ESCUELA SUPERIOR POLITCNICA DE CHIMBORAZOFACULTAD: MECNICA

ESCUELA DE: INGENIERA AUTOMOTRIZ

PORTAFOLIO DE ANLISIS MATEMATICOPARALELO: 3ero AMATERIA: Anlisis matemtico

NOMBRE: JORGE GUAQUIPANA

CDIGO: 1668

RIOBAMBA ECUADOR

FUNCIONES DE DOS Y MS VARIABLES, DOMINIO Y RANGO, Y CURVA DE NIVEL

Ejemplo:Supongamos que tenemos una placa metlica de grandes dimensiones. Latemperatura(en grados centgrados) de la placa esfuncinde las coordenadas de cada uno de sus puntos y viene dada por:T(x, y) = 500-0,6x2-1,5y2

Representacin grafica de la funcinT(x, y)Mtodo para hallar el dominioPara hallar eldominiodespejamos (y) y analizamos elcomportamientode (x). Al hacer este despeje podemos considerar tres casos: i.La (x) hace parte del denominador de una fraccin. D un ejemplo .R: Sea la relacin R = {(x, y) / 2xy- 3y - 5 = 0} definida en los Reales. ii.Despejar(y) Quvaloresdebe tomar (x) (en el denominador) para que sea diferente de cero?R/:

Cmo se halla el dominio de una relacin, cuando la (x) queda en el denominador al despejar (y).R: Si al despejar (y) en una expresin (en una relacin), encontramos que la (x) hace parte del denominador de una fraccin, entonces para determinar el dominio de dicha relacin hay que hacer que el denominador sea diferente de cero y se despeja la (x).Mtodo para hallar el RangoComo ya se dijo el rango es el conjunto formado por aquellos elementos del conjunto de llegada que estn relacionados con algn elemento del conjunto de partida. Para encontrar el Rango de una relacin en los reales, despejamos (x), analizamos el comportamiento de (y) y hacemos unanlisissimilar al que hicimos para encontrar el dominio. Sea la relacin R = {(x, y) / 3x2 + 4y2 = 12}, para sta hallar el dominio y rango.Con slo observar la ecuacin diga quclasede relacin real representa? Por qu?R: Representa una elipse. Porque los coeficientes de x2 y de y2 son positivos y diferentes.Hallar el dominio.

Vemos que la (x) hace parte de un radical par

Solucionamos una desigualdad cuadrtica

Hallar el rango.R:La "y" hace parte de un radical par. Por lo tanto:

CURVAS Y SUPERFICIES DE NIVEL

Las curvas de nivel son aplicadas en el rea de la Ingeniera para mostrar en el plano curvas isotermas, mapas topogrficos de regiones montaosas que identifican las curvas de altitud de contorno de una superficie o lneas equipotenciales, por mencionar algunas. En las curvas Isotermas la lneas continuas enlazan la misma temperatura en la zona. En los mapas topogrficos, si se desplazara una persona a lo largo de una curva de nivel se mantendra a la misma altitud.DEFINICIN Curva de nivelEl conjunto de puntos (x, y) en el plano donde una funcin de dos variables independientes tiene un valor constante f(x, y) = c, es una curva de nivel de f.

Ejemplo Trazar algunas curvas de nivel de la funcin , para , c = 1, c = 1 y c = 4Solucin La funcin dada representa la superficie de un paraboloide elptico abierto hacia arriba. Si (x, y) = (0, 0) entonces z = 5. Las curvas de nivel son elipses.

para (5para (6)

para (7)

Solucin: La tercera de las expresiones del conjunto de ecuaciones (5) representa la ecuacin de un elipse con y . Obtendremos las trazas para valores de c = 4, c = 1, c = 1 y c = 4,

SUPERFICIES DE NIVEL

Si f (x,y,z) es una funcin de tres variables y k una constante que debe satisfacer los valores del rango de la funcin. La grfica de la ecuacin f(x,y,z) = k es una superficie de nivel.

Por ejemplo, los troncos de los rboles con muchos aos de vida contienen en su estructura interna superficies de nivel donde han quedado registrado los periodos de tiempo que han vivido.

Gracias a los aparatos cientficos que se han construido para la ciencia mdica podemos observar las superficies de nivel del cuerpo humano a diferentes niveles de profundidad de su superficie, permitiendo explorar dentro del mismo.

Ejemplo 1. Describir las superficies de nivel de la funcin

Solucin: Cada superficie de nivel tiene una ecuacin de la forma (2)

Si k = 1.

Donde

Figura 1

Si k = 4entonces

donde Figura 2.

Figura 2.

