ITMINSTITUTO TECNOLÓGICO DE MÉRIDA

DEPTO: INGENIERIA QUÍMICA

MATERIA: INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL

SEMESTRE: 7DO SEMESTRE

UNIDAD 2

PROFESOR

ING. JOSE LUIS GASCA HEREDIA

TAREA 1

RESUMEN

1.1 SISTEMAS DE PRIMER ORDEN.1.2 SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN.1.3 SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR.

PRESENTA: RODRÍGUEZ SANTIAGO JORGE MARIO

MÉRIDA, YUCATÁN, A 16 DE ABRIL DE 2015.

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ÍNDICERESPUESTAS DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN A DIFERENTES ENTRADAS..............................................................................................................3

PROCESOS AUTORREGULADOS.........................................................................4

SISTEMAS DE PRIMER ORDEN MAS TIEMPO MUERTO....................................5

PROCESOS CARACTERIZADOS POR MAS DE UNA VARIABLE........................7

SISTEMAS LINEALES DE SEGUNDO ORDEN......................................................9

SISTEMA CRITICAMENTE AMORTIGUADO........................................................11

SISTEMA SUBAMORTIGUADO (POLOS REALES).............................................12

SISTEMA CRITICAMENTE AMORTIGUADO (POLOS REPETIDOS)..................12

SISTEMA SOBREAMORTIGUADO (POLOS COMPLEJOS)................................12

SISTEMAS DE ORDENES MAYORES..................................................................15

PROCESOS “MULTIPLE INPUT – MULTIPLE OUTPUT” (MIMO)........................16

SISTEMAS CON RECIRCULACIÓN......................................................................18

CONVERSIÓN ENTRE LA FORMULACIÓN DE ESTADO Y LA DE FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA.................................................................................................19

CONCLUSIÓN.......................................................................................................21

BIBLIOGRAFIA......................................................................................................22

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SISTEMAS DE PRIMER ORDEN.

Se denominan sistemas de primer orden a aquellos en los que en la ecuación general aparece solamente la derivada primera del lado izquierdo (el de la variable de estado). O sea que se reducen al formato siguiente:

Donde k se denomina ganancia del proceso y es la constante de tiempo del sistema. En general encontraremos que la ecuación está escrita en función de las variables “desviación” respecto al valor de estado estacionario. Por lo tanto en general y(0) = 0 ,u(0) = 0 . Tomando transformadas de Laplace:

RESPUESTAS DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN A DIFERENTES ENTRADAS.Seguimos manejándonos con el esquema

Donde:

Escalón de magnitud a tiempo t = 0. Sabemos que U

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Por lo tanto:

Tomando antitransformadas:

O bien:

Que escrito en esta forma adimensional es:

PROCESOS AUTORREGULADOS.Son aquellos en los cuales un cambio en las variables de entrada conduce a un nuevo estado estacionario en forma automática. Por ejemplo los sistemas de primer orden.

Veamos un ejemplo: un RCAI con una reacción química de primer orden r = k C Del balance de masa

En estado estacionario dc/dt=0

Restando la ecuación de balance en estado estacionario:

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Que es de la forma:

Con:

SISTEMAS DE PRIMER ORDEN MAS TIEMPO MUERTO.Muchas veces en los procesos industriales se introducen tiempos muertos; particularmente en la industria química suelen asociarse al transporte de fluidos por cañerías. Por ejemplo, en el siguiente esquema, si se produce un cambio en la concentración de entrada Cin puede demorar un cierto tiempo en que dicho cambio llegue a la entrada del tanque.

La forma general de estos procesos será:

Y en el ejemplo será:

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Del balance de masa en el tanque:

Llamando y tomando transformadas

Si en un proceso de primer orden con tiempo muerto hay un cambio en escalon de magnitud de ΔU a tiempo t=0

Antitransformando:

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PROCESOS CARACTERIZADOS POR MAS DE UNA VARIABLE.Cuando un proceso está caracterizado por más de una variable de estado, la(s) salida(s) puede(n) estar dada(s) por varias funciones de transferencia. Consideremos por ejemplo un tanque agitado calentado eléctricamente, a caudal constante.

