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Algebra Superior

Rosa De Peña & Tulio Mateo

Conjuntos Numéricos y Espacios Vectoriales

Unidad 1 Índice 1.1 Conjuntos Numéricos………………………………….....…1

1.2 Propiedades De Los Numeros Reales ............................... 5

1.3 Definición de Campo Numérico ........................................ 11

Espacio Vectorial………………………………………….12

Sub Espacio Vectorial………………………………….….13

1.4 Definición de Vector ........................................................... 15

1.5 El conjunto Rn es una generalización de R

2, ....................... 17

1.6 Vector Cero o Vector Nulo. .............................................. 17

1.7 Demostrar que Rn define un Espacio Vectorial ................. 18

1.8 Igualdad de Vectores............................................................ 19

1.9 Vector Opuesto de un Vector Dado .................................... 19

1.10 Operaciones con Vectores……………………………….19

1.10.1 Suma o Adición........................................................ …..19

1.10.2 Diferencia ....................................................................... 19

1.10.3 Producto de un Vector por un Escalar K .................... 20

1.10.4 Producto Escalar o Producto Interno o Producto Punto20

1.11 Definición de Vector Asociado ........................ ………….21

1.12 Norma, Longitud o Tamaño de un Vector ......................... 22

1.13 Angulo entre dos Vectores ............................................... 24

1.14 Vector Unitario con el mismo sentido de un vector

dado……………………………………………………………25

Practica Propuesta No. 1. Unidad 1……………………………26

Practica Propuesta No. 2. Unidad 1 …………………………...29

Cuestionario Unidad No. 1 ………………………………...…36

Bibliografía Consultada ……………………………………….37

1

Algebra Superior Rosa De Peña & Tulio Mateo


Unidad 1

1.1 Conjuntos Numéricos

Los conjuntos numéricos fueron estudiados en cursos anteriores. Sin embargo, exponemos a continuación

algunos conceptos breves sobre los mismos.

El ser humano aprendió a contar antes de aprender a escribir, como lo hicimos la mayor parte de nosotros. Los

números naturales N = {1, 2, 3, 4, ... } entraron a nuestro vocabulario antes de ir a la escuela. Estos

números, resultado de la más elemental y primera operación matemática realizada por el hombre, vienen a

satisfacer la necesidad de cuantificar (contar y ordenar).

Se representan los Números Naturales como: N= {1, 2, 3, 4, .... }

Al referirnos a las propiedades del Conjunto de los Números Naturales podemos decir:

1. Es ordenado. Esto significa que entre sus elementos podemos establecer la relación de menor que (<) y

mayor que ( > ) .

2. A todo número natural siempre le sigue un número natural.

3. Es ilimitado, en el sentido de que no hay un último número natural

4. Entre dos números naturales consecutivos no existe ningún otro número natural.

Ley de composición interna definida en un conjunto no vacío A es una función

AxA A. Es una relación que asigna a determinadas parejas del conjunto AxA un elemento único de A.

Una operación interna en un conjunto no vacío A, es una aplicación en AxA A. Una operación binaria

puede ser unaria, binaria, ternaria…

En el Conjunto de los Números Naturales N se les llama Operaciones Naturales a aquellas que son internas en

dicho conjunto. Las operaciones naturales son la suma (+) y la multiplicación (x). Son operaciones binarias en

N porque operan sobre dos números naturales cualesquiera y cerradas porque al operar con números naturales,

el resultado es siempre un número natural.

Al usar una calculadora debemos seguir una secuencia específica para realizar las operaciones de suma y de

multiplicación.

Ejemplos.

1 + 3 = 4 En este caso 1, 3 son sumandos y 4 es la suma o total.

8 + 20 = 28 Para este ejemplo 8, 20 son sumandos y 28 es la suma o total.

2(3) = 6 En la operación planteada 2, 3 son factores y 6 es el producto.

8(20) = 160 Para este ejemplo 8, 20 son factores y 160 es el producto.

2



Unidad 1

Sin embargo, al plantear la operación de Sustracción con los números naturales encontramos que no siempre la

sustracción entre dos números naturales es otro número natural, tal como ocurre cuando en una sustracción

[a – b] el minuendo “a” es menor que el sustraendo “b”. Enfrentándose a este problema, los matemáticos se

vieron en la necesidad de ampliar el concepto de números naturales, inventándose una colección de

números nuevos

= { ... ,4, 3, 2, 1}, llamados Enteros Negativos.

Los Enteros Negativos junto con los Números Naturales y el {0} forman el conjunto de los Números Enteros

.

Así,

= { ... , 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, ... }

Entre las propiedades del Conjunto de los Números Enteros Z podemos señalar:

a) Es un conjunto ordenado e ilimitado en ambos sentidos.

b) Entre dos números enteros consecutivos no existen otros números enteros.

c) A todo número entero antecede siempre otro número entero.

d) A todo número entero le sigue otro número entero.

e) No hay un primer ni un último número entero.

En la escritura de un número entero identificamos dos partes:

1) Su sentido que será positivo (+) o negativo (-), exceptuando el cero, al cual no se le atribuye sentido

alguno.

2) Su módulo o valor absoluto, el cual queda definido de la siguiente forma:

a = a , si a > 0 ó a = 0

a= - a , si a < 0

La suma, la resta y la multiplicación son operaciones internas en , por lo que se les llama Operaciones

Enteras.

Ejemplos

3 - 5 = - 2 En este caso 3 es el minuendo, 5 es el sustraendo y -2 resto o diferencia.

2 x ( - 4 ) = - 8

Entre tanto, veamos que a pesar de su belleza y utilidad, los números enteros padecen de un serio defecto: no

siempre el cociente entre dos números enteros es otro número entero. Al plantear en el conjunto , la división

de un entero entre un entero distinto de cero puede resultar otro entero, o por el contrario, una “expresión

fraccionaria”. Para que esta última tenga sentido, es necesario agrandar nuestro sistema de numeración. Este

nuevo número que amplía el conjunto y hace posible la división de q

p siendo q 0 , lo llamaremos

Número Racional y podemos definirlo como aquel que se expresa como el cociente entre dos números

enteros.

El Conjunto de los Números Racionales lo llamaremos Q. Cuando un número racional se presenta como el

cociente indicado entre dos números enteros, se dice que está en la forma fraccionaria. Si en cambio se realiza

la división decimal indicada, al cociente obtenido le llamaremos forma o expresión decimal.

Al hallar la expresión decimal de un número racional puede ocurrir que la división sea exacta o que no lo sea,

apareciendo en el cociente a partir del punto decimal, una cifra o un ciclo de cifras que se repiten

periódicamente, originándose dos casos: periódicos puros y periódicos mixtos.

3



Unidad 1

Ejemplos

Decimal exacto

a) 75.04

3 →

0.75(100)

100=

75

100=

5(5)(3)

5(5)(4)=

3

4

b) 875.08

7 →

0.875(1000)

1000=

875

1000=

5(5)(5)(7)

5(5)(5)(8)=

7

8

c) 𝟗

𝟐𝟎 = 0.45 →

0.45(100)

100=

45

100 =

9(5)

20(5)=

𝟗

𝟐𝟎

Decimal periódico puro

a) ...666.03

2 → n= 0.666… 10n = 6.666…

10n – n = 6.666…-0.666…

9n = 6 → n = 6

9 =

2(3)

3(3)=

2

3

b) 5

9 = 0.555…→ n= 0.555… 10n = 5.555…

10n – n = 5.555…- 0.555… = 5

9n = 5 → n = 5

9

c) 0.213213… → n = 0.213213… 1000n = 213.213213…

1000n – n = 213.213213…- 0.213213…

999n = 213 → n = 213

999

d) ...090909.011

1 → n = 0.090909… 100n = 9.0909…

100n-n = 9.0909…- 0.090909… = 9

99n = 9 n = 9

99=

1

11

Decimal periódico mixto

a) 32

165= 0.193939… → n= 0.193939… 100n = 19.3939… = 19 + 0.3939…

0.3939… = n

39.3939 = 100n

100n-n = 39.3939 …-0.3939… = 99 n =39

n= 39

99

n= 1

100[19 + 0.3939 … ] =

1

100[

19(99)+39

99] =

1920

9900= 0.193939 …

b) 0.2555… = 25−2

90 =

23

90

c) 6.152525… = 61525−615

9900=

60910

9900 =

6091

990

d) 15.13777… = 1513777−1513

900=

13624

900=

3406

225

4



Unidad 1

Al efectuar la división: 4

36

4

27 27 = (4)(6) +3

27 es el dividendo, 4 es el divisor , 6 es el cociente y 3 es el resto.

