solucionario analisis matematico iii-

www.FreeLibros.net

A n lis is M atem tico III

www.FreeLibros.me

.FreeLibros.net

ANLISIS MATEMTIC011IPARA ESTUDIANTES DE CIENCIA E INGENIERIA

{1ER EDICIN)

m

X

E D U A R D O E S P I N O Z A R A M O S

LIMA - PER

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

NDICE

1. CAPITUL011.1. SUPERFICIES CUADRTICAS..................................................................... .................1I.S. FUNCIONES DE VARIABLE VECTORIAL................................................Efi1.3. LMITES DE FUNCIONES VECTORALES................................................. 2?

E. CAPITULO 2B.1. FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL......................................34

3. CAPITULO 33.1. FUNCIONES DE VARAS VARIABLES.................................................... -.59

4. CAPITULO 44.1. LMITES..................................................................... ......................W4.2: C O N T IN U ID A D .................................................. ,....... ,...,......... 164

4.3. DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE DE UNA FUNCIN DE VARIASVARIABLES.... .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................SI\4.4. MXIMOS Y M IN IM OS............................................................33E

4.5. GRADIENTE V ROTACIONAL................ ,...,......... ......... ................_351

5. CAPITULO 5

5.1. INTEGRALES DOBLES.......................................... .............. .............3595.2. VO L M EN ES.................................................................................419

5.1. COORDENADAS POLARES..................................................................*4B5.2: A r e a de u n a s u p e r f i c ie ................................................... mi

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

- E5eY:y=*^=>M + =*M 4 |y|=t-zSi hay

- EgeZ:z=^z

= M + ly I =&i Con el ce Y: x=st= =y^Q Con el eE Z: x=^ =tz=(J

b) Las liazas sobre las planas coondEnadcs: Sobre el plano XY, se haoE: z=k 9x,+4yt=k

Familia de elipses con centro en el origen y eje focal paralelo al eje V.

Sobre el plano se hace: y^ =0=. 12z=9b*Familia de parbalas con vrtices en e1 crinen y eje focal paralelo al eje Z.

c) Lmenlas:

En el orisen: ( w > =* C*,-y,-s>=*. 9r;-x>i++r-y;ji=1B(-z) = !b+4y*=-1Eii No hy

En tosejes coordenados:Eje X;k =-x

=> +4/=1 Ez =t ft +4/=12z Si hay- EjeY:y=t^

=t :'1+4-yj1=l Ez =! '5x1+4yi=iaz Si hay- Eje Z: z =t- -z

=t 'W ^ I S(-z) =t qj+4y*=-1 fe No hay En los planes coordenados;

- Plano Z: {*,*)=* (-x-y)=a q

www.FreeLibros.net

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

EDUARDO E5P1 NOZA RAMOS j

c) Las trazas sobre los planos coordenados:

Sobre el plano XY, se hace: z=k =/x+-/y W k = 1

Familia de curvas con vrtice en C(0,0)

Sobre el plano XZ, se hace: y=k = i/x -t-Vz +Vk = 1 Familia de curvas con vrtice en C(0,0)

Sobre el plano V^. se hace: x=k = V z+ V y+Vk = 1

Familia de curvas con vrtice en C(O,0)

d) Simetras: En los ejes coordenados:

- EjeX:x=*-x, x/^x+Vy W z = 1 No hay

- E^ey:y=>-y, x/x+,/y-i-/^z=1 No hay

- E je z :z ^ -z , >/x-*-^yW^s = 1 Nohay

Bn los planos coordenados:- Plano Z: (x,y,z) => (-x,-y, z)

Nohay

- Plano X (x,y,z) =* (x,-yt -z)

J x * n fy + J^z = \ Nohay

- Plano Y: (x,y^> = (-x,y,-z)

V^x+Vy+V-z = l Nohay

1 ( BWUmPOESPWaZABAMOS

Graficamos:

o *l+z*=Ts(y)

a) Extensin. El dominio:y0=* D = {(x,y)e9*/yaO}

El rango: R = {zeiR}

b) Intersecciones con los ejes coordenadas: Con el eje X: y=0 z=0=>x=0 Con el eje Y: x^) z=0=>y=0 Con el eje Z: x=y=0 z=0

c) Las trazas sobre los planos coordenados: Sobre el plano XV, se hace; z=k => x*+k=Tg(y)

Familia de curvas con vrtice en C(0,0)

Sobre el plano XZ, se hace: y=k => x?+z*=k Familia de circuios con centro en C(0,0)

Sobre el plano YZ, se hace: x=k^k+z*=Tg(y) Familia de curvas con vrtice en C(0,0)

SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMATICO III w edukaeruoom SOLUCIONAfbO ANALISIS MATEMATICO III

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

En los planos coordenados:Plano xz: y= -y => x*+j?=Tg(-y) => xVz^-TgCy) No hay Plano xy: z=> -z = x*+(-z)*=T8(y) => x'+z^TgCy) Si hay

- Plano yz x=>-x =* (-x)*+z*=T!j(y) => j+^=Tg(y) S hay

E)eZ:(x,y)=.(-x,-y) x+^=Tg(-y) No hayEJeX:(y,z)=* x*+^=Tg(-y) NohayEje Y: (x,z) => (-x,-z> x*+z* = Tg(y) Si hay

Con el eje Y: y=0 z=0 =>y=0 Con el eje Z: x=y=0 =>zxO

c) Las trazas sobre los planos coordenados:

Sobre el plano XV, se hace: z = k= x* =2x+4k

Sobre el plano XZ, se haoe: y = k => X1 =2x-t-4z

Sobre el plano YZ, se hace: x = k=> k*=2x+4z

d) Simetras: En los planos coordenados:

Plano xz: y => -y => x*+2x+4z Si hay- Plano xy: z => -z =* xi+2x+4(-z>=2x^z =* No hay

Plano yz: x => -x => (-x)*=2(-x)+4z =s- x=-2x+4z Nohay

En los ejes coordenados:- Eje Z: (x,y) => (-x,-y); (-x)*=2(-x)+4z =>x=-2x+4z Nohay- EjeX:(y,z) =>(^ ,-z ); x =2x+4(-z) =***=2x-4z Nohay- Eje Y: (x) => (-x,-z); (-x)*=2(-x)+4(-)z =*x*=-2x-4z Nohay

a) Extensin. El dominio:*z=x*-2x => D = {(x,y) 9&)

El rango: R = {zeSR}

Con el eje X y=0 z=0

Graficamoe: 4z=(x-l)*-1

Twww.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

a) Extensin. El dominio:z=2-y*=D = {(x,y)M*}

H. Rango: R={ze9tfe2}

b) Intersecciones con los ejes coordenados, Con e) eje X: y = 0; z = 0 => No hay

Con e) eje Y: x = 0 ; z = 0 => y=W2 Cone)ejeZ:x = y = 0 = z = 2

c) Las trazas sobre loe planos coordenados: Sobre el plano XY, se hace: z=2+k => rectas Sobre el plano XZ, se hace: y=2+k => rectas

Sobre el plano Yl, se hace: no existe

4x*+9yV=36

a) Extensin. El dominio:

z*=4x*+9y*-36 => 4x*+9y*-36a0 =s

D = {(x .y )4^ * + s l}

d)En los planos coordenados:- Plarvo xz: y => -y => y*+z=2 => Si hay

Plano xy. y => -z = y*-z=2 => No hay Plano yn x =* -x => Si hay

Con el ejeX: y = 0 ,z = 0 =>x=3

Con el eje Y: x = 0 ;z = 0=>x=2Con el eje Z: x=y=0 No hay

En los ejes coordenados:- Eje Z: (x,y) => (-x,-y) ; yi+z=2- HjeX(y,z)=*(-y,-z);y-z=2- Eje Y: (xt) =* (-x,-z); y*-z=2

Si hay No hay No hay

Sobre el plano XY, se hace: z=k => 4x* + 9y*-36=k=> elipsesSobre el plano XZ, se hace: yak => 4x*-z*=3 hiprbolasSobre el piano YZ, se hace: x=k = 9y>-z*=36 hiprbolas

I SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMATICO III wwwodutam; oom I w w o d u k p o w . c c m SOLUCIONAR ANALISIS MATEMTICO III I

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

En los ejes coordenados:- Eje Ti (x,y> => (-x,-y) 3x*-6y*+2z?=6 =s- EjeX(y,z)=*(-y,-z)3x*-6y*+2z?=6=- Eje Y: (x,z) = (-x,-z) 3xi-6yi+2z*=6 =s

G 3x*-6y,+22?=6

a) Extensin. El dominio:

El rango: R={zeR}b)

Con el ejeX: y=0 z=0=>x=v2Con el eje Y: x=0 z=0 = -y*=6 No hay

Con el eje Z: x=y=0 =>z=V3

c) Las trazas sobre los planos coordenados: Sobre el plano XY, se hace: z=lc ; 3x* -ry1 = 6 - 2k* =

Sobre el plano XZ, se hace: y=k => 3x*+2zs =6+6^=* elipses

Sobre el plano YZ, se hacer x=k = 2z* -6 / = 6-31^ => hiprbolas


- Plano xz: y =* -y =* 3x-6y+2zi=6 =>Si hay- Plano xy: z = -z => 3x,-6y*+2zi=6 = Si hay

Piano yz: x = -x => 3x?-6/+2z*=6 => Si hay

0 z+y*-2y=0a) Extensin. El dominio:

Q rango: R= {zeSK}D = {(x,y)e*}

m los ejes coordenados: Con el eje X: y=0 ; z=0 => no hayCon el eje Y: x=0; z=0 => y=0 y=2Con el eje Z: x=y=0 ^ z=0

Sobre el plano XY, se hace: z=k ; Sobre el plano XZ, se hace: y=k Sobre el plano YZ, se hace-. x=k

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

s s s s s ^ j s s l ) . . . . . . .


Plano xz:y=s>-y= z+ys+2y=0 = No hay Plano xy: z = -z => -z+)?-2y=0 => No hay Plano yz: x =-x ^ z+y*-2y=0 => Si hay

En los ejes coordenados:- Eje Z: (x,y) (-*,-y) z+y*+2y=0 => No hay- Eje X (y) = (-y,-z) z+y*+2y=0 = No hay- Eje Y: (x,z) => (-x,-z) -z+y*+20=0 => No hay

Graficamos:

O z=(x+2)*+

El rango: R={zeWz9}

b) Intersecciones con los ejes coordenados:. Con el eje X y=0 , z=0 = 0=(x+S),+9+9 No hay Con el eje Y: x=0, z=0 => 0=4+(y-3)*+9 No hay Con el eje Z: x=y=Q => z=4+9+9=22 B==i_

.(

c) Las trazas sobre los planos coordenados: Sobre el plano XY, se hace: z=k ;(x+2)*+(y-3)!+9=k circuios Sobre el piano XZ, se hace: y=k=>(x+2)*+k+9=z parbolas Sobre el plano YZ, se hace: x=k = k+(y-3)*+9=z parbolas


- PlanoXZ:y=*-y=>zKx+2)l+(-Y-3)M No hay- Plano XY: z = -z => -z=(x+2)4+{y-3/+9 =>Nohay- Plano YZ: x = -x = zs(-x+2)*+(-y-3^+9 =>Nohay

En los ejes coordenados:- Eje Z: (x,y) =* (-x,-y) => z=(-x+2)*+(jy-3/+9 = No hay- EjeX(y,z)=(-y,-z)=> -z^x+tf+0y3)ta = No hay- Eje Y. (x^) => (-X.-Z) => -z= No hay

Grafica

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

y-\

*

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

/ p - s ( t ) P H l-Sen(t| l-Cos(2t) ' _ t LHopital derivando en cada trmino d

N i M =(0,0)

n/I-S^ O) {2 ~ \t ^Cos(t)

/ D - S e n W T ' ^ W ^ - , ]

L= ,:_ [vf'|-Sen(t)>/USen(t) -1 -Sen(t)

* 4 ^[l-Se^it)]* ' -C k 'W* "2

*^Ul-Sen(t) 2 J

L-gsfe? 1- Cos(2t) i - i

s r f f ' l ] -N )

L - Aplicamos L'HopiraJ derivando en cada (rmino e)

numerador y denominador en la primera y segunda funcin.

e -e *>) _ t-1 ' 1-t L~'*F

= (e -l,2 )

r, SeflC7t) Stn(St) TS(3t)C to[

z i SOLUCIONARIO ANAUSIS MATEMTICO III vwebutpeni m r ............ SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMATICO III I

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

kMOS

SOLUCION

L = ' ^ ( a t l j Apl*camo3 LHoPital derivando en cada trmino L = lim^Ln(t),V"+t\j^-p J

ei numerador y denominador de cada fmcin

f 7Cos(7t) 5Cos(5t) 3Sec (3t|] 1 3Cos(3t) 2Ccs(2t)J

Limites laterales:

L,= ^ [ , ( t ) ty i7 ? ,^ L ]= [L n (2 )rV T ? / _ ]= [ li . (2 )tV s , ]

I 7Cqs(o) 5Cos(0) 3Sec1(0)1 [_ 5 3l [ 1 '3Cos(0) 2Co6(0) J- [

U= l| m ^ lii(t) ,y r i7 ,-^ j= ^ L n (2 ),V T 7 ,-A j= [(2)tV5,>]

Luego: limf(t)* lim f (t) => L = lim f(t) no existe

O

L = jim|^ 11 l~cB(t) j Aplicamos L Hopital derivando en cada trmino el

numerador y denominador de cada funcin.

l . s [ s ^ . = , ; ] , [ = a , = f e ) , ] . H V )

Aplicamos Hpital en cada lmite:

[l-CosfSt) ^1+tSen(t)-ll . Fssen(5t) Sen(t)+Cos(t) 1L ' S [ t* f J" 5 [ St ' 2t(2)y 1 + tSen(t) J

SOLUCIONARLO ANAUStS MATEMATICO III Hwww.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

M 7 . V J

UNCIONES VECTOWALE0 Calcular 6, si a = (2,-4,1) y bJ^ [te, ,tCh(2t),2te-s]dt

Desarrollamos la integral:

b =J4'[te,rtCh(2t),2te-*}lt

Integramos por partes en las tres fondones:

u=t = du=dt v=| e**dt = u=t=> du=dt v=Ch(2t)dt = 1 Sh(2t)2 2

u=t du=dt v=2e"ildt = e41

, J e +1 2Sh(2)-Ch(2)*1 l-3e~*l

Ahora el producto escalar:

b= (?, i t) ^ -,1 gSh(2)-Cli(2Kl 1-3T -2S h(2)+Ch(2)-1+Iz2l! = 2 -e

SOLUCIONAFHO ANALISIS MATEMTICO Bl

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

Q Calcular las siguientes integrales:a) J[4Sen(t)i + 3Co6(t)j]dt b) f]t^i + gl dt

d) JJJ,[Sen(t),Co8(t),Tg(t)]dt

e) J4,(Vt1VftT)dt

a) f [4Sen(t)i+3Cos(t)j]dt=-4Cos(t)+3Sen(t)+C

b )J [ te-*,i+ ] d t = - ^ - +^ j +C

d )f>'"[S B i(l),O i(t ),lS (l)]i .{* -C i(l),S o 1(t),-(Cbi(>)]||l

1 HMWKi-^f) (e',te')dt =(e,te* -e')|^= (e -l,e -e + l)= (e-1,1)

Hallar la funcin vectorial f continua en el intervalo <

f(x) = xe'+-l| f (t)dtVx > 0, siendo A un vector fijo no nulo.

xf(x) = x*e*A+f(t)dt

xf '(X) + f (xX = (xie+2xe) A + f (x)

xf '(xMx'^+Zxe ) =>f '00 = (xe*+2e*) A

f (x) = j(xe*+2e*)dt = (xe*-e*+2e*) A = (xe+x**x? A =e*

www.FreeLibros.net

a) En la expresin: tf(t)=f(t)+tA derivamos:

f(t)+r(t)=f(t)+A=*f-(t)=^ parat=1 = f (l ) = A

b) Parat=3: 3f'(3) = f(3)+3A

En la ecuacin: tf'(t) =f(t)+tA=*f'(tj = - ^ + A = > f ' ( t ) - ^ = A

Esta es una ecuacin diferencial lineal: +p

www.FreeLibros.net

La ecuacin de la trayectoria:

'(t) = JWWidt=-Y+T + kPuesto que la ecuacin depende de t en trminos de x e y, la expresin hallada corresponde a una curva plana en z=k.

