Unidad 2. TMAR, VPN Y TIR-caueEJEMPLO 3.2 Una persona tiene dos alternativas de inversin, ambas de $15000. Sin embargo, la primera ofrece un pago de $5500 al final a cada uno de los prximos cuatro aos; por otra parte, la segunda alternativa ofrece un pago nico de $27500 al final de los cuatro aos. Si la TMAR = 15%, decida cul alternativa debe seleccionarse (vase la tabla 3.3).

EJEMPLO 3.3 Para invertir en una empresa de productos plsticos se necesitan $1 250 millones. Los socios slo cuentan con $700 millones. El resto se pedir a dos instituciones financieras. La Financiera A aportar $300 millones por los que cobrar un inters de 25% anual. Por su parte, la Financiera B aportar $250 millones a un inters de 27.5% anual. Si la TMAR de los accionistas es de 30%, cul es el costo de capital o TMAR mixta para esta empresa?SOLUCiN La TMAR mixta se calcula como un promedio ponderado de todos los que aportan capital a la empresa. La tabla 3.4 es de clculo. La TMAR mixta de esta empresa es 28.3%. Debe enfatizarse que en la prctica financiera el rendimiento exigido por los prstamos aumenta con el nivel de endeudamiento de la empresa. Por ejemplo, a partir de cierto nivel, digamos 20% del capital total de la empresa, la tasa exigida ser constante, pero un endeudamiento por arriba de 20% har que las tasas de inters se eleven de forma continua

1. Se invierten $500 con la expectativa de recibir $80 al final de cada uno de los siguientes ocho aos. Cul es la tasa interna de rendimiento de la inversin?SOLUCiN lA Se tienen los siguientes datos del problema: P = 500, A = 80, n = 8. Como la incgnita es i, se puede hacer la siguiente determinacin, mediante las frmulas: resultado: TIR = 5.8%.

2. En un pozo petrolero se invirtieron $500 millones durante el ao cero en las pruebas de exploracin y perforacin. A lo largo del primer ao, para dejar al pozo en condiciones de extraccin normal, se invirtieron adicionalmente $300 millones. Despus de haber medido la presin del pozo, se espera que ste produzca beneficios anuales de $250 millones durante los siguientes 10 aos. Determnese la tasa interna de rendimiento del pozo petrolero.resultado: -$500.

3. Se han invertido $32000 en un negocio que, segn los clculos, proporcionar ingresos de $7500 el primer ao, con incrementos anuales de $500 durante cinco aos. Al final de este tiempo, los activos que queden de la inversin podran venderse en $5000. Si la TMAR del inversionista es 15% anual, determnese el VPN de los flujos de efectivo.

4. Una empresa metalmecnica ha crecido en los ltimos aos y ha sido financiada a partir del segundo con $100 millones anuales durante dos aos y con $50 millones al siguiente ao. La TMAR de la empresa es de 20% y en todos los prstamos la financiera siempre ha cobrado 12% de inters anual. Determnese la TMAR mixta del ao 1 al 4, si la aportacin inicial de la empresa fue de $900 millones.SOLUCiN En este tipo de problemas no hay ms que una va para solucionarlos y consiste en calcular, por ao, el promedio ponderado de la TMAR (vas la tabla 3.5).

Procediendo de igual manera se calcula que la TMAR mixta del ao 4 es de18.25%

5. La empresa del problema 4 ha pronosticado un crecimiento sostenido en los siguientes aos, por 10 que la financiera acord seguir apoyndola. Sin embargo, se le informa a la empresa que, dado que su nivel de endeudamiento crece rpidamente, el inters aumentar en dos puntos porcentuales por cada incremento en un rango de 5%, de su nivel de endeudamiento, segn se muestra en la tabla 3.6.

6. Calclese la TIR del diagrama de flujo de efectivo mostrado en la grfica 3.9.

7. Encuntrense las i del diagrama de flujo mostrado en la grfica 3.14.

8. Encuentre la i del diagrama de flujo mostrado en la grfica 3.16.

Las dos races encontradas son i = 23.09%, i = 174.75%.9. Una persona gan $3000 en su primera apuesta en la lotera. Quince das ms tarde volvi a jugar y gan otros $2 500. Entusiasmada por su buena suerte decidi apostar $100 cada 15 das en forma constante durante cierto tiempo. Luego de 21 apuestas consecutivas quincenales sin obtener premio alguno, decidi no apostar ms. Determine la tasa de rendimiento que obtuvo esta persona al incursionar en el mundo del juego.