La división es exacta cuando el resto es cero. Decimos que es inexacta cuando el resto no es cero.

El conjunto de los Números Racionales Q incluye al conjunto de los Números Enteros y el conjunto de los

Números Fraccionarios.

El conjunto de los Números Racionales es ordenado e ilimitado. No existe un primer ni un último número

racional. En el conjunto Q no existen elementos consecutivos, ya que entre dos números racionales

cualesquiera pueden intercalarse infinitos números racionales. Esta propiedad se conoce como Densidad del

Conjunto de los Números Racionales.

Existen otros números que no pertenecen al conjunto de los Números Racionales. Estos números que no

pueden expresarse por el cociente entre dos enteros o que expresados en forma de fracción tienen infinitas

cifras decimales que no se repiten periódicamente son los llamados Números Irracionales (Q’).

Un Número Irracional es un número decimal de infinitas cifras no periódicas.

Ejemplos

Indicamos a continuación elementos de Q’:

2 = 1.414213562... 5 = 2.2360679... 3 7 = 1.912931183...

5 17 =1.762340348... log 2 = 0. 3010299957...

sen 70º = 0. 9396926207859... = 3.14159...

La unión de los conjuntos de los números racionales e irracionales forman el conjunto de los Números Reales

(R). Simbólicamente se expresa así:

R = Q U Q’

Un número real es una expresión decimal infinita, la cual podemos hacer corresponder con un punto de una

recta numérica. Esa correspondencia biunívoca entre los números reales y los puntos de una recta numérica,

llamada por esta razón eje real, se atribuye al matemático francés René Descartes.

5



Unidad 1

1.2 Propiedades De Los Numeros Reales

La suma, resta, multiplicación y la división [p /q siendo q0] son operaciones internas en el conjunto de los

Números Reales.

En el conjunto R no existen elementos consecutivos, ya que entre dos números reales cualesquiera pueden

intercalarse infinitos números reales (Propiedad de densidad del conjunto de los números reales).

Resumiremos a continuación las propiedades de las operaciones o de la aritmética de los números reales,

en donde las letras a, b, c se pueden sustituir por números reales arbitrarios:

A) Adición. A.1) a+b es un número real único. Ley Uniforme (Operación Interna).

R es cerrado para la adición.

A.2) (a + b) + c = a + (b + c) Ley Asociativa.

A.3) a + 0 = 0 + a = a Ley de la Identidad

El elemento neutro de la operación interna Suma en R es el cero

Elemento Neutro Aditivo

A.4) a + (-a) = (-a) + a = 0 Ley del Opuesto (Inverso Aditivo)

A.5) a + b = b + a Ley Conmutativa

B) Multiplicación.

B.1) a x b es un número real único. Ley Uniforme (Operación Interna).

R es cerrado para la multiplicación.

B.2) (a x b) x c = a x (b x c) Ley Asociativa.

B.3) a x 1 = 1 x a = a Ley de la Identidad.

El elemento neutro de la operación interna multiplicación en R es el uno (1).

El uno (1) es el elemento neutro multiplicativo.

B.4) a

a

1= 1

1

a

a para a 0 Ley del Recíproco. (Inverso Multiplicativo)

B.5) a x b = b x a Ley Conmutativa.

B.6) a x (b+c) = a x b + a x c Ley Distributiva de la Multiplicación

con relación a la Adición.

La resta y la división no son operaciones conmutativas ni asociativas.

Debemos recordar que:

La operación de:

Resta origina los números negativos.

División origina los números fraccionarios.

Radicación de índice par y cantidad subradical negativa da origen a los números imaginarios.

Regla de los signos en el producto de dos números reales:

(+) (+) = +

(-) (-) = +

(+) (-) = -

(-) (+) = -

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Unidad 1

Hay, entretanto, muchos problemas que no se pueden resolver con el uso solamente de los números reales. Tal

es la situación que se presenta al enfrentarse a ecuaciones sencillas como x2 + a = 0, en donde hágase lo que

se haga, nunca se podría resolver dentro del conjunto de números reales. Las potencias de exponentes

irracionales, los logaritmos de números negativos y la correspondencia entre números y los puntos del plano.

Fue el matemático Carlos Federico Gauss que designó a estos números por complejos y los represento en

los ejes cartesianos. Hamilton desarrolla la teoría de números complejos a través del concepto de par

ordenado. J. R. Argand hace la representación de complejos como coordenadas polares.

Con el objeto de poder manejar tales situaciones se introduce ó se crea el nuevo símbolo i = 1 , llamado

unidad imaginaria, el cual satisface i 2 = -1.

A partir de la introducción de la unidad imaginaria, también se crean expresiones de la forma:

a + bi , en donde “a” y “b” son números reales, llamándoseles Números Complejos. Decimos que “a” es

la parte real y “bi” la parte imaginaria de: a + bi .

Los Números Complejos constituyen una ampliación genuina de los Números Reales. Estos incluyen a los

números reales, ya que todo número real “a” se puede escribir como a + 0i .

También los Números Complejos (a + bi) se presentan como imaginarios puros, cuando “a = 0”, resultando: 0+

bi, donde “b” es cualquier número real. Un numero complejo es un par ordenado(a, b) de números reales que cumplen con la condición de:

Igualdad [ (a, b) = (c, d) ] [ ( a = c) ( b = d)]

Suma [ (a, b) + (c, d) ] = ( [ a + c] , [ b + d] )

Multiplicación [ (a, b)(c, d) ] = ( [ a c-bd ] , [ ad+ bc] )

Propiedades que se verifican en el conjunto de los Números Complejos:

Es infinito.

No posee primer elemento

No es ordenado. La relación de menor o mayor que no puede ser establecida entre números

complejos.

No se les puede atribuir ningún signo.

Distintas formas de representación de un número complejo:

a) Par ordenado : (a, b)

b) Binómica : a + bi

c) Modulo argumental o polar : P

d) Trigonometrica : P ( cos + i sen )

7



Unidad 1

Relaciones entre los números complejos:

Complejos iguales.

En la forma de par ordenado o binomica cuando a partir de dos complejos dados sus componentes

correspondientes son iguales.

En el caso de forma polar o Trigonometrica si sus módulos son iguales y sus argumentos difieren en 3600 , o un múltiplo de este valor.

Complejos opuestos.

En la forma de par ordenado o binomica cuando sus componentes poseen el mismo valor absoluto y

difieren en signos.

En el caso de forma polar o Trigonometrica si sus módulos son iguales y sus argumentos difieren en 180 0 ,

o un múltiplo de este valor.

Complejos conjugados.

En la forma de par ordenado o binomica cuando sus componentes se diferencian únicamente en el signo

de la segunda componente.

En el caso de forma polar o Trigonometrica si sus módulos son iguales y sus argumentos suman 360 0 , o

un múltiplo de este valor.

Operaciones con Números Complejos.

Adición: ( a + bi ) + ( c +di ) = ( a + c) + ( b + d)i

Diferencia: ( a + bi ) - ( c +di ) = ( a - c) + ( b - d)i

Multiplicación: ( a + bi ) ( c + di ) =

(a)(c) + (a) (di) + (bi )( c) + (bi )( di) = (ac-bd, (ad+bc)i)

Division: ( a + bi ) ( c + di ) =

22

)(

))(())(()()(

))(()()()(

))((

))((

dc

ibcadbdac

didicdidiccc

dibicbidiaca

dicdic

dicbia

Potenciación:

Se realiza atendiendo al desarrollo del binomio de Newton.

i = 1 12 i ii 3 14 i ii 5 . . .