Del balance de energía:

Si el proceso estaba inicialmente en estado estacionario:

Entonces:

O escribiendo en variables desviación:

El termino vp/w tiene unidaddes de tiempo y puede llamarse T, y la constante de tiempo del sistema.

A su vez 1/wC puede denominarse K, la ganacia del sistema, pues relaciona la variable de entrada con la de salida en estado estacionario:

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O sea que escribimos:

Tomando transformadas y como T’(0)=0

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SISTEMAS LINEALES DE SEGUNDO ORDEN.Consideramos un sistema de segundo orden con parametros constantes:

Tambien se puede escribir esa misma ecuacion de esta forma:

Donde:

Y se llama

K: ganancia (unidades de salida/entrada).

: factor de amortiguamiento.

periodo natural

Si tomamos tranformadas de laplace:

Y asumimos que las condiciones iniciales son nulas ( lo cual es cierto por que trabajamos con variables de desviacion).

Las raices del denominador de la funcion de transferencia se llaman polos , y tienen una importancia fundamental en el comportamiento del sistema.

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RESPUESTAS A ESCALON PARA SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN.

Según los casos anteriores el comportamiento va a ser distinto:

Sistema sobreamortiguado (polos reales y distintos) – el denominador se puede factorizar de la siguiente manera.

Y por lo tanto son:

O bien:

O bien:

Como se verá, se puede pasar de una expresión a otra fácilmente.

La respuesta a un escalon de altura ΔU estará dada por:

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a mayor factor dumping la respuesta es mas lenta.

SISTEMA CRITICAMENTE AMORTIGUADO.(polos repetidoses el caso límite del anterior para una entrada en escalon de altura ΔU la respuesta es:

SISTEMA SUBAMORTIGUADO.

(polos complejos conjugados)

En este caso, para una entrada en escalón la respuesta es oscilante, y la oscilación será cuanto menos sea el factor de dumping.

Donde:

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Respuestas a un pulso de sistema de segundo orden.

Al igual que antes el tipo de respuesta variara según el valor del factor de dumping, o lo que es igual según los polos.

SISTEMA SUBAMORTIGUADO (POLOS REALES)

SISTEMA CRITICAMENTE AMORTIGUADO (POLOS REPETIDOS).

SISTEMA SOBREAMORTIGUADO (POLOS COMPLEJOS).

RESPUESTA A UNA SINUSOIDE DE SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN.

Si la entrada varía sinuosamente en el tiempo

En el dominio Laplace:

Y la respuesta de un sistema de segundo orden será:

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Con el angulo de desfasaje será:

Y la relación de amplitud

La respuesta dependerá también de la frecuencia w.

SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN CON DINAMICA EN EL DENOMINADOR.

Ciertos sistemas mas complejos exhiben una diinamica en el numerador refiriéndonos a la expresión en el dominio de Laplace:

Se llaman ceros a las raíces del numerados. Por lo tanto la expresión en el formato “polos-ceros” es

Donde

Para una entrada en escalon de altura ΔU la respuesta es

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Un sistema con dinámica en el numerador que presenta respuesta inversa muchas veces en consecuencia de dos procesos en paralelo con distintas constantes de tiempo y que actúan en forma inversa (ganancias de distinto signo).

Llamando

Queda

La condición para que ocurra respuesta inversa es

O bien

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SISTEMAS DE ORDENES MAYORES.Supongamos que tenemos un sistema de n etapas con igual constante de tiempo t.

La respuesta a una entrada en escalón será

A mayor numero de etapas la respuesta se aproxima mas al escalon retardado en t.