O Determine una funcin f : IcjK-tdi* que parametce la curva indicadaa) La recta y=2x, recorrida del tercero al primer cuadrante.b) La cuarta parte del crculo x'+y*^ que se encuentra en el segundo cuadrante,

c) El cuadrado bd + lyl = I recorrido en sentido anohorario.d) El segundo de la curva y=lt-bd comprendido entre x=-2 y x=2 recorrido de

El segmento de la curva ytx*-l I comprendido entre x=-2 y x=2 recorrido derecha

a) f(t)= ] te

x = -v''3Sen(t) b) f(t)= . . t[0r^ 2>

[y=V5cos(t}

l, = f Osfcd I,=J Osfcsl

d) Y = 11-1x11-5

Para IxJ = i3 f W -1-^ xkO l+>4 x

www.FreeLibros.net

Determine una luncin f : I c 3t -> 9 ^que parametrice la cuva ndicada.a) La parte de la recta y =b&3z que se encirentra en el primer octante. comenzando

b) La parte- de la necia, que resulta de la intensecdfin de Ira dos planee x+2y-z=0, 3ky+>i =0, correspond ente a zfi, connenzando en el origen.Ei dncul que- resulta de la interseccin del paraboloide con plano &4ccmtemand en el plano (0,2,4) oon el sentido de recorrido {0A4) -

(r-SW->(2,0,*)-KQA-l)-

a) ^=2)rfz dividimos entre fe

C=Jy = fit tfc[z=at

b) Los planos; x+Sr-z=(}r3x-y+5z=Q

11 J tin^fl.Sr-'l) nt = (3,-L^)=> n=n,xi^ = 1 2 - i = (9,-ar-7)

3 -L 5

El punto inicial de la recia: Pt = (Q.O.ff) con n = O^AT)

P = Pt+ tn => P = rOAtl) + ^ A 7 ) = (-l?t^ tr'7*) De donde: k = -9t, y=Bt. z=7t, ti

I " C = j y =6t , t [}

[z = 7t

c) con plano z=4 comenzando en el punto (0,E,+)t

O Encuentre una Te

C = jy = 3CoBt , Dsts&r

bJCKt+y1 = '9Jz=a

d)C;j = 4y,^=B4z e) G (x-1)1 + 4ty-E)1 =4 z=Q

b)c:3 + y*=9,1=0 rSix = 3Cos(t)Jy = 33en(07 z=,:StsSn c>C:y=3sirz = 0J z = 0,x = t,y=3t1 r z= 0 , tad) C; 5^ = 4y, j=B4zx=t, y=t*H r z=t*fl34 r teOe) C: (x -l + 4^-E? = 4 z = 0 r x-1 =!CaBtfr* x=1+3Cas(t>

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

y=B+BSen(t} i=0 Osts Br

x = 1-nSCost C =|y = S + Sent,

^ 1 Dadas las siguientes -curvas, encontrar aua)i +/-ot-4y + IS =0 b)x1 + y1 + j t = 4 x + y -z = c )^ + i =E, x* + y*= 10

H> {X-1/+ 4{y-E) = 4 z=0 *-1 = SCos* x = 1 + ECcafl:)y-3 = ESent) =* y^3+E5en(t) & St^ c

= 1-i-eCD5tC:|y = S+aSent , StsEr

z = 0

b ^ i + y t+ zt =4

z=xiy=n1+>! +z1=4=J? +l^ + {* + r f = ^

3? + y* + xy = 2 dedonde: x = h/C(9)y= J Sen(6>

z= Js [Coa(6} + 5en(0)]

x = JSCoat/ y = VSeni

c = VsfCcufl -i- Sen (/]

0 Sea a la trayectoria n (t) = [at,t1rLn(t)] definida para feft. Encontrar Ib lo

(fe a entre lospunt{,1,[})y[4,4,Ln(2}]

U longitud de aico de una curva paramdica:

tuegs i j ss ts *

L = dt = J*^at j dt = t1 + Ln(t)j* >= 16-4+1/1(4}- Ln(2) = 12 + Ln(2}

O Hallar la lentitud de arco de las lneas que se indican:

a) = [lC ^t),1W t),tL te [0,2]

b) f {t}=[1+XK(t)] Cos(Or [1+Coet)]SenCt)}rtEe [0.]

e) y = Araaai eate(0A ) h ^ | , r ln(3)j

i a^3 Bx' a

a) La longitud de arco de una curva paramtrica:

L=0 MN=SOCMABIO AMASIS MATEMATICO III

1

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

Luego: f (t) = [tcos(t), 1Sen(t), t] = te [0,2]

f '(t) = [Cos(t) -tSen(t>, Sen(t) + tCos(t), 1]

L= J*^[Coa(t)-tSen(t)J +[Sen(t)+tCos(t)]* + 1dt

L = 'v Cos (t) 2tSen (t) Cos ( t}+Sen (t )+ Sen1 {t) -

+>|/2tSen(t)Cos(t)+Cos, {t)+1dt

L= jVT7TTIdt= 7 5 ^ = 2 ^

b) f (t) = {[1+Cos(t)}Co8(t), [1+Cos(t)]Sen(t)}, t [0,2]

L= U b W (*)]'*

f *(t> = [-Sen(t)-Sen(2t), Cos

www.FreeLibros.net

EBUHOZA RAMOS #

L = (4 * =tifrW w W + F * f *

Lue :^ f W = {Sen1, Sen(2t), Sin [Co^t)]), te Jf ffl= [JSenCtJCosCft GosSt), -E T^ ] = [25en(at)r SCo^ St), -SfTaCt)]

L= J ^ [ 5h i( ) J 4-[CDB(2t) J +41^ (t>*

L = = aj^ ;SECs(t>* = Bp Sec (t )dt

UELn[Sec(t)+Tg(t)] KWHHW)]L= gLn[B-H^3]-2Ln^+i/3j = 2Ln^ ' ^ + 3j

Hallarla longitud del aroo de la hlicE cnicaO: r {*} = [aEtrat), ae'Senfl'), a*] desde el punto (0,0,0) hasfa el punto A^ ajOta)

l=:^p =f W E -Luego: a {t} = [aEtoa(t), ae'Senfl), aE1], t e (-, 0}

a = [aetoa(t) ae'Sent), ae'SenCt) + a feo, a\

L = JJ^ aai LCl=, (t} 2m(t)H(t) i CtBJ(t)Cfl(t) i SHi([)Cos(t) i C ta 11j

L = '[1 +1 + 1 Jlt = J^ oe'/adt = aEr js |1 =aj3

G CalcuLar L para la funcin vectorial definida pona (t) = [aCceftj, aSen

www.FreeLibros.net

l=11^luaSff f {*}= Otfiti

CD Una partcula se mu en el plano XV segn la ee encuentre la longitud de la trayectoria desde t=Gat=j

La longitud dearc de una curva pairainStrica

Luegp: f ffi = [S*CDe(3t5, H^SentSt}] 0 t S n

f (t) = [- -^^CoBat^Stf^SenStX -2*Sen(3t> + 3e ^ toafat)]

L= J J[-Ee"aCtB(3*)-3c*Beni(3t)]t 4 {-& fSen(3t)-i-3eCtB(3*)]!dt

L= J j r [4CiH, (3t)+1SSEn(3t)Cas(3t)+QSGn, (3 t)+ }

h= J[ v pt) 11*Sfcn{Jt )C>3C pt) I 56hi pt Jtai1

www.FreeLibros.net

Luego; y = iSen(fi) , ;e= iCoe(B)V = Sen(fl) + iCos(0) ; x '= Cos(a) - iSentl)

i^ f+ (y rf = [r'CosCB) - FSen^ e}]1 +- [rSern;0} + rtoafOO]*(O* +

www.FreeLibros.net

a * * )

Laicngitijd de arco de una curva paramdica:

L= I t N *

L = r ^ t = ^ J 3=s+3=5J" fl 27 lEnconiiarlalLJngiituddeareQdelaasisuientescurvaa

a) a (t) = {a[t-5en(t}], a(1-Gas(t)]}, a> Longitud total

b) ^ t ) = l c i t i e W t ) l t e [. SO

c) a (t) = -(arcs t, asertt), a& longitud focal

d) n (t) = j^t-Tgti^-J,aSech l^ j j desde t=a hasta t=2

e) a (t) = {a[ShH]: a[Shft) - 1]>, 0 t s Tr a > 0

a) (t) = (ii[t-Sen(t)L *1-Cos

www.FreeLibros.net

..L = = dt= j ^ = ee

0 Encontrar la longitud de anco de las curvas:

a) (t) = ft Ln [Sec], Ln [Seo 4- TW)]'U e

b} (t ) = [B'Ccota e'Sentf)], t e [, 20

c ) (t) = ft Ln [Saettali [0,31

ri) t (t) = ft a = nht - t), a(cQsht -1 )), en [OrSrf]

e) S (t) = ft a = aenht - tX a (cceht - 1)), en [ rE*]

a)c= ft Iji [Sec], Ln [Sec + Tg]}, t e |o J

T t ) = [ l j m S c i ( 0 ]

La Longitud de anco de una curva paramtrici

L= I.-J [x 1(t )T + [y W j4 .[z '( t ) ] , dt

L= Jn" j l + V ( KSec (t>*

L = J 'J\'Sec, (tJ+Sec1(t)dt = ' sBc(t)dt

L= J iL i[S e c (t )4 -T (t )^M

L = J h ji^Sbc^ J+ T g ^ j j->/sin[Sec () + Tg(}] = VLn(Ji + '

cb )ii[t) = [c'CcoCt), eSen! t e [ti S]

a' (t) = [et ne elSen(t)3 eLSen -4-e CcB]

La longitud de anco de una ciMva paramtrica:

L = r v R * ) T + [ v ' W ^ ) i d t

L= J1 [Coe(t)-Sen(t)J +e,1[Cbs(t) + Sen(t)]1di

L = e ^ i'Cog (t )+ Ser (t J-hCog1 (t )+Sens (t )jt

L= e Jid t = jBe=Vs(eT- l )

c) i (t ) = {ajaiCtKl, aftlii-l]}, 0 t Tr a > 0

= {a[;Ch-1]rJiSh>

L = i f ^ [0 . ( t ) - l ]V [ S h ( t )T *

L= aJ^Ch* (t)-ach(t}+1 + 9i= (t)dt

L= a Jctf (t) -ECh(t) r-Qt (t)dt

ta^2Cti*(t)-SCh(t)dt = a jch(t)jch(t)-1dt

'--H l

MUUCBHAHOAHAUSIS MATEMATICO III I

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

Q Sea C la curva descrita por la funcin vectorial f (t)=a[t-Sen(t), 1-Cos(t)t 4Sen(t/2)] con

a>0. Hallar la longitud de arco de C desde el punto a '^T ^ | hasta el punto

**&4>

f (t)=a[t-Sen(t), 1-Cos(t), 4Sen(t/2>] t ,

f '(t) = a [1-Cos(t), SenCt), 2Coa(2)]

La longitud de arco de una curva paramtrica:

L= flf+[y(t)T+[z,(t)J

www.FreeLibros.net

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

x0 r\ (l-xyx+1) u xSO n (1-x2yax+1)O fl&y) = Ln (36-*x* - 9/)

n \ 36-4x*-V>0 = 36>4x*+9y* = +-L. < 1

D = {(x,y)cM4/[xS0r< 1 -xyx+1)] u [x0 r\ (l-x2yx+l)]}

O f(x,y) = Ln(xy)

Sabemos que el argumenta de la funcin logaritmo debe ser mayor que cero, xy > O => x>0 a y>0 \j x0 o x

www.FreeLibros.net

De donde: Se obtiene el dominio:D = {(x,y) e 91* / y > n x S 0}

O x,y)=^Sen[T(x, +y*)]

Consideramos:

Sen[*(xs+/)] s 0 =* 2n* * (&*+!) n para ntZ*Sx*+y*2n + 1 paran eZ*

D = {(x,y) e * / 2n S x*+ y* S 2n +1 para n e Z*}

O f(x,y) = Aresenj ** ^ j+Araen (x*+/)

I SQUJCIOMARIO ANAUSIS MATEMATICO III

Consideramos:f(x,y) = s(x,y) + hOc,y)

S(x,y) = Aresen I x *y \ hCx,y) = Arasen ( A / )

Cts -Z - s 1 n x*+/ s 1 = 0 x*+^2l 1s^ + y*s2

Di = {(x,y) e iK4 / lx*+y*S 2}

J H 2 E E L I W

Debemos evitar la divisin por cero puesto que la funcin arcoangente n< mayor restriccin.