Radicación: n bia

Conversión de una forma de número complejo a otra.

(a, b) = a + bi = P = P ( cos + i sen )

8



Unidad 1

En los ejemplos que se incluyen más abajo se repasan algunas operaciones con números complejos.

Ejemplos

Efectuar con los números complejos ( 4+5i ) y (6-8i ) las operaciones de:

1) Adición (+) :

( 4+5i ) + ( 6 – 8i ) = ( 4+6) + ( 5i -8i ) = 10 – 3i

2) Diferencia (-) :

( 4+5i ) - ( 6 – 8i ) = (4+5i) + (-6 +8i) = ( 4- 6) + (5i +8i) = -2 + 13i

3) Multiplicación(x) :

( 4+5i ) ( 6 – 8i ) = (4)(6) + (4) (- 8i) + (5i )( 6) + (5i )( - 8i ) = 24-32i+30i+40 = 64 – 2i

4) División () :

( 4+5i ) ( 6 – 8i ) =

100

6216

64484836

40303224

)8)(8()6)(8()8(6)6(6

)8)(5()6(5)8(4)6(4

)86)(86(

)86)(54( i

ii

ii

iiii

iiii

ii

ii

= -

25

4+

50

31i

9



Unidad 1

¿Qué es Algebra?

Algunos matemáticos se refieren al álgebra como una aritmética generalizada que trabaja con cantidades

consideradas de la manera más general posible.

En aritmética las cantidades están representadas por números o valores determinados. En álgebra para lograr la

generalización, las cantidades se representan por medio de letras, las cuales pueden representar o tomar

cualquier valor.

Ejemplos: Aritmética: a) 12 + 5 b) 36

5 c) (13)(20)

Algebra: a) x + y b) n

m c) a . b

Formulación de frases en notación algebraica.

Enunciado Notación a usar Un número más un tercio de otro número

x +3

y

La suma de dos números iguales x+x

La suma de dos números distintos x+y

El cociente de dos números diferentes 𝑥

𝑦

El producto de dos números distintos. xy

El área de un triángulo cuya altura es 5

1 de la longitud de su base.

A = 2

bh =

10252

5

122 xx

xx

Área de un rectángulo de altura x y base cuatro veces su altura A= BH= (4x)(x) = 4x2

10



Unidad 1

Exprese la frase con una ecuación algebraica en “x”, y después resuelva para “x”.

1) Un rectángulo tiene x metros de ancho. La longitud del rectángulo es 4 metros mayor que su ancho y

su perímetro es de 100 metros. Encuéntrese x.

P = 2A+ 2L = 2x + 2 (x + 4) = 100

2x + 2x + 8 = 100

4x = 100 – 8 = 92 x = 234

92

Prueba: 2 [23] + 2 [23+4] = 46 + 2[ 27] = 46 + 54 = 100

2) Dos círculos tangentes de 10 pies de radio están inscritos en un rectángulo (el rectángulo encaja

perfectamente alrededor del ocho formado por los círculos). Encuéntrese el área de la parte del

rectángulo exterior a los dos círculos.

Area del rectángulo = A r = BH = ( 4r ) ( 2r ) = 8 r2

Area del círculo = A c = r2

= (10)2

A = Ar – 2Ac = 8( 10 )2 – 2 ( 10 )

2 = 100 ( 8 - 2 ) =200(4 - )

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Unidad 1

1.3 Definición de Campo Numérico

Sea K un conjunto no vacío, entre cuyos elementos se definen dos operaciones internas llamadas suma y

multiplicación. Diremos que K es un campo si se satisfacen los siguientes axiomas:

1) x, y K , entonces: (x + y) K . Clausura para la adición.

2) x, y , z K : (x + y) + z = x + (y + z) Ley asociativa de la adición.

3) eK, x K : x + e = e + x = x Neutro aditivo.

4) x K, ( -x ) K : x + (-x) = (-x) + x = e . Inverso aditivo.

5) x , y K : x + y = y + x . Ley conmutativa de la adición.

6) x , y K : x y K . Clausura para el producto.

7) x , y , Z K : (x y) z = x (y z) . Ley asociativa del producto.

8) e K , x K : e x = x e = x . Neutro multiplicativo.

9) x e , ( x –1

) K : x (x –1

) = (x –1

) x = e . Recíproco.

10) x , y : x y = y x . Conmutativa del producto.

11) x , y , Z : x (y + z) = x y + x z. Distributiva del producto respecto a la adición.

Los elementos de K también se llamarán números o bien se llamarán escalares.

Al elemento e se le conoce como neutro de la suma. En general se representa por cero.

El elemento -x es el inverso aditivo.

Cuando hablamos del neutro multiplicativo nos referimos al uno (1).

El inverso multiplicativo o recíproco de x es x –1

, siempre que x sea diferente de cero.

12



Unidad 1

Espacio Vectorial

Un espacio vectorial V sobre el campo K es un conjunto de objetos, llamados vectores, que junto con

dos operaciones binarias, una interna llamada suma vectorial y otra externa llamada producto por un

escalar, tales que satisfacen los postulados siguientes:

Sean u, v, w V a, b, c K

1) u, v∈ 𝑉: (u + v) V La suma es una operación interna de V

2) u, v∈ 𝑉: (u + v) = (v + u) Ley Conmutativa de la suma

3) u, v , w∈ 𝑉: (u + v) + w = u + (v +w) Ley Asociativa de la suma

4) u V, Existe un elemento de V denotado por 0,

tal que 0 + u = u + 0 = u Neutro aditivo

5) u V, existe un elemento (– u ) V tal que u + (-u) = 0 .

Opuesto aditivo.

6) u V , a K : a( u) V , La multiplicación por un escalar es una

operación interna de V.

7) v V , a, b K : (a b) v = a (b v) = b (av) Ley asociativa de la multiplicación

de escalares por un vector. Uniforme.

8) c K , u,v V:c (u +v) = cu +cv Ley distributiva de la suma de vectores

respecto a la multiplicación por un escalar.

9) a, b K , v V : v (a + b) = va + v b . Ley distributiva del producto de un

vector respecto a la adición de escalares.

10) u V se tiene que 1 K: 1. u = u.1 = u Unidad Escalar.

Entonces (V, K) se llama un espacio vectorial, y a todo elemento de V se identifica como vector.

Para tener un espacio vectorial necesitamos tres condiciones:

*Un conjunto de objetos.

*Dos operaciones binarias una interna llamada suma vectorial y otra externa llamada producto por

un escalar.

*Diez propiedades o postulados, cinco para la suma vectorial y cinco para el producto por un

escalar.

13



Unidad 1

Sub-espacio Vectorial

Sea V un espacio vectorial sobre el campo K, respecto a las operaciones de suma y multiplicación,

podemos decir que U define un subespacio vectorial, cuando sea U no vacío, y además UV, en

donde se cumpla:

1) u , v U : (u + v) U

2) u U, a K: ua U

3) 0 U

Ejemplo de Sub-espacio Vectorial

Pruebe si RyRxxyyxU ;6/, define un subespacio vectorial en 2R

1. Como 1x R,

1y R; siendo 1y = 6

1x entonces ( 1x ,

1y ) 2R

^ 2x R,

2y R; siendo 2y = 6

2x entonces ( 2x ,

2y ) 2R

1y +

2y = 6 1x +6

2x = 6(1x +

2x ) = 2R

Entonces : 3y = 6 3x entonces ( 3x , 3y ) 2R

2. 1y R, a K: a 1y =6a 1x ; (a 1x ,a 1y ) = a( 1x , 1y ) 2R

3. Como 0 R, x= 0, y = 6(0) = 0 , entonces (x, y) = (0,0 ) 2R

Como se verifican los tres requerimientos de la definición, entonces U define un

subespacio vectorial.

14



Unidad 1

Definición de puntos en un espacio n-dimensional

Se puede emplear un número para representar un punto sobre una recta, una vez que se ha seleccionado la

unidad de longitud.