Lmite y continuidad de una Funcin .Comenzaremos el estudio de los lmites para funciones de dos variables, el caso para funciones de variables es anlogo. Primero definimos el anlogo a un intervalo abierto de .Definicin: Disco de Radio y Centro .Un disco abierto, o simplemente un disco, de radio y centro en es el conjunto de todos los puntos tales que su distancia a es menor que , es decir

Observacin: Si en la definicin (1) se cambia < por un obtenemos un disco cerrado.Definicin: Lmite de una Funcin.Sea una funcin de dos variables definidas en el disco abierto , excepto posiblemente en . Entonces

Si y slo si para existe un correspondiente tal que

, siempre que Observacin: Grficamente, esta definicin significa que para un punto cualquiera el valor de est entre como se ilustra en la figura

Como ya mencionamos, cuando escribimos que entendemos que el punto se aproxima a en cualquier direccin. Si el valor de

No es lo mismo para todos los posibles caminos o trayectorias de acercarnos a , entonces el lmite no existe.Entonces al calcular lmites podemos pensar en trminos de distancias en el plano o en trminos de diferencias en coordenadas.La definicin de lmites se aplica en puntos fronteras , as como en puntos interiores de dominio de . El nico requisito es que el punto permanezca en el dominio todo el tiempo.Puede demostrarse, igual que para funciones de una sola variable, que

Propiedades de Lmites de Funciones de dos Variables.Las siguientes reglas son vlidas si

1. Regla de la Suma: 2. Regla de la Diferencia: 3. Regla del Producto: 4. Regla del Mltiplo Constante: 5. Regla del Cociente: 6. Regla de la Potencia: si son enteros, entonces , siempre que sea un nmero real.Nota: todos los lmites deben tomarse cuando , y deben ser nmeros reales.Cuando aplicamos las propiedades a los lmites a las funciones de una sola variable, obtenemos el resultado til de que los lmites de polinomios y funciones racionales, cuando , puede calcularse evaluando las funciones en . El nico requisito es que las funciones estn definidas en .Ejemplo 2.1:

Ejemplo 2.2: Encuentre

Solucin:

Lmites Direccionales.

A la hora de estudiar el lmite de una funcin de dos variables mediante lmites a travs de algunos conjuntos es tpico considerar conjuntos del tipo rectas, parbolas y en general curvas de la forma Una situacin especial es el caso de los lmites a travs de rectas que contienen al punto, denominados tambin lmites direccionales. Estas rectas, como ya sabemos, son las de la forma junto con la recta vertical

Notemos que la existencia de los lmites direccionales no garantiza la existencia del lmite, ni siquiera cuando todos ellos coinciden. Lo ms que se puede decir es lo siguiente:

Si no existe algn lmite direccional o al menos dos de ellos son distintos entonces no existe el lmite.

EjemploCalcular los lmites direccionales de la funcin en el punto (0, 0).stos son: Donde luego se tiene que , entonces el lmite queda expresado de la siguiente manera,

Y

Continuidad de una Funcin de Varias Variables.Continuidad de una Funcin .Igual que con las funciones de una sola variable, la continuidad se define en trminos de lmites.Definiciones:Una funcin es continua en un punto si:1. est definida en , es decir, que tenga un valor en .2. existe, es decir, tenga un lmite en 3. , es decir, el valor de en sea igual al lmite en ese punto.Una funcin es continua si es continua en todo punto de su dominio. Con base a la percepcin, esto significa que no presenta saltos o fluctuaciones violentas en .Igual que con la definicin de lmite, la definicin de continuidad se aplica en puntos fronteras , as como en puntos interiores de dominio de . El nico requisito es que el punto permanezca en el dominio todo el tiempo.As como las funciones de una sola variable, tambin son continuas, las Sumas, Productos y Cocientes de funciones continuas (una vez que, el ltimo caso, se evite la divisin entre cero).Se deduce entonces lo siguiente que: funciones polinomiales de dos variables son continuas en toda su extensin, dado que son sumas y productos de las funciones continuas , dado que son constantes. Por ejemplo: la funcin, es continua en todos los puntos del plano . Funciones Racionales de dos variables son cocientes de funciones polinomiales y, por lo tanto, son continuas siempre que el denominador no sea cero. Para simplificarlo, por ejemplo: es continua en toda la extensin del plano , con excepcin de los puntos de la parbola .Composicin de Funciones Continuas.Si una funcin es continua en , y es una funcin continua en , entonces la funcin compuesta es continua en . Por ejemplo:

Ejemplo Demuestre queEs continua en todo punto excepto en el origen.Solucin: La funcin es continua en cualquier punto porque sus valores estn dados por una funcin racional de . En , el valor de est definido pero , no tiene lmite cuando . La razn es que trayectorias de acercamiento diferentes al origen pueden conducir a resultados diferentes, como lo veremos ahora.Para cada valor de la funcin tiene un valor constante sobre la recta , porque

Por lo tanto, tiene este nmero como lmite cuando tiende a a lo largo de la recta:

Este lmite cambia con . No existe entonces ningn nmero que podamos llamar lmite de cuando se acerca al origen. El lmite deja de existir y la funcin no es continua.EjemploEstudiar la continuidad de la funcin:

Planteamos el estudio del lmite en el origen realizando un cambio a coordenadas polares:

As,

As, se concluye que el lmite doble de la funcin vale y que la funcin dada es continua en

Derivadas Parciales de una Funcin deVarias Variables.