1+xV * 0 = (x,y) e R*

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

O &*> = +Vz

La raz cuadrada debe tener argumentos mayores que cero;j}

0

f(x,y) = g(xly) + h(xIy)La raz cuadrada debe tener argumentos mayores que cero:

xsOnxyiO X20 n [x20 o yaO) u (xSO n y))]

De donde: D, = {(x,y) e * 4 / x0 o yaO}

Sabemos que el argumento de la fundn arcseno debe ser mayor a -1 y menor a I. Es decir.

xaO o (-x-yxsx+y) u xSO r\ (-x-y2x2x+y)xaO n (-x-yx r> xx+y) u xSO r\ (-x-y2x rx xsx+y)

x20n(-2xyriy20) w xOn(-2x2yr>ySO)

SOLUCtONARtO ANALISIS MATEMTICO I

1

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

D = {(x,y) 6 St* / [(x0 r> >eO) u (x0 n ySO)] r\ (x;y) * (0,0)}

La raz cuadrada debe tener argumentos mayores que cero, mientras que e denominador debe ser diferente de cero. Es decir

2S-x*-y*2 0Ae0 =* x*+/0)}

f (W ) = ( x + y ) y n

la raz cuadrada debe tener argumentos mayores que cero. Es decir z -2 * 0 => z2

D = {(x,y,z) 31* / z 2}

O f(x,y) = Arcsen(x) + Arcsen(y) + Arcsen(z)

Sabemos que el argumento de la funcin anseno debe ser mayor a -1 y menor a I. Es decir

- l x t n -ls y lr-1SzS tDedonde;

D = {(XfYjZ) e 9? !-\ SxSl n -1S z l}

f(x,y) =

OD = {(x,y) e 25 a x*0)}

SOLUCtONARtO ANALISIS MATEMTICO I

I

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

O Kx,y) = Ln (x,z)

Sabemos que el arsumento de la funcin logaritmo debe ser mayor que ce xyz > O =* x>0 n, y>0 r\ z>0 (primer octante) u

x >0 r\ y0) w (x>0 r\ y0 n Ln(y-x) > 0] u [x x [(x>0 n y * > 1 )u (xx [(x>0 r ,y>x +1) o (xx

, / t-y/D = {(x,y) e 91 / [(x>0 r\ y>x+1) w (x0 x (y-x)-y* (y-x4) > 0 = (y-x*) (x V ) > 0

(y-j^ > 0 n x - y* > 0) w (y - 3^ < 0 o x - y* < 0)(y > n x > y*) u (y < n x < y*)

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

D = {(x,y) SR4 /y^nx>y*)u(y?nxca2^2Syfe-! P,= {(x ,y )e 4/-2 2xS2} Dh = {(x,y)9t*/-2yi-2}

Dx= {(x,y)e9t^bd a2} ; Di, = {(x,y) eJl4 / lyt2}

I>= D,n Dk = {(x,y) e 4 t bd * 2^ ly s 2}

H SOLUCtOMARIO ANALISIS MATEMATICO III

0 f(x,y) = Ln(x)-Ln[Sen(x)]

Sabemos que el argumento de la funcin logaritmo debe ser mayor que cero. x>0 n Sen(x) >0=>x>0nxe [2n*, (2n+1)n] AneZ

D = {(x,y) ejt4 / x>0 r\ xe [2nii, (2n+1)it] AneZ}

O Kx,y)

Sabemos que el argumento de la funcin logaritmo debe ser mayor que a Tambin la raz cuadrada debe ser mayor que cero.

x-2y>0ny-2x>0=>x>2yny>2x

rV * I

D = {(x,y)fi9t4 / 2x < x < x }

SOLJUCIONARJO ANALISIS MATEMATICO III I

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

0 ffxry) = Arcsen[2y(1+x*)-)]

Sabemos que el argumento de la funcin arcseno debe ser mayor a -ly m 1. Es decin

-1 S 2y (1+j) -1 Si => Os2y (l+x*> S 2

=^0y(1+x*)l =^Osys

D={(x,y)eSHi /Osy s

O fiXy) = Arcts - / )

La raz cuadrada debe tener argumentas mayores que cero. Es decir: x* - /O = (x-yXx+y) S O

(x-yaO n x+y 20) u (x-y s n x+y s 0) (x 2 y n y 2 -x )u (x y n y s -x )

D = {(x,y)et4 /x2y ny>x) u (xsy nyS-x}

1 0 W )-( [x lW = 7

La rafz cuadrada debe tener argumentos mayores que cero. Es decir: l - y ^ O ^ / l =*-lSyl

D={(x,y)MV-lsySl}

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

O X y)= ^ - x - y ' - z 1

Sabemos que el argumento de la funcin rafe debe tener un argumento mayor o igual a cero.

aP- i f -v*-z*i0=3^+>^ + s a '

x'+y'sz*D = {(x,y,z) E$f/x*+y4^ ^

Sabemos que el argumento de la funcin logaritmo debe ser mayor que cero; adems que debemos evitar la divisin por cero.

1- x V -z 4 > 0 n Ui (1-xV-z4) 0 => x4+y4+^

www.FreeLibros.net

f(x,y) = s(x,y) + h(x,y)

8(x,y)= d y ^ - V ] ] h ( x .y )= [ [^ ] ]

D, = {(x.y^wVxsO o xys-x u xaO r\ -xsysx} D* = {(x,y)6M'/x20 n yaO u xsDn yO}

Di = D, n Dh = {(x,y) e*/ xsO n xsysO w xsO n Oyx}

0 ftXy) =

La raz cuadrada debe tener argumentos mayores que cero. Es decir: 1-y*aO=>y*Sl =-1yl

ISOLUCIONAR ANALISIS MATEMATICO III

D= {(x,y)eSR /-ISySl}

La rafz cuadrada debe tener argumentos mayores que cero. Es decir:

(x*+/ - 25>0 o y^xaO) u (x*+y*-2525 o y* 2x) w (j + y4 < 25 n y* Sx)

D = {(x,y)6*/{x1+/>25 n y* 2x) w (x*+y*

www.FreeLibros.net

ftx,y) = Ancsentx) + Arcsen(y)

Sabemos que el argumento de la fundn arcseno debe 9er mayor a 1 y menor a 1. -isxt n-lsyfil

Se obtiene el dominio:D= {(x,y)eS#4/4x2y* n x*V0 n In (l-x V ) * 0 => *iay* n x*+y* x=0

k=l =*y= Vx

k=-1 =y=-Vx

k=2 =>2y= >/x

k=-2 =>-2y=Vx

Graficamos:

SO LUCIO MARIO ANALISIS MATEMTICO III

H

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

O fCx,y) = lnU^ I

Hacemos k= f(x,y); de donde k =Ln ( I H -

^ = e =>y = x ^

Para k=0, 1, 2, 3, et

O k*=x*-/

kaO; Para k=0, 1,2,3 etc. k=0 =>y=xk=1 =>x*-y* = 1k=2 =>x*-y*=4

k=3 = > xV = 9

Hacemos k=f(x,y); de donde k=7x =>k* = xy

ks-O; Para k=0,1,2 etc. k = 0 =>y=0k = 1 =>xy=1k = 2 =>xy = 4k = 3 =>xy = 9

O flCx,y)=, 1-1XI - 1 y I

Hacemos k = f(x,y>, de donde k=l - 1XI - 1 y I=>lxl + ly 1 = 1 -k ; 1-kaO => ksi

ksO; Para k=l,0, -I, -2, -3, etc. k = 1 =lxl + lyl = 0k = 0 =lxl + lyl = 1k = -1 =>lxl + lyl = 2k = -2 =>lxl+lyl = 3

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

O flXy) = LnOc*+y)

Hacemos k=f(x,y); de donde k=Ln(x +y) Para k=0, 1, 2, 3, etc.

f(xry) = Arcsen(xy)

Hacemos k=f(x,y); de donde k=Ansen(xy) => Para k=0,n/2

k = n/2 =>xy=lk = -n/2 =>xy = -1

O

Para k=l,0,-1,-2,-3, etc k = 0 = > + f = 0k=1 =*(x-1)*+y* = 1k=-l =>(x-1)*+y* = 1

o

Hacemos k=f(x,y>, de donde k=ei ~f

Si 1, Para k = 1,2,3 etc. k = 1 =>x*+y = 0k = 2 =s>x*+/ = Ln(2)k = 3 =>x*+y* = Ln(3)

0 f(x,y)= ^100-SSx1 -4y*

Hacemos k=f(x,y>; de donde k=^100-25x*-4y' , k0

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

Determinar las superficies de nivel de las funciones siguientes. u=x+y+3z =>xV=

=>X*+y* = : => xi+yi=

Hacemos t*=k de donde k=x+y+3z Familia de planos. Para k=0,1,2,3, etc

k = 0 = x+y+3z = Ok = 1 => x+y+3z = 1k=2 =>x+y+3z = 2

k = -t = x+y+3z = -1

u=(x*+y*+zV

Hacemos u=k; de donde k=(x*+yj Para k=0,1,23, etc.

k = 0 =s>x*+/+z* = 0k=1 = x*+/+z* = 1

k = 2 = J 2k = ^x'+Z+z* = 2

Hacemos u=fc de donde k=

Para k=0,l,2,3, etc.

=> x*+y* = kz, familia de paraboloides.

o .* feE 2 2 )

Hacemos u=k; de donde k=ln.

e* = ^ e * (W x * +y*+ z*) = tl - ^ x +y +z* ' 1

-e 'J 7 7 7 ^ ? = i W T T 7 T ?

=>e-1 =Vx1 +y* + z* (l+ek)

- k20 Familia de esferas.

Para k=0,1,2,3, etc.

k = 0 =>x*+yW = 0

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

0 u=SstSen(x* +y*+z*)]

Hacemos u=k; de donde k=Sig[Sen(x*+y*+z?)]: k=-l,0,1 Familia de esferas de radio unitario:

k = 1 =>Sen (i+yi+zt) = 1 => 2nn Sen(x*+y*+ )^ = 1 => (2n+0

www.FreeLibros.net

Hacernos u=k; de donde k+z=4-x*-y*. k=0r*+y^4-z. Paraboloide circular.

Ck-O Indicando el dominio, curvas de nivel y trazos, bosquejar el grfico de la funcin:

^ y) = 2-1 ?7 77 8

Dominio: Debe cumplirse: xi+y*+8s0D={(x,y)E*}

Rango: D = {zeSR} Curvas de nivel: Hacemos u=k; de donde:

x '+ z + s

Familia de ciicunferenciaa

O En cada punto de la curva de interseccin de las superficies: S l:z=xi+y*, S: z (para a>0) se traza la normal a S,. Demostrar que las recias estn sobre un coi y hallar su vrtice.

Para z=a =s x*+y=a, la normal a esta circunferencia pasa por su centro y es racfial. El valor mnimo que una suma de cuadrados permite es (0,0), por tanto el vrtice del cono es V{0,0)

0 Indicando dominio, rango y curvas de nivel, bosquejar el grfico de

z=f(x1y)=tn4-Vxr +yr

Dominio: Debe cumplirse: 4-vx +y >0

y jx '+y ' x, V = (4*-e )

O Dada la fundn f(x,y)= ^ J, , bosquejar su grfica indicando, 0

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

Hacemos u=k; de donde:

. 4x-1 , 4x1 f 4 ? . 16-k577 y k - H x _k J + / = O x,y> =

Sea f(x,y,z)=k de donde: -

3> + (z+2)*-4 = ktx*+^ -Cy*-4y)-6]3x*+(z+2)1 - 4 = kx*+kz* - k 4x*+2(z+2)i x*+z*-(y+z)4= 3x*+(z+2)4 -4+1 2xi + (y+2)i +4z+1 =0

O ' le nivel y trazos bosquejar el grfico de:

Dominio: Puesto que x*+y* *0 = (x,y>e0 => D={(xry)sW*/(x,y)#0} Rango: R={z6H/z2jO}Curvas de nivel:

Lrwww.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

=> D = {(x,y) eSK* / (x,y)*0>b) ^=^75Puesto que xl+/ (x,y>0 => D ={(x,y) i -

b) F(X,Y,Z) = X*-4V*+Z?+2$ n= {1,0}

O f(x,y,z) = z*-xy4V+yz-2 k = -xy+ys+yz-2 k = z,-y+y+yz-2

Derivamos: 3ziz'-1+3yi+yzl+z=0z(3z*+y) = 1-3y

z, (3+1) = 1-3=zl = - l2

z-z = (y^t) => z-1= -1 (y+1)

N = 2 => (x+2)*+(y-1)* P(0,0,-1)=>x* -4y* + (z+1)*= 2

r 15 15 , , ..T =T

0 Expresar el volumen V dealtura *x" y de su arista lateral V

I SOLJUCIONARIOANAUSIS MATEMATICO III

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

0 lado de la base:

L=21 L |=yi-x =L* = 2(yi-x*)

El volumen de la pirmide est dado pon

V = i AauEH = L*H=i(2Xy-x V =| xC -^x*)

Q Expresar el rea S de la superficie lateral de un tronco de la pirmide hexagonal regular en funcin de los lados x e y de las bases y de la altura z.

Probar que la funcin z = F(x,y)=xy satisface a la ecuacin. FXax+bu,cy+dv)=ac F(x,y)+beF(u,y)+adF(x,y)+bdR(u,v).

Z=F{x,y)=xyF=acFlCx,y)+beF(uIy)+adl!t(x,v)+bdF(u,v) F(ax+bu,cy+ctv)=axcy+bocy+adxv+bdiiv

F(ax+bu,cy-fv)=acf(x,y)+bcft;u,y)+adCx,v)+bd(ulv) demostrado

Probar que la funcin z=F(x,y)=Ln(x) Ln(y), satisface a La ecuacin: F(xv5uv)=F(x,u)+F(xrv)+F(yJu)+F(y,v),xtytu,v>0

En la funcin: f(x,y>=Ln(x)Ln(y)F'Cxy,uv)=Ln(xy)Ln(uv)=[Ln(x>+Ln(y)][in(u)+Ln(v)]

F(xy,uv)=tn(x)Ln(u>fLn(y)Ln(u)+Lr>(x)ljf>(v>Ln(y)Ln(v)

Pero: F(x,v)=ln

www.FreeLibros.net

2ay T jT tfO O + 'l j 2ay J s ^ O O l

x,+[y_^I=

oI. Mediante la definicin de lmite demostrar:

O ( J ? v *(A fc l') 4

Sen*(k) I Se debe hallar 8>0-, siempre que exista >0, tal que se cumple:

Ix*+2x-y4l

www.FreeLibros.net

Se debe hallar 8>0; siempre que exista e>0, tal que se cumple:

13x*V+4 I < - ^ (x -2 )' + (y+2)' < S

13x*-12+12-4y*+4 I 13(x*-4>4

www.FreeLibros.net

k-a < 1 => -1;x+3>4(x-3)+y1+r'l l(x-3XK+3HYfy+1 ? 5 bc-31 lx+31 +4 bc-31 + lyl ly+11 ...fl)

lx-31

www.FreeLibros.net

Se debe hallar 8>0; siempre que exista e>0. tal que se cumpla:

lx*+y*+2x-2y-2l 0; siempre que exista e>0. tal que se cumple

|Vy*-x*-Vs}

www.FreeLibros.net

(5)

Acotamos con Sst/2

bc-2l

www.FreeLibros.net

1

En (I*

>++s = = ts= 3

1 (W l-^+ 2 > / To + fi)j Por lo tanto, existe S = irn j 1, j

O = 3^ K E E E L i I W

( ^ - i . i . F * ^ j =

Se debe hallar i-; siempre que exista s&0, tal que se cumple Se debe hallar >D; siempre que exista >0. ral que se cumple

| ^ + J / + ^ -3 j < ^ ( x - l ) l + (y - l ) + (z - l ) 1 i/x+1 *y+1 Ve+1 1 n 1 1 V^x+i i+Jy= V -k + i 1+vyz

Acotamos con &l

fc(-lkl=* -l

www.FreeLibros.net

Multiplicamos (3) y (4):

0

www.FreeLibros.net

RAW05

l^ - y j X * + v *+ (*~ v *W| x! +y*| x*+y* x*+y* x +y!

