unidad 4. cálculo integral y sus aplicaciones

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Matemticas Administrativas

UNIDAD 4. Clculo Integral y sus aplicaciones

Programa de la asignatura:


Semestre

Segundo

Universidad Abierta y a Distancia de Mxico

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INDICE

Presentacin de la unidad ....................................................................................... 3

Propsitos de la unidad ........................................................................................... 3

Competencia especfica .......................................................................................... 3

4.1. La integral ......................................................................................................... 4

4.1.1. Conceptos relacionados con la integral y formulas bsicas de integracin ... 4

4.1.2. Integracin por sustitucin ............................................................................ 7

Actividad 1. Integral definida y por sustitucin ......................................................... 7

4.1.3. Integracin por partes.................................................................................... 8

4.2. La integral y sus Aplicaciones en las matemticas financieras ...................... 10

4.2.1. La funcin de utilidad................................................................................... 10

4.2.2. Asignacin y agotamiento de recursos ....................................................... 11

4.2.3. Inventarios ................................................................................................... 13

Actividad 2. Funcin de ingreso total a partir del ingreso marginal y concepto de

aplicacin en las matemticas financieras ............................................................ 13

Actividad 3. Matemticas Administrativas ............................................................ 14

Autoevaluacin ...................................................................................................... 14

Evidencias de aprendizaje. Obtencin de funciones a partir de las marginales .... 14

Cierre de la unidad ................................................................................................ 15

Para saber ms ..................................................................................................... 15

Fuentes de consulta .............................................................................................. 16

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Presentacin de la unidad

En las unidades anteriores, se ha estudiado como los

diferentes tipos de funciones nos ayudan a comprobar y

determinar el comportamiento de un fenmeno o situacin

del rea econmico-administrativa, a travs de los lmites, la

derivada, la diferencial y el clculo de mximos y mnimos

en el anlisis marginal y tasas de cambio.

En esta unidad se ver la importancia de del clculo integral

como una forma de llegar a la funcin original si slo se

cuenta con la derivada y su importancia en el anlisis

marginal y en las reas econmico-administrativas.

Propsitos de la unidad

En esta unidad:

Identifica los elementos de los mtodos de

integracin, as como los conceptos de la funcin de

utilidad, asignacin y agotamiento de recursos e

inventarios.

Aplica las frmulas y mtodos de integracin en la

solucin de problemas del rea econmico-

administrativa.

Resuelve problemas de utilidad, asignacin y agotamiento de recursos e

inventarios.

Competencia especfica

Aplica los elementos de los diferentes mtodos de integracin y

las funciones de las matemticas financieras para el

planteamiento y resolucin de problemas de utilidad, asignacin

y agotamiento de recursos e inventarios, mediante el uso de de

las frmulas y conceptos del clculo integral.

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4.1. La integral

En la unidad anterior estudiamos el clculo diferencial

donde el problema central era: obtener la derivada de una

funcin dada. Sin embargo, en el Clculo integral nos

encontramos con la operacin inversa de la derivada, es

decir obtener una funcin original integrando la

derivada.

Por ejemplo, cmo se podra obtener la posicin de una

partcula si slo conocemos su velocidad?

Al concluir esta unidad podrs resolver este y otro tipo de

problemas

4.1.1. Conceptos relacionados con la integral y formulas bsicas de integracin

La integracin es el proceso de determinar una funcin cuando se conoce su derivada,

esto es que es la operacin inversa o contraria a la derivacin.

El smbolo con el que se representa a la integral es: que denota la operacin de

antiderivacin y que de manera general define a la integral de la siguiente manera:

En donde:

Frmulas y reglas de integracin:

1.

2. 3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

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Ejemplo: determine la integral de las siguientes funciones usando las frmulas de

integracin:

aplicando la frmula 1 se tiene que:

En donde para este caso:

a = 6

dx = dx

por lo que:

aplicando la frmula 3, y posteriormente para cada caso las frmulas 1,

6 y 2 se tiene que:

En donde para este caso:

u = 8x2

v = 3x

w = -2

dx = dx

por lo que:

, aplicando la frmula 9:

En donde:

a = 3

u = 2x

du = 2dx

Se tiene entonces que:

6



Como podemos observar la resolucin de las integrales mediante las frmulas es fcil si

se identifica la similitud de la frmula con la integral problema, para posteriormente

comenzar a sustituir los valores correspondientes.

