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Unidad 2 Expresiones algebraicas2º ESO

¿Algebra y grillos? ¿Qué relación puede existir entre

ellos?

Conceptos1. El lenguaje algebraico 2. Expresiones algebraicas

2.1. Monomios2.2. Polinomios

 3. Valor numérico de una expresión algebraica 4. Operaciones básicas con expresiones algebraicas

4.1. Operaciones con monomios4.2. Operaciones con polinomios

4.2.1. Suma y resta de polinomios4.2.2. Multiplicación de polinomios

 5. Expresiones algebraicas notables

5.1. Cuadrado de una suma5.2. Cuadrado de una diferencia

5.3. Suma por diferencia 6. Descomposición factorial de un polinomio

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Lenguaje algebraico

El lenguaje numérico sirve para expresar operaciones en las que solo aparecen números.

El lenguaje que utiliza letras y números unidos mediante los signos de las operaciones aritméticas, se denomina algebraico

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Al igual que en la Aritmética, las operaciones fundamentales del álgebra son: adición, sustracción, multiplicación, división y cálculo de potencias y raíces. El Álgebra es el idioma de las Matemáticas.

Así, si tenemos un número multiplicado por sí mismo tres veces lo denominamos cubo, y si lo queremos escribir de forma abreviada representaremos el número con el superíndice 3.

Por ejemplo, la notación de 4 × 4 x 4 sería 43; de manera similar, generalizando dicha expresión escribiríamos a × a x a y abreviadamente pondríamos a3.

Razona tú ahora:- Si quisieras calcular el triple de 12, ¿qué harías?

- - Si quisieras calcular el triple de a, ¿cómo lo expresarías?.

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Completa:

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  1ª forma 2ª forma

El doble de un número b    

El triple de un número c    

El cuadrado de un número d    

El cubo de un número x    

De una forma similar si a un número cualquiera x le sumamos 14 tendremos x + 14, o si a un número cualquiera x le restamos 7 tendremos x - 7.

También podemos expresar algebraicamente la siguiente expresión: “El área de un rectángulo es igual al producto de su base por su altura”:  A = b · a 

A dicha expresión le llamamos fórmula y nos permite averiguar el área de un rectángulo. Es decir, podemos traducir frases del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico.

Ejemplo:“En una clase, el número de alumnas es el doble que el de alumnos menos cuatro”Es decir, si llamamos x al número de alumnos, el número de alumnas lo expresaremos como 2x - 4.

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EjerciciosActividad 1Un número aumentado en 6 unidades:

El triple de un número disminuido en 5 unidades:

La cuarta parte de un número:

El cuadrado de un número más 6 unidades:

El número de canicas que tienes si has perdido la quinta parte:

En la clase de 2º de ESO hay 50 alumnos. Si el número de niños es ................., entonces el número de niñas será ..............................

Mi edad excede en cinco años la edad de mi hermana. Entonces, si mi edad la expreso como .............., la edad de mi hermana será .............................

La mitad de la suma de dos números cualesquiera será ........................................

La diferencia entre los cuadrados de dos números es …………………….............

Si tengo que representar tres números consecutivos y al primero le llamo .........., el segundo será .......................... y el tercero ..................................

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Actividad 2. Sea n un número cualesquiera y expresa:a) El doble del número.b) Un tercio del número.c) El cuadrado del número.d) Que el número es más grande que 8.e) La suma del número y su cuadrado Actividad 3. Sean a y b dos números cualesquiera, expresa utilizando a y b cada uno de los siguientes enunciadosf) La suma de a y el triple de b.g) La suma del doble de a menos la mitad de b.h) El cuadrado de la suma.i) El cuadrado de su resultadoj) La suma de sus cuadrados.k) La diferencia de sus cuadrados.

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Expresiones algebraicasUna expresión algebraica es toda combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas. En una expresión algebraica a cada uno de los elementos separados por signos + o - se les llama términos. Los términos pueden estar formados por números, letras o combinaciones de letras y números. Así, en los tres ejemplos que ves seguidamente tenemos tres, cuatro y un término, respectivamente.