21x1 + lyl 28+8 = e =*Ss'

Por lo tanto, existe 8= min |l,||

Se debe hallar 8>0 siempre que exista e>0, cal que se cumple

| x * ^ _ y ^ _/&5 +

(9-V5)d=,

Se debe hallar 8>0; siempre que exista e>0. tal que se cumple

| V -* / ^ -^ < e ~ ^(x+l)*+{y+1) <

J - / 7 - 1 I.J -x V ^ y -V ^ y + V -y -11 v ^ T T - - 1

1

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

V W ^ y - i l m -Acotamos con S

www.FreeLibros.net

jDe(2)y(3>

.5 2 _______ 12 5 ^ + 1 3

t>e(3): |y-l| 0; siempre que exista e>0, tal que se cumple

12xz-y aj ll4xz-7y-Byz-8x* I l4xz-l4x+14x-7y-8yz-8x l lyt+x*^ | 7 ( ^ V ) | | 7(yz+x*)

~ r

I

14x(z-l) + 14x-42 + 42-7y-8yz-8x||

|l4x(z-t)+14(x-3)+42-7y-14+H -8yz-8x, | 7(yz+x>) |S

Jl4x(z-1)+14(x-3)+56-7(y+2)-8yz-8y+8y-8x|

1 r114x(z - 1) + 14(x-3)+5 6 -7(y+2)- 8 y (z -1) - 8y-Sx*| ^

1 ^ ? ) y114x(z-1) + 1 4 (x -3)+ 5 6 -7 (y+ 2 )-8 y(z-l) -8 y - 16+16-8x' I

1 1| l4 x (z -l)+ 1 4 (x -3 )-7 (y+ 2 )-8 y(z-l)-8 (y+ 2 )+ 7 2 -8 x |

I I|l4x(z-l) + !4 (x -3 )-7 (y + 2 )-8 y (z -l)-8 {y + 2 )+ 8 (x* -9 )j

1|l4M|z-l|+14|x-3|+7|y+2|+a|y||z-

www.FreeLibros.net

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

O t, )Ji ^ ( ^ - 2xz-'/ 2xy - '^ y z +a/2x+'/sy +a^ z)= 8^

Se debe hallar S>0; siempre que exista r>0. tal que se cumple:

|xyz-2xzV2xy-V3>z+2/2x+V6y+a/lz-a/j /3z+V6js|y-S||x(z-V2)-^(z-V2](

|y-^|zW ^|x-V^SJf=c

Por lo tanto, existe 8^, = e

O ltm xy=lSe debe hallar 8>0; siempre que exista e>0; tal que se cumple:

|xy-10; siempre que exista s>0, tal que se cumple:

I

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

Acoramos S-1V(= -2 )1-

SOLUCIQNARIQ ANAUSIS MATEMATICO III

^+vT777^ - 3| 5x + y - z ^I k/x - y +z* -2 + 2 -x -y J+z x +y + z+ 3-9 jf ----- ----------- ^ xVyC3J

- L - < (y- - y, _

Vx - y +z +2x+y3- z ^x +y'+z+3+3

I , jr|x -S|x+2)+|y-.|y+l|+|z-,||:Z+^+lx sUlv lv +v + ll +z-1 +x-2x+2+y-1y+2+z-1x2+y2+z+3+3s

Acotamos k1: Ix-2I

www.FreeLibros.net

1 I

Entonces:

j I|X', x ^ v y - .a ^ -3/|r|x ^ .S K -2+x )-y+y0, tal que se cumple:

" J 7 7 7 <

Acocamos 8 i < x+ 1 < | ...(2) 2 i i 2 2 2 2 2 Entonces:ly-lkl => -1

www.FreeLibros.net

I

&=- De donde: 8= min |lr i

Entonces:

V -

Se debe hallar 8>0; siempre que exista e>0, tal que se cumple Lo que demuestra que: lim **'* . = 1J777)1 Vil ___Uer^V^+y* 0: siempre que exista >0: tal que se cumple:|(x1+xy*)Ln(Vx+y*j Jx'+y*

www.FreeLibros.net

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

tJh **+/ =Sen(x1-t-m V) (3x* -t-amx )Cos (x3 t m V )

** x + m V 2x+2m*x

(Sx+amx^Cosfx^+mV)u 5r h----- m =

s , = M d M * - j a u 8" ^ )

Sen(x + k V ) (3x*-i-6lc,x, )Cos(x, +m,x5) x* + k V 2x+4kV

* - { ^ y ) * i * W > =>1- (^ 5eni y )

U lim + c V ) . T n + * V M * +c V )*-* x*-*-c"x* *-

www.FreeLibros.net

1 1

= 81 Cos[Sen(2lo)]Co6?(2kx*)

-2kxCaa(kx )-4kxSen(2kx }Sen[Sen(2la*)]+ BkxCui1!*1 )Cos[Sen(2kx4)]

Simplificamos 2tcc

l . Nm- ^ ( ) - 2Sen()Sen[Scn(0) ] +4C , (0)C [Sen(0)]* 2

U l l m ^ H > 2 2 2

Puesto que el ltimo trmino:2Cos{2kx)Co.i[Sen(2lcc')]Cos(2loc'X2kx,)=

=12kxiCosi(2kx*X^ Qs[Sen(2locs)]

( ^ -3la,Co6|W)-12toc,Sen(2lo! |Ser[sen(2kxJ)]+12oc,Cos(2locI)CQs[SeTi(2kx |]

Simplificamos 3kx*:

(be1) - 4Sen (2kje )Sen [Sen (Skx1)]+4Ccs (&X1 )Ca [Sen (21a1 )]L 52 2

s , . C W . W I

Sustituyendo x=0-CosfOj-4Sen(0)Sen [Sen(0)]+4Cos' (0)Ccs [Sen (0)]

U !

L -1-0+4Cos(0) -1+4 3 x W 2 2 2

Aplicamos teorema de H'opital para el clculo del lmite. Para ello derivamos por separado el numerador y denominador.

L_ ]im -31ot'Ser>(kx, | +sen[sen( 2kx,)][Sen(2kx1)]6kV

-SlotSen [loe5 )+61o^ Cos(2Io* |Sen[sen|21o'1)]-

-Sen (loe1)+ 2Cos (2kx* )Sen [Sen (2IOC3)]U !S 2kx

Por H'opital nuevamente:, 4te>C|W| -1^to(lta>)tofm(W)]lC(/)Ccfs(4bl)1[S(Stal>l

M U0f

De donde:

|jm Cos(xy)-Cos[Sen(2>cy)] 3 (H* x*y* "2

Tomaremos caminos que pasen por (0,0)

Si= {(x,y)eH*/y=0} =* U ^Bm^(l+x*y,)e7*j =(1+0)e" =(0)e- =0

g SLUlOMARIO AMAUSIS MATEMTICO III a

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

u^ x,+y,H i ] =o

O lrm f-^- M -M x '+ y *Tomaremos caminos que pasen por (0,0)

S'= = ' I ^ o =S2(0)=0

S*=

L=lim.-m , = . puesto que esta solucin depende de m. -wn+m 1+m

El lmite no existe, (tambin S, * S)

x+y


S,= {(x ,y )* V 0 > = > U ( = = j

Mediante limites laterales:

L,= lim - = L,= lim =-==L=1_ lim x1- /(u 'i^ lJ + y 1 ' t m Y

Puesto que Si St El lmite no existe.

Lim

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

- t - < 1 1jr w i .v r n F

1-Cos(r*)L= Lim derivamos el numerador y denominador respecto a r

l LIlLl aS (r ) Ll Sen('1' Lin- i - i

S, ={(xty)'Jl,/yf=0}=>U Lrm \ t = L im (>jHlM)x, +y 4 ^ y.

* to*Ca{tt)Sen[c/) '*> 3rCo9 (rf)Sen (d) ia'IGoss(c>)Sen ()

Cos(r') iL=Lm----------------1 _ = ! = *

6rCos (>)Sen (0) 0

-Sbf-e? e?

U L i m - - ^ - = t i m - 4 - = - = 0 * -2 x ^ 7 " ? *

Sen [Sen(3xy)]

m r - t h o t t

S={(x,y)e*i/y=x} = ? g r Tomaremos caminos que pasen por (0,0)

Mediante LHopItafc U = L im -d l_ = L jm ^ *** 2e* - i f W *** e**1

1Coe[Sen(4xy)1s - -a i e . w [ L < U ) i

1 - CosP Sen (4x*L=Lim------- -J= r -p Mediante LHpital:

Sen [sen(3x )]

L=Lim ~8X~ =Lim = =0 De Donde: Llm e* **, =0 l l Sen[Sen(4x1)]Cos(4x*)(4x*) 2Sen [sen (3x* )]cos [sen (3x* )]cos (3x* )(3x* )

1-Cosfx1 +y*) fcWJU x*y* (x* +y*)

8xSen[sen(4x, )]Cos(4xs) 4Sen[Sen(4x*)]cos(4x*)

6xSenj^ 2Sen|3xI jijeos(3x ) 3Sen[2Sen(3x )JCos(3x*)

Aplicamos LHpital nuevamente:

En coordenadas polares: ri=x*+y* x=rCos(ft) y=rSer>(0)

1-Coe(x, +y1) t _ 1-Cos(r*) U k A J xV (x*+y*) ^ rCos (0)rSen

u Llm 4O[sm(4^j][C0S(4 ^)J(4 ^)'-4 S [sen(4^)]Sai(4)f)(4x )- 3Cos[2Sen(3)?)][2Sen(3j)]'Coa(3x)-3s[2Sen(3*! }]sen(3)f )( )'

J SOLUCIONADO ANALISIS MATEMATICO III SOLUCIONAR ANALISIS MA ibMAIKJUH

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

35yCuS [Steli [4Jta )~|[~Cts (4Jta -3fcl5gi fen (4a1 )]aHi (4Jt* )us [2S&1 (a** )][2Q (a*1 ) Ja* ) B (a*1 ) -lfiaSen [asen^ a* )âi ^ ii )

i^j^Lscj^ a*1) J cos{ a*13) - i*jiS&ij_3Se^ a*1) J aai(3jiE)

1fiCoe[seri (4*1 )][coh(+X1 )]* - I 3en[sen (4* )] Ben )

( 1-fiCoo (Q)|"Coa (0)J* l&Sen[5oi{0 )]Sen (0 ) if,_Q i69Cos[ESen{jJpCoE(0)]Coe(0)-flSen[2Sen (0)]Sen(0) " fl-0 9

1-Coa|~Sen(4>y)~|(Jh w ) Ben1 [Sen(3xy^

1Coel" Sen4i{3ilL= Lim---------J= / Mediante L'Hopital

Sen, [Sen(33f')]

L TJ_ S e n ^ n ^ ) ] ^ ^ ) ^ ) '^ Sn[Beti(SK3)]Cos[en(Sx1)](B(Sir,J(3xa)1

1 ExSem [Sen (4k3 )"|Caa (tx3 ) 4Sen [Sen [4x3 }")Coa (ix3 )

I-,J iiKSn.'EBcn (3k1 )]Ceb (3xn} " " 3Sen [SEen (3xn ) J h xn )

L Llr.i

x S^t fan(4Ji l"|stai (** )"" 3tua [2Sai (a^ )][2an(3ii' )|a^ ) -??ji&ai[2ati(3^ )]stti (a*1 )

4SjQB|"sai(4*aJ][Cs(4aJ"j1 -48Va5&l[ssd(4Ji ) TifCtx [ss&i(3x? ):J[aDa j^? )]qs(3j* ) -OTi'5ii[S!n^>i' )]sen (Sii J

16QMj"Sen(Aita)"||"ta(4a)"|' -15ai|"Sen(4aa)"|Seii(4it')J ^ [^ (^ JJiH â v * )] Uâx*) - ijainfasinfaii JJssiisx*)

1:oe(0^CDs(0)t-16Sen['Sen(-D)]Sen(a) ifi_0 lb;[EBen ( )][2Cos (0 )]Cos (Q) -fien [2Sen (0 )]5en (0 } "" fl-0 9

* _ icSen' [Sen(3xy)] 9

G Lini 1-C[Sh(x4-y)] Sen |_Sh{2x + 2y )]

caminas que pasen por(,Q)

1 CoefSh2x)l sm*[sh(4x)]

Mediante LHpital: k='{wMiHHSen [Sh (4x )]cba [3h (+x )][Sh (4x)]

L= Lim = Lin^ 'H ) Sen[aSh (4x )]Ch (4k) (4 ) ^hffl)3Ser [SSIi (4x )]Ch (4x )

Aplicamoa L'Hpital nueranwtE:

^ Cca[ ^ ( 2K)]Ch-(Ex){Ex)'+ESen[ ^ ( Bx)]St,(a.)4Cca[2Sti(4x)]Ch (4x)(4| -i-aSen [2Sh(4x)}5h (4x)

ECoa[Sli (2x)]Cti (2x)+ ESen [Sh (Sx}]Sli (fcjt ) " ( A 4Gos[25h (4x)j Ch (4x)+ 3Sen[2Sh (+x )]Si (4x}

r g -

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

1 lL 2Cos('Sh(0)]Ch,(0)+2SEnfSh(0)]Sh(0) 2+0 1 r ihnx+(1+x,-2x> 2 2l6Cos[2Sh(0)]Ch(0)+8Sen[2Sh(0)]Sh(0) 16+8(0) 8 1+X+X-8 -1+2=3

O Ljm x+Ln(l+xy)_2 M l+x+y 3Tomaremos caminos que pasen por (0,0) ^ . =_ Ancsen(xy-2) I Arctg(3xy-6)

MedbraeLHopMafc u Llm -S"[='W]*M*SW W) SxTomaremos caminos que pasen por (2,1)*-( Hi-i-

Aplicamos L'Hpital nuevamente: Aplicamos L'Hopitai:b. LlmKrHiv 2 2 . I-I x-'2| U>j5* 3" 1

^T2yTomaremos caminos que pasen por (2,0)

1+(3x-6)O Llm *+*/+V W W) (x*+/) Mr

www.FreeLibros.net

L=Ljm Cm< i ) 5^ ( )

UCcs\8>+3Coety)Sen^e>f2Cos(8)Sen,(e)

Puesto que esta expresin depende de 0:

x*+3xV+fc*>(x' + y*)

Ix m 'Mx* -t-y* 2x -4 y +5

Tomaremos caminos que pasen por (1,!)

