unidad 3. métodos de integracion

Clculo integral Unidad 3. Mtodos de Integracin

Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologas

1

Universidad Abierta y a Distancia de Mxico

Licenciatura en Matemticas

Programa de la asignatura:

Clculo Integral

Unidad 3. Mtodos de integracin



2

ndice UNIDAD 3. MTODOS DE INTEGRACIN ............................................................................................. 3

Propsito de la unidad ........................................................................................................................ 3

Competencia especfica ...................................................................................................................... 3

Presentacin de la unidad ................................................................................................................... 3

Actividad 1. Mtodos de integracin .................................................................................................. 3

Integracin por partes ......................................................................................................................... 4

INTEGRALES POR PARTES ....................................................................................................................................... 4

SUSTITUCIN PARA RACIONALIZAR .......................................................................................................................... 5

Integracin de funciones racionales mediante fracciones parciales .................................................. 5

Q(X) ES PRODUCTO DE FACTORES LINEALES DISTINTOS ................................................................................................ 7

Q(X) CONTIENE FACTORES LINEALES, ALGUNOS SE REPITEN .......................................................................................... 9

Q(X) CONTIENE FACTORES CUADRTICOS REDUCIBLES, NINGUNO SE REPITE .................................................................. 11

Q(X) CONTIENE UN FACTOR CUADRTICO IRREDUCTIBLE REPETIDO .............................................................................. 13

Actividad 2.integracin por partes y de funciones racionales .......................................................... 15

Integrales trigonomtricas ................................................................................................................ 15

INTEGRALES TRIGONOMTRICAS ........................................................................................................................... 15

INTEGRALES QUE CONTIENEN SENOS Y COSENOS ...................................................................................................... 17

INTEGRALES QUE CONTIENEN TANGENTES Y SECANTES .............................................................................................. 19

SUSTITUCIN TRIGONOMTRICA ........................................................................................................................... 20

Estrategias de la integracin por medio de tablas integrales ........................................................... 22

TABLAS DE FRMULAS INTEGRALES ....................................................................................................................... 22

ESTRATEGIAS PARA INTEGRAR .............................................................................................................................. 23

Actividad 3. Integrales trigonomtricas ............................................................................................ 23

Integrales impropias .......................................................................................................................... 23

TIPO 1. INTERVALOS INFINITOS ............................................................................................................................ 24

TIPO 2. INTEGRANDOS DISCONTINUOS .................................................................................................................. 25

Actividad 4. Integrales impropias ...................................................................................................... 27

Evidencia de aprendizaje. Clculo de una integral ............................................................................ 27

Consideraciones especficas de la unidad ......................................................................................... 28

Fuentes de consulta .......................................................................................................................... 28



3

UNIDAD 3. MTODOS DE INTEGRACIN

Propsito de la unidad

Al trmino de la unidad habrs incrementado tu competencia en resolver integrales

mediante diferentes mtodos y reglas de integracin. Desarrollars tu habilidad de

escoger mtodos apropiados para resolver integrales. Identificars integrales que

requieran el uso de tablas de integrales para su resolucin.

Competencia especfica

Utilizar mtodos de integracin para resolver integrales mediante reglas, identidades,

sustituciones, simplificaciones, definiciones, estrategias y tablas, con base en ejercicios

de prctica.

Presentacin de la unidad

En la unidad 1 hemos visto el teorema fundamental del clculo, el cual menciona que es

posible integrar una funcin si conocemos su antiderivada, o su integral definida. Tambin

hemos adquirido habilidad para resolver cierto tipo de integrales; sin embargo, existen

integrales ms complicadas que no es posible resolverlas con las frmulas y mtodos

hasta ahora expuestos. Por ello, en este captulo abordaremos diferentes tcnicas y

mtodos para resolver integrales.

Entre los mtodos que veremos estn integracin por partes, integracin usando

funciones trigonomtricas, integraciones por sustitucin trigonomtrica, integracin de un

cociente mediante la descomposicin de fracciones parciales entre sus diferentes casos.

Tambin veremos el cmo abordar cierto tipo de integrales mediante tablas y/o aplicando

algunas estrategias para realizar el proceso de integracin con xito. Incluso abordaremos

las integrales impropias en donde extenderemos el concepto de integral definida al caso

donde el intervalo es infinito y tambin al caso donde f tiene una discontinuidad infinita en

un intervalo [a, b].

Actividad 1. Mtodos de integracin

Revisa el documento de actividades para revisar las indicaciones por el cual se realizar la actividad.



4

Integracin por partes

Como inicio de la unidad empezaremos a estudiar el mtodo de integracin por partes.

Dicho mtodo es una consecuencia inversa del proceso de derivacin de un producto de

funciones. Veremos tambin el proceso de integracin cuando tengamos funciones

expresadas como races cuadradas.

