo] y a continuacin serealiza la construccin inversa, para obtener el arco AH de la circunferencia base, que tiene

BD d= 38

116

una longitud aproximadamente igual a la del segmento GA GG [a la derecha de la anteriorconstruccin]. Se transporta el arco AH 8 veces sobre la circunferencia base, a partir del puntode contacto 1 con la ruleta, numerndose en el sentido de avance de sta.

Al rodar la ruleta, los puntos 2, 3 entran en contacto con 2, 3 dibujndose sus 8

posiciones sucesivas mediante circunferencias tangentes en 2, 3 En cada una de ellas

se sita el punto 1, que describe la hipocicloide, mediante arcos concntricos con lacircunferencia base que pasen por las posiciones iniciales 1, 2 de los puntos de divisin.

Por ltimo se traza una curva que pase por las 9 posiciones del punto 1, a lpiz y mano



4UNIDAD


117

4.5. Curvas cclicas: evolventeEvolvente de una circunferencia es la curva que describe un punto solidariamente

unido a una recta que rueda, sin resbalar, sobre ella. Se llamar normal si el punto esten la recta; y acortada o alargada si est en el mismo semiplano, o en el opuesto, de losdos en que la recta divide al plano en cada instante.

Sea d el dimetro de la circunferencia base de una evolvente normal [Ilustracin 31].

Se trazan la circunferencia base c y la recta ruleta r tangentes en uno de sus puntos P.

Se divide la circunferencia base c en 8 arcos mediante dimetros perpendiculares, para-lelos y que formen 45 con la recta ruleta r, numerndose los puntos de divisin en el senti-do de giro de la recta. Si se desea mayor precisin en el trazado de la curva, se dividir en

un nmero de partes mayor.

Se rectifica uno de los 8 arcos de la circunferencia base. En la Ilustracin 31 abajo se

obtiene el segmento GAGG rectificado del arco AF.

Al rodar la recta r sobre la circunferencia base, mantenindose tangente a ella, los puntos2, 3, pasan a ser puntos de tangencia instantneos y el punto P de r, que describe la curva,se sita en cada instante a una distancia de ellos de GAGG , 2GAGG , 3GAGG respectivamente. Las


118


4UNIDAD8 posiciones sucesivas del punto P son las intersecciones de tangentes a la circunferenciabase c, trazadas por los puntos de divisin 1, 2 , con arcos de radios GAGG , 2GAGG , 3GAGG y centro en dichos puntos.

La curva que pasa por las 9 posiciones del punto P es la evolvente de la circunferencia.Se traza a lpiz y mano alzada o con plantilla de curvas.

4.6. Curvas de transicin: lemniscata de BernoulliLa lemniscata toma su nombre de la cinta, llamada lemnisco, que en la antigua Grecia

adornaba las coronas y las palmas de los atletas vencedores; en seal de recompensahonorfica. Su forma es semejante a un 8 tumbado y ha sido adoptada como smbolodel infinito . El matemtico suizo Jakob Bernouilli (1654 - 1705) la defini como el lugargeomtrico de los puntos, cuyo producto de distancias a dos puntos fijos llamadosfocos, es constante.

Tiene radio de curvatura variable, desde cero hasta el de las circunferencias que lageneran; por lo que es adecuada como curva de transicin en las carreteras, en los enlacesentre un tramo recto y otro circular.

Sea d el dimetro de las circunferencias que la generan [Ilustracin 32].

La lemniscata es generada a partir de dos circunferencias de igual radio, cuyas rectas tan-gentes interiores son ortogonales, por lo que deben trazarse stas en primer lugar. Se traza

una circunferencia de centro O y dimetro d, dos rectas perpendiculares a, b que pasen porO y la corten en A, B, y su bisectriz c. Las rectas tangentes en A y B cortan a la bisectriz cen los centros F, F de las circunferencias buscadas.

Se obtienen puntos de la curva mediante secantes como la recta r, que pasa por O y cortaa una de ellas en C y D. Arcos de radio CD y centro O cortan a la secante en dos puntos Ey G de la lemniscata.

Ilustracin 32

119

Al unir los puntos obtenidos mediante sucesivas secantes, a mano alzada o con plantilla

de curvas, se dibuja la lemniscata.

R e c u e r d a

Las secciones de la superficie cnica son elipses, parbolas o hiprbolas si el plano corta a

todas las generatrices o es paralelo a una o dos de ellas.