0 x

Sistema de coordenadas rectangulares.

Un punto del plano está asociado a un par ordenado (x, y) donde x corresponde a la abscisa, y es la

ordenada.

Para ubicar un par ordenado en el plano nos referimos a dos ejes normales entre si que se cortan en un

punto denominado origen de coordenadas, que ubica signos a cada semirrecta referidos a partir del origen

de coordenadas. Este sistema se identifica como sistema de coordenada cartesiana. Define los planos

cartesianos.

Para representar un punto en el plano podemos usar un par de números (x, y):

Y . (x, y)

X

Un punto en el espacio se representa mediante una terna de números (x, y, z):

Z . (x, y, z)

X

Y

En el espacio n-dimensional, un punto se define a partir de n– upla ordenada de números:

( 1x ,

, 1y xx1, x2, x3, ... , xn )

15



Unidad 1

1.4 Definición de Vector

Si bien el concepto de vector es de índole geométrica y ha nacido de la Física, también presenta un

aspecto aritmético – algebraico de gran importancia por su aplicación en lo que se llama el Algebra

Lineal. Podemos considerar que cualquier elemento de un espacio vectorial es un Vector.

Los elementos que definen a un vector son: Módulo, dirección y sentido.

Vectores en el Plano

Un vector es un segmento dirigido o flecha, por ejemplo OA, que tiene su origen en el origen del sistema

de coordenadas cartesianas, y su extremo (punta de la flecha ) en cualquier punto del plano.

Y

A

a2

X

a1

Esto es lo que en Física se llama un vector aplicado en el origen. Aquí sólo nos interesan éstos (vectores cuyo

origen coincide con el origen del sistema coordenado) por la significación algebraica que poseen.

Matemáticamente, identificamos un vector por su punto final, esto es, llamamos al par ordenado ( 𝑎1,𝑎2)

de números reales un vector.

Llamaremos R2 al conjunto formado por todos los pares ordenados ( 𝑎1,𝑎2 ) de números reales.

Siendo R = Conjunto de los Reales

R R = R2 = { (x, y) / x, y R }

A los elementos de R2 le llamamos vectores en R

2.

Así a cada elemento de R2 le corresponde un punto del plano, e inversamente, a cada punto del plano se le

puede asignar un vector cuyo origen esté en el origen de coordenadas (0,0).

16



Unidad 1

Vectores en el Espacio

Un vector, así como se ha definido en el plano, también podemos definirlo en el espacio tridimensional. En

este caso, para describir uno cualquiera de ellos necesitamos tres números ( 𝑎1,𝑎2 ,𝑎3)

X3

A ( 𝑎1,𝑎2 ,𝑎3)

X2

X1

Como se ha convenido en que todos los vectores comienzan ( o tienen su origen) en el origen del sistema

coordenado, nótese que al especificar el punto ( 𝑎1,𝑎2 ,𝑎3) , o sea el extremo, hemos caracterizado

completamente el vector A.

Así queda establecida una correspondencia biunívoca entre el conjunto de todos los puntos del espacio y el de

todos los vectores que parten del origen.

RxRxR = R3 = { ( 𝑥1,𝑥2 ,𝑥3) / 𝑥𝑖 R, i = 1,2,3 }

A los elementos de R3

le llamamos vectores en R3.

A cada elemento de R3

le corresponde un punto del espacio, e inversamente, a cada punto del espacio se le

puede asignar un vector de origen en el origen de coordenadas (0, 0, 0).

Asi sucesivamente, ...

RxRxRx ... xR = Rn

= { ( 𝑥1,𝑥2 ,𝑥3, … , 𝑥𝑛) / 𝑥𝑖 R, i = 1,2,3, …,n }

A los elementos de Rn le llamamos vectores en R

n.

A los números reales xi, se les llama componentes del vector.

17



Unidad 1

1.5 El conjunto Rn es una generalización de R

2, pues en vez de estar conformado por pares

ordenados de números reales, lo forman todas las n-uplas ordenadas de números reales. Cada énupla ordenada

es un vector de ”n” componentes definido en Rn.

Hablando de Rn, debemos destacar de que para un n 3 , ya se pierde toda intuición geométrica y nuestros

razonamientos se harán por vía puramente algebraica; no obstante lo cual es útil conservar en algunas

cuestiones el lenguaje geométrico, aún cuando esté desprovisto de toda significación concreta.

1.6 Vector Cero o Vector Nulo. Es el que tiene todas sus componentes iguales a cero.

En R2 es aquel cuyas coordenadas son (0,0)

R3 = (0, 0, 0)

R4 = (0, 0, 0, 0)

.

.

.

Rn = (0,0, . . . ,0) hasta “n” componentes

Vector unidad. Un vector unidad Ei Rn

es aquel cuya i-ésima componente es igual a la unidad y las

demás componentes son cero.

Ejemplo: En R2 : E1 = (1, 0) E2 = (0, 1)

R3 : E1 = (1, 0, 0) E2 = (0, 1, 0) E3 = (0, 0,1)

Rn: E1 = (1, 0, 0, … ,0) E2 = (0, 1, 0, ... ,0) En = (0,0, ... ,1)

Vector localizado. Es un vector cuyo extremo inicial y final son conocidos.

Si nxxxP ,...,, 211 , nyyyP ,...,, 212 son los extremos de un vector, entonces,

El vector nn xyxyxyPP ,...,, 221121 es un vector localizado.

18



Unidad 1

1.7 Demostrar que Rn define un Espacio Vectorial

Sean A = (𝒂𝟏,𝒂𝟐 ,𝒂𝟑, … , 𝒂𝒏) R B = (𝒃𝟏,𝒃𝟐 ,𝒃𝟑, … , 𝒃𝒏) Rn C = (𝒄𝟏,𝒄𝟐 ,𝒄𝟑, … , 𝒄𝒏) R

n

K, K1, K2 escalares.

Para que Rn defina un espacio vectorial debe satisfacer la definición, por lo tanto:

1) A + B = (𝑎1+𝑏1 , 𝑎2+𝑏2 , ... , 𝑎𝑛+𝑏𝑛 ) (A + B) Rn

Ley Uniforme

2) A + B = B + A Ley Conmutativa.

(𝑎1,𝑎2 ,𝑎3, … , 𝑎𝑛) + (𝑏1,𝑏2 ,𝑏3, … , 𝑏𝑛) = (𝑏1,𝑏2 ,𝑏3, … , 𝑏𝑛) + (𝑎1,𝑎2 ,𝑎3, … , 𝑎𝑛)

(𝑎1 + 𝑏1, 𝑎2 + 𝑏2 , 𝑎3 + 𝑏3, … , 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛) =(𝑏1 + 𝑎1, 𝑏2 + 𝑎2, 𝑏3 + 𝑎3, … , 𝑏𝑛 + 𝑎𝑛)

Se verifica la propiedad conmutativa de la suma.

3) (A + B) + C = A + (B + C) Ley Asociativa

(A + B) + C = (𝑎1 + 𝑏1, 𝑎2 + 𝑏2 , 𝑎3 + 𝑏3, … , 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛) + (𝑐1,𝑐2 ,𝑐3, … , 𝑐𝑛) =

(𝑎1 + 𝑏1+ 𝑐1, 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 , … , 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 + 𝑐𝑛 )

La propiedad asociativa de la suma se verifica.

4) 0 + A = A + 0 = A Ley de la Identidad. Existencia del neutro aditivo

(0,0, ... , 0) +(𝑎1,𝑎2 ,𝑎3, … , 𝑎𝑛) = (𝑎1,𝑎2 ,𝑎3, … , 𝑎𝑛) Rn

5) A + (-A) = 0 Ley del Opuesto. Existencia del opuesto aditivo

(𝑎1,𝑎2 ,𝑎3, … , 𝑎𝑛) + (−𝑎1,−𝑎2 ,−𝑎3, … , −𝑎𝑛) = (𝑎1 − 𝑎1,𝑎2 − 𝑎2 , 𝑎3 − 𝑎3, … , 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛 ) = 0

6) kA = k (𝑎1,𝑎2 ,𝑎3, … , 𝑎𝑛) = (𝑘𝑎1,𝑘𝑎2 ,𝑘𝑎3, … , 𝑘𝑎𝑛) kA Rn

Ley Uniforme

7) (k1 k2) A = k1 (k2A) Propiedad asociativa de la multiplicación de escalares por un

elemento del espacio.