Integrales por partes

La regla de integracin por partes surge de la regla de derivacin de un producto de dos

funciones. Supongamos que f y g son funciones derivables.

La regla de derivacin de un producto de funciones establece:

)()()()()()( xfxgxgxfxgxfdx

d

Si aplicamos la integral al producto de funciones, tenemos:

dxxfxgxgxfdxxgxfdx

d )()()()()()(

En el primer trmino se cancela la integral.

dxxfxgdxxgxfxgxf )()()()()()( Despejamos el primer trmino de la suma del lado derecho.

dxxfxgxgxfdxxgxf )()()()()()( Llegamos a lo que se conoce como frmula de integracin por partes.

Si renombramos los trminos )(xfu y )(xgv y sus respectivos diferenciales

dxxfdu )( y dxxgdv )( ; reescribimos la frmula de integracin por partes como:

duvuvdvu Reescribiendo de esta manera una integral, es ms sencillo resolverla. Escrita de esta

manera te ser ms fcil recordarla.

Ejemplo

Queremos determinar la integral de la forma dxxsenx . Solucin

Antes de realizar la integral identificamos a u y v .

u dv u v v du Lo que est en rosa es lo que identificamos y lo que est en amarillo es lo que tenemos

que encontrar para poder aplicar la regla.

xu encontrar: dxdu

senxdxdv encontrar: xv cos



5

Sustituimos en nuestra frmula de integracin por partes, y procedemos a integrar las

integrales faltantes. En caso de que fuera necesario, volvemos nuevamente a aplicar la

regla de integracin por partes. En este caso no es necesario.

Csenxxx

dxxxcoxx

dxxxsenxdxxduvvudvu

cos

cos

)cos()cos(

La integral del coseno la sacamos de las tablas de

integrales.

El objetivo de la integracin por partes es obtener una integral ms fcil de resolver, en

comparacin con la inicial.

Sustitucin para racionalizar

En esta seccin evaluaremos integrales que tienen una expresin de la forma n xg )( , en

la cual efectuaremos una sustitucin n xgu )( .

Ejemplo

Evaluar la integral

dxx

x 4

Solucin

Haremos la sustitucin de n xgu )( , es decir:

4 xu que es lo mismo que 42 xu , despejando x y determinando sus

diferencias,

42 ux ; ududx 2

Sustituyendo en la integral, llegamos a:

duu

u

duu

uudu

u

udx

x

x

42

422

4

4

2

2

2

2

2

Este ltimo trmino ser evaluado usando fracciones parciales.

Integracin de funciones racionales mediante fracciones parciales

Revisaremos algunos mtodos para calcular integrales racionales de la forma:

xQxP

xf



6

En donde )(xP y )(xQ son polinomios.

Para integrar funciones con esta forma, lo que haremos es expresar a )(xf como una

suma de fracciones ms sencillas, siempre que el grado del polinomio P sea de menor

grado que el polinomio Q.

Nota:

Recordemos que un polinomio se puede expresar de la siguiente manera.

011

1 axaxaxaxPn

n

n

n

En donde 0na . El grado del polinomio est denotado por n .

Por otra parte, debemos considerar que una funcin propia )(xf es cuando el grado de

)(xP es menor que el grado de )(xQ . Y una impropia es cuando el grado de )(xP es

mayor que el grado de )(xQ .

Considerando el caso que tengamos una funcin impropia, lo primero que haremos ser

realizar la divisin de polinomios )(xP entre )(xQ hasta obtener el residuo. Es decir,

)(

)()(

)(

)()(

xQ

xRxS

xQ

xPxf

En donde )(xR y )(xS tambin son polinomios.

Revisemos el siguiente ejemplo para entenderlo mejor.

Ejemplo

Supongamos que nos piden determinar la integral racional de:

Solucin

Observemos. Se trata de una integral impropia, pues el grado del polinomio P es mayor

que el grado del polinomio Q.

Procedemos a realizar la divisin y la sustituimos dentro del radicando, tenemos:

dxx

xxdxx

xx

1

22

1

23

Cxxxx

1ln2223

23

dxx

xx

1

3



7

El clculo de la integral fue ms trivial al realizar la divisin.

Sin embargo, despus de haber realizado la divisin, es posible que nos quedemos

trabajando con el cociente )(

)(

xQ

xR que pueda tener la forma de una funcin propia. El grado

de )(xR es menor que el grado de )(xQ .

)(

)(

xQ

xR

Cuando tengas esto, lo que debes hacer es descomponer el denominador Q(x) en

factores, tanto como sea posible para convertir nuestro cociente )(

)(

xQ

xR en una suma de

fracciones parciales cuyos denominadores son potencias de polinomios de grado menor o

igual a dos.

rFFFxQ

xR 21

)(

)(

El siguiente paso consiste en expresar la funcin racional propia, )(

)(

xQ

xR como una suma

de fracciones parciales, dependiendo del factor que est contenido en )(xQ .

ibaxA

jcbxaxBAx

2

Esto siempre va a ser posible.