Si son F y F' los focos y P un punto genrico, en la elipse PF + PF' = 2a, en la hiprbolaPF - PF' = 2a, y en la parbola PF = PD donde PD es la distancia a la directriz.

La tangente a la elipse en un punto es la mediatriz del segmento definido por un foco y el extremo

del radio de la circunferencia focal del otro, que pasa por dicho punto.

El pie de la perpendicular trazada desde un foco a cualquier tangente a la elipse est en la

circunferencia principal.

La tangente en un punto de la parbola es la mediatriz del segmento definido por el foco y el

pie de la perpendicular a la directriz trazada desde l.

El pie de la perpendicular trazada desde el foco a cualquier tangente a la parbola est en la

tangente en el vrtice.

La tangente a la hiprbola en un punto es la mediatriz del segmento definido por un foco y el

extremo del radio de la circunferencia focal del otro, cuya prolongacin pasa por dicho punto.

El pie de la perpendicular trazada desde un foco a cualquier tangente a la hiprbola est en la

circunferencia principal.

Cicloide normal es la curva que describe un punto de una circunferencia que rueda, sin resbalar,

sobre una recta.

Epicicloide normal es la curva que describe un punto de una circunferencia que rueda, sin

resbalar, sobre otra circunferencia, exteriormente a ella.

Hipocicloide normal es la curva que describe un punto de una circunferencia que rueda, sin

resbalar, sobre otra circunferencia, interiormente a ella.

Evolvente de una circunferencia es la curva que describe un punto de una recta que rueda,

sin resbalar, sobre ella.

120


4UNIDAD

1. Trazar la lemniscata conocido el dimetro dde las circunferencias generadoras.

2. Trazar la tangente a la elipse en el punto Aconocidos sus focos F, F.

3. Obtener el eje y la directriz de una parbolaconocido el foco F y dos tangentes t, t.Determinar los puntos de tangencia T, T.

A c t i v i d a d e s

121

4. Hallar el punto de tangencia T de la hiprbolacon su tangente t conocido el eje real VV.

5. Construir la tangente t a una elipse y su puntode tangencia T sabiendo que es paralela a latangente t. Se conoce sta, su punto detangencia T, el foco F y el eje de simetra e.

6. Hallar uno de los puntos de interseccin de laparbola definida por su foco F y su directrizd con la recta r, sin dibujar la curva.
s1: solucin: s2: s3: s4: s5: s6: ilustracion1: animacion1a: animacion1b: ilustracion2: animacion2: ilustracion3: animacion3: ilustracion5: animacion5: ilustracion7: animacion7: ilustracion10: animacion10a: animacion10b: ilustracion11: animacion11: ilustracion12: animacion12: ilustracion13: animacion13: ilustracion18: animacion18a: animacion18c: animacion18b: ilustracion19: animacion19: ilustracion20: animacion20: ilustracion21: animacion21: ilustracion26: animacio26: ilustracion27: animacion27: ilustracion28: animacion28: ilustracion29: animacion29: ilustracion30: ilustracion31: animacion30: -GT1: En la elipse e hiprbola se llama as a la que tiene centro en los focos y radio 2a.GT1: -GT2: En la elipse e hiprbola se llama as a la circunferencia cuyo centro coincide con el de la curva y su radio es a.GT2: -GT3: Es la curva que describe un punto solidariamente unido a una circunferencia que rueda,sin resbalar, sobre una recta. Se llamar normal,acortada o alargada segn que el punto est en,dentro o fuera de la circunferencia ruleta.GT3: -GT4: Es la curva que describe un punto solidariamente unido a una circunferencia que rueda, sin resbalar, sobre otra circunferencia,exteriormente a ella. Se llamar normal, acortada o alargada segn el punto est en, dentro o fuera de la circunferencia ruleta.GT4: -GT5: Es la curva que describe un punto solidariamente unido a una circunferencia que rueda, sin resbalar, sobre otra circunferencia,interiormente a ella. Se llamar normal, acortada o alargada segn que el punto est en, dentro o fuera de la circunferencia ruleta.GT5: -GT6: Es la curva que describe un punto solidariamente unido a una recta que rueda, sin resbalar, sobre una circunferencia. Se llamar normal si el punto est en la recta, ya cortada o alargada si est en el mismo semiplano, o en el opuesto, de los dos en que la recta divide al plano en cada instante.GT6: Inicio: ndice: Siguiente: Anterior: Imprimir: Ampliar: Reducir: Buscar:

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