( (k1 k2) (𝑎1,𝑎2 ,𝑎3, … , 𝑎𝑛) = ((k1 k2) 𝑎1, (k1 k2)𝑎2, …, (k1 k2) 𝑎𝑛) = ( k1(k2𝑎1), k1(k2𝑎2), …, k1(k2𝑎𝑛))

8) k(A + B) = kA + kB Propiedad distributiva del producto de un escalar K respecto

a la adición de elementos del espacio.

k(𝑎1 + 𝑏1, 𝑎2 + 𝑏2 , 𝑎3 + 𝑏3, … , 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛) = (k (𝑎1 + 𝑏1), 𝑘(𝑎2 + 𝑏2) , 𝑘(𝑎3 + 𝑏3) , … , 𝑘(𝑎𝑛 + 𝑏𝑛))

= ((k𝑎1 + 𝑘 𝑏1), (𝑘𝑎2 + 𝑘𝑏2) , (𝑘𝑎3 + 𝑘𝑏3) , … , (𝑘𝑎𝑛 + 𝑘𝑏𝑛))

= k (𝑎1,𝑎2 ,𝑎3, … , 𝑎𝑛) + k (𝑏1,𝑏2 ,𝑏3, … , 𝑏𝑛) = kA + k B

9) (k1 + k2) A = k1A + k2A Propiedad distributiva de un elemento del espacio

respecto a la adición de escalares.

((k1 + k2) 𝑎1, (k1 + k2) 𝑎2, ... , (k1 + k2) 𝑎𝑛) = k1(𝑎1,𝑎2 ,𝑎3, … , 𝑎𝑛) + k2(𝑎1,𝑎2 ,𝑎3, … , 𝑎𝑛) =

(k1𝑎1, k1𝑎2, ... , k1𝑎𝑛) + (k2𝑎1, k2 𝑎2, ... , k2 𝑎𝑛) = ((k1 + k2) 𝑎1, (k1 + k2) 𝑎2, ... , (k1 + k2) 𝑎𝑛)

10) 1A = A 1 = unidad Ley de la Identidad. Existencia del neutro multiplicativo.

Al verificarse todas las condiciones requeridas para un espacio vectorial, podemos afirmar que Rn

define un

espacio vectorial.

19



Unidad 1

1.8 Igualdad de Vectores

Sean A = (𝑎1,𝑎2 ,𝑎3, … , 𝑎𝑛) y B = (b1, b2, b3, ... , bn) Rn

[ A = B ] [𝑎1 = b1 𝑎2 = b2 𝑎3 = b3 ... 𝑎𝑛 = bn ]

Propiedades Básicas de la Igualdad de Vectores definidos en Rn

Reflexiva A = A

Simétrica A = B entonces B = A

Transitiva Si A = B B = C entonces A = C

1.9 Vector Opuesto de un Vector Dado

Sea B = (b1, b2, .. . , bn) un vector conocido, luego el Vector Opuesto de B será:

-B = (-b1, -b2, ... , -bn)

1.10 Operaciones con Vectores

Sean A = (𝑎1,𝑎2 ,𝑎3, … , 𝑎𝑛) B = (b1, b2, ... , bn)

1.10.1 Suma o Adición A + B = (𝑎1 + b1, 𝑎2 + b2, ... , 𝑎𝑛+ bn)

1.10.2 Diferencia

A – B = (𝑎1 - b1, 𝑎2 - b2, ... , 𝑎𝑛- bn)

Propiedades de la Adición de Vectores

Conmutativa A + B = B + A

Asociativa (A + B) + C = A + (B + C)

Del Cero A + 0 = A

Del Opuesto A + (-A) = 0

20



Unidad 1

1.10.3 Producto de un Vector por un Escalar K

KA = K (𝒂𝟏,𝒂𝟐 ,𝒂𝟑, … , 𝒂𝒏) = (𝒌𝒂𝟏,𝒌𝒂𝟐 ,𝒌𝒂𝟑, … , 𝒌𝒂𝒏)

1.10.4 Producto Escalar o Producto Interno o Producto Punto

Sean A = (𝑎1,𝑎2,𝑎3, … , 𝑎𝑛) Rn

B = ( b1, b2, ... , bn ) Rn

nni

ni

i

i babababaBA

...2211

1

Llamaremos Producto Interno BA al escalar que se obtiene al efectuar la sumatoria de los

productos de las componentes correspondientes de los vectores.

El producto escalar es un número, no un vector. No está definido entre vectores con diferentes números

de componentes.

Ejemplos:

1) A = (1, 3, -2) B = (-1, 4, -3) C = (-2, 8, 3, 1)

AB = 1 (-1) + 3 (4) + (-2)(-3) = -1 + 12 + 6 = 17

AC = No está definido pues pertenecen a distintos espacios

2) M = (2, - 1, 5, 3) N = ( 3, 3, -2, 5)

(2, - 1, 5, 3) ( 3, 3, -2, 5) = 2(3) + (-1)(3) + 5(-2) +3(5) = 6 – 3 – 10 +15 = 8

Las propiedades básicas del producto escalar en Rn

son las siguientes:

Sean A, B, C vectores en Rn

y K un escalar ( K R )

A B = BA

( A + B) C = AC + BC

A (kB) = k (A B)

A A = A2

0 y A A = 0 si y solo si A = 0

21



Unidad 1

1.11 Definición de Vector Asociado

Se dice que dos vectores A y B son vectores asociados si existe un escalar K0, tal que se satisface que k A =

B

Ejemplo

Dado el vector A = (1, 2,-3) , determine un vector B asociado al vector A conocido, si k = 3

B = 3 (1, 2, -3) = (3, 6, -9)

Propiedades de la multiplicación de un vector por un escalar

1. Conmutativa k A = A k

2. De la unidad 1A = A

3. Asociativa respecto a escalares ( k1 k2)A = k1 (k2A)

4. Distributiva respecto de los escalares (k1 + k2) A=k 1 A + k2 A

5. Distributiva respecto de los vectores k(A + B) = kA + kB

Ejemplos

Efectúe las operaciones indicadas con los vectores dados en cada caso:

1) A = (1, 2) B = (-3,5) A + B = (-2,7)

2) A = (-1, , 3) B = ( 2 , 7, -2) A + B = ( 2 – 1, + 7, 1)

3) A = (2, -1, 5) K = 7 KA = (14, -7, 35)

4) Si A = (2, -1, 3) B = (4, 3, -5) Calcular: A – 2B =

A-2B = (2, -1, 3) – 2(4, 3, - 5) = (2, -1, 3) + (-8, -6, 10) = (-6, -7, 13)

22



Unidad 1

5) Encuentre el vector X R3, tal que 3A + 2X = 5B, si A = (2, 3, -1) , B = (-1, 2, 4)

2X = 5B – 3A

X =2

1[5B – 3A] =

2

1[ 5( -1,2,4) – 3( 2,3, - 1) ] =

2

1 [(-5, 10, 20) + (-6, -9 , 3)]

X =2

1 [(-11, 1, 23)] =

2

23,

2

1,

2

11

1.12 Norma, Longitud o Tamaño de un Vector

Se le llama así a la raíz cuadrada no negativa de la suma de los cuadrados de las componentes de dicho

vector.

Si A = ( a1 , a 2 , ... , a n )

222

2

1

2

1

...//// n

n

i

i aaaaAAA

Ejemplos:

1) A = (1,2) 54121//// 22 A

2) B = (-1,2,3) 14941321//// 222B

3) C = ( -2, 1, 0, 6 , - 5 )

253601456012////22222

C = 66

4) //// A //// B 5 14 = 70

5) A+ 2O = (1,2) + (0,0) = (1,2)

23



Unidad 1

6) D = ( 1,3, x )

4//// D

1+9 + x 2 = 16

x 2 = 16-10 = 6

6x

Propiedades

//A// O No negatividad

//A + B// //A// + //B// Desigualdad triangular.