La derivada de una funcin de una variable mide la rapidez de cambio de la variable dependiente respecto a la variable independiente.Para funciones de dos variables podemos medir dos razones de cambio: segn cambia , dejando a fija y otra segn cambia dejando a fija.Supongamos que dejamos variar solo a , dejando a fija, digamos que , en donde es una constante. Entonces, estamos en presencia de una funcin de una sola variable , a saber que .Si tiene una derivada en entonces la llamamos la derivada parcial de con respecto a en . De forma anloga podemos hacerlo para como variable y fija, es decir, es una constante.Definicin (Derivada Parcial)Si , entonces las derivadas parciales primeras de con respecto a y a son las funciones respectivamente, definidas mediantes,

Siempre y cuando existan los lmites.Su derivada para cuando se llama derivada parcial de con respecto a en y se denota como y esta dada por la expresin.

Anlogamente, cuando se llama derivada parcial de con respecto a en y se denota como y esta dada por la expresin.

Interpretacin Geomtrica de la Derivada Parcial.Recordemos que la grfica de representa una superficie. Si , entonces el punto esta sobre la superficie . El plano vertical interseca a la superficie en la curva (es decir , es la traza de la superficie sobre el plano . De manera semejante, al plano vertical interseca a la superficie en la curva . Ambas curvas pasan por el punto .

Observe que la curva es la grfica de la funcin de manera que la pendiente de surecta tangente en el punto es . La curva es la grfica de la funcin , as que la pendiente de su tangente en el punto es .Por consiguiente las derivadas parciales pueden interpretarse geomtricamente como las pendientes de las rectas tangentes a las curvas en el puntoEjemploHallar las derivadas parciales en el punto , de la siguiente funcin si,

Para encontrar , consideramos como una constante y derivamos con respecto a :

Como , tenemos

Anlogamente, para , consideramos como una constante y derivamos con respecto a

Como , tenemos

Interpretacin fsica de la derivada

Velocidad mediaLavelocidad mediaes el cociente entre elespacio recorrido (e)y eltiempo transcurrido (t).

Velocidad instantneaLavelocidad instantneaes el lmite de la velocidad media cuando t tiende a cero, es decir, la derivada del espacio respecto al tiempo.

EjemploLa relacin entre la distancia recorrida en metros por un mvil y el tiempo en segundos es e(t) = 6t2. Calcular:1la velocidad media entre t = 1 y t = 4.La velocidad media es el cociente incremental en el intervalo [1, 4].

Derivadas Parciales de Segundo Orden.Cuando diferenciamos una funcin dos veces, producimos sus derivadas de segundo orden. Estas derivadas son usualmente denotadas por

Tambin se puede leer: la segunda derivada de de la derivada de con respecto a

Tambin se puede leer: la segunda derivada de de la derivada de con respecto a Estas dos ltimas son llamadas derivadas parciales mixtas.Las ecuaciones que las definen son

Y as, sucesivamente. Note el orden en que se toman las derivadas:

Ejemplo 4.6Calcule las segundas derivadas parciales de Solucin: Las primeras derivadas son:

Entonces tenemos que

Diferenciabilidad de una funcin de dos variablesDespus del estudio de los lmites de funciones de dos variables retomamos la discusin sobre diferenciabilidad, y aprovechamos para fijar en una definicin y un teorema lo que hemos avanzado hasta ahora.Definicin.La funcin es diferenciable en el punto si existen unos nmeros tales que

En ese caso diremos que el plano es el plano tangente a la grfica de en .Teorema.Para que la funcin sea diferenciable en es necesario que existan sus derivadas parciales en ese punto. Y en ese caso el plano tangente es el plano,

Por supuesto, se puede usar directamente la definicin para probar que una funcin es diferenciable en un punto. Para ello: Debemos empezar por calcular las derivadas parciales en ese punto (ya sea mediante las reglas derivacin, o usando la definicin si no es posible aplicar las reglas). Despus debemos demostrar que se cumple.

Veamos un ejemplo elemental de demostracinEjemploLa funcin es diferenciable en el punto ?En efecto, en primer lugar sus derivadas parciales existen y valen

As que el nico candidato posible a ser el plano tangente es

Y para demostrar que es diferenciable tenemos que demostrar que se cumple

Para demostrar esto, empezamos por trasladar el problema al origen mediante el cambio de variables . De esa forma se trata de demostrar que

Luego por coordenadas polares nos queda