10. Un estudio de factibilidad arroj las siguientes cifras: inversin inicial $940000; beneficio neto el primer ao, $105000 con incremento de $25000 en cada uno de los aos siguientes; valor de salvamento $150000 al final del ao 5. La inversin se plantea para un periodo de cinco aos. Si la TMAR considerada es de 6% anual, determnese la conveniencia econmica de hacer la inversin por medio de la TIR.

1-Calclese la tasa de inters de la grfica 3.20.

Respuesta--- i=17%123= +por lo tanto i=17.1%

2-Encuentre la tasa de inters de la grfica 3.21.

Respuesta--- tiene una sola TIR=13%249= por lo tanto i=13%

3-Por medio del mtodo grfico calcule las i de la grfica 3.22.

Respuestatiene una sola TIR=191.11%100= por lo tanto TIR=191.11

4-Una persona invierte $8464 a cambio de recibir $3 000 al final del ao 1, $3 500 al final del ao 3, $4000 al final del ao 4 y $5 000 al final del ao 5. Cul es la tasa de inters que recibir por su inversin?Respuesta=i = 20%.8464= POR TANTEO 1= 20%

5-Una persona invirti $3 150 en un negocio que le produjo ganancias de $500 cada fin de ao, de los aos 1 a 6. Al final del ao 7 su ganancia fue de $400, al final del ao 8 la ganancia fue de $300 y al final del ao 9 la ganancia fue de $200, momento en que decidi retirarse del negocio. Al final del ao 9 tambin vendi todo lo que quedaba del negocio en $80. Determine la tasa de ganancia anual que obtuvo esta persona por la inversin que realiz durante nueve aos.Respuesta= 5.43%.3150= por prueba y error se encuentra que i= 5.48

6-El departamento de finanzas de una empresa ha puesto en prctica el plan Navidad Feliz para sus empleados. Consiste en ahorrar quincenalmente $500, empezando el 15 de enero y terminando el 31 de noviembre. El 15 de abril, con el pago de utilidades por parte de la empresa, se ahorrarn $1 000 adicionales. Pero, el 31 de agosto y 15 de septiembre, por el gasto de la escuela de los hijos, no se efectuar ningn depsito. Si la empresa, por esta serie de aportaciones, se compromete a dar $12860 a cada ahorrador el 15 de diciembre de cada ao, cul es la tasa de inters quincenal que est pagando? Cul es la tasa de inters efectiva anual que se paga?

Respuesta= Inters quincenal = 1.25%, inters efectivo anual = 34.7%. = Por tanteo i= 0.0125=1.25% quincenales.Ief= anual=

8-Una persona contrat su servicio telefnico domiciliario y en el momento del contrato adquiri unas acciones de la empresa de $1200. Esta persona no cobr los intereses en ningn periodo; despus de ocho aos un comprador le ofrece $3350 por las acciones. Si decide vender las acciones, qu tasa de inters anual habr ganado a lo largo de los ocho aos) RESPUESTA i = 13.7% anual.P = 1200 F = 3350F = P (1 + i)n 3350 = 1200(1 + i)8 Por tanteos i = 13.7% annual

9- Una constructora decidi edificar unos condominios para venderlos una vez terminados.El programa de desembolsos e ingresos se muestra en la tabla 3.8.

Los ingresos pueden obtenerse de dos formas: vender de contado los condominios a una inmobiliaria por $2 500000 o hacerse cargo de la venta de cada departamento a particulares a un plazo de 10 aos. Si la decisin es venderlo a plazos a particulares, cul es el ingreso anual uniforme que deber recibirse cada fin de ao, durante los prximos diez aos, a partir de la terminacin de la construccin, para que resulte indiferente esta opcin o vender todo de contado?Considrese que en el periodo de construccin el inters se capitaliza semestralmente.RESPUESTA Debern recibirse $616,663.

