El primer conjunto esta compuesto por todo el aparato de

deducción lógica utilizado para descubrir las implicaciones de las

teorías.

La deducción lógica permite al economista descubrir las

implicaciones de los supuestos, y de ahí deducir de sus teorías,

predicciones sobre fenómenos observables.

El segundo conjunto esta compuesto por todas las técnicas del

análisis estadístico que el economista necesitará cuando tenga

que contrastar sus teorías con observaciones empíricas.

En esta etapa trata de descubrir hasta que punto se sostienen sus

teorías al confrontarse con los hechos de la realidad.

Hemos observado que una teoría económica consiste en un

conjunto de definiciones y una o más hipótesis acerca del modo en

que se comporta el mundo.

Las hipótesis en teoría económica, pueden describirse con

palabras, formularse simbólicamente o, si no hay más de tres

variables representarse gráficamente en un plano de

coordenadas.

Una vez formuladas, las implicaciones de estas hipótesis pueden

derivarse a su vez por medio de:

1) un argumento verbal,

2) empleando el análisis matemático o bien

3) en forma geométrica.

En términos generales los métodos que hemos considerado son

intercambiables, cualquier paso del razonamiento lógico que

pueda efectuarse por el método geométrico o verbal puede

también hacerse por le matemático.

Pero algunos fenómenos susceptibles de tratamiento matemático

no pueden analizarse en su integridad geométrica o verbalmente.

La elección de uno de los métodos se hará a través de

consideraciones de económica y conveniencia teniendo presente

que las técnicas que se utilicen sean comprensibles para el público

al cual se dirige el economista.

La idea de que una cosa depende de otra es una de las nociones básicas en que se funda toda ciencia.

La fuerza de gravedad con que se atraen dos cuerpos depende de su masa total y de la distancia que los separa, aumentando con la masa y disminuyendo con la distancia-

Se observa que la cantidad que la gente desea comprar, depende entre otras cosas, del precio de dicho bien, cuanto más alto sea el precio, menor será la cantidad comprada.

Cuando los matemáticos quieren decir que una cosa depende de otra, dicen que una cosa es función de otra.

Así decimos que la atracción de la gravedad es función de la masa de dos cuerpos y de la distancia que los separa.

La cantidad de bienes solicitados es función del precio de los mismos.

Para formular simbólicamente las relaciones descritas debemos efectuar dos pasos:

1) Dar a cada concepto un símbolo

2) Designar otro símbolo para expresar la idea de la dependencia de un factor sobre el otro.

Si simbolizamos la atracción de la gravedad por g la masa de los cuerpos por M y por d la distancia que los separa, podemos escribir:

g = f(M; d)

En donde f se lee como «es función de» y significa «depende de». La ecuación define una hipótesis y se enuncia de la siguiente forma: «La atracción de la gravedad es función de la masa de los dos cuerpos y de la distancia que los separa»

La hipótesis de que la cantidad demandada depende del precio del producto se representa por:

qd = f(p)

En la que qd es la cantidad demandada de un bien y p su precio.

La expresión Y = f(X)

Dice que Y es una función de X. Significa que Y depende de X.

Las cantidades X e Y en su relación funcional se llaman variables. La variación de una motiva el cambio de la otra.

El concepto de relación funcional es básico para toda la ciencia económica.

La expresión Y = f(X) afirma simplemente que Y esta relacionada con X, pero no dice nada acerca de la forma de la relación.

Tomemos un ejemplo muy sencillo en donde Y sea la longitud de algo tomada en metros y X la longitud de la misma cosa medida en yardas.

Se ve claro que Y = f(X), pero conocemos exactamente la forma de esta función ya que un metro es igual a 1,09 yardas, entonces podemos escribir: Y = 0,91(X)

Este ejemplo, al ser verdadero por definición, no es un caso típico de todas las relaciones funcionales.

Consideremos un segundo ejemplo. Supongamos que C representa el gasto total de una nación en bienes de consumo durante un año, e Y, la renta total de todas las personas de la nación durante el mismo año. Expongamos ahora la hipótesis:

C = f(Y) (1)

O más específicamente:

C = 0,8 Y (2)

La ecuación (1) dice que el consumo de las economías domesticas depende de su renta.

La ecuación (2) dice, más específicamente, que los gastos de consumo serán los 4/5 de la renta de las economías domesticas.

La ecuación (2) expresa una hipótesis sobre la relación entre dos magnitudes observables.