St= {(x,y)e*/y=2x) => ULim- 2x*-2x-2x+2

2(x -2x+1) 2 g

n o W. s , . s , . i ; ; - --y* -2 x -4 y +5


S, = {(x,y)e V x } => U Lim^(x+ y)Sen^ jsenJJj

L= Lim(x+x)Scn^j = Lim2xSen^j

Por teorema de Sndwich

- IS S e n ^ j S i =>-2x23fSen|^js2x

Lim(-2x)S Lim2xSen]^ j S Lim(2x)=>0s Lim2xSenQjsO

= Lim 2xSen(^j =0

Si= {(x,y)e*V=xt =* L= {J jim ^(x+ y)S e n ^jse n ^j

ULm(x+x)Seng}sen(-ij

m[l | Senf J. j l =03(x+x*)Sen j ^j SenQ, j S(x+x*)

Bwww.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

1

lim (0) lim (x+x*) Sen j - | s lim(x+x^^ -V117,'7W

asjim(x+x*)Scn^jsen^-i|O lim (x+x^Scn ^ j S e n ^ j =0Tomaremos caminos que pasen por (0,0)

S,= {(x,y)e*/x=0} => L= lim = lim-?- = 0 (wHj)*y+y y-0+y

S, = { ( x , y ) e 3 l => ^ (| y)Sen^ jse n jj j S= {(x,y)etVy=x} => U lim = lim -^ L = lim = 0 1 Osfx+x^ jSen j^ js e n j^ j s(x+x*)Tomaremos caminos que pasen por (0.0)

ljm(0)slmi(x+x, )s e n ^ ]s e n ^ js lim (x + x 1) u lim 2 1 1 2 lim / l + J ! x+z x + z )

ftslim (x+x4)Sen j -^ j Sen^-j-j 30 lim (x+xs)Senj^ | Sen^-1 j =0S, = {(x ,y^) V 0 > => U j n J l + J L j . lm ( l ) .1

De donde: Sj = {(x,y^)!N1/y=xrz=0} =*U1fa^1+2|j=2

o JtuiPuesto que S ,^ , Hm X+y+Z=g

x + 2

g SLUCIQMARIQ ANAUSIS MATEMATICO III

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

St={(x,y)e9lV*} =* ULjm xSen ^ j = 16Sen^ j=8V?

S4 = {(x,y)eViix/4} => U Limx,S cn -^ l = 16Sen-} = 0&

xy7Sen|+Z*]+ x V z

O

Tomaremos caminos que pasen por (0,0,0)Si = {(x,y)e3t4/ytemx, z=mx} =>

mxSeml + m V W m VL = Lim---------------------------- 1----------

Ln|lW x\,

3mx'Sen + m V !-*-2mVCas + m V l+7m4x*U Lim --------------1*------------L --------i f ----------- 2------------

" " 3m*xV(l + m V )

(l+ m V )f 3Senf^+mYj+2mVCasf-|+rrf'xl'j+ 7 rnV 1 ULim ' ^ ^ i . J

S, = {(xty)eMV=oc*, *rfen +zILi"> --------------------------\--------- =(w 'H W ) ln(l+xyz)

M 7w ; \ W


Si = {(x,y)SR*/y=mx} => lim rVx + m V -1 x -x m V ][ x ' ^ - 1 ' x ^ m ^ J -

.. T xVl+iti* - I 1+xm' 1 = 'r^ "^x*(l+m,x ) -1 + l+mx J = 0 -0 = 2

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

S,= {(xIy ) i/y=kx*}=> Li /x + k V - l x* + xk*x< x1 + le** - 1 x*+kV :

LJ _ 5 ^ L a L g 4 l = ( H i ) = : [x*(t+kfx4)-1 l-*-kVj v

^ S E S k fCalculamos el limite mediante teorema del sndwich:

- t s & n f i l s l - t i C o . f e ] s 1

Os ^Lm i^x1 + y, )S e n ^ J c o a ^ js 0 , +0 de donde:

I SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMATICO III

OTomaremos caminos que pasen por (0,0)

Si = {(x,y)e9J*/y=mx} => U m -^ -y ^ L = L i n 3 ^ =0 ** x +(mxj -1 + m

S,= {(xry )e ,/HD} = Lim-

, 3 x VLim 7 =kvHWx1 +Y

0 Lim -------* w fcyhM xV + (x -y )

""" x*m*x +(x-m x) " " m V '^ l -m )1

a s , t w ) - o

Sen(xy-z*)O ( J LT*a>= (xy . 2.) '

m v r . ' v


S, = {(x,y)e*/y=mxr z=mx} =

17

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

Sen (roe1 - r a V )Aplicamos Hopital

2mx-2m'x)Cos(mx* - m V )= L'1"-------1--------- L' * 3 (m V -m V ) (4 m V -4 m V )

(l-mJCosJmK - m V ) i _ m * (m V -m 4x*)(2mx -2 n iV ) 0

Sen(xy-z )

( x V - z 4)1

Aplicamos Hopital

Si = {(x,y)eV>nx*, h ir * => U

(r a V -m V )

(3mx' -4mV)Cos(mxJ -m V )

3 (m V - m V ^ f a i V -8mV )

- =3^=*H# -m V )* (6mx -4m!xsj 0

Llm

O

n por (0,0)

S, = { ( ^ V O } = U = L n T 5 ^ = LJm(0) = 0

S* = =* L=

Puesto que Si* S. El limite no existe

I-Cos*1 - y 3) x8 +yt

gmirwwl-Ccefx -y M

L% . ^ y

En polares: x=rCos(e) ; y=rSen(0) ; 5^ +y*=r*

L=Lim 1- C0S[ rJC0S() - rlSen(tf)3

Aplicamos Hopital

= Lim-Sen[r'Cos(0)-r5Sen()](3r*)[Cos(t)-Sen(fl)]

2r

en[r'Cos(0)-r1Sen{?)][Cas()-Sen()] ^

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

O. LM>=mx=i Lime = e "= c * =

______ , ,_m V -3 m x ! +x*= V ^ ^ L !m - _ F_ 1- r _

-3m +l m -3m -11+m* l+m!

Puesto que depende de m

iSOJCIONARIQ AMAUSIS MATEMATICO III

1

s,=y=c^

xn/Cx , . Vo7 ^ W+W k r ^ T ^ 7 =

Luego;

( * ^ P ^ =0

A Lim j U / x! +y

O ( , . ! ^ 7 v

=* =-o

LJm ^ ^ = U m - ^ L = 0

s=y=x5 = Um [ 4 =Lim4 =Jx +x 2x 2

Puesto que: Si * S=>

^ SOLUCIOMARIO ANALISIS MATEMATICO di ^

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

Q Detiimiiwsifescontnuaen(10i,0}, dDotfe:

o f r y H a o )

J M H ^ y T Ta) fl]0r0> = 0 Por definicin

Por tanto, Lim = no esdste, dedonde L im ft)i,y)= no ex

ci PUesto que Lim 1FkV)= nocrte, la lui ( '

Q DEtem-iinar si la tunciim f ea continua o no, donde:

(W *** ; 0 H H I = q

La luncitn es continua en (^# =>

Sen*fx-y) . Sen* (x -x 1) Lim i l ai =Lim ? '

eH

www.FreeLibros.net

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

c) Puesto que ^ Uin^ f(x,y)=no existe, la funcin ea discontinua en (0,0)

^ Determinar si la fundn f es continua en (0,0), donde:

l o (^y)=(o,o)

I - ' * 1 ' " !

b>Tomaremos caminos que pasen por (0,0)

Si = {(x,y),/y=0} => =

S = {(x,y)eMVy^mx} =L = Um j f t l = L i m f 1' (t,>HoiL = , = Umx* ^ y

ULJyT^=Tn%=0

1 SQLUCIONARIO ANALISIS MATEMATICO III

c) Puesto que ^ l i^m^ f(x,y)=f(0,0)=0, la funcin es continua en (0,0)

Q Determinar si la funcin f es continua en todo 1, la funcin es continua ei

tanto en 91*.

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

1

3"3Scnl l2] x w ^ u - .. --------- J - L J - 5 S J]_I!5S->,[^ i T ? ] ~h -i

3 -3 S p | l L=Lm----------- ------------ Aplicamos H'oprtal:

-a a * [ ] ^Cos(^) 3*-vsp i fc ^ Puesto que SiaSt ^ m ^ f(xy) no existe:

3Senfll

u y r*5 ' 8c) la fundn es discontinua.

3-3Senf X- - ^ - Z- - ^ ) , ) Analiza la continuidad de la funcin f en (0,0) donde:Lim ------------- = -(x.+y.+z*)* 8

l 0 (x ,y)=(0,0)3

c) Puesto que ^ Lim^^ f(x,y,z)=- Ib funcin es continua. m t' iiyyry

Determinar la regin de discontinuidad si:a) f(0,0)=0 Por definicin.

b>

[ o (x ,y)=(0,0)Tomaremos caminos que pasen por (0,0)

a) f(0,0)=0 Por definicinULjm|x+0+ ^ j =0

b> K ^ .)^ y)Tomaremos caminos que pasen por (0,0)

S, = {(x,y)K,/y=x} => 1= ( L im ^x + yi j

B _ SOLUCIOMARIO ANALISIS MA.1 m a i iw m

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

DERIVADAS PARCIALES

ir di 81

Hallamos primero ^ derivamos parcialmente respecto a x (y constante):

J2v,'\x'+y*ty|(x, + y')7x,- y '

V?xy*|y)Vx + y \ V - y

/g x / yx * -/

&Ahora ; derivamos parcialmente respecto a y (x constante):

HSOLUCIOMARIO ANALISIS MATEMATICO III

mi d fV - y * ld y U '+/ J y*

k Y * - /

& = Sy

8z Vx'+y

2J x '+/ - x ' +/ !

(x*+ys)(xB~yt)1

( * ) . )

3y 2/2y* |

(x*+y*)((x*+

[ (x*+y*)

y*)(-2y)-2y(x*-y*)) -2xV(x:Vy*)

a V v ( :

-x-y

W V (x*+y

-x*W?37

*/777

N

0Z i/x* +y I

f2/(x*+y*)Vx -y* >/2

f(x-+/)(-2y)-(2y)(x*-y*)]

M

1 2x*

- x ^ W T ^7H(777j7?T

b) z=Ln |xy'+yx +^1+(xy*+yx*) j

J fv n .V 'T W

Hallamos primero , c

SOUJCtOMARW ANALISIS MATEMATICO DI

:

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

[x y +yx ^ x y +yx*)*] = > g =V+yx*+Ji^ y*+y?7*y* +yx* +^i+(xy*+yx f

az

L > K ^ n2^ 1+(xy*+yx*;u ^1 + (xy+ yx]' Jx

( / -c3z

xy*+yx*+^+(xy* +yx*)1

4 t * 6 i Ix^y* +yx* + ^1+(xy* +yx*), j

(y* +2x y )^ 1+(xy*+yx, )f +x/+yx*

s= Ln^xy* +yx* +| l +(x / +yX ) ] = 3xy +yx* + ^1+(xy* +yx)*T

xj^+yx +V H V +yx) J

f , o _ 2(xy+yx )(x +ixy)l

8^ i+(xy, +yx*)* | ajl-^xy'+yx*) J

xy, +yx, +^l+(xy, +yx )'J j xy* +yx* I +(xy* + yx*)* J

* | v * y x , ^ fM v 7 ^ 7 j [ V + y ^ i + K + y * )1]

* ^ ( x y +yx')*

C) z=xyea^ **)j r T T r ; *.*7y

Hallamos primero , derivamos parcialmente respecto a x (y constante):

z=xy = > ^= xV e*n '> xye"6 [Sen(*xy>]'

=y e ^ * + xy Cos(xxy) (nxy)' = y ea"fc",) + xy* e^^Cosfiocy)

Z=xy => ^ = y x e ^ + xye5"*" [Sen(*xy)]'

51 =xea^ w,+ xyea^ >)Coa(trxyXiixy) = xe*^,+xyxieafc,to 9(iDcy)

d) z=(x* + yt) l

1

www.FreeLibros.me

9\R

r

www.FreeLibros.net

Hallamos primera , derivamos parcialmente respecto a x (y constante): 8x

Z= (x'+y*) 1~ yiXf+y]

*

* (iW *+y'|

2-Sx(x*+y* )+()+y

ex (1+7777). ** -(''-te] |t+Vx*+y*J [ (1^ j

ra , derivamos parcialmente respecto a y (x constante):

'- 5

(i+,/777)

,-2y(#+y*)-4y/x! +y

* (t*/x*+y*) _ ( u T O f+ Arcsenl i H |

Hallamos primero t c

f S M S ')2:)

z x ^ [x y -x -y ] | I (x y -x -y )' 1 J ^ - x - y^ y - (x + y f ^ \ (x y -* -y )(x y + x + y ) xYxy+x+y

dzAhora r derivamos parcialmente respecto a y (x constante):

t W ) T I ***$*

SO LUCIO MARIO ANALISIS MATEMATICO NI

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

(V -V x -')' V

* f ( ^ ) 'dz y ^ j x y -x -y j ___ 1_ I (xy -x-y )* ^ | j x y -x -y

Jx V -(x + y ) y*|(xyr-x-y)(xy+x+y) y^xy+x+y

Hallamos primero ^ , derivamos parcialmente respecto a x (y constante):

= 2xSen* (y)+ye**^ -(-2x*ye**^

52Ahora , derivamos parcialmente respecto a y (x constante):dy

? = 2x'Sen(y) Coe(y) -t- xe"', + 2 x y V ^ '

I z=Seril[Ln(xy^]+CoeV-e)

Hallamos primero ^ , derivamos parcialmente respecto a x (y constante):

=2Sen[ln(xyi)]CoGfLn(xyi)] rWxyi )]x'W(e>-e-)Ser>(e>-e*Xe>-e*)

- B SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMATICO III

g=Sen[2Ln(xy )]h lj-3CoSI (e -V)Sen(e' -e*)(-e*)

= - SenlSLnCxy l^+ae'Cos -^e'JSene-^)

Ahora , derivamos parcialmente respecto a y (x constante}-.8y

V =2Sen(Ln)

| =!sen[2U,(xy ) ] -3 e W ( e ' -e )Sen(e* - e )

h) z=1^ (e ^- * )

Hallamos primero derivamos parcialmente respecto a x (y constante):

| =3T8* ( e - -e ^ )[T s (e ^ -e ~ )] ', = 3TS (e** -e'-}Sec*(e^ -e*)(e*" -e**)',

J? = 3TS* (e-'-** )Sec> (e*1* - e*1* )[c* (x/y). -e '* (yx")J

| = 3 T 8 ( e - -e - ) S e c * ( e * - -e - ) [^ :+ ^ ]

SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMATICO III

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

1 l

I { ^ )|? =Sen[2,(Xy )]^ j -3 C o s * (e -e* )Sen(e' -e)(-e*)

* ( ) w v-

* f ( ^ * * & * *

=-i Sen[2Ln(x/)]+3e*CosV-e')Sen(e-e^

Di y~*fxy-x-y] 1 I (x y -x -y ) ' i jx y -x -y v' x V - ( x +y)' y*)((xy -x-y )(xy+ x+ y) y'Yxy+x+y

Ahora ^ , derivamos parcialmente respecto a y (x constante):

=2Sen(Ln(xyi)}Cosi[Ln(xyi)][Ln(xy)}/aCosi (e>-e*)Sen(e'-e1 Xe-e1) dy

0 z=x*Scn*(y)+xyevg v T ry y rg

^=Sen[2i(xy*)]^j|-3Cos*(e-e'')Sen(e'-e)(e)

= 2xSen* (y)+ ye**v + 2xye***T* | = |sen[2U,(x/)]-3W (e>' -e )Sen(e> -e )

dZAhora r derivamos parciaJ mente respecto ay (x constante);dy

1 h> z=Tg>(e^-e^)

# y i i y v , ' y

? = 2x,Sen(y)Cos(y)+XE'v,,, +2x y V '*'1 Hallamos primero derivamos paroaJmente respecto a x (y constante):

g) zsSerfpiixy^l+Cos^e'-e*)g =3TS' (e*^-e-)[Tg (e > -**)]', =31fc*(e* -e --)s e c * {e ^ -c")(e' -e"*)'.

| = 3Tg* (e> - eT

www.FreeLibros.net

Ahora , derivamos parcialmente respecto a y (x constante)dy

| = V ( e - - e - ) [ T 8( e - - e - ) } T

| = 3TS(e --e -)S e c * (e- - e - ) ( e - - e - ) ' y

^=3Tg, (^ ,-e^,)See(e'v-e'rt) ^ ( x / - )^ -"* (y/x)yJ

z=Arctg(xy) + Arasen^ JL jM '/ V y ''T W

Hallamos primero ^ ; derivamos parcialmente respecto a x (y constante):

a (v)- . f e ) ' _ y . 0 +y)_ _ _ _ V . '** 1 + kV h ~ 1+XV (l + y) (^1 + y)! -xs ' + *V v'(i+y) -x*

dzAhora f derivamos parcialmente respecto a y (x constante>.