Ejemplos

1) Probar la desigualdad triangular, si A= ( 4, 3 ) B = ( 6, 0 )

52591634//// 22 A

63603606//// 22 B

// A // + // B // = 11

A+ B = ( 4+ 6, 3+ 0 ) = (10, 3)

// A+B // = 1099100310 22

11109

2) Para C = ( -1, -2, -4 ) D = ( -1, 2,3)

Probaremos las propiedades: a) No Negatividad

b) Desigualdad Triangular

No Negatividad :

/ C // = C . C = 211641421222

021

24



Unidad 1

Desigualdad Triangular:

14941321//// 222D

1421//////// DC

C + D = ( -1-1, -2+2, - 4+3 ) = ( - 2, 0, -1)

5104102////222

DC

// C + D // < // C // + // D //

14215 Desigualdad Triangular

Otra Definición de Producto Escalar

AB = //A// //B// cos donde es el ángulo que forman BA

= 00 cos 00 = 1

AB = //A// //B// BA son paralelos.

= 90 cos 90 = 0

AB = //A// //B// 0 BA = 0 BA son perpendiculares

1.13 Angulo entre dos Vectores

Si A = (a1, a2, ... , an) B = (b1, b2, ... , bn)

AB = //A// //B// cos

////////arccos

BA

BA

25



Unidad 1

Ejemplos

Calcular el ángulo entre A y B siendo:

1) A = ( 2, -1 , 3 ) B = ( 4, 3, -5 )

5014

10

25916914

1538

534312

533142

////////cos

222222

BA

BA

= 112.20o

1.14 Vector Unitario con el mismo sentido de un vector dado

M es un Vector Unitario con el sentido de A si:

kAAA

M ////

1 donde

////

1

Ak

Ejemplo

Hallar un vector M unitario con el sentido de A = ( 1, 2,-3)

14

3,

14

2,

14

13,2,1

14

13,2,1

941

13,2,1

321

1

222M

Comprobación:

1

14

14

14

9

14

4

14

1

14

3

14

2

14

1////

222

M

26



Unidad 1

AUTONOMA DE SANTO DOMINGO FACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

ALGEBRA SUPERIOR. MAT– 230

PRACTICA PROPUESTA No. 1 . UNIDAD 1

Preparado por: Prof. Rosa Cristina De Pena Olivares Matricula ________________ Nombres-Apellidos ______________________________________

Grupo No. ______ Sección No. ______ Fecha de entrega_____________________

I. A partir de los elementos dados:

-5, √16

9, 𝜋, 6.2333…,

16

5, 5i, -e, √15,

3

4, √−8

3, -

5

2, 7, √−9, 2

3

4 ,

a) Identifique los que sean:

a.1) Naturales:

a.2) Enteros:

a.3) Racionales:

a.4) Irracionales:

a.5) Reales:

a.6) Imaginarios:

a.7) Fracciones propias:

a.8) Fracciones impropias:

b) Represente en la recta real todos los reales.

II. Escriba como fracción decimal: a) 0.562

b) 0.4545…

c) 3.4565656…

III. Usando la condición de igualdad, hallar: x, y.

1 ) (18, y) = x (2, -1)

2) ( x, x+y) = (y-1, 9)

3) x (2, - 6) = - 4 (y, 3)

27



Unidad 1

IV. Dado el vector A = (1, 2, -3) , determine un vector B asociado al vector A conocido, si k = -5

V. Pruebe las cuatro (4) propiedades del Producto Escalar, considerando:

A= (5, 1, -1) B = (2, 3,- 4) C = (1, 5, 4) k = 3

VI. Sean los vectores:

A= ( -2, 1, 4 ) B = ( - 4, 4, 5 ) C = ( 2, -2, 3, -3 )

D = ( -1, 2,-3, 4 ) E = ( x-1, 5, 1 )

De ser posible, efectúe la operación indicada:

1. 3A - 4B =

2. C - D =

3. B + 4O =

4. AB =

5. CD =

6. A ( D 2C) =

7. //A//=

8. //C//=

9. // C// BA =

10. //3A- 4B// =

11. // 3A- 4B // // C-D // =

12. Hallar x siendo : //E// = 0

13. EA = 0 y determine el valor de x.

14. Encontrar x siendo: B E = 0

15. Hallar x si : EA = CD - 4

28



Unidad 1

VII. Conocidos : A = ( -2, 1, 4 ), B = ( - 4, 4, 5 ) , C = ( 2, -2, 3, -3 ), D = ( -1, 2,-3, 4 )

1) Encuentre X ∈ 𝑅3 , tal que : 2A - 2X = 6B

2) Encuentre X ∈ 𝑅4 , tal que : 2D - 3C = 5X + 2 ( D+C)

VIII. Diga si los vectores son paralelos o perpendiculares.

1) A = ( 6, 1, 4 ), B = ( - 4, 4, 5 )

2) C = ( 2, -2, 3, -3 ), D = ( -1, 2,-3, 4 )

IX. Determine el ángulo que forman los vectores dados.

1) A = ( 6, 1, 4 ), B = ( - 4, 4, 5 )

2) C = ( 2, -2, 3, -3 ), D = ( -1, 2,-3, 4 )

X. Forme un vector Unitario con el sentido del vector dado

1) A= ( 6, 1, 4)

2) D = ( -1, 2, -3, 4)

29



Unidad 1

AUTONOMA DE SANTO DOMINGO FACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

ALGEBRA SUPERIOR. MAT– 230

PRACTICA PROPUESTA No. 2 . UNIDAD 1

Preparado por: Prof. Rosa Cristina De Pena Olivares

Matricula ________________ Nombres-Apellidos ______________________________________

Grupo No. ______ Sección No. ______ Fecha de entrega_____________________

Encierre en un círculo la expresión que haga cierto lo que se

plantea en cada caso.

1. La propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición es:

a) 2( 4C + 5 B )= 8C+10B b) 6B+0= 0+6B c) x+e = e+x = x d) 2( 4C+5B) = (4C+5B)2

2. Es el número que se obtiene de la sumatoria de los productos de las coordenadas correspondientes

de dos vectores.

a)Norma de un vector b) Vectores ortogonales c) Vectores oblicuos d) Producto escalar

3. Siendo A= ( 5, 1, -1) , B = ( 2,3, -4) , C = ( 1, 5, 4) .

La evaluación de ( A+B) ⋅ C = A ⋅C + B ⋅C es :

a) 0=0 b) 47 = 47 c) 7=7 d) Ninguna de las anteriores

4. El valor determinado para x mediante la condición de igualdad en ( 14, y) = x ( 6, -1) es:

a) X= 14.7 b) X = 9 c) X= 2.3333… d) x= 3.2

5. Es una de las propiedades básicas en la igualdad de vectores

a) Conmutativa b) Simétrica c) Reciproca d) Asociativa

6. Es la raíz cuadrada no negativa de la suma de los cuadrados de las componentes de un vector:

a) Producto escalar b) Norma c) Angulo entre vectores d) Vector unitario

7. El vector que posee todas sus componentes iguales a cero se identifica como vector:

a) Unitario b) Asociado c) Opuesto d) Nulo

8. El conjunto formado por la unión de los números enteros y fraccionarios se identifica como:

a) Natural b) Racional c) Entero d) Real

9. Si existe un escalar 𝑘 ≠ 0 tal que A = k B , se puede decir que los vectores A, B son:

a) Paralelos b) Nulos c) Asociados d) Perpendiculares

30



Unidad 1

10. Un vector unitario respecto a M se puede formar mediante:

a) ‖𝑀‖ 𝑏) 𝑈𝑀 ⋅ 𝑴

𝑐) 𝑈𝑀 = [1

‖𝑀‖] 𝑀 = 𝑘𝑀 𝑑) 𝑁𝑖𝑛𝑔𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠

11. Una ecuación que posee todos sus términos vectores se identifica como ecuación:

a) Escalar b) Lineal c) Cuadrática d) Vectorial

12. Es de índole geométrica, ha nacido de la física y presenta un aspecto aritmético:

a) Campo numérico b) Concepto de vector

c) Producto escalar d) Las respuestas a y b

13. La unión de los números racionales e irracionales forman el conjunto de los números:

a) Reales b)Naturales c) Irracionales d) Enteros

14. La suma, resta, multiplicación y división excluyendo la división entre cero, son las únicas operaciones

internas en el conjunto de los números:

a) Enteros b) Naturales c) Reales d)Imaginarios

15. Al expresar (A + B ) + C = A +( B + C ) representamos la propiedad:

a) Distributiva b) Igualdad c) Asociativa de la suma d) Conmutativa de la suma

16. No son operaciones conmutativas ni asociativas:

a) Suma y resta b) Resta y división c) Multiplicación y suma d) Potencia y radicación