Ejemplos:a) 9xy + 6a - 5b) 6ab2 + 7cd - 8ef + bc) 4x3y b

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Debemos de tener en cuenta que en cada término de una expresión algebraica se distinguen dos partes: a) el coeficiente o parte numérica b) las letras o parte literal. Si un término no tiene parte literal se le denomina término independiente. A cada una de las letras distintas que aparecen en la parte literal se le llama variable. En cada término, el coeficiente y la parte literal se están multiplicando entre sí, aunque por costumbre, no se indique el signo de dicha operación.

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MonomiosEs una expresión algebraica en la que sólo aparecen multiplicaciones y potencias, o dicho de otra forma, que tiene un único término. Llamamos grado de un término al mayor de los exponentes que aparecen en la parte literal. Si tiene varias variables el grado es la suma de los exponentes de las variables.

Llamamos monomios semejantes a aquellos que tienen la parte literal idéntica, es decir, las mismas letras con los mismos exponentes.

Ejemplo: -25a2b y a2b son semejantes3z2 y 7z no son semejantes

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Actividad 4. De los monomios que ves a continuación agrupa aquellos que sean semejantes entre sí:a) 9xyb) -3zc) 5x2yd) -6xye) -9x2y2

f) x2yg) 81zh) -2xy2

i) 8j) 5xy2

k) Xyl) 22

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Operaciones con monomiosSiguen las mismas reglas que las operaciones con números:

Suma y resta de monomios:Se realiza con monomios semejantes sumando los coeficientes y manteniendo la misma parte literal. Si no son semejantes, la suma o resta se deja indicada.

Ejemplo: 7ab4 + 3ab4 = (7+3)ab4 = 10ab4 7ab4 + 3ab = no son semejantes

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Multiplicación de monomios:Por un lado multiplicamos sus coeficientes y por otro, sus partes literales.

División de monomios:Dividimos sus coeficientes y por otro lado, sus partes literales (si se puede)

Ejemplo: 2x4 · 3x4 = (2·3)x4+4 = 6x8 8a3b4 : 4ab = (8:4)·(a3-1b4-1)= 2a2b3

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Ejercicio 5

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Realiza las siguientes operaciones:a) 5x+2x=b) -2ab2 – 4y3 =c) -4x3 · 2x =d) 9a : 3a=e) 10x3 : 2xy2= f) 4x – 5xy =

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Ejercicio 6Calcula las siguientes operaciones de monomios:a) 6a + 7a + 8a + a =b) 5x – 4x – 9x + 12x =c) 9y2 – 8y2 + 3y2 =d) 9bc – 6bc + 8bc – 10bc=e)

f)

xxx4

6

7

1

5

3

Polinomios

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Un polinomio es una expresión algebraica que tiene dos o más términos, o dicho de otra forma, es la suma de varios monomios. Los términos de un polinomio son cada uno de los monomios que lo forman, y los coeficientes de un polinomio, los coeficientes de cada uno de dichos monomios. Su grado es el del monomio de mayor grado, cuyo coeficiente será el coeficiente principal del polinomio. 

grado 2

polinomio

P(x) = 8x2 + 9xy + 6a - 5

Q(x) = 3y2 -22xy3+ y2 – 14y - 3x + 5

términos

Término independiente

Término de mayor grado: -22xy3 grado del polinomio: 1+3=4

Valor numérico de una expresión algebraica

En cualquier expresión algebraica podemos hallar su valor numérico simplemente sustituyendo las letras por números. Esto es algo que has hecho ya en varias ocasiones en cursos anteriores, por ejemplo, cuando aplicabas una fórmula para resolver un ejercicio de áreas. Ejemplo:

9xy + 6a - 5Si asignamos los valores: x = 2; y = 3; a = 1 y los sustituimos posteriormente en la expresión obtendremos:

9xy + 6a - 5 = 9·2·3 + 6·1 - 5 = 54 + 6 - 5 = 55

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¡OJO!Una vez que hayas sustituido las letras por sus valores respectivos no debes olvidar que tienes que tener en cuenta el orden de preferencia de las operaciones para llegar al resultado correcto.