\ ( f y )1


j) z=Ln(xV) + Arctsg]

i

Hallamos primero : derivamos parcialmente respecto a x (y constante):ax

& = (x+y )-; +_ [ ^ _ =_ i _ + _____ i__________

^ x+yI ,+[yJ X*y' x* ^ y' *+yl x,+y*

Ahora =^u =_?y_+_L_ =_2l.+_ _Sy x+y i+ ^ j x"'y X' +Y' x+y* x,+y

k) z=5xY-2xy5J ^ T t r r .T g

Hallamos primero ^ ; derivamos parcialmente respecto a x (y constante):

^ = S(43/>-2ys = 20^ - 2/

Ahora ^ ; derivamos parcialmente respecto a y (x constante):

= 2x*y - acsxy4) = 2x*y - 1 Oxy*Sy

J

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

I) 2=x?+3y*+Ln(x+y)

Hallamos primero ; derivamos p

Ahora ; derivamos parcialmente respecto a y (x constante):

B - tM tH ') ]

J5 = Coa(x*)^sec1 ^ - - ] = - - S.* y* U A / J / y*

H )

f a>UA*DO ESBOZARAMOS

-^viiyyrwHallamos , derivamos parcialmente respecto a x (y constante):

3z_ c- ^ g(x/y) | ( x / y )__e* | 1/y1+(x/y)* " y (/+x*)/y*

& e~*^ ( y

Ahora ; derivamos parcialmente respecto a y (x constante)-.

& = 9(x/y) (x/y) xe~ ^ | -x/y* & xe~^ y x5y e +1+(x/y) yk +(y*+x)/y ac y* x +-y*

o) z = (SxV-y*+7)* _______

Hallamos primero - derivamos parcialmente respecto a x (y constante).8x

g =3(Sx!y -y > . 7 ) * ^ - ^ =3(5xV-y' +7/ (lxy)

=30xy(5x,y-y +7)*

Ahora ; derivamos parcialmente respecto a y (x constante):0y

^ = 3(5x * y -/ +7)* a(Sx'V ~ S +7) =3(5x*y_ y> +7)* (5x _ 3y*)


www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

Hallamos primero -y ; derivamos parcialmente respecto a x (y constante):

= 4x3-8xy8x 1

Ahora ^ ; derivamos parcialmente respecto a y (x constante):

= 4yI -8x*y

#-*v

Hallamos primero ; c

Ahora ; derivamos parcialmente respecto a:

a) f(x,y,z) = e*** Sen(xy)Cas(2xz)

b) f(W )= , "V ,

c) fCx,y,z)=e*+Aras e s

d) f (x ,y ,z )= x '-~

e) f(x,y,z) = xs+yA-3yz-x+z

m v w .i 'r m

a) f(x,y,z)= e*" Sen(xy)Cos(2xz)i) Derivada respecto a x (producto triple):

=v xSen(xy)c yEl'Co6

-2xe* Sen(xy)Sen(2xz)

ii) Derivada respecto a y: f | ^ z )

* Sen(xy)Coa(2xz)+xe"Co6(xy)Ccs(2xz)

iii) Derivada respecto a z:

M . =xye*"Sen(xy)Cos(2xz>2xe*Sen(xy)Sen(2xz)

i) Derivada respecto a X:

(x ,y,z) f** -t-y* +z*-x(2x)]

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

1 1

(x+yjVx'+axy + y^-x +aty-y* (x+y)V4xy (x+1)\xy ( x + l ) ^ "

Luego con (! ) y (8), la demostracin

x - ^ + y ^ 1 ' [7*?-V ^ y ]= > x -^ + y ^ = 0 demostrado.Sx Sy (x + y )L J Ox V

Q Sfcz=x*-3xV-2y,,verifiqueque: x -^ + y -^ = 3 z

Derivamos respecto a x:

= 3 i-6 x y ...(1)

Derivamos respecto a y:

^ = -3x-6y* ...(2)sy

Ahora verificamos con (1) y (2):

x | + y ^ =x(3x*-6x-6xy)+y(-3x, -6y* )=3x,-6xV^x V V = 3 x '-9 x V V = 3(x-3 x V V )

x +y = 3z demostradoSx dy

Si u=Sen^l^\ verifique que: x -t-y -t-z =0 W V z / 8k df dz

Derivamos respecto a x:

s K t H


Derivamos respecto a z:

Ahora verificamos con (l), (2) y (3):

x -t-y + z = 0 demostradoSx By 8z

S: ; % V y ' - | rVtrilqUeqUg Xf +Yf ~ M 1+1)

SOLUCIONARLO ANALISIS MATEMATICO III

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

esin dada:Ahora probamos la expresin dada:

Av ftv Sw _X 8x*y y*Z di =Ai Ai Ai .prabarque: x +y +z +u=0

E & ty Dz

jfv H .y y r w

ft, _ -z (y + z )Sx (xy+yz+xz) '


*!*s*-x(-3-7*M -7M )x +y +z

E* 8y n. x x y x y x

Xac+ y Sy+Z0z~

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

1 1

Q Si: u=y*+Tg(ye probar que: x' ^ = 2y*

^TiTur^r-TW

Derivamos respecto a z:

Ai (e +e'+e*)ew (x y )-e V w e^xye1+xye'+xye*-e ) * (*+eT+e*)* (ex+cr+c*)*

Ahora verificamos con (1), (2) y (3)

g =Sec* ( y e * ) f ^ D = ^ (xJ ySec* { y f f i Z p = ^ S e c (ye )..* ) 1Aj (u Ai e (y 'iyTe'.>-f) e1*, | y - " ) e*'1Ixytf . *yt> .xye *)* * * * * ( r ( 'w y


^ = 2y-Sec* (ye** = 2y+cwSec* (y*" ) . ..(2)

a x ^ + e. (e*+e'+e*)

ai Ai Ai eW[(Vz+xz+xy)(e* +eT+e')-(* +er +e1)] "S +^ ' KS (e, +eT+e>,)k

Ahora verificamos con (1) y (2):Ai A i, ai e**r(e*+e>'+e>)(yz+xz+x y -1)] At+^ + * (e'+er+e*)

x * ^ + y g = -y 6,'*sec (ye,,) + V ^ s ee ( ^ )

x - ^ + y -^ = 2y* Demostradoc

www.FreeLibros.net

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

1 1

Luego; ). Demostrar que la funcin z= + - + - satisface la ecuacin: w 2y 2 x y( ac * * ) 1 * + * x * g+ y*g =

,fau . a , . . ^ _ g(x, +y*)z 3z l de v &J f(x+y*)4 *V+y* M VHVV.'J

3f , ! + y ^ + z ^ l = - ^ + ^z( & 1 7 + 7 7 x ^ 7 Derivada respecto a ^ = 2x+ ' i = X+'% < 2y 2 x* y 2 x*

3 x + y + z I = Z u Demostrado { S*. Sz) $ y +/ Derivada respecto a y: =-2 +-L V 2/ y*

xy Ai Ai Ai |M Siu=x+-------, probar q u e =1w y -z & V & x ^ + y * ^ = x * + 2 -l l+ y * f 4 + 4 l= + l -1 -^ + l u V (y 2 x j y1] y 2 2

M '.'ii v.'TW 1 8z i tu. x1x ^ +y ^ = 7Derivamos respecto a x:

a c - y -Z V - (y _ z) ( y . xf Demostrar que la funcin z=y'Sen^ j , satisface la ecuacin:

a> - ( x- y ) ( - i ) x-y ^ (y-z? (y -z f x +xy = yzat 0y

oj Su ( ai da n ( 1 z -x ( x -y ) ( y -z+ z -x + x -y , ( 0 1 A M IIV .WSL at+ay+ ai 1V * +(y-z)*+(y -z ) 1 (y_z)* Las derivadas parciales:

ai | ai | a j_ 1 s - ^ b w m o b )" ac+ ay+ z

B ----------------------------------------------------- E

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

g = y** [ ^ ( y ) + l ] Q c o s g ) + y ^ S e n g ] ( i )

Luego en la expresin:

+xyy^ * [Ln(y) + l]^ jc o s ^ J+xyy^S eng j^

+yy'rf*[Ln(y)+l ]C o s ^ j+yy^SenJyj

x - | . x y | = -y y > -C o s g )-yy"Ln(y )Se n g )+

+yy"*Ln(y)C o s ^ j+yy^CoS^ +y^'1'S en^j

Z I SOLUCIONARIA ANALISIS MATEMATICO III

Si (f) es cftferenciable y R(x,y) = f(x-2y). Probar que:2F.(x,y)*Fr(x,y) = 0

JT -T n T V T T

F(x,y) = f(x-2y) =* F, (x,y) = f (x-2y) ; F, (x,y) = -2f(x-2y)

2F,(x,y) + F/x,y) = 2f(x-2y) -2T(x-2y) = O

Sea z=f(x,y), x=u+v, y=u-v. Demostrar que:

(HHX)g - v u r ^ n r

Las derivadas parciales:

=f(x,yX+l)=2f(x,y) ...Cl)

= 2f(x,yX0M> ...(6)

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

Supongamos que ffx.y -^EV1' y que g, h son incicnea rales: que s(5)=3, h=&.Hallar FfS) al F(t) = f[gft}r hft)]

* T .1HWM DErivanra nespedio a t la funcin F:

F -O ^ fK U h O lK t^ h C]

De donde fl^y) = ^ [ - ^ + ^ 1

F'(2>f KS), h^lCgTaHh'S)] a9(3>^hCK>5 =- PM2), h(S)] = F3,5X4-h6> = 10F{3). .. M 3 =*Co

www.FreeLibros.net

if (O,.? / 4 )y

Q Sir=Lnfx+X IhaJIar^l y ^ jw I 2xJ ac|^ ) e|^ t)

z=u,[x+i;)=,(2x+y),(2x)

(^ y)_(glc,+y). ( * ) ,_ 4x g_ 4xSx (2x*+y) 2x 2xI +y 2x 2x*+y

(x ,y ) (2x> * y j 1 y (Six* +y) 2>f +y

En e) punto P(1,2):

__ 4___1__1 M 1 _1= 2+3 1 5 ; 2+3= 5

Q a f(x,y>= ^ x y + i c a la ila r^ 2] y ^ ^

J ' T V . W

Arreglamos la funcin:

f(x,y)=Jx+^ =Vx+ xp

I SOLUCIONAR ANALISIS MATEMTICO III

gf(x,y)_ (xy+xy^)v y+y-!

Z^xy+xy1 a^xy+xy"1

af(x,y) _ (x y+ xy)v _

V S^xy+xy" 2y,xy+xy'/2+2 2 a/aTI

Si z=etxCos(y>ySen-ySen(y)] + e*Coa(y>= e> [xCos(y>ySen(y)+Co6ySen(y)+2Cos(y)]

| 4 = e* [-xCos(y)-Coa(y)-Cos(y)-ySen(y)]

1

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

D .......

- H = e* [-xCos(y)-2Coe(y>ySen(y)]

= e'CxCosCyhiSeniyHSCoar)]* (-xCos(y>2Coe(y>ySen(y)]

S'z 'z _ X1 ' Vs "

z = In Vx*+y1+^Arcts^-j

JE2EHFz = L n V ^+ y -^ A ra 8^ j = J u . ( x , +y*)+Airt8^ j

(x*+y*)_ x*+J

* (*') 6 ). gy , 4 ____________ *y+* s(x+y> f.+gj] 2K+y*) *t+> *+*> x+y

z g (x + y )-(g x -y )(2x) gy - 2x- +2x,^ (*,+ V*y (x*+y*)T

I SQLUCIQNARIQ AftUSIS MATEMATICO III

>2 2(x, + y )- (2y -x ) (2y) 2x -gy +gxy(x*+y*) (x*+y*)

d'z S'z 2y -gx*-t | 2yll- 2x!!+2xy Qax* ^y* (x'+y*)* (x*+y*)s

Q Si V=Aras| ^ i I. Demostrar que:

"Sx ' y ' Sx* 3y*

# v 'n y v T w

la derivada respecto a

a . (1 B y ( x -/ ) -2xy(gx)(x, - / ) S 2x*y+2y1* Hft K - . J T W /

Derivada respecto a y:

( 2*y 2x(x - / ) + 2xy(2y)

(x -y*) gx*y+2xJuv -y jy ______ -y \________ x^y-j-^x* = 1+^ ) ~ "(x*-y*), +4x'y*

8x Of (x* y*)* +4x*y (x, - / ) , +4 xV

1

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

l V _____ Ek'y+SV3

g,v [ ( * - V" F + 4 * Y ] (4xy)-(at- + Ey3 )[s - y* )(S*)+By= ]

jfy gy(g/-x*-Bxy*)

La Begjmda derivada respecto a y

By (s * _/ ) +**?y

e*v [Cx* - ) +4k^ s] C2* ) - 13**^+yJ )[s ( 1 - y )(-y)+exy]

[(x " -y = f + * x V ^

,iy 2ifan'-xg-eKy')