Veremos en las siguientes secciones los diferentes casos que se pueden encontrar para

el denominador )(xQ de la funcin propia.

Q(x) es producto de factores lineales distintos

Sea el caso que tengamos una funcin propia. El grado de )(xP es menor que el grado de

)(xQ .

rFFFxQ

xR 21

)(

)(

Caso I, cuando el denominador Q(x) es un producto de factores lineales distintos.

Es decir, puedes representar tu polinomio )(xQ como producto de factores lineales, la

potencia de cada uno de ellos es uno.

kk babxabxaxQ 2211



8

No debe haber factores repetidos. Con esto es posible reescribir el cociente como:

donde kAAA ,,, 21 son constantes a encontrar.

Ejemplo

Resuelve la siguiente integral.

Solucin

Se trata de una funcin propia, ya que el polinomio del denominador es de mayor grado

que el polinomio del numerador.

Como comentamos anteriormente, tenemos que expresar el denominador en trminos de

factores de grado uno.

Mira, lo hemos puesto con TRES FACTORES LINEALES DISTINTOS, con polinomios de

grado uno. Soy muy redundante? Pues, s, que no se te olvide que el grado de cada

factor es uno!

Entonces, ahora reescribimos nuestro cociente como el resultado de fracciones parciales,

en trminos de las constantes A, B y C .

Lo que haremos ahora es hallar las constantes A , B y C . Para lograrlo multiplicamos

ambos lados de la expresin por

212 xxx .

Reordenado para conseguir la igualacin de literales.

Encontramos que los coeficientes en ambas ecuaciones tienen que ser iguales.

CBA 221 CBEA 22

kk

x

bxa

A

bxa

A

bxa

A

xQ

xR

22

2

11

1

dxxxx

xx

232

1223

2

212232232 223 xxxxxxxxx

212212122

x

C

x

B

x

A

xxx

xx

122212122 xCxxBxxxAxx

AxCBEAxCBAxx 222212 22



9

A21

Es un sistema de ecuaciones que hay que resolver para encontrar los valores de A , B y

C . Puedes usar cualquier mtodo que desees para resolverlo.

Resolviendo el sistema de ecuaciones se encontraron los siguientes valores

Al resolver el sistema obtenemos: 2

1A ,

5

1B y

10

1C

Finalmente, podemos reescribir nuestra integral original en trminos de fracciones

parciales

Cxxx

dxxxx

dxxxx

xx

210

112ln

10

1ln

2

1

2

1

10

1

12

1

5

11

2

1

232

1223

2

Recalcando, el denominador )(xQ se escribi como un producto de factores lineales

distintos kk babxabxaxQ 2211

Q(x) contiene factores lineales, algunos se repiten

Si )(

)()(

)(

)()(

xQ

xRxS

xQ

xPxf , analizaremos el caso II, cuando el denominador Q(x) es

un producto de factores lineales, algunos de los cuales se repiten.

Sea el cociente de polinomios

rFFFxQ

xR 21

)(

)(

El cual es una funcin propia, donde descomponemos el denominador Q(x) en un

producto de factores lineales, algunos de los cuales se repiten.

rr

bxa

A

bxa

A

bxa

A

11

2

11

2

11

1

Observa que los factores )( 11 bxa se repiten r veces.

Un ejemplo claro es el siguiente:

212212122

x

C

x

B

x

A

xxx

xx



10

322323

1111

1

x

E

x

D

x

C

x

B

x

A

xx

xx

Hicimos esto, ya que el factor x es lineal y se repite 2r veces, por lo que se escriben

los trminos x

A y

2x

B. Y tambin el factor )1( x es lineal y se repite 3r , por lo que

puedes escribir tres trminos)1( x

C,

2)1( x

D y

)1( x

E

Analicemos un ejemplo de integracin.

Ejemplo

Determine la integral

dxxxx

xxx

1

14223

4

Solucin

El primer paso es dividir para obtener el cociente de la forma anteriormente vista

)(

)()(

)(

)()(

xQ

xRxS

xQ

xPxf

Dividiendo resulta

1

41

1

1422323

4

xxx

xx

xxx

xxx

El segundo paso es expresar a 123 xxxxQ en factores.

Factorizamos, dado que 1 es solucin de 0123 xxx tenemos el primer factor

)1( x , tambin a )1( 2 x lo podemos descomponer en dos factores )1( x )1( x .

Reescribiendo tenemos:

11

111111

2

223

xx

xxxxxxxx

El factor lineal 1x , aparece dos veces.