Ejercicio 7: 1º.- Averigua el valor numérico de las siguientes expresiones:a) 14 – x, siendo x = 5b) 7y – x, siendo y = 2; x = 9c) 5a - 4b si a = 15 y b = 12d) siendo a = 6, b = 2 y c = 3

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) cba

·2

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Ejercicio 8Halla el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas:

a) 2x + 4y + 3z para x = 3, y = -2, z = -1

b) 3x3 – y2 – 2z para x = 2, y = 1, z = 3

c) 5x2 – y + 3z para x = -2, y = 3, z = -1

d) 2x – 3y3 + z2 para x = 5, y = -1, z = -2

Operaciones con polinomiosAntes de realizar operaciones con polinomios es conveniente ordenarlos. Para ordenar un polinomio se hace en orden decreciente de los grados de los monomios que lo forman, de manera que el primer término sea el de mayor grado y el último el de menor grado (generalmente, el término independiente).

Ejemplo: Ordena el polinomio P(x) = 5x3 + 4x – 6x2 – 8 + 10x4

P(x) = 10x4 + 5x3 – 6x2 + 4x – 8

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Polinomios opuestos:

Si tenemos el siguiente polinomio:P(x) = 10x4 + 5x3 – 6x2 + 4x – 8

El opuesto del polinomio P(x) es:P(x)· (-1)= -P(x)= -10x4 - 5x3 + 6x2 - 4x + 8

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Sumas y restas de polinomios:Dos pasos:

•Pon juntos los términos similares •Suma los términos similares

Ejemplo: suma     2x2 + 6x + 5     y     3x2 - 2x - 1

Junta los términos similares: 2x2 + 3x2     +     6x - 2x    +     5 - 1

Suma los términos similares: (2+3)x2   +   (6-2)x   +   (3-1) = 5x2 + 4x + 4

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Suma de varios polinomios

Puedes sumar varios polinomios juntos así.Ejemplo: suma     (2x2 + 6y + 3xy)  ,   (3x2 - 5xy - x)   y   (6xy + 5) Ponlos alineados en columnas y suma:

2x2 + 6y + 3xy3x2       - 5xy - x

          6xy     + 5 5x2 + 6y + 4xy - x + 5

Usar columnas te ayuda a poner juntos los términos similares en las sumas complicadas.

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Ejercicio9:Dados los polinomios P(x) = -3x2 – 4x + 8; Q(x) = 5x2 + 6x – 9; R(x) = x3 – 5x2 + + x – 8; S(x) = x3 – 6x2 – 9x + 13, calcula:a) P(x) + Q(x)=b) P(x) + R(x)=c) R(x) + S(x)=d) Q(x) +S(x)=e) P(x) – Q(x)=f) P(x) – R(x)=g) P(x) –S(x)=h) Q(x) – R(x)=

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Ejercicio 10Para los polinomios siguientes: A(x)= -4x4 + 5x3-2x2+1 ; B(x)= 3x3 + 2x ; C(x)= x+1; D(x)= -6x2 –2. Calcula:a) A(x) + B(x)=b) B(x) + C(x)=c) C(x) + D(x)=d) A(x) + B(x) + C(x) +D(x)=e) A(x) – B(x)=f) A(x) – C(x)=g) B(x) – C(x)=h) C(x) –D(x)=

MultiplicacionesEstudiaremos tres casos, empezando por el más sencillo, que es multiplicar un polinomio por un número, después veremos la multiplicación de un polinomio por un monomio y por último, veremos como se multiplican dos polinomios. a) Multiplicación de un polinomio por un número:Si tenemos, por ejemplo, 5 · (3x2 + 2x – 6), realmente esa expresión es la propiedad distributiva, que ya conocemos y por tanto, resolveremos multiplicando el número por cada uno de los sumandos de dentro del paréntesis: 5·(3x2 + 2x – 6) = 5 · 3x2 + 5 · 2x – 5 · 6 = 15x2 + 10x – 30 b) Multiplicación de un polinomio por un monomio: Al igual que antes, aplicamos la propiedad distributiva, y se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, de manera que hacemos varias multiplicaciones de monomios, que resolvemos como en el apartado anterior: 2x · (3x2 – 2x + 5) = 2x · 3x2 – 2x · 2x + 2x · 5 = 6x3 – 4x2 + 10x

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Multiplicación de dos polinomios: Cuando tenemos que multiplicar dos polinomios, debemos tener en cuenta que hay que multiplicar cada término de uno por todos los términos del otro. Así, si tenemos

(3x + 5)·(2x + 7) haremos: 3x·2x + 3x·7 + 5·2x + 5·7 = 6x2 + 21x + 10x + 35 = 6x2 + 31x + 35

Siempre que haya términos semejantes debo sumarlos (o restarlos) hasta dejar la expresión lo más sencilla posible.