17. Matemáticamente, identificamos un vector por su :

a) Punto final e inicial b) Sentido c) Módulo d) Todas las anteriores

18. Es un vector cuyo extremo inicial y final son conocidos:

a) Vector unidad b) Vector nulo c) Vector opuesto d) Vector localizado

19. Conociendo A= ( 3, 2, -1, 4) , B = (- 4, 2,-1, 3) La evaluación de A ⋅ B es :

a) -5 b) 29 c) ( -12, 4, 1 , 12) d) 5

20. Al referirnos a las propiedades de los números naturales podemos decir que:

a) A todo numero natural no siempre le sigue otro natural

b) Es limitado

c) Entre dos números naturales consecutivos no existe ningún otro número natural

d) Entre dos números naturales consecutivos existen infinitos números naturales

21. ¿ Cuál de estos vectores de 𝑅4 corresponde a 𝐸2 :

a) ( 0, 0, 1, 1) b) ( 0, 1, 0, 1) c) ( 1, 1, 0, 0) d) ( 0, 1, 0, 0)

31



Unidad 1

22. El conjunto Q incluye los conjuntos:

a)Enteros e Irracionales b) Irracionales y Fraccionarios

c) Enteros y Fraccionarios d) Irracionales y Naturales

23. A partir de los conjuntos dados identifique el que posee números complejos

𝑎){1,2,3} 𝑏) {√2,2

, 3, 0.75} 𝑐) {𝑎 + 𝑏𝑖, √−9} 𝑑) {𝜋, 𝑒}

24. Que operación origina los números fraccionarios:

a) Resta b) Radicación c) Adición d) División

25. Que es un vector localizado?

a) El que posee todas sus componentes iguales a cero

b) Es aquel que posee todas sus componentes iguales a la unidad

c) Es un vector cuyo extremo inicial y final se conocen

d) Es un vector donde existe un escalar diferente de cero

26. ¿A que llamamos producto interno o producto punto?

a) Al escalar que se obtiene al efectuar la sumatoria de los productos de las componentes de los

vectores dados.

b) Al escalar que se obtiene al efectuar el producto de las componentes de los vectores dados.

c) Al vector que se obtiene al efectuar la sumatoria de las componentes de los vectores dados

d) Al vector que se obtiene al efectuar el producto de las componentes de los vectores dados

27. Un vector es nulo cuando sus componentes son?

a) Negativas b) Iguales c) Uno d) Cero

28. Es un número no un vector, no definido entre vectores con diferentes números de componentes:

a) Producto interno b) Producto c) Adición entre vectores d) Todas son correctas

29. A que espacio vectorial corresponde el vector A = ( - 4, 3, 9, 1, 0)?

a) 𝑅𝑛 𝑏) 𝑅4 𝑐) 𝑅5 𝑑) 𝑅3

30. De las propiedades que se verifican en la adición de vectores tenemos:

a) A=A b) A=B ∧ B = C c) A + B = B + A d) a y b son correctas

31. Cuál de estas operaciones corresponde a una adición entre números complejos?

a) (A+B) + C = A + (B+C) b) ( a+bi)+(c+di) = ( a+c) + (b+d)i

c) 27

4= 1 +

3

4 d) Todas son correctas

32. Si el producto de A ⋅ B = 0 , como el ángulo que forman A, B es 90𝑜 podemos decir que los

vectores son:

a) Paralelos b) Oblicuos c) Perpendiculares d) Ninguna de las anteriores

32



Unidad 1

33. Un espacio Vectorial V sobre el campo K es un conjunto de objetos llamados:

a) Vectores b) Puntos en el espacio c) Planos d) Espacios tridimensionales

34. Siendo F = ( -2, 3, 4, 16) podemos decir que //F// =

a) √45 b) √29 c) √256 d) √285

35. Siendo el vector 𝐴 = (1

5,

1

3,

6

5) . En un vector asociado B = k A , cuál es el valor de k para que la

segunda componente sea la unidad?

a) 5

6 𝑏) 5 c) 3 d) 30

36. ¿Las magnitudes vectoriales quedan representadas por un ente matemático que recibe el nombre de?

a) Escalares b) Vector c) Magnitudes físicas d)Ninguna de las anteriores

37. Dado el vector A = (6, 1,4,), siendo 𝑈𝐴 un vector obtenido a partir de A, la norma de 𝑈𝐴 es igual a : a) 0 b) 2 c) 1 d) Ninguna de las anteriores

38. La operación A (2B⋅ 2C ) siendo A= (3, 7, 5, 2), B= (-3, 9, 6, -3), C= (7, 5, 11, 13) es:

a) (320, 1024, 512, 440) b) (612, 1428, 1020, 408) c) (612, 1024, 1428, 440) d) (700, 1256, 1492, 500)

39. Usando la condición de igualdad en ( 30, y) = x ( 3, -1) , hallar x, y que satisfaga la igualdad propuesta a) x = 10 , y = 10 b) x = 30 , y = -10

c)x=-10, y = -10 d) x = 10 , y = -10

40. Para los vectores: A = (-5,2,6) , B = (- 4,2,1) la operación B - A es: a) (8, 0, -5) b) ( 1, 0, 5) c) ( -1, 0, -5) d) ( 1, 0, -5)

41. A partir de los vectores A = (5x, 3, 4) ; B = ( 3, 2y, Z) Cual es el valor de x, y, z que satisface la igualdad

entre los vectores?

a) x= 2 y = -3 z = 5 b) x= 3/5 y = -3/2 z = - 4

c)x= 1/2 y = 6 z = 7 d) x= 3/5 y = 3/2 z = 4

42. Siendo los vectores: A = (3, - 4 ,8) , B= ( 8,-14,1) la operación //2A - B// es igual a :

a) √51 b) √100 𝑐) ( -2, 6, 15) d) √265

43. Siendo los vectores: A = (3, - 4 ,8) , E = ( x-1, 5, 1) , determine X para que E⋅ 2 A = 0

a) x = -1 b) x = ( 6, -8, 16) c) x= √22 d) 𝑥 = 5

44. Indique cuál de estas propiedades entre vectores corresponde a la propiedad distributiva de un escalar

respecto a la adición de vectores:

a) ( m+ n ) A = m A + n A b) (m n) A = m (nA)

c)m ( A+B) = mA + m B d) Ninguna de las anteriores

33



Unidad 1

45. Identificar la propiedad que usa el producto escalar en 𝑅𝑛:

a) A + B = B + A b) A + 0 = A c) 1 A = A d) ( A+B) ⋅ C = A⋅ C + B ⋅C

46. Cuál de las siguientes propiedades es una de las propiedades básicas de la igualdad de vectores?

a) Reflexiva b) Simétrica c) Transitiva d) Todas las anteriores

47. Dados los vectores A = ( 2, 3, 5) B=( 4, 7, 8) C = ( 1 0, 1, 2, 4) D = ( 7, 9, 3, 1)

Cuál operación es posible?

a) D + B b) B + C c) A + B d) A + C

48. ¿Cuál de los siguientes enunciados se deben tomar en cuenta al restar vectores?

a)Que tenga el mismo número de componentes b) Cambiar el signo al minuendo

c)Cambiar el signo al sustraendo d) a y c son correctas

49. ¿Cuál vector posee norma igual a cinco (5) , para que 𝑥 = 0; 𝑥 = 4 ?

a) ( x-7 , 2) b) (1, 6-x) c) (4,3, x) d) ( x-2, 1)

50. ¿A qué se le llama Norma de un vector?

a) A la raíz cuadrada negativa de la resta de los cuadrados de las componentes de dicho vector.

b) A la raíz cuadrada de la suma de las componentes de dicho vector.

c) A la suma de los cuadrados de las componentes de dicho vector

d) A la raíz cuadrada no negativa de la suma de los cuadrados de las componentes de dicho vector.