Ahora bien, hasta ahora estamos viendo la solucin de integrales indefinidas, es decir que

requieren de una constante de integracin para su solucin debido a que no tienen una

solucin exacta, esto es que no est definida en un intervalo o lmites, As entonces como

existen las integrales indefinidas, tambin existen las integrales definidas.

Integral definida: una funcin , est definida en el intervalo [a, b] si existe el lmite de

la funcin a medida que los incrementos tienden a 0 y el nmero de intervalos se

aproxima al infinito, entonces el lmite de la funcin es la integral definida desde un punto

a hasta un punto b, y se representa como:

Cuya solucin dar un valor exacto y constante.

Ejemplo: Evale la siguiente integral:

Solucin: Usando las frmulas y reglas de integracin, se tiene que:

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4.1.2. Integracin por sustitucin

Un mtodo para solucionar integrales es el de sustitucin, el cual consta de 3 pasos que

veremos mediante un ejemplo:

Sea la integral:

Lo primero es sustituir el valor que se encuentra en el parntesis por una sola variable, es

decir definir a u y du dentro de la integral dada, ejemplo:

Sustituir u y du en la integral, esto es:

Y dar solucin a la integral en u:

Finalmente se vuelve a retornar a las variables originales:

As podemos ver que una integral que contiene un polinomio elevado a una potencia o

bien una funcin ms complicada se puede reducir a una ms sencilla y fcil de resolver.

Actividad 1. Integral definida y por sustitucin

Con la presente actividad logrars: Determinar la integral de funciones de varios tipos. Para realizar tu actividad:

Ingresa a tu aula virtual correspondiente a la unidad 4.

Descarga el archivo Act 1. Integral definida y por sustitucin

Atiende las instrucciones expuestas en el documento.

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4.1.3. Integracin por partes

En muchas ocasiones la integral de una funcin no se puede resolver directamente a

travs de las frmulas o por una sustitucin, es ah cuando se recurre a la integral por

partes, esto es que tenemos dos funciones dentro de la integral que hace necesario

aplicar este sencillo mtodo de integracin, el cual analizaremos con un ejemplo:

Sea la integral:

En este caso vemos que tenemos dos funciones dentro de la integral: una exponencial y

un polinomio de un grado elevado a una potencia y como se puede ver no es fcil de

resolver con una frmula o mediante una sustitucin.

Debido a esto es recomendable utilizar la frmula para integracin por partes:

Al utilizar esta frmula es necesario escoger qu funcin dentro de la integral ser y

quien ser .

Siempre es recomendable que corresponda a la funcin ms complicada o bien al

polinomio ms grande y que sea la funcin ms sencilla y fcil de integrar mediante

una sustitucin o de preferencia aplicando una frmula, para este caso, tenemos que:

Ahora bien de acuerdo a la frmula para sustituir la solucin, se requiere conocer a y a

:

Para encontrar : se requiere obtener la derivada de la funcin que escogimos como

que para este caso es necesario recurrir a la regla de la cadena:

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Y aplicando la regla de la cadena para obtener , (esto es derivada del interior por

derivada del exterior), as:

Para encontrar : se requiere obtener la integral de la funcin que escogimos como , que

para este caso es posible realizarlo con la frmula

As, como tenemos que:

Entonces:

Ahora lo que continua es sustituir en la frmula de integracin por partes:

Si observamos ahora tenemos dos integrales en la solucin, pero que son ms sencillas

que la integral original, como se puede observar, la primera se podr resolver por partes y

la segunda aplicando una frmula, as para:

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Por lo tanto, la solucin de la integral ser:

4.2. La integral y sus Aplicaciones en las matemticas financieras

Las matemticas financieras son una parte de la matemtica

aplicada, que estudia los modelos matemticos relacionados

con los cambios cuantitativos que se producen en sumas de

dinero. Para esto se requiere el clculo integral que a

continuacin explicaremos

4.2.1. La funcin de utilidad

La funcin de utilidad, tiene su fundamento en la teora respecto al consumidor y que se

refleja en el flujo monetario que tendr la empresa al realizar la venta de algn artculo o

cuando vende un servicio y esto est en funcin de los costos que se generen.