También se puede realizar en forma de multiplicación:

3x + 5 2x + 76x2 + 10x 21x + 35

6x2 + 31x + 35  

• Primeros: ac• Interiores: bc• Exteriores: ad• Segundos: bd

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 Ejercicio 11Realiza ahora las siguientes multiplicaciones de polinomios:a) (2x + 1) · (x - 3) =

b) (x - 2) · (x + 1) =

c) (x - 3) · (x2 - x + 4) =

d) (a - 2b) · (3a + 5b) =

e) (5x2 – 6x + 7) · (x2 -3x – 1) =

f)

Expresiones algebraicas notables

Llamamos expresiones algebraicas notables a una serie de expresiones que son muy útiles a la hora de hacer operaciones con polinomios. Y son: 5.1. Cuadrado de una suma “El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primer término más el doble del primer término por el segundo término más el cuadrado del segundo término”.

(a + b)2 = a2 + 2·a·b + b2

 Ejemplo: (2x + 3)2 = (2x)2 + 2·2x·3 + 32 = 22·x2 + 12x + 9 = 4x2 + 12x + 9 

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5.2. Cuadrado de una diferencia “El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el doble del primer término por el segundo término más el cuadrado del segundo término”. 

(a - b)2 = a2 - 2·a·b + b2

 Ejemplo: (3x - 5y)2 == (3x)2 - 2·3x·5y + (5y)2 =32·x2 - 30xy + 52·y2 = 9x2 - 30xy + 25y2

 Es necesario aclarar que, en este caso, el primer término

es 3x y el segundo término es 5y. También hay que tener en cuenta que al final el único término que aparece restando (o con signo menos) es el del “medio”. Al igual que en el caso anterior si hacemos la multiplicación, nos va a dar el mismo resultado.

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5.3. Suma por diferencia 

“Para calcular el producto de la suma de una expresión algebraica por su diferencia se halla el cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término”.

 (a + b) · (a - b) = a2 - b2

 Ejemplo: (3a2 + 5b3) · (3a2 - 5b3) = (3a2)2 - (5b3)2 = ..a... - ..b...

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Ejercicio 12

a) (2y + 6)2 =

b) (3a + 4b)2 =

c) (x2 + 7)2 =

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Ejercicio 13

a) (x - 6)2 =

b) (3x - 5)2 =

c) (4a - 3b)2 =

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Ejercicio 14

a) (4x + 9)·(4x - 9)=

b) (2y - 3z2)·(2y + 3z2)=

c) (7m + 3n)·(7m - 3n)=

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Descomposición factorial de un polinomioAl igual que un número se puede descomponer en factores primos, un polinomio, en algunos casos, se puede descomponer en un producto de polinomios (y/o monomios) más sencillos. Normalmente, aplicaremos el procedimiento de sacar factor común y usaremos las expresiones algebraicas notables.

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Ejemplo 1:

Haz la descomposición factorial de x2 + 4x + 4. 

Para descomponer ese polinomio, nos fijamos que si ponemos 22 en lugar de 4, se parece al cuadrado de una suma:x2 + 4x + 4 = x2 + 4x + 22

Si el término central lo podemos poner como el doble del primero por el segundo, ya lo tenemos:x2 + 4x + 4 = x2 + 4x + 22 = x2 + 2·2·x + 22 = (x + 2)2

 Ejemplo 2:

Realiza la descomposición factorial de x2 - 16. 

En este caso, al tener dos términos únicamente, nos recuerda a una diferencia de cuadrados, siempre y cuando el segundo término pueda ponerse en forma de cuadrado, cosa que en este caso es bastante sencilla. Observa:x2 - 16 = x2 - 42

Ahora lo transformamos en suma por diferencia:x2 - 16 = x2 - 42 = (x + 2)·(x - 2)

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