No hay razón para que esta ecuación sea verdadera, podría no ser consistente con los hechos. Pero eso es algo que hay que comprobar. Lo que la ecuación (2) nos proporciona es una concisa afirmación de una hipótesis particular.

Resulta pues, con carácter general, que cuando existe una relación entre Y y X se anota como:

Y = f(X)

Una relación concreta puede expresarse por medio de una ecuación determinada, tal como:

Y = 2 X ; Y = 4 X² ; o Y = X + 2 X² + 0,5 X³

Si Y aumenta a medida que aumenta X (por ejemplo: y = 10 + 2 X), decimos que Y es una FUNCIÓN CRECIENTE de X, o que X y Y VARIAN PROPORCIONALMENTE. Si Y disminuye a medida que aumenta X (por ejemplo Y = 10 – 2 X), decimos que Y es una FUNCIÓN DECRECIENTE de X o que X e Y varían en PROPORCIÓN INVERSA.

La Teoría económica se basa en relaciones entre varias magnitudes. Todas estas relaciones pueden expresarse en forma de ecuaciones matemáticas. Es este hecho el que da importancia al análisis matemático dentro de la economía, ya que una vez que tengamos formuladas las hipótesis en expresiones algebraicas, podremos utilizar el método matemático para descubrir las implicaciones que correspondan a los respectivos comportamientos.

Los ejemplos de las relaciones funcionales que hemos expuesto

eran de naturaleza determinista, en el sentido de que sus

expresiones correspondían exactamente a lo que querían decir:

dado el valor de X conocíamos exactamente el valor de Y.

Sin embargo las relaciones de la Teoría Económica no son casi

nunca de esa forma.

Cuando un economista sostiene que el mundo se comporta de

manera que Y = f(X), no espera que conociendo X la relación le

de exactamente el valor de Y sino con un margen de error.

El origen del error que puede aparecer al predecir Y

basándose en un conocimiento de X estriba en dos razones muy

distintas:

La primera es la posible existencia de otras variables que también

afecten a Y.

Cuando, por ejemplo, decimos que la demanda de mantequilla es

función de su precio:

Dm = f(Pm)

Sabemos que otros factores también influyen en tal demanda. Un

cambio en el precio de la margarina afectará ciertamente a la

demanda de mantequilla sin que tenga que variar su precio.

No esperamos, pues, encontrar una relación perfecta entre Dm y Pm

que nos capacite para predecir exactamente el valor de Dm en

función de Pm

La segunda razón radica en que nunca podemos medir nuestras

variables de una manera exacta, aun cuando sea X la única

causa de Y, las correspondientes estimaciones nos darán distintos

valores de Y para un mismo valor de X.

En el ejemplo de la demanda de mantequilla, los errores debidos

a la medición pueden no ser muy grandes.

En otros casos los errores serán sustanciales como por ejemplo al

medirá la relación entre el gasto total en consumo de bienes C, y

la renta global Y:

C = f(Y)

En este caso las valoraciones de C e Y están sujetas a un

margen de error mucho mayor y podemos observar varios

valores de C para uno solo de Y, no porque C varie

independientemente de Y, sino porque el error cometido en la

valoración difiere de periodo en periodo.

Si todas las causas que afectan el valor de Y, excepto X, se

resumen en el termino de error Ɛ, podemos escribir

Y = f(X, Ɛ)

Que significa que el valor observado de Y esta en relación con

el valor observado de X y con muchas otras cosas, errores de

observación y otros factores causales, los cuales se agruparán

bajo la denominación de Ɛ (épsilon).

En la Teoría Económica este error es casi siempre ignorado y se

procede como si todas las relaciones funcionales fuesen

determinadas.

Es importante recordar, ya sea cuando se trate de interpretar la

teoría en términos del mundo real, ya sea cuando se trate de

contrastarla formalmente mediante observaciones empíricas, que

las formulaciones determinadas son una simplificación y que el

termino de error esta siempre presente, tanto en las relaciones

funcionales supuestas como en las observadas.

Una relación funcional refleja una relación entre dos o más variables. Tales relaciones pueden ser expresadas verbalmente, gráficamente o a través de ecuaciones matemáticas. Son tres métodos alternativos de expresar exactamente lo mismo.