Con esto ya podemos trabajar con la parte )(

)(

xQ

xR as que este cociente queda expresado

como:

Realizando la misma tcnica del ejemplo anterior para hallar las constantes, multiplicamos

por el mnimo comn denominador 11 2 xx y obtenemos

111114

22

x

C

x

B

x

A

xx

x



11

CBAxCBxCA

xCxBxxAx

2

11114

2

2

Igualamos coeficientes en relacin con las literales:

0

42

0

CBA

CB

CA

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos:

1A , 2B y 1C

Una vez que hemos hallado el valor de las constantes procedemos a sustituirlas en

nuestras fracciones parciales y reescribimos nuestra integral para resolverlas.

Cx

xin

xx

x

Cxinx

xinxx

dxxxx

xdxxxx

xxx

1

1

1

2

2

11

21

2

1

1

1

2

1

11

1

142

2

2

223

24

Una vez ms hemos descompuesto el denominador Q(x) en un producto de factores

lineales, algunos de los cuales se repiten.

rr

bxa

A

bxa

A

bxa

A

11

2

11

2

11

1

Q(x) contiene factores cuadrticos reducibles, ninguno se repite

Caso III. Es el caso tal que la descomposicin de xQ contiene factores cuadrticos

irreducibles, de los cuales ninguno se repite. Esto es cuando xQ posee el factor

cbxax 2 , en donde 042 acb . El cociente )(

)(

xQ

xR tendr un trmino de la forma:

cbxax

BAx

2

Siendo Ay B constantes a ser determinadas. Considera que es posible que xQ contenga trminos lineales y no lineales.

Si el denominador contiene factores lineales, utilizars el mtodo de la seccin anterior

para determinar las fracciones parciales debido a los trminos lineales. Y para determinar

la forma de las fracciones parciales cuando los factores del denominador tienen factores

cuadrticos, usars el mtodo expuesto en esta seccin.



12

El siguiente ejemplo lo ilustra mejor.

Ejemplo

La funcin 412 22 xxx

xxf descompuesta en fracciones parciales queda de

la siguiente manera:

412412 2222

x

EDx

x

CBx

x

A

xxx

x

Las fracciones parciales 12

x

CBxy

42

x

EDxsurgen debido a los factores cuadrticos

12 x y 42 x respectivamente; y la fraccin 2x

Aes consecuencia del trmino lineal

)2( x .

Veamos un ejemplo donde se tenga que integrar una funcin racional.

Ejemplo

Calcule la siguiente integral dxxx

xx

4

423

2

Solucin

Procedemos a descomponer )4(4)( 23 xxxxxQ y reescribimos el cociente (surgen

dos fracciones, una debido a un factor lineal y otra debido al factor cuadrtico).

4442

22

2

x

CBx

x

A

xx

xx

Igual que en los ejemplos anteriores multiplicamos por 42 xx para resolver los valores de A, B y C.

ACxxBA

xCBxxAxx

4

442

2

22

Resolviendo llegamos a los valores

1A 1B , 1C Entonces, al reemplazar estos valores para A, B, y C, la integral toma la forma:

dxx

x

xdx

xx

xx

4

11

4

4223

2

Fjate que esta integral, ahora est expresada como la integral de una suma, que es lo

mismo que la suma de dos integrales.

dxx

xdx

xdx

xx

xx

4

11

4

4223

2



13

El clculo del primer trmino es trivial; sin embargo, el segundo trmino lo podemos

expresar en dos partes como:

dx

xdx

x

xdx

x

x

4

1

44

1222

La primera integral la resolvemos usando una sustitucin de variable con 42 xu y

xdxdu 2 respectivamente. En la segunda integral se usa la integral:

Ca

x

aax

dx

1

22tan

1

Identificamos que 2a . Observemos que finalmente nuestra integral original puede ser

descompuesta en tres fracciones parciales, una lineal y dos cuadrticas.

CxxInxIn

dxx

dxx

xdx

xdx

xx

xx

2tan4

4

1

4

1

4

42

1

212

21

223

2

Q(x) contiene un factor cuadrtico irreductible repetido

En este tpico tendremos el caso IV en el cual el denominador )(xQ se puede

descomponer en el factor rcdxax 2 repetido r veces.

)(

)(

xQ

xRse descompone en las fracciones parciales de la forma:

rrr

cbxax

BxA

cbxax

BxA

cbxax

BxA

22

22

2

11

Ejemplo

Descompn en fracciones parciales el siguiente cociente:

32223

111

1

xxxxx

xx

Solucin

32222232223

11111111

1

x

JIx

x

HGx

x

FEx

xx

DCx

x

B

x

A

xxxxx

xx

El factor x es lineal y tiene potencia 1r , por lo que se escribe el trmino x

A, el factor

)1( x es lineal y tiene potencia 1r , por lo que tambin se escribe el trmino )1( x

B.