51. Son propiedades que se verifican en el conjunto de los Números Naturales:

a) Es infinito b) Es ordenado c) Tiene un último elemento d) a y b son verdaderas

52. Se considera una operación Entera:

a) Potenciación b) Radicación c) Multiplicación d) Todas las anteriores

53. Es una operación interna en el conjunto de los Números Reales:

a) Radicación b) División c) Potenciación d) Todas las anteriores

54. Es una propiedad del conjunto de los Números Enteros:

a) Es un conjunto ordenado e ilimitado en ambos sentidos

b) Posee un primer y último entero

c) A todo numero entero le sigue otro entero

d) Todas son verdaderas

55. Ley que pertenece solo a la adición:

a) Ley del recíproco

b) Ley distributiva de la multiplicación respecto a la adición

c) Ley del opuesto o inverso aditivo

d) Todas son verdaderas

34



Unidad 1

56. Sean los vectores A= ( -6, -3, -12) , B = ( -4, 6, 11)

El resultado de la operación 2A + 3B es:

a) ( 24, -12, -9) b) ( 8, 5, -3) c) ( -24, 12, 9) d) (- 12, 18, 33)

57. Sean los vectores A= ( 5, -6, 4) , B = ( 7, -5, -3)

El resultado de la operación A + B es:

a) ( 2, -1, -7) b) ( 12, -11, 1) c) ( 12, 11, -7) d) Ninguna de las anteriores

58. Siendo los vectores dados A= ( 2, -2, 3, -3) , B = ( -1, 2, -3, 4) la operación = A⋅ B es:

a) 12 b) 8 c) -27 d) 27

59. Considerando los vectores dados A= ( -6, 4, 3) , B = ( 4, -3, 5) , C = ( 3, 8, 4) entonces //A//[A⋅ B] es:

a) 7√52 𝑏) 21√52 𝑐) 36√61 𝑑) -21√61

60. Siendo los vectores dados A= ( 4, 2, -5) , B = ( 5, 3, -2) la operación 4 A + 5B es :

a) ( -9, 5, 8) b) (-13, -9, 25) c) ( 8, 6, 24) d) ( 41, 23, -30)

61. Si A = (4, 3) , B= ( 6, 0) , la expresión //A+B// ≤ //A// + //B// corresponde a:

a) √49 < 12 𝑏) √50 < 11 𝑐) √109 < 11 𝑑) Ninguna de las anteriores

62. Un vector asociado es:

a) Un conjunto de objetos llamado vectores

b) Trabaja con cantidades consideradas de la manera más general

c) B = k A , donde k es escalar distinto de cero

d) Ninguna de las anteriores

63. En el conjunto de los Números Naturales , a todo numero natural siempre le sigue:

a) Un entero b) Un natural c) Un racional d) Un irracional

64. ¿Cuáles son las operaciones internas en el conjunto de los números reales? :

a)Suma, Resta y Radicación b) Multiplicación, División y Radicación

c)Suma, Resta, Multiplicación y División d)Suma, Resta y Potenciación

65. ¿Cuál de estos casos corresponde a la ley conmutativa de la adición?

a)(A + B) + C = A + ( B+C) b) (A + B) + C = C + ( A+B)

c)(A + B) ⋅ C = A⋅C + B⋅C d)(K m) A = A ( km)

66. El resultado de A+B siendo A = ( 2, -5, 3) , B = ( -1, -2, 4) es:

a) ( -1, -7, 7) b) (-2, 10, 12) c) (1, -7, 7) d) ( 4, 1, -2)

67. El resultado de C-A siendo A = ( 2, -5, 3) , C = ( 4, 1, -2) es:

a) ( -2, -6, 5) b) (2, -6 , 5) c) (2, 6, 5) d) ( 2, 6, -5)

35



Unidad 1

68. Al efectuar la operación V ( a+b) = Va + V b hemos utilizado la propiedad:

a) Conmutativa de la suma b) Elemento neutro

c)Asociativa de la suma d) Distributiva de la multiplicación respecto a la suma

69. Al multiplicar un vector por un escalar obtenemos:

a) Vector b) Escalar c) Un espacio vectorial d) Un ángulo

70. ¿Cuál de estos números pertenece al conjunto de los números irracionales?

a) 3

2 b) 𝜋 c) √9 d) √−5

36



Unidad 1

Cuestionario Unidad No. 1

Después de leer cada pregunta planteada, indique correctamente la respuesta que

corresponde a cada una.

1. Si ( 4, X-1,8,2) = (Y,2,3,4) + (5,3,Z,2W) entonces X = ?

2. A partir del vector ( 2,6,5,4,3) un vector asociado al A , cuya tercera componente sea quince es:

3. Si A - B = 0 entonces B es :

4. Cuando A +B = 0 entonces A es:

5. Siendo ( 4, X-1,8,2) = (Y,2,3,4) + (5,3,Z,2W) entonces W = ?

6. Para ( 4, X-1,8,2) = (Y,2,3,4) + (5,3,Z,2W) entonces Y = ?

7. El Vector opuesto a M = ( 2, 5, -1) es ?

8. La norma del vector H =(2,5,1) es:

9. Cuántas componentes posee un vector en un espacio n-dimensional?

10. Siendo M = (1,-5,7) entonces 2M -M = corresponde a?

11. Si C+B = C entonces B es:

12. A partir del vector H =(2,5,1)

a) Elija un valor de K = numero par

b) Forme un vector asociado a N= kH

c) Determine la norma de N

d) Forme el vector opuesto de N

e) Cuál es la dimensión del espacio al que pertenece el vector N ?

37



Unidad 1

BILIOGRAFIA CONSULTADA Poole, David (2006). Algebra Lineal. Una introducción moderna. (Segunda edición). Mexico: Thomson Learning Iberoamerica. Grossman, Stanley I. ( 1996). Algebra Lineal. (Quinta edición). Mexico: MacGraw-Hill Interamericana. Zill, Dennis G.; Dewar, Jacqueline M. (1999). Algebra y Trigonometria. ( Segunda edición actualizada). Colombia: McGraw-Hill. Interamericana S. A.

Millar, Charles-Heeren; CERN-Homsby,John. (2006). Matemática. ( Décima edición). México: Pearson.

Zill, Dennis G.; Dewar, Jacqueline M. (2008). Precálculo con avances de Cálculo. (Cuarta edición). México: McGraw-Hill. Interamericana Editores S. A. Báez Veras, José Justo;De Peña Olivares, Rosa Cristina.(2010). Manual de Prácticas. (Décima edición). República Dominicana: Editora Universitaria UASD. Notas de Cátedra de: Mateo, Tulio; De Peña, Rosa. (2007). Curso de Algebra Superior. Navarro Peña, Tomás Darío. (2008).Apuntes de Algebra Superior.

Direcciones Electrónicas:

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/ConjuntosNumericos.htm

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Numeros_reales.html

http://es.wikiversity.org/wiki/Principales_conjuntos_num%C3%A9ricos

http://es.wikipedia.org/wiki/Notaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

http://www.ditutor.com/numeros_naturales/conjuntos_numericos.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial

http://es.wikipedia.org/wiki/Subespacio_vectorial

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http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial

http://es.wikipedia.org/wiki/Subespacio_vectorial

unidad 1 conj_num y_esp._vect._algebra superior _rosadepena

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