I= 10% semestral iefectivo anual= 21% anual A== $616.610- Una institucin de crdito prest a una empresa 20 millones de pesos (mdp) con la facilidad de que la empresa pagara la deuda como pudiera y que la institucin de crdito le avisara cuando la deuda estuviera saldada. La empresa realiz ocho pagos mensuales por 1.37 mdp cada mes, de los meses 1 al 8. Luego, por problemas econmicos, suspendi los pagos de los meses 9 al 15. A partir del mes 16 y hasta el mes 30, la empresa pag 1.2 mdp mensuales. Al momento en que la empresa hizo el pago al final del mes 30, la institucin de crdito le comunic que si pagaba 3 mdp al final del mes 31, considerara que la deuda estaba saldada. Determine el inters efectivo anual que est cobrando la institucin de crdito por este tipo de prstamos.RESPUESTA 3% mensual e inters efectivo anual de 42.57%.

por prueba y error se encuentra que i = 0.03 o 3% mensual iefectivo anua1 ==0.4257 o aprox. 43%

11-El Departamento de Alumbrado Pblico de una ciudad tiene tres propuestas mutuamente exclusivas para instalar el servicio, cada una con diferente tecnologa. Los datos de muestran en la tabla 3.9.

Si la TMAR que se aplica es de 10% anual, seleccione una alternativa por elMtodo del VPN.RESPUESTA Seleccinese A VPN = $31.36.

VPNA = -2500 + 520(PIA, 10%, 7) = $31.36VPNB = -3100 + 300(PIA, 10%, 5) + 100(PIG, 10%, 5) + 700(PIA, 10%, 2)(PIF, 10%,5) = $-522VPNc = -2850 + 600(PIA, 10%, 3) -300(PIF, 10%, 4) + 700(PIA, 10%, 3)(PIF, 10%,4) = $-374Seleccinese A VPN = $31.36

12. Calcule el VPN del problema 1, si la TMAR es de 15%.RESPUESTA VPN = $7.51.= $7.51

13. Encuentre el VPN del problema 3, si la TMAR es de 8%.RESPUESTA VPN = $679.=$ 67914. El parque de diversiones infantiles Boredkingdom est considerando cinco propuestas para nuevas instalaciones con qu divertir a los nios. Los datos que ha logrado recabar la empresa se muestran en la tabla 3.10. Si el periodo de planeacin es de cinco aos y la TMAR de Boredkingdomes de 10%, determine la mejor propuesta con base en el clculo del VPN.RESPUESTA B,VPN = $0.86 es la mejor opcin.

VPNA = -1.8 + 0.6(PIA, 10%,5) = $0.47 VPNB = -1.3 + 0.57(PIA, 10%,5) = $0.86VPNc = -0.5 + 0.2(PIA, 10%,5) = $0.25 VPND = - 3.2 + 0.99(PIA, 10%,5) = $0.55VPNE = - 2.1 + 0.75(PIA, 10%,5) = $0.74 Seleccinese B VPN = $0.8615. Para la compra de un automvil existen dos planes: el primer plan es comprarlo de contado a un precio de $125000. El segundo plan consiste en dar un enganche de 30% del valor del auto, pagar 24 mensualidades de $5073.32 cada una, adems del pago de dos anualidades de $10 000 cada una, la primera al final del mes 12 y la segunda al final del mes 24. Si se compra el auto a plazos, cul es la tasa de inters efectiva anual que se cobra por financiamiento? RESPUESTA Inters mensual de 4%, inters efectivo anual de 60.1 %.

Por prueba y error se encuentra que imensual= 4%; i efectivo anual = =60.1%

16. Dos alternativas mutuamente exclusivas, cada una con vida til de ocho aos presentan los siguientes pronsticos de flujo de efectivo (vase la tabla 3.11).

Encuentre la TIR de cada alternativa por el mtodo grfico. RESPUESTA TIR A = 31.2%, TIRo = 39.5%.