14

El factor )1( 2 xx es cuadrtico y tiene potencia 1r , por lo que se escribe el trmino

)1( 2

xx

DCx .

Ahora pon mucha atencin, como el factor 32 )1( x no es lineal y tiene una potencia

3r , es posible escribir tres factores de la forma:

)1( 2

x

FEx,

22 )1(

x

HGx y

32 )1(

x

JIx.

Ejemplo

Determinar

dxxx

xxx

22

32

1

21

Solucin

Para la descomposicin de fracciones, debemos poner atencin en la potencia r de cada

factor )(xQ .

El factor x es lineal y tiene potencia 1r , por lo que se escribe el trmino x

A; sin

embargo, el factor )1( 2 x no es lineal y tiene potencia 1r , entonces se escribe el

trmino )1( 2

x

CBx y el trmino

22 )1(

x

DDx.

Entonces tenemos que el cociente )(

)(

xQ

xR es:

2222232

1112

21

x

EDx

x

CBx

x

A

x

xxx

Multiplicamos por 22 1xx para hacer una igualacin de coeficientes:

AxECxDBACxxBA

ExDxxxCxxBxxA

xEDxxxCBxxAxxx

234

232424

22223

2

12

1112

Se tiene:

0 BA 1C 22 DBA 1 EC 1A

Resolviendo el sistema de ecuaciones se llega a las soluciones:

1A 1B 1C 1D 0E

Sustituyendo los valores de las constantes, llegars a:



15

Cx

xxx

x

xdx

x

dxdx

x

x

x

dx

dxx

x

x

x

xdx

xx

xxx

12

1tan1lnln

111

11

11

1

21

2

12

21

2222

22222

32

Actividad 2.integracin por partes y de funciones racionales

En esta actividad resolvers ejercicios sobre integracin por partes y de funciones racionales mediante las fracciones parciales. Para eso revisa el documento de actividades donde se dan las instrucciones y espera el documento del docente con los ejercicios que debers resolver.

Integrales trigonomtricas

En esta seccin nos enfrentaremos a integrales que contienen funciones trigonomtricas.

Para ello conoceremos y aplicaremos algunas identidades trigonomtricas

frecuentemente usadas.

Integrales trigonomtricas

Las identidades trigonomtricas juegan un papel importante a la hora de integrar ciertas

combinaciones de funciones trigonomtricas.

La idea central de este mtodo consiste en reescribir una integral dada en una integral

ms accesible que permita realizar el proceso de integracin de forma prctica.

Podemos usar las siguientes identidades, segn nuestra conveniencia a la hora de

evaluar integrales.

1cossen 22 xx xx 22 cos1sen xx 22 sen1cos

xxen 2cos12

1s 2

xx 2cos12

1cos2

1sectan 22 xx

xx 2csccot1 2

Para evaluar integrales de la forma dxnxmx cossen , dxnxmx sen sen

dxnxmx cos cos , puedes usar las siguientes identidades.



16

)(sen )(sen 2

1cossen BABABA

)( c)( cos2

1sen sen BAosBABA

)( c)( cos2

1coscos BAosBABA

Adems, podemos usar otras identidades como:

Identidades recprocas

senxx

1csc

xx

cos

1sec

xx

tan

1cot

x

senxx

costan

senx

xx

coscot

Identidades pitagricas

1cossen 22 xx

xxan 22 sec1t

xx 22 csccot1

Identidades de paridad

senxx )(sen

xxos cos)(c

xx tan)(tan

Ejemplo

Queremos evaluar la integral dxx cos3 . Como notars, no la puedes evaluar

directamente con los mtodos anteriormente vistos.

Solucin

Por ello, utilizaremos las identidades anteriores para hacerla ms fcil de resolver.

Para empezar, x3cos lo podemos reescribir con ayuda de las funciones trigonomtricas

como:

xxxxx cos) sen1(coscoscos 223

Reescribiendo la integral inicial con un cambio de variable xu sen y xdxdu cos



17

Cuu

du

dxxxdxx

3

2

23

3

1

)u1(

cos) sen1(cos

Regresamos a la variable inicial x, reemplazando xu sen

Cxxdxx 33 sen

3

1sen cos

Integrales que contienen senos y cosenos

En esta seccin conocers el mtodo de evaluar integrales de la forma

dxxxn cos senm

Para evaluar este tipo de integrales, hay que considerar los siguientes tres casos:

CASO UNO. En el caso que tengamos 12 kn una potencia impar, descomponemos el

xncos en factores, posteriormente utilizamos la identidad xx 22 sen1cos con la

intencin de expresar los factores restantes en trminos de funciones trigonomtricas

senos.