^ ' [(x - y - ^ ^ V ] 1

giv ByfSbJ -x a-Bxy*'] Exfax1 -x^Sxy*) ^

** v [ ( ^ - / f + ^ y - J [ ( * - / ) +4 * v J

1

___ . . ., tfV 5*V & v . ,. Demostrar que la ecuacin + + - = r satisface pc+ :T r &fC jr dr

Derivamos respecta a k

y = =- f r + ^ r =# l+yl+z=)3

a V J (x* + y1 + z* )J -x (5 / zy x1 +y* + z1 (gx)

j*y Jx1 -ny1 +z! |~x! -Hys-HZ! Se1"] y ^+ z^-Ex*& l = (x-+yVz=)r ' ( x V y ^ r

- y p j a f r V + y ^ p y )

& (x + y ^ z 1)1

?v _ y j* +y, +zt [j-4-y1 -t-3 3 ^ ] _ x^+z'-Ey1V (n-i-y -hz1)3 (?+y +^)V1

SOLJUCIONARIO ANLISIS MATEMATICO III

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

v V (x* + y* +') [x* +y'+z -3z] x*+y*-2ztte = (x*+yf+z*) = _(x*+y * * f '

Ahora verificamos con (1,), (2) y (3):

8'v 8'z # v _ y+z*2x* x*h-z*-2/ x*+y*-2z*ftt* ay + az*"(x +y +z*)M (x' +y*+z)M (x1+ y '+ z ')M

~TT,~ ? hC t =0 Demostradoa? = -q4Ae-*MSen(pt)Coa(c|x)...(I)

Ahora derivamos respecto a t

^ = _ L SenfptlSenfcpO+pAe^CostptSeryqx)

H SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMATICO III

c ..

kAc* kAe"^p = ------ Sen(pt)Sen(qx) Cce(pt)Sm(qx)-

Cos(pt)Sen(qx)+ . Sen(pt)Sen(qpO2 2

L| _ (k~l' 2p) kAe Sen(pt)Sen(qx)-kpAe * Cos(pt)Sen(qx) ...(2)

Arreglamos la expresin:

f W 4p, -klkAe'i^4- + k ^ =i--------------------------------------------- -Sen(pt)Sen(qx)

j =-qiAe'*wSen(pt)CoeCqx) =

g j Su

www.FreeLibros.net

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

1 1

1 . Si f(x,y) es una funcin de x e y donde x=Ch(u+v), ySh(u-v), demuestre que

d'vHallamos

M l! 3 En la funcin dada:

Pero = Sh(u-t-v) =Ch(u-v), de donde:ftj au v

M M ) ^ l= f (x ,y ) [S h ( u +v )+ Ch(U-v ) ]

La segunda derivada:

5 ^ 2) . r ( , y | [ ( u v ) . a . ( 1i - v ) ] , *f(>ty)[ci.(u* v ) . a ( - v ) ]

Luego: a m . ! H ^ 5 Z>sx>f ^ - < l w ) ( *1 )

g a . q w ) [ s h ( ) - a , (u- , ) ]

^ 2) , r ( , y ) [ ( u . y ) - C l . ( u - . ) ] , . f (x , ,| (C h (u ) a (o - ) ]

SOLUCtONARJO ANALISIS MATEMATICO DI P 5

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

Ahora arreglamos segn la expresin pedida:

J l M = f,(x ,y)[a i(u + v)+C h(u-v)J +f'(xry)[a i(u + v)-t-Sh(u -v)]-

^(x,y)[Sh(u+v )-a , ( i i -v ) ] , -f (n y )[C h (U+v )+Sh(U- v ) ]

^ y ) _ < f^ y ) = f.(Xfy)[a ,(u+v)+ C h(u -v)]' -f'(x,y)[Sh(u+v )-C h (u -v )/

3 ^ J ^ y ) =fi(Xiy)[2sh(u+v) ch{u_ v )]_ f.(Xry) [2Sh(u + v )0 .( -v)]

g*f(x,y) .4 P (^ y )a (a +v )+Ch(i.-v)..

4^(x - l ) ( y +, ) = 4^[ch, (u+v )-l ] [a ,* (u -v )+ l]

^ ( x , -l)(y* + l ) = 4VSh*(U+v)Ch*(U- v ) = 4Sh(U+v)Ch(U- v )

4V' ^ ) ( 7 T } ^ ^ = 4 S h ( U+v)a ,(u -v )f -(x >y) . ..

Comparando (1) y (2):

1SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMATICO III

Q Si =[f(BJC+y)+s(a)c-y)] - nr>oTar - g = 7 ^ ( y * f )

J2EEFF(x,y) gF(x,y)

[rff (ax+y) -t-aFg' (ax - y ) ] ...(t)

Ffcy) 8F(x.y) ax yy Sy

^ ^ [ f ^ + y j + g a x - y ^ i t f a x + y j - g ^ - y ) ]

-f(ax+y)-s(ax-y)+yf'(ax+y}-ys'(ax-y)

Derivamos respecto a y esta ltima expresin:

-I----- fâx+yJ+âx-yJ+ftax+yJ+ylâx+yJ-gâK-yJ+yg'ax-y}

,F(m O]

syfax+yj+ygâx-y)

V

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

CJUTliim1 r EDUARDO EEP1NDZA HJU1DE 4

De{1)y

1 * J DemoBtiajdDa i y 1 By

^==f'(x:^Ba,y-fc]a ,z-cu)

^ =,E =f ' y _ J t ( x - + * C1- L ]

* a'fiiL,/] t ' iv- L f f . +f=f. S i l f r y H i , d e r ^ ~ - ^ = W ^ J*

f, = ^ = f ,(x-awJy-tKifrz -C E f)(-a -b -c )

. i O . I f ( * - ^ ry - W - M 1 a

1 f 1 V W T _ (-a- tj- c) '(3_flfljV_tto'I_ t 'a)J a+b+ c

T(x,y)* [f(x,y)]3

V t j L(-j - b- c) fl(K- ^ y - tte'z - b )J a+b+cr( [ f ,(x -a*,y-tM ji2-b*i) "I c

^ L iJ [( -a -b -c )f '(x -a a Jy-bejrz-bfl)J a+b+c

a-r(^y) ^(,y){[i-(,J')]i - 2*(,v)^>y)+p(xy)]'} n ^ r f r A - r i p u r } } ' ^Pfry)]' P M T

Finalmente:

aajL^bfg -i-cap = -h------------+-------------=1 Demostradoa + b+c a+b+c a-i-b+c

Rrobair que si tx-an^ y^bE. z-bn)=0 entonces aaii+ bEk4-cok= 1 ^ Demostrar que la Midn: z=l(xy)+ j , satisface a la ecuacin:

Mediante denracin implcita:-UH

* = - y =ffi:= iy=

% *T %" T ; " , = T 1 ^ = t j T ' i i i ^ r w

Drivmes respecto a xHallamos las dErivadaE pardales anteriores:

^ = ^ = f ,(x -a Jy -tw ,i-c w ) ; ^ = f'(x-a

www.FreeLibros.net

Ahora la segunda derivada:

Denvamce respecto a y:

Ahora la segunda derivada:

Ahora verificamos con (1) y (2)

Dada la funcin z=fCx,y) donde x=eCos(v) , y=eSen(v). Calcular +

Aplicamos la regla de la cadena: z=flx,y) zsfty)

H SOLUCIONAR ANALISIS MATEMATICO III

Aplicando la resla de la cadena se tiene:

^ t-L flz ay sr~ax'sr ay'ar

s ( d i \ s (>t x dz gysa-larJ a l & a y'arj

_ en #x | ac a | &y az t ay a f az'j S? flx'a* + a ' a ( , j + a ? 0y''~'al,0yj

SN -Aplicando la regla de la cadena para calcular

jL(i)=jL f k ^ .tJ L ') ^ ^ l - a* ftc!

www.FreeLibros.net

En forma similar para el taso de r

, fz e , i?1* & fi^ y z'ayai'aj "& + ^" at'a=

^z ^zfacY | | a^ g at gy | az ac 'ya i x * U u j+iyHajJ ^ ert5x'aj'u + & 'a 'f ly aj*

.V

ti (1)se tiene:

u1 ( y ) mEn la misma forma pas r es dEcin

0"z a tY | 0y Y 0 Stav1 _ a:l VsrJ 1 v ljESj yfilK's/Sp E

> t_ a'xJx = e cos' ai'1 |y = e'seni' Z = esenv a y

flz a*x | Bz g*y fe i3y! *y 3k=

- j OQSl'

Reemplazando (5) en (4}ae

Zi!ff| iUIJ^ IQMAlQ ANALISIS MJlTHIATICQ III

Sumando {3) y () se tiene:

&z frz. Sa[^ i ^ U d o nd e , - g ^ =e* f c ^ ' l# J a^ l.a }

^ Sea la ftjiwifin FiXy.z) = w^+K-S^y+ftz-l)11. Hallar ^ y _4 en los prnitos de la

superficie de nivel que pasa par el punto {3, -2, "l).

a a* S f

K w * = > V + 5fx-3)* (y+2)7 (-1)11 =* Fl(3r-^1) = 4 Oawfc = 'brrz + 7(x-a;r y+af FC3,-E,1)i = 36 F=H)Cx-3>l (yt-2f(z-l)11 =t F

www.FreeLibros.net

; 2 = f ( x - at) +S-(x+ai)

a v y .St* '.V ' = a V ( x - a )+ a V (x +- ) f = f ( x - a t) +S-(x +at)

rando las ltimas ecuaciones:

^ = a' - 0 Demostrado

. Mostrar que la fundn: z=Arctgj -^ |; donde x=u+v, y=u-v satisface la relacin:

Yac x*+/

B SOLUCIOMARIO ANALISIS MATEMTICO MI

dz L thC (z V y Xa i ^ a i ^ A i - ^ * ? x +y

_ te be cte 3y y xT i " x l v " 7 7 ? V + /

2 (ii-v ) u '+ 2uv+v1+ u! - 2uv+v!

2( -v ) u -v2 (uf-t-v*) u*+v*

^ Si u=Sen(x)+f[Sen(y)-Sen(x)]; mostrar que:

g c o a ^ g c o s ^ c o s ^ c o ^ y )

Cualesquiera sea la fundn derivable u.

Syx'

^ = f'[Sen(y)-Sen(x)]Cos(y) ; ^=Co9(x)-f[Sen(y)-Sen(x)]Cos(x)

^Coa(x)+-2-Cos(y) =f'[Sen(y)-Sen(x)]Coe(y)Coa(x) +

+Cos(y)Cos(x) - f[Sen(y>Sen(x)]Cos

www.FreeLibros.net

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

1 1

Hallamos el gradiente:(l3 ) n (1 ^ .| ? = -W 4 u J -2 v | ;U ----- _ t 04)8z ^ *i) fi 1+Suvu

Ahora ^ ) : f c J = uv J +uw| + w |...(1 5 )

Eh(13) 00 4V'^ .^ p r - ^ _ Y + 3 v j Z + 7 F=1

8z 1+8uvwE n d li tm- 1 El ngulo se calcula de:dt 1 +8uvw VF.Z=JVF))2| =Casda o a f c ) , - ' * * " _ < , x+3xjx' +y* y+3y/x*+y* ,

* v i s ? j i f c ? - - W H )

)J V 2 ^ X+y+9(X, +y*)

Finalmente

Sea la superficie & z=/x* +y* +(x* y*)1* y N=N(x,y,z) un \Oor normal a la

superficie S en cualquier punto (x,y.z)=(0.0,0). Si 6 es el ngulo formado por el vector N y (H*** V lx" H w ^ vf276^x*+/ + 9(x*+y, j V5

el eje Z, hallar ^ j Si:f(xltv . j O ------------------ ------------ , calculan(x?+x ^ + _ .< ) -

Sea:

F=Vx +y, *(x, +y, )M - zSea.

^ (*+ *?+*?+- O ^ ) (=*.) =

SOUUCIONARIO ANAUSIS MATEMATICO III SOLUCIONARLO ANALISIS MATEMATICO Bl ^

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

^ -(1 -n)X.(x? + xj+x5 + -(l-n)x,(*f+*+jcV ^fay)* 2_sX mSu at^aij + V U J + x8y'au'!u + Sx'Ba*' dy du * '"

= e"seni'

en (1) se tiene:

fz r f z )

I SOLUCIONAR ANAUSIS MATBiIATICO III

En la misma forma para , es decir

!?z _ fz ftcV . az yV [ ^ fz ex &f t Oz &x te a*y rV _ < v (< v j + (V U 'v J + tyx'Sv V*

Reemplazando (5) en (4) se tiene:

Sumando (3) y (6) se tiene:

. f a V a V lb v J

) Si: u=F(x,y), x=rCh(s), y=Sh(s), calculan u-u

i r r a r y

u=F(x,y)u=F(x,y>

=> u, = Fu,= F(x,y)(r,+sO pero 1 =Ch(s)s,

las segundas derivadas parcialesu = F(x,yXr.+sl/ + F(x,yXr+0

pero O = rCh(s) + rh(s)s, + r,Sh(s}+rCh(s)sV = F(x,yXrr+s,)*+F(x,yXr+^,) pero ft=Sh(sXs,?+Ch(sXs>

SOLUCIONARtO ANALISIS MATEMATICO III

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

Sean u=e'Coe(y), y=e'Sen(y) y = J 1 a/ "*

. ac (x+y) (xy)

/at.cdukparu.i SOLUCIONARLO ANALISIS MATEMATICO Hl

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

Sfoy) S e n ^ y ) 1] ySef (k + y )(xy ^ [ ( x + y ) 1] Sai|~(x,y)(xy)]at (x+y) sy (x+y) x

ai Hallamos ' :&

X = ^ * V T zW i+j^-iffV+z, y*z+x, A+yXny+1 +Z1)

=xzfl>fy+zr yVi-x, ^x+y)+xy2f^y+zr y z^+x, x+yX+B>n-1 )

c) Hallamos ^ := xyflxV+z, ifz+x. rW i+>y^f(iV+z, y W , zVyXI+y'+fco:)

SI x+y^u+vy, xyt=(u^v^ pruebe que:

/ s ./ 0 1 =fi s r*f f'l

#*'1IV?'TLas VBriablesx e y en trminos de uyv:

x+y^fu+y)" ; x^=(LJ-Y;r =* 2K=(-u+y)n-K;u-v)"

_ fu+vf 4-(ii-v)n [u + vf - { n - v f

- = f ^ y ) - = f ( * y ) _ = f ( ^ = f " ( Kjy)

= f ^ y ) ( x , + yT) ^ = f ^ y ) ( x I +yT)S+f ^ y ) (x ^ y )

_ ti{u +y ] T - n ( - y fD^de x = ^ " i s ^ ; y. =~ a

n(n 1>(uiv)"iF

www.FreeLibros.net

c*f t*ftto' Va

w

= f(x1y)n,(u+v^>4 + f(x,y)n(n-1 Xu+v)4 + f"(Xy)n,0>+v)**>4 +

+ f(x,y)n(n-1Xu+v)r

www.FreeLibros.net

> Demostrar que la fundn z, determinada por la ecuacin y=xf(z)+g(z) satisface a la

& >z a h to ) '

flz P, f(z) (O. F, 1 1ac= F_ xf'zj+s'z) 0y= F ," Jrf'(z)+S,(z )"rf '(z )+ g ,(z)

IL f(z)[f(x) + xf(x)J

* z ( ? 2 ^ h - + ( - ' i 2f(z)f(z)5 ? U r J d x fy d fi& c ) [f(x)+xf(x);f [f(x )+xf'(x)J

M (x,y)*(0,0)

0 (x,y)=(0,0)

Es diferendable en (0,0)?