10% VPNA = -675 + 200(PIA, 10%,4) + 350(PIA, 10%,4)(PIF, 10%,4) = $71720% VPNA = -675 + 200(PIA, 20%, 4) + 350(PIA, 20%, 4)(PIF, 20%, 4)= $28030% VPNA = -675 + 200(PIA, 30%,4) + 350(PIA, 30%, 4)(PIF, 30%, 4)= $2435% VPNA = -675 + 200(PIA, 35%, 4) + 350(PIA, 35%, 4)(PIF, 35%, 4) = $-65VPN = -900 + 400(PIA, i, 4) + 31 O (PIA , i, 4)(PIF, i, 4)10% VPNB = $103920% VPNB = $52330% VPNB = $20140% VPNB = $-11TIR A = 31.2% TIR B = 39.5%

17. A un exitoso hombre de negocios se le ha presentado un proyecto de inversin que consiste en una aportacin inicial de $829.5 millones con ganancias de $100 millones durante el primer ao y un incremento de $50 millones en cada uno delos aos sucesivos.a) Cuntos aos ser necesario mantener el negocio con ganancias en aumento para que la TMAR de este hombre sea de 18% anual?b) Si el inversionista exige ms rendimiento al negocio y eleva su tasa de ganancia a 25%, vulvase a responder el inciso a), pero con la TMAR = 25%.RESPUESTA a) 7 aos, b) 10 aos, considerando la capitalizacin anual de la inversin.

a) 829.5 = 100(PIA, 18%, n) = 50(PIG, 18%, n) n = 7b) Con la misma ecuacin pero con un i = 25%; n = 10, suponiendo que el intersse capitaliza anualmente.

18. De las dos siguientes propuestas mutuamente exclusivas, con una TMAR de 12% y para un periodo de seis aos determnese a) el VPN, b) la TIR de cada una (vase la tabla 3.12).

RESPUESTA a) VPNF = $93.88, VPNG = $42.17; b) TIRF = 15%, TI~ = 15%.

a) VPNF = -675.5 + 450(PIA, 12%, 3)(PIF, 12%,4) = $93.88De la misma ecuacin con VPN = O675.5 = 450(PIA, i, 3)(P1F, i, 3)TIRF= 15%b) VPNG = -788.3 + 400(pIA, 12%,4) - 100(PIG, 12%,4) + 50(PIF, 12%,5)Para el clculo de la TIR:788.3 = 400(PIA, i%,~) - 100(PIF, i%, 4) + 50(PIF, i%, 5) = 42.17TIRG= 15%

19. Una constructora desea adquirir una revolvedora mvil de mezcla para utilizarla en sus construcciones. El periodo de planeacin es de cinco aos y la TMAR de la constructora es de 8% anual. Cul revolvedora debe seleccionarse si se calcula el VPN? (vase la tabla 3.13).

RESPUESTA VPNR1 = - $278; VPNR2 = $16.7; R2 es una buena seleccinVPNRJ = -2600 + (460 -lOO)(PIA, 8%, 5) + 1300(PIF, 8%, 5) = $-278VPNR2 = -3400 + (740 -140)(PIA, 8%, 5) + 100(PIF, 8%, 5) = $+16.7

20. El propietario del Caf Internet Free Chating invirti $160000 en la compra y acondicionamiento de un pequeo local. Al final del primer ao invirti $120000 en la compra de 10 PC. El negocio funcion muy bien, pues al final del ao 2 las ganancias fueron de $70000, al final del ao 3 gan $85000 y al final del ao 4 gan $100000. Ante tal situacin, el propietario realiz una inversin adicional por $130000 al final del ao 5 para una ampliacin de las instalaciones. Sin embargo, las ganancias ya no fueron las esperadas y los ingresos netos fueron de slo $40000 en cada uno de los aos 6 alll, momento en que cerr el negocio y vendi todas las PC como chatarra en $20000. Con una TMAR = 7% anual a) determine por medio del VPN si fue conveniente el negocio durante los 11 aos,b) determine la tasa de rendimiento anual que gan durante cada uno de los 11aos.RESPUESTA a) VPN = - $12581.2; b) TIR = 6% anual.

a) Con las cifras expresadas en miles en la ecuacin anterior se encuentra que VPN = -12581.2. No aceptar b) Con la misma ecuacin igualando el VPN a cero y teniendo como nica incgnita a i, se tiene que, por prueba y error: TIR = 6%