Finalmente, tenemos la integral con potencia par reescrita en trminos de senos.

dxxxxdxxx kk cos)(cos sen cos sen 2m12m

Reemplazando nuestra identidad xx 22 sen1cos tenemos una integral de la forma,

dxxxxdxxx kk cos)sen1( sen cos sen 2m12m

Puedes resolver esta integral haciendo un cambio de variable xu sen y al hacer

xdxosdu c . Al final tendramos que resolver una integral de la forma:

duuu mk )1(2

CASO DOS. Si te enfrentaras con integrales donde la potencia m es impar, 12 km .

Usamos la misma tcnica que en el caso uno.

Descomponemos xnsen en factores, sustituimos la identidad xx22 cos1sen



18

dxxxx

dxxxxdxxx

nk

nkn

cos sen )cos1(

cos sen )(sen cos sen

2

212k

Esta forma se puede resolver por medio de una sustitucin, haciendo xosu c ,

senxdxdu . Como en la expresin no tenemos un dxxsen )( multiplicamos ambos

lados por -1 y nos queda la expresin dxxsendu )( . Finalmente tendrs que calcular

esta integral.

duuu nk )1(2

Como te dars cuenta esta integral es ms fcil de resolver.

CASO TRES. Veremos que ste es ms fcil, ya que se trata de un caso donde las

potencias son pares, tanto para el seno como para el coseno. En este caso tendremos

que aplicar las siguientes identidades:

xxen 2cos12

1s 2

xx 2cos12

1cos2

xxx 2sen 2

1sen cos

Ejemplo

Determina

xdxxsen25 cos

Solucin

Podramos convertir x2cos a xsen21 pero nos quedaramos con una expresin en

trminos de senx sin factor xcos extra. En vez de eso, separamos un slo factor seno y

reescribimos el factor xsen4 restante en trminos de xcos :

xsenxxxsenxxsenxxsen 22222245 cos)cos1(cos)(cos

Sustituyendo xu cos , tenemos senxdxdu luego

.



19

Otro ejemplo

Evaluar

=

=

=

=

Integrales que contienen tangentes y secantes

En esta seccin nos interesa evaluar integrales de la forma: dxxxn sec tanm .

Tienes dos casos.

i) Cuando la potencia kn 2 es par: descompondrs xnsec en factores, manteniendo en

un factor una potencia igual a 2. Reemplazars la identidad xx 22 tan1sec .

Expresars la integral en trminos de xtan .

dxxxx

dxxxxdxxx

k

kk

sec)tan1( tan

sec)(sec tan sec tan

212m

212m2m

Hacemos una sustitucin y y la integral que evaluars

quedara as:

duuudxxxan mkk 122m 1 sec t ii) Cuando la potencia 12 km es impar: lo que hars ser descomponer xk 12tan en

factores, manteniendo en un factor una potencia igual a 2. Despus reemplazars la

identidad 1sectan 22 xx . Posteriormente, expresars la integral en trminos de sec x.

dxxxxx

dxxxxxdxxx

nk

nkn

tansecsec)1sec(

tansecsec)tan( sec tan

12

1212k



20

Convertimos y y nos queda una forma ms sencilla de

integral:

Sustitucin trigonomtrica

En esta seccin aprenderemos a integrar funciones de la forma dxxa 22

, siendo a

una constante MAYOR a cero.

Haremos un cambio de variable de x a mediante la sustitucin asenx . Emplearemos

la identidad 22 1cos sen con el objetivo de quitar la raz, observa:

coscos)1( 222222222 aasenasenaaxa

Podrs ver que, con este cambio de variable, la integral se convierte en una ms sencilla

facilitando la integracin. Hemos eliminado la raz que nos complicaba el trabajo.

A este tipo de sustitucin se le llama sustitucin inversa.

Existen otros casos en los que se puede emplear el mismo seguimiento. A continuacin

tenemos una tabla donde se muestra la expresin y lo que puedes usar dependiendo de

los signos de los trminos del radicando.

Forma del radical

Sustitucin Nuevo lmite de

integracin

Identidad

empleada

1. 22 xa asenx

22

22 1cos sen

2. 22 xa tanax

22

22 tan1sec

3. 22 ax secax

20

2

3

1sectan 22

En video puedes ver algunos ejemplos.

http://www.youtube.com/watch?v=g8mXuZD0Pb8

http://www.youtube.com/watch?v=MDzUKb46y-4&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=uviuFSY2vzw&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=HxOfazuF3U4&feature=related

Ejemplo

Determina la integral

dxxx 4

122

Solucin



21

Identificamos que se trata del segundo caso que se encuentra en la tabla. Entonces, la

sustitucin empleada ser tan2x definida en el intervalo 2/2/, . El

diferencial de x es ddx 2sec2 .