Como ejemplo, consideremos la supuesta relación entre el gasto anual de una economía domestica en todos los bienes y servicios que consume (C) y su renta anual disponible (Y). La relación puede expresarse de uno de los tres modos siguientes:

1) Exposición Verbal: Cuando la renta es cero, la unidad familiar gastará 800 bolivianos al año (tomando en préstamo dinero o consumiendo ahorro anterior), por cada boliviano de renta adicional, descontando los impuestos (llamada renta disponible) incrementará sus gastos en 0,8 bolivianos.

Exposición Verbal: Cuando la renta es cero, la unidad familiar gastará 800 bolivianos al año (tomando en préstamo dinero o consumiendo ahorro anterior), por cada libra de renta adicional, descontando los impuestos (llamada renta disponible) incrementará sus gastos en 0,8 bolivianos.

Exposición geométrica.

Exposición matemática: (algebraica)

C = 800 + 0,8 Y

10

8

6

4

2

0 2 4 6 8 10

Renta anual (miles de bolivianos)

Ga

stos

anu

ale

s (m

iles

de b

oliv

iano

s)

RELACIÓN ENTRE EL GASTO Y LA RENTA

Ya que utilizaremos frecuentemente las representaciones gráficas

de las relaciones funcionales, es conveniente considerar las

técnicas gráficas con más detalle.

Volvemos a la relación entre el gasto anual y la renta anual

disponible de una hipotética economía domestica:

C = 800 + 0,8 Y (3)

Es conveniente referirnos a ellos como la función de consumo de

las economías domesticas. Para cualquier valor de Y

especificado, podemos usar la función de consumo en (3) para

determinar el valor correspondiente de C .

Comencemos por tomar cinco valores diferentes de renta, 0 ,

2500 , 5000, 7500 , 10.000 bolivianos calculando el nivel de

consumo asociado a cada uno de ellos.

El cuadro muestra estos valores, asignando una letra a cada par

de valores para posterior referencia, posteriormente llevaremos

los datos del cuadro a una gráfica.

Y C Letra de referencia

0 800 A

2500 2800 B

5000 4800 C

7500 6800 D

10000 8800 E

VALORES SELECCIONADOS DE LA FUNCIÓN

C = 800 + 0,8 Y

(en bolivianos)

Para hacerlo, tomemos cada par de valores (es decir un valor de Y

con su correspondiente de C) y dibujémoslo como un punto en un

sistema de coordenadas.

Esto hemos realizado en la gráfica izquierda, en la gráfica de la

derecha hemos pasado una línea continua por todos los puntos-

10000

8000

6000 4000 2000 0

Renta disponible

Ga

stos

de c

ons

umo

10000

8000

6000

4000

2000

10000

8000

6000 4000 2000 0

Renta disponible

Ga

stos

de c

ons

umo

10000

8000

6000

4000

2000

A

B

C

D

E

Una vez dibujada la línea, que es la función C = 800 + 0,8 Y en el intervalo de Y = 0 a Y 0 10000 no resulta ya necesaria la cuadricula, así que la suprimimos.

Para algunos propósitos no debemos preocuparnos por los valores numéricos de la función, nos contentaremos con representarla como una línea recta con pendiente positiva, como en el grafico de la derecha.

0 10000

8000

6000 4000 2000

Renta disponible

Ga

stos

de c

ons

umo

10000

8000

6000

4000

2000

Y₂

C₂

Y₁ 0

Renta disponible

Ga

stos

de c

ons

umo

C₁

La gran ventaja de la ilustración gráfica de las relaciones funcionales

es que podemos comparar fácilmente las diferentes relaciones sin

especificarlas de una forma numérica precisa.

Supóngase que queremos comparar y contrastar tres economías

domesticas cuya conducta se describe en los siguientes supuestos

generales:

1) Las tres tienen la misma cantidad de

consumo cuando su renta disponible es

cero. Esta cantidad es mayor que cero,

lo que implica que deben consumir

ahorro pasado o endeudarse.

2) Como respuesta a un incremento de

renta disponible de 1 boliviano, R

incrementa su consumo más que S y S

más que T.

3) La respuesta del gasto de consumo de

cada economía domestica a un cambio

de un boliviano en su renta disponible

es la misma cualquiera sea el nivel de

renta disponible existente.

b 0

Renta disponible

Ga

stos

de c

ons

umo

c P

R

S

T

C

Y

a

Exponer en palabras estas suposiciones es incomodo y largo, es

mas fácil ilustrarlo a través de una gráfica.

El hecho de que todas las líneas de consumo partan de un mismo

punto expresa el supuesto de que todos gastan la misma cantidad

(0a, o simplemente a) cuando su renta disponible es cero.