Recordando la funcin de Utilidad, se tiene:

De la que se espera que siempre los ingresos sean mayores a los costos para as obtener

la mayor ganancia posible.

As, podemos ver que al integrar la funcin de utilidad marginal se obtiene la Utilidad

Total.

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Ejemplo: Una comercializadora de queso francs tiene debido a sus ventas la siguiente

funcin de utilidad marginal:

Determine la funcin de utilidad total de la empresa:

Solucin: para encontrar la funcin de Utilidad de la empresa comercializadora, es

necesario integral la funcin de utilidad marginal, por lo que se tiene:

Y ya que cuando no hay ventas de quesos la Utilidad ser de cero, entonces la constante

de integracin c, ser igual a cero.

Por lo que finalmente la Utilidad Total de la comercializadora de queso francs estar

dada por:

4.2.2. Asignacin y agotamiento de recursos

Algunos conceptos relacionados con este tema son:

Costo Capital: es el costo de compra menos el valor de recuperacin.

Costo de Operacin: incluye a los costos de propiedad y mantenimiento de equipos.

Formacin de Capital: es el proceso por el cual de manera continua se incrementa

la cantidad acumulada de bienes de capital y est en funcin del tiempo .

Recursos: son los elementos de carcter material, tecnolgico o humano que sirven

para desarrollar una tarea especfica donde se quiere llegar a un objetivo final, de ah

que es importante describir los tres tipos de recursos con que cuenta una empresa:

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Recurso Material: tambin llamado monetario, es el que permite destinar las

cantidades de dinero para realizar diversas actividades tales como los pagos,

compras, salarios, entre otros. As, cuando los ingresos de la empresa son iguales a

los costos entramos a un punto de equilibrio y ms an cuando los ingresos son

menores a los costos las ganancias de la empresa se pierden y empieza a

presentarse un agotamiento de recursos, lo que llevar a la empresa a la quiebra

ya que no puede hacer frente a sus necesidades.

Recursos Tecnolgico: es el que permite realizar la actividad de la 3empresa de

manera eficiente y va desde la maquinaria del rea de proceso hasta las

computadoras del rea de oficinas, es importante siempre tenerlo en buenas

condiciones y contar con los recursos tecnolgicos adecuados ya que de ellos

depender la eficiencia en los procesos que se desarrollan dentro de la empresa.

Recurso Humano: corresponde al personal con que cuenta la compaa o empresa

para desarrollar las actividades con apoyo de los recursos tecnolgicos, as la

cantidad de recursos humanos con que cuente la empresa depender en gran parte

del nivel de produccin que sta maneje.

Ejemplo: Una empresa turstica considera incrementar su personal de promocin. El

costo marginal de la incorporacin de dicho personal est dado por:

En donde el costo C(x), est dado en unidades que representan 10000 unidades

monetarias y x, es el nmero de personas que se van a contratar. Si se contratan 10

personas, cul es ser el costo total si no hay costos fijos?

Solucin: para encontrar la funcin de Costo Total es necesario integrar a la funcin de

costo marginal:

As, utilizando la integracin por partes, se tiene:

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Y como los costos fijos son cero:

Y como quieren contratar a 10 nuevas personas, entonces:

O lo que es lo mismo:

4.2.3. Inventarios

El Inventario representa a las existencias de cualquier artculo, material o recurso

utilizado en una organizacin para los procesos de fabricacin y/o distribucin.

Cuando se manejan inventarios, puede haber 3 tipos de costos:

Costos de compra: debidos a la compra de artculos o materia prima para adquirir

mercanca que se adquiere como respaldo ante una posible escasez o desabasto

en el mercado.

Costos de tener: se genera cuando se requiere mantener un nivel satisfactorio de

materia prima o producto terminado e incluye costos de manejo, daos y prdidas

provocadas por el manejo de los artculos, fletes, papelera y todos los

requerimientos de registro de almacn y reposicin de mercanca utilizada.

Costos de mantenimiento: los generados por tener un artculo en inventario,

incluye costos de capital invertido, de deterioro, obsolescencia, robos, impuesto y

seguros, as como espacio, instalacin, depreciacin del edificio y equipo de

almacn, etc.