Trabajando con el radical y realizando las sustituciones respectivas se tiene:

sec2sec2sec4)1(tan44 222 x

Reemplazamos en nuestra integral original:

d

d

xx

dx

222

2

22 tan

sec

4

1

)sec2)(tan2(

sec2

4

El integrando lo podemos reescribir de la siguiente forma:

22

2

2

coscos

cos

1

tan

sec

sensen

La integral queda:

d

send

xx

dx2222

cos

tan

sec

4

Realizando la sustitucin senxu y su respectivo diferencial se tiene:

2222 41cos

4

1

4 u

dud

sendx

xx

dx

Resolviendo

CCsen

Cuu

du

4

csc

4

11

4

1

4

12

Emplearemos el tringulo siguiente para identificar los lados y la cosecante del ngulo en

cuestin.

x

x 4csc

2

Cx

x

xx

dx

4

4

4

2

22



22

Estrategias de la integracin por medio de tablas integrales

Dado que la integracin ofrece ms retos que la diferenciacin, daremos unos puntos que

debes tener en consideracin cuando trates de resolver integrales.

Es de mucha ayuda tener tablas de integrales y es muy aconsejable tratar de

memorizarlas, por lo menos las frmulas bsicas de integracin.

Tablas de frmulas integrales

La tabla siguiente te ser de mucha ayuda a la hora de resolver integrales.

Tabla de frmulas de integracin

1.

1

1

n

xdxx

nn con )1( n

11. xxdxx tanseclnsec

2. xIndxx

1

12. xxdxx cotcsclncsc

3. xx edxe 13. xIndxx sectan

4. aa

dxax

x

ln

14. senxIndxxcot

5. sen x xdx cos 15. xdxxsenh cosh

6. xsendxxcos 16. xsenhdxxcosh

7. xdxx tansec2

17.

ax

aax

dx 122

tan1

8. xdxx cotcsc2 18.

a

xsen

xa

dx 122

9. xdxxx sectansec 19.

ax

ax

aax

dxln

2

122

10. xdxxx csccotcsc 20.

22

22ln axx

ax

dx



23

Estrategias para integrar

Hemos visto varias tcnicas de integracin; sin embargo, es necesario tener una

estrategia para enfrentar las integrales.

Para resolver una integral, lo primero que tienes que hacer es:

1. Simplificar el integrando en lo posible.

2. Detectar si existe una sustitucin obvia.

3. Clasificar el integrando de acuerdo a la forma que tenga, para aplicar los mtodos

apropiados de integracin ya sean:

a. Integracin de funciones trigonomtricas

b. Integracin de funciones racionales

c. Integracin por partes

d. Integracin de radicales

4. Intentar de nuevo si no se ha llegado a la respuesta con los primeros pasos, se

puede intentar con lo bsico, por sustitucin o por partes.

a. Prueba la sustitucin

b. Intenta integrar por partes

c. Intenta integrar modificando el integrando

d. Relaciona integrales con problemas resueltos anteriormente, considera que

la experiencia es muy importante.

e. Utiliza varios mtodos de integracin, a veces no se llega al resultado con

un mtodo.

Una manera ms eficiente que te ayudar a incrementar tus habilidades para resolver

integrales es la experiencia, por lo cual te recomiendo que resuelvas tantos integrales

como te sea posible para cada uno de los mtodos vistos a lo largo del curso y en

especial de esta unidad.

nimo!, sigue resolviendo muchas integrales.

Actividad 3. Integrales trigonomtricas

.la intencin de esta actividad, es que realices ejercicios sobre integrales trigonomtricas , utilizando las tablas de frmulas integrales y diversas estrategias.

Integrales impropias

Una integral impropia es aquella que se encuentra en el caso que est definida en un

intervalo infinito y tambin en el caso donde existe una discontinuidad infinita en [a, b].

Estudiemos ambos casos.



24

Tipo 1. Intervalos infinitos

Consideremos una integral en un intervalo infinito. Por ejemplo, la curva descrita por la

funcin 2

1

xy .

La regin S est acotada por la funcin 2

1

xy y el eje x , acotada en el lado izquierdo

por la recta vertical 1x en el lado derecho hasta el infinito. En principio se pensara que

el rea S es infinita; sin embargo, esto no es as.

El rea de una regin acotada por la vertical 1x y por la recta vertical movible en el eje

tx est dada por:

tx

dxx

tA

tt 1

111

11 2

Si nos ponemos a hacer clculo variando t , sin importar qu tan grande sea, notaremos

que el rea no rebasa el valor de una unidad, por lo tanto, concluimos que 1)( tA .

Observamos tambin, que si calculamos el lmite cuando t , llegamos a un valor

diferente de infinito.