El tercer supuesto se muestra por el hecho de que cada unidad

familiar presenta una relación rectilínea entre C e Y; así por

ejemplo la variación de C por el cambio de una unidad en Y será

igual en cualquier lugar de la línea R en el que se mida.

El segundo supuesto se muestra por el hecho que la línea R es

más inclinada que la línea S , que a su vez tiene mayor pendiente

que la línea T. Cuanto más inclinada sea la línea mayor será la

variación en C para un cambio en Y.

Así pues, las relaciones generales entre dos o más funciones

pueden ser analizadas y especificadas gráficamente sin incurrir en

especificas relaciones cuantificadas.

Las mismas generalizaciones pueden expresarse también

algebraicamente:

CR = a + b YR

CS = a + c YS

CT = a + d YT

Donde los subíndices R, S y T nos dicen a que renta y consumo nos

referimos.

El supuesto 1 significa que en las tres ecuaciones es el mismo valor

(a)

El supuesto (2) significa que b > c > d.

El supuesto (3) significa que todas las ecuaciones son lineales.

Hasta aquí hemos expuesto las diferentes formas por medio de

las cuales pueden describirse las relaciones funcionales: verbal,

gráfica y matemáticamente.

Cuando se han expuesto las relaciones funcionales de una teoría,

debe pasarse a descubrir que implican tales relaciones.

Se deberá elaborar proposiciones como: «si pueden sostenerse

las relaciones a y b, entonces necesariamente también se

sostendrá la relación c».

Este proceso de elaborar deducciones lógicas de las teorías,

podrá emplear a su vez los tres tipos de razonamiento antes

expuestos: el verbal, el geométrico o el matemático.

Sus principales objetivos serán:

1) Preocuparse de que el proceso de razonamiento sea correcto, de tal

manera que pueda descubrir las implicaciones verdaderas de la teoría;

2) Que sea eficaz para descubrir todas las implicaciones posibles de la

misma.

La utilización de las matemáticas en el razonamiento económico no parecería

ser apropiado para describir la conducta humana tan sutil y compleja, sin

embargo su utilización además de aportar más rigor a nuestro análisis es

comparable a la utilización de un lenguaje como el ingles o el italiano, con la

ventaja que las matemáticas son un lenguaje universal.

Las matemáticas no constituyen ni el hacedor ni el destructor de la buena

teoría económica. Las matemáticas son un instrumento lógico que sirve para

derivar implicaciones de los supuestos. Las ventajas de las matemáticas son

eficacia y poder, pero los supuestos irrelevantes o fácilmente incorrectos

conducirán a implicaciones irrelevantes o fácticamente incorrectas,

cualesquiera que sean los instrumentos lógicos utilizados.

Podemos ilustrar el proceso de deducción lógica en la economía con una sencilla manipulación de la función de consumo de las economías domesticas antes empleada: C = 800 + 0,8 Y.

Esta claro que cuando la renta (Y) es cero, la economía domestica utiliza antiguos ahorros o incurre en deudas a una tasa de 800 bolivianos al año, también es evidente que un incremento en la renta disponible de 1 boliviano lleva a un incremento en el consumo de 80 centavos de boliviano.

Existirá un nivel de renta al que la economía domestica no incurrirá en deudas ni le quedará renta por gastar, este nivel se halla cuando C y Y son iguales. Para resolverlo algebraicamente necesitaremos dos ecuaciones simultaneas:

C = 800 + 0,8 Y

C = Y

La primera nos dice como varia el consumo con la renta, la segunda impone la condición de que el consumo debe ser igual a la renta disponible.

Si resolvemos las ecuaciones simultáneamente , descubriremos que el «nivel justo» de renta (en el que no se requiere préstamo, ni produce excedente) de esta economía domestica es 4000 bolivianos.

10

8

6

4

2

0 2 4 6 8 10

Renta disponible

Ga

stos

de c

ons

um

o

C = Y

C = 800 + 0,8 Y

RELACIÓN CONSUMO-RENTA

(en miles de bolivianos) A cualquier nivel de renta

inferior a 4000 bolivianos el

gasto supera la renta, a

cualquier nivel de renta

superior a 4000 bolivianos el

gasto es inferior a la renta.