Actividad 2. Funcin de ingreso total a partir del ingreso marginal y concepto de

aplicacin en las matemticas financieras

Con la presente actividad logrars:

Aplicar los conceptos de integracin en problemas reales Para realizar tu actividad: Descarga el documento correspondiente a la actividad. Dicho archivo lo encontrars dentro de tu aula virtual.

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Actividad 3. Matemticas Administrativas

Con la presente actividad logrars: Analizar la aplicacin de las matemticas administrativas Para realizar tu actividad:

1. Ingresa a la herramienta correspondiente a la actividad

2. Atiende a las indicaciones que exprese tu Docente en

lnea

3. Atiende a los tiempos estipulados para cumplir con tu

actividad.

Autoevaluacin

Es momento de verificar el logro de tu aprendizaje en la unidad. Ingresa a la herramienta del aula virtual nombrada

Autoevaluacin

Evidencias de aprendizaje. Obtencin de funciones a partir de las marginales

La Evidencia de aprendizaje es la actividad integradora de

tu unidad; realizarla te permitir demostrar que adquiriste

la competencia especfica de la unidad

Para realizar tu actividad, descarga el documento EA. Obtencin de funciones a partir de las marginales. Sigue las instrucciones expuestas y enva tu documento atendiendo a las caractersticas solicitadas.

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Cierre de la unidad

Has concluido el estudio de la unidad y, con ello, la asignatura Felicidades!

La unidad cuatro establece los principios del clculo integral para que puedas utilizarlos

en la solucin de problemas relacionados con utilidades, asignacin de recursos e

inventarios, temas de gran importancia dentro del rea de las matemticas financieras.

Finalmente, durante toda la asignatura revisaste algunas aplicaciones del clculo que te

ayudarn a solucionar problemas relacionados con el mbito laboral

Para saber ms

Si deseas saber ms de estos temas te sugerimos las siguientes ligas:

http://www.marxist.com/Theory-old/dialectico/node3.html

CAPITULO 7. Aplicaciones de la Integral Definida. Licda. Elsie Hernndez Saboro

APLICACION DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Video

http://www.youtube.com/watch?v=UduXD78BQEo

http://www.marxist.com/Theory-old/dialectico/node3.htmlhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesintegral/html/aplicaciones-integral.pdfhttp://magician-of-the-dark.blogspot.es/http://www.youtube.com/watch?v=UduXD78BQEo

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Fuentes de consulta

Bibliografa Bsica:

Barry Render, Ralph M. Stair, Michael E. Hanna. Mtodos cuantitativos para los

negocios. Pearson Educacin, Mxico. 2006.

Chiang. Mtodos fundamentales en economa matemtica. 4 Edicin, Editorial

McGraw-Hill, Mxico, 2006.

Harshbarger, Ronald J. & Reynolds, Jame J. Matemticas Aplicadas a la

Administracin, Economa y Ciencias Sociales, 7 Edicin, McGraw-Hill, Mxico,

2005.

Leithold, Louis. El clculo. 7 Edicin, Editorial Cspide, Oxford. 2006.

Thomas. Clculo de una Variable. Editorial Prentice Hall. 2006.

Bibliografa complementaria:

Cissell, Robert, Helen Cissell y David C. Flaspohler, Matemticas Financieras, 2

edicin, Editorial CECSA, Mxico, 1999.

Garca Gonzlez, Enrique, Matemticas Financieras por medio de Algoritmos,

Calculadora Financiera y PC; Editorial McGraw-Hill, Mxico, 1998.

Hernndez Hernndez, Abraham, Matemticas Financieras Teora y Prctica, 4

edicin, Ediciones Contables, Administrativas y Fiscales, Mxico, 1998.

Motoyuki Yasakawa, Alberto, Matemticas Financieras, Despeignes Editora,

Crdoba, Argentina, 2000.

Murray R. Spiegel. Manual de Frmulas y Tablas Matemticas. Traduccin de la 1

edicin. McGraw-Hill. Mxico. 1994.

Toledano y Castillo, Mario Alfonso y Lilia E. Himmelstine de Chavarria,

Matemticas Financieras, Editorial CECSA, Mxico, 1984.

Vidaurri Aguirre, Hctor Manuel, Matemticas Financieras, 2 edicin, Ediciones

Contables, Administrativas y Fiscales - Thomposn Learning, Mxico, 2001.

unidad 4. cálculo integral y sus aplicaciones

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