212

UNIDAD

n esta Unidad se desarrolla el sistema isomtrico en el marco del sistema axo-nomtrico ortogonal, del que es un tipo. Su estudio se presenta segn dos vasdiferenciadas. Por una parte se tratan la representacin de los elementos bsi-

cos y las construcciones basadas en las relaciones de paralelismo e interseccin. Porotra, la consideracin de los coeficientes de reduccin, particularizados para el sistemaisomtrico, facilitan la representacin de polgonos y circunferencias situadas en losplanos coordenados. Por ltimo se presentan las caractersticas del sistema dimtriconormalizado DIN-5.

Los procedimientos de geometra del espacio empleados en las construccionesbasadas en las relaciones de pertenencia, interseccin y paralelismo, son los mismosque los utilizados en el sistema didrico. Las caractersticas del lenguaje del sistematambin son similares, como puede observarse comparando los ttulos de los apartados.

Los objetivos que nos proponemos alcanzar con esta Unidad son:

1. Ser capaz de representar puntos, rectas y planos en cualquier posicin.

2. Ser capaz de representar figuras planas situadas en los planos coordenados.

3. Ser capaz de realizar construcciones basadas en las relaciones de pertenen-cia, interseccin y paralelismo.

Axonometra ortogonal:isomtrico y DIN-510

E

213

1. SISTEMA ISOMTRICO: FUNDAMENTOS Y REPRESENTACIN DEL PUNTO, LA RECTA Y EL PLANO 2141.1. Fundamentos del sistema axonomtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2141.2. Caractersticas y utilidad del sistema axonomtrico ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2151.3. Coeficientes de reduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2161.4. Obtencin de los coeficientes de reduccin. Tipos de sistemas axonomtricos ortogonales . . . . . . . 2171.5. Representacin del punto en el sistema isomtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2181.6. Posiciones del punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2191.7. Representacin de la recta. Pertenencia de un punto a una recta. Trazas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2201.8. Obtencin de las trazas y dems proyecciones de una recta definida por sus proyecciones directa y horizontal . 2211.9. Posiciones de la recta respecto a los planos coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2221.10. Representacin del plano. Pertenencia de un punto o de una recta a un plano . . . . . . . . . . . . . . . . 2221.11. Rectas notables del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2231.12. Posiciones del plano respecto a los planos coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

2. SISTEMA ISOMTRICO: INTERSECCIN, PARALELISMO Y REPRESENTACIN DE FIGURAS PLANAS 2252.1. Interseccin de rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2252.2. Interseccin de planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2252.3. Interseccin de planos cuando las trazas se cortan fuera del papel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2262.4. Interseccin de recta y plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2262.5. Paralelismo entre rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2272.6. Paralelismo entre planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2282.7. Representacin de polgonos situados en planos paralelos a los coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . 2282.8. Perspectiva isomtrica de un hexgono situado en un plano paralelo al plano XY . . . . . . . . . . . . . . . 2292.9. Perspectiva isomtrica sin reduccin de una circunferencia situada en un plano paralelo al plano XZ 230

3. SISTEMA DIMTRICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2313.1. Sistema dimtrico normalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2313.2. Relaciones mtricas en el DIN - 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2313.3. Construccin de los ejes del DIN-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

N D I C E D E C O N T E N I D O S

Interseccin derecta y plano

Interseccin deplanos

Interseccin derectas

Punto, recta y plano

Axonometra ortogonal Coeficientes de reduccin

Trazas y rectas notables

Posiciones particulares

ConstruccionesCondiciones deparalelismo

Interseccin

Representacin

Sistema isomtricoy DIN-5

ParalelismoConservacin delparalelismo en la

proyeccin cilndrica

Figuras planas situadasen planos paralelosa los coordenados

214

1. Sistema isomtrico: fundamentos yrepresentacin del punto, la recta y elplano

1.1. Fundamentos del sistema axonomtrico

El sistema axonomtrico utiliza un sistema de tres ejes coordenados ortogona-les X, Y, Z, que definen un triedro trirrectngulo cuyo vrtice es el origen O. El obje-to se dispone con sus caras paralelas a los planos coordenados XY, XZ, e YZ, llama-dos respectivamente: horizontal, primer vertical y segundo vertical, que se represen-tan con las letras H, V y W.