En muchos casos de procesos en serie de primer orden (1, 2, ..., n), la mayoría están “dominados” por uno o dos de ellos que tienen constantes de tiempo mayores. Los demás pueden “agruparse” en un “retraso aparente”. En este caso se puede aproximar

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Procesos “Multiple Input – Multiple Output” (MIMO).La mayoría de los sistemas complejos reciben la influencia de más de una variable

de entrada así como tienen más de una variable de salida. En general la

interrelación entre las variables hace del proceso un sistema complejo.

Consideremos por ejemplo un mezclador de corrientes de líquido a distinta temperatura.

De los balances de masa y energía resultan

Considerando

Y asumiendo el área transversal constante

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Después de linealizar esas ecuaciones, pasar a variables desviación y tomar transformadas de Laplace llegamos a ocho funciones de transferencia:

Donde

Y esto se puede representar en un diagrama de bloques:

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SISTEMAS CON RECIRCULACIÓN.Otro tipo importante de sistemas que aparecen en los procesos industriales es el de aquellos en los que la señal de salida retroalimenta a la entrada.

Como

Pero

Por tanto

Reordenando

La porcion del diagrama que aparece recuadrada puede tomarse como una unica funcion de transferencia equivalente.

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Este resultado es general, no depende de las cuáles sean las funciones de transferencia involucradas. La regla general para construir la función de transferencia para un sistema con retroalimentación es la siguiente: en el numerador va el producto de todas las funciones que están entre la entrada y la salida; en el denominador, 1 menos el producto de todas las funciones que aparecen en el bucle de retroalimentación.

CONVERSIÓN ENTRE LA FORMULACIÓN DE ESTADO Y LA DE FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA.

Un mismo sistema puede representarse en el dominio del tiempo expresado como ecuación diferencial o en el dominio de Laplace como función de transferencia. Por ejemplo, para un sistema de segundo orden las siguientes formulaciones son equivalentes:

Se puede reordenar la primera ecuación de la siguiente manera

Llamando

Entonces

Y podemos reescribir como un sistema de dos ecuación diferenciales de primer orden:

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Que se puede escribir en forma general:

Donde x es el vector de variables de estado, u el de variables de entrada e y el de variables de salida. Esta representación del sistema como un sistema lineal se denomina “en variables de estado” (“state-space”) y es particularmente útil porque muchos paquetes de cálculo ya tienen incorporados algoritmos de resolución.

A su vez, si se cuenta con la representación del sistema en variables de estado se puede obtener la representación en el dominio de Laplace como función de transferencia:

Tomando transformadas

Sustituyendo

O sea que

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CONCLUSIONLos modelos de procesos quimicos son muy importantes ya que de ellos nos basamos para poder simular y controlar un proceso, el problema es que en la mayoria de estos casos estos procesos a los cuales estamos ligados estrechamente no actuan de una manera lineal, entonces para poder estudiarlos necesitamos poder esablecer un parametro en el cual podamos estudiarlos, para esto se linealiza la forma en la que trabaja este proceso y asi podremos estudiar la parte de importancia en ellos. Los sistemas de primer orden son los que corresponden a una ecuacion diferencial de primer orden, en estas aparace la primera derivada del lado izquierdo, los de segundo orden son los que estan ligados a una ecuacion diefrencial de segundo orden en estos la segunda derivada aparece del lado izquierdo y los de orden superior a una potencia superior. En general encontraremos la ecuacion escrita en forma de las variables de desviacion y es que en estas variables son las que trabajamos o las que nos interesan.

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BIBLIOGRAFIA

www.web.udl.es. (s.f.). Obtenido de http://web.udl.es/usuaris/w3511782/Control_de_procesos/Unidades_files/Cap04_10-11.pdf

www.web.udl.es. (s.f.). Obtenido de capitulo 4 segundo orden: http://web.udl.es/usuaris/w3511782/Control_de_procesos/Unidades_files/Cap05_10-11.pdf

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