Como ejemplo final del razonamiento teórico elemental,

preguntémonos en cuanto se incrementará el nivel de renta si la

conducta de la económica domestica cambia de tal forma que, a

cada nivel de renta, el consumo es 800 bolivianos mayor que

antes:

C = 1600 + 0,8 Y

Para hallar el nuevo «nivel justo» de renta resolvemos la ecuación

anterior para C = Y, el resultado será 8000 bolivianos-

Así cuando el consumo se incrementa en 800 bolivianos a cada

nivel de renta, el «nivel justo» de renta, aumenta en 4000

bolivianos.

Este resultado es quizás un poco menos obvio que los anteriores.

Lo primero que debemos preguntarnos es si es un accidente que

depende de lo número elegidos o si se trata de una relación

general ilustrada en este ejemplo.

La utilización del algebra probará que con la función de consumo:

C = a + 0,8 Y

Cualquier cambio en la constante a en una cantidad ∆a

modificará el «nivel justo» de renta e 5 (∆a). Por tanto la relación

es constante para esta función.

Debemos preguntarnos ahora por otras funciones de consumo,

considerando solo las lineales tomemos la ecuación:

C = a + b Y

De nuevo una sencilla experimentación nos mostrará que, si a

cambia en una cantidad ∆a, el nivel justo de renta cambiará en

una cantidad Δ𝑎

1 −b

Es un resultado general que engloba todas las funciones de

consumo en línea recta.

Partiendo de una sencilla hipótesis económica que relacionaba

dos variables: el consumo y la renta disponible.

Tomamos un ejemplo numérico y mostramos como podía

expresarse algebraica y geométricamente. Mostramos luego la

posibilidad de extraer sencillas deducciones lógicas implicadas

por la hipótesis.

Al principio esas deducciones eran obvias, pero la última no era

tan obvia como las demás.

Nos preguntamos si ese resultado era un accidente dependiente

de los números particulares escogidos y descubrimos que solo

existe una respuesta a la función C = a + b Y, y tras un posterior

experimento mostramos que existe un solo resultado general para

todas las funciones lineales de consumo:

El aumento de nivel de Y 11 −𝑏 veces el de la constante a

Todo lo que hemos visto nos ilustra como los instrumentos del

análisis lógico nos permiten descubrir lo que implican nuestros

supuestos.

Muestra también como el esfuerzo teórico tiende a ser

acumulativo: obtenemos un resultado posiblemente obvio, y esto

nos sugiere a la vez otro posible resultado, lo comprobamos

descubrimos que es cierto y que a su vez también nos sugiere otro

nuevo resultado.

La idea de la MAGNITUD DE LA VARIACIÓN de una variable en

relación con la variación de la otra es importantísima en

Economía.

Suponemos que la demanda de un bien varia al modificarse su

precio:

qd = D(p)

Y nos interesa saber en cuanto variará la demanda al producirse

un determinado cambio del precio.

También suponemos que la producción de un bien (qs) varia al hacerlo su precio:

qs = S(p)

Así mismo es muy conveniente en este caso conocer en cuanto variará qs al cambiar el precio.

Puede suponerse que el volumen del desempleo (P) variará de acuerdo con la diferencia entre el ingreso (I) y el gasto (G)

P = ∫(I – G)

Más lo que interesa es en cuanto variará el desempleo al modificarse el déficit o el superávit presupuestario.

Existe un procedimiento matemático preciso para resolver este tipo de problema, es decir, los problemas que aparecen al quiere conocer cual será el cambio que experimentará una variable al modificarse la otra variable de la cual depende.

La parte de las metamatemáticas que trata de estos problemas

es el CALCULO DIFERENCIAL.

La mayoría de los instrumentos fundamentales del análisis

económico se basan simplemente en el uso de derivadas, es

importante que se conozca tal concepto a fin de poder

adentrarnos en el estudio de la Teoría Económica.

Es posible realizar algún tipo de trabajo especializado sin

necesidad de las matemáticas, pero para una investigación

aplicada o la lectura de algunos textos teóricos su conocimiento

es imprescindible.

Practico n° 2

1) Terminología de las relaciones funcionales matemáticas.

2) Condiciones necesarias y suficientes.

3) Variables independientes.

4) Variables exógenas y endógenas.

5) Flujos y stocks

6) Identidades y ecuaciones

7) Algunos convencionalismos sobre la notación de funciones

8) Representación grafica de la ecuaciones

9) Rectas, pendientes y tangentes

10) Funciones no-lineales

11)Valores máximos y mínimos

12) Funciones de más de dos variables

13)Derivadas parciales