Z ISOLUCiONARIO ANLISIS MATEMATICO III

Para tener derivada diferendable, la funcin debe ser oa) f(0,0)=0

b> Js!SU/C^.y)

% ^ 7T77=4%7 =

c) Puesto que f(0,0)= ( Lim ^f (x,y) =0; la funcin es continua.

Para determinar si es diferendable, hallamos las derivadas pardales D,f(x,y) yMOW

yyx +y y3

x+y' (x*-y*rChf(x,y)= -

Para tener derivada direcdonal, la funcin debe ser.

(x ,y )

SOLUCtOMARJO ANLISIS MATEMTICO I" i ~ g

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

M . (x ,y)*(0,0)

(x ,y)=(0t0)

www.FreeLibros.net

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

y (f j =y**(x+y)-^*'(x+y)-yi

(g -g n **

J I =2x3x+y),+xV(3x+yiX3x+/)-=2>i+(3x+^ H3^ '(3x+y*)

=xV(3x+ylX3x+/)'=2yx,*(3x+/)

Arreglamos la expresin pedida:

d) f(x,y) = xfcxy1) 3x^- -y =3z6x tye) lfcy)=^*(ip)Sen(6), z=>Cte(q>). Calcular i^f Sp 00

x=rSenOp)Co6(0)

|=Sen(o)Cai(e>

* =rCos((p)CQs(0)

=>rSen()Sen(0)

y=rSen()Sen(0)

^ =rCo9(9)Sen(0)

& =rSefi(o)Cosi0)

z=rCos(i>)

S-0-

* = 0

Twww.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

Xy) =

g - v i i v y ^

~ \ te'Si'az.; ~

en P( 1,4,2): Vf=(es, e2*t 4e)

d) fl[x,y^)=Sen(3x)Co^(y]Ts(z) P^0,,j

MTi:ilT?!'TT

Gradiente:

S fCx,y,z) = SenOxiCos'CyyrsCz) =>fly z/

vf=+y,+z* Pftl,!)

SOLUCIOMARIO ANAUSIS MATEMATICO III

Vfeyz''1>En P(2,1,1): Vf = 2+0+1 >

Vf = +3>

f) Hallar Vf(4,2) si f(x+y,x-y)=xy+y*

Hacemos u=x+y v=x-y

Vf = en P

www.FreeLibros.net

1r 1 ~

u+v-Dr Eu+2v + 3r 11u-5v-3r ! 13 J y ^ ^ U 13 13

Hacemos u=K-;y^ z r v^hc-z , r=-v-ySumamos v a u y t; para eliminar y: la faran es:

u+v=-z 1 r+v^2x r v^+{r+vys+{u+v)ffi r )&(r+iiy2

Luego 1: tSr3 + EEu3 - 4V3 - 144r"u + 1Qu + lflvS4r 2197

r^+i/r-i-ur + uv+T*-i-Sru+ij1+iu + iv-i-u*+uy fl&w) ------------------------ -^---------------------

las derivadas parciales:a 6uT-144rs-i-1fl Bf 1-12v*

Er*-i-vT-i-euv+4ru-i-2ul r1+vr + uv-i-2m.+us au ivn ' S vvn

luego el gradiente

f_ S f(x-+y, x-Sy+3z, 3x-Ez, w-1 >=xy*n. Hallar el gratentE dE fen (1AV)- Luego el gradiente:/ a 3f Sf SfV 1 71 1E1 341 fl\

Hacemos u=x+y r v=x-y*3z i f^ =3k-2z , t=w-1 Eliminamos y de todas las variables anteriores:

u+v^ =2x-+3z , 3x-2z , :=w-1

\aT& fJa-'at/ \ 21972197'2197J /

1 ^ En cada ejercicio calcular Ehh-4 en el punto P para el cual p es un VEatar

Ahora z: unitario en b direccin de PQ2u+2v '^ix+E=t 3r=9x- =t 2u+2v+3r= 13x Eu+2v -h3t ,, , fam-Sv+Sr^ ,

13 ss- * - ' - 3[ ,3 J - '

H> f f w ) = ^ 4 PClAOj; A 1)

SOCIOMABIO AHiLISIS MATEMATICO III

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

1

e) flCx,y)= eArctg(y), *0.2); Q-2,5)} Vector unitario

M v \ y y 'TWDeterminamos el gradiente:

=> Vf= en P: Vf=

F=^+y*-2x=0 =>VF=' =\hk ty!

( # ) ^ - ( 4 1 )

PQ (-8 ,$Vector unitario: PQ =(-2) => M=|p^ =^T _

Ahora la derivada drreccional:

Derivada direccional:

D- = V z 1\ U Q = V 3 ^ = V3 * \ 2 '2/ \ 2' 2 4 2

vM3 V13 ^ Calcular la derivada de la funcin w=Arcsen | - j i , en el punto M(1,1,1)

OHallar la derivada de la funcin z=ARctj, ( | en el punto ^ i

en la direccin del vector MN siendo N(3^3).

perteneciente a la circunferencia x V y ^ s O en la direccin tangente a sta.

: n i " ' T Gradiente:

Vector unitario:

MN M = j ^ j =

^ J i U v w g 1 , , ,C )W \>xdY! \ ,+ ( y ^ ) U (y rc*}:Gradiente: = ( * " , * " & )

\ax a? a*)


Trftt.irt- _y/x* I/X ' -/ _y * \ Z 1 " 2XZ ,\ (x* +y*) / x*' (x*+ y*) / x*/ '..x +y x +y*/ w 1 T S ] / >/3/2 1/2 / l\

1 7 110w [x* +y* J. (x*+y*f 2xz

SOLUCIONAR ANALISIS MATEMATICO III ':4.t:;eruOTm

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

w= l* +ysJs _ (x * + /f _ 2yz

* " ~ v ( x ' ^ r - z ' ~ f r + y ^ f r + y ? - ;

* Ep

d - w ^ - / - i t- 4 r \ Ja i a =^ = i ! = i\ V3 V3 V3.' 3 v3 v3

Hallar la derivada de la fundn z=Ln(e1+e) en el punto (1,2) perteneciente a la parbola y*=4x, en la direccin de esta.

la pendiente de la parbola en el punto (1,2)

2y/=4 =* y'=Tg(8)=2/2=1 => 9= ^

Ja Jo''Veccor unitario: Vi =: Gos(0),Sen(0): = f , i

o - AE Vi\ M 0+)4 \ 8 2 /'Vl+e* fr/l+e*

^ Calcular la derivada de la fundn z=x*-y* en el punto M(1,1) en la direccin que forma un ngulo de 60 con el sentido positivo del eje x.

ti =

www.FreeLibros.net

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

Ahora la normal a estos gradientes:

J eln = VTycVG=I 6 2 3 =29i+63j+16k

1 3 -10

El vector unitario:

^ = n = -

El gradiente de la funcin:

Vf=*$12xy+2yzs,3yizt+3xzs> en P(l,2,3):

V ==

D f (1,3,2)= Vf .(-31,114,2701-.-

La temperatura en el punto (x,y,z) en un trazo de metal viene dada por la frmula f(x,y^)=eK*"'s gradas. En qu direccin, en el punto (0,0,0), crece

yox sz)


Vi,

1 SOLUCIONAR AMAUSIS MATEMATICO III

La direccin donde onece ms rpidamente la temperatura es el vector

Vf, (2,1,3) (2A3) 1 ^ -7 7 7 1 7 5 J u

Si C es la curva de interseccin de las superficies S|2=x*+2y* z=2x*-4y4+2. Hallar la derivada direcdonal de f(x,y,z)=x4+ y* + z*+Cos(iDcy), en el punto (2,1,6)a lo largo de la curva C.

Los gradientes de las curvas que 9e intersecan:

F = x*+2y*-z = Vf = VG =En el punco dado: P(2,1,6)

VF, ==

VG, ==

Ahora la normal a Sffji =2=> {2,1)/x,y)=2

2x+y=2 =>y=2-2x

Pero ^|=s.x+y*= = Ay=0 , x=- =*y*~

1 = (1,0);

El potencial elctrico es V voltios en cualquier punto (x,y) en d plano XV y V=eCos< 2>-). La distancia se mide en pies.

L Encontrar la rapidez de cambio del potencial en el punto 10, j en la

direccin dd vector unitario u = C o a ^j i+ Sen^^jj

iL Encontrarla direccin y la magnitud de la mxima rapidez de cambio de

Ven 0,4]

W=(-2-bCos2y-2e'-Sen2y)

=IN |= 2Gradiente: IIWHWo+2* =2

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

Si f(x,y) = 4x* + Qy*. encuentre la direccin en el punto (2,1) para la cual la derivada direcdonal de f tiene el valor cero.

^-yn.yyTWfC x .y ^ x W P(2,l)Vf=C8x,18y) = Vf=r^ '^/xSgi(x) - , =Um

www.FreeLibros.net

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

Recta normal:

x -x . y y, z -z x -a S / S x -b J / 2 x -c J / 2

d) xs+y5+z5+xyz=6en el punto P1,2,-1)

VFXx,y,z)=

VF2(y-1>2(z-1 )=0 => 5x-2y-2z-1=0Recta normal:

x -x . _ y -y . _ z -z _ x - 1 _ y -1 _ z-1 F, Fr F, 5 -2 -S

f) (zi->*)xyz-y5=5 en el punto P(l,1,2)

F=(z*-x*)xyz-y5-5=xyz,-xsyz-y5-5Gradiente:

VF(x,y,z>= VF(1,I,2) =

Plano tangente:F.(x-x J+F/y-y^F .(z-zjJsO

2(x-1Xy-1>l l(z-2)=0 = 2x+y+1 tz=25Recta normal:

8) 4+^x1 +y* +z* =x+y+z en el punto P(2,3,6).

M-Vx + y '+ z ' -x - i

t*y=

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

V R 3=

nano tan gante

5{K-2)+4{>f-3>4-(z-l)=0 = 5k+*/+i -S3=Uecta normal:

x -x . y -y . E-Jb x -S y -3 z-1F, Ft F. 5 4 1

h)

Bea FK)t,Y,z)= /x +^y +Jz-4 lftljl)- /8f f M f I 1 t IGradiente: j

W| a plano cnsente F ^x -^F ^y -y^Fji-Z H J

K-*>t-a^i>+ECz-i)=o =* K+E>H-2K-a=a

r ^ . x~ ^ r - y a g-^ i . x -4 y - 1 z- 1La recta normal: = = ; = = =* t = 5- =5-

i) X +z"=UenPi;-a,?7/i:)

Tilim VT*Sea ^ y . iH ^ + y ^ + z * 1- ^ ; P^OT/I) : SF J7F 3F*. f 2 5 2 lGradienoe: VF = , = , ,

'. S 5y dzJ { 3xvl Sy1 3 n J

En el punto dada VF, = ^ 2 ,| ,| j = (-3;2,)

SOUUCIONAFtIO ANALISIS MATEMATICO III

El piar tangiente FjK-^H-F^y-yH-Fxiz-zs tO-3v+fi>+Eiy-i7)-Ht=Q _ Ey-3x+6tfi4=0

. x -x . v y z -z l x+E y E7 z-1La recta normal: ^ = 11 = => = =

j) xi+/-3z=2 nPC-2,-4

J V N V /7TSea W&y.z^+yf-3z-S P{-2r-1,)

Gradiente VF=:

En el punto dado: VFP ={-4,-fi,-3) = {+,3^}El plano tangente: F jK-x^F^y-yfj+Fjz-z^ )=04+3 = _ = Flallar la ecuacin del plano tangente al elipsoide >?+Ey,+zt=1 de tel modo que sea paralelo al plano x:-y+fc=0

Sea F(xryIz)=Kt+By,+t-l

Gradien!: V =f2x,+yjEz)\fi 8y &, k

Con el plano dado: VFf ={V1,S)

Plorccntficin de planos paralelos; VFp=tWp

(2K^ y,fa)=kiClr-t,E>=E>^k 4y -^k 2z=21ck k i 1x = - y = z = k en la ecuacin de la Hperfirie: x +Ey+z-1=Q

1

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

Ahora, determinamos la. ecuacin del plana:(aH-U*'--J?

F,

Sea S una superficie de ecuacin x,+yi+zi-4y-S!z:+E=C|J porel piMito(1.r1,E) de S pma el plmox+y-zrfy la superficie 3xi+Eyi-E&l que originan Isa curvas de interseccin con respectivamente. Hallar la ecuacin del planD que pam por las tangentES a dichas curras en eI punto dado.

x+y-z=0 3^+>?-Ez=lPr tanto, el plano tangente a la ajperficie ser tangente tambin ; superfidea dadas. El gradientE de la funcin:

tff = (2x;ay-4,Ez-$J en 0(1,1#: Vf| ^ - S ^ X V U )

F x -x ^ y * > F :t N >(x-1Hy-V)+{z->=0 => x-y+z-E=D

Qtauentre una ecuacin del plano tangente en cualquier punto (Bjb.c) de las superficies S: x1+y1+j1s=k1 y luego muestre que la suma de las

a de este plano tangente con los ejes coordenados es una.

M -TI.i.Va TF

e la funcin: W =. y . = z - ^ . =. a* i5y ais a/f a ^ ij

ISOLUCIONAR ANALISIS MATB ATICO III

En el punoo dado: VF = - ^

La ecuacin del plano tangentH P/x-XH-F/y-ytH-F^Cz-ZM)

-4-^ = ^ i Jb+Jc Si hacemos Jk = Jan-Jb + Je

tW ^ =veAhora las inbemeccionescon los

(VtrVb,J5t) la suma: 3= -/k (Va +Vb +Vc J = 'JiJk = k

n cualquier puntD de S, Sene ui punto en comn.

j L - . i i v r T g

. *s .

" M * 3

"I,y y y1 v 'J

(3 ^ 2kd -2x1

SOUUdOHAHO AHAUSIS MATEMATICO III

I

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.net

EDUARDO EEPINOZA HAhflDE "} MHTUUHlf1

Luego: VF( ,PnT> = 0 El plano:

2x+y-z-2=0

Trazar un plana tangente b la superficie x* V=3Zj de tal modo que pase por

l > y j el punto A(0,QP-1) y que sea paralela a la recta:

l - s + l y - zLv y j U y\) e T e

3 4 s x ;| axg| x;vi vj y . vn

+^ + ^ = Sea el gradiente de la superficie F=jy*-32=0

V . Y. W |X yrz)=,,-3>

f3*; &c_1 'Ek! Kn 2x xj 3x* Sea el plano buscado:x + Ay+Bz-i-C^)

* [ y! J U r i y / y= BiPCQA-1) 0+t+B;-1>tC=a=C=BVP=Este pla

solucionario analisis matematico iii-

Documents