La representacin del objeto (Ilust. 1 izquierda) se realiza mediante dos proyec-

ciones sucesivas:

1. El objeto se refiere a los tres planos coordenados XY, XZ, e YZ, mediante susproyecciones ortogonales sobre ellos, llamadas proyeccin horizontal, verticalprimera y vertical segunda

2. Se realiza la proyeccin del conjunto sobre un plano , llamado plano del dibujo odel cuadro, obtenindose cuatro imgenes del objeto referidas a las proyeccio-nes de los ejes X, Y, Z y de su origen O. El sistema axonomtrico utilizado sellamar ortogonal u oblicuo de acuerdo con el tipo de proyeccin empleada.

AXONOMETRA ORTOGONAL: ISOMTRICO Y DIN-5

10UNIDAD

YX

Z Z

YX

YX

Z

O

O O

Ilustracin 1

215

La perspectiva axonomtrica del objeto as obtenida (Ilust. 1 derecha), consta de:

La proyeccin del objeto sobre el cuadro, llamada proyeccin directa o pers-pectiva axonomtrica del objeto.

Las proyecciones sobre el cuadro de las tres proyecciones del objeto sobrelos planos coordenados XY, XZ, e YZ, llamadas proyecciones axonomtri-cas y tambin: proyeccin horizontal, vertical primera y vertical segunda,respectivamente.

Las proyecciones X , Y , Z de los ejes coordenados X, Y, Z, llamadas ejesaxonomtricos, que definen las caractersticas particulares de la perspectiva.

En la prctica se utilizan dos tipos de representacin axonomtrica:

La definida por la perspectiva axonomtrica del objeto, que permite apre-ciar su forma y por una de las tres proyecciones axonomtricas, que informade su posicin en el triedro de referencia o respecto a otros objetos igual-

mente representados.

La definida exclusivamente por la perspectiva axonomtrica del objeto, cuandose desea conocer la forma del objeto en s mismo, sin referencias.

1.2. Caractersticas y utilidad del sistemaaxonomtrico ortogonal

En la Ilust. 1 puede verse que las caras del cubo no mantienen ni su forma, ni su

tamao al ser proyectadas, por lo que no se pueden medir directamente ni longitu-

des ni ngulos. Sin embargo, la proyeccin directa de su representacin axonomtri-ca permite hacerse una idea bastante precisa de la forma del cubo. De ah las carac-

tersticas del sistema: facilidad de comprensin de la forma del cuerpo a partir de surepresentacin axonomtrica y dificultad de medida de las dimensiones lineales yangulares.

El sistema axonomtrico se utiliza para facilitar la comprensin de la forma de

objetos cuya representacin didrica es dudosa o de difcil interpretacin. Es infor-

macin complementaria en los planos de fabricacin y construccin de proyectos de

ingeniera, arquitectura y diseo industrial.

El croquis acotado, realizado en cualquiera de los sistemas axonomtricos, esun procedimiento de gran utilidad tanto para la toma de datos de objetos existentes,

como para facilitar el estudio de su forma y proponer modificaciones sobre sta.

216

1.3. Coeficientes de reduccin

En la axonometra ortogonal, lo que caracteriza una perspectiva concreta es laposicin del triedro de referencia OXYZ respecto al plano del cuadro. Este no es enrealidad un plano concreto, sino que, dependiendo de la operacin que se desea rea-lizar, se elige uno cualquiera entre un sistema de planos paralelos.

En la Ilust. 2 puede verse un triedro OXYZ que corta al plano del cuadro segnun tringulo ABC llamado tringulo de las trazas. El origen O se proyecta sobre elcuadro en O, mediante su perpendicular OO, y los ejes coordenados X, Y, Z se pro-yectan como ejes axonomtricos X , Y , Z , pasando por O y por los puntos A, B, C,que son dobles.

Como el eje Z es perpendicular al plano XY y a la traza AB contenida en l, suproyeccin Z tambin ser perpendicular a dicha traza AB. Razonando anlogamen-te para los ejes X e Y, concluiremos que: los lados del tringulo de las trazas son pe