111limlim

ttA

tt

El rea de la regin es igual a uno y esto lo podemos escribir como:

11lim1

1 21 2

dxxt

dxx

t

Este ejemplo te dio una nocin intuitiva de que el rea no es infinita; sin embargo,

considera la definicin siguiente, la cual te expone tres casos:

Definicin de una integral impropia de tipo 1

i) Si te enfrentaras a una integral que existe de la forma dxxft

a para cualquier at , entonces:



25

dxxfdxxft

ata

lim

Mucho ojo! Siempre y cuando exista el lmite como un nmero finito.

ii) Si te enfrentaras a una integral que existe de la forma dxxfb

t para cualquier

bt , entonces:

dxxfdxxfb

tt

b

lim


Estos dos casos de integrales impropias nos permiten nombrarlas como

convergentes si existe dicho lmite y divergentes si no lo hay.

iii) Si en ambas integrales dxxfa

y dxxfb

de los casos anteriores, son divergentes, entonces por definicin se tiene la suma de integrales:

dxxfdxxfdxxfa

a

Ejemplo

Determina si la integral es divergente o convergente

dxx1

Solucin

De acuerdo con la definicin anterior, la integral se amolda al caso i.

tt

xdxx

dxx

tt

t

t

t

t

lnlim1lnlnlim

lnlim1

lim1

111

El valor es infinito, no es un nmero finito, por lo tanto de la definicin podemos concluir

que la integral impropia diverge.

Si tuvieses una integral impropia de la forma:

1

1dx

x p

Ser convergente siempre y cuando 1p y divergente cuando 1p .

Tipo 2. Integrandos discontinuos

Tenemos abajo una tabla que define las integrales impropias con integrandos

discontinuos.

Definicin de una integral impropia de tipo 2

i) Si te enfrentaras a una integral cuya f es continua en [a, b) y discontinua en b.



26

dxxfdxxft

abt

b

a lim


ii) Si te enfrentaras a una integral cuya f es continua en (a, b] y discontinua en a.

dxxfdxxfb

tat

b

a lim


Estos dos casos de integrales impropias nos permiten llamarlas como convergentes

si existe dicho lmite y divergentes si no lo hay.

iii) Si tienes una discontinuidad en c que est entre los intervalos a y b , y adems son

convergentes las integrales dxxfc

a y dxxfb

c , por definicin tendrs:

dxxfdxxfdxxfb

c

c

a

b

a



27

Ejemplo

Determina la integral dxx

5

2 2

1

Solucin

La grfica de la funcin es la siguiente.

Observa y veras que tiene una asntota vertical en 2x . La discontinuidad es infinita

marcada en 2x . De la definicin ii) de esta seccin, se tiene:

32

232lim

22lim

2lim

2

2

5

2

5

2

5

2

t

x

x

dx

x

dx

t

tt

tt

Por lo tanto, podemos concluir que se trata de una integral impropia convergente. El rea

es regin sombreada de la regin.

Actividad 4. Integrales impropias

Revisa el documento de actividades y espera las indicaciones del docente para las indicaciones de la actividad.

Evidencia de aprendizaje. Clculo de una integral

La actividad que te presenta el docente, corresponde a la relacin de la unidad 1 y 2, para determinar la propuesta de solucin del problema prototpico planteado en la informacin general de la asignatura, para ello espera las indicaciones de la actividad, revisando las indicaciones en el archivo de actividades de la unidad.



28

Consideraciones especficas de la unidad

En esta seccin requerimos el siguiente material:

Calculadora.

Tablas de integracin. Existen libros en las bibliotecas que podras utilizar o bien

adquirir las tablas de Internet. Te aconsejamos que lleves contigo las tablas para

evaluar las integrales.

Es necesario que repases las frmulas para encontrar reas a figuras geomtricas

planas y volumtricas comunes.

Es necesario que tengas conocimientos sobre:

lgebra

Geometra analtica

Clculo diferencial

Propiedades y reglas de las operaciones de sumatorias.

Fuentes de consulta

Apostol, T. M. (2008). Calculus. Espaa: Revert.

Larson, R. E. (2005). Clculo. Mxico: Mc Graw Hill.

Leithold, L. (2009). El Clculo. Mxico: Oxford University Press.

Stewart, James. (2008). Clculo. Trascendentes tempranas. Mxico: Cengage Learning.

Integracin por partesIntegrales por partesSustitucin para racionalizar

Integracin de funciones racionales mediante fracciones parcialesQ(x) es producto de factores lineales distintosQ(x) contiene factores lineales, algunos se repitenQ(x) contiene factores cuadrticos reducibles, ninguno se repiteQ(x) contiene un factor cuadrtico irreductible repetido

Integrales trigonomtricasIntegrales trigonomtricasIntegrales que contienen senos y cosenosIntegrales que contienen tangentes y secantesSustitucin trigonomtrica

Estrategias de la integracin por medio de tablas integralesTablas de frmulas integralesEstrategias para integrar

Integrales impropiasTipo 1. Intervalos infinitosTipo 2. Integrandos discontinuos

unidad 3. métodos de integracion

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